椭圆与双曲线的对偶性质92条
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b+=+.双曲线1.点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b -=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条(20200618094706)
高三数学备课组
椭圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 外角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角 , 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆 , 除去长轴 的两个端点 .
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .
当 M (x0, y0) 在右支上时 , | MF1 | ex0 a ,| MF 2 |上时 , | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、 Q 两点 , A 为双曲线长轴上一个顶点 , 连结 AP 和 AQ 分
B,C 两点 , 则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）
.
2
2
3.
x 若 P为双曲线 a2
y b2
1（ a＞ 0,b＞ 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 ,
PF1 F2
,
PF2 F1
ca
,则
tan
co t
（或 c a
tan
co t
）.
ca
22
ca
22
x2 y2 4. 设双曲线 a 2 b2 1（a＞ 0,b＞ 0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点） 为双曲线上任意一点 , 在
A2a 2 B 2b2 C 2 .
x2 y2 8. 已知双曲线 a 2 b 2 1 （ b＞ a ＞0） , O 为坐标原点 , P、 Q 为双曲线上两动点 , 且 OP OQ .
x2 y2 6. P 为 椭 圆 a 2 b2 1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则
椭圆与双曲线的对偶性质
椭圆与双曲线的对偶性质--（常用结论）一、椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b +=+.二、双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K ABOM =⋅，即0202y a x b K AB =。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 10.11.12. 13.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.9. 10. 11.12. 13.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14.18.15.16.17.18.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质(打印版)
椭 圆1. 椭圆在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆.2. 以焦点弦为直径的圆与对应准线相离.以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆内切.3. 切线与切点弦方程00221x x y ya b+=. 焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-. 4. 焦三角形面积122tan 2F PF S b γ∆=（12F PF γ∠=）.准距焦半径=e . 5. PQ 为过F 的焦点弦，A 为长轴顶点，AP 和AQ 分别交相对F 的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 6. PQ 为过F 的焦点弦，A 1A 2为长轴顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.7. 若000(,)P x y 在椭圆内，则被0P 平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+（0202y a x b k AB -=）. 8. 若000(,)P x y 在椭圆内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+. 9. 平行于y 轴的直线交椭圆于P 1P 2，A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.（A 1A 2为长轴顶点）10. 过椭圆上任一点0P 任作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则2020BCb x k a y =. 双曲线1. 双曲线在点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.焦点在切线上的射影的轨迹是以长轴为直径的圆.2. 以焦点弦为直径的圆与对应准线相交.以焦点半径为直径的圆与以实轴为直径的圆相切.3. 切线与切点弦方程00221x x y ya b+=. 左焦半径：10||||MF ex a =+,右焦半径：20||||MF ex a =-. 4. 焦三角形面积122t 2F PF S b co γ∆=（12F PF γ∠=）.准距焦半径=e . 5. PQ 为过F 的焦点弦，A 为长轴顶点，AP 和AQ 分别交相对F 的准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 6. PQ 为过F 的焦点弦，A 1A 2为长轴顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.7. 若000(,)P x y 在双曲线内，则被0P 平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-（0202y a x b k AB =）. 8. 若000(,)P x y 在双曲线内，则过0P 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b-=-. 9. 平行于y 轴的直线交双曲线于P 1P 2，A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b+=.（A 1A 2为实轴顶点）10. 过双曲线上任一点0P 任作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则202BC b x k a y =-.椭 圆1.E 为准线垂足，焦点弦AB 与在准线上的点C 满足BC x ∥轴，则AC 过EF 中点.2. 椭圆在P 处的切线交同侧准线于一点M ，则MF ⊥PF.3. 椭圆右支上的焦点弦MN 的中垂线交x 轴于P ，F 为右焦点，则||||2PF eMN =.4. 焦三角形中,c 为内外点到椭圆中心距离的比例中项. 内心将内点与非焦顶点连线分成定比e. （注:在焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）5. 椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有交点的充要条件是 2222200()A a B b Ax By C +≥++.6. P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+；（2）|OP|2+|OQ|2最大值为22224a b a b +；（3）OPQ S ∆最小值为2222a b a b +.7. 弦AB 的中垂线交x 轴于0P , 则220||a b x a-<. 8. A 、B 是椭圆长轴端点，P 在椭圆上，PAB α∠=，PBA β∠=，BPA γ∠=，则（1）2tan tan 1e αβ=-.（2）22222cot PABa b S b aγ∆=-. 双曲线1.E 为准线垂足，焦点弦AB 与在准线上的点C 满足BC x ∥轴，则AC 过EF 中点..2. 双曲线在P 处的切线交同侧准线于一点M ，则MF ⊥PF.3. 双曲线右支上的焦点弦MN 的中垂线交x 轴于P ，F 为右焦点，则||||2PF eMN =.4. 焦三角形中,c 为内、外点到双曲线中心距离的比例中项.非焦顶点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.5. 双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A aB bC -≤.6. P 、Q 为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-；（2）|OP|2+|OQ|2最小值为22224a b b a -；（3）OPQ S ∆最小值为2222a b b a -.7. 弦AB 中垂线交x 轴于0P , 则220||a b x a+≥. 8. AB 是双曲线长轴端点，P 在双曲线上，PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=，则(1)2tan tan 1e αβ=-； (2) 22222cot PABa b S b a γ∆=+.。
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椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）高三数学备课组椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条总结归纳汇总
x2
2
y2
2
1 （ a＞ 0,b ＞ 0）外 ，则过
ab
Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方
程是 x0 x a2
y0y b2
1.
