北师大版九年级数学下册 3.5《确定圆的条件》 培优训练(含答案)
九年级数学下册第3章圆3.5确定圆的条件测试北师大版(2021年整理)
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《确定圆的条件》分层练习◆基础题1．给出下列四个结论,其中正确的结论为（)A．三点确定一个圆B．同圆中直径是最长的弦C．圆周角是圆心角的一半D．长度相等的弧是等弧2．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．不在同一直线上的三个点3．下列命题正确的个数有（)①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=120°，则∠BAC的度数是（）A．120°B．80°C．60°D．30°5．过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多为个．6．平面直角坐标系内的三个点A（1,0)、B（0，﹣3)、C（2，﹣3) 确定一个圆（填“能”或“不能"）．7．如图△ABC中外接圆的圆心坐标是．8．直角三角形的两直角边长分别为8和6，则此三角形的外接圆半径是．9．如图所示,破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．（1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹）；(2)求（1)中所作圆的半径．10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在△ABC的高CD上，点E、F 分别是边AC和BC的中点,请你判断四边形CEDF的形状，并说明理由．◆能力题1．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（)A．第一块B．第二块C．第三块D．第四块2．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0)，点B的坐标是(3,0），在y轴的正半轴上取一点C,使A、B、C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径,则点C的坐标是( ）A．（0，3）B．3，0）C．（0，2）D．（2，0)3．如图，已知点平面直角坐标系内三点A（3，0）、B（5，0）、C(0，4），⊙P经过点A、B、C,则点P的坐标为（）A．（6，8）B．（4，5) C．（4，318）D．（4，338）4．若A(1，2），B(3，﹣3)，C(x,y）三点可以确定一个圆，则x、y需要满足的条件是．5．已知直线l：y=x﹣4，点A（0，2），点B(2,0）,设点P为直线l上一动点，当P的坐标为时，过P,A,B三点不能作出一个圆．6．等边三角形的边长为4厘米,它的外接圆的面积为平方厘米．7．如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．8．如图，AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E,连接BD，CD．（1）求证:BD=CD;(2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．◆提升题1．△ABC的三边长分别为6、8、10，则其外接圆的半径是（)A．3 B．4 C．5 D．102．如图,O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）C．cosA：cosB：cosC D．sinA:sinB：A．a：b：c B．111::a b csinC3．如图所示:在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0,2）,∠OCB=60°,∠COB=45°，则OC= ．4．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．若在△ABC中,AB=5，AC=3，BC=4,则△ABC的最小覆盖圆的半径是；若在△ABC中,AB=AC,BC=6，∠BAC=120°,则△ABC的最小覆盖圆的半径是．5．已知:如图，在△ABC中,点D是∠BAC的角平分线上一点,BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．6．如图,四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E,延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．求证:（1）AB=AF；(2)A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．答案和解析◆基础题1．【答案】B解：A、错误，不在同一直线上的三点确定一个圆；B、正确；C、错误，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；D、错误，能够重合的弧是等弧．2．【答案】D解:A、已知圆心只能确定圆的位置不能确定圆的大小,故错误；B、C、已知圆的半径和直径只能确定圆的大小并不能确定圆的位置，故错误;D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故正确．3．【答案】B解：①过两点可以作无数个圆,正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆,而且只有一个外接圆,正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个．4．【答案】C解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=120°，∴∠BAC=12∠BOC=12×120°=60°．5．【答案】4解:过四边形的任意三个顶点能画圆的个数最多4个．6．【答案】能解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3)，∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1,0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能确定一个圆．7．【答案】（6，2)解：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2),即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6,2）．8．【答案】5解:如图,∵AC=8，BC=6，∴AB=2268=10，∴外接圆半径为5．9．解:（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O 为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm,OD=（x﹣8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8）2，解得:x=13．答：圆的半径为13cm．10．解：四边形CEDF为菱形．证明:∵AB为弦，CD为直径所在的直线且AB⊥CD，∴AD=BD，又∵CD=CD，∴△CAD≌△CBD,∴AC=BC；又∵E，F分别为AC,BC的中点，D为AB中点,∴DF=CE=12AC,DE=CF=12BC，∴DE=DF=CE=CF,∴四边形CEDF为菱形．◆能力题1．【答案】A解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦,作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．2．【答案】A解：如图,连结AC ，CB ．依相交弦定理的推论可得：OC 2=OA •OB ，即OC 2=1×3=3，解得:OC =3或﹣3（负数舍去），故C 点的坐标为（0，3）．3．【答案】C解：∵⊙P 经过点A 、B 、C ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，∴点P 的横坐标为4,设点P 的坐标为(4，y ）,作PE ⊥OB 于E ，PF ⊥OC 与F ，由题意，得()2222441y y +-=+,解得，y =318．4．【答案】5x +2y ≠9解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ，∵A （1，2），B （3，﹣3），∴2k b +=，33k b +=-，解得：k =﹣52，b =92，∴直线AB 的解析式为y =﹣52x +92,∵点A （1，2)，B （3，﹣3），C （x ,y ）三点可以确定一个圆时,∴点C 不在直线AB 上,∴5x +2y ≠9．