邮差问题算法
(优选)中国邮递员问题
v1 a
b
c
v2
v3
v4
图1
图2
图1和图2当中哪一个图满足：从图中任何一点出 发，途径每条边，最终还能回到出发点？
试想：一个图应该满足什么条件才能达到上面要 求呢？
凡是能一笔画出的图，奇点的个数最多 有两个。始点与终点重合的一笔画问题， 奇点的个数必是0。
奇点：那个点的角度来看，数有多少条线从连接着那 个点，如果连接那个点的线的数量是奇数条，那这个 点就是奇点，反之，就是偶点。
其实可以通过连接匹配的奇点得到！
v1 2
v8 4
v7
5 v2 6
3 v9 4
3 v6
5
4
4
9
4
v3
v4
v5
图2
这样的可行方案是不是只有一种呢？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？
若不是最优方案，如何调整这个方案？
第二步：调整可行方案
最优方案必须满足以下（1）（2）两个条件：
欧拉于1736年研究并解决了 此问题， 他用点表示岛和陆
地，两点之间的连线表示连 接它们的桥，将河流、小岛 和桥简化为一个网络，把七 桥问题化成判断连通网络能 否一笔画的问题。之后他发 表一篇论文，证明了上述走 法是不可能的。并且给出了 连通网络可一笔画的充要条 件这一著名的结论。
一笔画问题：从某一点开始画画，笔不离纸， 各条线路仅画一次，最后回到原来的出发点。
O(|V (G) |2| E(G) |)
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
中国邮递员问题 ppt课件
中国邮递员问题
管梅谷教授首先提出的方法是奇偶点图上作业 法（1962年）
Edmonds，Johnson（1973年）给出有效算法。
复杂度为 O(|V(G)|2|E(G)|)
中国邮递员问题
中国邮递员问题
解决这样的问题，可以采用奇偶 点图上作业法：如果在配送范围 内，街道中没有奇点，那么他就 可以从配送中心出发，走过每条 街道一次，且仅一次，最后回到 配送中心，这样他所走的路程也 就是最短的路程。
原来的问题可以叙述为在一个有奇点的图中， 要求增加一些重复边，使新图不含奇点，并且 重复边的总权为最小。
我们把使新图不含奇点而增加的重复边简称为 可行（重复边）方案，使总权最小的可行方案 为最优方案。
现在的问题是第一个可行方案如何确定？ 在确定一个可行方案后，怎么判断这个方案是
否为最优方案？ 若不是最优方案，如何调整这个方案？
Fleury算法的复杂度是 O(| E(G)|2)
中国邮递员问题
求欧拉回路的算法(回路算法)
算法思想: 首先得到一个回路C1, 再在剩
下的图G- C1中求一条与C1有公共顶点的
回路C2, 则C1与 C2构成一个更长的回路,
继续下去可得到含所有边恰好一次的回
路. 回路算法的复杂度是
O(|
E(G) |)
这个问题就是一笔画问题。
中国邮递员问题
管梅谷教授。
上海市人。1957年毕业于华 东师范大学数学系。历任 山东师范大学讲师、副教 授、教授、校长，中国运 筹学会第一、二届常务理 事，山东省数学学会第四 届副理事长，山东省运筹 学会第一届副理事长，山 东省世界语协会理事长。 是第六届全国政协委员。 从事运筹学及其应用的研 究，对最短投递路线问题 的研究取得成果。所提模 型在国外称为中国投递问 题。
中国邮递员问题的EXCEL求解
～≮ 一 ～ ～ ＼
／ 求 解 约 束。 ， ／
２ 规划求解计算结果与分析 通过以上规划求解的工作 ， 调用规划求解功能， 输入有关参数如目 标单元格及最小化要求、 可变单元格、 约束等 ， 就可以进行规划求解了。 在点 击“ 求解” 后有时会告知“ 不存在最 优解” 即没有求得所要 ， 结果， 尤其 是涉及 的结点和路径较 多时。其原因是 ， 对于中国邮递员 问题 的规划求解所 需要的计算时间可能比较长 （ 与所 使用 的计算机 ２ Ｃ ６中 存放 的是 ￣ １ 图１ 邮递员行走 街区路线 图 、 在 规划 各 路径的 始点、 囊 终 麴 童 蔓 Ｉ蔓 一 － ～ ｔ． 等有 关 ）迭代次数较多 ， 规定 的时间和次数 内无法求得结果。 Ｌ 最长运算 时间” １ ０秒、 迭代次数” １ ０次。在这 为 ０ “ 为 ０ 及长度 ，如 Ａ ： ２ ２ Ｃ ｊ … 睦 意终童长皮■变碍变长度辖点漉出路经谀薰 求解默认 的“ 样 比较有 限的时间和次数限制下，可能还不能计算出最优结果。为 为 Ａ． Ｂ 此， “ 在 规划求解参数 ” 对话框 中选择 “ 选项 ” 进行有关选项的设置 ， 如