x2 y2 7. 双曲线 a 2 b2 1 （ a＞ 0,b ＞ o）的左右焦点分别为 F1， F2 ，
点 P 为双曲线上任意一点 F1PF2 ，则双曲线的焦点角形
b2 a2 ，
即 K AB
b2 x0 a2 y0
。
12.
若 P0( x0 , y0) 在椭圆
x2 a2
y2 b2
1 内，则被 Po 所平分的中点弦的方
程是 x0x a2
y0 y b2
x02 a2
y0 2 b2
.
2
2
13.
若 P0( x0 , y0) 在椭圆
x a2
y b2
1 内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、 A2 为椭圆长轴
上的顶点， A1P 和 A2Q交于点 M， A2P 和 A1 Q交于点 N，则 MF⊥NF.
11. AB是椭圆 x2 a2
y2 b2
1 的不平行于对称轴的弦，
M( x0 , y0 ) 为 AB的
中点，则 kOM k AB
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （必背的经典结
论）
高三数学备课组
椭圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P处的 外角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角， 则焦点在直线 PT上的射影 H 点的
轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条(20200617154733)
则切点弦 P1P2 的直线
F1PF2 , 则椭
9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、 Q 两点 , A 为椭圆长轴上一个顶点 , 连结 AP 和 AQ 分别交相
应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、 N 两点 , 则 MF ⊥ NF.
10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A 1、A2 为椭圆长轴上的顶点 , A 1P 和 A 2Q 交于点 M,
1 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ,
x0 x a2
y0 y b2
x02 a2
y02 b2
.
x2 y2 13. 若 P0 (x0 , y0) 在 双 曲 线 a 2 b2 1 （ a ＞ 0,b ＞ 0 ） 内 ,
x2 y 2 a2 b2
x0x a2
y0 y b2
.
, M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点 , 则
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （必背的经典结论）
高三数学备课组
椭圆
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 外角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的外角 , 长轴的两个端点 .
则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆 ,
除去
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相离 .
x2 y2
4. 设双曲线 a 2 b2 1 （a＞ 0,b＞ 0）的两个焦点为 F1、 F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点
,
在△ PF1F2 中 , 记 F1,
sin
c
则有
e.
(sin sin ) a
x2 y2 5. 若双曲线 a 2 b2 1 （a＞ 0,b＞ 0）的左、右焦点分别为
高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条
（注 : 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
.）
17. 椭圆焦三角形中 , 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.
18. 椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项 .
第2页
椭圆与双曲线的对偶性质 -- （会推导的经典结论）
高三数学备课组
双曲线
e
.
| MN | 2
x2 y2 10. 已知椭圆 a2 b2 1 （ a＞b＞ 0） ,A 、 B、是椭圆上的两点，
点 P( x0,0) , 则 a 2 b 2
x0
a2 b2
.
a
a
线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于
x2 y 2 11. 设 P 点是椭圆 a 2 b 2 1（ a＞ b＞ 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1、F2 为其焦点记
x2 y2 a2 b2
x0 x a2
y0 y b2
.
双曲线
1. 点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的 内角 .
2. PT 平分△ PF1F2 在点 P 处的内角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，
除
去长轴的两个端点 .
3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线 相交 .
在△ PF1F2
中， 记 F1PF2
, PF1F2
, F1F2P
sin
， 则有
sin sin
c e.
a
x2 y2 5. 若椭圆 a2 b 2 1 （ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为 F1、 F2， 左准线为 L， 则当 0＜e≤ 2 1时，
可在椭圆上求一点 P， 使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项 .
椭圆与双曲线的经典性质50条--（必背的经典结论）
椭圆与双曲线的经典性质50条--（必背的经典结论）椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y ab+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y ab+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y ab+=.7. 椭圆22221x y ab+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F P F S b γ=.8. 椭圆22221xya b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||M F a ex =+,20||M F a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF .10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y ab+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a=-，即0202y a x b K AB -=。
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1 椭圆与双曲线的对偶性质92条 1．12||||2PFPFa 2．标准方程：22221xyab 3．11||1PFed 4．点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 5．PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6．以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7．以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8．设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2（或PF1）上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2（或A1）.
