习题五 代数系统
离散数学习题选讲
从 A − B 中选择那些向下可达 B 中每一个元素的结点，它们都是 B 的上界，其中的 最小元是 B 的最小上界，类似地可以确定 B 的最大上界。
离散数学习题选讲
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第五章 代数系统的一般性质
如果给定了两个以上的运算，在讨论封闭性时要分别对每个运算讨论。
容易验证本题中的 6 个函数全是实数集 R 上的二元运算，它们的可交换性、结合性、
幺元和零元的判别结果如下：
函数
交换
结合
么元
零元
f1
√
√
为0
×
f2
×
×
×
×
f3
√
√
为1
为0
f4
√
√
×
×
f5
√
√
×
×
f6
√
×
×
×
离散数学习题选讲
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第六章 几个典型的代数系统
有的结点检查完毕，就得
到 G′ 。以本题为例。图（1） 表示 R 的关系图 G 。依次
检查结点 1、2、3、4。从 1 出发，沿环走 2 步仍回
到 1。所以， G′ 中有过 1
的环。从 1 出发，经过 <1,1>和<1,4>，2 步可达
4。所以 G′ 中有从 1 到 4
的边。结点 1 检查完毕。 类似地检查其它 3 个结点。2 步长的路径还有 2→1→1，2→1→4,3→4→1,4→1→1,4→1→4。
前提引入
② ∃y(F ( y) → G( y))
①EG
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题一、填空题（每空2分，共20分）1、集合A上的偏序关系的三个性质是、和。
2、一个集合的幂集是指。
3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A⋃B= 。
4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A⋂B= 。
5、若A是2元集合, 则2A有个元素。
6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则2*3= 。
7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。
8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元，是乘法的幂等元。
9、设a,b,c是阿贝尔群<G,+>的元素，则-(a+b+c)= 。
10、一个图的哈密尔顿路是。
11、不能再分解的命题称为，至少包含一个联结词的命题称为。
12、命题是。
13、如果p表示王强是一名大学生，则┐p表示。
14、与一个个体相关联的谓词叫做。
15、量词分两种：和。
16、设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的。
17、集合上的三种特殊元是、及。
18、设A={a, b}，则ρ(A) 的四个元素分别是：，，，。
19、代数系统是指由及其上的或组成的系统。
20、设<L,*1,*2>是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足、，并且*1和*2满足，则称<L,*1,*2>是格。
21、集合A={a,b,c,d}，B={b }，则A \ B= 。
22、设A={1, 2}, 则∣A∣= 。
23、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示，入度deg-(v)表示以。
24、一个图的欧拉回路是。
25、不含回路的连通图是。
26、不与任何结点相邻接的结点称为。
27、推理理论中的四个推理规则是、、、。
二、判断题（每题2分，共20分）1、空集是唯一的。
2、对任意的集合A，A包含A。
3、恒等关系不是对称的，也不是反对称的。
4、集合{1,2,3,3}和{1,2,2,3}是同一集合。
应用离散数学代数结构群题库试卷习题及答案
§4.3 群习题4.31. 设G 是所有形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a 的矩阵组成的集合， *表示矩阵乘法。
试问>*<，G 是半群吗？是有么半群吗？这里1211a a 、是实数。
解 任取G 中的2个元素=A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a 、=B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛001211b b 、 ∵=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛0012111111b a b a G ∈ ∴ >*<，G 是一个代数系统。
且因为矩阵的乘法满足结合律，所以>*<，G 是半群。
又因为，只要11a ＝1，则=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a *⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛001211b b B = 对任何的G B ∈成立，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛00112a 是左单位元（不论12a 取什么值）。
但右单位元不存在，因为不论11b ，12b 取什么值，=*B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001211b b ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0012111111b a b a ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛001111a a B = 不可能对任何的G A ∈成立。
