反比例意义1
人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数的意义》教案
人教版数学九年级下册26.1.1《反比例函数的意义》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册第26.1.1节《反比例函数的意义》是本册教材中的重要内容，主要介绍了反比例函数的定义、性质及图象。
本节内容是在学生已经掌握了函数概念、正比例函数的基础上进行的，为后续学习函数的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对正比例函数有一定的了解。
但是，对于反比例函数的概念和性质，学生可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例去感知反比例函数的意义，从而更好地理解反比例函数的性质。
三. 教学目标1.理解反比例函数的概念，掌握反比例函数的性质。
2.能够运用反比例函数解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.反比例函数的概念理解。
2.反比例函数的性质掌握。
3.反比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和小组合作学习法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探究反比例函数的意义和性质。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和图片。
2.准备反比例函数的PPT课件。
3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例引入反比例函数的概念，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时，所行的路程是多少？”引导学生思考，引出反比例函数的概念。
2. 呈现（10分钟）通过PPT课件，展示反比例函数的定义和性质，引导学生观察、分析，从而理解反比例函数的意义。
3. 操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，巩固反比例函数的概念和性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4. 巩固（10分钟）以小组合作学习的方式，让学生探讨反比例函数在实际问题中的应用。
教师提供一些实际问题，如“一块长方形的土地，面积一定，长和宽的关系是什么？”让学生分组讨论，寻找解决问题的方法。
5. 拓展（10分钟）让学生进一步探讨反比例函数的性质，如反比例函数的图象特征等。
比、比例、正比例和反比例的区别与联系
一、区别1.它们的意义不同比是表示两个量之间的相除关系，如a÷b可以写成a∶b，比里有两个数。
比例则表示两个比相等的式子。
比如4∶2=2，8∶4=2，所以4∶2=8∶4，比例里有四项，也就是四个数。
正比例和反比例是表示两种相关联量之间的关系，如果相关联的两种量相对应数的比的比值或商一定，这两种量就成正比例关系，如果乘积一定，这两种量就成反比例关系。
比如直径∶半径=2（一定），所以直径和半径成正比例关系。
如果速度×时间=路程（一定），那么速度和时间则成反比例关系。
◎相雨婷2.比和比例的性质不同比的基本性质和分数的基本性质，以及商不变的性质相同，是指比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值的大小不变。
比的基本性质可以用来化简比。
例如48∶20=（48÷4）∶（20÷4）=12∶5。
而比例的基本性质是指在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，它可以用来解比例，也可以用来判断两个比能否组成比例。
例如1∶3和2∶7，因为1×7=7、3×2=6，7≠6，所以1∶3和2∶7不能组成比例。
3.正、反比例的图像不同在坐标系里，依据正比例中两个量的对应关系，画出的是一条直线，而反比例画出的则是一条曲线。
二、联系比例是由比组成的，它里面有两个比。
正比例和反比例都是表示两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也随着变化。
判断两种相关联的量是否成正、反比例，关键都是找出与之相对应的不变量。
比如3∶x=y∶4，根据比例的基本性质，因为xy=3×4=12，积一定，所以x和y成反比例关系。
如果x=y，因为x和y 是相等关系，所以x÷y=1，商不变，所以这时x、y成正比例关系。
17.1.1 反比例函数的意义-2009
1.什么叫函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量X与 Y ，并且对于X的每个确定的值，Y都有唯一确定的值 与其对应，那么我们就说X是自变量，Y是X的函数。
2.什么是一次函数？
一般地，形如Y=kx+b(k,b是常数， k≠0)的函 数，叫做一次函数。
3.什么是正比例函数？
一般地，形如Y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫 做正比例函数，其中k叫做比例系数。
2000 (1)t= v (2)h= 1000 s 100 (3)p= s
例1 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？ 如果是，比例系数k是多少？
4 (1) y 4 (1) y 4 x (1) y x4 (1)) y 1 (2) y 4 2y x 1 ( 1) y x 12 x ( x ( 2) y 2 x1 (2 ) y 1x 3 1 (3))yy 2 x x 1 (4 y 2 2 (3)) y 2 ( 4)) xy1 1x x xy 1 x (3) xyx 1x x y 1 ( 4)) y 1 x 3 (5))yy 1 (5 ( 4 )xy x 2 ( 4) xy2 1 (5) y x 2 (5))yy x (5 22
1.由上面的问题中我们得到这样的三个函数
1463 t= v
1000 y= x 1.68×104 S= n
2.上面的函数关系式形式上有什么的共同点?
