高等数学经济应用数学基础微积分课后习题答案
微积分 课后习题答案精编版
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +=),(，求),(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解yxxy y x f +=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=),(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=⋅+⋅+⋅+⋅=++=⋅=3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f（2）;)1ln(4),(222y x y x y x f ---=（3）;1),(222222cz b y a x y x f ---=（4）.1),,(222zy x z y x z y x f ---++=解（1）}1,1),{(≥≤=y x y x D（2）{y y x y x D ,10),(22<+<=（3）⎫⎩⎨⎧++=),(22222b y a x y xD（4）{}1,0,0,0),,(222<++≥≥≥=z y x z y x z y x D4．求下列各极限： （1）22101limy x xy y x +-→→=11001=+- （2）2ln 01)1ln(ln(lim022)01=++=++→→e yx e x y y x（3）41)42()42)(42(lim 42lim000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x（4）2)sin(lim )sin(lim202=⋅=→→→→x xy xy y xy y x y x5．证明下列极限不存在：（1）;lim 00yx y x y x -+→→ （2）2222200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim0020-=-+=-+→→=→x x xx y x y x x x y x ；如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim0020==-+→→=→y yy x y x y y x yx所以极限不存在。
微积分第三版上册课后练习题含答案
微积分第三版上册课后练习题含答案微积分是数学的一个分支，它主要研究函数、极限、连续、导数、积分等概念和它们之间的关系。
微积分是自然科学、工程技术和经济管理等领域中不可或缺的数学工具。
本文将介绍微积分第三版上册的课后练习题，以及它们的答案和解析。
章节列表微积分第三版上册共分为12章，分别是：1.函数与极限2.导数及其应用3.曲线图形的相关概念4.定积分5.定积分应用6.不定积分7.不定积分的应用8.微分方程初步9.空间解析几何10.空间直线与平面11.空间曲面12.重积分每一章都包含了大量的练习题，这些题目是对每个章节中理论知识点的考察和巩固，同时也能够帮助读者构建更深入的理解。
练习题样例下面是微积分第三版上册第一章的一组练习题样例：1.1节练习1.求函数$f(x)=\\frac{x-1}{x+1}$在点x0=2处的导数。
2.求极限$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})$。
3.求函数$f(x)=\\sqrt{1+x}-1$的二阶导数。
1.2节练习1.求$f(x)=\\frac{1}{x}$的导函数和导数。
2.已知函数f(x)=x3+3x2+1，求它的单调区间和极值点。
3.求函数f(x)=x4−8x2的导函数和导数。
课后练习题答案微积分第三版上册的课后练习题答案可以在教材的补充练习答案中找到，答案涵盖了书中各章节的所有练习题。
下面是上述练习题的答案和解析。
1.1节练习答案1.$f'(2)=\\frac{2}{9}$2.$\\displaystyle\\lim_{x \\to +\\infty}(\\sqrt{x^2+3x}-\\sqrt{x^2-5})=+\\infty$3.$f''(x)=\\frac{1}{4(x+1)^{\\frac{3}{2}}}$1.2节练习答案1.$f'(x)=-\\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\\frac{2}{x^3}$2.f(x)在$(-\\infty,-1)$上单调递减，在$(-1,+\\infty)$上单调递增。
高等数学—微积分(1)01-第3章思考题详细答案
f (x) ex c2
且 f (0) 1 则 c2 0 即 f (x) ex
第三章第三讲思考题答案
设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 f '(x) 0. 试证：存在
, (a,b),使得 f '( ) eb ea e . f '() b a
证 令g(x) ex，则g(x)与f (x)在[a,b]上满足柯西中值定理条件，故由柯西
第二步：使用罗尔定理. 由F (x)在[0,c]上连续，在(0,c)内可导，F(0)=F(c) 0， 根据罗尔定理至少存在一点 (0,c) (0,1)，使F '( ) 0, 即f '( ) 1.
