【数学】高三5月“五校联考”第二次考试数学试题
高三数学第二次(5月)综合练习(二模)试题 理 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校区2021届高三数学第二次〔5月〕综合练习〔二模〕试题 理〔考试时间120分钟 总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两局部第一局部〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.集合{|1}A x x =>，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B =A.{|0}x x> B.{|12}x x << C.{|12}x x ≤< D.{|0x x >且1}x ≠2. 复数i(1+i)的虚部为A.1 C. 0 D. 1-3.在数学史上，中外数学家使用不同的方法对圆周率π进行了估算. 根据德国数学家莱布尼茨在1674年给出的求π的方法绘制的程序框图如下列图.执行该程序框图，输出s 的值为 A.4 B.83C.5215D.3041054.在△ABC 中，6B π=，4c =，cos 3C =,那么b =A. 3 C.32 D. 435. 等差数列{}n a 的首项为1a ，公差0d ≠.那么“139,,a a a 成等比数列〞 是“1a d=〞的A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件6. 函数2,,(),.x x a f x x x a ⎧≥=⎨-<⎩假设函数()f x 存在零点，那么实数a 的取值范围是A.(),0-∞ B.(),1-∞ C. ()1,+∞ D. ()0,+∞7. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段CD 和11A B 上的动点，且满足1CE A F =，那么四边形1D FBE 所围成的图形〔如下列图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和A. 有最小值32 B.有最大值52C. 为定值3D. 为定值2 8.在同一平面内,A为动点,,B C为定点,且3BAC π∠=,2ACB π∠≠,1BC =,P 为BC 中点.过点P 作PQ BC ⊥交AC 所在直线于Q ,那么AQ 在BC 方向上投影的最大值是A.13B. 12D.23第二局部〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9. 3log e a=，ln3b =，3log 2c =，那么a ，b ，c 中最小的是 .10.点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，那么点M 到抛物线C 焦点的距离是 .11.圆cos ,:1sin x C y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数)上的点P到直线12,:1x t l y t=+⎧⎨=-+⎩(t 为参数)的距离最小值是 .12. 实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“假设z x y =+的最大值为4，那么1,3x y ==〞(,)x y 值是 .B13.由数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的三位数，偶数共有 个，其中个位数字比十位数字大的偶数共有 个.14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,0),(4,0),(4,0),(0,2),(0,2)O M N P Q --，(4,2)H .线段OM 上的动点A 满足((0,1))OA OM λλ=∈；线段HN 上的动点B 满足HB HNλ=.直线PA 与直线QB 交于点L ，设直线PA 的斜率记为k ，直线QB 的斜率记为k '，那么k k '⋅的值为_______；当λ变化时，动点L 一定在__________〔填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个〕上.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.〔本小题总分值13分〕函数2()2sin cos 23cos 3f x x x x =+-.〔Ⅰ〕求函数()f x 的最小正周期；〔Ⅱ〕当[,]312x ππ∈-时，求证：()3f x ≥-. 16.〔本小题总分值13分〕[7,8),[8,9),[9,10]分组，绘成频率分布直方图如下：专家 A[ B C D E 评分[]0.5 a 0.27 8 9 10 评分O频率 组距 N M HFEQy xLGPO BA〔Ⅰ〕求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；〔Ⅱ〕从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求()E X 与()E Y 的值； ：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x .方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +. 请直接写出x 与122x x +的大小关系.17.〔本小题总分值14分〕在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC . D ，E 分别是边BC ，AC 的中点，线段1BC 与1B C 交于点G ，且4AB =，1BB =(Ⅰ) 求证：//EG 平面1AB D ；(Ⅱ) 求证：1BC ⊥平面1AB D ；(Ⅲ) 求二面角1A B C B --的余弦值. 18. 〔本小题总分值13分〕函数22()(24)ln 4f x ax x x ax x =+--(a ∈R ,且0a ≠).〔Ⅰ〕求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; 〔Ⅱ〕假设函数()f x 的极小值为1a，试求a 的值. [Z,X,X,K]19. 〔本小题总分值14分〕椭圆:C 2221x y a+=(>1)a〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；B 1B〔Ⅱ〕设直线l 过点(1,0)M 且与椭圆C 相交于,A B 两点.过点A 作直线3x =的垂线，垂足为D .证明：直线BD 过x 轴上的定点. 20.〔本小题总分值13分〕 对于由有限个自然数组成的集合A ,定义集合(){,}S A a ba Ab A =+∈∈∣, 记集合()S A 的元素个数为(())d S A . 定义变换T ，变换T 将集合A 变换为集合()()T A A S A =.〔Ⅰ〕假设{}0,1,2A =, 求(),()S A T A ;〔Ⅱ〕假设集合A 有n 个元素，证明:“(())21d S A n =-〞的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为0的等差数列〞;[] 〔Ⅲ〕假设{1,2,3,4,5,6,7,8}A ⊆且{1,2,3,,25,26}(())T T A ⊆，求元素个数最少的集合A .区高三年级第二次综合练习数学〔理〕答案2021．5一、选择题：〔此题总分值40分〕二、填空题：〔此题总分值30分〕三、解答题：〔此题总分值80分〕 15． (本小题总分值13分)解：〔Ⅰ〕2()2sin cosf x x x x =+- 所以()f x 的最小正周期2T ωπ==π.………….6分〔II 〕因为[,]312x ππ∈-，即2+[,]332x πππ∈-, 所以()f x 在[,]312ππ-上单调递增.当2+=33x ππ-时，即=3x π-时，min ()=f x所以当[,]312x ππ∈-时， ()f x ≥………….13分 16．(本小题总分值13分) 解：〔Ⅰ〕由图知0.3a =，某场外观众评分不小于9的概率是12. ………….3分〔Ⅱ〕X 的可能取值为2,3.2141353(X 2)5C C P C ===；34352(X 3)5C P C ===.所以X 的分布列为所以3212()23555E X =⨯+⨯=.由题意可知，1~(3,)2Y B ，所以3()2E Y np ==. ………….10分〔Ⅲ〕122x x x+<. ………….13分17．