5．【答案】（3，﹣1)解：设直线AB 的解析式为y =kx +b ,∵A （0，2），点B （2，0），∴220b k b =⎧⎨+=⎩，解得21b k =⎧⎨=-⎩，∴y =﹣x +2．解方程组24y x y x =-+⎧⎨=-⎩，得31x y =⎧⎨=-⎩，∴当P 的坐标为（3，﹣1）时，过P ，A ,B 三点不能作出一个圆．6．【答案】16 3π解：∵等边三角形的边长为4厘米，OD⊥AB，∴AD=2厘米,又∵∠DAO=1 2∠BAC=60°×12=30°，∴AO=cos30AD︒=433，∴S=π×(433）2=163π平方厘米．7．证明:如图所示,取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12 BC为半径的圆上．8．（1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC,∴由垂径定理得：BD CD=，∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD．（2)解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD CD=，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，∵BE是∠ABC的平分线,∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD，∴DB=DE=DC．∴B,E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．◆提升题1．【答案】C解：∵62+82=102，∴△ABC为直角三角形,∴△ABC的外接圆的半径=5．2．【答案】C解：如图，连接OA、OB、OC；∵∠BOC=2∠BAC=2∠BOD，∴∠BAC=∠BOD；同理可得：∠BOF=∠BCA，∠AOE=∠ABC;设⊙O的半径为R，则：OD=R•cos ∠BOD=R•cos∠BAC，OE=R•cos∠AOE=R•cos∠ABC,OF=R•cos∠BOF=R•cos ∠ACB，故OD:OE：OF=cos∠BAC:cos∠ABC：cos∠ACB．3．【答案】1+3解：连接AB,则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=3OA=3×2=6．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°,则OD=BD=22OB=3．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=33BD=1．∴OC=CD+OD=1+3．4．【答案】2.5；3解：如图1，要求△ABC的最小覆盖圆的半径，即求其外接圆的半径．∵AB=5，AC=3，BC=4．∴△ABC是直角三角形．∴其外接圆的半径，即为斜边的一半,是2。
北师大版九年级下册数学习题课件3.5 确定圆的条件
解：(1)证明：作直径 BE，连接 CE，则∠BCE＝90°， ∠E＝∠A，∴sin A＝sin E＝BBCE ＝2aR ，∴sina A ＝2R.同理 可得sinb B ＝2R，sinc C ＝2R，∴sina A ＝sinb B ＝sinc C ＝2R
(2)由(1)得siAnBC
＝siBnCA
【素养提升】 17．(14 分)(凉山州中考)如图，⊙O 的半径为 R，其内接锐角△ABC 中， ∠A，∠B，∠C 所对的边分别是 a，b，c. (1)求证：sina A ＝sinb B ＝sinc C ＝2R； (2)若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4 3 ， 利用(1)的结论求 AB 的长和 sin B 的值．
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到 与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( B)
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
第11题图
第12题图
12．(陕西中考改)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，E是边BC的 中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为( B)
3．(3分)(易错题)如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外， 过这四个点中的任意3个点能画的圆有__3__个．
4．(3分)一个三角形的外心在三角形的内部，则这个三角形是(C) A．任意三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
5．(3分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)， (5，4)，(1，－2)，则以A，B，C为顶点的三角形的外接圆的圆心的坐标是 ( )C
2＋
6 )，∴sin B＝A2RC ＝2（
2＋ 8
6） ＝
九年级数学下册 第三章 圆 3.5 确定圆的条件同步练习 (新版)北师大版
课时作业(二十四)[第三章 5 确定圆的条件]一、选择题1．下列四个命题中正确的有( )①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是( )A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．2017·市中区三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是( )A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )图K－24－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5．如图K－24－3，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，BC＝5，AE＝6，则DE的长为( )图K －24－3 A ．4 2 B ．3 3 C ．4 D .726．若点O 是△ABC 的外心，且∠BOC ＝70°，则∠BAC 的度数为( ) A ．35° B ．110°C ．35°或145°D ．35°或140° 二、填空题7．已知△ABC 的三条边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，则这个三角形的外接圆的面积为________cm 2.(结果用含π的代数式表示)8．2017·十堰模拟如图K －24－4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC ＋∠BOC ＝180°，BC ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径为________cm .图K －24－49．直角三角形两边的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________.链接听课例2归纳总结 10．2018·内江已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a ＋b 2＋|c －6|＋28＝4 a －1＋10b ，则△ABC 的外接圆半径为________．三、解答题11．如图K －24－5，已知弧上三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R. 链接听课例1归纳总结图K －24－512.2017·安徽如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K－24－613．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6，8)，点B的坐标为(12，0)．(1)求证：AO＝AB；(2)用直尺和圆规作出△AOB的外心P；(3)求点P的坐标．图K－24－714．如图K－24－8，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－24－8探究题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形的内角．