七年级初一数学 第六章 实数知识点总结附解析

七年级初一数学 第六章 实数知识点总结附解析

一、选择题

1．对一组数(x,y)的一次操作变换记为P 1(x,y)，定义其变换法则如下：P 1(x,y)=(x+y,x-y)，且规定P n (x,y)=P 1(P n-1(x,y))（n 为大于1的整数），如：P 1(1,2)=(3,-1)，P 2(1,2)= P 1(P 1(1,2))= P 1(3,-1)=(2,4)，P 3(1,2)= P 1(P 2(1,2))= P 1(2,4)=(6,-2)，则P 2017(1,-1)=（ ）．

A ．（0，21008）

B ．（0，-21008）

C ．（0，-21009）

D ．（0，21009）

2．一列数1a ， 2a ， 3a ，…… n a ，其中1a =﹣1， 2a =111a -， 3a =211a -，……，

n a =1

11n a --，则1a ×2a ×3a ×…×2017a =（ ） A ．1

B ．-1

C ．2017

D ．-2017 3．设n 为正整数，且20191n n <

<+，则n 的值为（ ） A ．42

B ．43

C ．44

D ．45 4．已知253.6=15.906，25.36=5.036，那么253600的值为( )

A ．159.06

B ．50.36

C ．1590.6

D ．503.6 5．圆的面积增加为原来的m 倍，则它的半径是原来的（ ）

A ．m 倍

B ．2m 倍

C ．m 倍

D ．2m 倍 6．下列说法错误的是（ ）

A ．﹣4是16的平方根

B ．16的算术平方根是2

C ．116的平方根是14

D ．25＝5 7．下列计算正确的是（ ）

A ．42=±

B ．1193±=

C ．2(5)5-=

D ．382=±

8．下列各数是无理数的为（ ）

A ．-5

B ．π

C ．4.12112

D ．0

9．如图，数轴上O 、A 、B 、C 四点，若数轴上有一点M ，点M 所表示的数为m ，且5m m c -=-，则关于M 点的位置，下列叙述正确的是（ ）

A ．在A 点左侧

B ．在线段A

C 上 C ．在线段OC 上

D ．在线段OB 上

10．2243522443355+=22444333555

+=，仔细22202042020344

4333+个个 ）

A ．20174555个

B ．20185555个

C ．20195555个

D ．20205

555个 二、填空题

11．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=

． 例如：(-3)☆2= 32322-++-- = 2． 从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____．

12．实数,,a b c 在数轴上的点如图所示，化简

()()

222a a b c b c ++---=__________．

13．数轴上表示1、2的点分别为A 、B ，点A 是BC 的中点，则点C 所表示的数是____．

14．已知，x 、y 是有理数，且y ＝2x -+ 2x -﹣4，则2x +3y 的立方根为_____．

15．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①31；②3312+；③333123++；④33331234+++，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值333312326++++=__________．

16．对于三个数a ，b ，c ，用M{a ，b ，c}表示这三个数的平均数，用min{a ，b ，c}表示这

三个数中最小的数．例如：M{－1，2，3}＝

123433

-++=，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x ＋1，4x －1}＝min{2，－x ＋3，5x}，那么x ＝_______. 17．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ?b=a 2﹣b ，例如3?2=32﹣2=7，2?（﹣1）=_____．

18．如果一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是______.

19．写出一个大于3且小于4的无理数：___________．

20．如图，数轴上的点A 能与实数1

5,3,,22

---对应的是_____________

三、解答题

21．据说，我国著名数学家华罗庚在一次访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有

一道智力题：一个数32768，它是一个正数的立方，希望求它的立方根，华罗庚不假思索给出了答案，邻座乘客非常惊奇，很想得知其中的奥秘，你知道华罗庚是怎样准确计算出的吗？请按照下面的问题试一试：

（1）由33101000,1001000000==，因为1000327681000000<<，请确定332768是______位数； （2）由32768的个位上的数是8，请确定332768的个位上的数是________，划去32768后面的三位数768得到32，因为333=27,4=64，请确定332768的十位上的数是_____________ (3)已知13824和110592-分别是两个数的立方，仿照上面的计算过程，请计算：332768=____;3-110592________=

22．对于有理数a ，b ，定义运算：a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1.