ｃ 矗 ３ ｉ ， ３
姐１
如果规定某条路必须按 照一定的方向行走，则可 以在求解 时对 这条路径增加一条约束 ， 即相应可变单 元格的值要求必须为 １ 。如规 定必须行走从 Ｂ到 Ａ 方向的路径 ，则只要在约束中增加 Ｄ ７ １即 １＝ 可， 规划求解的计 算结果 即邮递员行走 的最短路线为： Ｃ Ｂ Ｅ Ｈ Ａ— — — ～ Ｆ Ｅ Ｈ Ｇ Ｆ Ｃ Ｅ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｇ— — 总长度为 ７ 。比较上面 — — — — — — — — — — — Ｄ Ａ， ５
中国邮递员 问题 的 Ｅ ＣＥ Ｘ Ｌ求解
中国邮递员问题小论文
中国邮递员问题摘要：一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他管辖范围内的每一条街道，如何选择投递路线，使邮递员走尽可能少的路程．这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮递员问题本文主要介绍了中国邮递员问题的基本分析、求解中国邮递员问题的方法以及有关欧拉回路的算法实现。
关键词：中国邮递员欧拉图欧拉回路一、中国邮递员问题的分析中国投递员问题是1960年我们从生产实际中提出的一个数学问题，它是从下述实际问题中抽象出来的：“一个投递员应该怎么选择一条线路，才能既把所有由他负责的信件都送到，而所走的路程又最短”。
在我们开始研究中国投递员问题以前，国外有人研究过所谓旅行售货员的问题，即：“一个售货员要到n个城市去售货，问他应该选择怎样的一条线路，才能既走遍所有城市，并且走的路程最短”。
这是一个著名的难题.当n较大时，即使使用大型电子计算机，也很难解决。
投递员面临的问题显然可以归纳为旅行售货员问题，事实上，只要把投递员必须送的每一个地点看成是一个城市就行了.但是一般来说，投递员每次要到约二、三百个地点送信，如果归纳为旅行售货员问题来解决，将是一个规模很大的问题，是无法解决的.但是，在仔细分析了投递员面临的问题后，我们发现这个问题具有一定的特点，即需要送信的地点一般都是比较密集的排列在街道上的，因此，实际上，我们称这个问题为“最短投递线路问题”，1965年后国外称之为“中国投递员问题”(这个问题是我国数学家管梅谷先生在20世纪60年代提出来的)用图论的语言来描述就是在一个带权图G中，能否找到一条回路C，使C包含G的每条边至少一次且C的长度最短？如若他所管辖的街道构成一欧拉回路，则这欧拉回路便是所求路径。
如若不然，即存在度数为奇数的顶点，必然有些街道需要多走至少一遍，这时用中国邮路问题算法可求出最短路径。
数学建模——邮件送递问题
邮件送递问题【摘要】本文的主要思想，是将邮件送递问题转化为图论中的旅行商问题，求最佳哈密尔顿回路，在此基础上，结合重量、体积、时间这三个约束条件，对送递路线进行调整，找到最佳的送递路线。
问题一，用Floyd算法计算51个地点任意两点之间的最短距离，然后采用二边逐次修正法求21个送达地点构成的最佳H圈。
为减小二次逐边修正法对初始圈的敏感，每次随机搜索1000个初始圈。
为提高计算速度；我们采用在MATLAB 环境中，用矩阵翻转的方法来实现二边逐次修正的过程。
最终我们求得序号分别为3和150的两条总路程最短的送递路径。
两条路径的总长度均为54.708km，总时间3.149小时。
问题二，在第一问的基础上，我们对1000条近似最短路径进行时间检验，计算每条路径上每一点邮件送达的时间是否早于要求的时间，从而判断该路径是否符合时间要求。
我们从1000条近似最短路径中筛选出48条符合时间要求的路径，再从中找出总长度最短的路径，得到序号为150的路径为本问题的最佳方案。
问题三，本问题相比第一问，增加了分组的问题。
