辨析概率论中容易混淆的几个概念
概率论难点解析与突破
概率论难点解析与突破一、引言概率论是数学中的一门重要学科，主要研究随机事件的概率、统计规律以及随机变量的分布。
然而，对于许多学生来说，概率论常常是一门难以理解的学科，存在着许多难点。
本文将围绕概率论的难点进行分析，并提供突破的方法和技巧。
二、概率的基本概念及难点解析1. 概率的定义与性质概率是描述随机事件发生可能性的数值，常用来表示事件发生的程度。
然而，概率的定义及其性质是许多学生学习概率论时的难点。
一方面，概率的定义抽象且不易理解；另一方面，概率的性质涉及到数学推导，需要熟练的数学运算能力。
2. 条件概率与独立性条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算涉及到概率的乘法规则，对于一些复杂的条件概率问题，学生容易迷失在计算过程中。
此外，独立事件的概念和独立性的判断也是学生容易混淆的地方。
三、概率计算方法及难点解析1. 排列与组合的应用在概率论中，排列与组合是常用的计算方法。
学生在排列与组合的应用时，常常容易出错或者不知道如何下手。
例如，计算不同顺序下的排列数以及从一组数中选择若干个数的组合数。
2. 事件的相加与相乘规则概率中的相加与相乘规则是计算复合事件概率的重要方法。
然而，许多学生在应用这两个规则时经常混淆，尤其是在计算不相容事件概率时更容易出错。
四、贝叶斯定理及难点解析贝叶斯定理是概率论中的重要定理，用于计算条件概率。
然而，学生在运用贝叶斯定理时存在一定的困难。
贝叶斯定理的推导过程需要熟悉条件概率的计算方法，而且对于复杂的条件概率问题，需要灵活运用贝叶斯定理解决。
五、概率论难点的突破方法与技巧1. 加强基本概念的理解为了克服概率论的难点，学生首先要加强对基本概念的理解。
要通过大量的例题和习题，动手计算和推导，加深对概率的认识，并且能够熟练应用概率的定义和性质。
2. 紧密联系实际问题概率论是一个应用广泛的学科，在学习过程中，学生可以尝试将概率理论与实际问题相联系，通过解决实际问题来提高对概率的理解。
概率论中一些易混淆的概念的教学探讨
错误． 获得 真 理 ， 不 是 硬 性 给 出 概 念 ， 学 生 死 记 硬 背 ． 而 让
１ 注重 相 关 概 念 的 比较
我 们 在《 率 论 》 教 学 中 ， 介 绍 到 相 互 独 立 的 事 件 时 ， 向 学 生 提 出 事 件 相 互 独 立 与 互 不 相 容 的 概 的 当 就
［ 摘 要 ］ 从 理 论 和 实践 相 结 合 上 对 《 率 论 》 程 中 的一 些 概 念 教 学 进行 了探 究 ． 概 课
［ 关键 词 ］ 互 不 相 容 ； 立 ； 概 率 事 件 ； 然 事 件 ； 可 能 事 件 独 小 必 不 ［ 圈分 类 号 ］ ０ １． 中 ２】１ ［ 献标识码］ｃ 文 ［ 文章 编 号］ １ ７ —４ ４２ ０ ）５ｏ ６ —４ ２１５ （０ ８ ０一１ １０ ６
［ 收稿 日期 ］ ２０ 一Ｏ２ ０ ６ｌ一６ ［ 基金 项 目］ 汀 西 省教 育 厅 教 改 课题 基金 （Ｘ Ｇ ０ —６１ ） Ｊ Ｊ － ６１ —９
１２ ６ Ｂ。 与 Ｂ 相 互 独 立 ． Ａ
大 学 数 学
第 ２ ４卷
在利用乘 法公式 求解 与独立 性有关 的概念 问题 时 ， 根据 实 际 问题情 况 凭经 验 和直 觉判 定事 件 之 常
ｆ
Ｐ Ａ Ａ， 一Ｐ Ａ ） （ ， （ ） （ Ｐ Ａ ）
Ｉ Ｐ Ａ Ａ， 一Ｐ Ａ ） （ ） （ ， （ Ａ ） （ Ｐ Ａ，Ｐ Ａ ）
Ｉ
【 （ Ａ！ 一Ｐ Ａ ） （ ） （ ， Ｐ Ａ。 …Ａ ） （ Ｐ Ａ２ …Ｐ Ａ ）
那 么称 Ａ ， ， ， 是 相互独 立的． Ａ！ … Ａ 注 ｌ 由两个随机 事件相互 独立 的定 义 ， 们 可 以得 到 ， 事 件 Ａ 与 Ｂ 相 互独 立 ， 我 若 则 与 Ｂ， 与 Ａ
高三数学概念、方法、题型、易误点总结：概率
