北师大版数学高一必修1素材 3.6指、对、幂函数难点突破
3.6数幂函数对数函数增长的比较高中数学(北师大版必修1)同步
3.6数幂函数对数函数增长的比较高中数学(北师大版必修1)同步----a1c97d7e-6ea3-11ec-868a-7cb59b590d7d3.6数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学(北师大版必修1)同步§6指数函数、幂函数和对数函数增长的比较课时目标1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性.2.能够借助信息技术，利用函数图像及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性．1.当a>1时，指数函数y=ax为___;，当a越大，其函数值增加得越多2。
当a>1时，对数函数y=logax（x>0）为___;，当a较小时，其函数值为___n3.当x>0且N>1时，幂函数y=x为___;，当x>1时，N越大，函数值越大____一、选择题1.有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.407.51218.01现准备了如下四个答案，哪个函数最接近这组数据()a．v＝log2tb．v＝log1t2t－1c．v＝d．v＝2t－2二2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图像表示为()二3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用()a、主函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数4．某自行车存车处在某天的存车量为4000辆次，存车费为：变速车0.3元/辆次，普通车0.2元/辆次．若当天普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式为()a、 y＝0.2x（0≤十、≤4000）b.y＝0.5x（0≤十、≤4000)c．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)d．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)一5．已知f(x)＝x2－bx＋c且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有()a．f(bx)≥f(cx)b．f(bx)≤f(cx)c、 F（BX）6。
突破15 幂函数(重难点突破)(解析版)
突破15 幂函数重难突破一、基础知识【知识点一、幂函数】 1．幂函数的概念一般地，函数(y x αα=是常数）叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．2．幂函数的结构特征幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： （1）指数为常数； （2）底数为自变量； （3）系数为1．3．幂函数与指数函数的区别与联系函数 解析式相同点不同点指数函数 (0,1)x y a a a =>≠且右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数()y x αα=∈R底数是_______，指数是_______【知识点二、幂函数的图象与性质】 1．几个常见幂函数的图象与性质函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x=图象定义域 R R R [0,)+∞ {|0}x x ≠ 值域 R[0,)+∞R[0,)+∞{|0}y y ≠奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性 在R 上单调递增在(,0)-∞上单调递减；在[0,)+∞上单调递增在R 上单调递增在[0,)+∞上单调递增在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递减 过定点过定点(0,0),(1,1)过定点(1,1)【注】幂函数(y x αα=是常数）中，α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样．注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同．2．幂函数(y x αα=是常数）的指数对图象的影响（1）当_______时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于1y x -=的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大；（2）当_______时，函数图象向x 轴弯曲，类似于y x =的图象；（3）当_______时，函数图象向y 轴弯曲，类似于2y x =的图象，而且逆时针方向指数在增大．具体如下：αα>10<α<1α<0图象特殊点 过（0，0），（1，1） 过（0，0），（1，1）过（1，1） 凹凸性 下凸 上凸 下凸 单调性 递增 递增递减举例y =x 212y x =1y x -=、12y x -=3．常用结论（1）幂函数在_______ 上都有定义． （2）幂函数的图象均过定点_______．（3）当0α>时，幂函数的图象均过定点(0,0),(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （4）当0α<时，幂函数的图象均过定点(1,1)，且在(0,)+∞上单调_______． （5）幂函数在第四象限无图象．知识参考答案： 一、3．自变量常数二、2．（1）0α< （2）01α<< （3）1α> 3．（1） (0,)+∞（2） (1,1)（3） 递增（4） 递减二、题型分析1．K 重点——幂函数的定义判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x α=（α是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1． 【例1】已知幂函数()f x 的图象过点（2， 41），试求该函数的解析式． 【答案】2y x -=．【名师点睛】虽然幂函数y x α=（α是常数）和指数函数(0,1)xy a a a =>≠都具有幂的形式，但幂函数以幂的底数x 为自变量，指数α为常数；指数函数以幂的底数a 为常数，指数x 为自变量．当遇到一个有关幂的形式的问题时，要先看自变量所在的位置，然后决定是用幂函数的知识解决，还是用指数函数的知识解决．【变式训练1】（2019春•闵行区校级月考）已知函数()f x 是幂函数，且2f （4）(16)f =，则()f x 的解析式是 ．【分析】设f （x ）＝x α，根据条件建立方程求出α的值即可． 【答案】解：设f （x ）＝x α， ∵2f （4）＝f （16）， ∴2×4α＝16α，即＝2，则4α＝2，α＝，即f （x ）＝x ， 故答案为：f （x ）＝x【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键．