论数形结合在初中数学函数中的应用
初中数学教学中数形结合思想的应用
初中数学教学中数形结合思想的应用摘要：数与形之间的结合转换，是目前数学课堂构成的核心。
了解数与形之间的对应关系，并对于目前数学课堂教学内容做出适当的转变，能够激发学生在课堂上学习的积极性。
强调数学课堂教学的应用发展，通过数形变换内容，丰富学生的想象能力以及认识能力，让学生在数学课堂上进行有效学习。
基于此，本文将就初中数学教学中数形结合思想应用进行分析，由数形转换知识储备、解题分析、答疑解惑为中心。
注重数形结合思想渗透化发展，注重数与形之间的对应关系，增强学生转换能力，化简为难，提高其学习效果。
关键词：初中数学；解决问题；数形结合引言数形结合思想在数学应用之中非常广泛，在初中阶段，正处于学生数学学习的启蒙和基础阶段。
在其中渗入数形结合的思想，化繁为简，能够为学生后续阶段的学习打好基础，同时也能够更好地锻炼学生的逻辑思维，帮助学生解决实际性的数学问题。
在数与形的相互转换过程中，通过分类讨论渗透相应的思想，让学生透过数形结合观念，正确解决问题。
培养学生新的认识思维，并在数与形的可操作化发展过程中，打好初中数学课程教学的基础，为学生的有效学习铺垫。
一、数形结合思想概述所谓数形结合思想，即是对应数与形之间的关系进行相互转换，将两者做出融合，共建一种更具思维化、可视化的教学方式。
数形结合思想对目前初中数学课堂的打造而言，是十分重要的。
它能够将数学知识做出简易化分析，最终提高数学课堂教学的有效性。
关于数与形两个关系的探讨，这始终是目前数学课堂教学的核心。
必须针对数与形两个基本观念进行分析，找准数与形结构关系，不论是数形的知识理解，还是习题的研究训练，都需要对于数形关系知识结构进行有效的划分。
结合数形结合思想教学应用，让学生的学习更显高效化。
对于学生而言，数形结合思想，能够开拓学生的视野。
避免复杂的计算以及推理过程，让数学解题内容更加简便。
数形结合思想正是空间思维以及抽象思维进行融合的一种教学模式，对应数与形之间的关系，让学生在学习过程中真正做好突破。
数形结合思想在初中数学中的应用
数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过数学和几何图形相结合来进行问题的分析和解决的一种思维方式。
在初中数学中，数形结合思想被广泛应用于解题和证明过程中，有助于学生理解和掌握数学概念，培养其数学思维能力和创造力。
以下是数形结合思想在初中数学中的应用。
一、解决几何问题通过数形结合思想可以解决许多几何问题，如证明等腰三角形的性质、证明角的平分线相交于顶点角平分线等。
通过画图观察，能够使问题的分析和解决更加直观和容易。
对于一个等腰三角形，我们可以通过画图观察来证明其性质。
我们画出一个等腰三角形ABC，其中AB=AC。
然后，我们在等腰三角形中找出一些特殊点，如重心、垂心等。
通过观察，我们发现等腰三角形的重心和垂心的位置，以及它们与三角形顶点的连线之间的关系，可以帮助我们证明等腰三角形的性质。
这个过程中，数学和几何图形相结合，既需要运用数学知识，又需要观察和想象能力，培养了学生的思维灵活性和创造力。
二、解决平面几何问题平面几何是初中数学中一个重要的内容，通过数形结合思想，可以帮助学生解决平面几何问题，如平行线的性质、相似三角形的性质等。
通过画图观察和推理，可以帮助学生理解和巩固这些数学概念。
对于平行线的性质，我们可以通过数形结合思想来解决问题。
我们画出两条平行线，然后引入一个横切线。
通过观察，我们发现两条平行线上对应的内角和外角是相等的，同时我们可以看到内、外角和横切线之间的关系。
这样，我们可以通过画图观察的方式，对平行线的性质进行分析和证明，加深学生对这个概念的理解。
三、解决函数与图像问题在函数与图像的学习中，数形结合思想也被广泛应用。
通过画出函数的图像，可以帮助学生理解函数的性质，如单调性、奇偶性等。
对于一个函数的单调性，可以通过数形结合思想来进行分析。
我们画出该函数的图像，然后观察函数的变化趋势。
通过观察，我们可以发现函数在某个区间上是单调递增或单调递减的，可以通过数学和几何图形相结合的方式来理解和证明函数的单调性。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。
在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。
本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。
1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。
数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。
例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。
2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。
例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。
3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。