高三数学概念、方法、题型、易误点总结（十一）班级 姓名十一、概率１．随机事件A 的概率0()1P A ≤≤，其中当()1P A =时称为必然事件；当()0P A =时称为不可能事件P(A)=0；2.等可能事件的概率（古典概率）： P(A)=nm。
理解这里m 、ｎ的意义。
如（1）将数字1、2、3、4填入编号为1、2、3、4的四个方格中，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填数字均不相同的概率是______（答：38）； （2）设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率：①从中任取2件都是次品；②从中任取5件恰有2件次品；③从中有放回地任取3件至少有2件次品；④从中依次取5件恰有2件次品。
（答：①215；②1021；③44125；④1021） 3、互斥事件：（A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生）。
计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )。
如（1）有A 、B 两个口袋，A 袋中有4个白球和2个黑球，B 袋中有3个白球和4个黑球，从A 、B 袋中各取两个球交换后，求A 袋中仍装有4个白球的概率。
（答：821）； （2）甲、乙两个人轮流射击，先命中者为胜，最多各打5发，已知他们的命中率分别为0.3和0.4，甲先射，则甲获胜的概率是（0.425=0.013，结果保留两位小数）______（答：0.51）；（3）有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P （n ），且P （n ）与时刻t 无关，统计得到 ()()10,1520,6nP n P n n ⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪≥⎩g ，那么在某一时刻，这个公用电话亭里一个人也没有的概率P （0）的值是 （答：3263）4、对立事件：（A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生）。
计算公式是：P （A ）+ P(B)＝１；P (A )=1－P (A )；5、独立事件：（事件A 、B 的发生相互独立，互不影响）P(A •B)＝P(A) • P(B) 。
概率中几个易混淆问题解析
概率中几个易混淆问题解析
刘凤霞
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2007(000)003
【摘要】概率问题的分析方法比较特殊,尤其对某些知识的理解容易发生混淆,本文对在教学过程中发现的几个问题加以分析,以帮助读者理解和应用.
【总页数】1页(P)
【作者】刘凤霞
【作者单位】辽宁省抚顺师范高等专科学校
【正文语种】中文
【中图分类】O211
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对概率教学中几类易混淆概念的认识
和县教学成果评选材料类型教学论文论题对概率教学中几类易混淆概念的认识单位和县第二中学姓名张后志时间 2014年3月28日对概率教学中几类易混淆概念的认识摘要：随着概率统计内容引入中小学数学课程，学生在学习过程中出现了一系列由于对概念定义混淆导致的错误，影响了学生学习的认知心理，增加了概率教学的难度．在概率教学中，要注意区分概念定义之间的差别，了解概率概念的认知特征，这样才能引导学生正确解题，把握随机性思维的规律．关键词：概率概念；数学教学；混淆概率知识和现实生活有着很密切的关系，在经济、管理、决策、保险、销售等方面都有着广泛的应用，新数学课程标准及教材侧重培养学生的实际应用能力，理所当然的加入了概率知识，然而学生在分析问题和解决问题时常常容易因为概念不清出现一些似是而非的错误，或是面对概率问题束手无策、无从下手，使概率教学的难度加大．以下就几类易混淆概念问题例证解析，以阐发“概念不清，寸步难行”的教学要义．