多元线性回归模型案例分析

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多元线性回归模型(6)

k个解释变量的多元线性回归模型的个n观测
样本，可表示为
Y1 1 2 X 21 3 X31 ... k X k1 u1 Y2 1 2 X 22 3 X32 ... k X k2 u2
Yn 1 2 X 2n 3 X3n ... k X kn un
11
用矩阵表示
Y1 1
即 X可X逆
假定6：正态性假定 ui ~ N(0,σ2)
15
第二节多元线性回归模型的估计
本节基本内容:
● 普通最小二乘法（OLS） ● OLS估计式的性质 ● OLS估计的分布性质
● 随机扰动项方差的估2 计
● 回归系数的区间估计
16
一、普通最小二乘法（OLS）
最小二乘原则
剩余平方和最小： min ei2 (Yi -Yˆi)2
1 X 22
X kiei
X
k1
Xk2
1 e1
0
X
2n
e2
=
XБайду номын сангаас
e
=
0
X
kn
en
0
X
e
因为样本回归函数为 Y = Xβˆ + e
两边乘 X有：
X Y = X Xβˆ + X e
因为 Xe，= 0则正规方程为：
X Xβˆ = X Y
19
OLS估计式
由正规方程多元回归中二元回归中
或取固定值的矩阵
2.无偏特性:
E(βˆk ) βk
21
3. 最小方差特性
在 βk所有的线性无偏估计中，OLS估计 β具ˆk 有
最小方差
结论：在古典假定下，多元线性回归的 OLS估计式是最佳线性无偏估计式（BLUE）

(整理)第四章多元线性回归模型

第四章多元线性回归模型在一元线性回归模型中，解释变量只有一个。

但在实际问题中，影响因变量的变量可能不止一个，比如根据经济学理论，人们对某种商品的需求不仅受该商品市场价格的影响，而且受其它商品价格以及人们可支配收入水平的制约；影响劳动力劳动供给意愿（用劳动参与率度量）的因素不仅包括经济形势（用失业率度量），而且包括劳动实际工资；根据凯恩斯的流动性偏好理论，影响人们货币需求的因素不仅包括人们的收入水平，而且包括利率水平等。

当解释变量的个数由一个扩展到两个或两个以上时，一元线性回归模型就扩展为多元线性回归模型。

本章在理论分析中以二元线性回归模型为例进行。

一、预备知识（一）相关概念对于一个三变量总体，若由基础理论，变量21,x x 和变量y 之间存在因果关系，或21,x x 的变异可用来解释y 的变异。

为检验变量21,x x 和变量y 之间因果关系是否存在、度量变量21,x x 对变量y 影响的强弱与显著性、以及利用解释变量21,x x 去预测因变量y ，引入多元回归分析这一工具。

将给定i i x x 21,条件下i y 的均值i i i i i x x x x y E 2211021),|(βββ++= （4.1）定义为总体回归函数（Population Regression Function,PRF ）。

定义),|(21i i i i x x y E y -为误差项（error term ）,记为i μ，即),|(21i i i i i x x y E y -=μ，这样i i i i i x x y E y μ+=),|(21，或i i i i x x y μβββ+++=22110 （4.2）（4.2）式称为总体回归模型或者随机总体回归函数。

其中，21,x x 称为解释变量（explanatory variable ）或自变量（independent variable ）；y 称为被解释变量（explained variable ）或因变量（dependent variable ）；误差项μ解释了因变量的变动中不能完全被自变量所解释的部分。

案例2多元线性回归模型的计算过程及

多元线性回归模型的计算过程及案例分析计算过程（1）根据n组观察样本的原始数据，12(,,,)t t t kt y x x x(1,2,,)t n = 写出如下矩阵：1112112212221211,1k k n nnkn y x x x y x x x Y X y x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）计算1)X X X X -'''、(、X Y 。

（3）计算参数向量B 的最小二乘法估计1ˆˆ:()BB X X X Y -''=。

（4）计算应变量观测值向量Y 的拟合值向量ˆˆˆ:YY XB =。

（5）计算残差平方和2t e ∑及残差的标准差ˆ:σˆσ=（6）计算多重决定系数2R 和修正的多重系数2R ，作拟合检验。

2221;()tt e R y y =--∑∑222/(1)1;()/(1)tte n k Ry y n --=---∑∑（7）计算参数估计ˆ(0,1,2,,)j b j k =的标准差：ˆ();js b σ=其中jj c 是矩阵1)X X -'(中第j 行第j 列位置上的元素。