【变式训练2】（2018秋•道里区校级月考）已知幂函数2242()(1)m m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为 ．【分析】利用幂函数的性质直接求解． 【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m +1）2在（0，+∞）上单调递减，∴，解得m ＝0，∴函数f （x ）的解析式为f （x ）＝x ﹣2．故答案为：f （x ）＝x ﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练3】已知幂函数22(29)()(919)()m m f x m m x m Z --=-+∈的图象不过原点，则()f x 的解析式为 ．【分析】由幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，列举方程组，求出m ，由此能求出f （x ）的解析式．【答案】解：∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣9m +19）（m ∈Z ）的图象不过原点，∴，解得m ＝3，∴f （x ）＝x ﹣6．故答案为：f （x ）＝x ﹣6．【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．幂函数的图象要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：（1）当α的值在（0，1）上时，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴（简记为“指大图低”）；当α的值在（1，+∞）上时，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．（2）任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限． 【例2】已知函数ay x =，by x =，cy x =的图象如图所示，则实数,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【名师点睛】本题也可采用特殊值法，如取2x =，结合图象可知222a b c >>，又函数2xy =是增函数，于是a b c >>．【变式训练1】（2019秋•涪城区校级月考）幂函数a y x =，b y x =，c y x =的图象如图所示，则实数a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>【分析】利用幂函数图象和单调性即可得出．【答案】解：由幂函数图象和单调性可知：a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0． ∴a ＞b ＞c ．故选：A ．【点睛】本题考查了幂函数图象和单调性，属于基础题．【变式训练2】已知幂函数n y x =，m y x =，p y x =的图象如图，则( )A ．m n p >>B ．m p n >>C ．n p m >>D ．p n m >>【分析】根据幂函数的图象特征：在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴，结合图象即可得到答案．【答案】解：因为在区间（1，+∞）上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴， 所以由图象可得：n ＞p ＞m ，故选：C ．【点睛】本题考查幂函数图象的特征，以及数形结合思想，属于基础题． 【变式训练3】（2019•开福区校级模拟）如图，函数1y x=、y x =、1y =的图象和直线1x =将平面直 角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．则函数1y x=的图象经过的部分是( )A ．④⑦B ．④⑧C ．③⑦D ．③⑧【分析】根据幂函数的图象和性质即可得到结论． 【答案】解：∵y ＝＝，幂指数，∴函数在第一象限内单调递减， 当x ＞1时，函数y ＝x a 为增函数，则此时＞x ﹣1，即函数y ＝的图象经过的部分是④⑧，故选：B ．【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，根据幂函数的性质和指数函数的性质是解决本题的关键． 3．幂函数性质的应用（1）幂函数的单调性主要用来比较指数相同、底数不同的幂的值的大小，这时需要注意幂函数的定义域和利用幂函数的奇偶性进行转化；（2）与幂函数有关的综合性问题一般是利用单调性、奇偶性以及函数图象求函数值域、不等式解集等． 【例3】如图，幂函数()37m y xm -=∈N 的图象关于y 轴对称，且与x 轴，y 轴均无交点，求此函数的解析式及不等式(2)16f x +<的解集．【答案】函数的解析式是4y x -=，不等式的解集为53(,)(,)22-∞--+∞．【名师点睛】解决与幂函数有关的综合性问题时，一定要考虑幂函数的概念．对于幂函数y x α=（α是常数），由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．4．幂函数单调性的应用（1）注意利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤． 第一步，根据指数分清正负；第二步，正数区分大于1与小于1的情况，a >1，α>0时，a α>1；0<a <1，α>0时，0<a α<1；a >1，α<0时，0<a α<1；0<a <1，α<0时，a α>1；第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形． （2）给定一组数值，比较大小的步骤．第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1．第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性． 第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底（化同指）、或放缩、有时作商（或作差）、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．【例4】设525352)52(,)52(,)53(===c b a ，则c b a ,,的大小关系是A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a【答案】A【名师点睛】同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性；同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性，有时需要取中间量．【变式训练1】（2019秋•武邑县校级期中）若120.5a =，130.5b =，140.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a b c >>B ．