解析几何第一章习题
微分几何第一章答案(周建伟版)
= =
θ0
ρ 2 (θ) + ρ2 (θ) dθ.
made by Mr X
1.2(8)
求曲线 x3 = 3a2 y, 2xz = a2 在平面 y =
a 3
与 y = 9a 之间的弧长.
3 2
解：令 x = t, 则所给曲线的参数方程为r (t) = t, 3ta2 , a 2t . 容易验证 t 是正则参 a 数. 当 y = 3 时, t = a; 当 y = 9a 时, 即 t = 3a, 于是所求弧长为
1.2(2)
求三次挠曲线 r (t) = {at, bt2 , ct3 } 在点 t = t0 的切线和法面. 解：当 t = t0 时, 有
3 r (t0 ) = {at0 , bt2 0 , ct0 },
r (t0 ) = {a, 2bt0 , 3ct2 0 },
所以切线方程为
z − ct3 y − bt2 x − at0 0 0 = , = a 2bt0 3ct2 0
1.3(10) 证明: 如果曲率处处不为零的曲线的所有密切平面都经过一定点, 则此曲线
为平面曲线. 证明Ⅰ 设曲线的一般参数方程为 r = r(t), 并设密切平面上流动点的径矢为 R, 则密切平面方程为 (R − r(t), r (t), r (t)) = 0. 利用密切平面过定点的条件, 不失一般性设定点为坐标原点, 则 (r(t), r (t), r (t)) = 0, 上式两边关于参数 t 求导, 得 (r(t), r (t), r (t)) = 0, 由(1), (2)知 r (t), r (t), r (t) 共面, 即有 (r (t), r (t), r (t)) = 0. 于是 挠率 τ t ≡ 0, 即曲线为平面曲线. (2) (1)
智慧树答案线性代数与空间解析几何案例知到课后答案章节测试2022年
第一章1.在循环结构中跳出循环，执行循环后面代码的命令为（）.答案:break2.清空Matlab工作空间内所有变量的指令是（）.答案:clear3.用round函数四舍五入对数组[2.48 6.39 3.93 8.52]取整，结果为（）.答案:[2 6 4 9]4.已知a=2:2:8, b=2:5，下面的运算表达式中，出错的为（）.答案:a*b5.角度x =[30 45 60]，计算其正弦函数的运算为（）.答案:sin(deg2rad(x))6.在matlab中（）用于括住字符串.答案:’’7.下列（）是合法变量.答案:Eps8.答案:9.若矩阵运算满足AXB=C，则计算矩阵X的指令为( ).答案:inv(A)C inv(B)第二章1.已知空间三点，，，则三角形面积（）.答案:2.已知二维向量，，求由该向量所张成的平行四边形面积为（）.答案:103.已知二维平面中三角形的顶点为，，，则其存在一点P使得的面积相等，则P点坐标为（）.答案:4.对于空间中三点，，，下列说法正确的是（）.答案:构成等边三角形5.三维平面中过三点的平面方程为.答案:对6.齐次方程组有非零解得充分必要条件是其系数矩阵行列式等于零.答案:错7.球面的球心在直线上，且过点和，则此球面方程为.答案:对8.三维平面中过三点，，的平面方程为.答案:对9.二维平面中三角形的顶点为，则它的AB边的中线方程为.答案:对第三章1.设A为矩阵，方程组，对应的齐次方程组为，则以下说法中正确的是（）.答案:若有无穷解，则有非零解2.由m个方程，n个未知数构成的方程组中，以下说法正确的为（）.答案:若，则方程组有解3.设A为矩阵，且A的行向量组的秩为3，则方程组AX=b（）.答案:是否有解无法判断4.设A为阵，其秩为r，则当时，下列结论错误的是（）.答案:线性方程组AX=b必无解5.答案:一定有非零解6.答案:7.答案:8.答案:第四章1.设A,B为n阶方阵，则以下结论中错误的是（）.答案:若，则2.若把n阶方阵A的主对角线元素之和称为A的迹，为n阶方阵，则以下结论中正确的是（）.答案:AB的迹等于BA的迹3.设k为正整数，A,B为n阶方阵，则以下结论不一定正确的是（）.答案:;4.设，矩阵，，其中E为n阶单位阵，则BC等于（）.答案:E5.