1 频率和概率的区别事件A发生的频率是指相同条件下，进行n次试验，事件A发生的次数(或称频数) nA与n的比值．直观的想法是用频率来表示A在一次试验中发生的可能性的大小，但实际上频率值是有波动的．需要通过操作实验活动，亲手体验、感受频率的稳定性以及频率与概率的关系，观察频率的变化，从而建立这样的信念或影响，当实验次数越来越大时，这个比值(频率)越来越稳定于一个固定值，并以此来预测事件出现的可能性的大小，即概率．概率是准确的表示A在一次试验中发生的可能性的大小．学习概率概念的一个误区是大部分学生用频率理解概率．事实上，频率随着试验的发生而发生的其统计值是不断变化的，而概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件自身的一个属性，是先于试验而客观存在的．概率的统计定义是利用频率来刻画的，但频率并不是概率，当试验次数增多时，该随机事件发生的频率总是稳定于某一个数值附近，而且偏离的幅度很小．频率本身也是个随机变量，由贝努里大数定律知频率与概率具有强相合性，频率的稳定值反映了该事件发生的可能性大小，所以是借助于频率的稳定性去刻画概率．义务教育数学课程标准中设计了“做一做”活动“一定能摸到红球吗”，使学生体会事件发生的可能性是有大小的．活动是通过分组进行的，然后汇集班里所有的统计数据，把总的频率(比值)与概率进行比较．为什么要这么做?其实这里有两个概念需要明确，汇集所有数据，是基于概率的统计定义，即当试验的次数越来越大时频率将稳定于概率；而计算比值这是概率的古典定义，事件所包含的基本事件数与总的基本事件的比值即为(古典)概率，学生对概率的统计定义与古典定义是不知道的，重复试验次数让学生观察频率逐渐稳定于一个固定的值，从而让学生知道事件发生可能性的大小是可以用频率的稳定值来表征的，建立统计意义的概率概念对学生准确理解和把握概率的实质是具有重要意义的．2 排列和组合定义的混淆由于种种原因，现行学校数学的概率内容教学，还停留在对古典概率问题的计算技能训练上和一些概率概念的死记硬背上，这种现象必需改变．学过概率的学生在现实生活中遇到随机现象问题，仍不会应用已学过的概率知识，仍然保持着他们在学习以前对随机现象问题的迟钝和误解．在处理概率问题时，经常会遇到排列和组合方面的思考，不少同学往往难以选择．例如：甲、乙两足球队激战90min 后踢成平局，加时赛30min 后仍成平局，先决定派5名队员，每人射一点球决定胜负，设甲、乙两队每个队员的点球命中率均为0.5．(1)不考虑乙队，求甲队仅有3名队员，点球命中，且其中恰有2名队员连续命中的概率；(2)求甲乙两队各射完5个点球后，再次出现平局的概率．这是一道与排列、组合相结合的概率题．在(1)中，要考虑甲队5名队员中有3名队员命中，有且仅有2名队员连续命中的情形共有多少种，这是一个排列问题，甲队3名队员射中，恰有2名队员连续命中的情形有23A 种，故所求概率为P 1＝23A 35.02)5.01(-＝163． 在(2)中，两队射完5个点球后仍是平局有6中可能(0：0、1：1、…5：5)，每一情形中都涉及到组合问题，比如说3：3时，5名队员中哪3名队员命中要进行选择．两组射完5个点球后再次出现平局共有6种可能，所求的概率为[]250052)5.01(5.0-=C P +[]++- 24115)5.01(5.0C []25663)5.01(5.020555=-C 对排列和组合定义混淆，导致了对概率学习的畏难情绪和障碍，也影响对概率概念的实质理解．事实上，统计与概率强调的内容方面是以统计的全过程为主线，而不是以排列组合为主线．由于学生缺少体验，数学课程标准要求通过体验经历和生活事例，例如，后抽签比先抽签吃亏吗?抛100次硬币一定出现50次正面吗?“三局两胜”制公平吗?“五局三胜”，“七局四胜”呢?教师在概率教学中应以生活经验帮助了解、区别和纠正学生对概率已有的错误经验和直觉，树立辨证的和正确的随机观念．3 不可能事件与必然事件的误区有人认为“不可能事件与概率为0的事件等价，必然事件与概率为1的事件等价，随机事件的概率大于0而小于1”，这是具有科学性错误的，违背了概率概念的实质．