a b c <<C ．a c b <<D ．a c b >>【分析】利用指数函数的单调性进行判断．【答案】解：构造函数f （x ）＝0.5x ，因为函数f （x ）＝0.5x ，为单调递减函数．且，所以，即，所以a ＜b ＜c ．故选：B ．【点睛】本题主要考查指数幂的大小比较，构造指数函数利用指数函数的单调性是解决本题的关键． 【变式训练2】（2019秋•开封校级期中）下列大小关系，正确的是( ) A ． 3.3 4.50.990.99< B ．23log 0.8log π< C ． 5.2 5.20.530.35<D ．0.3 3.11.70.9<【分析】结合函数y ＝0.99x ，y ＝x 5.2，等指数函数、对数函数和幂函数的单调性判断各函数值的大小或与0和1的大小，从而比较大小．【答案】解：对于A ：考察指数函数y ＝0.99x ，由于0.99＜1，故它在R 上是减函数， ∵3.3＜4.5，∴0.993.3＞0.994.5 故A 错；对于B ：考察对数函数log 2x ，由于2＞1，故它在（0，+∞）上是增函数， ∴log 20.8＜log 21＝0，而log 3π＞log 31＝0，∴log 20.8＜log 3π 故B 正确；对于C ：考察幂函数y ＝x 5.2，由于5.2＞0，故它在（0，+∞）上是增函数， ∵0.53＞0.35，∴0.535.2＞0.355.2故C 错；对于D ：考考察指数函数y ＝1.7x ，由于1.7＞1，故它在R 上是增函数， ∴1.70.3＞1.70＝1，考考察指数函数y ＝0.9x ，由于0.9＜1，故它在R 上是减函数， 0.93.1＜0.90＝1，故1.70.3＞0.93.1故D 错； 故选：B ．【点睛】本题是幂函数、指数函数与对数函数的单调性的简单应用，在比较指数（对数）式的大小时，若是同底的，一般直接借助于指数（对数）函数的单调性，若不同底数，也不同指（真）数，一般与1（0）比较大小．【变式训练3已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】a ＝＝，b ＝，c ＝＝，结合幂函数的单调性，可比较a ，b ，c ，进而得到答案．【答案】解：∵a ＝＝， b ＝＝（22）＝＜＜a ， c ＝＝＞＝＝a ，综上可得：b ＜a ＜c ， 故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．【变式训练4】（2019秋•青阳县校级期中）若221333111(),(),()252a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【分析】由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a 、b 、c 的大小关系．【答案】解：∵在第一象限内是增函数，∴，∵是减函数，∴，所以b ＜a ＜c ． 故选：D ．【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性． 5．求出参数后，忽略检验致错【例5】已知幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，则n =_______． 【错解】因为幂函数13()n y xn *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．【错因分析】错解中对求出的n 的值没有代回题目中进行检验，造成多解．【正解】因为幂函数13()n y x n *-=∈N 的定义域为(0,)+∞，且单调递减，所以103n <-，解得3n <．又因为n *∈N ，所以1n =或2．当1n =时，12y x -=，其定义域为(0,)+∞，且函数单调递减，符合题意； 当2n =时，1y x -=，其定义域是{|0}x x ≠，不符合题意，舍去．综上，得1n =．【名师点睛】根据题目条件及幂函数的定义求出参数的值后，一定要把参数的值代回题目中进行检验，看是否满足题意，否则容易造成多解或错解．【变式训练1】（2019秋•葫芦岛期末）幂函数2()(1)m g x m m x =--的图象关于y 轴对称． （1）求()g x 的解析式；（2）若函数()()21f x g x ax =-+在[1x ∈-，2]上单调递增，求a 的取值范围．【分析】（1）由幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称，列出方程组，能求出m ． （2）由函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1，其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增，能求出a 的取值范围．【答案】解：（1）幂函数g （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 的图象关于y 轴对称， ∴，解得m ＝2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）函数f （x ）＝g （x ）﹣2ax +1＝x 2﹣2ax +1， 其对称轴为x ＝a 在x ∈[﹣1，2]上单调递增， ∴a ≤﹣1，故a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【变式训练1】（2019秋•连江县校级期中）已知幂函数93*()()m f x x m N -=∈的图象关于原点对称，且在R 上单调递增．（1）求()f x 表达式；（2）求满足(1)(34)0f a f a ++-<的a 的取值范围．【分析】（1）由题意可得9﹣3m ＞0，解不等式可得m 的整数解，结合题意可得m ，即有函数的解析式； （2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增，原不等式可化为a +1＜4﹣3a ，解不等式即可得到所求范围．【答案】解：（1）幂函数f （x ）＝x 9﹣3m （m ∈N *）的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增， 可得9﹣3m ＞0， 解得m ＜3，m ∈N *， 可得m ＝1，2，若m ＝1，则f （x ）＝x 6的图象不关于原点对称，舍去； 若m ＝2，则f （x ）＝x 3的图象关于原点对称， 且在R 上单调递增，成立． 则f （x ）＝x 3；（2）由（1）可得奇函数f （x ）在R 上单调递增， f （a +1）+f （3a ﹣4）＜0，可得f （a +1）＜﹣f （3a ﹣4）＝f （4﹣3a ）， 即为a +1＜4﹣3a ， 解得a ＜．【点睛】本题考查幂函数的解析式的求法，以及函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．【变式训练2】（2019秋•静宁县校级期中）已知函数()f x 是幂函数，()f x 在(,0)-∞上是减函数，且3((2))8f f =（1）求函数()f x 的解析式（2）判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由（3）若函数23()[()]()g x f x ax a R -=-∈在[1，2]上的最小值为14-，求实数a 的值．