(1)计算5⊕4的值；

(2)计算[(－2)⊕6]⊕3的值；

(3)定义的新运算“⊕”交换律是否还成立？请写出你的探究过程．

23．你能找出规律吗？

（1）计算：49?＝ ，49?＝ ；1625?＝ ，1625?＝ ．

结论：49?

49?；1625? 1625?．（填“＞”，”＝”，“＜”）．

（2）请按找到的规律计算：

①520?；

②2

31935

?． （3）已知：a ＝2，b ＝10，则40＝ （可以用含a ，b 的式子表示）．

24．我们在学习“实数”时画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为‘1’的线段作一个正方形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交数轴于点A”，请根据图形回答下列问题：

(1)线段OA 的长度是多少?(要求写出求解过程)

(2)这个图形的目的是为了说明什么?

(3)这种研究和解决问题的方式体现了 的数学思想方法.(将下列符合的选项序号填在横线上)

A ．数形结合

B ．代入

C ．换元

D ．归纳

25．定义：若两个有理数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，则称a ，b 互为特征数．

（1）3与 互为特征数；

（2）正整数n (n ＞1)的特征数为 ；（用含n 的式子表示）

（3）若m ，n 互为特征数，且m ＋mn ＝－2，n ＋mn ＝3，求m ＋n 的值．

26．阅读下面的文字,解答问题:是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此

的小数部分我们不可能全部写出来,而121的小数部分.请解答下列问题：

(1_______，小数部分是_________；

(2)的小数部分为a b ，求a b +

(3)已知:100x y +=+，其中x 是整数,且01y ＜＜，求24x y +-的平方根。

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【解析】分析：用定义的规则分别计算出P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，P 6，观察所得的结果，总结出规律求解.

详解：因为P 1（1，-1）=（0，2）；

P 2（1，-1）=P 1(P 1(1,-1）)=P 1(0,2)=(2,-2)；

P 3（1，-1）=P 1（P 2(2,-2)）=(0,4)；

P 4（1，-1）=P 1（P 3(0,4)）=(4,-4)；

P 5（1，-1）=P 1（P 4(4,-4)）=(0,8)；

P 6（1，-1）=P 1（P 5(0,8)）=(8,-8)；

……

P 2n-1（1，-1）=……=(0,2n )；

P 2n （1，-1）=……=(2n ,-2n ).

因为2017=2×

1009-1， 所以P 2017=P 2×1009-1=（0，21009）.

故选D.

点睛：对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则进行相关的计算；探索数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程和结果中归纳出运算结果或运算结果的规律.

2．B

解析：B

【解析】

因为1a =﹣1,所以

2a =11111112a ==---（）,3 a =21121112

a ==--,4 a =3111112a ==---,通过观察可得:1 a ,2a ,3a ,4 a ……的值按照﹣1,1 2

, 2三个数值为一周期循环,将2017除以3可得372余1,所以2017a 的值是第273个周期中第一个数值﹣1,因为每个周期三个数值的乘积为: 11212

-??=-,所以1a ×2a ×3a ×…×2017a =()()372111,-?-=-故选B. 3．C

解析：C

【分析】

先确定2019介于1936、2025

这两个平方数之间，从而可以得到4445<

<，再根据已知条件即可求得答案．

【详解】

解：∵193620192025<<

∴2244201945<<．

<

∴4445<<

∵n

为正整数，且1n n <

<+ ∴44n =．

故选：C

【点睛】

本题考查了无理数的估算，“夹逼法”是估算的一种常用方法，找到与2019临界的两个完全平方数是解决问题的关键．

4．D

解析：D

【分析】

根据已知等式，利用算术平方根性质判断即可得到结果．

【详解】

，

=×100=503.6，

故选：D ．

【点睛】

此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．

5．C

解析：C

设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，根据题意列出关系式计算即可．

【详解】

设面积增加后的半径为R，增加前的半径为r，

根据题意得：πR2=mπr2，

∴，

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了实数的运算，要注意，圆的面积和半径之间是平方关系而非正比例关系．6．C