4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。
结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。
教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。
数形结合思想在初中数学教学中的应用[论文]
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浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用摘要：本文主要介绍数学思想方法，及其在初中数学教学中的应用。
关键词：数形结合思想；数量关系；图形关系。
数形结合思想是指将数与图形结合起来解决问题的一种思维方式。
一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化，数量问题可以转化为图形问题，图形问题也可以转化为数量问题。
在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。
数形结合思想在数学几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径。
它的运用，往往展现出“柳岸花明又一村”般的数形和谐完美结合的境地。
著名的数学家华罗庚先生曾作过精辟的论述：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事非。
切莫忘，几何代数统一体，永远联系切莫离。
”这就是在强调把数和形结合起来考虑的重要性。
把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化.因此，在教学中应重视数形结合思想的渗透，正确引导学生适时的应用数形结合思想。
体会数形结合思想的应用价值。
在教材《有理数》里面用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现，结合数轴表示有理数，能帮助学生较好地理解有理数的绝对值、相反数等概念，以及进行两个有理数的大小比较。
例如上图，在数轴上的两点a、b表示的数分别为a、b，则表示下列结论正确的是（）（a）（b）a-b>0（c）2a+b>0（d）a+b>0分析：本题首先引导学生根据a、b在数轴上的位置，得到a<-1、0<b<1。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研
究
对于初中数学来说，函数和几何结合思想有着重要的作用。
它能
够将几何图形与数学关系统一起，更好地研究几何与函数之间的关系，由此延伸出更加杂乱的数学问题，扩大学生的思维空间。
首先，使用函数与几何结合思想来解决初中数学问题，将有助于
提高学生对数学思想的理解和掌握。
例如，学生可以从几何图形上更
清楚地体验到函数的相关概念，理解函数的表示方法，从而做出正确
的完善的数学分析和抽象思维。
其次，结合函数和几何思想，可以探
索一些比较复杂的问题，进一步拓宽学生的思维空间。
例如，如何将
几何图形表示为函数形式？如何从函数形式绘出几何图形？这些问题
不仅能拓展学生的数学思维，而且也能激发学生的求知欲望，促进更
深入的数学思考。
最后，结合函数和几何的思想，可以有更多的方法解决实际应用
中的问题。
把数学思想和生活中的问题联系起来，可以让学生更真实
地体验到不同的数学知识，而且可以思考出更多的数学方法来解决问题。
总之，函数与几何结合思想在初中数学教学中是很有帮助的，它不仅可以构建函数与几何两者之间的联系，而且还可以让学生更加深入系统地学习数学，强化实践能力，增强学生分析数学素养，有助于提高初中数学水平。
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形
“数形结合”在解题中的应用——二次函数与平行四边形摘要：二次函数是初中数学教材中非常重要的内容之一，是中考的必考内容。
在中考考卷往往结合种数学容，将二次函数与四边形结合，提升思维综合度，使学生整个答卷在此出现分水岭，此题只要抓住解题要领对学生的解题能力起到了一定的锻炼作用。
数形结合思想是数学函数解题中的法宝，利用数形结合来实现学生对数学题的直观认知，提高解题效率。
本文首先阐述了数形结合在解题中的重要性，然后分析数形结合在解题中的应用，将二次函数与四边形进行有效结合，并进行解题思路的强调，点播学生进行解题，最后总结解题规律。
旨在能够利用数形结合的思维进行题目的分析，从而实现数学题的分析，达到解题的目的，同时也可以加强学生数学思维能力的提升。
关键词：数形结合；二次函数；平行四边形引言：数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微”，数形结合是数学学习中解决函数问题常用方法。
解题中经常会出现二次函数与四边形同时出现的题型。
陕西中考中截止2020年前近10年考查了6次二次函数与特殊平行四边行，涉及平行四边形4次。
让学生在解题中摸不到头绪，通过数形结合方法可以有效解决此难题。
那么如何在初中数学解题中进行数形结合的应用呢，下面通过具体例题来进行分析和研究。
