第3章 3.3.2 函数的极大值和极小值

3．3.2函数的极大值和极小值[读教材·填要点]1．极大值和极小值(1)极大值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都小于f(x0)(即f(x)<f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，x0称为f(x)的一个极大值点．(2)极小值：设函数y＝f(x)在区间(a，b)内有定义，x0是(a，b)内的一个点，若点x0附近的函数值都大于f(x0)(即f(x)>f(x0)，x∈(a，b))，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，x0称为f(x)的一个极小值点．(3)极值：极大值和极小值统称极值，极大值点和极小值点统称为极值点．2．函数极值的求法(1)求导数f′(x)；(2)求f(x)的驻点，即求f′(x)＝0的根；(3)检查f′(x)在驻点左右的符号，如果在驻点左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极大值；如果在驻点的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个驻点处取得极小值．[小问题·大思维]1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定．y＝f(x)在x＝x0及附近有定义，且f′(x0)＝0，y＝f(x)是否在x＝x0处取得极值，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否异号．例如f(x)＝x3，由f′(x)＝3x2知f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？提示：由图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)>0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)<0.即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.3．函数y＝f(x)在给定区间上一定有极值点吗？极大值是否一定比极小值大？提示：(1)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．(2)极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．求下列函数的极值：(1)f (x )＝x 4－2x 2；(2)f (x )＝x 2e －x .[自主解答] (1)函数f (x )的定义域为R. f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝－1，或x ＝1. 列表：当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1，或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫x 2e x ′＝(x 2)′e x －(e x )′x 2(e x )2＝2x e －x －x 2e －x ＝x (2－x )e －x ＝－e －x x (x －2)．令f ′(x )＝0，得驻点x ＝0，或x ＝2. 列表：当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e2.求可导函数f (x )极值的步骤：①求函数的导数f′(x)；②令f′(x)＝0，求驻点x0；③列表，方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在这个表格内；④判断得结论，若导数在x0附近左正右负，则在x0处取得极大值；若左负右正，则取得极小值．1．求下列函数的极值．(1)f(x)＝ln xx；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.解：(1)函数f(x)＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－ln xx2.由f′(x)＝0得ln x＝1，即x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：所以f(x)极大值＝f(e)＝1e，无极小值．(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2(x2＋1)－4x2(x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：且f(x)极小值＝f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且f(x)极大值＝f(1)＝－1.已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0.求a ，b 的值．[自主解答] ∵f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数．所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.若将“在x ＝－1时有极值0”改为“在x ＝－1和x ＝3处有极值”，如何求解？ 解：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， ∵－1,3是f (x )的极值点， ∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， 即－1,3是3x 2＋6ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－6a3＝－1＋3，b3＝(－1)×3，解得a ＝－1，b ＝－9.解决此类问题通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．2．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1时取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极小值还是极大值，并说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由f′(－1)＝f′(1)＝0，得：3a＋2b＋c＝0, 3a－2b＋c＝0.又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.∴a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)可得f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0；当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上为减函数．∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1；当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y ＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[自主解答]因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．若本例中条件改为“已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4”在x ＝43处取得极值，其他条件不变，求m 的取值范围．解：由题意可得f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f ′⎝⎛⎭⎫43＝0， 可得a ＝2，所以f (x )＝－x 3＋2x 2－4， 则f ′(x )＝－3x 2＋4x .令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝43，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：作出函数f (x )的大致图象如图所示：因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－4，－7627.利用导数求极值，要先讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论，在存在极值的情况下，求出极值．3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1.由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．结合f (x )的单调性可知，当f (x )的极大值527＋a ＜0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527时它的极小值也小于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在(1，＋∞)上；当f (x )的极小值a －1＞0，即a ∈(1，＋∞)时它的极大值也大于0，因此曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，它在⎝⎛⎭⎫－∞，－13上．所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点.a 为何值时，方程x 3－3x 2－a ＝0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根，有没有可能无实根？