常微分方程教学设计
大学物理数学方法：常微分方程教学案例
大学物理数学方法：常微分方程教学案例1. 引言1.1 概述本篇长文旨在探讨大学物理数学方法中的常微分方程教学案例。
常微分方程作为数学物理学科中的重要内容之一，是解决各种自然现象和工程问题中的基础方法。
通过深入研究常微分方程解法方法以及相关教学案例，我们可以更好地理解和应用这一领域。
1.2 文章结构本文主要包括以下几个部分：概述、常微分方程基础知识、常微分方程解法方法、常微分方程教学案例分析和结论与展望。
其中，概述部分将介绍本文的主题和目标，并提供整体文章结构的概览。
1.3 目的本文的目的是通过对大学物理数学方法中常微分方程教学案例的研究，探讨如何有效地教授和应用这一领域知识。
通过针对不同难度级别和实际应用场景的案例分析，旨在提高读者对常微分方程解法方法的理解，并培养其应用知识于实际问题解决能力。
以上为"1. 引言" 部分内容。
2. 常微分方程基础知识:2.1 定义与分类:常微分方程是描述函数未知函数及其导数之间关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程：表示未知函数的导数只出现了一次。
例如，dy/dx = f(x)，其中y是未知函数，f(x)是已知函数。
高阶常微分方程：表示未知函数的导数出现多次。
例如，d^2y/dx^2 + p(x)(dy/dx) + q(x)y = g(x)，其中y是未知函数，p(x)，q(x)，g(x)均为已知函数。
2.2 初值问题与边值问题:在解常微分方程时，通常会遇到两种类型的问题：初值问题和边值问题。
初值问题：在给定一个初始点（x0, y0）时，需要找到该点处的一个解析解或者数值解。
例如，求解一阶常微分方程dy/dx = f(x)，满足初始条件y(x=x0) = y0。
边值问题：在给定两个边界点（a, ya）和（b, yb）时，需要找到这两个点之间满足特定条件的解析解或者数值解。
例如，求解二阶线性常微分方程d^2y/dx^2 = f(x)，满足边界条件y(x=a) = ya和y(x=b) = yb。
高中数学备课教案解常微分方程的方法总结
高中数学备课教案解常微分方程的方法总结高中数学备课教案：解常微分方程的方法总结一、前言在高中数学备课中，解常微分方程是一个重要的教学内容。
本文将总结常微分方程的解法，并提供相关的教学建议，以帮助教师在备课过程中更好地应对这一内容。
二、常微分方程基础知识回顾在解常微分方程之前，我们首先需要回顾常微分方程的基础知识。
1. 定义：常微分方程是指含有未知函数及其导数的方程。
2. 一阶常微分方程：常微分方程中最低阶导数为一阶导数的方程。
3. 解的存在唯一性定理：满足一定条件的初值问题常微分方程存在唯一解。
三、解常微分方程的方法总结解常微分方程的方法主要包括以下几种：1. 分离变量法分离变量法是解常微分方程中最常用的方法之一。
其基本思想是将方程中的未知函数和导数分离到等式的两边，再对两边进行积分，得到方程的通解。
2. 齐次方程法对于齐次方程，我们可以进行变量替换，将未知函数转化为新的函数，从而简化方程的形式。
这样一来，我们可以使用分离变量法来求解。
3. 恰当方程法对于一些特殊形式的常微分方程，如果可以找到一个函数，使得方程左右两边乘以这个函数后，变成一个全微分形式，那么我们就可以使用恰当方程法来解。
4. 变量替换法有时候，我们可以通过合理的变量替换，将原方程转化为一些已知的常微分方程，从而方便我们求解。
5. Bernoulli方程法对于一些形如y' + P(x) * y = Q(x) * y^n的方程，我们可以通过变量替换，将其转化为一阶线性方程，进而求解。
6. 常系数线性方程法对于一些形如y'' + ay' + by = f(x)的常系数线性方程，我们可以使用特征方程法求解。
7. 参数化方程法对于一些高阶常微分方程，我们可以通过参数化的方法将其转化为一组一阶常微分方程，从而求解。
四、教师备课建议在备课过程中，教师应注意以下几点：1. 基础知识的梳理：备课前，教师应对相关的基础知识进行复习和总结，确保自己对常微分方程的概念和解法有清晰的理解。
微分方程教案12页word
微分⽅程教案12页word微分⽅程的基本概念引⾔⼤家知道：⾼等数学的主要研究对象是函数，我们在前⾯的学习中，对于给定的函数()f x ，进⾏了微分运算和积分运算，那么函数⼜是如何得到的呢？我们可以对实验中得到的数据进⾏处理，从中发现规律得到函数，也就是采⽤数据拟合的⽅法。
然⽽有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，⽐如：我们的新型战机——歼⼆⼗战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。