设A,B,C为n阶方阵，则以下结论中一定正确的是（）.答案:;6.设A,B为n阶对称阵，则以下结论中不一定是对称阵的是（）.答案:AB7.设A为n阶可逆阵，则以下结论中不一定正确的是（）.答案:;8.设A为n阶可逆阵，则下列结果不一定正确的是（）.答案:;9.设A为n阶可逆阵，则下列结论中不一定正确的是（）.答案:;10.设A,B为n阶方阵，则以下结论中正确的是（）.答案:;第五章1.设A为矩阵，则齐次线性方程组仅有零解的充分条件是（）.答案:A的列向量线性无关2.由所生成的向量空间记作，由所生成的向量空间记作,则（）.答案:3.答案:04.答案:5.答案:6.答案:第六章1.已知三阶方阵A的特征值为-1，1，2，则的特征值为（）.答案:2.设A是n阶方阵，和是A的特征值，和是A的分别对应于和的特征向量，则（）.答案:时，不可能是A的特征向量3.n阶方阵A的两个特征值与所对应的特征向量分别为与，且，则下列结论正确的是（）.答案:不是的特征向量4.矩阵只有一个线性无关的特征向量，则a=（）.答案:-5.n阶矩阵的特征值为则（）.答案:6.已知二阶实对称矩阵A的一个特征向量为，且,则下列必为A的特征向量的是（）.答案:7.答案:8.答案:9.答案:3第七章1.{全体n阶反对称阵}按照矩阵的加法和数乘运算是线性空间.答案:对2.={全体正实数}加法和数乘定义为，；则是线性空间.答案:对3.{全体n阶正交阵}按照矩阵的加法和数乘运算是线性空间.答案:错4.{全体n次（）实系数多项式}按照多项式的加法和数乘运算是线性空间.答案:错5.{全体n阶上三角阵}按照矩阵的加法和数乘运算是线性空间.答案:对6.{平面上全体向量}对通常的向量加法，数乘定义：，则是线性空间.答案:错7.线性空间中，，其中为中一固定非零向量则是线性变换.答案:对8.中，是线性变换.答案:错9.在中，，在基,下的矩阵为答案:对10.答案:错。
专升本复习(一)函数与极限
7、下列函数可以看成由哪些简单函数复合而 成： x2 (1) y arccos e （2） y ln[ln(ln3 x)]
1 ，当0 t 20 8、设 g ( x) 3 x, f (t ) 20 ，求 0, 其它
g ( f (t ))、f ( g ( x)).
x y2 A. 2 x y2
x 2 y2
，则
1 1 f , （A x y
）
x2 y 2 D. 2 x y2
x2 y B. 2 x y2
xy C. 2 x y2
y u ， 2 v2 , v sin x, 将 表示成 的函 u 2. 设
数表达式为 。 3.与 f ( x) x2 等价的函数是（ D ） 2 3 A. x B. x C. 3 x D. x
左、右极 限概念 无穷大量 与无穷小 量的概念
知道
无穷小量 的性质
无穷小与无 穷大的关系 x →x0时极 限存在的充 要条件
掌握
四则运算 法则 用两个重 要极限求 极限的方 法
无穷小量：
lim f ( x) 0
lim f ( x)
无穷大量：
无穷小量性质： 1.无穷小的和差积商仍是无穷小量。 2.无穷小乘以有界函数仍是无穷小量。
考核知识点
4.基本初等函数及图形： 幂、指、对、三、反 5.复合函数 6.初等函数
了 解 性质
理 解 概念
f(x)的 意义 复合函 数概念
掌 握 定义域
表达式 函数值 复合函 数分解
会
建立简 单函数 关系
基本初 等函数 及其图 形
有界性、 奇偶性 的判别
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
蝴蝶定理
一、蝴蝶定理的发展历程简介：。
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。
此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。
然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。
笔者结合自己的证明和收集别人的研究，整理证法十种，以飨读者。
证法1 （证∠POM＝∠QOM）作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。