（8）计算检验统计量t 和F 的值，作回归参数及回归方程的显著性检验。

在原假设0:0(0,1,2,,)j H b j k == 下的t 统计量为ˆˆ/jt b σ= 在原假设001:0k H b b b === 下的F 统计量为22()1tty y n k F ke---=⋅∑∑。

（9）若模型未通过检验，则重新建立模型并重复上述步骤；若模型通过检验，且满足模型的古典假设，则可利用此模型进行结构分析或经济预测等实际应用案例分析某种商品的需求量（y，吨）、价格（1x ，元/千克）、和消费者收入（2x ，元）观测值如表所示：商品的需求量（y，吨）、价格（1x ，元/千克）、和消费者收入（2x ，元）观测值（1）建立需求函数：01122t t t t y b b x b x u =+++；（2）估计12b b 、的置信区间（置信度为95%）；（3）在5%显著水平上检验模型的有效性。

财务回归分析案例

财务回归分析案例引言在财务领域中，回归分析是一种常用的统计方法，用于研究变量之间的关系。

通过回归分析，我们可以了解一个或多个自变量如何影响因变量，并得出模型的预测能力。

在本文中，我们将介绍一个财务回归分析的案例，以帮助读者更好地理解该方法在实际应用中的作用。

数据收集首先，我们需要收集相关的数据以进行财务回归分析。

在这个案例中，我们将使用一家零售公司的销售数据作为例子。

我们将收集以下数据：1.每个月的销售额（因变量）2.广告费用3.促销费用4.人力资源费用5.物流费用这些数据将帮助我们了解不同因素对销售额的影响，并建立一个回归模型来预测销售额。

数据处理在进行回归分析之前，我们需要对数据进行一些处理。

首先，我们需要将数据进行清洗，删除不完整或错误的数据。

然后，我们可以计算各个自变量之间的相关性，以确定是否存在多重共线性的问题。

如果存在多重共线性，我们需要考虑删除一些自变量或使用其他方法来解决该问题。

回归模型建立在确定了自变量和因变量之后，我们可以建立回归模型来分析它们之间的关系。

在本案例中，我们将使用多元线性回归模型来分析销售额与广告费用、促销费用、人力资源费用和物流费用之间的关系。

回归模型的基本形式如下：销售额= β0 + β1 * 广告费用+ β2 * 促销费用+ β3 * 人力资源费用+ β4 *物流费用+ ε其中，β0、β1、β2、β3、β4为回归系数，ε为误差项。

通过最小二乘法估计回归系数，我们可以得出模型的预测能力。

回归模型分析在得到回归模型后，我们可以进行一些分析以评估模型的有效性。

首先，我们需要评估模型的拟合程度，即模型对观察数据的解释能力。

常用的评价指标包括决定系数（R2）和调整决定系数（adj-R2）。

较高的决定系数表示模型能够较好地解释数据的变异性。

然后，我们可以通过t检验或F检验来判断自变量是否具有显著影响。

统计学上，显著性是指一个变量或模型与随机变量是显著不同的。

如果自变量的p值小于设定的显著性水平（通常为0.05），则可以得出该变量对因变量的影响是显著的。

基于最小二乘法的多元线性回归研究

基于最小二乘法的多元线性回归研究多元线性回归是一种广泛应用于统计学和机器学习中的方法，它可用来分析两个或更多个自变量与一个或多个因变量之间的关系。

因其建模方式简单而有效，多元线性回归被广泛应用于社会科学、医学、环境科学和经济学等领域。

本文将介绍如何使用最小二乘法来理解和推导多元线性回归模型，并提供一个简单的例子来说明该方法在实践中的应用。

1. 什么是多元线性回归？在统计学中，回归是指研究因变量和一个或多个自变量之间关系的方法。

多元线性回归是指分析一个因变量和两个或更多个自变量之间的关系的统计方法。

其中，标准的多元线性回归模型可以用以下方程表示：Y = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bkXk + ε其中，Y表示因变量，X1、X2 … Xk表示自变量，b0、b1、b2 … bk表示回归系数，ε表示误差。