解析：C

【分析】

分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．

【详解】

A．﹣4是16的平方根，说法正确；

B.2，说法正确；

C.

1

16

的平方根是±

1

4

，故原说法错误；

D.，说法正确．

故选：C．

【点睛】

此题考查了平方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．7．C

解析：C

【分析】

A、根据算术平方根的定义即可判定；

B、根据平方根的定义即可判定；

C、根据平方根的性质计算即可判定；

D、根据立方根的定义即可判定．

【详解】

A2

=，故选项错误；

B、

1

3

=±，故选项错误；

C、2

(＝5，故选项正确；

D2，故选项错误．

故选：C．

此题考查平方根，立方根，解题关键在于掌握运算法则.

8．B

解析：B

【分析】

根据无理数与有理数的概念进行判断即可得.

【详解】

解：A. -5是有理数，该选项错误；

B. π是无理数，该选项正确；

C. 4.12112是有理数，该选项错误；

D. 0是有理数，该选项错误.

故选：B

【点睛】

本题考查了无理数定义，初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π，3π等；②开方

0.1010010001…，等. 9．D

解析：D

【分析】

根据A、C、O、B四点在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．

【详解】

∵|m-5|表示点M与5表示的点B之间的距离，|m?c|表示点M与数c表示的点C之间的距离，|m-5|＝|m?c|，

∴MB＝MC．

∴点M在线段OB上．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．10．D

解析：D

【分析】

当根号内的两个平方的底数为1位数时，结果为5，当根号内的两个平方的底数为2位数时，结果为55，当根号内的两个平方的底数为3位数时，结果为555，据此即可找出规律，根据此规律作答即可．

【详解】

5，

=，

55

=，

555

……

20205555

个．

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了与算术平方根有关的数的规律探求问题，解题的关键是由前三个式子找到规律，再根据所找到的规律解答．

二、填空题

11．8

【解析】

解：当a ＞b 时，a☆b= =a，a 最大为8；

当a ＜b 时，a☆b==b，b 最大为8，故答案为：8．

点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：8 【解析】

解：当a ＞b 时，a ☆b =

2a b a b ++- =a ，a 最大为8； 当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b ++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．

点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．0

【分析】

由数轴可知，，则，即可化简算术平方根求值.

【详解】

解：由数轴可知，，

则，

，

故答案为：0.

【点睛】

此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算. 解析：0

【分析】

由数轴可知，0b c a <<<，则0,0a b b c +<-<，即可化简算术平方根求值.

【详解】

解：由数轴可知，0b c a <<<，

则0,0a b b c +<-<，

||()()0c a a b c b c a a b c b c =-+++-=--++-=， 故答案为：0.

【点睛】

此题考查数轴上数的大小关系，算术平方根的性质，整式的加减计算.

13．【分析】

设点C 表示的数是x ，再根据中点坐标公式即可得出x 的值．

【详解】

解：设点C 表示的数是x ，

∵数轴上1、的点分别表示A 、B ，且点A 是BC 的中点，

根据中点坐标公式可得：，解得：，

故答案

解析：2-【分析】

设点C 表示的数是x ，再根据中点坐标公式即可得出x 的值．

【详解】

解：设点C 表示的数是x ，

∵数轴上1的点分别表示A 、B ，且点A 是BC 的中点，

根据中点坐标公式可得：

=12，解得：，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 14．-2．

【分析】

根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x+3y 的值，进而可得立方根．

【详解】

解：由题意得：，

解得：x ＝2，

则y ＝﹣4，

2x+3y ＝2×2+3×（

解析：-2．

【分析】

根据二次根式有意义的条件可得x ＝2，进而可得y 的值，然后计算出2x +3y 的值，进而可得立方根．

【详解】

解：由题意得：

20 20 x

x

-≥

?

