古典概型与几何概型
古典概型与几何概型的异同点
古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。
若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。
2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。
它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。
二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。
2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。
三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。
2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。
而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。
3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。
而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。
4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。
而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。
5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。
而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。
6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。
而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。
7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。
四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。
这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。
古典概型与几何概型的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师,理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念,下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍.一、古典概型和几何概型的意义（一）。
几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。
1。
几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．．．．。
（2)每个基本事件出现的可能性相等．．．．．。
2。
几何概型求事件A的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二) 古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点:（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．．．。
（2）每个基本事件出现的可能性相等．．．．．.2。
古典概型求事件A的概率公式：P（A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。
三。
利用不同概率模型，培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球,这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球,小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明:第一组题是古典概型,（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；(2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。
§14.5 古典概型与几何概型
π
=1- .
4
4
此满足条件的概率是
11
目录
【易错自纠】
4. 掷一个骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示“小于 5 的点
−
数出现”,则一次试验中,事件 A+发生的概率为
2
3
.
2 1
6 3
4 2
6 3
−
− 1 1 2
P(A+)=P(A)+P()= + = .
4
目录
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
只有有限个
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件____________.
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性_____.
相等
(3)如果一次试验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相
1
等,那么每一个基本事件的概率都是 ;如果某个事件 A 包括的结果有 m 个,那么事
24
目录
点拨 求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典
概型的有关知识解决,一般步骤如下:
(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;
(2)判断事件是否为古典概型;
(3)选用合适的方法确定基本事件个数;
(4)代入古典概型的概率公式求解.
25
目录
考点3 几何概型
【考向变换】
考向1 与长度(角度)有关的几何概型
构成事件的区域长度(面积或体积)
.
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
6
目录
拓展知识
(1)对古典概型的理解
①一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性
1.3_古典概型与几何概型
种取法.
摸球模型 (1) 无放回地摸球 问题1 设袋中有4 只白球和 2只黑球, 现从 袋中无放回地依次摸出2只球,求这2只球都 是白球的概率. 解 设 A = {摸得 2 只球都是白球}, 基本事件总数为 6×5 A 所包含基本事件的个数为 4 × 3 4×3 2 故 P( A) = = . 6×5 5
5 8 1 4 6 9 3 10 7
设 随机试验E 具有下列特点： 概率的 基本事件的个数有限 古典定义 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型
古典概型中事件概率的计算
摸到2号球 记 A={摸到 号球 摸到 号球} P(A)=?
2
P(A)=1/10
摸到红球} 记 B={摸到红球 摸到红球 P(B)=?
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 某城市每周发生7次车祸， 某城市每周发生 次车祸，假设每天发生 次车ห้องสมุดไป่ตู้ 车祸的概率相同. 车祸的概率相同. 求每天恰好发生一次车祸 的概率. 的概率 车祸 天
几何概型 (等可能概型的推广)
如果一个随机试验的样本空间 Ω 是一个大小 可以度量的几何区域。向区域内任意投一点， 落在区域内任意点处都是“等可能的”，则 称这类随机试验为几何概型。
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个人， 有n个人，设每个人的生日是任一天的概 个人 率为1/365. 求这n (n ≤365)个人的生日互不相 率为 求这 个人的生日互不相 同的概率. 同的概率 人 任一天