(本小题总分值14分) (I)因为E 为AC 中点，G 为1B C 中点.所以1//EG AB .又因为EG ⊄平面1AB D ，1AB ⊂平面1AB D ,所以//EG 平面1AB D . ………….4分(Ⅱ)取11B C 的中点1D ，连接1DD.显然DA ，DC ，1DD 两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz -,[] 那么(0,0,0)D ，A ，(0,2,0)B -，1(0,B -，1C ,E ,(0,2,0)C .所以1(0,DB =-，(2DA =，1BC=.又因为12300400BC DA ⋅=+⨯+⨯=，1100(2)40BC DB ⋅=⨯+-⨯+=,所以111,BC DA BC DB ⊥⊥.又因为1DADBD =，所以1BC ⊥平面1AB D . ………….9分〔Ⅲ〕显然平面1B CB 的一个法向量为1(1,0,0)=n .设平面1AB C 的一个法向量为2(,,)x y z =n ，又(AC =-，1(0,4,B C =-，B B由2210,0,AC B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得20,40.y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩设1x =，那么y =，z =，那么2=n .所以121212cos 10,⋅<>===n n n n n n . 设二面角1A B C B --的平面角为θ，由图可知此二面角为锐二面角，所以cos 10θ=. ………….14分18． (本小题总分值13分)解：由题意可知()4(1)ln f x ax x '=+，(0,)x ∈+∞. 〔Ⅰ〕(1)0f '=，(1)4f a =--，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为4y a =--. ………….3分〔Ⅱ〕①当1a <-时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时13()ln()f a a a a a -=+-=,解得1ea =->-，故不成立.②当1a =-时，()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减.此时()f x 无极小值，故不成立.③当10a -<<时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a =-+2a =--因为10a -<<，所以2a =-.④当0a>时，x 变化时(),()f x f x '变化情况如下表：此时极小值(1)4f a =--，由题意可得4a a--=，解得2a=-+或2a =--，故不成立.综上所述2a=-+………….13分19． (本小题总分值14分)〔Ⅰ〕由题意可得2221,,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得1,b a =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2213x y +=. ………….4分〔Ⅱ〕直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0).证明如下（1） 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =,不妨设A ，(1,B ，D . 此时，直线BD 的方程为：2)3y x =-，所以直线BD 过点(2,0). 〔2〕当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y ,1(3,)D y .由22(1),33y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(31)6330kx k x k +-+-=.所以22121222633,3131k k x x x x k k -+==++.直线2112:(3)3y y BD y y x x --=--，令0y =，得1221(3)3y x x y y ---=-， 所以2112121333y y y x y x y y --+=-2222112431k x k x x -+=-. 由于2122631k x x k =-+，所以2222221243126231k x k x k x k -+==-+. 故直线BD 过点(2,0).综上所述，直线BD 恒过x 轴上的定点(2,0). ………….14分 20． (本小题总分值13分) 解：〔Ⅰ〕假设集合{}0,1,2A =, 那么{}()()0,1,2,3,4S A T A ==. ….3分〔Ⅱ〕令12{,,}n A x x x =.不妨设12n x x x <<<.充分性：设{}k x 是公差为d ()0d ≠的等差数列.那么111(1)(1)2(2)(1,)ij x x x i d x j d x i j d i j n +=+-++-=++-≤≤且22i j n ≤+≤.所以i j x x +共有21n -个不同的值.即(())21d S A n =-.必要性：假设(())21d S A n =-.因为1122ii i i x x x x ++<+<，(1,2,,1)i n =-.所以()S A 中有21n -个不同的元素：12122312,2,,2,,,,n n n x x x x x x x x x -+++.任意i j x x +(1,i j n ≤≤) 的值都与上述某一项相等.又1212ii i i i i x x x x x x +++++<+<+，且11122i i i i i x x x x x +++++<<+，1,2,,2i n =-.所以212ii i x x x +++=，所以{}k x 是等差数列，且公差不为0.….8分〔Ⅲ〕首先证明: 1A ∈. 假设1A ∈/, A 中的元素均大于1, 从而1()S A ∈/, 因此1()T A ∈/, 1(())S T A ∈/, 故1(())T T A ∈/, 与{}1,2,3,...,25,26(())T T A ⊆矛盾, 因此1A ∈.设A 的元素个数为n , ()S A 的元素个数至多为2n C n +, 从而()T A 的元素个数至多为2(3)2n n n C n n +++=. 假设2n =, 那么()T A 元素个数至多为5, 从而(())T T A 的元素个数至多为58202⨯=, 而(())T T A 中元素至少为26, 因此3n ≥. 假设A 有三个元素, 设23{1,,}A a a =, 且2318a a <<≤, 那么从而1,2,3,4(())T T A ∈.假设25a >, (())T T A 中比4大的最小数为2a ,那么5(())T T A ∈/, 与题意矛盾, 故25a ≤.集合(())T T A 中最大数为34a , 由于26(())T T A ∈, 故3426a ≥, 从而37a ≥.(i)假设2{1,,7}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,7,8,2,7,14()a a a a T A ++∈, 那么有81422,21428(())T T A +=⨯=∈, 在22与28之间可能的数为2214+2,21a a +.此时23,24,25,26不能全在(())T T A 中, 不满足题意.(ii)假设2{1,,8}A a =且25a ≤. 此时, 22221,2,,1,8,9,2,8,16()a a a a T A ++∈, 那么有16925(())T T A +=∈,假设26(())T T A ∈, 那么216226a +=或216(8)26,a ++= 解得25a =或22a =. 当{1,2,8}A =时, 15,21,22,23(())T T A ∈/, 不满足题意. 当{1,5,8}A =时,满足题意.故元素个数最少的集合A 为{}1,5,8 ………….13分。
高三数学第二次模拟5月考试试题 理含解析 试题
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论。
【详解】由题意，画出几何图形如以下图所示：
根据向量加法运算可得
因为G为△ABC的重心，M满足
所以 ，
所以
所以选B
【点睛】此题考察了三角形重心的性质，向量的线性运算，属于根底题。
对于选项D，2021年不上线人数为 .2021年不上线人数为 .不达线人数有所增加.应选D.