【分析】（1）用待定系数法求得幂函数f （x ）的解析式； （2）根据奇偶性的定义判断函数f （x ）是定义域上的奇函数；（3）求出函数g （x ）的解析式，讨论a 的取值范围，利用g （x ）在区间[1，2]上的最小值求出a 的值． 【答案】解：（1）设幂函数f （x ）＝x α，α为常数；∴f（）＝＝，∴f（f（））＝＝8，∴＝3，解得α＝±3；又f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，∴α＝﹣3，∴f（x）＝x﹣3；（2）函数f（x）＝x﹣3，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；任取x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），则f（﹣x）＝（﹣x）﹣3＝﹣x﹣3＝﹣f（x），∴函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数；（3）函数g（x）＝[f（x）]﹣ax＝x2﹣ax（a∈R）；则函数g（x）＝x2﹣ax的对称轴为x＝，当＜1，即a＜2时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，g（x）的最小值为g（1）＝1﹣a＝﹣，解得a＝，满足题意；当1≤≤2，即2≤a≤4时，函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为g（）＝﹣＝﹣a2＝﹣，解得a＝±1（不合题意，舍去）；当＞2，即a＞4时，函数g（x）在区间[1，2]上单调递减，g（x）的最小值为g（2）＝4﹣2a＝﹣，解得a＝（不合题意，舍去）；综上，a＝．【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，也考查了函数的奇偶性和单调性、最值的应用问题，是中档题．三、课后作业1．如果幂函数f（x）=xα的图象经过点139⎛⎫⎪⎝⎭，，则α=A ．–2B ．2C ．12-D ．12【答案】A2．若幂函数f （x ）的图象经过点（4，12），则f （14）的值是 A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】设幂函数f （x ）=x α，其图象过点（4，12），∴4α=12，解得α=–12，∴f （x ）=12x -，∴f （14）=1214-⎛⎫⎪⎝⎭=2．故选C ．3．幂函数的图象经过点333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，则f （2）的值等于A ．4B ．14C ．2D ．22【答案】D【解析】幂函数f （x ）=x n的图象经过点333⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，可得3n =33，解得n =–12，则f （2）=21222-=，故选D ． 4．函数()21f x x=的单调递增区间为 A ．（–∞，0] B ．[0，+∞）C ．（0，+∞）D ．（–∞，0）【答案】D5．若幂函数y =f （x ）经过点333⎛ ⎝⎭，，则此函数在定义域上是A ．增函数B ．减函数C ．偶函数D ．奇函数【答案】B【解析】幂函数y =f （x ）是经过点3⎛ ⎝⎭，设幂函数为y =x α，将点代入可得3α，得到12α=-，此时函数12y x -=是（0，+∞）的减函数．故选B ．6．若函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则f （x ） A ．是偶函数B ．是奇函数C ．是单调递减函数D ．在定义域内有最小值【答案】B【解析】幂函数f （x ）=（m 2–m –1）x m 的图象与坐标轴无交点，可得m 2–m –1=1，且m ≤0，解得m =–1，则函数f （x ）=x –1．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选B ．7．幂函数f （x ）=x α的图象经过点(3，则实数α=___________． 【答案】12【解析】∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3），∴（3）a a =12，故答案为：12． 8．幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则14f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】4【解析】根据题意，设幂函数f （x ）=x a ，幂函数y =f （x ）的图象经过点144⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则有14=4a，则a =–1，则f （x ）=x –1，14f ⎛⎫⎪⎝⎭=（14）–1=4；故答案为：4． 9．已知幂函数f （x ）经过点（2，8），则f （3）=___________． 【答案】27【解析】设f （x ）=x n ，由题意可得2n =8，解得n =3，则f （x ）=x 3，f （3）=33=27，故答案为：27． 10．函数()322(6)f x x x =--的单调递减区间为A ．122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B ．132⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，C ．12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，【答案】A【解析】由题意，得26012x xx⎧--≥⎪⎨-≥-⎪-⎩，解得–12≤x≤2，故选A．11．已知点18a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．定义域内的减函数B．奇函数C．偶函数D．定义域内的增函数【答案】B【解析】点（a，18）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，故2b=18，解得b=–3，∴f（x）=x–3，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选B．12．已知点（a，12）在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，则函数f（x）是A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数【答案】A【解析】点12a⎛⎫⎪⎝⎭，在幂函数f（x）=（a–1）x b的图象上，∴a–1=1，解得a=2，又2b=12，解得b=–1，∴f（x）=x–1，∴函数f（x）是定义域上的奇函数，且在每一个区间内是减函数．故选A．学科&网13．已知幂函数f（x）=x a的图象经过函数g（x）=a x–2–12（a>0且a≠1）的图象所过的定点，则幂函数f（x）不具有的特性是A．在定义域内有单调递减区间B．图象过定点（1，1）C．