如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图K－24－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B＋∠D与180°之间的关系)；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] A3．[解析] C ∵△ABC 的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图， ∴EF 与MN 的交点O′就是所求的△ABC 的外心，∴△ABC 的外心坐标是(－2，－1)．故选C .4．[解析] B 只有△ACF 的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O 的是△ACF.5．[解析] C ∵OD ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝6.∵AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝52＋122＝13.∵OA ＝OB ，AE ＝CE ，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ＝2.5，∴DE ＝OD －OE ＝12×13－2.5＝4.故选C . 6．[解析] C ①当点O 在三角形的内部时， 如图①所示，则∠BAC ＝12∠BOC ＝35°；②当点O 在三角形的外部时，如图②所示，则∠BAC ＝12(360°－70°)＝145°.故选C .7．[答案] 25π[解析] 因为62＋82＝102，所以△ABC 为直角三角形，且斜边长为10 cm ，则其外接圆的半径为5 cm ，所以外接圆的面积为25π cm 2.8．[答案] 2[解析] 如图，过点O 作OE ⊥BC 于点E.∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴∠BOC ＝120°，∠BAC ＝60°.∵OE ⊥BC ，∴BE ＝EC ＝3，∠BOE ＝∠COE ＝60°，∴∠OBE ＝30°，∴OB ＝2OE.设OE ＝x cm ，则OB ＝2x cm ，∴4x 2＝x 2＋(3)2，∴x ＝1(负值已舍去)，∴OB ＝2 cm . 9．[答案] 10或8[解析] 分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.10．[答案] 258[解析] 原式整理，得b 2－10b ＋25＋a －1－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，即(b －5)2＋(a －1)2－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，(b －5)2＋(a －1－2)2＋|c －6|＝0.∵(b －5)2≥0，(a －1－2)2≥0，|c －6|≥0，∴b ＝5，a ＝5，c ＝6，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD ＝AC 2－AD 2＝4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R.在Rt △AOD 中，R 2＝32＋(4－R)2，解得R ＝258. 11．[解析] (1)作AB ，AC 的中垂线即得圆心O ；(2)已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.解： (1)如图，作AB ，AC 的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心O. (2)连接AO 交BC 于点E ，连接BO.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AE ⊥BC ， ∴BE ＝12BC ＝8 cm .在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝100－64＝6(cm )．在Rt △OBE 中，R 2＝82＋(R －6)2， 解得R ＝253 cm ，即圆片的半径R 为253 cm .12．证明：(1)由圆周角定理，得∠B ＝∠E.又∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D.∵CE ∥AD ，∴∠D ＋∠ECD ＝180°， ∴∠E ＋∠ECD ＝180°，∴AE ∥CD ，∴四边形AECD 为平行四边形．(2)如图，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，ON ⊥CE 于点N ， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝CE. 又AD ＝BC ，∴CE ＝BC ， ∴OM ＝ON.又OM ⊥BC ，ON ⊥CE ，∴CO 平分∠BCE.13．解：(1)证明：过点A 作AC ⊥x 轴于点C. ∵A(6，8)，∴OC ＝6，AC ＝8.∵B(12，0)，∴OB ＝12，∴BC ＝6＝OC ， ∴AC 是OB 的垂直平分线，∴AO ＝AB.(2)如图，作OA 的垂直平分线交AC 于点P ，点P 就是所求的外心． (3)连接PO.∵点P 是△AOB 的外心，∴PA ＝PO ＝r.∵AC ＝8，∴PC ＝8－r.在Rt △POC 中，PO 2＝OC 2＋PC 2， ∴r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254，∴PC ＝74，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，74.14．解：(1)证明：∵AE ⊥EF ，EF ∥BC ，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.(2)证明：连接BO ，由(1)知AD 是BC 的垂直平分线，∴BO ＝CO. 又∵AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ， ∴点O 是△ABC 外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠ABD ＝∠AEB. 又∵∠BAD ＝∠EAB ， ∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4，∴AE ＝254.解法2：由(2)得AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO. ∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠OEB ＝90°， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4.设 OB ＝x, 则 OD ＝4－x ， 由32＋(4－x)2＝x 2，解得x ＝258，∴AE ＝2OB ＝254.[素养提升]解：(1)对角互补(对角之和等于180°)． (2)没有．题图④中，∠B ＋∠D ＜180°； 题图⑤中，∠B ＋∠D ＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：四边形的对角互补(对角之和等于180°)．。
2017春九年级数学下册3.5确定圆的条件练习(新版)北师大版
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北师大版九年级数学下册3.5：确定圆的条件 同步练习