【点睛】此题考察了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再与 轴的非负半轴重合，终边上有一点 ，那么 〔〕
A. B. C. D.
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数除法运算，化简即可判断对应的点所在象限。
【详解】由复数除法运算，可得
所以在复平面内对应点 坐标为 ，即位于第二象限
所以选B
【点睛】此题考察了复数的除法运算，复平面内点坐标特征，属于根底题。
3.某地某所高中2021年的高考考生人数是2021年高考考生人数的1.5倍，为了更好地比照该校考生的升学情况，统计了该校2021年和2021年的高考情况，得到如下柱状图：
1.集合 ， ，那么 〔〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
解不等式，求得整数解集，再根据交集定义即可求得 。
【详解】因为 ，所以
因为 ，所以
根据集合交集运算，可得
所以选C
【点睛】此题考察了不等式的解法，交集的根本运算，注意解集为整数集，属于根底题。
2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案
2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （ ） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（ ）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（ ）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（ ） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1． （1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+； （3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ． 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<． （1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=； （3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学 审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项． 第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+， 故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==， 又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−． 注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=， 故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面， 由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥， 故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ， 记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===， 由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2， 仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且， 因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=． （2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠． （3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+． 因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。
高三数学5月份第二次试题含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校三校2021届高三数学5月份第二次联考试题〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由补集的定义计算即可.【详解】由，，可得.应选C.【点睛】此题主要考察补集的计算.的焦距是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】该双曲线的焦点在轴，利用可求得双曲线的焦距.【详解】双曲线的焦距为.应选D.【点睛】双曲线中，椭圆中，要注意区别并判断焦点在轴上还是在轴上.3.是虚数单位，那么复数的一共轭复数对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】将的分子分母同乘以，化成的形式，其一共轭复数对应的点为.【详解】,其一共轭复数为，对应的点为，在第四象限.应选D.【点睛】将分式形式复数的分子分母同乘以分母的一共轭复数，可以化得的形式.满足，那么〔〕A.有最小值，无最大值B.有最大值，无最小值C.有最小值，也有最大值D.无最小值，也无最大值【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，设，那么，平移直线可得是否能获得最大值和最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域如图阴影局部所示.设，那么，表示直线在轴上的截距的相反数.平移直线，可得当直线过点时获得最小值，没有最大值.应选A.【点睛】此题考察线性规划问题，解题关键是作出不等式组表示的平面区域并弄清目的函数的几何意义.，直线，假设，，，那么“〞是“中至少有一条与垂直〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.【详解】先判断充分性，当时，假设都不与垂直.在平面内作的垂线，由可得，那么.由，不垂直于可得与相交.由，可得.所以，矛盾.所以当时，可以推出中至少有一条与垂直，即充分性成立.再判断必要性，当中至少有一条与垂直时，不妨设，由可得，所以，即必要性成立.综上所述，“〞是“中至少有一条与垂直〞的充要条件.应选C.【点睛】要判断是，是否成立.个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并互相交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用可求得数学期望.【详解】的可能取值为.表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故.表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或者从甲、乙口袋中各取出一个白球，故.表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故.所以.应选A.【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.假设离散型随机变量服从二项分布，也可以直接利用公式求期望.7.，那么取到最小值时〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，可得.,可利用根本不等式求得最小值，利用取等的条件可得的值.【详解】由，可得，且.所以，当且时等号成立，解得.所以取到最小值时.应选D.【点睛】此题考察根本不等式获得最值的条件，屡次用不等式求最值时要注意不等式取等的条件要同时满足.〔底面是正三角形，顶点在底面的射影是正三角形的中心〕，直线平面，分别是棱上一点〔除端点〕，将正三棱锥绕直线旋转一周，那么能与平面所成的角取遍区间一切值的直线可能是〔〕A. B. C. D.中的任意一条【答案】B【解析】【分析】能取遍区间一切值，可以先考虑和等特殊值，对选项里面涉及的三条直线进展验证排除可得正确答案.【详解】假设满足题意，当与平面所成的角为时，，由可得.在正三棱锥中，可得，当时可得，显然这是不可能成立的，所以不满足题意.