?

-≥

?

，

解得：x＝2，

则y＝﹣4，

2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．

2

=-．

故答案是：﹣2．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．15．351

【分析】

先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．

【详解】

=1

=3

=6

=10

发现规律：1+2+3+

∴1+2+3=351

故答案为：351

【点

解析：351

【分析】

先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．【详解】

=10

=1+2+3+n

+

=1+2+326

+=351

故答案为：351

【点睛】

本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．

16．或

【解析】

【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{ 2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.

【详解】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1

解析：1

2

或

1

3

【解析】

【分析】根据题中的运算规则得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根据min{2，－x＋3，5x}的规则分情况讨论即可得.

【详解】M{3，2x＋1，4x－1}=32141

3

x x

+++-

=2x+1，

∵M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三种情况：

①2x+1=2，x=1

2

，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，

5

2

，

5

2

}=2，成立；

②2x+1=-x+3，x=2

3

，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，7

3

，10

3

}=2，不成立；

③2x+1=5x，x=1

3

，此时min{2，－x＋3，5x}= min{2，8

3

，5

3

}=

5

3

，成立，

∴x=1

2

或

1

3

，

故答案为1

2

或

1

3

.

【点睛】本题考查了阅读理解题，一元一次方程的应用，分类讨论思想的运用等，解决问题的关键是读懂题意，依题意分情况列出一元一次方程进行求解．

17．5

【解析】利用题中的新定义可得：2?（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.

故答案为：5．

点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

解析：5

【解析】利用题中的新定义可得：2?（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.

故答案为：5．

点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．0

【解析】

试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．

解析：0

【解析】

试题解析：平方根和它的立方根相等的数是0．

19．如等，答案不唯一．

【详解】

本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.

解析：π等，答案不唯一．

【详解】

本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，

因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.

20．【分析】

先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数，即可得到答案.

【详解】

解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，

∴A 为负数，

从数轴可以看出，A 点在和之间，

解析：

【分析】

先把数轴的原点找出来，再找出数轴的正方向，分析A 点位置附近的点和实数

1

2

-. 【详解】

解：∵数轴的正方向向右，A 点在原点的左边，

∴A 为负数，

从数轴可以看出，A 点在2-和1-之间，

2<=-，故不是答案；

刚好在2-和1-之间，故是答案；

112

->-，故不是答案；

是正数，故不是答案；

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了数轴的基本概念、实数的比较大小，要掌握能从数轴上已标出的点得到有用的信息，学会实数的比较大小是解题的关键.

三、解答题

21．（1）两；（2）2，3；（3）24，-48．

【分析】

（1）根据题中所给的分析方法先求出这32768的立方根都是两位数；（2）继续分析求出个位数和十位数即可；

（3）利用（1）（2）中材料中的过程进行分析可得结论．

【详解】

解：（1）由103=1000，1003=1000000，

∵1000＜32768＜100000，

∴10100，

故答案为：两；

（2）∵只有个位数是2的立方数是个位数是8，

2

划去32768后面的三位数768得到32，

因为33=27，43=64，

∵27＜32＜64，

∴3040．

3．

故答案为：2，3；

（3）由103=1000，1003=1000000，

1000＜13824＜1000000，

∴10100，

∵只有个位数是4的立方数是个位数是4，

4

划去13824后面的三位数824得到13，

因为23=8，33=27，

∵8＜13＜27，

∴2030．

；

由103=1000，1003=1000000，

1000＜110592＜1000000，

∴10100，

∵只有个位数是8的立方数是个位数是2，

8，

划去110592后面的三位数592得到110，

因为43=64，53=125，

∵64＜110＜125，

∴4050．

；

故答案为：24，-48．

【点睛】

此题考查立方根，解题关键在于理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．

22．(1)3；(2)－24；(3)成立．

【解析】

【分析】

（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；

（2）先按新定义运算，先计算（-2）⊕6、再将所得结果-19与3计算规定运算可得； （3）成立，按新定义分别运算即可说明理由．

【详解】

(1)5⊕4＝5×4－2×5－2×4＋1

＝20－10－8＋1

＝2＋1

＝3.