k 都是 y=的形式,其中k是常数. x
3.反比例函数的定义 k 一般地,形如 y=(k是常数,k≠0)的函数称为反比例函 x 数,其中x是自变量,y是函数． ４.反比例函数的自变量的取值范围是 不为０的全体实数
前提测评
问题：某登山队大本营所在地的气温为 5℃．海拔每升高1 km气温下降6℃，登山队 员由大本营向上登高x km时，他们所在位置 的气温是y℃． 试用解析式表示y与x的关系．
第5课时1：反比例的意义 山亭 张伟
反比例的意义教学内容：青岛版小学数学六年级下册45--47页第三单元信息窗3 第1课时教学目标：1、在具体情境中，认识成反比例关系的量，理解反比例的意义，并能解决一些简单的实际问题。
2、在观察、探究、交流等活动中形成良好的思维习惯和应用所学知识解决实际问题的方法。
渗透函数思想。
3、能找出生活中成反比例关系的量的实例，感受反比例关系在生活中的应用。
教学重难点：教学重点：理解反比例的意义，能根据反比例的意义判断两个相关联的量是不是反比例。
教学难点：正确判断两种量是否成反比例。
教学过程：一、创设情景，提出问题。
谈话导入：前几节课我们参观了啤酒的生产情况，并学习了两个量之间成正比例的关系的知识，今天我们继续在啤酒厂参观，看看今天我们能学到哪些新知识？（课件出示图片）师：通过观察，你们了解到哪些数学信息？你们能提出什么数学问题？学生观察情境图并根据图中的信息提出问题。
教师根据学生的提问，有选择的进行板书，如：每天的生产吨数与需要生产的天数这两种量有什么关系呢？（学生提出的其他合理问题先放进问题口袋，下节课再解决）【设计意图】通过创设学习教学的生动场景，让学生更容易理解和接受直观、具体的感性材料，调动起学生自主探索解决问题的热情，为学生理解、总结概念奠定基础。
二、自主学习，小组探究。
多媒体展示问题：每天的生产吨数与需要生产的天数这两种量有什么关系呢？学生自主学习并在小组内交流。
温馨提示：（1）啤酒厂一共要生产多少吨啤酒？（2）生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？（3）每天生产的吨数在变化，需要生产的天数也随着变化，在这个过程中，哪个量没有发生变化？（4）你能用关系式的方式表示“生产的天数”和“每天生产的吨数”这两种量间的关系吗？（5）这种变化规律和正比例有什么相同和不同的地方？教师参与到学生探究活动中，倾听并指导学生探究。
三、汇报交流，评价质疑。
教师发现交流的时机已经成熟，便引导交流：哪一组愿意把你们的研究成果与大家分享？1.利用图表，探索变化观察图表，交流：生产的天数是如何随着每天生产的吨数的变化而变化的？引导学生从动态的角度观察图表中数据的变化：每天生产的吨数扩大，需要的天数就缩小，……鼓励学生用自己的语言去描述“生产的天数随着每天生产的吨数的变化而变化”这一过程，避免格式化的模板。
人教版《六年级下册反比例》(完美版)PPT课件1(共16张PPT)
观察下面的两个表，根据表分别填空。
表1
路程（千米） 5 10 25 50 100
时间（时） 1 2 5 10 20
在表1中相关联的量是 路程 和 时间 ，
路程 随着 时间 变化，速度 是一定的。因此，
时间和路程成 正比例 关系。
观察下面的两个表，根据表分别填空。
表2 速度（千米/时） 50 25 20 10 5
它们的关系叫做正比例关系。 这当如当成果路正两路这 程比种 程两一例量一种定的量时就定中，两叫时相速种做，对度量应和成速在的时反度两间变比和个成化数例时过的的间程比中量成值 ，，一它种们量的缩关小，另一种量就
。
成成（正比 ）比例例的。两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量就 。
当总数路成程（一）定比时例，。速度和时间成
随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值 观5 圆察的下面积面与的半两径的个平表方，成（根据）比表例分。别填空。
判长方断形下的面长和每宽题成中反比的例两。种量是成正比例还是成反比例？ 这这8 正两两方种种形量的量就面叫就积做叫一成定做正，比成边例正长的与比量边，例长的量， 一如果堆y煤= 5，x ，已那烧么y的和x质成正量比和例剩。下的质量 。
时间（时）
2 4 5 10 20
在表2中相关联的量是 速度 和 时间 ，
时间 随着 速度 变化， 路程 是一定的。因此，
时间和路程成 反比例 关系。
路程、速度和时间这三个量中每两个量之间有 什么样的比例关系？
成正比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量就 。
某打字员的打字速度一定，打字时间和打字的
8 正方形的面积一定，边长与边长
（不成）比例。
选择。（把正确答案的序号填在括号里） 1.成正比例的两种量在变化过程中，一种量缩小，另一种量就 。
1反比例函数的 意义
5/14/2014
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课堂小结
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你对本节课的内容 存在疑问吗？欢迎提出 来共同讨论！
作业：名校课堂 23—24面 预习练习:(1)(2) 当堂训练：1—6 课后作业：8、9、 10、11 13
5/14/2014
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活动1：课堂我做主！
规则：一组一题，答对得1分！答错倒扣1分！
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判断下列等式中的y是不是x的反比例函数，若是，指出k的值.