由于邮件重量和体积的约束，100个邮件需分批次送递，我们制定了衡量分组优劣的标准——均衡度 ，以此为准则，我们对Prim算法求出的50点最小生成树做适当调整，并结合重量、体积两个约束条件，确定分组。
完成分组后，求解每一组地点的送递路径，与第一问相同。
最终我们得到均衡度为0.026的分组方案及各组的送递路径，并求出送完所有邮件的最短时间为6.728h。
问题四针对第一小问，在第一问基础上增加检验邮递员到达每一地点的重量和体积，我们求出分2组的送递路径。
针对第二小问，在第一小问基础上增加检验邮递员到达每一地点的实际时间，提出以准点率为标准衡量路径优劣，求出准点率为76.2%的最佳路径。
针对第三小问，由于邮件增多带来的重量、体积的上升，分组数目相应增加，最终我们求出分6组，准点率为72.0%的送递路径。
【关键词】最优H圈，二边逐次修正法，矩阵翻转，最小生成树，均衡度一、问题的提出现有一邮局在图1中的O 点，一邮递员需将邮件送至城市内多处。
组合数学的历史、方法及在生活中的应用
组合数学的历史、方法及在生活中的应用摘要:组合数学从数千年前开始萌芽，经历了著名的幻方问题和杨辉三角，直到莱布尼茨正式提出这一科学门类。
组合数学也称为组合分析或者组合学. 简单地说, 组合数学是“按照一定的规则（模式)来安排一些离散个体”.组合数学在基础理论方面和生活应用方面都发挥着越来越重要的作用, 如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。
本文从对组合数学历史、基本内容和基本思想,结合具体的应用举例介绍组合数学。
关键词:组合数学;历史起源；基本方法；生活应用一、组合数学的历史。
组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。
最早起源于幻方问题。
据传说，大禹在4000多年前(2200B.C.)就观察到神龟背上的幻方.1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。
之后，希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿副本，距今约1000年。
2003年，科学家借助现代科技手段初步破译了这篇论文, 结论是这篇论文解决的是组合数学问题《十四巧板》。
中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的”贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为”杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。
最后是组合数学的正式提出。
1666年莱布尼兹所著《论组合的艺术》一书问世，这是组合数学的第一部专著。
书中首次使用了组合论（Combinatorics）一词。
一切推理和发现，不管是否用语言描述，都能归结为如数，字，声，色这些元素经过某种组合的有序集合。
二、组合数学的基本内容与方法组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.本世纪五十年代以来,特别是由于计算机科学的巨大发展,促使组合数学成为一支富有生命力的新兴数学分支.与传统的数学课程相比,组合数学研究的主要是一些离散事物之间所存在的某些数学关系,包括计数性问题、存在性问题、最优化问题以及构造性问题等,其内容主要是枚举和计数.组合学中研究最多的主要是计数问题,该问题通常出现在所有的数学分支之中.计算机科学通常需要研究有关算法的内容,就必须估计出算法所需的存储单元和运算量,即分析算法的空间复杂性和时间复杂性[]2.关于组合数学的基本方法有一下几种：排列与组合、母函数与递推关系、容斥原理、反演公式、鸽巢原理、Pólya计数定理、区组设计与编码理论等内容.仅仅知道方法是远远不够的，组合数学的一些相关思想也是非常重要的，这里总结一下几条。
中国邮递员问题(第五版)
中国邮递员问题引言H T T P ://W W W .588K U .C O M /P P Tu 中国邮递员问题是由山东师范大学管梅谷同志1960年首先提出的。
u 该问题涉及著名的的哥尼斯堡(Königsberg)七桥问题。