(2)原式＝[－2×6－2×(－2)－2×6＋1]⊕3

＝(－12＋4－12＋1)⊕3

＝－19⊕3

＝－19×3－2×(－19)－2×3＋1

＝－24.

(3)成立．

∵a ⊕b ＝ab －2a －2b ＋1，b ⊕a ＝ab －2b －2a ＋1，

∴a ⊕b ＝b ⊕a ，

∴定义的新运算“⊕”交换律还成立．

【点睛】

此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．

23．（1）6，6，20，20，＝，＝；（2）①10，②4；（3）2a b

【分析】

（1)0,0a b =≥≥，据此判断即可．

（2=10===，

4===，据此解答即可．

（3）根据a =b =2a b ==，据此解答即可．

【详解】

解：（1236=?=6==；

4520=?=20==．

==

故答案为：6，6，20，20，＝，＝；

（210===；

4===；

（3）∵a =b =

2a b =

=， 故答案为：2a b ．

【点睛】 本题考查算数平方根，掌握求一个数算术平方根的方法为解题关键．

24．；(2)数轴上的点和实数是一一对应关系；(3)A.

【分析】

（1）首先根据勾股定理求出线段OB 的长度，然后结合数轴的知识即可求解； （2）根据数轴上的点与实数的对应关系即可求解；

（3）本题利用实数与数轴的对应关系即可解答．

【详解】

解：(1)OB 2＝12+12＝2，

∴OB ，

∴OA ＝(2)数轴上的点和实数是一一对应关系

(3) 这种研究和解决问题的方式，体现的数学思想方法是数形结合．

故选A.

【点睛】

本题主要考查了实数与数轴之间的关系，此题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉平方根的定义．也要求学生了解数形结合的数学思想．

25．（1）

32；（2）1

n n -；（3）13 【分析】

（1）设3的特征数为b ，根据特征数的定义列式求解即可；

（2）设n 的特征数为m ，根据特征数的定义列式求解即可；

（3）根据m ，n 互为特征数得出m ＋n ＝mn ，结合已知的两个等式进行求解即可．

【详解】

解：（1）设3的特征数为b ，

由题意知，33b b +=， 解得，32b =

， ∴3与32

互为特征数， 故答案为：

32 （2）设n 的特征数为m ，

由题意知，n ＋m ＝nm ， 解得，1

n m n =-， ∴正整数n (n ＞1)的特征数为

1n n -， 故答案为：1

n n - （3）∵ m ，n 互为特征数，

∴ m ＋n ＝mn ，

又m ＋mn ＝－2 ①，n ＋mn ＝3 ②，

①＋②得，m ＋n ＋2mn ＝1，

∴ m ＋n ＋2(m ＋n )＝1，

∴ m ＋n ＝

13

． 【点睛】

本题考查了新定义的运算，正确理解特征数的定义是解题的关键．

26．(1) 4；(2)1;(2) ±12．

【解析】

【分析】

（1

（2a 、b 的值，再代入求出即可；

（3的范围，求出x 、y 的值，再代入求出即可．

【详解】

解：（1）∵45，

4，

故答案为：4；

（2）∵23，

∴，

∵34，

∴b=3，

∴=1；

（3）∵100＜110＜121，

∴10＜11，

∴110＜＜111，

∵=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，

∴x=110，，

∴+10=144，

的平方根是±12．

【点睛】

键．