∴∠POM＝∠PGM…①。
同理，∠QOM＝∠QHM…②∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，∴MF﹕FG＝MD﹕DH∠F＝∠D∴△MFG∽△MDH，∴∠MGF＝∠MHD…③由①②③得：∠POM＝∠QOM∴PM＝QM证法2 （作△PMD′≌△QM D）作C关于直线OM的对称点C＇连C＇M交⊙O于D＇，则AC弧＝BC＇弧，MD＇＝MD，∠PMD＇＝∠QMD∠CPM＝0.5AF弧＋0.5BC＇C弧＝0.5AF弧＋0.5AC弧＋0.5CC＇弧＝0.5FCC＇弧＝∠FD＇M 从而PFD’M四点共圆。
∴∠PD’M＝∠PFM＝∠D∴在△PD’M与△QDM中∠PD’M＝∠DMD’＝MD∠PMD’＝∠QMD∴△PMD’≌△QMD∴PM＝QM证法3 （利用梅氏定理）延长CF、ED相交于G点。
∵直线CD截三角形GPQ三边于C、M、D三点证法4 （面积法）证法5 （面积比的积为1）如图，设四个三角形的面积分别为a、b、c、d证法6（利用正弦定理）证法7 （引用例题结论）如图7(1)圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点M，则（右边比中的前项为有公共顶点的弦的端点与对角线交点的线段）证明：作∠AME＝∠ABC，则B、E、M、C四点共圆。
第一章 向量代数与空间解析几何 第二节 向量的坐标表示
cos cos cos 1
2 2 2
特殊地：单位向量的方向余弦为
a 0 a {cos , cos , cos }. |a |
- 19 -
第二节
向量的坐标表示
第 七 章
2 向量的加减法、数乘向量的运算的坐标表达式 设 a { x 1 , y 1 , z 1 }, b { x 2 , y 2 , z 2 },
x , y , z 轴正向的单位向量.
k
R
M
j
Q
y
N
OR xi ,
同理存在
a xi yj zk
- 14 -
第二节
向量的坐标表示
称向量的这种表示法为按基本单位向量的坐标分解式。
第 七 章
x i , y j , z k 为 a 在三个坐标轴上的分向量， 分别称向量
u u 也是 , 且
过点 A 作平行 于轴 u 的数轴 u , 且与轴 u 同向，因此 A B 与 u 的夹角
2
,
投影为正；( 2 )
2
,
投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等；
,
- 12 -
投影为负；
c
a
b
u
第二节
向量的坐标表示
2 2 2
x 2,
2
PP 1 2 PP 2 ,
x 1,
x 11 2
2
x 2
2
所求点为 ( 1 , 0 , 0 ), ( 1 , 0 , 0 ).
-8-
第二节
向量的坐标表示
线性代数与解析几何
2019 年 10 月 8 日 9 / 36
伴随矩阵 (Adjoint Matrix)
根据伴随矩阵定义 可以得到
AA∗ = (det A)I
A = |A|(A∗)−1,
A−1
=
1 |A|
A∗
(6)
A∗ = |A|A−1,
(A∗)−1
=
1 |A|
A
(7)
(A−1)∗
=
|A−1|(A−1)−1
(5a)
an1 an2 . . . ann |A|
A1n A2n . . . Ann
=
|A| ...
(5b)
|A|
= (det A)I
(5c)
= A∗A
(5d)
沈超 (RCS·BJTU)
§2.4 Cramer 法则
2019 年 10 月 8 日 7 / 36
伴随矩阵 (Adjoint Matrix)
§2.4 Cramer 法则
2019 年 10 月 8 日 7 / 36
伴随矩阵 (Adjoint Matrix)
证：
a11 a12 . . . a1n
A11 A21 . . . An1
AA∗
=
a21 ...
a22 ...
... ...
a2n ...
A12 ...
A22 ...
... ...
An2 ...
定理 3
方阵 A 可逆的充要条件为 det A ̸= 0. 当 A 可逆时
A−1
=
1 det
A
A∗.