第三章第二讲思考题答案
证明：已知f '(x) f (x) 则
f '(x) 1. 则 ln f (x) x c, 即 f (x)
sin 2 x2
x
1 3
第三章第五讲思考题答案
解
原式
lim
x 0
tan x x x 2 tan x
lim
x 0
tan x x3
x
lim sec2 x 1
x 0
3x 2
lim 1 cos2
x 0
3x 2
x1 cos2来自x1 3中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
2
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
第三章第七讲思考题答案
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
3
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
第三章第八讲思考题答案
中国大学慕课高等数学-微积分(山东大学)
4
第三章第六讲思考题答案
证 要证ab ba，只须证 b ln a a ln b 令 f (x) x ln a a ln x (x a) 因为 f (x) ln a a 1 a 0(x a)，所以f (x)在x a时单调增加 .
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
大一经济数学微积分高数III-A(1)答案
F ( t ) − F (a )
f ′( x ) 为连续函数，则 ∫ f ′( 2 x )dx =（C）
f (2 x ) + C
1 f (2 x ) + C 2
B. D.
f ( x) + C
2 f (2 x ) + C
5.
设函数
⎧ x 2 + 1 ( x ≤ 2) ⎪ ，则在 x = 2 处（D） f ( x) = ⎨ 1 ⎪ x + 4 ( x > 2) ⎩2
= 4( 2 − 1)
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7． ∫
7 0 3
1 1+ x +1
dx
8.
∫
π
2 0
sin5 x cos 2 x dx
2' 4'
t2 = 3∫ dt 0 1+ t = 3 ln 3
2
2' 4'
= − ∫ 2 (1 − cos 2 x )2 ⋅ cos 2 x d cos x
0
π
=
8 105
2' 3' 4' 5'
列表. ……………………………………………………………5’ 垂直渐近线 x = −1 斜渐近线 y = x − 5
6'
7'
画出图形………………………………………………………………9’
第 5 页（共 6 页） 本题分数 得 分
四．求 c 的值 ( c > 0) ,使两曲线 平面图形的面积等于
y= x
x →0
f ( x) = 1, x
证明对任意 x ，都有
f ( x ) ≥ x 。 分） （5
(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(28)
1、选择题1）对于级数1n n a ∞=∑，"lim 0"n n a →∞=使它收敛的( B )条件。
A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 2）“部分和数列{}n S 有界”，是正项级数1nn a∞=∑收敛的（ C ）条件。
A 、充分B 、必要C 、充要D 、非充分且非必要 3）若级数1nn a∞=∑绝对收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ A ）。
A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛 4）若级数1nn a∞=∑条件收敛，则级数1nn a∞=∑必定（ B ）。
A 、收敛B 、发散C 、绝对收敛D 、条件收敛2、用适当的方法判别下列级数的敛散性 1）()11ln 1n n ∞=+∑解：用比较判别法，和调和级数11n n∞=∑比较因为()11ln 1n n >+，级数()11ln 1n n ∞=+∑发散。
2）n ∞= 解：用比较判别法，因为431n n n →∞==，而级数4131n n ∞=∑收敛，级数1n ∞=3）2n n n ∞=+解：用比较判别法，因为2322lim 12n n n n n→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭级数3121n n∞=∑收敛，由比较判别法极限形式可得12n n n ∞=+收敛。