[巧思] 方程x 3－3x 2－a ＝0根的个数，即为直线y ＝a 和函数f (x )＝x 3－3x 2图象交点的个数，因此可借助函数的单调性和极值画出函数f (x )＝x 3－3x 2的图象，然后借助图象判断根的个数．[妙解] 令f (x )＝x 3－3x 2， 则f (x )的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－6x ＝0， 得x ＝0或x ＝2，所以当x ＜0或x ＞2时，f ′(x )＞0； 当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0.函数f (x )在x ＝0处有极大值0，在x ＝2处有极小值－4，如图所示，故当a ∈(－∞， －4)∪(0，＋∞)时，原方程有一个根； 当a ＝0或a ＝－4时，原方程有两个不等实根；当a ∈(－4,0)时，原方程有三个不等实根；由图象可知，原方程不可能无实根．1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值C ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极小值D ．如果f ′(x 0)＝0且在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极大值 解析：根据极值的概念，左侧f ′(x )>0，单调递增；右侧f ′(x )<0，单调递减，f (x 0)为极大值．答案：B2．函数f (x )＝32x 2－ln x 的极值点为( )A ．0,1，－1 B.33C ．－33 D.33，－33解析：由已知，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝3x －1x ＝3x 2－1x ，令f ′(x )＝0，得x ＝33⎝⎛⎭⎫x ＝－33舍去. 当x ＞33时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝33时，f (x )取得极小值．从而f (x )的极小值点为33，无极大值点，选B. 答案：B3．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， 则f ′(－3)＝27－6a ＋3＝0. ∴a ＝5. 答案：D4．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中正确的是________．①当x ＝32时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值； ④当x ＝1时函数取得极大值．解析：由图象可知，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.∴f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时，函数取得极大值，故②③④正确．答案：②③④5．函数f (x )＝ax 2＋bx 在x ＝1a 处有极值，则b 的值为________．解析：f ′(x )＝2ax ＋b ，∵函数f (x )在x ＝1a 处有极值， ∴f ′⎝⎛⎭⎫1a ＝2a ·1a ＋b ＝0，即b ＝－2. 答案：－2 6．求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数的定义域为R.f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝－2(x －1)(x ＋1)(x 2＋1)2. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1. 列表：由上表可以看出：当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.一、选择题1．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)， ∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，∴x ＝－1时取极小值． 同理可知x ＝2时取极大值． 答案：C2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，下列说法错误的是( )A ．－2是函数y ＝f (x )的极小值点B ．1是函数y ＝f (x )的极值点C ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零D ．y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增解析：由图象可知f ′(1)＝0，但是当－2<x <1时，f ′(x )>0，且当1<x <2时，f ′(x )>0.故1不是函数f (x )的极值点．答案：B3．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极值情况为( ) A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极小值为－427，极大值为0D ．极大值为－427，极小值为0解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，根据题意，x ＝1是函数的一个极值点，则⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13.易判断当x ＝13时，f (x )有极大值为427，当x ＝1时，f (x )有极小值为0.答案：A4．设函数f (x )＝e x sin x ，x ∈[0，π]，则( ) A.π2为f (x )的极小值点 B.π2为f (x )的极大值点 C.3π4为f (x )的极小值点 D.3π4为f (x )的极大值点 解析：∵f (x )＝e x sin x ，∴f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，由f ′(x )≤0，得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤0， ∴2k π＋π≤x ＋π4≤2k π＋2π，k ∈Z ，即2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z.∵x ∈[0，π]，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，3π4上单调递增， f (x )在⎣⎡⎦⎤3π4，π上单调递减，∴x ＝3π4为f (x )的极大值点．答案：D 二、填空题5.已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导数f ′(x )的图象如图所示，则函数的极小值是________．解析：由图象可知，当x ＜0时， f ′(x )＜0，当0＜x ＜2时，f ′(x )＞0， 故x ＝0时函数f (x )取极小值f (0)＝c . 答案：c6．已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3的极大值点坐标为(b ，c )，则ad ＝________.解析：∵y ′＝3－3x 2，令y ′＝0得x ＝±1， 且当x >1时，y ′<0， 当－1≤x ≤1时，y ′≥0， 当x <－1时，y ′<0，故x ＝1为y ＝3x －x 3的极大值点，即b ＝1， 又c ＝3b －b 3＝3×1－1＝2，∴bc ＝2. 又∵a ，b ，c ，d 成等比数列， ∴ad ＝bc ＝2. 答案：27．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：y ′＝e x ＋a ，由y ′＝0，得x ＝ln(－a )， 由题意知ln(－a )>0，∴a <－1. 答案：(－∞，－1)8．若函数y ＝－x 3＋3x 2＋m 的极大值等于2，则实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋6x ，由y ′＝0，得x ＝0或x ＝2，容易得出当x ＝2时函数取得极大值，所以－23＋3·22＋m ＝2，解得m ＝－2.答案：－2 三、解答题9．已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0得，x ＝－ln 2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－2，－ln 2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减． 当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．10．已知函数f (x )＝ax －ae x(a ∈R ，a ≠0)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex . 由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e 2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝ae2＋1>0，解得a>－e2，所以此时－e2<a<0；②当a>0时，F(x)，F′(x)的变化情况如下表：当x>2时，F(x)＝a(x－1)e x＋1>1，当x<2时，令F(x)＝a(x－1)e x＋1<0，即a(x－1)＋e x<0，由于a(x－1)＋e x<a(x－1)＋e2，令a(x－1)＋e2≤0，得x≤1－e2a，即x≤1－e2a时，F(x)<0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．。