寻找这些问题中变量之间函数关系的⽅法有很多，我们来介绍其中的⼀种——利⽤微分⽅程求解函数关系。
为此今天我们来学习微分⽅程的基本概念。
下⾯我们从⼀张图⽚开始来认识他们。
⼀、问题的提出我们注意到：歼—⼆⼗战机下降滑跑时，在跑道上会滑⾏⼀段距离。
因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑⾏跑道满⾜什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？那么，当机场跑道不⾜时，对它的着陆速度⼜有什么样的要求呢？对此，我们把它抽象成⼀般的数学问题：战机的安全着陆问题。
案例1 (战机的安全着陆) 我国新型战机——歼⼆⼗，质量为m ，以速度0v 着陆降落时，减速伞对飞机的阻⼒作⽤与降落时的速度成正⽐，此外飞机还受到另⼀个与时间成正⽐的阻⼒作⽤，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离⼩于跑道的长度。
对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进⾏分析,结合前⾯我们所学习的微分学知识以及⽜顿第⼆定律，这样便可建⽴运动⽅程。
解：设飞机质量为m ，着陆速度为0v ，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为()x t ，飞机的速度为()v t ，减速伞的阻⼒为()kv t ，其中k 为阻⼒系数。
根据⽜顿第⼆定律可得运动⽅程()dv m kv t kt dt =--，()dx v t dt= 从这个例⼦中，将这些等式和中学⾥我们所学的代数⽅程形式做⽐较，你有什么发现？⼆、微分⽅程的基本概念1、定义通过⽐较代数⽅程与微分⽅程，从代数⽅程的定义（含有未知量的等式）得到：含有未知函数的导数或微分的⽅程称为常微分⽅程，简称为微分⽅程，记为()(,,,,)0'=n F x y y y 。
常微分方程课程设计指导书
第4章 线性多步法4.1 线性多步法的一般公式前面给出了求解初值问题(1.2.1)的单步法，其特点是计算 时只用到的值，此时 的值均已算出.如果在计算 时除用 的值外，还用到的值，这就是多步法.若记,h 为步长，，则线性多步法可表示为(4.1.1)其中为常数，若(即不同时为零)，称(4.1.1)为线性k 步法.计算时用到前面已算出的k 个值.当时，(4.1.1)为显式多步方法，当则称(4.1.1)为隐式多步法.隐式方法与梯形方法一样，计算时要用迭代法求.多步法(4.1.1)的局部截断误差定义也与单步法类似.举例来说，对于初值问题'1,y y x =-++(0)1y =，步数k=2时，线性多步法表示为101111011(), 1,2,n n n n n n y y y h f f f n ααβββ+--+-=++++=当时，格式为显示的：10110111[(1)(1], 1,2,n n n n n n n y y y h y x y x n ααββ+---=++-+++-++=，而时，格式为隐式的：10111110111[(1)(1)(1], 1,2,n n n n n n n n n y y y h y x y x y x n ααβββ+--++--=++-+++-+++-++=。
定义4.1 设y(x)是初值问题(1.2.1)的精确解，线性多步法(4.1.1)在处的局部截断误差定义为(4.1.2)若，则称线性多步法(4.1.1)是p阶的.如果我们希望得到的多步法是p阶的，则可利用Taylor公式展开，将在处展开到阶，它可表示为(4.1.3)注意，(4.1.2)式按Taylor展开可得经整理比较系数可得(4.1.4)若线性多步法(4.1.1)为p阶，则可令于是得局部截断误差(4.1.5)右端第一项称为局部截断误差主项.称为误差常数.要使多步法(4.1.1)逼近初值问题(1.2.1),方法的阶p≥1,当p=1时，则，由(4.1.4)得(4.1.6)称为相容性条件.公式(4.1.1)当k=1时即为单步法，若,由(4.1.6)则得式(4.1.1)就是，即为Euler法.此时，方法为p=1阶.若，由得,为确定及，必须令,由(4.1.4)得及即为梯形法.此时(4.1.1)就是,由故p=2,方法是二阶的，与3.1节中给出的结果相同.实际上，当k给定后，则可利用(4.1.4)求出公式(4.1.1)中的系数及，并求得的表达式(4.1.5).4.2 Adams显式与隐式方法形如(4.2.1)的k步法称为 Adams 方法，当时为 Adams 显式方法，当时，称为Adams隐式方法.