是奇函数D．其定义域是R【答案】D14．若函数f（x）=（m+2）x a是幂函数，且其图象过点（2，4），则函数g（x）=log a（x+m）的单调增区间为A ．（–2，+∞）B ．（1，+∞）C ．（–1，+∞）D ．（2，+∞）【答案】B【解析】由题意得：m +2=1，解得：m =–1，故f （x ）=x a ，将（2，4）代入函数的解析式得：2a =4，解得：a =2，故g （x ）=log a （x +m ）=log 2（x –1），令x –1>0，解得：x >1，故g （x ）在（1，+∞）递增，故选B ． 15．已知函数()12f x x=，则A ．存在x 0∈R ，使得f （x ）<0B ．对于任意x ∈[0，+∞），f （x ）≥0C ．存在x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()12120f x f x x x -<-D ．对于任意x 1∈[0，+∞），∃x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2） 【答案】B【解析】由函数()12f x x=，知，在A 中，f （x ）≥0恒成立，故A 错误；在B 中，∀x [（0，+∞），f （x ）≥0，故B 正确；在C 中，∃x 1，x 2∈[0，+∞），使得()()1212f x f x x x -->0，故C 错误；在D 中，当x 1=0时，不存在x 2∈[0，+∞）使得f （x 1）>f （x 2），故D 不成立．故选B ． 16．已知幂函数()22422m my m m x +=--的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，则整数m 的值为___________． 【答案】–1【解析】()22422m my m m x+=--为幂函数，∴m 2–2m –2=1，解得m =–1或m =3；当m =–1时，函数y =x –3的图象关于原点对称且与x 轴、y 轴均无交点，当m =3时，函数y =x 21的图象关于原点对称，与x 轴、y 轴有交点，综上整数m 的值为–1．故答案为：–1．17．幂函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是奇函数，则f （2）=___________． 【答案】2【解析】函数f （x ）=（t 3–t +1）x 3t +1是幂函数，∴t 3–t +1=1，解得t =0或t =±1；当t =0时，f （x ）=x 是奇函数，满足题意；当t =1时，f （x ）=x 4是偶函数，不满足题意；当t =–1时，f （x ）=x –2是偶函数，不满足题意．综上，f （x ）=x ；∴f （2）=2．故答案为：2．18．已知33255()(3)m m m +≤-，求实数m 的取值范围． 【答案】m ∈[–3，1]19．已知幂函数f （x ）=x 21()mm -+（m ∈N *）的图象经过点(22，．（1）试求m 的值，并写出该幂函数的解析式；（2）试求满足f （1+a ）>f （3a a 的取值范围． 【答案】（1）m =1，f （x ）x x ∈[0，+∞）；（2）（1，9]． 【解析】（1）∵幂函数f （x ）的图象经过点(22，， 21()22mm -+=，即m 2+m =2，解得m =1或m =–2， ∵m ∈N *，故m =1，故f （x ）x ，x ∈[0，+∞）； （2）∵f （x ）在[0，+∞）递增， 由f （1+a ）>f （3a得103013a a a a+≥⎧⎪≥⎨⎪+>⎩， 解得1<a ≤9，故a 的范围是（1，9]．20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x ()21182m m --的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f（x+1）>f（x–2）．【答案】（1）f（x）=x–4；（2）{x|x<12，x≠0}．【解析】（1）因为f（x）是幂函数，所以m3–m+1=1，解得m∈{0，±1}，又f（x）的图象与x轴和y轴都无交点，经检验只有当m=1时符合题意，此时f（x）=x–4；（2）f（x）=x–4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f（x+1）>f（x–2）成立，学科&网只需|x+1|<|x–2|，解得x<12，又f（x）的定义域为{x|x≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x≠0}．21．已知f（x）=（m2–m–1）x–5m–1是幂函数，且在区间（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值；（2）解不等式f（x–2）>16．【答案】（1）m=–1；（2）x>4或x<0．22．已知幂函数f（x）=xα（α∈R），且1222f⎛⎫=⎪⎝⎭．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明函数f（x）在定义域上是增函数．【答案】（1）()f x x =；（2）证明详见解析．【解析】（1）由12()22α=，得12α=，所以()f x x =；（2）函数f （x ）的定义域是[0，+∞）， 设任意的x 2>x 1≥0，则()()21212121x x f x f x x x x x --=-=+，∵212100x x x x -+＞，＞， ∴f （x 2）>f （x 1），函数f （x ）在定义域上是增函数．23．（2018•上海）已知α∈{–2，–1，–1122，，1，2，3}，若幂函数f （x ）=x α为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α=__________． 【答案】–1。
《 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计【高中数学必修1(北师大版)】
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》本节是第三章第六节内容，专门研究指数函数、对数函数、幂函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节学习，可以引导学生积极的展开观察、思考和探究活动。
【知识与能力目标】1、由前面学习指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的基础上,列表画出函数的图像；2、会利用指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢。
【过程与方法目标】1、让学生借助表格和图形了解指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像之间的关系，以及变化；2、学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质。
【情感态度价值观目标】使学生通过学习指数函数、幂函数的图像和对数函数的图像对比研究函数的增长快慢，在学习的过程中体会“指数爆炸”的含义,增强学习函数的积极性和自信心。