证： A 可逆的充要条件为 |A| ̸= 0.（前面已证）
当 A 可逆时, |A| ̸= 0, 则由 AA∗ = (det A)I
《大学数学解析几何》PPT课件
➢笛卡尔的解析几何有两个基本思想： （１）用有序数对表示点的坐标； （２）把互相关联的两个未知数的代数方程，看成平面上的一 条曲线。
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四、学习要求
１、课前预习. ２、课上认真听讲，积极思考，记好笔记. ３、课后及时复习，独立认真地完成作业. ４、课外适当阅读课外参考书，拓宽知识面，加深对课本内 容的理解.
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五、考核方式及成绩评定
考核方式：闭卷考试 总评成绩＝平时成绩×30%
+期末考试成绩70%
《解析几何》
－Chapter 1
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3．解析几何创立的意义
➢ 笛卡尔和费马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义。
➢解析几何沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间 的联系，从此，代数与几何这两门学科互相吸取营养而得到迅速 发展，并结合产生出许多新的学科，近代数学便很快发展起来了。
➢恩格斯高度评价了笛卡尔的革新思想。他说：“数学中的转折 点是笛卡儿的变数。有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩 证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的 了。”
关于解析几何产生的历史，可以查阅数学史方面的 书，例 如李文林的《数学史概论》（高等教育出版社），或 上网查阅 查关的内容，网址：
/2/22/07/0641.htm
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二、本课程的主要内容及基本要求
本课程在中学平面向量和平面解析几何的基础上，进一步 学习空间向量和空间解析几何。主要内容有：
新高一数学必修二课本习题答案
新高一数学必修二课本习题答案在高中数学的学习中，习题的解答是巩固和检验学习效果的重要环节。
对于新高一的学生来说，数学必修二的课本习题答案可以帮助他们更好地理解和掌握数学概念、公式和解题技巧。
以下是一些数学必修二习题的解答示例，但请注意，这些答案仅供参考，实际答案应以官方教材或教师指导为准。
第一章：函数习题1：判断函数的单调性。
解答：函数的单调性可以通过求导来判断。
如果函数在某区间内的导数大于0，则该区间内函数单调递增；如果导数小于0，则单调递减。
习题2：求函数在某点的切线方程。
解答：首先求出函数在该点的导数值，这代表了切线的斜率。
然后根据切点的坐标和斜率，利用点斜式方程求出切线方程。
第二章：三角函数习题1：利用三角恒等式化简表达式。
解答：利用基本的三角恒等式，如正弦和余弦的和差公式、倍角公式等，对给定的三角表达式进行化简。
习题2：求三角函数的值域。
解答：根据三角函数的性质，如正弦函数的值域为[-1,1]，余弦函数的值域也为[-1,1]，可以确定函数的值域。
第三章：解析几何习题1：求直线的方程。
解答：给定直线上的两点坐标，可以通过两点式求出直线方程，或者给定直线的斜率和一点坐标，通过点斜式求出直线方程。
习题2：判断两条直线是否平行或垂直。
解答：判断两条直线的斜率，如果斜率相等，则直线平行；如果斜率互为相反数的倒数，则直线垂直。
第四章：概率与统计习题1：计算事件的概率。
解答：根据概率的定义，事件的概率等于该事件发生的次数与所有可能事件的总次数之比。
习题2：计算数据的平均数、中位数和众数。
解答：平均数是所有数据的和除以数据的个数；中位数是将数据从小到大排序后位于中间位置的数；众数是数据集中出现次数最多的数。
结束语：数学学习是一个不断积累和实践的过程，解答习题是检验学习效果的重要手段。
希望这些示例能够帮助你更好地掌握数学知识，同时，也鼓励你通过自己的努力去探索和解决数学问题。
记住，数学不仅仅是记住公式和定理，更重要的是理解其背后的逻辑和原理。
习题 第一章 实数集与函数