2019-2020学年初中数学北师大版九年级下册3.5确定圆的条件同步练习一、单选题1.过A，B，C三点能确定一个圆的条件是（）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3，BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC= 5．A. ①②B. ①②③C. ②③D. ①③2.如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（）A. △CBEB. △ACDC. △ABED. △ACE3.对于三角形的外心，下列说法错误的是( )A. 它到三角形三个顶点的距离相等B. 它是三角形外接圆的圆心C. 它是三角形三条边垂直平分线的交点D. 它一定在三角形的外部4.如图，小明为检验四边形MNPQ四个顶点是否在同一圆上，用尺规分别作了MN,MQ的垂直平分线交于点O，则M,N,P,Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q5.如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（）A. 100°B. 130°C. 50°D. 65°6.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是（）A. 10B. 5C. 4D. 37.如图，已知，∠∠，∠°，则∠的度数为( )A. 68ºB. 88ºC. 90ºD. 112º8.如图，点O为等边三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，下列三角形中，外心不是点O的是（）A. △CBEB. △ACDC. △ABED. △ACE9.在Rt△ABC中，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，则它的外接圆的面积为（）A. 100πcm²B. 15πcm²C. 25πcm²D. 50πcm²10.正三角形的外接圆的半径和高的比为( )A. 1∶2B. 2∶3C. 3∶4D. 1∶3二、填空题11.两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是________．12.已知O为△ABC的外接圆圆心，若O在△ABC外，则△ABC是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．13.如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为________．14.锐角三角形的外心在________，直角三角形的外心在________ ，钝角三角形的外心在________.15.如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为________．16.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为________．三、解答题17.考古学家发现了一块古代圆形陶器残片如图所示，为了修复这块陶器残片，需要找出圆心．（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法）（2）写出作图的主要依据：18.如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= ．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）所作的圆中，圆心角∠BOC＝º,圆的半径为，劣弧的长为．19.如图，已知线段AB．（1）仅用没有刻度的直尺和圆规作一个以AB为腰、底角等于30°的等腰△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）在（1）的前提下，若AB=2cm，则等腰△ABC的外接圆的半径为________ cm．20.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．21.“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判断平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否可以确定一个圆．22.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．23.如图，已知等腰△ABC，AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，请用圆规和直尺作出△ABC的外接圆．并计算此外接圆的半径.24.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B 抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C．（1）求抛物线的关系式；（2）△ABC的外接圆与轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使S△MBC=S△DBC，若存在，请求出点M的坐标．（3）点P是直线y=﹣x上一个动点，连接PB，PC，当PB+PC+PO最小时，求点P的坐标及其最小值．参考答案一、单选题1. C2. B3. D4. C5. B6. B7. B8. B9. C 10. B二、填空题11.10 12.钝角三角形13. (6，2) 14.三角形内；斜边上；三角形外15.16.（-1，-2）三、解答题17.（1）解：如图所示，点O即为所求作的圆心；（2）解：线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；不在同一直线上的三个点确定一个圆18.（1）解：⊙O如图所示：（2）解：连接CO，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=由勾股定理得：AB=2，∵∠ACB=90°∴⊙O的半径＝AB＝1，∵O是AB的中点，且AC=BC∴CO⊥AB∴∠BOC＝90º,∴.19.（1）解：如图所示：△ABC为所求；（2）220.（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴∴BD=CD（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：，∴∠BAD=∠CBD，又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上21.解：设直线BC解析式为：y=kx+b，依题可得：，解得，∴直线BC解析式为：y=x-.将x=2代入得：y=×2-=.∴A点不在直线BC上，∴A、B、C三点不共线，∴A、B、C三点可以确定一个圆.22.证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心， BC为半径的圆上．23.解：如图所示：∵AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，O为△ABC外接圆的圆心，∴AO⊥BC，∴∠BAO＝60°，又∵OA=OB，∴△ABO为等边三角形，∴△ABC外接圆的半径为8.24.（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．由题意得可知：a=1．所以抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4．（2）解：如图所示：过点D作直线DM∥BC，交抛物线与点M和点M′．∵DM∥BC，∴S△MBC=S△DBC．∵OD•OC=OB•OA，∴4OD=4×1，解得DO=1．∴D（0，1）．设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B和点C的坐标代入得，解得k=1，b=﹣4．∵DM∥BC，∴直线DM的解析式为y=x+1．将y=x+1代入y=x2﹣3x﹣4得：x2﹣3x﹣4=x+1，整理得：x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或x=5．当x=﹣1时，y=0，∴M′的坐标为（﹣1，0）．当x=5时，y=6．∴M的坐标为（5，6）．综上所述，点M的坐标为（﹣1，0）或（5，6）．（3）解：如图2所示：△OPC顺时针旋转60°得到△O′C′P′，连结C′P′、PP′、PB，过点C′作C′E⊥x 轴，垂足为E．由旋转的性质可知：CP′=CP，OP=OP′，∠POP′=60°．∴△OPP′为等边三角形．∴OP=PP′．∴CP+PB+OP=C′P′+PB+PP′．∴当点C′P′、PP′\PB在一条直线上时，CP+PB+OP有最小值，最小值=C′B．∵OP的解析式为y=﹣x，∴∠POC=45°，∴∠P′OC′=45°．∴∠EOC′=30°．∴EC′= OC′=2，EO=2 ．∴C′（﹣2 ，﹣2）．设直线C′B的解析式为y=kx+b，则，解得k=2﹣，b=4 ﹣8．∴直线C′B的戒形式为y=（2﹣）x+4 ﹣8．将y=﹣x代入得：﹣x=（2﹣）x+4 ﹣8，解得x= ．∴y= ．∴点P的坐标为（，）∵C′（﹣2 ，﹣2）．∴BE=4+2 ．依据勾股定理得：BC′= ′= = =2 =2 =2 +2 ．所以PB+PC+PO的最小值为2 +2 ．。
九年级数学下册第三章圆3.5确定圆的条件练习北师大版(2021年整理)