同理，与不可能垂直，那么与平面所成的角不可能为.综上所述，可以排除A,C,D，应选B.【点睛】此题考察立体图形中的位置关系，选择题可适当利用特殊值、排除法等解题技巧.不一共线，且，，记与的夹角是，那么最大时，〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把表示为的函数，利用函数的性质求出当最大时的值，进而可求出的值.【详解】设，那么，，所以.易得，，当时，获得最小值，获得最大值，此时.应选C.【点睛】此题考察平面向量的有关计算，利用函数的思想求最值是一种常见思路.满足，假设存在实数，使单调递增，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由单调递增，可得恒成立，那么，分析和可排除错误选项.【详解】由单调递增，可得，由，可得，所以.时，可得.①时，可得，即.②假设，②式不成立，不合题意；假设，②式等价为，与①式矛盾，不合题意.排除B,C,D,应选A.【点睛】此题考察数列的性质，结合不等式的性质求解.二、填空题〔本大题一一共7小题，第11-14题，每一小题6分，第15-17题每一小题4分，总分值是36分，将答案填在答题纸上〕11.算法统宗中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉〞，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤〔两〕还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，那么该问题中，肉价是每两__________文．【答案】6【解析】【分析】设肉价是每两文，根据题意列出方程可解得答案.【详解】设肉价是每两文，由题意得，解得，即肉价是每两文.【点睛】此题考察中国古代著作中的数学问题，属数学文化，正确地理解题意是解题关键.12.假设某几何体的三视图〔单位：〕如下列图，那么该几何体最长的棱长是__________，体积等于__________．【答案】(1).(2).20【解析】【分析】由三视图得出该几何体的直观图，进而可求最长棱长和体积.【详解】由三视图可得该几何体是截长方体得到的四棱锥,其中，最长的棱长是，体积.【点睛】此题考察由几何体的三视图求棱长和体积，借助长方体得出多面体的直观图是一种常见方法.中，内角所对的边分别是，，，那么__________．的取值范围是__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由正弦定理可得的值.由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】由正弦定理，可得，那么.由，可得，，所以.由是锐角三角形，可得，，那么，所以，.所以.【点睛】此题考察正弦定理，综合运用三角恒等变换知识是解题关键.的展开式中，第项是常数项，那么__________．二项式系数最大的项的系数是__________．【答案】(1).6(2).160【解析】【分析】写出二项式展开式的通项，由第项是常数项可求得.二项式系数当时最大，代入通项，可得相应项的系数.【详解】二项式展开式的通项为，因为第项是常数项，所以，即.当时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项的系数是.【点睛】二项式的展开式的第项为，准确利用通项是解决二项式定理相关问题的关键.，函数，,，那么的取值范围是__________，假设有四个不同的实根，那么的取值范围是__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】由题意得，由可得的取值范围.假设有四个不同的实根，那么的图象与直线有四个交点，结合函数图象求解即可.【详解】由题意得，当时，，当时，，故的取值范围是.如下列图，,令，解得，那么.假设有四个不同的实根，那么，解得，即.【点睛】此题考察函数与方程的综合问题，画出函数图象，利用数形结合的思想求解.个收费通道，每个通道处有号，号两个收费点，根据每天的人流量，超准备周一选择其中的处通道，要求处通道互不相邻，且每个通道至少开通一个收费点，那么周一这天超选择收费的安排方式一共有__________种．【答案】108【解析】【分析】先选择通道，再考虑每个通道处收费点的开通方式，利用分步乘法计数原理可得答案.【详解】设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6，从中选择3个互不相邻的通道，有135,136,146,246一共4种不同的选法.对于每个通道，至少开通一个收费点，即可以开通1号收费点，开通2号收费点，同时开通两个收费点，一共3种不同的安排方式.由分步乘法计数原理，可得超选择收费的安排方式一共有种.【点睛】此题考察计数原理，利用分步乘法计数原理和枚举法求解.，过点作直线交抛物线于另一点，是线段的中点，过作与轴垂直的直线，交抛物线于点，假设点满足，那么的最小值是__________．【答案】【解析】【分析】由，可设，由题意逐步表示出点的坐标，于是可以表示出并求得其最小值.【详解】由，可设.因为，是的中点，所以.所以直线的方程为.代入，可得.因为，所以点为的中点，可得.所以.所以当时，获得最小值，即的最小值为.【点睛】此题考察抛物线的根本问题，设出坐标表示出目的函数，利用函数求最值.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕〔Ⅰ〕求函数的单调增区间；〔Ⅱ〕假设，，求的值.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】【分析】把函数化成的形式再求解即可.【详解】〔Ⅰ〕，由，得函数的单调增区间是().〔Ⅱ〕由，得，因为，所以，所以，所以【点睛】此题考察三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题.19.如图，在三棱锥中，是棱的中点，，且,〔Ⅰ〕求证：直线平面；〔Ⅱ〕求二面角的正弦值.【答案】〔Ⅰ〕见解析〔Ⅱ〕【解析】【分析】(Ⅰ)先证明与平面内的两条相交直线都垂直.(Ⅱ)过点作于点，证是所求二面角，在三角形中求之即可.【详解】〔Ⅰ〕连接，因为，所以.由得，，所以，所以，又，所以平面〔Ⅱ〕过点作，垂足是，因为是棱的中点，，所以点是的中点.连接，所以.所以就是二面角的平面角.由〔Ⅰ〕知平面，所以.因为，，所以所以,即二面角的正弦值为.【点睛】此题考察线面垂直的证明和二面角的求解，利用线面垂直的断定定理证明线面垂直，求二面角的一般方法是作-证-求或者空间向量.，的各项均不为零，假设是单调递增数列，且，.〔Ⅰ〕求及数列的通项公式；〔Ⅱ〕假设数列满足，，求数列的前项的和【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕先证是等差数列，取，可解得和公差.〔Ⅱ〕先求的通项公式，再求前项和.【详解】〔Ⅰ〕因为，所以.因为，那么，所以是等差数列.因为，，那么，所以.所以〔Ⅱ〕因为，所以.当时，，，所以.所以，，，，累加得当时，，即.也适宜上式，故,所以【点睛】此题考察等差数列和等比数列的根本问题.，有如下性质：假设点是椭圆外一点，，是椭圆的两条切线，那么切点所在直线的方程是，利用此结论解答以下问题：椭圆和点，过点作椭圆的两条切线，切点是，记点到直线〔是坐标原点〕的间隔是，〔Ⅰ〕当时，求线段的长；〔Ⅱ〕求的最大值.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕【分析】〔Ⅰ〕由结论求出直线的方程，进而可得线段的长.〔Ⅱ〕把表示为关于的函数，进而可求其最大值.【详解】〔Ⅰ〕因为点，直线的方程式：，即，当时，直线的方程是，此时.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知直线的方程是，直线的方程是.设，，那么.又由点在直线的两侧可得与异号，所以.又，所以.设，那么，所以，当，即时，有最大值为【点睛】此题考察椭圆与直线的位置关系，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理是解题的关键..〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设方程有两个不相等的实数根，求证：【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【分析】〔1〕对分类讨论，由和解得函数的单调区间.〔2〕由〔Ⅰ〕可得,设,由可得，结合〔Ⅰ〕只需证，可化得，构造函数可证得结论.【详解】〔1〕.当时，，函数在上单调递增，所以函数的单调增区间为.当时，由得；由得，所以函数的单调增区间为，单调减区间为.〔2〕因为是方程的两个不等实根，所以.不妨设，那么，，两式相减得,即.又，当时，；当时，.故只要证明即可，即证，即证,即证.设，令，那么,那么在为增函数，又,所以时，总成立，得证.【点睛】此题考察函数与导数的综合问题.考察单调区间的求法，导数不等式的证明.考察构造法、分类讨论、函数与方程等数学思想方法.。