对初值问题(1.2.1)的方程两端从到积分得显然只要对右端的积分用插值求积公式，求积节点取为即可推出形如(4.2.1)的多步法，但这里我们仍采用Taylor展开的方法直接确定(4.2.1)的系数.对比(4.1.1)可知，此时，只要确定即可.现在若k=4且，即为4步的Adams显式方法其中为待定参数，若直接用(4.1.4)，可知此时自然成立，再令可得解此方程组得.由此得到于是得到四阶Adams显式方法及其余项为(4.2.2)(4.2.3)若，则可得到p=4的Adams隐式公式，则k=3并令，由(4.1.4)可得解得，而，于是得到四阶Adams隐式方法及余项为(4.2.4)(4.2.5)一般情形，k步Adams显式方法是k阶的，k=1即为Euler法，k=2为k=3时，.k步隐式方法是(k+1)阶公式，k=1为梯形法，k=2为三阶隐式Adams公式k步的Adams方法计算时必须先用其他方法求出前面k个初值才能按给定公式算出后面各点的值，它每步只需计算一个新的f值，计算量少，但改变步长时前面的也要跟着重算，不如单步法简便.例4.1 用四阶显式Adams方法及四阶隐式Adams方法解初值问题,步长h=0.1用到的初始值由精确解计算得到.解本题直接由公式(4.2.2)及(4.2.4)计算得到.对于显式方法，将直接代入式(4.2.2)得到其中.对于隐式方法，由式(4.2.4)可得到直接求出，而不用迭代，得到计算结果如表所示.表4-1 Adams方法和Adams隐式方法的数值解与精确解比较4.3 Adams预测-校正方法上述给出的Adams显式方法计算简单，但精度比隐式方法差，而隐式方法由于每步要做迭代，计算不方便.为了避免迭代，通常可将同阶的显式Adams方法与隐式Adams方法结合，组成预测-校正方法.以四阶方法为例，可用显式方法(4.2.2)计算初始近似，这个步骤称为预测(Predictor)，以P表示，接着计算f值(Evaluation),，这个步骤用E表示，然后用隐式公式(4.2.4)计算，称为校正(Corrector)，以C表示，最后再计算，为下一步计算做准备.整个算法如下：(4.3.1)公式(4.3.1)称为四阶Adams预测-校正方法(PECE).其matlab程序如下function y = DEYCJZ_adms(f, h,a,b,y0,varvec,type)format long;N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1);x = a:h:b;y(1) = y0;y(2) = y0+h*Funval(f,varvec,[x(1) y(1)]);y(3) = y(2)+h*Funval(f,varvec,[x(2) y(2)]);y(4) = y(3)+h*Funval(f,varvec,[x(3) y(3)]);for i=5:N+1v1 = Funval(f,varvec,[x(i-4) y(i-4)]);v2 = Funval(f,varvec,[x(i-3) y(i-3)]);v3 = Funval(f,varvec,[x(i-2) y(i-2)]);v4 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);t = y(i-1) + h*(55*v4 - 59*v3 + 37*v2 - 9*v1)/24;ft = Funval(f,varvec,[x(i) t]);y(i) = y(i-1)+h*(9*ft+19*v4-5*v3+v2)/24;endformat short;利用(4.2.2)和(4.2.4)的局部截断误差(4.2.3)和(4.2.5)可对预测-校正方法(4.3.1)进行修改，在(4.3.1)中的步骤P有对于步骤C有两式相减可得于是有若用代替上式,并令显然比更好，但注意到的表达式中是未知的，因此改为下面给出修正的预测-校正格式(PMECME).(4.3.2)经过修正后的PMECME格式比原来PECE格式提高一阶.4.4 Milne方法与 Hamming方法与Adams显式方法不同的另一类四阶显式方法的计算公式形如。
《常微分方程》教学计划
《常微分方程》教学计划一、教学目标1.了解常微分方程的基本概念和基本方法；2.掌握常微分方程的基本解法和应用；3.培养学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容1.基本概念（1）常微分方程的定义和分类；（2）初等函数和特殊函数的定义和性质。