所以单位元不存在（事实上，若单位元存在，则左、右单位元都存在且相等还唯一），所以>*<，G 不是有么半群。
2. 在自然数集合N 上定义运算∨和∧如下：}max{b a b a ，=∨，}min{b a b a ，=∧试问>∨<，N 和>∧<，N 是半群吗？是有么半群吗？ 解>∨<，N 是半群，有单位元0，是有幺半群。
>∧<，N 是半群，没有单位元，不是有幺半群。
3. 设Z 为整数集合，在Z 上定义二元运算*如下：Z ∈∀-+=*y x y x y x ，，2问Z 关于运算*能否构成群？为什么？ 解（1）整数集合Z 非空。
离散数学课后知识题目解析二
习题3.71. 列出关系}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z 中所有有序4元组。
解}6|{=⋅⋅⋅∈><+d c b a d c b a d c b a 且，，，，，，Z ,2,1,3,1,3,1,2,1,2,3,1,1,3,2,1,1,1,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,6,1,1,1{><><><><><><><><=><><><><><><><><2,1,1,3,3,1,1,2,1,2,1,3,1,3,1,2,1,1,2,3,1,1,3,2,1,2,3,1,1,3,2,12. 列出二维表3.18所表示的多元关系中所有5元组。
假设不增加新的5元组，找出二维表3.18所有的主键码。
解 略3. 当施用投影运算5,3,2π到有序5元组><d c b a ，，，时你能得到什么？解 略4. 哪个投影运算用于除去一个6元组的第一、第二和第四个分量？ 解 略5. 给出分别施用投影运算4,2,1π和选择运算Nadir航空公司＝σ到二维表3.18以后得到的表。
解5,3,2πNadir航空公司＝6. 把连接运算3J用到5元组二维表和8元组二维表后所得二维表中有序多元组有多少个分量？解略7. 构造把连接运算2J用到二维表3.19和二维表3.20所得到的二维表。
2第4章：群、环、域习题4.11. 判断下列集合对所给的二元运算是否封闭。
（1）集合}|{Z Z ∈⨯=z z n n 关于普通加法和普通乘法运算，其中n 是正整数。
（2）集合}12|{+∈-==Z n n x x S ，关于普通加法和普通乘法运算。
（3）集合}10{，=S 关于普通加法和普通乘法运算。
离散习题(附答案) (7)
习题7.11.设Z是整数集合，Z上的二元运算*定义为：a*b=ab+2(a+b+1)。
证明代数系统<Z,*>是半群。
证明：由于任意两个整数经加、减、乘运算后，其结果仍然是整数。
所以运算*对于是封闭的。
现证*是可结合运算。
由于(a*b)*c=(ab+2(a+b+1))*c=(ab+2(a+b+1))c+2(ab+2(a+b+1)+c+1)=abc+2ac+2bc+2c+2ab+4a+4b+2c+6=abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+6a*(b*c)=a*(bc+2(b+c+1))=a(bc+2(b+c+1))+2(a+bc+2(b+c+1)+1)=abc+2ab+2ac+2a+2a+2bc+4b+4c+6=abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+6所以(a*b)*c=a*(b*c)。
由此证得*是可结合运算，<Z,*>是半群。
在证明*是可结合运算时，还可先把*的定义改写如下：a*b=ab+2(a+b+1)=ab+2a+2b+2=a(b+2)+2(b+2)−2=(a+2)(b+2)−2从而有(a*b)*c=((a +2)(b+2)−2)*c=(((a +2)(b+2)−2)+2)(c+2)−2=(a +2)(b+2)(c +2)−2a*(b*c)=a*((b +2)(c+2)−2)=(a +2)(((b +2)(c+2)−2)+2)−2=(a +2)(b+2)(c +2)−2于是(a*b)*c=a*(b*c)。
显然，上述证明方法，不仅简明清晰，而且可以对运算过程和运算结果有较好的把握和预测，避免了盲目性。
2.写出独异点<A,*>的所有子独异点，其中A=⎨1,2,3,4,5⎬，a*b=max(a,b)。
解：对于A中任意元素a，都有1*a=a*1=max(a,1)=a所以1是独异点<A,*>的幺元。
由于<A,*>的子独异点必须与<A,*>有相同的幺元，因此，<A,*>的所有子独异点分别为<⎨1⎬,*>，<⎨1,2⎬,*>，<⎨1,3⎬,*>，<⎨1,4⎬,*>，<⎨1,5⎬,*>，<⎨1,2,3⎬,*>，<⎨1,2,4⎬,*>，<⎨1,2,5⎬,*>，<⎨1,3,4⎬,*>，<⎨1,3,5⎬,*>，<⎨1,4,5⎬,*>，<⎨1,2,3,4⎬,*>，<⎨1,2,3,5⎬,*>，<⎨1,2,4,5⎬,*>，<⎨1,3,4,5⎬,*>，<A,*>。
《离散数学》复习题专升本
《离散数学》复习题（专升本）一、填空题1、设（N ：自然数集，E + 正偶数） 则=⋃B A。
2、A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3、设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4、公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。
5、若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。
6、设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7、设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