福建省莆田市高三下学期第二次质量测试(B卷)(5月)数学(理)Word版含答案
2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(B 卷)理科数学本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2.则3.A.4B.8C.12D.164.已知函数是奇函数,且满足A.1B.-1C.3D.-35.的值为A.2B.3C.4D.56.中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘,并而开方除之”,用现代数学符号表示是可见当时就已经知道勾股定理.如果正整叫做勾股数,下面依次给出前3组勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25. 按照此规律,编写如右图所示的程序框图, 则输出的勾股数是A.11,60,61B.13,84,85C.17,74,75D.21,72,757.如上图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积等于8.,A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.10.,11.12.若函数)的图像关于直线对称,当二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.的系数是 .14.16.如图,垂足三、解答题:共70分。
解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
（一）必考题:共60分。
2021年高三5月第二次联考数学文试题 含答案
实用文档正视侧视俯视2021年高三5月第二次联考数学文试题 含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 ( ) A.ad －bc=0 B.ac －bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=02、在函数的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数的解析式可能为( )A ．B ．C ．D ．3、已知函数若，则的取值范围是( ) A ． B ．或 C D ．或．4、在平面直角坐标系中，不等式组（a 为常数）表示的平面区域的面积8，则x 2+y 的最小值（ ） A ． B ． 0 C ． 12 D ． 205、己知函数，若函数f(x)在区间 上单调递增，则的取值范围是（ ） A. [] B .[]6、函数（），若函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．7、已知的等比中项是l ，且，则的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8、如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=1,BC=2,AC=,AA 1=3,M 为线段BB 1上的一动点,则当AM+MC 1最小时,△AMC 1的面积为( )A B. C. D.29、已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，记椭圆的离心率为，则函数的大致图像是（ ）10、若,满足22221log [4cos ()]ln ln 4cos ()xy y y e xy +=-+, 则的值为 ( ) A. B. C. D.二、填空题（本题共5个小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中横线上）11、若向量满足,则 的值为______.12、若区域M ＝{(x ，y)||x|＋|y|≤2}，在区域M 内的点的坐标为(x ，y)，则x 2－y 2≥0的概率是________． 13、已知几何体的正视图是一个面积为2的半圆，俯视图是正三角形，那么这个几何体的表面积和体积为________14、 设函数，的最大值为M ，最小值为N ，那么M+N= _________ ． 15、过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为___________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤） 16、 （本小题满分12分）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，已知， 1）若，，求的面积； （2）求的值实用文档17、（本小题满分12分）如图，正方形的边长为2. (1)在其四边或内部取点，且，求事件：“”的概率； (2)在其内部取点，且，求事件“的面积均大于”的概率.18、(本小题满分12分)如图的几何体中，平面，平面，△为等边三角形，=2，为的中点． （1）求证：平面； （2）求A 到平面的距离.19、（本小题满分12分）各项均为正数的数列；{}1n na a （1）证明{}是等差数列，并求的通项公式（2）；求的前项和。
《精编》浙江省高三数学第二次五校联考试题 理 新人教A版.doc
第5题2021学年浙江省第二次五校联考数学〔理科〕试题卷第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕集合{|31}M x y x ==-,22{|log (2)}N x y x x ==-,那么()R C M N ⋂=〔 〕A. 11(,)32B. 11(,)[,)32-∞⋃+∞C. 1[0,]2D. 1(,0][,)2-∞⋃+∞ 〔2〕复数226(12)a a a a i --++-为纯虚数的充要条件是〔 〕A ．3a =或2a =-B ．3a =或4a =-C ．3a =D ．2a =- 〔3〕假设函数cos(2)(0)y x ωϕω=+>的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，那么ω为〔 〕 A ．21B ．1C ．2D ．4 〔4〕A 、B 是两个不同的点，n m 、是两条不重合的直线，βα、是两个不重合的平面，那么①α⊂m ，α∈⇒∈A m A ；②A n m = ，α∈A ，α∈⇒∈B m B ；③α⊂m ，β⊂n ，βα////⇒n m ；④⊂m α，βαβ⊥⇒⊥m ．其中真命题为〔A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ 〔5〕假设函数)1,0()1()(≠>--=-a a aa k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，那么)(log )(k x x g a +=的图像是〔 〕〔6〕点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，假设ABE ∆是直角三角形，那么该双曲线的离心率等于〔 〕A. 3B.2C.3D.4第9题〔7〕ABC ∆中，4,43AB AC BC ===，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，那么()AP AB AC ⋅+满足〔 〕P 的位置有关〔8〕实数,,,a b c d 满足,,,0a b c d a b c d ab cd <<+<+=<，那么,,,a b c d 四个数的大小关系为〔 〕A. c d a b <<<B. a b c d <<<C. c a d b <<<D. a c b d <<< 〔9〕如以下列图的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形〞， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端 的数均为1n〔2n ≥〕，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…， 那么第10行第4个数〔从左往右数〕为〔 〕A ．1360B ．1504C ．1840D ．