三角函数的图象与性质综合练习题(基础、好用、值得收藏)

三角函数的图象与性质综合练习题一、选择题
1．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π
3对称的函数是()
A．y＝2sin(2x＋π
3) B．y＝2sin(2x－
π
6)
C．y＝2sin(x
2＋π
3) D．y＝2sin(2x－
π
3)
2．函数y＝tan(π
4－x)的定义域是()
A．{x|x≠π
4} B．{x|x≠kπ＋
π
4，k∈Z}
C．{x|x≠－π
4} D．{x|x≠kπ＋
3π
4，k∈Z}
3．设函数f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|，则f(x)为()
A．周期函数，最小正周期为2π3
B．周期函数，最小正周期为π3
C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数
4．已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，设a＝f(π
7)，b＝f(
π
6)，c＝f(
π
3)，则a，b，c的大小
关系是()
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期
为6π，，且当x＝π
2时，f(x)取得最大值，则()
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题
6． 已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．
7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，
若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．
8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，给出下列四个命题：
①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；
②f (x )的最小正周期是2π；
③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；
④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．
其中真命题是________．
三、解答题
9．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，
(1)求f (π4)的值；
(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．
10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8，
(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
11．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.
(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．
解析及答案
一、选择题
1．【解析】 函数的最小正周期为π，排除C.
又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2.
代入检验知选B.
【答案】 B
2．【解析】 y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，
由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠k π＋3π4，k ∈Z.
【答案】 D
3．【解析】 f (x )＝sin 3x ＋|sin 3x |＝⎩⎨⎧2sin 3x ，sin 3x ≥0，0，sin 3x ＜0，
周期不变． 【答案】 A
4．【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，
∴函数f (x )的图象关于直线x ＝
π6对称，从而f (π3
)＝f (0)， 又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b . 【答案】 B
5．【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13
， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z)．
∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.
∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．
令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，
则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z.
易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．
【答案】 A
二、填空题
6．【解析】 由于|α－β|的最小值为π3，
∴函数f (x )的周期T ＝43π，∴ω＝2πT ＝32.
【答案】 32
7．【解析】 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)．
由x ∈[0，π2]，得2x －π6∈[－π6，56π]，
所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，
所以f (x )∈[－32，3]．
【答案】 [－32，3]
8．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假
命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是
真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．
【答案】 ③④
三、解答题
9．【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，
∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.
(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2
＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12，
由x ∈[0，π2]，
得2x －π4∈[－π4，3π4]，
所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.
10．【解】 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z.
又－π＜φ＜0， ∴φ＝－34
π. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，
令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，
得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z.
因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，58π＋k π]，k ∈Z.
11．【解】(1)由x∈[0，π
2]，得2x＋
π
6∈[
π
6，
7π
6]．
∴sin(2x＋π
6)∈[－
1
2，1]，从而b≤f(x)≤3a＋b.
又∵－5≤f(x)≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋π
6)－1，
∴g(x)＝f(x＋π
2)＝－4sin(2x＋
7π
6)－1
＝4sin(2x＋π
6)－1，
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，
∴4sin(2x＋π
6)－1＞1，∴sin(2x＋
π
6)＞
1
2，
∴2kπ＋π
6＜2x＋
π
6＜2kπ＋
5π
6，k∈Z，
其中当2kπ＋π
6＜2x＋
π
6≤2kπ＋
π
2，k∈Z 时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋
π
6，k∈Z，
∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋π
6]，k∈Z.
又∵当2kπ＋π
2＜2x＋
π
6＜2kπ＋
5π
6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋
π
6＜x＜kπ＋
π
3，
k∈Z.
∴g(x)的单调减区间为(kπ＋π
6，kπ＋
π
3)，k∈Z.。