【教学重点】列表观察指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像的增长快慢。
【教学难点】指数函数的图像、幂函数的图像和对数函数的图像。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分[互动过程1]◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学过程◆教学目标复习:指数函数、幂函数、对数函数的图像与性质． 请你画出函数222,,log x xy y x y ===的草图,并观察比较函数图像的变化。
你能判断出哪个函数的函数值随的增长速度增长的比较快吗？ 二、研探新知，建构概念 [互动过程2]提出问题：当1a >时，指数函数xy a =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。
当1a >时，指数函数log xa y =是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快。
当0,1x n >>时,幂函数ny x =显然也是增函数,并且当n 越大时,其函数值的增长就越快。
那么对于这三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢？我们通过对三个具体函数10022,(0),log x xy y x x y ==>= 的函数值（取近似值）的比较,来体会它们增长的快慢。
4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-高一数学(北师大版必修第一册)课件
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
思考探究：函数增长快慢比较
又因为 f(8)＝28＝256，g(8)＝83＝512，
∴f(8)<g(8)，
f(9)＝29＝512，g(9)＝93＝729，
∴f(9)<g(9)，
f(10)＝210＝1 024，g(10)＝103＝1 000，
∴f(10)>g(10)，
= 的函数值增长远远大于 = 的函数值增长，
= 的函数值增长又远远大于 = 的函数值的增长，
由于指数函数 = 的函数值增长非常快，我们将这种现象称为
“指数爆炸”.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
教材P120练习
练习1：对于函数 = 3 与 = 3 ，
这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%.
综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数y = x c x > 0, c > 1 与对数
函数y = log b x b > 1 的增长情况比较
二，指数函数y = ax a > 1 与幂函数
当的值趋近于正无穷大时，的值都是趋近于正无穷大的，那么，这3
个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
我们今天来比较指数函数、幂函数、对数函数的增长.
导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结
一、幂函数 = > , > 与对数函数 = > 的增长情况比较
①对于 模型 y＝0.25x，它 在区间[10,1 000]上是 单调递增 的，当
x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．
北师大版数学高一(北师大)必修1试题 3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较2
3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课后作业基础巩固1．四人赛跑，假设他们跑过的路程和时间的函数关系分别为f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )．A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x2．当2＜x ＜4时，2x ，x 2，log 2x 的大小关系是( )． A ．2x ＞x 2＞log 2x B ．x 2＞2x ＞log 2x C ．2x ＞log 2x ＞x 2 D ．x 2＞log 2x ＞2x3．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图像如图所示．现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．其中正确的说法是( )．A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③4．若方程a x －x －a ＝0有两个实数解，则a 的取值范围是( )． A ．(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,2) D ．(0，＋∞)5．在y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2这三个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立的函数的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．36．设函数y ＝x 3与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )．A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)7．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2000年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2010年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是__________．8．三个变量y 1，y 2，y 3随变量x 的变化情况如下表：__________，呈幂函数型变化的变量是__________．能力提升9．用固定的速度向下图形状的瓶子中注水，则水面的高度h 和时间t 之间的关系是( )．10．已知函数22x xy b a+=+(a ，b 是常数且a ＞0， a ≠1)在区间1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有最大值3，最小值52. (1)试求a 和b 的值．(2)a ＜1时，令m ＝a b ，n ＝log a b ，k ＝b a ，比较m ，n ，k 的大小．11．一个叫迈克的百分富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说，我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？