11260〔10〕,P Q 是两个定点，点M 为平面内的动点，且MP MQλ=〔0λ>且1λ≠〕，点M 的轨迹围成的平面区域的面积为S ，设()S f λ=〔0λ>且1λ≠〕那么以下判断正确的选项是〔 〕A ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是减函数B ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是减函数C ．)(λf 在)1,0(上是增函数，在），（∞+1上是增函数D ．)(λf 在)1,0(上是减函数，在），（∞+1上是增函数第二卷〔共100分〕二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分.〔11〕为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如以下列图，其中支出在[50,60]元的同学有30人，那么n 的值为 ．〔12〕如以下列图的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并答复下面问题：假设01,,,mm m m a m b m c m <<===，那么输出的数是 ．元频率 组距20 30 40 50 60第11题第12题〔13〕x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且y x z +=2的最大值为7，最小值为1，那么b ca + ．〔14〕四棱锥P-ABCD 的三视图如以下列图，那么四棱锥P-ABCD 的体积为________．〔15〕有,,,A B C D 四个城市，它们各有一个著名的旅游点依此记为,,,a b c d ．把,,,A B C D 和,,,a b c d 分别写成左、右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应〞，如果某个旅游点是与该旅游点所在的城市相连的〔比方A 与a 相连〕就得2分，否那么就得0分；那么该爱好者得分的数学期望为 ．〔16〕向量,,a b c 满足2,1a b c ===，()()0a c b c -⋅-=，那么a b -的取值范围为 ．〔17〕函数931()931x x x xk f x +⋅+=++，假设对任意的实数123,,x x x ，均存在以123(),(),()f x f x f x 为三边长的三角形，那么实数k 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题, 共72分. 解容许写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 〔18〕〔本小题总分值14分〕函数2π()2sin 3cos24f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．〔Ⅰ〕求()f x 的最大值和最小值；〔Ⅱ〕假设不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围〔19〕〔本小题总分值14分〕数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且1 1.a = 〔Ⅰ〕求证：数列1{2}3nn a -⨯是等比数列； 〔Ⅱ〕n S 是数列{}n a 的前n 项的和．问是否存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立，假设存在，求出λ的取值范围，假设不存在，请说明理由．第14题〔20〕〔本小题总分值15分〕如图，等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º，2==BC RB ． 点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置， 使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． 〔Ⅰ〕求证：BC ⊥PB ；〔Ⅱ〕求二面角P CD A --〔21〕〔本小题总分值15分〕点(,1)P a -〔a R ∈〕,过点P 作抛物线2:C y x =的切线，切点分别为11(,)A x y 、22(,)B x y 〔其中12x x <〕．〔Ⅰ〕求1x 与2x 的值〔用a 表示〕；〔Ⅱ〕假设以点P 为圆心的圆E 与直线AB 相切，求圆E 面积的最小值．〔22〕〔本小题总分值14分〕函数32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩〔Ⅰ〕求()f x 在[1,]e -〔e 为自然对数的底数〕上的最大值；〔Ⅱ〕对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？2021学年浙江省第二次五校联考数学〔理科〕答案第一卷〔共50分〕一.选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题第二卷〔共100分〕二．填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分.〔11〕100．〔12〕c .〔13〕3-.〔14〕23. 〔15〕2分.〔16〕11].〔17〕142k -≤≤.三．解答题：本大题共5小题, 共72分. 解容许写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 〔18〕解：〔Ⅰ〕π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∵π12sin 23x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． ……3分又ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤≤，max min ()3,()2f x f x ==∴．……7分〔Ⅱ〕()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，……9分max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+，14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．……14分〔19〕解：〔Ⅰ〕证明：1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -⋅+=∈的两实根，112nn n n n n a a b a a ++⎧+=⎪∴⎨=⋅⎪⎩ ……2分 111111222(2)333 1.111222333n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯ 故数列1{2}3n n a -⨯是首项为12133a -=，公比为-1的等比数列．……4分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即1[2(1)]3n nn a =--2321211(2222)[(1)(1)(1)]33n n n n S a a a ∴=+++=++++--+-++-11(1)1[22].32n n +--=-- ……8分 因此，1121111[2(1)][2(1)][2(2)1]99n n n n n n n n n b a a ++++=⋅=--⨯--=---要使n n b S λ>，对*n N ∀∈都成立，即211*1(1)1[2(2)1][22]0,()932n n nn n N λ++-------->∈〔*〕 ……10分①当n 为正奇数时，由〔*〕式得：2111[221](21)093n n n λ+++--->即111(21)(21)(21)093n n n λ++-+-->， 11210,(21)3n n λ+->∴<+对任意正奇数n 都成立，因为1(21)(3nn +为奇数〕的最小值为1．所以 1.λ<……12分②当n 为正偶数时，由〔*〕式得：2111(221)(22)093n n n λ++---->， 即112(21)(21)(21)093n n n λ++--->11210,(21)6n n λ+->∴<+对任意正偶数n 都成立，因为11(21)(6n n ++为偶数〕的最小值为3.23.2λ∴< 所以，存在常数λ，使得n n b S λ>对*n N ∀∈都成立时λ的取值范围为(,1)-∞ ……14分BC . 〔20〕解：〔Ⅰ〕∵点A 、D 分别是RB 、∴∠RBC RAD PAD ∠=∠==90º.∴AD PA ⊥.∴ BC PA ⊥, ……3分∵A AB PA AB BC =⊥ ,,∴BC ⊥平面PAB ∵⊂PB 平面PAB ,∴PB BC ⊥. ……7分〔Ⅱ〕取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥ ∵AD AP AR AP ⊥⊥,, ∴⊥AP 平面RBC .