1 y x4
不是
y 3 x
不是
x -1 y x
不是
xy 123
是
1 y 2x
是
1 k 2
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致亲爱的同学们：
1、函数一点都不可怕，可怕的是自己没信心！
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2、学好函数的关键是找准对应关系，做到数形结合。
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1
规则:想好后抢答，答对得1分！答错倒扣1分！ 知识点回顾：
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1、形如 y=kx （ k是常数，k≠0 ）的函数，叫做正比例函数.
1 ⑥ y 1 ⑦ y x 1 x
不是 是
1 ⑧y 2 x
不是
2 k= 3
1 k= 2
k=-1
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k y (k是常数，k≠0) 例题讲析：反比例函数： x
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2、填空： ①若 y
k 1 x
k2
是自变量为x的反比例函数，则k= -1
17.1.1反比例函数的意义-关丽娜
比例函数，则m是什么？ 是什么？ 比例函数， 是什么
下列关系式中的y 2. 下列关系式中的y是x的反比例函数 如果是，比例系数k是多少？ 吗？如果是，比例系数k是多少？ 4 (1) y = 比例系数k=4 k=4。 是，比例系数k=4。 x
1 (2) y = − 2x 2x
1 比例系数k= 是，比例系数k= − 2
(3) y = 1 − x =1 ( 4) xy =
随堂练习
1.下列问题中，变量间的关系可以用怎样的函数式表示？ 下列问题中，变量间的关系可以用怎样的函数式表示？ 下列问题中
一个游泳池的容积为2000m3 ，注满游泳池 ⑴ 一个游泳池的容积为 所用的时间t(单位 随注水速度v(单位 单位:h)随注水速度 单位:m 所用的时间 单位 随注水速度 单位 3 /h) 的变化而变化。 的变化而变化。 ⑵ 某长方体的体积为 某长方体的体积为1000cm3 ，长方体的高 h(单位 单位:cm)随底面积 单位 随底面积s(单位 单位 随底面积 单位:cm2) 的变化而变 化。 (3)每个练习本的厚度为 (3)每个练习本的厚度为0.5 cm，一些练习本 每个练习本的厚度为 ， 摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随这些练习 （单位： ） 本的本数n的变化而变化 的变化而变化. 本的本数 的变化而变化.
（2）某住宅小区要种植一个面积为 的矩形草坪，草坪的长y(单位:m) y(单位 1000m2的矩形草坪，草坪的长y(单位:m) 随宽x (单位:m)的变化而变化 单位:m)的变化而变化。 随宽x (单位:m)的变化而变化。 （3）已知大连市区的总面积为 ）已知大连市区的总面积为2415平方 平方 千米，人均占有的土地面积s(单位 单位:平方千 千米，人均占有的土地面积 单位 平方千 随全市总人口n(单位 米/人)随全市总人口 单位 人)的变化而变 人 随全市总人口 单位:人 的变化而变 化。
17.1.1反比例函数的意义
k y 函数 (k≠０)中,自变量x的取值范围是不为０的一切实数。 x
④某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的 长y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化。 1000 函数关系式为：y ，此时x可以取－100吗？为什么？ x 注意：在实际问题中，自变量的取值还需考虑它的实际意义。
m≠-1 m+1≠0 y是x的反比例函数，比例系数为k（k≠0）
k y= x -1 y=kx
｛
｛
x
xy=k
例题欣赏
例1、已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=6. （1）写出y与x的函数关系式； （2）求当x=4时y的值.