A BC8、图的补图为。
9、设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：* a b cda b c d a b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。
10、下图所示的偏序集中，是格的为。
11、选择合适的论域和谓词表达集合A=“直角坐标系中，单位元（不包括单位圆周）的点集”则A= 。
12、集合A={Φ,{Φ}}的幂集P(A) = 。
13、设A={1，2，3，4}，A上二元关系R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>}画出R的关系图。
14、设A={<1,2>,<2 , 4 >,<3 , 3 >} , B={<1,3>,<2,4>,<4,2>},则B A ⋃= 。
B A ο= 。
15、设|A|=3，则A 上有 个二元关系。
16、A={1，2，3}上关系R= 时，R 既是对称的又是反对称的。
17、偏序集><≤R A ,的哈斯图为，则≤R = 。
18、设|X|=n ，|Y|=m 则（1）从X 到Y 有 个不同的函数。
近世代数2
第九章 特殊的代数系统习题1. 判断下列运算关于自然数集合是否构成半群：⑴},max{b a b a = ； ⑵b b a = ；⑶ab b a 2= ；⑷b a b a -= 。
解 ⑴是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，,,,N c b a ∈∀有(){}{}c b a c b a c b a ,,m ax ,m ax == ，而(){}{}c b a c b a c b a ,,max ,max == ，因此，()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律的，故>< ,N 是半群；⑵是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()c c b c b a == ，而()c c a c b a == ，则()()c b a c b a =，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群；⑶是半群。
显然，二元运算“ ”在N 上是封闭的， 所以，>< ,N 是一个代数系统，另一方面，N c b a ∈∀,,，有()abc c ab c ab c b a 4)2(2)2(=== ，()()abc bc a bc a c b a 422)2(=== ，即()()c b a c b a = ，所以，运算“ ”满足结合律，故>< ,N 是半群。
⑷不是半群。
虽然，二元运算“ ”在N 上是封闭的，即>< ,N 是一个代数系统，但是 对于5，3，6，因为，()4635635635=--=-= ，而2635635)63(5=--=-= ，即())63(5635 ≠，所以，运算“ ”不满足结合律，故>< ,N 不是半群。
2 在实数集R 上的二元运算定义为：),(R b a ab b a b a ∈++=试判断下列论断是否正确：⑴>< ,R 是一个代数系统； ⑵>< ,R 是一个半群； ⑶>< ,R 是一个独异点。
《离散数学》总复习上课讲义
第3章 集合的基本概念和运算
3.1 集合的基本概念 3.2 集合的基本运算（重点） 3.3 集合中元素的计数（容斥原理是重点）
3.1 集合的基本概念
元素x与集合A的关系：属于xA，不属于xA 集合A与集合B的关系：习题3.2, 3.8, 3.12, 3.16
构造性二难
(AB)(AB)(AA) B 构造性二难(特殊形式)
(AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
习题1.18, 1.21, 1.17(2)。六1
注意事项1：命题
只有能确定真假(但不能可真可假)的陈述句才是 命题. 不管是正确的观点, 还是错误的观点, 都 是命题. 猜想和预言是命题, 如哥德巴赫猜想.
pq为假当且仅当 p 为真 q 为假，即 当p为假时，pq为真(不管q为真, 还是为假); 当q为真时，pq为真(不管p为真, 还是为假). 习题1.5(6)(7)
了解概念、掌握方法
真值表、命题公式类型 所有等值的含n个命题变项的公式对应同一
个n元真值函数F:{0,1}n{0,1}；哑元 最小联结词组 对偶式与对偶原理 简单析取式、简单合取式 析取范式与合取范式 附加前提证明法、反证法
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B x(BA(x))BxA(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意事项1：前束范式（重点）
设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q(11xi1Qk2)x为2…或Qkx，kBB, 则为称不A含为量前词束的范公式式, 其. 中Qi
重要的推理定律 第一组 命题逻辑推理定律代换实例 第二组 由基本等值式生成（置换规则） 第三组 xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))
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习题五代数系统
一、选择题
1、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）
A．a*b=a-b B．a*b=max{a,b}C．a*b=a+2b D．a*b=|a-b|
2、下列运算中关于整数集不能构成半群的是（）.