2018-2019学年九年级数学下册第三章圆3.5 确定圆的条件同步练习（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年九年级数学下册第三章圆3.5 确定圆的条件同步练习（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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课时作业（二十四）[第三章 5 确定圆的条件］一、选择题1．下列四个命题中正确的有( ）①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是（)A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．2017·市中区三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为（2，1)，点C的坐标为(2,－3）．则经画图操作可知:△ABC的外心坐标应是( ）A．(0，0) B．（1，0)C．（－2，－1) D．(2，0）4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径,弦AD与BE交于点F,下列三角形中，外心不是点O的是（）图K－24－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5．如图K－24－3，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC,垂足为E，BC＝5，AE＝6，则DE的长为( ）图K－24－3A．4 错误!B．3 错误!C．4 D.错误!6．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°,则∠BAC的度数为( ）A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题7．已知△ABC的三条边长分别为 6 cm,8 cm，10 cm，则这个三角形的外接圆的面积为________cm2。
北师大版九年级数学下册 3.5 确定圆的条件 同步测试题
3.5 确定圆的条件同步测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. ⊙O的半径为R，点P到圆心O的距离为d，并且d≥R，则P点（）A.在⊙O内或⊙O上B.在⊙O外C.在⊙O上D.在⊙O外或⊙O上2. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（）A.点AB.点BC.点CD.点D3. 下列命题中是真命题的是（）A.经过两点不一定能作一个圆B.经过三点不一定能作一个圆C.经过四点一定不能作一个圆D.一个三角形有无数个外接圆4. 下列命题中正确的为（）A.三点确定一个圆B.圆有且只有一个内接三角形C.三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点D.面积相等的三角形的外接圆是等圆5. 如图，△ABC内接于圆O，AD是圆O的直径，∠ABC=30∘，则∠CAD的度数等于（）A.45∘B.50∘C.55∘D.60∘6. 在数轴上，点A所表示的实数为2，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3．若点B在⊙A外，则a的值可能是()A.−1B.0C.6D.57. 下列命题中，正确的命题是（）A.三点确定一个圆B.经过四点不能作一个圆C.三角形有一个且只有一个外接圆D.三角形外心在三角形的外面8. 设P为⊙O外一点，若点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7，则⊙O的半径为（）A.1B.2C.4D.59. 平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为（）A.1个或3个B.3个或4个C.1个或3个或4个D.1个或2个或3个或4个10. 三角形外接圆的圆心为（）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条垂直平分线的交点D.三条中线的交点二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 一个三角形的外心在这个三角形的边上，且有2边长分别为3厘米和4厘米，则这个三角形外接圆的半径是________．12. 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角．已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为________．13. 已知⊙O的半径为5cm，线段OA=4cm，OB=6cm，OC=5cm．则点A在⊙O________，点B在⊙O________，点C在⊙O________．14. 一个点到圆的最小距离为3cm，最大距离为6cm，该圆的直径是________．15. 已知△ABC的外心为点O，且BO+AO=6，则CO的长为________．16. 已知在直角ABC中，∠C=90∘，AC=8，BC=6，则△ABC的外接圆半径长为________．17. 如图所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B、C、D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB=5，BC=12，则拴羊绳的长l的取值范围是________．18. 在同一平面内，一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是________cm．19. 在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=4cm，CM是中线，以C为圆心，以√5cm长为半径画圆，则点M与⊙C的位置关系是________．20. 如图，在△ABC中，∠A=60∘，BC=5cm．能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm．三、解答题（本题共计5 小题，共计60分，）21. 已知如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M．（1）以点C为圆心，2为半径作⊙C，则点A、B、M分别与⊙C有怎样的位置关系？（2）若以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内，且至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？22. 如图，O是△ABC的外心，D是圆上一点，且OD⊥BC，AE是BC边上的高．试探索∠OAD与∠EAD的大小关系，并说明理由．23. 在Rt△ABC中，已知∠C=90∘，BC=3，AC=4，以点B为圆心，3为半径作圆B，则：（1）AB与AC的中点D，E与圆B有怎样的位置关系？（2）若要让点A和点C有且只有一个点在圆B内，则圆B的半径应满足什么条件？24. 已知：如图，△ABC的外接圆⊙O的直径为4，∠A=30∘，求BC的长．25. 如图：y轴上正半轴上一点O1为圆心的圆交两坐标轴与A、B、C、D四点，已知B(−3, 0)，AB=3√10（1）求O1的坐标；（2）过B作BH⊥AC于H交AO于E，求S△BDE；（3）作⊙O1的内接锐角△BKJ，作BM⊥KJ与M，作JN⊥BK与N，BM、JK交于H点，当锐角△BKJ的大小变化时，给出下列两个结论：①BK2+JH2的值不变；②|BK2−JH2|的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】D【解答】解：∵ d≥R，∵ 点P在⊙O上或点P在⊙O外．故选D．2.【答案】C【解答】解：连接AC，∵ AB=3cm，AD=4cm，∵ AC=5cm，∵ AB=3<4，AD=4=4，AC=5>4，∵ 点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．故选C．3.【答案】B【解答】解：A、经过两点可作无数个圆，所以A选项错误；B、经过三点不一定能作一个圆，所以B选项正确；C、经过四点可能作一个圆，如过矩形的四个顶点可作一个圆，所以C选项错误；D、一个三角形只有一个外接圆，所以D选项错误．故选B．4.【答案】C【解答】解：根据不在同一直线上的三点只能确定一个圆，所以：A不正确利用一个圆的图形，可以划出无数个内接三角形，所以：B不正确根据三角形的外心作法，可知：C正确面积相等的三角形不一定全等，所以外接圆有大有小，所以面积相等的三角形的外接圆不是等圆，所以：D不正确故选：C5.【答案】D【解答】解：∵ ∠ABC=30∘，∵ ∠ADC=30∘，∵ AD是⊙O的直径，∵ ∠ACD=90∘，∵ ∠CAD=90∘−30∘=60∘．故选D．6.【答案】C【解答】解：由于圆心A在数轴上的坐标为2，圆的半径为3，∵ 当d=r时，⊙A与数轴交于两点：−1，5，当d>r即当a<−1或a>5时，点B在⊙A外．只有C符合题意.故选C.7.