(完整word)高中数学二项式定理全章复习(题型完美版).doc

第十一讲二项式定理

课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀授课班级授课日期学员

月日组

本章主要内容：

1.二项式定理的定义；

2.二项式定理的通项公式；

3.二项式定理的应用.

本章教学目标：

1.能用计数原理证明二项式定理(重点 )；

2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点 )；

3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点 ).

课外拓展

杨辉三角历史

北宋人贾宪约1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

13 世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11 世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303 年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。

在欧洲直到1623 年以后，法国数学家帕斯卡在13 岁时发现了“帕斯卡三角”。

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithm é tique （1655 年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集

了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708 年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730 年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形” （Chinese triangle）。

【知识与方法】

一．二项式定理的定义

在 (a b)n(a b)( a b) ( a b) 中，每个括号都能拿出 a 或b，所以每个括号有 2 种选择， n 个括号

n个

就是 2 n种情况 . a 2b n 2这一项，表达的意思是_________________________ ；所以， a 2b n 2共有 ________个 .

例如： ( x y)7 中 x 3 y 4 表示的就是，有

3 个括号拿 x ，剩下的

4 个括号拿

y ，所以 x 3 y 4 共有 C 73 C 44 ，

即 C 73 .

(a ＋ b)n 的二 展开式本来共有

_______ ，合并之后共有

_______ ，其中各 的系数

______________

叫做二 式系数． 二．二 展开式的通

(a ＋ b)n 的二 展开式的通 公式 __________.. 注意： 1.

T r 1与 C n r 的关系，例如第 5 ， 是 C n 4 ；

2.二 式的展开式是按照前 降 排列，例如 (x 1) 10 与 (1 x)10 中的第 4 是不同的；

3. a 的指数从 n 逐 减到 0，是降 排列。 b 的指数从 0 逐 减到 n ，是升 排列。各 的次数和等

于 n ；

4.注意正确区分二 式系数与 的系数

.

三．二 式系数的基本性

四．展开式的二 式系数和

1.(a ＋ b)n 展开式的各二 式系数和： C n 0＋ C n 1＋ C n 2＋ ⋯ ＋ C n n ＝_______.

2.偶数 的二 式系数的和等于奇数 的二 式系数的和，即

0 2 4 1 3

5 ＋ ⋯ ＝

C

＋ C

＋ C

＋ ⋯ ＝ C ＋ C

＋ C

n n

n

n

n

n

_______.

五．展开式的系数和

若 f(x) ＝ a

2

＋⋯ ＋ a n

， f(x)展开式中各 系数之和 _______，奇数 系数之和

a

0 ＋a 1x ＋ a 2x

n x 0＋ a 2

＋a 4 f (1) f ( 1)

，偶数 系数之和 a 1 3 5

＋⋯ = 2

＋ a ＋ a ＋ ⋯ =________________.

【例题与变式】

型一

通 公式及其 用 型一

二 式定理的原理 用

全 国卷

2

5

的展开式中，

5 2

的系数 （

）

【例 1】 (2015 ·

Ⅰ )(x ＋x ＋ y) x y A ． 10

B ． 20

C ． 30

D ． 60

【例 2】（ 2018?滨州二模） ( x2 2 x 3)5的展开式中， x 的系数为 ________.

【变式1】（2018?濮阳一模） (x

x 1 1)8的展开式中， x3的系数为 ________.

2017

【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式(1 1 2 x) 4，则展开式的常数项为（）

x

A ． -1 B． 1 C． -47 D ． 49 类型二单括号型

【例 4】（ 2018?内江三模） ( x 2 )4 展开式中的常数项为（）

x

A ． 6 B． -6 C． 24 D ． -24

【例 5】设 (x－ 2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1

，则含 x2的项是 ________．2

a 3

【例 6】（ 2018?成都模拟）若 (x )6的展开式中含 x2 项的系数为160，则实数 a 的值为（）

x

A ．2 B．2 C． 2 2 D ． 2 2

东北四校联考

)若 ( x 6 1

)

n

的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于（）

【例 7】 (2017 ·x x

A ． 3 B． 4 C． 5 D ． 6

【变式3】（2018?河北区二模）二项式 ( x 2 ) 6的展开式的第二项为（）

x

A ． 6x4 B．6x4 C．12x4 D ．12x4

【变式4】（2018? 四川模拟） (x 1 )6展开式中的常数项为（）

x

A ． -20 B． -15 C． 15 D ． 20

【变式5】 (2016 ·Ⅰ )(2x＋ 5 的展开式中， 3

x) x 的系数是 ________．(用数字填写答案 )

全国卷

【变式6】（2018?上海二模） (x 1 )n的展开式中的第 3 项为常数项，则正整数 n=_______ ．

x 【变式7】（ 2018? 普陀区二模）若 (x3 1

) n的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为x 2

_______．

类型三双括号型

【例 8】（ 2018? 肇庆三模）已知 (1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a= （）

A ． 1 B． 2 C． -1 D ． -2

【例 9】（2018 ?信阳二模） (x2 1)( 1 2)5的展开式的常数项是（）

x

A ． 5 B． -10 C． -32 D ． -42