A．a b=max{a, b} B．a b=b
C．a b=2ab D．a b=|a-b|
3、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的
合取运算，则G的幺元是（）.
A．矛盾式B．重言式C．可满足式D．公式p∧q
4、设群G=<A,*>中,A的元素个数大于1，若元素a∈A的逆元素为b∈A，则a*b 的运算结果是( ).
A.a
B.b
C.G中零元素
D.G中幺元
5、若(A，*)是一个代数系统，且满足结合律，则(A，*)必为( ).
A.半群
B.独异点
C.群
D.可结合代数
6、对于一个代数系统,以下命题成立的是( ).。
A.每个元素必有左逆元
B.一个元素有左逆元,则它也是右逆元
C.一个元素的左右逆元不一定相等
D.一个元素的左逆元存在时必唯一
7、设*是集合A上的二元运算，称Z是A上关于运算*的零元，若（）.
A．有x*Z=Z*x=Z B．Z A，且有x*Z=Z*x=Z C．Z A，且有x*Z=Z*x=x D．Z A，且有x*Z=Z*x=Z 8、设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，
∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( ).
A.〈Z，+，/〉
B.〈Z，/〉
C.〈Z，-，/〉
D.〈P(A)，∩〉
9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( ).
A. G中有幺元
B. G中有零元
C. G中任一元素有逆元
D. G中除了幺元外无其他幂等元
10、下列集合关于所给定的运算成为群的是（）.
A．已给实数a的正整数次幂的全体，且a{0，1，-1}，关于数的乘法
B．所有非负整数的集合，关于数的加法
C．所有正有理数的集合，关于数的乘法
D．实数集，关于数的除法
二、填空题
1、设Z是整数集，在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b，其中+和·是数的加法和乘法，则代数系统<Z,*>的幺元是，零元是.
2、<，〉是模6加群， 则它的生成元是 ，24= .
3、对实数的普通加法和乘法，____________是加法的幂等元，____________是乘法的幂等元.
4、设A={1,5,8}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是____________，零元是____________。
5、令A={a, b, c}，<A, *>是循环群，a 是单位元，b 是生成元，则b 2=________________，c 的阶是________________.
6、设Q 为有理数集，笛卡尔集S=Q ×Q ，*是S 上的二元运算，<a, b>,<x, y>∈S, <a, b>*<x, y>=<ax, y+b>, 则*运算的幺元是________________.<a, b>∈S, 若a ≠0，则<a, b>的逆元是________________.
7、设<S ，*>是群，则<S ，*>满足结合律和______________；若｜S ｜>l ，S 中不
可能有______________.
8、设Z 是整数集，+是整数加法运算，则<Z,+>是群，其幺元是_____，对任一整数i,其逆元是_____.
9、代数系统<A,.>，其中A 为命题公式集合，.为析取运算，则<A ，.>中零元素是____，幺元是____.
10、设*是集合S 上的二元运算，若运算*满足________________且存在________________，则称<S ，*>为独异点。
三、计算题
1、设A={a,b,c }，P （A ）是A 的幂集，是集合对称差运算。
已知<P(A),>是群。
在群<P(A),>中，①找出其幺元。
②找出任一元素的逆元。
③求元素x 使满足{a}x={b}
四、证明题
1、设<G ，*>为一群。
证明：
（1）若对任意a ∈G 有a 2 =e ，e 为幺元，则G 为阿贝尔群。
（2）若对任意a ，b ∈G 有(a *b)2 =a 2*b 2 ，则G 为阿贝尔群。
2、设R 是实数集合，}0{*-=R R ，在R R ⨯*上定义二元运算 为：()()()d bc ac d c b a +=,,, ，试证明>⨯< ,*R R 是一个群。
3、设I 是整数集合，＋是普通加法，试证明>+<,I 是一个群。
>+<,I 是否循环群。
4、I 上的二元运算*定义为：∀a,b ∈I ，a*b=a+b-2。
试证：<I,*>为群。
5、设<G ，*>是一个群，x ∈G ，定义：a b=a*x*b ，a,b ∈G .证明：<G , >也是一个群.。