2.一阶常微分方程（1）可分离变量的一阶常微分方程；（2）齐次方程；（3）一阶线性方程；（4）恰当方程；（5）可降阶的高阶微分方程。
3.二阶常微分方程（1）二阶齐次线性方程；（2）二阶非齐次线性方程；（3）常系数齐次线性方程的特征方程；（4）常系数非齐次线性方程的特解；（5）欧拉方程和狄利克雷方程。
4.高阶常微分方程（1）n阶齐次线性方程的基本性质；（2）n阶齐次线性方程的解法；（3）n阶非齐次线性方程的解法。
5.应用（1）常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用；（2）常微分方程在工程问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与演示相结合的教学方法，通过具体的例子来说明概念和解法；2.引导学生进行问题分析和解决策略的讨论；3.利用练习题和例题进行巩固和拓展知识。
四、教学计划1.第一周：基本概念和一阶常微分方程（1）讲解常微分方程的定义和分类；（2）介绍初等函数和特殊函数的性质；（3）讲解可分离变量的一阶常微分方程的解法。
2.第二周：一阶常微分方程的其他解法和应用（1）讲解齐次方程、一阶线性方程和恰当方程的解法；（2）介绍可降阶的高阶微分方程；（3）讲解常微分方程在物理、生物、经济等领域的应用。
3.第三周：二阶常微分方程（1）讲解二阶齐次线性方程的解法；（2）介绍二阶非齐次线性方程的解法；（3）讲解常系数齐次线性方程的特征方程；（4）介绍常系数非齐次线性方程的特解；（5）讲解欧拉方程和狄利克雷方程。
4.第四周：高阶常微分方程（1）讲解n阶齐次线性方程的基本性质和解法；（2）介绍n阶非齐次线性方程的解法。
5.第五周：应用（1）讲解常微分方程在工程问题中的应用；（2）布置练习题和例题，巩固和拓展知识。
常微分方程数值解法课程设计
常微分方程数值解法课程设计常微分方程数值解法课程设计一、背景与意义常微分方程在自然科学、工程技术、社会科学等各个领域都有广泛的应用。
例如，物理学中的牛顿第二定律、电磁学中的麦克斯韦方程、生物学中的种群增长模型等都涉及到常微分方程。
然而，很多常微分方程的解析解很难求得或者不存在，因此数值解法就显得尤为重要。
本次课程设计的目的是使学生掌握常微分方程的数值解法，包括欧拉法、龙格-库塔法等，并能够利用这些方法进行实际问题的建模和计算。
通过本次课程设计，学生将了解数值解法的基本思想、误差分析、稳定性等方面的知识，提高解决实际问题的能力。
二、主要内容1.常微分方程的基本概念：介绍常微分方程的定义、分类、解的存在性和唯一性等基础知识。
2.数值解法的基本思想：介绍数值解法的基本思想，包括离散化、逼近、迭代等，以及数值解法的误差来源和误差估计。
3.欧拉法：介绍欧拉法的基本思想、计算公式、误差分析和稳定性等方面的知识，并通过实例演示欧拉法的应用。
4.龙格-库塔法：介绍龙格-库塔法的基本思想、计算公式、误差分析和稳定性等方面的知识，并通过实例演示龙格-库塔法的应用。
5.实际问题建模与计算：选取实际问题，如物理学中的弹簧振子问题、生物学中的种群增长问题等，利用常微分方程的数值解法进行建模和计算，并对结果进行分析和解释。
三、实施步骤1.理论学习：通过课堂讲解、阅读教材等方式，使学生掌握常微分方程的基本概念、数值解法的基本思想和常用方法。
2.上机实践：安排学生在计算机上利用编程语言实现欧拉法、龙格-库塔法等数值解法，并对简单的常微分方程进行数值计算。
3.实际问题建模与计算：选取实际问题，指导学生利用常微分方程的数值解法进行建模和计算，并对结果进行分析和解释。
4.课程设计报告：要求学生撰写课程设计报告，内容包括问题描述、数学模型、数值解法、计算结果与分析等，以培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力。
四、预期成果通过本次课程设计，学生将能够：1.掌握常微分方程的基本概念和数值解法的基本思想；2.熟练使用欧拉法、龙格-库塔法等常用数值解法；3.能够利用常微分方程的数值解法进行实际问题的建模和计算；4.撰写规范的课程设计报告，具备综合运用所学知识解决实际问题的能力。
微分方程教案
微分方程教案引言：微分方程作为数学的一个重要分支，是描述自然界中变化规律的一种数学工具。
本教案将介绍微分方程的定义和基本概念，并以实例演示如何求解微分方程，旨在帮助学生理解微分方程的基本原理和解题方法。
一、微分方程的定义和分类1. 微分方程的定义微分方程是一个包含未知函数及其导数或微分的方程。
一般表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中y是自变量x的某个函数。