【答案】C【解答】解：A、不共线的三点可以确定一个圆，故该选项错误；B、若四点共线就不能确定一个圆，故该选项错误；C、三角形有一个且只有一个外接圆，该选项正确；D、三角形外心不一定在三角形的外面，还可能在三角形上，故该选项错误；故选C．8.【答案】B【解答】解：如图，PA的长是P到⊙O的最长距离，PB的长是P到⊙O的最短距离，∵ 圆外一点P到⊙O的最长距离为7，最短距离为3，∵ 圆的直径是7−3=4，∵ 圆的半径是2．故选B．9.【答案】C【解答】解：(1)当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；(2)当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；(3)当四个点共圆时，只能确定一个圆．故选C．10.【答案】C【解答】解：A、三角形三条高的交点是三角形的垂心，故A错误；B、三角形三条角平分线的交点是三角形的内心，故B错误；C、由于三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，故C正确；D、三角形三边中线的交点是三角形的重心，故D错误；故选C．二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】5或22【解答】解：∵ 三角形的外心在这个三角形的边上，∵ 这个三角形为直角三角形，且斜边为它的外接圆的直径，；当3和4为直角边时，斜边=√32+42=5，这个三角形外接圆的半径为52当4为斜边时，这个三角形外接圆的半径为2，或2．∵ 这个三角形外接圆的半径为52或2．故答案为5212.【答案】30∘或150∘【解答】如图边AB与半径相等时，则∠AOB＝60∘，∠AOB＝30∘，当等径角顶点为C时，∠C=12当等径角顶点为D时，∠C+∠D＝180∘，∠D＝150∘，13.【答案】内,外,上【解答】解：∵ OA=4cm<5cm，OB=6cm>5cm，OC=5cm，∵ 点A在⊙O内，点B在⊙O外，点C在⊙O上．14.【答案】9cm或3cm【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵ 点到圆上的最小距离MB=3cm，最大距离MA=6cm，∵ 直径AB=3cm+6cm=9cm；②当点在圆外时，如图2，∵ 点到圆上的最小距离MB=3cm，最大距离MA=6cm，∵ 直径AB=6cm−3cm=3cm；故答案为：9cm或3cm．15.【答案】3【解答】解：∵ 点O为△ABC的外心，∵ OA=OB=OC，∵ BO+AO=6，∵ CO=3，故答案为：3．16.【答案】5【解答】解：由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∵ △ACB是直角三角形，∵ △ABC的外接圆半径长为斜边的一半，即是5，故答案为：5．17.【答案】5≤r<13【解答】解：根据题意画出图形如下所示：AB=CD=5，AD=BC=12，根据矩形的性质和勾股定理得到：AC=√52+122=13．∵ AB=5，BC=12，AC=13，而A，C，D中至少有一个点在⊙A内，且至少有一个点在⊙A外，∵ 点B在⊙A内，点C在⊙A外．∵ 要使小羊至少能吃到一筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊绳的长l的取值范围是：5<r<13．故答案是：5≤r<13．18.【答案】6.5cm或2.5【解答】解：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9=13cm，因而半径是6.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9−4=5cm，因而半径是2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5．19.【答案】M在⊙C上【解答】解：∵ ∠ACB=90∘，AC=2cm，BC=4cm，∵ AB=√22+42=2√5.∵ CM是中线，AB=√5，∵ CM=12∵ 点M在⊙C上．故答案为：M在⊙C上.20.【答案】【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计5 小题，每题10 分，共计50分）21.【答案】解：（1）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M，∵ AB=√AC2+BC2=√22+32=√13，CM=12AB=√132，∵ 以点C为圆心，4为半径作⊙C，∵ AC=2，则A在圆上，CM=√132<2，则M在圆内，BC=2>2，则B在圆外；（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r>√132，当至少有一点在⊙C外时，r<3，故⊙C的半径r的取值范围为：√132<r<3．【解答】解：（1）∵ 在△ABC中，∠C=90∘，AC=2，BC=3，AB的中点为点M，∵ AB=2+BC2=√22+32=√13，CM=12AB=√132，∵ 以点C为圆心，4为半径作⊙C，∵ AC=2，则A在圆上，CM=√132<2，则M在圆内，BC=2>2，则B在圆外；（2）以点C为圆心作⊙C，使A、B、M三点中至少有一点在⊙C内时，r>√132，当至少有一点在⊙C外时，r<3，故⊙C的半径r的取值范围为：√132<r<3．22.【答案】解：∠OAD=∠EAD，理由是：∵ OD⊥BC，AE是BC边上的高，∵ OD // AE，∵ ∠EAD=∠ODA，∵ OA=OD，∵ ∠OAD=∠ODA，∵ ∠OAD=∠EAD．【解答】解：∠OAD=∠EAD，理由是：∵ OD⊥BC，AE是BC边上的高，∵ OD // AE，∵ ∠EAD=∠ODA，∵ OA=OD，∵ ∠OAD=∠ODA，∵ ∠OAD=∠EAD．23.【答案】解：（1）如图，∵ ∠C=90∘，BC=3，AC=4，∵ AB=√BC2+AC2=5，∵ D为AB的中点，∵ BD=2.5，∵ 点D在圆B内，∵ BE>BC，即BE>3，∵ 点D在圆B外；（2）设圆B的半径为r，当3<r<5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内．【解答】解：（1）如图，∵ ∠C=90∘，BC=3，AC=4，∵ AB=√BC2+AC2=5，∵ D为AB的中点，∵ BD=2.5，∵ 点D在圆B内，∵ BE>BC，即BE>3，∵ 点D在圆B外；（2）设圆B的半径为r，当3<r<5时，点A和点C有且只有一个点在圆B内．24.【答案】BC的长为2．【解答】解：作直径CD，连接BD．∵ CD是直径，∵ ∠CBD=90∘．又∠D=∠A=30∘，CD=4，∵ BC=2，25.【答案】解：（1）∵ AD垂直平分BC，OB=3，AB=3√10，∵ OA=9；又∵ OA⋅OD=OB⋅OC，∵ OD=1，则AD=10，∵ O1D=5，∵ O1的坐标为(0, 4)．（2）连接BD，如图，∵ BH⊥AC，∵ ∠1=∠2，而∠1=∠3，∵ ∠2=∠3，∵ 直角△OBE∽直角△OAB，∵ OB2=OE⋅OA，而OB=3，OA=9，∵ OE=1，则DE=2；×3×2=3∵ S△BDE=12（3）结论①正确．证明如下：过B点作直径BE，连EJ，如图；∵ BE是直径，∵ ∠BJE=90∘，∵ BM⊥KJ，∵ ∠BMK=90∘；又∵ ∠K=∠E，∵ △BEJ∽△KBM，∵ BKBE =BMBJ，则BK2BE2=BM2BJ2；①∵ JN⊥BK，∵ ∠MHJ=∠K=∠E，∵ 直角△JHM∽直角△BEJ，∵ JHBE =JMBJ，则JH2BE2=JM2BJ2，②由①，②得BK 2+JH2BE2=BM2+JM2BJ2=1，而BE为直径等于10．∵ BK2+JH2=100．【解答】解：（1）∵ AD垂直平分BC，OB=3，AB=3√10，∵ OA=9；又∵ OA⋅OD=OB⋅OC，∵ OD=1，则AD=10，∵ O1D=5，∵ O1的坐标为(0, 4)．（2）连接BD，如图，∵ BH⊥AC，∵ ∠1=∠2，而∠1=∠3，∵ ∠2=∠3，∵ 直角△OBE∽直角△OAB，∵ OB2=OE⋅OA，而OB=3，OA=9，∵ OE=1，则DE=2；∵ S△BDE=12×3×2=3（3）结论①正确．证明如下：过B点作直径BE，连EJ，如图；∵ BE是直径，∵ ∠BJE=90∘，∵ BM⊥KJ，∵ ∠BMK=90∘；又∵ ∠K=∠E，∵ △BEJ∽△KBM，∵ BKBE =BMBJ，则BK2BE2=BM2BJ2；①∵ JN⊥BK，∵ ∠MHJ=∠K=∠E，∵ 直角△JHM∽直角△BEJ，∵ JHBE =JMBJ，则JH2BE2=JM2BJ2，②由①，②得BK 2+JH2BE2=BM2+JM2BJ2=1，而BE为直径等于10．∵ BK2+JH2=100．。
【教育资料】北师大版九年级数学下册同步练习：3.5确定圆的条件学习精品