参考答案1．D 点拨：在同一坐标系中画图像可知，当x 取较大值时指数函数y ＝2x 在上方，即2x 值最大．2．B 点拨：(方法1)在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 2x ，y ＝x 2，y ＝2x 的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y ＝x 2，y ＝2x ，y ＝log 2x 的图像，所以x 2＞2x ＞log 2x .(这种方法要求图像要比较精确，最好利用数学软件或图形计算器作图．)(方法2)比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．易知，当x ＝3时，2x ＝23＝8，x 2＝32＝9，log 2x ＝log 23＜log 24＝2，故x 2＞2x ＞log 2x .3．B 点拨：因为温度y 关于时间t 的图像是先凸后平行横轴，即5分钟前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 相应的增量Δy 越来越小，而5分钟后是y 关于t 的增量保持为0，故选B.4．A 点拨：在同一直角坐标系中画出函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图像，由图像可知当a ＞1时，它们有2个交点，即方程a x －x －a ＝0有两个实数解．5．B 点拨：画出函数y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 2的图像，可以看出，在区间(0,1)内，指数函数y ＝2x 和幂函数y ＝x 2的图像是下凸的，有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭；对数函数y ＝log 2x 的图像是上凸的，有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，其中0＜x 1＜x 2＜1. 6．B 点拨：(逐一分析法)当x ∈(0,1)时，y ＝x 3∈(0,1)，212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭∈(2,4)．∴ 在区间(0,1)上两函数的图像不可能有交点，故A 不正确；当x ∈(1,2)时，y ＝x 3∈(1,8)，212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭∈(1,2)，两函数图像可能会有交点；当x ∈(2,3)时，y ＝x 3∈(8,27)，212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭，两函数图像不可能有交点，故C不正确；当x ∈(3,4)时，y ＝x 3∈(27,64)，2111,242x y -⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，两函数图像不可能有交点．故选B.(图像法)在同一直角坐标系中，分别画出y ＝x 3与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，观察图像的交点，可知选B.7．y ＝15(1＋x )10 点拨：1年后，y ＝15(1＋x )；2年后，y ＝15(1＋x )2；3年后，y ＝15(1＋x )3；…；10年后，y ＝15(1＋x )10.8．y 3 y 2 y 1 点拨：变量y 2的增长最快，呈指数型函数变化；变量y 3的增长最慢，呈对数型函数变化；变量y 1的增长介于两者之间，呈幂函数型函数变化．9．B 点拨： t 越来越大时，h 增大的较快，而A ，D 是匀速增长的，瓶子应为直筒状，C 表示的瓶子应是口大于底，故选B.10．解：(1)令u ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，3,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ 当x ＝－1时，u min ＝－1；当x ＝0时，u max ＝0.由题意，得①当a ＞1时，013,5,2b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,2.a b =⎧⎨=⎩ ②当0＜a ＜1时，103,5,2b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,33.2 ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩综上得2,2,ab=⎧⎨=⎩或2,33.2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)a＜1时，3223m⎛⎫= ⎪⎝⎭，233log2n=，2332k⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵3222133m⎛⎫⎛⎫=<=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，n＝－1，3233122k⎛⎫⎛⎫=>=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵m＞0，∴n＜m＜k.11．解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310万元，而吉米，第一天得到1分，第二天得到2分，第三天得到4分，第四天得到8分，……第20天得到219分，……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈2 147.48万元．所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48万元，迈克破产了．。
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课件-高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册
应用图像模型
谢谢！
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
指数函数y=ax (a>1) 对数函数y=logax(a>1) 幂函数y=xn (n>0，x>0) 在区间（0，+∞）上的单调性如何？ 都是增函数，并且当x趋向于正无穷大时，y也趋向于正无穷大
这3个函数增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？
指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
三种函数增长快慢的区别
x 的变 化区间
(1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200)
函数值的变化量
y=2x
1023
y=x100(x>0) y=log2x
10100－1 3.321 928 1
y