习题选解第一章 实数集与函数§1 实数6．设a 、b 、c +∈R （+R 表示全体正实数集合）.证明：c b c a b a -≤+-+2222.你能说明此不等式的几何意义吗？证 利用根式有理化的方法，有22222222ca b a c b c b c a b a +++-+=+-+≤||2222c b ca b a c b -++++≤c b -.关于不等式的几何意义请读者通过画图自行解答.8．设p 为正整数.证明：若p 不是完全平方数，则P 是无理数. 证 用反证法.假若P 是有理数，设P =v u v u,,为正整数，互质，且0≠v ，于是有P =22vu .一方面，p 为非平方数，故12≠v .另一方面，因v u 与互质，故意22v u 与也互质；但由2222,u v pv u 为=的一个整数因子，故必有12=v ，矛盾.由此可见P 为无理数.§2 数集·确界原理8．设a>0,a ≠1,x 为有理数，证明：{}{}⎪⎩⎪⎨⎧<<><=.1,,inf ,1,,sup a x r r a a x r r a a rrx当为有理数当为有理数 证 首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来.不妨设a>1，需证： （i ）x r <∀，r 为有理数，x r a a ≤；（ii ）x r x a a x r r a <<<∃<∀αα使得有理数,,,.因为r,x 都是有理数，由有理数指数性质可得（i ）.再证（ii ），因为x a <<α0，所以x a <αlog ，由有理数的稠密性，∃有理数r ，x r a <<αlog ，于是x r a a <<α.同理可证0<a<1的情形.§3 函数概念12．证明关于函数][x y =的如下不等式：（1）当x>0时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x ；（2）当x<0时，x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111.证 （1）当x>0时，x x x 1111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-，即111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x . （2）当x<0时，x x x 1111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-，因为x<0，所以x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111.§4 具有某些特性的函数11．证明：x x x f sin )(+=在R 上严格递增. 证 设1221,,x x R x x >∈，121212sin sin )()(x x x x x f x f -+-=-2sin 2cos2121212x x x x x x -++-= ≥2sin 21212x x x x -+-0)(1212=-+->x x x x ，其中应用了不等式)0(,sin ≠<x x x .12．设定义在),[+∞a 上的函数f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义),[+∞a 上的函数：)(sup )(),(inf )(y f x M y f x m xy a xy a ≤≤≤≤==.试讨论)(x m 与)(x M 的图像，其中（1）),0[,cos )(+∞∈=x x x f ；（2）),1[,)(2+∞-∈=x x x f答 （1）)(x m =⎩⎨⎧+∞<<-≤≤;,1,0,cos x x x ππ)(x M +∞<≤≡x 0,1. （2）)(x m =⎩⎨⎧+∞<<≤≤-;0,0,01,2x x x)(x M =⎩⎨⎧+∞<<≤≤-.1,,11,12x x x第二章 数列极限§1 数列极限概念4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数k ，有a a k n n =+∞→lim .提示 由a a n n =∞→lim 可知：,,01N ∃>∀ε当1N n >时，ε<-a a n .需证：,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<-+a a k n .7．证明：若a a n n =∞→lim ，则||||lim a a n n =∞→.当且仅当a 为何值时反之亦成立.证 若a a n n =∞→lim ，则,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<-a a n .由不等式a a a a n n -≤-，可知||||lim a a n n =∞→.可证当且仅当a=0时由||||lim a a n n =∞→可推得a a n n =∞→lim .先证若a=0，且0lim =∞→n n a ，则,,0N ∃>∀ε当N n >时，ε<=--00n n a a ，于是0lim =∞→n n a .若由||||lim a a n n =∞→可得a a n n =∞→lim ，则必有a=0.不然的话，若a ≠0，令a a n n )1(-=，则||||lim a a n n =∞→，但是a n n )1(lim -∞→不存在.§2 收敛数列的性质5．设{}n a 与{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列.证明{}n n b a ±是发散数列.又问{}n n b a 和⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a （0≠n b ）是否必为发散数列. 证 设{}n a 是收敛数列，{}n b 是发散数列.