5确定圆的条件知识点1确定圆的条件1．下列命题中不正确的是()A．过一点有无数个圆B．过两点有无数个圆C．过三个点可以作一个圆D．直径是圆中最长的弦2．已知A，B，C为平面上三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则()A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内3．已知点A，B间的距离为2 cm，则经过A，B两点，半径为2 cm的圆能作() A．1个B．2个C．3个D．无数个4．如图3－5－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画圆的个数是()图3－5－1A．1 B．2 C．3 D．4知识点2三角形的外接圆与外心5．如图3－5－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，其外心不是点O的是()图3－5－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，则它的外心与顶点C的距离为()A．5 cm B．6 cmC．7 cm D．8 cm图3－5－37．如图3－5－3，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是()A．(2，3) B．(3，2)C．(1，3) D．(3，1)8．如图3－5－4，在△ABC中，BC＝24 cm，外心O到BC的距离为6 cm，求△ABC 外接圆的半径．图3－5－49．在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，已知⊙O是△ABC的外接圆，且⊙O的半径为5，则AB的长为()A.10 B．3 10C.10或3 10D.10或2 1010．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为()A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100°11．如图3－5－5，在△ABC中，BC＝3 cm，∠BAC＝60°，那么△ABC能被半径至少为________ cm的圆形纸片所覆盖．3－5－512．已知线段AB＝6 cm.(1)画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个；(2)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点，这样的圆能画________个；(3)画半径为2 cm 的圆，使它经过A ，B 两点，这样的圆能画________个．13．如图3－5－6，在△ABC 中，BC ＝12 cm ，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°.(1)作△ABC 的外接圆(只需作出图形，并保留作图痕迹)；(2)求△ABC 的外接圆的直径．图3－5－614．如图3－5－7，小明家的房前有一块空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．图3－5－715.如图3－5－8，在△ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 是△ABC 的外接圆，AE ⊥AB 交BC于点D ，交⊙O 于点E ，F 在DA 的延长线上，且AF ＝AD.若AF ＝3，tan ∠ABD ＝34，求⊙O 的直径．图3－5－816．【操作与探究】我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图3－5－9①②③中各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图3－5－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图④⑤中的两个图说明其中的道理．(提示：考虑∠B ＋∠D 与180°之间的关系)(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．1．C2．D [解析] 由题意知A ，B ，C 三点共线，故过A ，B ，C 三点不能作圆，A 选项错误；如图，经过A ，B 两点作圆，点C 在圆外，B 选项错误；经过A ，C 两点作圆，点B 在圆内，C 选项错误，D 选项正确．3．B 4.C 5.B6．A [解析] AB ＝62＋82＝10(cm)，它的外心是斜边上的中点，外心与顶点C 的距离是斜边上的中线长，为12AB ＝5 cm. 7．D [解析] △ABC 外接圆的圆心是AC 与AB 的垂直平分线的交点．8．[解析] 过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则OD ＝6 cm ，连接OB ，在Rt △BOD 中，利用勾股定理求解．解：过点O 作OD ⊥BC 于点D ，连接OB ，则OD ＝6 cm ，BD ＝12BC ＝12 cm. 则OB ＝BD 2＋OD 2＝6 5 cm.∴△ABC 外接圆的半径为6 5 cm.9．C [解析] 如图①所示，过点A 作AE ⊥BC 于点D ，则AE 必过点O .∵AB ＝AC ，BC ＝6，⊙O 的半径为5，∴BO ＝5，BD ＝DC ＝3，∴DO ＝52－32＝4，∴AD ＝5＋4＝9，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝81＋9＝3 10；如图②所示，过点A 作AE ⊥BC 于点D ，则AE 必过点O .∵AB ＝AC ，BC ＝6，⊙O 的半径为5，∴BO ＝5，BD ＝DC ＝3，∴DO ＝52－32＝4，∴AD ＝5－4＝1，∴AB ＝AD 2＋BD 2＝12＋32＝10.故AB 的长为3 10或10.故选C.10．C11．3[解析] 作⊙O 的直径CD ，连接BD .∵BC ︵所对的圆周角有∠A ，∠D ，∴∠D ＝∠A ＝60°.∵∠DBC ＝90°，∴∠BCD ＝30°，∴CD ＝2BD .在Rt △BCD 中，∵BC ＝3 cm ，∴CD 2－BD 2＝32，即(2BD )2－BD 2＝32，解得BD ＝3(cm)，则CD ＝2 3 cm.∴半径OC ＝OD ＝ 3 cm.12．(1)2 (2)1 (3)013．解：(1)分别作出AB ，BC 的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得OA ＝OB ＝OC ，∴两条直线的交点O 即为圆心，再以点O 为圆心，OA 的长为半径所作的⊙O 即为△ABC 的外接圆．(2)连接OC .∵BC ＝12 cm ，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠CAO ＝60°，OC ＝OA ，BM ＝MC ＝6 cm ，∴△OAC 是等边三角形，∴OA ＝OC ＝AC ，∴∠MOC ＝60°，∴OC ＝4 3 cm.∴△ABC 的外接圆的直径是8 3 cm.14．解：(1)略．(2)∵∠BAC ＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米，∴BC ＝10米．∵直角三角形的外心在斜边的中点处，∴△ABC 外接圆的半径为5米，∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．15．解：如图，连接BE .∵AF ＝AD ，AB ⊥EF ，∴BF ＝BD .∵AB ＝AC ，∴∠FBA ＝∠ABC ＝∠C ＝∠E .∵tan ∠ABD ＝34，∴tan E ＝tan ∠FBA ＝34.在Rt △ABF 中，∠BAF ＝90°.∵tan ∠FBA ＝AF AB ＝34，AF ＝3，∴AB ＝4. ∵∠BAE ＝90°，∴BE 是⊙O 的直径．∵tan E ＝34， 设AB ＝3x ，AE ＝4x ，∴BE ＝5x .∵AB ＝4，∴3x ＝4，∴x ＝43，∴BE ＝5x ＝203， 即⊙O 的直径是203. 16．解：(1)对角互补(对角之和等于180°)．(2)没有．图④中，∠B ＋∠D ＜180°，图⑤中，∠B ＋∠D ＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件对角互补(对角之和等于180°)．。
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北师版九年级数学下册
3.5《确定圆的条件》
培优训练
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列命题中不正确的是( )
A．过一点有无数个圆
B．过两点有无数个圆
C．过三个点可以作一个圆
D．直径是圆中最长的弦
2．如图所示，点A，B，C在直线l上，点D在l外，过这四点中的任意3个点，则能画圆的个数是( )
A. 3个
B.4个
C.6个
D.不确定