4）411!n n n ∞=+∑解：用比值判别法，因为()()()4444111!111limlim 01111!n n n n n n n n n →∞→∞+++++=⋅=<+++，级数411!n n n ∞=+∑收敛 5）()112n n n n ∞=++∑解：用比较判别法，因为()121lim lim 112n n n n n n n n →∞→∞+++==+，级数()112n n n n ∞=++∑发散。
6）()11,,0n a b na b∞=>+∑解：用比较判别法，因为11lim lim 1n n na b a b a n n →∞→∞+==+，级数11n na b ∞=+∑发散。
《高等数学》第一部分微积分习题参考答案
文 科 高 等 数 学第一部分 微 积 分习题一：1.（1）是；（2）不是；（3）不是。
2.（1）(,2)(2,1)(1,)-∞----+∞ ；（2）(3,1][1,)--+∞ ；（3）[1,3]； （4）(1,0)(0,1]- 。
3. sin ,,sin(),sin(sin )xe x x e e e x 。
4. 1()2f x x=+ (0)x ≠。
5．（1）0][0,)x ∈-∞∈+∞当（，时，函数单调减少；当x 时，函数单调增加。
(2 ) ][1,)x ∈-∞∈+∞当（，1时，函数单调减少；当x 时，函数单调增加。
（3）[0,][,]332x x πππ∈∈当时，函数单调增加；当时，函数单调减少。
6.（1）奇；（2）奇；（3）非奇非偶；（4）偶；（5）非奇非偶。
7.（1）24y x =- (02)x ≤≤；(2)3arcsin 2xy = (03)x ≤≤(3)41116ln xx y x x x x e <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩。
8. 211966R x x =-+。
9. (1000)(60.002)y x x =+- (03000,)x x N ≤<∈。
10. 题目有问题。
习题二：1.（1）存在；（2）不存在；（3）存在；（4）存在；（5）不存在。
2. 不能，如1(1),(1)nn n n a b +=-=-。
3. 能，用反证法证明。
4.（1）2；（2）0；（3）2；（4）15；（5）75；（6）0；（7）1；（8）0; （9）12；（10）n;（11）12x；（12）23；（13）12；（14）1；（15）1；（16）cos a ；（17）23；（18）2e ； （19）e ；（20）1e；（21）3e -；（22）2。
5.（1）错；（2）错；（3）错；（4）正确；（5）错。
6.（1）不连续；（2）不连续；（3）连续。
7. 略。
8.（1）约为7950.0元；（2）约为61391元。
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高等数学经济应用数学基础微积分课后习题答案标题：高等数学经济应用数学基础微积分课后习题答案详解高等数学是大学数学的重要组成部分，它在经济、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在经济应用数学基础微积分课程中，学生需要掌握微积分的基本概念和技能，包括极限、导数、微分、积分等。
本文将对这些基本概念和技能进行详细的解释，并给出一些相应的例题和答案。
一、极限极限是微积分的基础，它描述了一个变量在趋近于某个值时变化的趋势。
在数学上，我们用lim表示极限，记作lim f(x) = A，其中f(x)是自变量x的函数，A是一个常数。
例1：求lim(x->0) sin(x)/x。
解：当x趋近于0时，sin(x)和x都趋近于0，因此我们可以使用洛必达法则来求解。
将分子和分母分别求导，得到lim(x->0) cos(x)/1 = 1。
二、导数导数描述了一个函数在某一点的变化率，记作f'(x)。
如果f'(x)是一个常数，那么f(x)就是线性的；如果f'(x)不是常数，那么f(x)就是非线性的。
例2：求f(x) = x^3的导数。
解：f'(x) = 3x^2。
三、微分微分是导数的逆运算，它描述了一个函数在某一点的微小变化。
记作df(x) = f'(x)dx。
例3：求f(x) = x^3的微分。
解：df(x) = 3x^2dx。
四、积分积分是微分的逆运算，它可以将一个函数的微小变化累积起来，得到这个函数的积分。