y=2x y=x2
16
①对数函数 y=log2x增长最慢
y=log2x ②在（0,2)，幂函数比指数函数增长快；
在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快 4
o 12 4
三种函数增长快慢的区别
自变量x
···
函数值
y=2x
y=x100(x>0) y=log2x
···
···
···
121来自01.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0
比较大小
比较大小
例2 已知m=0.95.1,n=5.10.9,p=log0.95.1,则这三个数的大小关系是( )
A.m<n<p
B.m<p<n
C.p<m<n
(完整版)高一必修一-基本初等函数(指对幂函数)专题复习总结
高一上学期期末必修一复习专题二:指对幂函数一、 指对数运算【知识点】1、 指数计算公式：()Q s r a ∈>,,0_____=⋅s r a a _____)(=s r a ______)(=r ab)1,,0_______(>∈>=*n N n m a anm ，2、 对数计算公式：)0,0,10(>>≠>M N a a 且 （1） 指对数互化：N a x =_______⇔（2） _____1log =a _____log =a a ______log =n a a ______log =n a a （3） _____log log =+N M a a _____log =n a M_____log log =-N M a a _____log =M m a（4） 换底公式：_____log =b a (常用：a bb a lg lg log =a b ba log 1log =）【练习一】 指对数的运算 1、计算下列各式的值 （1）3log 9log 28 （2))]81(log [log log 345（3）2log 4log 3log 432⋅⋅ （4))31()3)((656131212132b a b a b a ÷-（5)74log 217+14log 501log 2log 235log 55215--+2、解下列方程（1)2327log x =（2）0)(log log 25=x3、若2log 2,log 3,m n a a m n a +===二、 指数函数和对数函数的图像和性质【知识点】定义域 值域 过定点 奇偶性单调性a 变化对图象的影响注意：指数函数x a =y 与对数函数x y a log =互为反函数,则它们的图象关于_____________对称 【练习二】指对数函数的图像与性质 题型一、求函数经过的定点1、2)(f 1-=+x a x )10(≠>a a 且过定点______________2、3)2(log )(f ++=x x a )10(≠>a a 且过定点_____________ 题型二、指对数函数的图像 1．函数)1(log 21-=x y 的图象是( ）2．在同一坐标系中画出函数y ＝l og a x ,y ＝a x ，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是( )．［来源：]题型3 、函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性） 1、x 6log 21y -=函数的定义域为_____________2、若指数函数x a y )12(+=在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为xyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=3、函数23)(+=x x f 在区间[1-，2]上的值域为________________4、函数y ＝xx+-22log 2的图象（ ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称5、已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(f 3x x x x x ，则f(f(91）)=_________6、已知函数)1(log )(f +=x x a ,)1(log )(x x g a -=)10(≠>a a 且（1）请判断函数)()(f x g x +的奇偶性并证明 (2)求使0)(f >x 成立的x 的取值范围7、已知函数2()131x f x =-+。
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
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指、对、幂函数难点突破
函数是高中数学的重要组成部分，而指、对、幂等基本初等函数又是函数中的难点。
为此，下面举例探讨突破难点的方法。
一、函数定义域、值域问题
例1 已知函数，求函数的值域。
解析：∵函数为，由得，
∴的定义域为，
∴。
又因为，
故函数的值域是。
点评：函数是定义域与对应法则（解析式）构成的不可分割的整体，定义域是构成函数的重要因素，求解函数问题时，坚持定义域优先原则，可有效地纠错防错。
本题误认为定义域为，是常犯的错误。
而在求与指、对、幂函数有关的函数的值域时，除要考虑指、对、幂函数本身的取值外，还要灵活运用单调性来求解。
二、比较大小问题
例2 比较的大小。
解析：∵指数函数在上是减函数，且，
∴。
又∵，
∴。
点评：对于同底的两个函数值，我们可以直接利用指数、对数函数的单调性来比较大小，而对于与则不能直接看作某一个指数函数的两个值，此时常借助中间量“”来牵线搭桥。
常用的中间量还有“”、“”等。
例3 设且，若，，试比较的大小。
解析：（1）当时,有，即。
又当时,在上单调递减，
∴,即。
（2）当时, 有，即。
又当时,在上单调递增，
∴,即。
综上所述,。
点评：像这类含参数的比较大小问题，要注意结合指数、对数函数的本身特点，对参数进行分类。
三、函数单调性问题
例4 讨论下列函数的单调性。
（1）；（2）。
解析：（1）函数的定义域为，设，，在上是减函数。
当时，为减函数，为增函数；当,+时，为增函数，为减函数。
（2）要使函数有意义，必须。
设，，为增函数。
当时，为减函数，
故函数在上为减函数。
点评：对于复合函数的问题，注意应用复合函数的单调性来求解。
需要注意的地方是，在求函数单调区间前应先考虑函数的定义域。
例5 已知函数在区间上总有，求实数的取值范围。
解析：∵，∴。
当时,，即。
∵，∴,解得。
当时,，即。
∵，∴,解得。
综上可得, 实数的取值范围是。
点评：先对底数分两种情况讨论，再利用函数的单调性及已知条件，列出关于参数的不等式（组），解不等式（组）而得到参数的范围。
解决此类问题的关键是合理转化与分类讨论。
四、函数图象的应用
例6 若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。
解析：，则，在同一坐标系中作出函数与的图象，如图。
要使在只要在上，函数的图象在
的上方。
由于当时,，而当时,，所以，要使在内恒成立，只有且，由此解得。
=故的取值范围是。
点评：不等式的解,从图象的角度考虑,其实就是函数的图象在的图象上方的部分点的横坐标的变化范围。