用反证法，假若{}n n b a ±是收敛数列.设n n n c b a ≠±，则)(n n n a c b -±=，由四则运算性质可知{}n b 也是收敛数列，与所设矛盾，于是{}n n b a ±是发散数列.在题设条件下，{}n n b a 未必是发散数列，可以考虑反例：n b na n n ==,1. 9．设m a a a m 为,,,21 个正数，证明：n nm n n n a a a +++∞→ 21lim ={}m a a a ,,,max 11 . 证 设{}m a a a a ,,,max 11 =，有a m ma a a a a a n n n n nm n n n n ⋅=≤+++== 21，令∞→n ，利用极限1lim =∞→n n m ，由迫敛性可得a a a a n n m n n n =+++∞→ 21lim .§3 数列极限存在的条件8．证明：若{}n a 为递增（递减）有界数列，则{}{})(inf sup lim n n n n a a a =∞→.又问逆命题成立否？证 1 不妨设{}n a 为递增有界数列.由确界原理，存在{}n a sup =η，由确界定义，,,0n n a a <-∃>∀εηε，由{}n a 的递增性，当0n n >时，εηεη+<<<-n n a a 0.由此可见：0,0n ∃>∀ε，当0n n >时，εη<-n a ，即{}n n n a a sup lim =∞→.反之不然，反例：))1(1(211n n na -+-=. 例2 设a a n n =∞→lim ，由η≤n a ，由保不等式性质有η≤n a ，设法证明η<n a 是不可能的（请读者补充证明）.12．设{}n a 为有界数列，记{} ,,sup 1+=n n n a a a ， {} ,,inf 1+=n n n a a a .证明：（1）对任何正整数n ，n n a a ≥；（2）{}n a 为递减有界数列，{}n a 为递增有界数列，且对任何正整数n ，m 有m n a a ≥； （3）设a 和a 分别为{}n a 和{}n a 的极限，a ≥a . （4）{}n a 收敛的充要条件是a =a . 证 （1）由确界性质可知：n ∀，必有{} ,,sup 1+n n a a ≥{} ,,inf 1+n n a a ，即m n a a ≥.（2）因为{}n a 有界，M a M n M n ≤≤-∀>∃,,0，于是M a a M n n ≤≤≤-，即{}n a ，{}n a 为有界数列.由{} ,,sup 211+++=n n n a a a ≤{}n n n a a a =+ ,,sup 1可知{}n a 为递减数列.同理可证{}n a 为递增数列.m n m n m n a a a a m n ≥≥≥∀++,,.（3）由单调有界定理，存在极限a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim .因为n n a a ≥，令∞→n ，由保不等式性有a a ≥.（4）[必要性] 若a a n n =∞→lim ，则N n N >∀∃>∀,,0ε时εε+<<-a a a n .于是N n >时εε+≤≤≤-a a a a n n ，令∞→n ，又有εε+≤≤≤-a a a a n n ⇒a a a a a ==⇒≤-≤ε20.[充分性] 若a a a ==，因为a a n n =∞→l i m，a a n n =∞→lim ，条件现N n N >∀∃>∀,,0ε时εε+≤≤≤-a a a a n n ，于是εε+<<-a a a n ，这样就有a a n n =∞→lim .第三章 函数极限§1 函数极限概念7．设A x f x =+∞→)(lim ，证明A xf x =++→)1(lim 0.证 由A x f x =+∞→)(lim 可知0,0>∃>∀M ε，当x>M 时，ε<-A x f )(.在上式中作变换xy 1=，并取M1=δ，有,0>∀ε当0<y<δ时ε<-A y f )1(，即A x f x =++→)1(lim 0.8．证明：对黎曼函数R(x)有0)(lim 0=+→x R x x ，]1,0[0∈x （当0x =0或1时，考虑单侧极限）.证 ,.)1,0(1,0,0),,,(,1)(⎪⎩⎪⎨⎧∈==+内的无理数与当为互质当q p N q p q p x q x R 不妨设]1,0[0∈x ，0x =0或1时只需讨论单侧极限.为了证明0)(lim 0=+→x R x x ，按定义要证：0,0>∃>∀δε，当0<0x x -<δ时，ε<-0)(x R .当);(0δx U x ︒∈，x 为无理数时0)(=x R ，于是ε<)(x R 自然成立；当);(0δx U x ︒∈，x 为有理数q p 时，q x R 1)(=，需证0>∃δ，使得当q p );(0δx U ︒∈时，有ε<q1.先取定0>ε，现讨论使得ε≥q 1的有理点q p ，亦即使得ε1≤q 的有理点，这类有理点只有有限个，设为k x x x ,,,21 ，现设法取0>δ，使这有限个有理点被排除在);(0δx U ︒之外.设{}00002011,,,,,min x x x x x x x x k ----= δ，于是x ∀);(0δx U ︒∈)1,0(⊂，且x 为有理数时ε<)(x R .