2. 常微分方程和偏微分方程常微分方程中只含有一个自变量，如dy/dx = f(x)。
偏微分方程中含有多个自变量，如∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0。
二、微分方程的基本概念1. 解函数和通解解函数是满足微分方程的具体函数，通解是含有任意常数的解函数的集合。
2. 初值问题和边值问题初值问题是在给定某一点上的函数值和导数值，求解满足微分方程条件的特解。
边值问题是在给定边界上的函数值，求解满足微分方程条件的特解。
三、常见的微分方程和求解方法1. 一阶常微分方程1) 可分离变量方程2) 齐次方程3) 线性方程4) Bernoulli 方程2. 高阶常微分方程1) 常系数线性齐次方程2) 常系数线性非齐次方程3) 变系数线性齐次方程4) 变系数线性非齐次方程3. 偏微分方程1) 热传导方程2) 波动方程3) Laplace 方程四、求解微分方程的技巧和方法1. 变量分离法将微分方程中的变量分离到方程两边，再进行积分。
2. 齐次方程的换元法通过引入新的变量，将齐次方程转化为变量分离的形式。
3. 一阶线性方程的积分因子法通过乘以适当的积分因子，将一阶线性方程转化为变量分离的形式。
4. 常系数线性方程的特解法根据齐次方程的通解求解非齐次方程的特解。
五、案例演示1. 一阶常微分方程求解以可分离变量方程为例，演示解题步骤和方法。
2. 高阶常微分方程求解以常系数线性非齐次方程为例，演示解题步骤和方法。
常微分方程第2章第4节教案
§2.4 一阶隐微分方程与参数表示定义：一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:(,,)0F x y y '=.如果能解出(,)y f x y '=,则可化为显式形式,根据前面的知识求解.例如：方程2()()0y x y y xy ''-++=,可化为y x '=或y y '=但难以从方程中解出y ',或即使解出y ',而其形式比较复杂,则宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下两种类型:一、可以解出y （或x ）的方程 1.(,)y f x y '= 2.(,)x f y y '=二、不显含y （或x ）的方程 3.(,)0F x y '= 4.(,)0F y y '=一、可以解出y （或x ）的方程1.(,)y f x y '=假设函数(,)f x y '有连续的偏导数,引进参数y p '=,则方程变为(,)y f x p = 将上式两边对x 求导数,得到f f dp p x p dx∂∂=+∂∂（*），这是关于,x p 的一阶微分方程,而且属于显式形式. （1）若求得（*）的通解形式为(,)p x C ϕ=,将其代入(,)y f x p =,于是得到原方程的通解为(,(,))y f x x C ϕ=（2）若求得（*）的通解形式为(,)x p C ψ=,于是得到原方程的参数形式的通解为 (,)((,),)x p C y f p C p ψψ=⎧⎨=⎩其中p 为参数,C 是任意常数. （3）若求得（*）的通解形式为(,,)0x p C Φ=,于是得到原方程的参数形式的通解为 (,,)0(,)x p C y f x p Φ=⎧⎨=⎩ 其中p 为参数, C 是任意常数. 例：求方程3()20dy dy x y dx dx+-=的解. 解：解出y ，令dy p dx=,于是有32y p xp =+①,两边对x 求导数,得 2322dp dp p p x p dx dx =++,即2320p dp xdp pdx ++= 当0p ≠时,上式有积分因子p μ=,从而32320p dp xpdp p dx ++=因此4234p xp C +=,得42223344C p C x p p p -==- 将其代入①,即得43342()C p y p p -=+ 故参数形式的通解为22334 (0) 212C x p p p C y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩ 当0p =时,由①可知0y =也是方程的解.例：求方程22()2dy dy x y x dx dx =-+的解. 解：令dy p dx=,得222x y p xp =-+，两边对x 求导数,得 2dp dp p p x p x dx dx =--+或(2)(1)0dp p x dx --= 由10dp dx-=,解得p x C =+,于是得到方程的通解为222x y Cx C =++ 由20p x -=,解得2x p =,于是得到方程的一个解为24x y = 定义：特解与通解中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解.2.