一、数形结合在解题中的重要性数形结合指的是数字与图形进行有效结合，能够实现数形之间的转化，通过图形的展示让学生在解题中更加具有直观性，可以直接看到解题要点，有效提高解题效率。
与此同时，通过数形结合思想还可以帮助学生打开数学解题思路，能够通过多种方法进行数学题目的运用，促进学习质量的提升[1]。
二、数形结合在解题中的应用分析陕西省中考对二次函数与平行四边形的考察非常重视，教师在教学的过程中可以通过对中考题目进行分析，在例题分析中对学生进行解题思维点拨，从而能够促进学生进行数学问题的思考，进而不断培养学生在处理二次函数与平行四边形的解题思路。
在最后的过程中还需要对类型的问题解决方法进行大总结，这样能够让学生在遇到类似的问题可以随机应变，提高学生的解题能力。
数形结合思想在初中数学解题中的应用
22教育版内容摘要：本文介绍了初中数学解题中的一种重要的思想方法——数形结合. 数形结合思想主要是利用了数的结构特征，绘制出同其相对应的数学图形，同时通过对图形特点及规律的运用，使数学问题得到解决，或是将图形转化为代数，无需进行推理，便将要解答的问题转变为数量关系.在数学教学中合理结合数形结合思想能够有效调动学生的积极性，让学生通过直观的视觉观察来理解数学的概念和知识，为学生解题提供一定的帮助.关键词：数形结合 初中数学 应用一、数形结合的本质和内涵：数形结合思想就是通过对数与形间关系的运用，对数学习题中的知识点及问题进行研究，从而使问题得到解决的一种方法.分析及研究数与形间的关系，学生会清晰地看到数与形之间在一定的状况之下是能实现转换的.它们之间具有一定的等量关联，能让学生更加深入地对知识进行理解，并解决相关问题.在初中数学中，数指的是方程、函数、指数等，形指的是函数图形与几何图形.学生若能把它们结合起来运用，就能使问题的解答更加容易，从而提升学生解题的能力。
二、数与形之间的转化：中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”.“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等。
三、数形结合思想在初中数学解题中的应用：（一）数形结合思想在数与式问题中的应用。
数形结合的教学思想可以把有理数和数轴紧密联系起来.所有的有理数都可以在数轴.上找到相对应的唯一的点，如果想要对比两个有理数的大小，就可以通过比较分析在数轴上两个有理数的位置关系来得出结果.同时，依据数轴上原点与点的位a 、b ．（图略）【分析】 由上a ，b 的位置可以得到a <b．∴a =−，ab b a −=−【解】 ()a b a +−除此以外，数形结合思想还运用于一些图形类的规律题中，比如下面这个题目.【例2】 如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条“金鱼”……，则搭n 条“金鱼”需要火柴______根。
浅析“数形结合”在初中数学教学中的应用
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三 、 决 方 程 或不 等 式 问题 解 处 理 方 程 问 题 时 ， 方 程 根 的 问 题 看 作 两 个 函 数 图 把 像 的 交 点 问 题 ； 理 不 等 式 时 ， 题 目的 条 件 与 结 论 出 处 从 发 ， 系 相关 函数 ， 重 分析 其 几何 意义 ． 图形 上 找 出 联 着程 Ｘ ＋＝ － 的 ＝ ２
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过 函数 图像 观 察得 两 图像 只有 一 个 交 点 ， 故原 方 程 有 １ 解． 个 例 ４ 求一 ＋乱 一３ ， ＋缸 一３ ＞０ ＜０的解 集． 分 析 若用 代 数 方 法来 解 答 本题 ，需 要 把 整式 一 ＋缸 一
析 ． 同行 探 讨 ． 与 解 决有 关 绝对 值 之 和 的最 小值 问题
一
例 ３ 求 方程
一 ＋２ 的 实数 根 的个 数． ＝
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数 轴 建 立 了点 与实 数 间 的 一 一对 应 关 系 ． 利用 绝 对 值 在 数 轴上 的几 何 意 义解 决 最 值 问 题 ， 学 生 理解 数形 结 合 思 想 让 在 解决 问 题 中 的应 用 ， 为进 一 步 学 习数 形 结 合 思想 奠定 基 础 ．
３因式 分 解 ， 后再 联 立 一 元一 次 不 等式 组 来 解 ， 然 解题 过 程 较 繁． 利用 函数 图像 来 解 决本 题 就 简 单容 易 多 了． 若
二 、 决 函数 问题 解
借助 于 图像 研 究 函数 性 质 是 一 种 常 用 的 数 形 结 合 方 法
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论数形结合在初中数学函数中的应用
作者：杨柳
来源：《学校教育研究》2021年第06期
一、数形结合在函数中应用
1.数形结合在一次函数中的应用
（1）利用数形结合法学习一次函数图像的探究
“一次函数”是沪科版八年级上册的内容，在“一次函数”的第一课时“变量与函数”中，内容包含了“变量”、“函数”、“函数的图象”，为今后学习函数奠定了坚实的基础。