这样，0,0>∃>∀δε，当);(0δx U x ︒∈时，无论x 是有理数还是无理数，都使ε<)(x R ，即0)(lim 0=+→x R x x .§2 函数极限的性质5．设0)(>x f ，A x f x x =+→)(lim 0.证明n nx x A x f =+→)(lim，其中n ≥2为正整数.提示 讨论A=0和A>0两种情况.A>0时应用nn N nn nn n nAA x f x f Ax f A x f 1121)()()()(---+++-=- 来证明.9．（1）证明：若)(lim 30x f x →存在，则)(lim 0x f x →=)(lim 30x f x →.（2）若)(lim 20x f x →存在，试问是否成立)(lim 0x f x →=)(lim 20x f x →？解 （1）由)(lim 30x f x →存在，0,0>∃>∀δε，当δ<<x 0时，ε<-A x f )(3，作变换3x y =，当δ<<30y 时，ε<-A y f )(，即30δ<<y 时，ε<-A y f )(，于是)(lim 0x f x →=)(lim 30x f x →=A.（2）否.反例：⎪⎩⎪⎨⎧<<≥=.,0,0,,0,1,0,)(为无理数为有理数x x x x x x x f易见)(lim 20x f x →=0lim 20=→x x ，而)(lim 0x f x -→不存在，因此)(lim 0x f x →不存在.§3 函数极限存在的条件7．证明：若f 为定义在R 上的周期函数，且0)(lim =+∞→x f x ，则0)(≡x f ，R x ∈.证 设T 为f 的周期.因为0)(lim =+∞→x f x ，则M x M >∀>∃>∀,0,0ε时，ε<)(x f .+∈∃∈∀N n R x ,0，使得M nT x x >+=0.由函数f 的周期性，ε<=+=)()()(00x f nT x f x f ，令0→ε，得0)(0=x f ，于是0)(≡x f ，R x ∈∀.8．证明定理3.9.提示 充分性用反证法.若A x f x x ≠++→)(lim 0，选出以0x 为极限的递减数列{})(0x U x n +︒⊂，但0)(ε≥-A x f n ，0ε为某正数.§4 两个重要的极限3．证明：12cos 2cos 2cos cos lim lim 20=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞→→n n x x x x x .提示 先利用x x x x x x n n n 2sin 2sin 2cos 2cos 2cos cos 221=⋅+ 作化简，然后应用1sin lim 0=→xxx 来证明.§5 无穷小量与无穷大量7．证明：若S 是无上界数集，则存在一递增数列{}S x n ⊂，使得+∞→n x （∞→n ）. 证 因为S 无上界，于是0>∀M ，M x S x >'∈'∃使得,. 取1111,,1M x S x M >∈∃=使， 取22212,,2M x S x x M >∈∃+=使， …………取n n n n n M x S x n x M >∈∃+=-使,,1， …………可见{}n x 为递增数列+∞→n x .第四章 函数的连续性§1 连续性概念7．设函数f 只有可去间断点，定义)(lim )(y f x g xy →=，证明g 为连续函数.证 因为)(lim )(00y f x g x y →=，于是0,0>∃>∀δε，当δ<-<00x y 时，ε<-)()(0x g y f .x ∀，δ<-0x x 时，)()(0x g x g -≥ε，这样)(x g 在0x x =处连续，由0x 的任意性，)(x g 为连续函数.§2 连续函数的性质6．设f 在),[+∞a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在.证明：f 在),[+∞a 上有界.又问f 在),[+∞a 上必有最大值或最小值吗？提示 利用函数极限的局部有界性和连续函数有界性定理可证f 在),[+∞a 上有界，若),[0+∞∈∃a x ，使得)(0x f =B>A=)(lim x f x +∞→，设法证明2)(,,A B x f X x X +<>∀∃，再证[a,X]上f 的最大值必为f 在),[+∞a 上的最大值.同理可证若),[0+∞∈∃a x ，)(0x f <A 时，f 必在),[+∞a 上取到最小值.10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.证 设方程为0)(122112=+++=++n n n a x a x x f ，其中）为实数12,,2,1(+=n k a k .试利用)(lim x f x +∞→=+∞，)(lim x f x -∞→=-∞，证明,0>∃X ,0)(<-X f 0)(>X f .16．设函数f 满足第6题的条件.证明f 在),[+∞a 上一致连续.证 因为)(lim x f x +∞→=A ，于是由函数极限的柯西准则，,,,0x x '∀∃>∀εε<''-'>'')()(,x f x f X x .