2. 最小二乘法最小二乘法是一种通用的参数估计方法，将数据的误差平方和作为优化目标，通过最小化该误差来计算回归系数。

在多元线性回归中，建立模型的主要目的是找到最小二乘回归线，其方程为：Y^ = b0 + b1X1 + b2X2 + … + bkXk其中，Y^表示估计值，即预测值。

而求解回归系数的过程即是最小化以下式子：∑ (Y - Y^)2其中，∑表示求和符号，Y表示实际值，Y^表示估计值。

由于目标函数是一个非负函数，所以最小化目标函数即可得到最佳回归系数。

3. 最小二乘法的计算过程最小二乘法的计算过程包括以下步骤：3.1 导入数据首先，我们需要从外部数据源导入数据，这些数据可以是标准格式的数据集，如CSV或Excel文件，也可以通过API等方式从数据库或者Web服务获取。

3.2 理解数据了解数据是建立回归模型的必要步骤之一。

应该确定因变量和自变量之间的关系，并检查数据是否符合假设的分布模型。

3.3 建立模型建立回归模型是估计系数的过程，需要认真选择变量，并确定它们与因变量的关系。

3.4 评估模型确定了模型后，要对其进行评估。

线性回归经典假设的分析(案例)

线性回归经典假设的分析（案例）多重共线性分析财政收入是一个国家政府部门的公共收入。

国家财政收入的规模大小往往是衡量其经济实力的重要标志。

近20年来，我国财政收入一直保持着快速增长态势，经济总体发展良好。

一个国家财政收入的规模要受到经济规模等诸多因素的影响。

因此我们以财政收入为被解释变量，建立财政收入影响因素模型，分析影响财政收入的主要因素及其影响程度。

财政收入的因素众多复杂，但是通过研究经济理论对财政收入的解释以及对实践的考察，我们选取影响财政收入的因素为工业总产值、农业总产值、建筑业总产值、社会商品零售总产值、人口总数和受灾面积。

将这六个变量作为解释变量，财政收入作为被解释变量，利用1989~2003年数据建立中国国家财政收入计量经济模型，资料如下表。

表1 影响财政收入的因素资料（资料来源：《中国统计年鉴2004》）使用上述数据建立多元线性模型，采用普通最小二乘法得到国家财政收入估计方程为：1234562(0.46)(0.44)(8.59)(0.03)(3.80)(0.65)( 1.53)6922.5880.1260.9360.0400.5720.0920.0470.998620.56Y X X X X X X R F ---=-+-+++-==由上可以看出模型的拟合优度2R 和F 值都较大，说明建立的回归方程显著。

但在显著性水平为5%下， t (15)=2.131，大多数回归参数的t 检验不显著，若据此判断大部分因素对财政收入的影响不显著。

因此可以判定解释变量之间存在严重的多重共线性。

采用逐步回归法对解释变量进行筛选。

分别将Y 与各解释变量作一元线性回归方程，以拟合优度值最大的模型为基础，将其余变量依次引入方程中。

经过我们多次比较各模型的F 值和各参数的t 值，最终确定的模型为：242(1.79)(13.42)(35.57)519.6780.8120.7230.9971943.91Y X X R F -=-+==该模型的经济意义十分明显，即财政收入主要取决于农业总产值和社会商品零售总产值，各因素数量的变化引起财政收入总量变化的程度由各自的系数来反映。