在学生充分地认识函数的概念及各种表示方法之后，我们已经通过具体的实践用列表格、列算式和画图象等方法表示了一些函数，这三种表示函数的方法分别称为列表法、解析式法和图象法。
总结：通过大量的实验证明，我们了解到在解题过程中表示函数时，学习的重点是掌握一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的性质并能根据k与b的值说出函数的有关性质，对其概念的理解，单凭一个陌生固定的式子，求出其的定义域、值域、最值，对学生来说比较难掌握，但是借助图像加以分析，学生内心就会形成有形的概念，可以直观的了解函数的最本质特征。
并且在绘画图像的过程涉及了画图三步走，直角坐标系，有序数对等诸多细小的知识，从中把学生们的每一个数学知识点都很好的联系起来。
从而达到直观思维构建效果降低学习新知难度的效果。
（2）一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相关解析
七年级，我们已研究过一元一次方程、一元一次不等式相关的知识点，接着，我们在八年级上册学习了一次函数。
在学生掌握了基础知识后，根据学生已有的知识构建相应的知识体系。
因此，我们可以理解和掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，然后用函数的观点和数与形的结合的思想来处理求解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的方法。
二、数形结合在一元二次函数中的应用
三、数形结合方法在利用三角函数法解决几何问题中的应用
四、数形结合在函数中应用的优缺点
1.数形结合在函数中应用的优点
一是初中函数部分应用数形结合思想利于学生对函数的概念以及性质的理解。
二是中学数学函数部分应用数形结合思想有利于提高学生的抽象能力。
三是初中数学函数部分应用数形结合思想有利于学生树立正确的数学观。
2.数形结合思想在中学函数部分课堂应用的缺点
数形结合思想它不是万能的。
首先，我们知道，要有效的应用数形结合思想方法，要求学生熟记一些基本函数的数量关系和图形性质，以及一定的观察、相互转换，迁移能力;所以同时需要学生掌握较强的绘图能力，确保所画图形准确无误;尽管解题思路清晰，一旦图形画错，最终的答案也会错，因此在解题的过程中也要求学生细心观察，准确绘图。
而在同一个班里的教学，学生的个体差异使得数形结合思想对于个别学生不适用。
其次，在数学学科课程标准中，要求初中数学要理解掌握的数学思想包含：类比、方程、化归、数形结合、建模、函数等思想，在中学函数部分的学习，用数字和图形相结合的方法解决这所有问题是不可能的。
五、数形结合在函数中应用的有效措施
1.注重发掘问题的本质，指导数形结合的应用
为了帮助学生更好地应用数形结合，善于发现隱藏在问题中的数形结合思想，提升解决问题的能力水平，提高逻辑思维能力，养成良好的学习习惯，最好地方法就是要注重发掘问题的本质，发现几何知识与代数知识的联结之处，即找到数与形的联结点，从而总结“数”与“形”之间转化的途径，是应用数形结合思想方法的关键。
因此教师在指导数形结合的应用时，应具体的问题，具体分析，寻找“数”与“形”之间的联系，使两者融合成为一体，形成一个全面的、清晰的解题思路。
充分的发挥数与形的特点，提高数学解题的速度和正确性，同时锻炼学生的抽象思维。
最后，教师也应该与学生一起进行反思活动并与学生交流分享。
2.“授人与鱼”更要“授人与渔”
数形结合思想方法是解决一些代数与几何知识点互相联系这部分的必要思想方法。
教师在备课时，要善于发现隐藏在教材中的数形结合思想要;在教学中，以数形结合作为课堂教学的指导思想之一;教师应该适时渗透数形结合思想，适当地引导学生，帮助学生感知“数”与“形”的结合，适时地运用数形结合思想方法，掌握应用数形结合思想方法时机，即让学生在收获“鱼”的过程掌握“渔”的技巧，以提高自身获取“鱼”的能力。
3.教学过程中把握好应用数形结合的时机
函数是中考必考的知识点，数形结合在函数中的应用是每年中考的热门之一。
例如二次函数是沪科版九年级上册第21章的内容。
在这一章节中二次函数的图像与性质是重点研究的内容，“以形助数”探究其性质，“以数助形”分析图像特点等。
教师在课堂上上课时巧妙地把数与
形是如何结合与渗透在所学函数的每一步分析中，通过多媒体的动画演习，明确所学目标，思路清晰的教授应用数形结合;在每一步的分析中，积极地引导学生，让学生感悟数形结合的过程，把握结合“数”与“形”的时机，正确把数形结合应用在每一道需要它的知识点和题目中。
总结：
应用以数化形、以形变数、形数互变、数形结合解函数题，从而提高学生解题的正确率。
在教育行业中，应用数形结合等数学思想方法解决我们认为比较困难的题，已经得到教学工作者的认可。
作为一名教师要有针对性地进行教学，在每一个需要应用数形结合的时候，及时的传授应用的方法，这里的每一个包括概念的推理过程、定理的形成过程和法则应用方法、解题分析过程的应用、复习总结需要的知识网络图等。
初中学习函数是学生体验数与形结合的关键时期，也是实现数与形辩证统一的重要时期。
它对提高学生的数学能力有积极的作用，有利于优化逻辑思维，培养学生的动静思维方式，提高学生的适应性水平。
教师在运用的过程中考虑问题时要注意它们之间的相互联系。
广西百色市深百实验学校杨柳。