u 这是数学中为数不多的几个以“中国”命名的问题或定理之一。
u 七桥问题是图论和拓扑学的起源。
引言1哥尼斯堡七桥问题2欧拉图及判定定理3Fleury算法4中国邮递员问题5奇偶点图上作业法6理论根据（选讲）哥尼斯堡(Königsberg)今称加里宁格勒，建城于1255年，是位于波罗的海海岸的俄罗斯海港城市与加里宁格勒州的首府。
加里宁格勒州位于波兰北方、立陶宛西南，原为德国东普鲁士一部分，现为俄罗斯的外飞地。
图1 加里宁格勒图2 哥尼斯堡七桥示意图有一条普雷格尔(Pregel)河流经哥尼斯堡，河上有七个桥。
一个散步者能否从某处出发走遍七个桥且每个桥只走一次，最后回到出发点？哥尼斯堡七桥问题大数学家欧拉在1736年解决了这个问题。
欧拉Euler(1707-1783)莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日－1783年9月18日）u瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一。
u欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一。
u欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文。
u30岁左右右眼几乎完全失明，60岁左右左眼又几乎完全失明。
u在1775年，他平均每周就完成一篇数学论文。
u1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。
n 将上图中A，B，C和D这四个区域各看成一个顶点，两区域之间有一个桥相连，就将相应的两个顶点连一条边，得到一个图。
AB CD图3 七桥问题对应图欧拉Euler(1707-1783)的走法为一个欧拉通路。
n如果进一步该走法还回到出发点，则称之为欧拉环游（回路）。
n具有欧拉环游的图称之为欧拉图。
运筹学-邮递员问题
值得注意的是，这个方法主要困难在于检查判定标准2。它要求对于图中的每一个圈都检查一遍。当一个连通图所包含的圈数比较多时，将会大大提高运算的工作量，比如“田”字型的图就有13个圈。
到目前为止，关于中国邮递员问题，已经找到了更好的算法，由于篇幅所限，我们就不去介绍它了。
当q=3时，显然G是欧拉图。假设q=n时成立，看q=m+1的情形：由于G是无奇点的连通图，并且G的点数p>=3，因此存在三个点μ，v,w,使得[μ，v],[w,v]∈E。从G中去掉边[μ，v],[w,v]，增加新的边[μ，w]，得到一个新的多重图G1，G1有q-1条边，且仍不含奇点，G1至多有两个分图。
推论 一个多重连通图G有欧拉链的充分必要条件是G有且仅有两个奇点。
这个推论的证明留给读者作为习题。
从这个定理的证明可以看出，识别一个连通图能否一笔画出的条件是它是否有奇点。若有奇点，就不能一笔画出。若没有奇点，就能够一笔画出，并回到原出发地。
比如前面提到的哥尼斯堡七桥问题，欧拉把它抽象成具有四个项点，并且都是奇点的图8.26的形状。很明显，一个漫步者无论如何也不可能重复的走完七座桥，并最终回到原出发地。图8.27。仅有两个奇点，可以一笔画出。
v1-v2-v4-v3-v2-v4-v6-v5-v4-v6-v5-v3-v1, 总长是12。 也可以按照另一条路线走： v1-v2-v3-v2-v4-v5-v6-v4-v3-v5-v3-v1, 总长是11。 按照第1条路线走，在边[v2,v4],[v4,v6],[v6,v5]上各走3两次，按照第2条路线走，在边[v3,v2],[v3,v5]上各走了两次。
图8.26
B
A
D
C
图8.27
v5
v6
v4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
邮差问题算法
1. 简介
邮差问题是指在一个给定的地图上，邮差需要按照一定的规则，将所有的街道都至少走一遍的问题。
这个问题可以被抽象为图论中的一个经典问题，即中国邮政员问题（Chinese Postman Problem，CPP）。
邮差问题算法被广泛应用于城市交通规划、物流配送、电网规划等领域。
通过优化邮差的路线，可以提高效率、减少成本，并且能够更好地满足人们的需求。