k y = 解：（1）设 x ,因为当 x=2 时y=6，所以有
已知y是xk 的反比例函数,当x=3时,y=-8. 解得 k=12 6 = 式，并指出各是什么函数：
步行课堂
2、下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例 系数k是多少？
（ 1） y= 4 x
1 （2）y=- 2x
（3）y=1-x
m2 2
k x 3 、当 m 取什么值时，函数 是 2 x的 y ( m 1 ) x 关系式 xy+4=0 中 y 是 x 的反比例函数吗 ? 若是， y= -1 (6) y=x （ 5 ） y = 2k+3 1 、如果函数 为反比例函数，那么 k= ， 记住 （4 ） xy=1 x m-7 2 6 . 2 、已知函数 y=3x 是反比例函数 ,则 m = ___ 1 反比例函数？ 比例系数 k等于多少？若不是，请说明理由。 y 这些 此时函数的解析式为 . m=±1 2 x m -2=-1 1 分析 : -1 解得 形式 （ 8 ） y = -1 (7) y=x 即：m=1
17.1 .1反比例函数的意义 八年级新人教版
k=12
12 y 因此 x 12 12 y (2)把x=4代入 ,得 y 3 x 4
例2.已知y 与 x2 成反比例, 并且当 x = 3时
y = 4，求 y与x的函数关系式。
【课堂练习】
（1）下列哪个等式中的y是x的反比例函数？ y 3 y=4x y=6x+1 xy=123 x
（2）已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=-6.
①写出y与x的函数关系式；
②求当y=4时x的值.
（3）已知y与
x 成反比例，并且当x=3时y=4.
2
①写出y和x之间的函数解析式. ②求当x=1.5时y的值.
【课堂练习】
已知函数y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x 成反比例,且当x=1时,y=4;x=2时y=5. (1)求y与x的函数关系式. (2)当x=4时,求y的值.
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的 函数式表示？这些函数有什么共同特点？ （1）京沪线路全程1463km，某次列车的平 均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行 时间t（单位：h）的变 化而变化，速度v和时 间t的对应关系可用怎样 的函数式表示？
1463 v t
（2）用一块体积为300cm3的面团制作拉 面，面条的横截面积S（cm2）随面条的长度l （cm）的变化而变化；变量s、l间的对应关系 可用怎样的函数式表示？ 300
布置作业 习题17.1第2、4、5题
【现场提问】
⑵ 在下列函数中，y是x的反比例函数的是( ） C
3 +7 （A）y = X+5 （B） y = 2x 1 （C）xy = 5 （D） 判断一个等式为反比例 y = x2
函数,要两个条件: ⑶(1)自变量的指数为-1; -1 1 已知函数 y = 是正比例函数,则 m = __ ； 8 xm -7 x = x (2)自变量系数不为0. 已知函数 y = 3是反比例函数,则 m = ___ 。6 xm -7 已知函数 y = (m-3)x2-︳m︱ 是反比例函数,则
17.1.1反比例函数的意义
1 y x
慎思 笃行
二、温故知新 用字母x和y表示两种相关联的量， 用K表示它们的乘积（一定），反比 例关系可以用下面的式子表示： x×y=k（一定）
两个量成反比例关系的特征：乘积为定值
博学
审问
慎思
笃行
二、温故知新
1、一个游泳池的容积为2000m3 ，注满 游泳池所用的时间t（单位：h）随注水速度v （单位：m3）的变化而变化 2、某长方体的体积为1000cm3，长方体 的高h（单位：cm）随底面积s（单位cm2） 的变化而变化 3、 一个物体重100牛顿，物体对地面的 压强p随物体与地面的接触面积s的变化而变化
2
8 y博学 审问
4 慎思
-8 笃行
-4
六、达标检测
配套41、42页 必做：1—8题 选做：12题 答案：1、B 2、B 5、2 6、2 *12、-7 1
3、B 1 7、
2
4、B 8、y= 90
x
4
课下把错误整理在错题本上
博学
审问
慎思
笃行
12、已知y=y1-y2，y1与 x+2成反比例，y2与x2成正比 例，当x=1时，y=-1，当 x=-3时，y=-21。 求x=2时，y的值
博学
审问
慎思
笃行
17.1.1
反比例函数的意义
你还能举出生活中成 反比关系的量吗？ 博学 审问 慎思 笃行
三、自主学习
1、自学内容：课本39、40页，时间：8分钟 2、自学问题： ①体会反比例函数的定义，思考反比例函数 的解析式有哪些特征？ ②反比例函数自变量x的取值范围是什么？ ③比较其与正比例函数的异同 ④你还能写出其他等价形式吗？ ⑤例1用的是什么方法？其步骤是什么？ 选做：⑥在练习本上至少写出例1的3种变式