2、许多表面上提法不同的问题实质上属于同 、 一类型： 一类型： 个旅客， 个车站 有n个旅客，乘火车途经 个车站，设每 个旅客 乘火车途经N个车 个人在每站下车的概率为1/ 个人在每站下车的概率为 N(N ≥ n) ，求指 定的n个站各有一人下车的概率 定的 个站各有一人下车的概率. 个站各有一人下车的概率 旅客 车站
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型【知识要点】一、古典概型1、基本事件（1）基本事件的定义一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件我们称为基本事件. （2）基本事件的特点①任意两个基本事件都是互斥的.②任何事件都可以表示成基本事件的和.2、古典概型（1）古典概型的定义我们将具有上述这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的特征古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有以下两个：①有限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，或者说在一次试验中，只有有限个不同的基本事件.②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的.【注】古典概型必须满足两个条件：①有限性；②等可能性，只有这两个条件都满足时才是古典概型.3、基本事件数的探求方法（1）列举法：此法适合于较简单的试验.（2）树状图法：此法是一种常用方法，适合于较复杂问题中基本事件的探求. 4、有放回的抽样与无放回的抽样在古典概型的概率计算中，将涉及两种不同的抽样方法，下面举例来说明. 设一个口袋内有n 个不同的球，现从袋内依次摸球，且每次只摸一只，则有如下两种摸球的方法： （1）有放回的抽样每次摸出一只后，放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样. 显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复出现，且摸球可以无限次地进行下去. （2）无放回的抽样每次摸出一只后，不放回袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次.5、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件A 的概率的计算公式如下：()A mP A n=事件所包含的基本事件的个数试验的基本事件的总数.【注1】()mP A n=既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法. 求()P A 时，要首先判断是否是古典概型，具体计算步骤如下： Step 1：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； Step 2：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；Step 3：分别求出“试验的基本事件的总数n”与“事件A所包含的基本事件的个数m”；Step 4：利用公式()mP An=，求出事件A的概率.【注2】在公式()()()P A B P A P B⋃=+中，事件A与事件B是互斥事件；而在公式()()()()P A B P A P B P A B⋃=+-⋂中，事件A与事件B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件. 因此，在使用这两个公式时，首先要根据题意判断事件A与事件B是否为互斥事件，然后选择正确的公式进行计算.二、几何概型1、几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的面积（体积或长度）成比例，则我们把这样的概率模型称为几何概率模型，简称几何概型.2、几何概型的特征几何概型是另一种特殊的概率模型，其特征有以下两个：①无限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果有无限多个，或者说在一次试验中，有无限多个不同的基本事件.②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的.【注】由古典概型与几何概型的特征可见，用几何概型求解概率问题的思路与古典概型是相同的，同属于“比例解法”，即随机事件A的概率可以用“事件A所包含的基本事件所占的图形面积（体积或长度）”与“基本事件所占的总面积（体积或长度）”之比来表示.3、几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下：()AA S P A =Ω构成事件的区域的面积（体积或长度）试验的全部结果所构成的区域的面积（体积或长度）.4、古典概型与几何概型的异同 （1）相同点古典概型与几何概型中，每个基本事件发生的可能性都是相等的. （2）不同点古典概型要求：试验的基本事件只有有限个；而几何概型要求：试验的基本事件有无限多个.【例题选讲】题型一、求古典概型的概率例1、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）A. 13B. 12C. 23D. 34【解析】甲、乙两位同学参加3个兴趣小组的所有可能有33=9⨯（种） 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的情况有3（种）则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率31=93P =故选A例2、在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期. 现从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为__________.（结果用最简分数表示）【解析】设所取2瓶饮料都未过保质期为事件A则2272302726272611721()3029302914521CP AC⨯⨯⨯====⨯⨯⨯故至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为11728 1()1145145 P A-=-=例3、考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于__________.【解析】如图所示，设点A，B，C，D，E，F分别是正方体下底面、上底面、左侧面、右侧面、前侧面、后侧面的中心甲从这6个点中任选两个点连成直线，有2615C=种不同的取法乙从这6个点中任选两个点连成直线，也有2615C=种不同的取法于是甲、乙从这6个点中任选两个点连成直线，共有22661515225C C⋅=⨯=种不同的取法又∵所得的两条直线相互平行但不重合的有AC DB，AD CB，AE BF，AF BE，CE DF，CF DE∴甲、乙连得的两条直线相互平行但不重合的，有12种不同的取法故所得的两条直线相互平行但不重合的概率12422575 P==题型二、求几何概型的概率例4、如图所示，在矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于（ ）A.14 B. 13 C. 12 D. 23【解析】设点Q 取自ABE ∆内部为事件A则点Q 取自ABE ∆内部的概率为112()2ABE ABCDAB ADS P A S AB AD ∆⋅===⋅矩形 故选C例5、在区间[1,1]-上随机取一个数x ，则cos 2x π的值介于0到12之间的概率为__________. 【解析】要使10cos22xπ≤≤，[1,1]x ∀∈- 由余弦函数的图像可知，223xπππ-≤≤-或322xπππ≤≤⇒ 213x -≤≤-或213x ≤≤于是满足题意的x 的区间长度为23而区间[1,1]-的总长度为2故对于区间[1,1]-上的数x ，使cos 2x π的值介于0到12之间的概率为21323P ==ABD例6、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则周末去打篮球；否则，在家看书. 则小波周末不在家看书的概率为__________.【解析】“周末不在家看书”包括“周末去看电影”和“周末去打篮球”两种情况，且这两种情况是互斥事件设小波周末去看电影为事件A，周末去打篮球为事件B则222131()324()14P Aπππππ⨯-⨯===⨯，2211()1164()116P Bππππ⨯===⨯故小波周末不在家看书的概率为3113 ()()41616 P P A P B=+=+=。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型【知识点梳理】一、古典概型1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件。