∵⊂RC 平面RBC ,∴AP RC ⊥. ∵,A AP AF = ∴⊥RC 平面PAF . ∵⊂PF 平面PAF , ∴PF RC ⊥.∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ……12分 在Rt△RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt△PAF 中, 2622=+=AF PA PF ，cos AF AFP PF ∠==∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33． ……15分 〔21〕解：〔Ⅰ〕由2y x =可得，2y x '=． ……1分 ∵直线PA 与曲线C 相切，且过点(,1)P a -，∴211112x x x a+=-，即211210x ax --=， ……3分∴122a x a ==1x a =+ ……4分同理可得：2x a =-2x a =+……5分 ∵12x x <，∴1x a =2x a =+ ……6分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，122x x a +=，121x x ⋅=-， ……7分那么直线AB 的斜率221212121212y y x x k x x x x x x --===+--， ……8分∴直线AB 的方程为：1121()()y y x x x x -=+-，又211y x =， ∴22112112()y x x x x x x x -=+--，即210ax y -+=．∵点P 到直线AB 的距离即为圆E的半径，即2r =，……10分∴22222222222222131913()()()4(1)(1)424164411141444a a a a a r a a a a ++++++++====++++221933()3142216()4a a =+++≥=+，当且仅当22191416()4a a +=+，即21344a +=，2a =±时取等号． 故圆E 面积的最小值23S r ππ==．……15分〔22〕解：〔Ⅰ〕因为32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩①当11x -≤≤时，()(32)f x x x '=--，解()0f x '>得到203x <<；解()0f x '<得到 10x -<<或213x <<．所以()f x 在(1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3上单调递增，从而()f x 在23x =处取得极大值24()327f =．……3分，又(1)2,(1)0f f -==，所以()f x 在[1,1)-上的最大值为2．……4分②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，当0a ≤时，()0f x ≤；当0a >时，()f x 在[1,]e 上单调递增，所以()f x 在[1,]e 上的最大值为a ．所以当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2. ……8分〔Ⅱ〕假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，那么,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，那么32(,)Q t t t -+，且1t ≠． ……9分因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，所以0OP OQ ⋅=，即：232()()0t f t t t -+⋅+=〔1〕……10分 是否存在点,P Q 等价于方程〔1〕是否有解． 假设01t <<，那么32()f t t t =-+，代入方程〔1〕得：4210t t -+=，此方程无实数解． ……11分假设1t >，那么()ln f t a t =，代入方程〔1〕得到：1(1)ln t t a=+，……12分 设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，那么1()ln 0h x x x'=+>在[1,)+∞上恒成立．所以()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而()(1)0h x h ≥=，所以当0a >时，方程1(1)ln t t a=+有解，即方程〔1〕有解．……14分 所以，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．……15分。
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江 浙
即欲证成立. L L（10分）
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2017 学年浙江省高三“五校联考”第二次考试
数学试题卷
命题学校：宁波效实中学
说明：本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共 5 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟．请考生按规 定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
参考公式 柱体的体积公式：V=Sh，其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高； 锥体的体积公式：V= Sh，其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高；
如果事件 A, B 相互独立, 那么 P(A·B)=P(A)·P(B) ； 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p, 那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次 的概率 Pn(k)= C nk pk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) ．
第Ⅰ卷（选择题部分，共 40 分）
第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分，共 36 分． 11． 2 14． 1 , 2 12． 5 , [ ,13] 15． 1 , 4 16．90
1 5
13． 26 2 34 , 17． 4
125 2 3
33
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （本题满分 14 分） 18． （Ⅰ）由 (b c ) a (2 解：
（Ⅰ）求角 A 和角 B 的大小；
C ． 2
（Ⅱ）已知当 x R 时，函数 f ( x) sin x(cos x a sin x) 的最大值为
3 ，求 a 的值． 2
19． （本题满分 15 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是梯形. BC / / AD , AB BC CD 1,
x2 y 2 1 2 1(a b 0) 离心率为 ，焦距为 2 . 2 a b 2
（Ⅱ）直线 l 与椭圆切于点 P ， OQ l ，垂足为 Q ，其 中 O 为坐标原点.求 OPQ 面积的最大值．
（第 21 题图）
22． （本题满分 15 分）已知正项数列 an 满足 a1 4 ， ln an 1 （Ⅰ）求证： an 4n ； （Ⅱ）求证：
a 1 a2 1 a2 a 3 sin(2 x ) 2 2 2 2 2
4 3
…………………………14 分
解得 a
（本题满分 15 分） 19． 解答： （Ⅰ）
取 AC中点 F ，由 PA PC 得 PF AC ,由 AB BC 得 BF AC , AC 面 PBF , AC PB
D． (
, ) 3 2
9．已知 ABC 的三边长分别为 a、b、c，有以下四个命题： （1）以
a , b , c 为边长的三角形一定存在；
a b c
（2）以 2 ,2 ,2 为边长的三角形一定存在； （3）以 a , b , c 为边长的三角形一定存在； （4）以
3 3 3
a b c, b c a, c a b 为边长的三角形一定存在．
AD 2 ， PB
13 ， PA PC 3 2
（Ⅰ）证明； AC BP ； （Ⅱ）求直线 AD 与平面 APC 所成角的正弦值.