(,)dy x f y dx= 与以上类似,假定函数(,)f y y '有连续偏导数.引进参数dy p dx =,则变为(,)x f y p = 将两边对y 求导数,得1f f dp p y x dy∂∂=+∂∂，是关于,y p 的一阶微分方程,而且属于显式形式.设其通解为(,,)0y p C Φ=，则原方程的通解为(,,)0(,)y p C x f y p Φ=⎧⎨=⎩ 例：求方程3()20dy dy x y dx dx+-=的解. 解：解出x ，令dy p dx=,得3,02y p x p p -=≠①,两边对y 求导数,得232(13)()12dp dp p p y p dy dy p p---=,即320pdy ydp p dp ++= 积分之，即有42yp p C +=，因此，42C p y p-= 将其代入①,即得43422324C p p p C p x p p---== 故通解为223344 (0) 122C x p p p C y p p ⎧=-⎪⎪≠⎨⎪=-⎪⎩此外0y =也是方程的解.二、不显含y （或x ）的方程3.(,)0F x y '=(,)0F x y '=表示的是Oxy '平面上的一条曲线设曲线用参数形式表示为()x t ϕ=,()y t ψ'=，由于dy y dx '=,进而()()dy t t dt ψϕ'= 两边积分,得()()y t t dt C ψϕ'=+⎰于是得到方程参数形式的解为()()()x t y t t dt C ϕψϕ=⎧⎪⎨'=+⎪⎩⎰，C 是任意常数. 例：求解方程3330x y xy ''+-= 解：令y tx '=,则由方程得331t x t =+,代入左式得2331t y t '=+，于是23339(12)(1)t t dy dt t -=+ 积分，得23333329(12)314(1)2(1)t t t y dt C C t t -+=+=+++⎰ 故原方程参数形式的通解为：3332313142(1)t x t t y C t ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=+⎪+⎩例：求解方程y '=解：令tan ,(,)22y t t ππ'=∈-,代入原方程得tan sin sec t x t t== 由dy y dx '=，得tan cos sin dy t tdt tdt ==所以cos y t C =-+故原方程参数形式的通解为sin cos x t y t C =⎧⎨=-+⎩，其中C 是任意常数. 4．(,)0F y y '=(,)0F y y '=表示的是Oyy '平面上的一条曲线设曲线用参数形式表示为()y t ϕ=,()y t ψ'=，由关系式dy y dx '=可知()()t dt t dx ϕψ'=,于是0y '≠时,有()()t dx dt t ϕψ'=, ()()t x dt C t ϕψ'=+⎰ 故方程的参数形式的通解为()()()t x dt C t y t ϕψϕ'⎧=+⎪⎨⎪=⎩⎰，C 是任意常数.此外,不难验证,若(,0)0F y =有实根y k =,则y k =也是方程的解.例：求解方程22(1)(2)y y y ''-=-解：令2y yt '-=,则有222(1')y y y t -=由此可以得2'1y t =-，1y t t =+当0y '≠时，代入1dx dy y ='，得222111(1)1dx dt dt t t t =-+=-- 积分,得到1x C t =+ 故原方程参数形式的通解为11x C t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，其中C 是任意常数. 此外, 当0y '=时原方程变为24y =,于是2y =±也是方程的解.。
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常微分方程教学设计第一讲基本概念定义1如果在一个(或者一组m(有限个))方程中，未知的(unknown)量是一个(或一组m有限个))函数，并且在方程中含有未知函数只关于某一个自变量(independentvariable)的导数或微分，则称这方程为常微分方程(ordinarydifferentialequation)(或者常微分方程组(ODE’s)),简称常微分方程(组)为微分方程(DE)(组(DE’s))或方程(组).