基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。
基本事件有以下两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等可能性事件3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等。
4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事件A包含的基本事件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n=。
二、几何概型1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。
2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。
3. 几何概型事件的概率计算公式：积）的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)(【典型例题分析】题型一、古典概型的概率求法例1.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案。
如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。
假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是_________.例2.在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期。
从中任取2瓶，取到已过保质期的饮料的概率是_______.例3. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，观察落地后的情形（1）写出这个试验的所有的基本事件；（2）“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”这一事件包含了哪几个基本事件？（3）求事件“出现一枚正面朝上，两枚反面朝上”的概率。
古典概型与几何概型
＊对应演练＊
（1）如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一 个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工 作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 求该地点无 信号的概率是多少？ A． B．
C．
D．
（2）已知棱长为2的正方体有一内切球.若在正方 体内任取一点，求这一点不在球内的概率？
小结
1. 求古典概型的概率的基本步骤为：
(1) 设所求的事件为A；
(2)算出所有基本事件的个数n；
(3)求出事件A包含的所有基本事件数m；
（4）代入公式，求出P(A).
2.几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积， 在解题时要几何概型的区别（基本事件的有限性 和无限性），正确选用几何概型解题.
用图表和列举法解决古典概型问题显得更加直观、 清晰，这种方法可有效地防止重复和遗漏，不失为一种 好的方法，随机试验和事件的结果等都尽收眼底，大家 要好好把握这种方法.
知识点三 几何概型 例2.已知某地铁列车每5分钟一班,在车站停1分钟,求
乘客到达站台立即上车的概率.
【分析】乘客必须在6分钟内的某一时刻到达才能 上车, 或者必须在最后的1分钟内的某一时刻到达才能 立即上车,乘客在某一时刻到达站台都是一个基本事件, 而这基本事件是无限的,于是不能用古典概型计算,应考 虑用几何概型计算.
知识点一 基本事件辨析 判断下列试验是否为古典概型
(1)种下一粒种子观察它是否会发芽;
(2)从直径为250mm~250.6mm的一批合格产品中任意 抽一根，测量其直径d; （3）抛一枚硬币，观察其出现正面或反面向上； （4）某人射击中靶或不中靶；
弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解
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古典概型与几何概型
古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。
本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
1. 古典概型
古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。
简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。
比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。
古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。
它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。
古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。
2. 几何概型
几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。
与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。
几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。
几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。
在
几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。
几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。
3. 古典概型与几何概型的联系与区别
古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。
但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。
古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。
而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。
古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。
例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。
4. 古典概型与几何概型的应用举例
古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。
以下举两个例子进行说明：
（1）例子1：投掷两个均匀的骰子，求两个骰子之和为7的概率。
这是一个典型的古典概型问题。
由于每个骰子的点数出现的概率都是1/6，所以两个骰子之和为7的概率可以计算为1/6。
（2）例子2：求半径为2的圆内接正方形的面积。
这是一个典型的几何概型问题。
我们可以通过计算正方形的面积来求解。
假设正方形的边长为x，则正方形的面积为x^2。
由于正方形是圆的内接正方形，所以正方形的对角线等于圆的直径，即2x = 2r，其中r为圆的半径。
解方程得到x = r，所以正方形的面积为r^2。
因此，半径为2的圆内接正方形的面积为4。
通过以上两个例子可以看出，古典概型和几何概型在解决实际问题时具有很强的实用性和灵活性。
无论是离散型还是连续型随机变量，我们都可以通过运用古典概型和几何概型的知识，来求解概率、期望值和面积等问题。
总结起来，古典概型和几何概型是概率论中的重要概念，它们分别适用于离散型和连续型随机变量的分析。
古典概型强调每个基本事件的概率相等，而几何概型则描述了试验结果在几何空间中的分布情况。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的概型进行分析和计算，以求解概率、期望值和面积等问题。