数学试题卷·第 3页（共 4 页）
20.（本题满分 15 分） （Ⅰ）求证： ln x （Ⅱ）设函数 f x
x 1 x
x 1 ；
（
▲ ） C． [3, 1] D． [3,1]
（第 5 题图）
数学试题卷·第 1页（共 4 页）
6． (1
x )6 (1 x ) 4 的展开式中 x 的系数是 （ ▲ ）
B. 3 C. 15 或 3 D. 4
A． 4
7．点 D 是 ABC 的边 AB 的中点， ABC 120 ， 点 C ，则该双曲线的离心率为 A. （ ▲ ） C.
…………………………8 分
高 新
1 cos C 2 C ，得 sin B 2 2 2
料 考资
供 提 群
0 0 7
2 9 2
0 7 0
…………………………4 分
故B
（Ⅱ） f ( x ) sin x (cos x a sin x )
sin 2 x a cos 2 x a 2 2
…………………15 分
3 , 4
PE BF，则由面 PBF 面 ABCD , 可得 PE 面 ABCD , 方法（体积法）作 2 由 VP ACD VD PAC , 解得点 D到面 PAC 距离 h
（本小题满分 15 分） 20． 解: （Ⅰ）设 g x
h 3 3 , 从而 sin AD 4 2
CD AB
3 ，若以 A 、 B 为焦点的双曲线恰好经过 2
7 1 3
B.
5 1 2
2 1
D.
3 1
8. 若 cos sin tan 0 A． (0,
，则 （ ▲ ） 2
C． (
) 6
B． (
, ) 6 4
, ) 4 3
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．设集合 A {x || x 1| 1}, B {x | log 2 x 2} ，则 B CR A = A. [2, 4] B. (2, 4] C. [0, 4] 2．若复数 z 满足 z(1 i) 1 i A． （ ▲ ） D. (2, 4] (, 0) （ ▲ ）
1 1 ln x x 1
na
x 1
(ⅰ)求证： f ( x ) 是减函数；
1 (ⅱ)若不等式 1+ n
，求实数 a 的取值范围. e 对任意 n N 恒成立（ e 是自然对数的底数）
21.（本题满分 15 分）如图，已知椭圆 C : （Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
1 MC 的最小值为 3
▲
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18． （本题满分 14 分）在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， 且 (b c) 2 a 2 (2
2)bc ， sin A sin B cos 2
3 1
台体的体积公式：V
1 ( S1 S1S2 S2 ) h ，其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高； 3 4 πR3，其中 R 表示球的半径； 3
球的表面积公式：S = 4πR2 ，球的体积公式：V= 如果事件 A, B 互斥, 那么 P(A+B)=P(A)+P(B) ；
…………6 分
面PBF 面ABCD, （Ⅱ）由AC 面PBF， 在PBF中，由余弦定理计算PFB 120 （9分）（下面两种解法）
1 方法（定义法） Q AC 面 PFB , 面 PAC 面 PFB , 延长 BF 交 AD于 E， 过点 E 作 EG PF 于 G , 则 EG 面 PAC， 故 EAG即为所求直线 AD与平面 PAC 所成的角， EG =EF sin 60o sin EAG 3 EG . 4 AE
i （其中 i 为虚数单位） ，则 z 的虚部为
C．
1 2 2
B．
2 1 2
8 27
3．已知随机变量 X ~ B(4, p) ，若 EX A.
8 3
B.
8 ，则 P( X 2) 3 2 4 C. D. 3 9
B. a , b , ∥ D. a , b ∥ ,
▲
▲
．
数学试题卷·第 2页（共 4 页）
13. 一个三棱锥的三视图如图所示，则其表面积为 其外接球的体积是 ▲ ．
▲
，
14．点 G 是 ABC 的重心，过 G 作直线与 AB 、 AC 两边 1 分别交于 M 、 N 两点，且 AM x AB ， AN y AC . 若 x ， 2
1 2 an an 3 ， n N ． n
数学试题卷·第 4页（共 4 页）
五校联考高三数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．B 7．A 8．A 9．B 10．C
2 1 i 2
D．
2 1 i 2
（ ▲ ）
4．设 a , b 是两条直线， , 是两个平面，则“ a b ”的一个充分条件是 （ ▲ ）
A. a , b ∥ , C. a , b , ∥
5．如图，设 A 、 B 是半径为 2 的圆 O 上的两个动点，点 C 为 AO 中点， 则 CO CB 的取值范围是 A． [1,3] B． [1,3]
1 0 x 1 ln x, 可得：f ' 2x x x 所以g x 是增函数，得g x g 1 0, 即欲证成立. L L（5分） x ln
2
x 1 ln x x 1 x ' x （Ⅱ）① f x ln x 0 x 1 2 2 2 2 x x 1 ln x x 1 ln x 1 1 1, 2 ,亦即 n N , 得题设即 x a f x 恒成立 a ln x 1, 其中 n x 1 1 15 分） 1. L L（ 由题①知f x 在x 1, 2 为减函数，故a f x min ln 2 ②设x 1