本文将介绍邮差问题算法的基本原理、解决方法以及应用领域，并结合实际案例进行说明。
2. 基本原理
邮差问题算法的基本原理是通过图论中的欧拉回路（Eulerian circuit）来解决。
欧拉回路是指一条路径，能够经过图中的每一条边恰好一次，并且最终回到起点。
对于一个连通图（connected graph），如果该图的所有顶点的度数（即与该顶点相连的边的数量）都是偶数，那么这个图一定存在欧拉回路。
如果有两个顶点的度数是奇数，那么这个图一定存在欧拉路径，即除了起点和终点，其他顶点的度数都是偶数。
邮差问题的目标是找到一条最短的路径，使得该路径满足欧拉回路或欧拉路径的条件。
3. 解决方法
3.1 Fleury算法
Fleury算法是一种常用的解决邮差问题的算法。
该算法的基本思想是通过不断选择合适的边，构建欧拉回路或欧拉路径。
具体步骤如下： 1. 选择一个起点，并将其作为当前节点。
2. 在当前节点的邻接边中选择一个未被访问的边。
3. 如果选择该边后，剩余图中存在欧拉回路或欧拉路径，那么选择该边并将其加入路径中，并更新当前节点。
4. 重复步骤2和步骤3，直到无法选择合适的边为止。
5. 如果路径中的边数量等于图中的边数量，那么得到了一个欧拉回路；如果路径中的边数量等于图中的边数量减1，那么得到了一个欧拉路径。
3.2 Hierholzer算法
Hierholzer算法是另一种常用的解决邮差问题的算法。
该算法的基本思想是通过
分解图中的欧拉回路或欧拉路径，构建最短路径。
具体步骤如下： 1. 选择一个起点，并将其作为当前节点。
2. 在当前节点的邻接边中选择一个未被访问的边，并将其加入路径中。
3. 如果选择的边是一个桥（bridge），那么将路径分为两段，并将当前节点设置为路径中的下一个节点。
4. 如果选择的边不是一个桥，那么将当前节点设置为路径中的下一个节点，并将选择的边从图中删除。
5. 重复步骤2、步骤3和步骤4，直到无法选择合适的边为止。
6. 如果路径中的边数量等于图中的边数量，那么得到了一个欧拉回路；如果路径
中的边数量等于图中的边数量减1，那么得到了一个欧拉路径。
4. 应用领域
邮差问题算法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：
4.1 城市交通规划
城市交通规划中需要考虑道路的布局和交通流量的分配，以提高交通效率和减少拥堵。
邮差问题算法可以帮助规划师确定最佳的道路网络，使得每个路口都能够被邮差经过，从而减少交通阻塞和拥堵。
4.2 物流配送
物流配送中需要考虑如何合理安排送货路线，以减少运输成本和时间。
邮差问题算法可以帮助物流公司确定最优的配送路线，使得每个目的地都能够被邮差经过，从而提高物流效率和减少成本。
4.3 电网规划
在电网规划中，需要考虑如何合理布置输电线路，以满足用户的用电需求，并提高电网的可靠性和稳定性。
邮差问题算法可以帮助电网规划师确定最佳的输电线路，使得每个供电节点都能够被邮差经过，从而提高电网的供电能力和可靠性。
5. 实际案例
5.1 城市邮差问题
假设有一个城市，城市中有若干个街道和路口，每个街道都连接两个路口。
现在需要一名邮差按照一定的规则，将所有的街道都至少走一遍。
通过应用邮差问题算法，可以求解出最短的邮差路线，使得每个街道都被邮差经过。
5.2 快递配送问题
假设有一个快递公司，需要将一批包裹送往不同的目的地。
每个目的地之间的距离不同，快递员需要选择合适的路线，以最短的时间将所有的包裹送达。
通过应用邮差问题算法，可以求解出最优的配送路线，使得每个目的地都被快递员经过，从而提高配送效率和减少成本。
6. 总结
邮差问题算法是解决邮差问题的一种有效方法，通过构建欧拉回路或欧拉路径，可以求解出最短的路线，使得所有的街道或目的地都被邮差经过。
该算法在城市交通规划、物流配送、电网规划等领域有着广泛的应用。
通过优化路线，可以提高效率、减少成本，并且能够更好地满足人们的需求。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的解决方法，并结合实际案例进行分析和求解。
通过合理应用邮差问题算法，可以为各个领域提供更好的解决方案。