9．椭圆22221xyab（a＞b＞o）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2
时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 10．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab. 11．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab. 12．AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，则22OMABbkka. 13．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab. 14．若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab. 15．若PQ是椭圆22221xyab（a＞b＞0）上对中心张直角的弦，则122222
12
1111(||,||)rOPrOQrrab.
16．若椭圆22221xyab（a＞b＞0）上中心张直角的弦L所在直线方程为1AxBy(0)AB,则(1) 2222
11ABab;(2) 424222222aAbBLaAbB.
17．给定椭圆1C：222222bxayab（a＞b＞0）, 2C：222222222()abbxayabab,则(i)对1C上任意给定的点000(,)Pxy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点M(2222002222(,)ababxyabab. (ii)对2C上任一点'''000(,)Pxy在1C上存在唯一的点'M,使得'M的任一直角弦都经过'0P点. 18．设000(,)Pxy为椭圆（或圆）C:22221xyab (a＞0,. b＞0)上一点，P1P2为曲线C的动弦,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2, 则直线P1P2通过定点00(,)Mmxmy(1)m的充要条件是2122
11mbkkma
. 2
19．过椭圆22221xyab (a＞0, b＞0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BCbxkay（常数）. 20．椭圆22221xyab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点角形的面积为
122tan2FPFSb
，2222(tan,tan)22abPcbcc .
21．若P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12PFF, 21PFF，则tant22accoac.
22．椭圆22221xyab（a＞b＞0）的焦半径公式： 10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy).
23．若椭圆22221xyab（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当 0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 24．P为椭圆22221xyab（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立.
25．椭圆22221xyab（a＞b＞0）上存在两点关于直线l：0()ykxx对称的充要条件是22220222
()abxabk
.
26．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27．过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
28．P是椭圆cossinxayb（a＞b＞0）上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sine.
29．设A,B为椭圆2222(0,1)xykkkab上两点，其直线AB与椭圆22221xyab相交于,PQ,则APBQ.
30．在椭圆22221xyab中，定长为2m（o＜m≤a）的弦中点轨迹方程为2222222221()cossinxyabmab,其中2222tanbxay,当0y时, 90.
31．设S为椭圆22221xyab（a＞b＞0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=l，00(,)Mxy是AB中点，则当lS时，有20max()2alxce222(cab,cea);当lS时，有 3
220max()42axblb,0min()0x.
32．椭圆22221xyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC. 33．椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.
34．设椭圆22221xyab（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12FPF, 12PFF,12FFP，则有sinsinsincea. 35．经过椭圆222222bxayab（a＞b＞0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于P1和P2，则212||||PAPAb.
36．已知椭圆22221xyab（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）
22221111||||OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab.
37．MN是经过椭圆222222bxayab（a＞b＞0）过焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则2||2||ABaMN. 38．MN是经过椭圆222222bxayab（a＞b＞0）焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦OPMN，
则2222111||||aMNOPab.
39．设椭圆22221xyab（a＞b＞0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线l：2axm(或2b
ym)上.
40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
42．设椭圆方程22221xyab,则斜率为k(k≠0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线'ykx
上,而且2'2bkka. 43．设A、B、C、D为椭圆22221xyab上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则22222222||||cossin||||cossinPAPBbaPCPDba. 44．已知椭圆22221xyab（a＞b＞0）,点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，12FPF的外（内）角平分线为l，作F1、F2分别垂直l于R、S，当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是222xya(2222222{[()()]}()[()]byacexcxycxcexc).
45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，l分别交直线AC、BC于E和F，又D为l上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点. 4
46．过椭圆22221xyab（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则||||2PFeMN. 47．设A（x1 ,y1）是椭圆22221xyab（a＞b＞0）上任一点，过A作一条斜率为2121bxay的直线L，又设d是原点到直线 L的距离, 12,rr分别是A到椭圆两焦点的距离，则12rrdab. 48．已知椭圆22221xyab（ a＞b＞0）和2222xyab（01 ），一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则│AB│=|CD│. 49．已知椭圆22221xyab（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相
交于点0(,0)Px, 则22220ababxaa. 50．设P点是椭圆22221xyab（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF.(2) 122tan2PFFSb. 51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过B点的直线MN：xn于M，N两点,则90MBN222()amaambna.
52．L是经过椭圆22221xyab（ a＞b＞0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且sine或sinarce（当且仅当||abPHc时取等号）. 53．L是椭圆22221xyab（ a＞b＞0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL，e是离心率，EPF，H是L与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或sinarce（当且仅当