3．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是( )
A．任意三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．钝角三角形
4. 如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝( )
A. 2
B. 2 2
C. 3
D. 2 3
5．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC＝5，DC＝3，AB＝42，则⊙O的直径AE等于( )
A．5 2 B．5 C．4 2 D．3 2
6. 如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是( )
A. (6，2)
B.(2，6)
C.(3，2) (2，3)
7．有下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；
②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；
④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中是真命题的有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
8. 如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝( )
A．20°B．30°C．40°D．50°
9．已知a，b，c为△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是( )
A．a＝15，b＝12，c＝5 B．a＝5，b＝12，c＝12
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝5，b＝12，c＝14
10．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中点E在△ABC的外部，下列说法正确的是( )
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．(泸州测试)小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃片应该是______________
12. 如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB，OC，则边BC的长为____________
13. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝_____________.
14 如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是．
15．边长为6 cm的等边三角形的外接圆的半径是．
16．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形外接圆的半径是______________.
17. 如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB ＝_____________.
18. 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是______ cm.
三．解答题（共7小题，46分）
19．(6分)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，请你画一个最小的圆将△ABC
完全盖住(保留作图痕迹)，并简要说明画图的方法(不要求证明)．
20．(6分)如图，D是△ABC的BC边上的一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD 折叠，使点C的对应点E落在⊙O上．求证：AE＝AB.
21．(6分)如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知AB＝24 cm，CD＝8 cm.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径．
22．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆的周长．
23．(6分) 如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD, CD. 请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB长为半径的圆上？请说明理由．
24.(8分) 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆半径．
25．(8分)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF ∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
参考答案：
1-5CACBA 6-10 ABCCB
11．第②块 12.3R 13. 2 3 14. 5 15. 2 3
16. 10或8
17.
392 18. 103
3
19. 解：如答图，分别作出线段AB ，BC 的垂直平分线，以它们的交点O 为圆心，以OA ，OB 或OC 长为半径画圆，即⊙O 为最小的能将△ABC 完全盖住的圆．
20.证明：由折叠知，△ADE ≌△ADC ，
∴∠AED ＝∠ACD ，AE ＝AC.
∵∠AED ＝∠ABD ，
∴∠ABD ＝∠ACD ，
∴AB ＝AC ，∴AE ＝AB.
21. 解：(1)如图所示
(2)连接OA ，设OA ＝OC ＝x cm ，则OD ＝(x －8) cm.
∵CD 垂直平分AB ，∴AD ＝12AB ＝12
×24＝12(cm)，∠ODA ＝90° .在Rt △ODA 中，OA 2＝AD 2＋OD 2，
即x 2＝122＋(x －8)2，
解得x ＝13. 即所作圆的半径为13 cm
22. 解：如图，作AD ⊥BC 于点D ，
∵AB ＝AC ＝10，BC ＝12，∴BD ＝CD ，AD ＝8，
∴AD 经过圆心O ，
连接BO ，设BO ＝x ，
在Rt △BOD 中，BO 2＝OD 2＋BD 2，
即x 2＝(8－x)2＋62，
解得x ＝254
， ∴△ABC 外接圆的周长为2π·254＝252
π
23. 解：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，
∵AD 为直径，AD ⊥BC ，
∴BD ︵＝CD ︵.∴BD ＝CD.
∴∠BAD ＝∠CBD.
∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ，
∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ，
∴∠DBE ＝∠DEB.∴DB ＝DE.
又∵BD ＝CD ，∴DB ＝DE ＝DC.
∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以BD 长为半径的圆上．
24. 解：如图，过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，在AD 上取一点O ，连接OB ，设O 为△ABC 的外接圆的圆心，并设其外接圆半径为x ，则OA ＝OB ＝x ，
∵△ABC 为等腰三角形，且AD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12
×12＝6， ∴AD ＝AB 2－BD 2＝102－62＝8，∴OD ＝8－x ，
在Rt △ODB 中，OB 2－OD 2＝BD 2，即x 2－(8－x)2＝62，
解得x ＝254
， ∴△ABC 的外接圆半径为254
25. 解：(1)∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝∠ACD ＝90°
.∵AB ＝AC ，AD ＝AD ，∴Rt △ABD ≌Rt △ACD.∴BD ＝CD.
∵AB＝AC，BD＝CD，∴点A，D都在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC，∴BE＝CE
(2)四边形BFCD是菱形．理由：
∵AD垂直平分BC，∴BF＝CF.
∵CF∥BD，∴∠DBE＝∠FCE，∠BDE＝∠CFE.
又∵BE＝CE，∴△BDE≌△CFE，∴BD＝CF.
∵BD＝CD，BF＝CF，BD＝CF，∴BD＝CD＝CF＝BF，
∴四边形BFCD是菱形。