记作∫f(x)dx。
例4：求∫(x^2)dx。
解：∫(x^2)dx = (1/3)x^3+C，其中C为常数。
以上就是微积分的基本概念和技能，通过这些例题和答案，我们可以更好地理解和掌握这些概念和技能，为后续的学习和应用打下坚实的基础。
经济应用数学基础教案标题：经济应用数学基础教案一、文章类型与目标本文将提供一份全面的经济应用数学基础教案，旨在为教师提供教学指导，帮助学生掌握与经济相关的数学基础知识，为进一步学习经济学、金融学等专业课程打下坚实的基础。
二、关键词搜集与整理在整理关键词的过程中，我们将搜集以下词汇：数学符号、代数、微积分、概率论、统计、线性代数、微分方程、金融数学等。
这些关键词将有助于我们更好地组织文章结构和内容。
三、教案编写原则在编写经济应用数学基础教案时，我们将遵循以下原则：1、逻辑性：整体教案将按照知识点排列，遵循由浅入深的逻辑顺序，便于学生理解。
2、完整性：教案将涵盖所有必需的教学内容，确保学生能够全面掌握经济应用数学的基本知识。
3、适宜性：我们将根据学生的实际水平，适当调整教学内容和方法，以满足不同学生的学习需求。
四、教学设计思路我们将以以下思路进行教学设计：1、教学内容安排：按照逻辑顺序，将教学内容分为若干个模块，每个模块包含一系列相关知识点。
2、教学方法设计：采用多种教学方法，如课堂讲解、案例分析、小组讨论等，以帮助学生更好地理解和掌握知识。
3、教学资源利用：利用多媒体教学设备、在线资源等，丰富教学内容，提高教学效果。
4、评估方式设计：采用作业、测验、考试等多种评估方式，及时了解学生的学习情况，以便调整教学策略。
五、总结通过本文提供的经济应用数学基础教案，教师将能够更好地组织教学内容和活动，确保学生能够全面、深入地掌握数学基础知识。
该教案还将根据学生的实际水平进行调整，以满足不同学生的学习需求，为他们的未来学习和发展打下坚实的基础。
高等数学上册习题答案高等数学上册习题答案详解一、课程简介高等数学上册是数学专业的一门基础课程，主要涉及微积分、常微分方程、离散数学、概率统计等内容。
本课程旨在帮助学生掌握基本的数学分析方法，培养其解决实际问题的能力。
二、关键词梳理1、极限2、导数3、微积分4、积分的计算5、常微分方程6、离散数学7、概率统计三、知识点回顾1、极限：理解极限的概念与性质，掌握求极限的方法。
2、导数：掌握导数的定义及性质，学会求函数的导数。
3、微积分：理解微积分的基本概念，掌握微积分的基本运算方法。
4、积分的计算：掌握积分的计算方法，会求解常见的积分问题。
5、常微分方程：了解常微分方程的基本概念，掌握常见的一阶和二阶常微分方程的解法。
6、离散数学：理解离散数学的基本概念，掌握图论的相关知识。
7、概率统计：理解概率统计的基本概念，掌握基本的统计方法。
四、习题答案1、求下列函数的极限： (1) limx→0sinxx； (2) limx→0ex-1x； (3) limx→+∞xsin1x。
解：(1)limx→0sinxx=1； (2)limx→0ex-1x=1；(3)limx→+∞xsin1x=0。
2、求下列函数的导数： (1) f(x)=2x3-3x2+1； (2) g(x)=exsinx。
解：(1)f'(x)=6x2-6x； (2)g'(x)=exsinx+excosx。
3、计算下列积分： (1)∫π20sinxdx； (2)∫10xdx； (3)∫π0sin2xdx。
解：(1)∫π20sinxdx=-cosx|π20=(-cosπ2)-(-cos0)=0-(-1)=1； (2)∫10xdx=(1/2)x2|10=(1/2)×12-02=1/2；(3)∫π0sin2xdx=∫π0(1-cos2x)/2dx=[x-(1/2)cos2x]|π0=[π-(1/2)cos2π]-[0-(1/2)cos0]=π-(1/2)×(0-1)=π+1/2。
4、解下列常微分方程： (1) dydt=t3y； (2) dydx=y2+xy+x2。
解：(1)分离变量得：dydt=t3y，即dydt-t3y=0。
解得：y=Ce-t3，其中C为任意常数。
(2)分离变量得：dyy2+xy+x2dx=dt，即dtdy-y2-xy-x2=0。
解得：ln|y|=-(1/3)ln|x|+(1/3)ln|t|+C1，即|y|=Cxe-(1/3)x。
化简得：(Cx-1/3)dy=dx。
两边同时积分得：Cy-ln|Cx-1/3|=x+C2，其中C为任意常数。
将C乘到等号右侧得：Cy-ln|Cx-1/3|=C2x+C，其中C为任意常数。
移项得：Cy=C2x+C+ln|Cx-1/3|，其中C为任意常数。