计量经济学多元回归分析案例.pdf

计量经济学多元回归分析案例引言计量经济学是运用数理统计和经济学方法研究经济现象的一门学科。

在实际研究中，多元回归分析是一种常用的方法。

本文将通过一个实际案例来介绍计量经济学中的多元回归分析方法和应用。

研究背景单因素回归分析在计量经济学中，单因素回归分析是最基本的方法之一。

它通过确定一个因变量和一个自变量之间的关系，来解释因变量的变化。

然而，在现实世界中，经济现象往往受到多个因素的影响，因此需要使用多元回归分析来更全面地解释经济现象的变化。

问题陈述本研究的问题是探究某个城市的房价与多个因素之间的关系。

具体来说，我们感兴趣的因变量是房价，自变量包括房屋面积、地理位置、周边设施等。

我们希望通过建立一个多元回归模型来解释房价的变化，并分析不同因素对房价的影响程度。

数据收集为了进行多元回归分析，我们需要收集相关的数据。

在本案例中，我们采集了以下数据：1.房价：通过不同的房地产网站获取该城市的房屋销售数据，包括每个房屋的售价信息。

2.房屋面积：通过购房广告或房产中介提供的信息收集每个房屋的面积数据。

3.地理位置：通过经纬度或邮政编码信息获取每个房屋的地理位置信息。

4.周边设施：通过地图应用或开放的公共数据接口获取每个房屋周边设施（如学校、医院、商场等）的数量和距离信息。

数据预处理在进行多元回归分析前，我们需要对收集到的数据进行预处理。

缺失值处理在数据收集过程中，可能会出现数据缺失的情况。

对于缺失的数据，我们可以选择删除相应的样本，或者通过插补方法进行填充。

在本案例中，我们选择使用均值填充的方法。

数据转换由于多元回归模型要求变量之间具有线性关系，因此我们需要对非数值型数据进行转换。

在本案例中，地理位置可以通过编码转换为数值型变量。

模型建立在进行多元回归分析时，我们需要选择适当的模型来描述因变量和自变量之间的关系。

在本案例中，我们选择使用普通最小二乘法（OLS）来估计回归模型的参数。

模型表达式我们将房价作为因变量（Y），房屋面积、地理位置和周边设施作为自变量（X）。

1 多元线性回归分析

1. 自变量筛选的标准与原则 2. 自变量筛选的常用方法
1、自变量筛选的标准与原则
① 残差平方和SSE缩小与确定系数增大 ② 残差均方缩小与调整确定系数增大 ③ Cp统计量
2、自变量筛选的常用方法
① 所有可能自变量子集选择 ② Forward：前进法（向前选择法） ③ Backward：后退法（向后剔除法） ④ Stepwise：逐步回归法
♦ 是选择变量的有效方法。
前进法、后退法、逐步回归法的侧重点不
同。
当自变量之间不存在简单线性相关关系时，三种方法计算结果是一致的。当自变量之间存在简单线性相关关系时，前进法侧重于向模型中引入单独作用较强的变量，后退法侧重于引入联合作用较强的变量，逐步回归法则介于两者之间。
注意：剔除变量的标准（0.1）应大于或等于引入变量的标准（0.05）。
ANOVA b
Model
Sum of Squares
1
Regression 133.711
Residual Total
88.841 222.552
df Mean Square
4
33.428
22
4.038
26
F 8.278
Sig. .000a
a.Predictors: (Constant), 糖化血红蛋白, 甘油三酯, 胰岛素, 总胆固醇
总变异 23 0.08123
R2=0.06396/0.08123=0.7874
确定系数的取值范围为0≤R2≤1。直接反映了回归方程中所有自变量解释了反应变量总变异的百分比。其值越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好。
3、调整的确定系数
调整的R2：记为
R2 = R 2 k(1 R2 )

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多元线性回归模型案例分析
——中国人口自然增长分析
一·研究目的要求
中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快
从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自
然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因
素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增
长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，
需要建立计量经济学模型。
影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：
（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；
（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化
程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接
影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会
对人口增长率有相应的影响。
二·模型设定
为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为
被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均
GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”
作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。
从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）：
表1中国人口增长率及相关数据
设定的线性回归模型为：
三、估计参数
利用EViews估计模型的参数，方法是：
1、建立工作文件：启动EViews，点击File\New\Workfile，在对
话框“WorkfileRange”。在“Workfilefrequency”中选择“Annual”
(年度)，并在“Startdate”中输入开始时间“1988”，在“enddate”
中输入最后时间“2005”，点击“ok”，出现“WorkfileUNTITLED”
工作框。其中已有变量：“c”—截距项“resid”—剩余项。在“Objects”
菜单中点击“NewObjects”，在“NewObjects”对话框中选“Group”，
并在“NameforObjects”上定义文件名，点击“OK”出现数据编辑窗
口。
2、输入数据：点击“Quik”下拉菜单中的“EmptyGroup”，出
现“Group”窗口数据编辑框，点第一列与“obs”对应的格，在命令