(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati 方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:定义2微分方程中实质上含有的未知函数x的最高阶导数的阶数称为这微分方程关于x的阶.微分方程组中各个未知函数的最高阶导数的阶数之和称为微分方程组的阶(计算阶数时把未知函数本身认为是未知函数的零阶导数)．(提示)方程组的阶:例中的方程组是n阶方程组.注意：但是如果我们把例2中的方程组看成是一个矢量x的方程，而且其中关于x的每个分量的阶都是一阶的，因此也可称它(关于x是一阶的)．n 阶微分方程的一般形式为：，其中函数F在其变量的某一区域(domain)中有定义，并且一定含有未知函数x对自变量t 的n阶导数.定义3假设有在区间I上有直到n阶的连续导数的函数：以是由隐式或参数形式决定的)在区间I上满足恒等式，(可我们就说该函数是在区间I上方程的解(solution)．称区间I是解的定义区间．微分方程的解根据函数的形式可分为显式(explicit)解，隐式(implicit)解和参数形式解.(提示)n阶微分方程的解可由对方程逐次进行n 次积分得到：，其中是的n次累次积分．为n个任意独立的实常数，2例:一阶方程义区间是：当时为的通解可以写成；当时为，其中c是非零实常数．定．严格而言不能写成的形式，因为后者的定义域不是一个区间．但是可以写成在不同区间上的两个通解：，和和．如果把这些解写成形式．则称为隐式解，这种隐式解也称为方程的积分．定义4微分方程的解，或隐式解在t-x平面上的几何图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线(integralcurve).如果在积分曲线上函数积分(integral)定义5已就最高阶导数解出的微分方程等于常数，则也称为微分方程的一个常微分方程之例:若x 是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：3常微分方程组之例:记vector)，是自变量t 的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义6若微分方程其导数中的函数关于未知函数及是一次有理整式，则称方程是线性的(linear)，称它是n阶线性(微分)方程．一般形式为：，，则称它是n阶线性齐次(homogeneous)方程；否则称为线性为线性方程的非齐次项.(提示)若其中非齐次(inhomogeneous)方程．这时称常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)4，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：常微分方程组之例:记vector)，是自变量t的函数，用个变量为m维列矢量(column，其中，，简记的已知函数，(以后都这样表示，不要误解为矢量x的是常微分方程组．函数)，则矢量(vector)方程n阶微分方程可以通过变换组:，，?，，化为n个一阶方程的方程定义7不是线性的微分方程称为非线性(nonlinear)方程．(提示)常微分方程之例:若x是自变量t的未知函数，其他的量都是已知的，则下列方程(一阶线性齐次方程)(正规形式)，(一阶线性非齐次方程)(正规形式)，(二阶线性齐次方程)，(二阶线性非齐次方程)，(Riccati方程)(一阶非线性方程)都是常微分方程，微分方程中可以不出现未知函数x本身，但必须实质上含有未知函数x的导数．注意，在本教程中不讨论延迟(retarded)常微分方程：第1讲第2第3第4第5第6第7第8讲讲讲讲讲讲讲微分方程与解变量可分离方程齐次微分方程一阶线性微分方程全微分方程与积分因子一阶隐式微分方程几种可降阶的高阶方程应用举例第二章基本定理解的存在性与唯一性定理解的延展奇解与包络解对初值的连续依赖性第10讲第11讲第12讲第三章线性微分方程组第13讲一阶微分方程组及一阶线性微分方程组的一般概念第14讲线性齐次微分方程组的一般理论第15讲线性非齐次微分方程组的一般理论常系数线性微分方程组的解法(单实根）第16讲常系数线性微分方程组的解法(复、重根)第四章线性微分方程第17讲第18讲第19讲第20讲n阶线性微分方程的一般理论n阶常系数线性齐次方程的解法n阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性方程与振动现象第五章定性和稳定性理论简介第21讲稳定性概念及李雅普诺夫第二方法第22讲平面自治系统的基本概念平面定性理论简介(1)第23讲平面定性理论简介(2)第1讲微分方程与解微分方程什么是微分方程？它是怎样产生的？