所以，方程的通解为：y=(C2x+C+ln|Cx-1/3|)/C，其中C为任意常数。
《机械设计基础》课后习题答案《机械设计基础》课后习题答案本文将为读者提供《机械设计基础》课程中部分课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和学习这门课程。
1、什么是机械？机械有哪些分类？机械是一种能够将能量、物质、信息等转换为有用形式的装置。
机械可以按照其用途、工作原理、组成部件等多种方式进行分类。
例如，按照用途可以分为化工机械、纺织机械、矿山机械等；按照工作原理可以分为热力机械、流体机械、传动机械等；按照组成部件可以分为发动机、减速器、联轴器等。
2、简述机械零件的常用材料及选用原则。
机械零件的常用材料包括金属材料、非金属材料和复合材料等。
金属材料包括钢、铸铁、铝合金等，其选用原则主要考虑力学性能、耐腐蚀性、加工性能等因素。
非金属材料包括橡胶、木材、塑料等，其选用原则主要考虑耐磨性、耐腐蚀性、抗老化性等因素。
复合材料则是由两种或两种以上不同材料组合而成的材料，其选用原则主要考虑材料的性能、成本、环保等因素。
3、简述机械零件的常用制造方法。
机械零件的常用制造方法包括铸造、锻造、冲压、焊接、切削加工、数控加工等。
其中，铸造是通过将液态金属浇注到铸型中，待其冷却凝固后形成所需形状的零件。
锻造是通过施加外力，使金属坯料变形，从而加工成所需形状的零件。
冲压是通过压力机将金属板料在模具中冲压成所需形状的零件。
焊接是通过加热或加压，使两个或两个以上的零件焊接在一起。
切削加工是通过刀具将工件切削掉一部分，从而加工成所需形状的零件。
数控加工则是通过数控编程和自动化技术，实现高效、高精度的加工。
4、简述机械零件的常用连接方法。
机械零件的常用连接方法包括焊接、螺栓连接、销连接、键连接等。
其中，焊接是最常用的连接方法之一，通过加热使金属熔化，从而使两个或多个零件连接在一起。
螺栓连接是通过螺栓穿过两个或多个零件的孔，再通过螺母拧紧来实现连接。
销连接是通过圆柱形销钉穿过两个零件的孔来实现连接。
键连接则是通过键与轴和轮毂的紧密结合来实现连接。
5、简述机械传动的作用和种类。
机械传动的作用是将原动机的运动和动力传递给工作机构，使其实现所需的工作。
机械传动的种类包括齿轮传动、链传动、带传动、蜗杆传动等。
其中，齿轮传动是最常用的传动方式之一，通过齿轮的啮合实现运动和动力的传递。
链传动是通过链条与链轮的啮合实现运动和动力的传递。
带传动则是通过带与带轮的啮合实现运动和动力的传递。
蜗杆传动则是通过蜗杆与蜗轮的啮合实现运动和动力的传递。
6、简述机构简图的绘制步骤和方法。
绘制机构简图需要遵循以下步骤和方法：首先，确定机构的运动类型和运动形式；其次，根据机构的工作原理和结构特点，选择适当的视图角度，绘制出机构的示意图；然后，根据机构的运动关系和尺寸关系，绘制出机构的简图；最后，根据需要添加标注和说明。
通过以上习题的答案，我们可以了解到机械的基本概念、机械零件的常用材料及制造方法、连接方法和传动种类等基础知识。
这些知识对于学习机械设计基础课程具有重要意义，有助于我们更好地理解机械的工作原理和设计方法。
《计算机网络》课后习题答案《计算机网络》课后习题答案1、什么是计算机网络？它有哪些功能和组成？计算机网络是一种通过通信线路和设备连接多个计算机系统的集合。
它具有资源共享、信息交换、分布处理等功能，能够提高计算机系统的可靠性和效率。
计算机网络由通信设备、传输介质、协议和软件等组成，可以满足不同领域的应用需求。
2、简述OSI参考模型，并说明其在计算机网络中的作用。
OSI参考模型（Open Systems Interconnection Reference Model）是一种网络通信的标准化模型，它定义了在网络中实现数据通信所需的七个层次的结构和功能。
OSI参考模型的作用是提供一种通用的框架，使得不同的计算机系统可以在这个框架下进行无缝通信。
3、什么是IP地址？它有哪些类型？如何进行IP地址的配置？IP地址是用于唯一标识网络中主机或设备的32位二进制数字。
根据IP地址的不同特性，可以将其分为A、B、C、D、E五类，其中常用的是A、B、C三类。
IP地址的配置可以通过手动设置或通过DHCP协议自动分配实现。
4、解释以下计算机网络术语：(1) 集线器集线器是一种网络设备，它可以将多个网络设备连接在一起，并可以将接收到的信号放大后发送给其他设备。
(2) 网关网关是一种网络设备，它可以连接不同的网络，并能够将数据从一个网络传输到另一个网络。