年份
人口自然增长率（%。）国民总收入（亿元）居民消费价格指数增长率（CPI）% 人均GDP
（元）
1988 15.73 15037 18.8 1366
1989 15.04 17001 18 1519
1990 14.39 18718 3.1 1644
1991 12.98 21826 3.4 1893
1992 11.6 26937 6.4 2311
1993 11.45 35260 14.7 2998
1994 11.21 48108 24.1 4044
1995 10.55 59811 17.1 5046
1996 10.42 70142 8.3 5846
1997 10.06 78061 2.8 6420
1998 9.14 83024 -0.8 6796
1999 8.18 88479 -1.4 7159
2000 7.58 98000 0.4 7858
2001 6.95 108068 0.7 8622
2002 6.45 119096 -0.8 9398
2003 6.01 135174 1.2 10542
2004 5.87 159587 3.9 12336
2005 5.89 184089 1.8 14040
2006 5.38 213132 1.5 16024
栏输入“Y”，点下行键“↓”，即将该序列命名为Y，并依此输入
Y的数据。用同样方法在对应的列命名X2、X3、X4，并输入相应的
数据。或者在EViews命令框直接键入“dataY2XX3 X4…”，回车出现
“Group”窗口数据编辑框，在对应的Y、X2、X3、X4下输入响应的
数据。
3、估计参数：点击“Procs“下拉菜单中的“MakeEquation”，
在出现的对话框的“EquationSpecification”栏中键入“YCX2X3X4”，
在“EstimationSettings”栏中选择“LeastSqares”(最小二乘法)，点“ok”，
即出现回归结果：
表3.4
根据表3.4中数据，模型估计的结果为：
(0.913842)(0.000134)(0.033919)(0.001771)
t=(17.08010)(2.482857)(1.412721)(-2.884953)
930526.02R
915638.02R

F=62.50441

四、模型检验
1、经济意义检验
模型估计结果说明，在假定其它变量不变的情况下，当年国民总
收入每增长1亿元，人口增长率增长0.000332%；在假定其它变量不
变的情况下，当年居民消费价格指数增长率每增长1%，人口增长率
增长0.047918%；在假定其它变量不变的情况下，当年人均GDP没
增加一元，人口增长率就会降低0.005109%。这与理论分析和经验判
断相一致。
2、统计检验
（1）拟合优度：由表3.4中数据可以得到：930526.02R，修正

的可决系数为915638.02R，这说明模型对样本的拟合很好。
（2）F检验：针对0234:0H，给定显着性水平0.05，
在F分布表中查出自由度为k-1=3和n-k=14的临界值34.3)14,3(F。
由表3.4中得到F=62.50441，由于F=62.50441>(3,21)3.075F，应拒
绝原假设0234:0H，说明回归方程显着，即“国民总收入”、
“居民消费价格指数增长率”、“人均GDP”等变量联合起来确实
对“人口自然增长率”有显着影响。
（3）t检验：分别针对0H：0(1,2,3,4)jj，给定显着性水平0.05，
查t分布表得自由度为n-k=14临界值145.2)(2/knt。

由表3.4中数据可得，与^1、^2、^3、^4对应的t统计量分别为
17.08010、2.482857、1.412721、-2.884953

除^3，其绝对值均大于145.2)(2/knt，这说明分别都应当拒绝0H：
)4,2,1(0j
j



，也就是说，当在其它解释变量不变的情况下，解释变

量“国民总收入”、“人均GDP”分别对被解释变量“人口自然增
长率”Y都有显着的影响。

^
3

的绝对值小于145.2)(2/knt，：这说明接受0H：03，X3

系数对t检验不显着，这表明很可能存在多重共线性。

所以计算各解释变量的相关系数，选择X2、X3、X4数据，点”
view/correlations”得相关系数矩阵（如表4.4）：

表4.4
由相关系数矩阵可以看出：各解释变量相互之间的相关系数较
高，证实确实存在严重多重共线性。

五、消除多重共线性

采用逐步回归的办法，去检验和解决多重共线性问题。分别作Y对
X2、X3、X4的一元回归，结果如表4.5所示：
表4.5
变量 X2 X3 X4
参数估计值 0.000134 0.033919 0.001771

t统计量 2.482857
1.412721 -2.88495
0.873915 0.388495 0.886412
按2R的大小排序为：X4、X2、X3
以X2为基础，顺次加入其他变量逐步回归。首先加入X2回归结果为：
t=(2.542529)(-2.970874)920622.02R

当取05.0时，131.2)318(025.0)(2/ttkn，X2参数的t检验显
着，加入X3回归得

t=(17.08010)(2.482857)(1.412721)(-2.884953)
930526.02R
915638.02R