这是首先要回答的问题.300多年前，由牛顿(Newto设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求ss此物体下落时距离与时间的关系.解如图1-1建立坐标系，设为t.于是物体下落的速度为加速度为质量为m 的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力=质量×加速度)可以列出方程其中k＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(·=）()()式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程()，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程()可化为将上式对t积分两次得()其中和()是两个独立的任意常数，它是方程()的解.一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.例如下面的方程都是常微分方程(·=)(′=)在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为如果在()中能将y′解出，则得到方程或()称为一阶隐式方程,()称为一阶显式方程，()称为微分形式的一阶方程.n 阶隐式方程的一般形式为n阶显式方程的一般形式为()在方程()中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：显然，方程()是一阶线性方程；方程()是一阶非线性方程；方程()是二阶线性方程；方程()是二阶非线性方程.通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程()，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程()在区间I上的一个解.1.函数y=x2＋Ｃ是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.2.函数是方程()在区间上的解，其中C是任意常数.又方程()有两个明显的常数解y=±１，这两个解不包含在上述解中.3.函数立的任意常数.4.函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的是方程()在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独任意常数.这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有所以在上有从而该函数是方程()的解.从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程()的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程()的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.由上面的定义，不难看出，函数分别是方程()，()和()的通解，函数和是方程()的通积分，而函数y=±１是方程()的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.初值问题例1中的函数()显然是方程()的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程()有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.图a图b而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程()所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态，因此，通过积分求得的其通解()所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即初始位置x(0)=H初始速度代入到通解中，推得于是，得到满足上述初值条件的特解为()它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称()是初值问题的解.对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是其中是自变量的某个取定值，而()是相应的未知函数及导数的给定值.方程()的初值问题常记为()，只要把初值条件。