在[a,X+1]上应用一致连续性定理，有11],1,[,,0)(,0δεδε<''-'+∈'''∀>∃>∀x x X a x x 时，ε<''-')()(x f x f （2.2）取{}1,max 1δδ=，现证δ<''-'+∞∈'''∀x x a x x ],,[,,时，有ε<''-')()(x f x f .分三种情况：（1）当δ<''-'∈'''x x X a x x 且],,[,时，由（2.2）ε<''-')()(x f x f .（2）当δ<''-'+∞∈''∈'x x X x X a x ),,(],,[时，则]1,[+∈''X a x ，由（2.2）ε<''-')()(x f x f .（3）当δ<''-'+∞∈'''x x X x x ),,(,时，同样有ε<''-')()(x f x f .这样，0)(,0>∃>∀εδε，δ<''-'+∞∈'''∀x x a x x ),,[,时，总有ε<''-')()(x f x f ，即f 在),[+∞a 上一致连续.第五章 导数和微分§1 导数的概念设函数⎪⎩⎪⎨⎧≠=001sin 0)(x x x xm x f （m 为正整数） 试问：（1）m 等于何值时，f 在x=0连续；（2）m 等于何值时，f 在x=0可导；（3）m 等于何值时，f '在x=0连续。
高中数学_直线的倾斜角与斜率教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学活动活动1【导入】设置问题，导入新课提问：经过两点有且只有（确定）一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图，过一点P可作无数多条直线a，b，c，…易见，答案是否定的，这些直线有什么联系呢？学生回答（不能确定）（1）它们都经过点P．（2）它们的倾斜程度不同．接着教师提出：怎样描述这种倾斜程度的不同？由此引入课题．活动2【讲授】师生互动，学习新知1．直线倾斜角的概念当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．教师提问：倾斜角的取值范围是什么？0度到180度。
特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0度．（由学生结合图形回答）因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度，引入直线的倾斜角之后，我们就可以用倾斜角来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度．教师提问：如左图，直线a∥b∥c，那么它们的倾斜角相等吗？学生回答后作出结论．一个倾斜角不能确定一条直线，进而得出．确定一条直线位置的几何要素．确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：一个点P和一个倾斜角．设计意图：通过这种师生互动引导学生明确确定一条直线位置的两个几何要素2．直线的斜率一条直线的倾斜角（a≠90°）的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k=tana．由此可知，一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．例如a= 45°时k = tan45°= 1a= 135°时k = tan135°= –1教师提问：（由学生讨论后回答）（1）当直线l与x轴平行或重合时，k为多少？k = tan0°= 0（2）当直线l与x轴垂直时，k还存在吗？a= 90°，k不存在设计意图：设疑激发学生思考得出结论3．直线的斜率公式教师提出问题：给定两点P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2)，x1≠x2，如何用两点的坐标来表示直线P1、P2的斜率？可用计算机作动画演示：直线P1P2的四种情况，并引导学生如何作辅助线，共同完成斜率公式的推导．借助多媒体演示让学生亲自体会斜率公式的推导过程．对于上面的斜率公式要注意下面四点：（1）当x1 = x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角a = 90°，直线与x轴垂直；（2）k与P1、P2的顺序无关，即y1、y2和x1、x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；（4）当y1 = y2时，斜率k = 0，直线的倾斜角= 0°，直线与x轴平行或重合．（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．4、直线的斜率K与倾斜角a之间的关系由斜率的计算公式y=y2-y1/x2-x1，让学生通过讨论思考，得到斜率k与倾斜角a的关系k=0时，a=0度，倾斜角为0度k>0时，0<a<90，倾斜角为锐角k<o时，90<a<180，倾斜角为钝角a=90度时，斜率k不存在设计意图：让学生自己动手，学会归纳总结，并体会分类讨论的思想方法。