事实上，随机事件A 的概率是0≤P(A)≤1，这是概率所具备的基本规范，高中数学教材也给出这个性质．事实上，概率为1的事件不一定是必然事件，0概率事件也不一定是不可能事件，但必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0．例如：向平面内投一质点，该质点落在平面内任一点都是等可能的，分别求落在平面内点A 的概率和落在平面内除点A 处以外的概率．这是求随机事件概率问题，是一个典型的几何概型问题，但前者的概率为0，后者的概率为1．发生上述情形的原因在于概率有一个测度，有测度为O 的不可数集存在，并且对于连续函数来说，在一点处的积分为零．在古典概型中，概率为零的事件一定是不可能事件；在几何概型中，概率为零的事件未必是一个不可能事件．由对立事件知，概率为1的事件未必是必然事件．4 “独立”和“互斥”的混同独立是概率特征的涵义，即对任意两个事件A 、B ，若P(AB)二P(A)P(B)成立，则称事件A 、B 是相互独立的．由此可知必然事件以及不可能事件与任何事件都是相互独立的．而互斥是事件的众多关系中较为特殊的一种集合关系．若事件A 、B 不可能同时发生，也就是说AB 是一个不可能事件，则称事件A 与B 互斥，有时也称互不相容，即A 的出现必然导致B 的不出现或B 的出现必然导致A 的不出现． 例如：设0<P(A)<1，0<P(B)<1，由户P(A ︱B)+P(A ︱B )=1，则( )．选择支为：(A)事件A 与B 相互独立；(B)事件A 与B 互斥；(C)事件A 与B 互不相关；(D)事件A 与B 相互对立．首先题目要求事件之间的关系，所以可排除(C)，因为不相关则只用于表述随机变量之间的关系．其次由上述分析可知由概率得不出互斥的结论，所以(B)也显然不对．而独立性则是由概率得到的，因此,由P(A ︱B)+P(A ︱B )=1 得P(A ︱B)=1-P(A ︱B )=P(A ︱B )， 又P(A)=P(AB+A B )=P(AB)+P(A B )=P(B)P(A ︱B)+P(B )P(A ︱B)=(P(B)+P(B ))P(A ︱B),即有P(AB)=P(A)P(B)从而由独立的定义立即可得A 与B 是相互独立的，故(A)是正确的．再如：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声被接的概率为0.1；响第二声被接的概率为0.3；响第三声被接的概率为0.4；响第四声被接的概率为0.1，那么电话在前四声被接的概率是多少?很多学生认为，电话在前四声内被接的概率是P=0.1×0.3×0.4×0.1＝0.0012．出现错误的原因是将互斥事件看成相互独立事件，电话在响第i 声被接和在响第j 声被接(i ≠j ，且i 、j ∈｛1，2，3，4｝)是互斥事件．因此正确解法是P ＝0.1+0.3+0.4+0.1=0.9．由此可知，利用概念定义准确把握内涵中种差概念的区别，在解相关题目中可以收到意想不到的效果．5 “有放回”和“不放回”条件混用有放回和不放回也是概率中的常见问题，有些题目中没有直接说明是有放回还是无放回，需要学生自己进行判定．这与有关(涉及到)试验的机会、等可能性概念，也是学习概率概念常常混淆的．例如：一个人有n 把钥匙，其中只有一把可以打开房门，随机逐个试验钥匙，试验后放回，求“房门恰在第k 次被打开”的概率，常见的错误有： (1)P(A)=nk n k n k n n n n n n n 1)1(1)2()1(23121=--⨯----⨯⨯--⨯--⨯- ; (2)P(A)=n A A k nk n 111=-- 错解(1)的主要原因在于将“有放回”与“无放回”混淆，这两种问题的主要不同点是：“有放回”的抽取每次被抽元素个数总是相同的，而“不放回”的抽取时每次被抽元素个数不相同；“有放回”抽取时每次抽取都是独立事件，概率不互相影响，“无放回”抽取每次抽取是互相影响的；错解(2)的主要原因在于“有放回”的抽取问题中，事件“一次抽取k 个元素”与“逐次抽取k 个元素”的概率是不相同的，而“不放回”的抽取问题中，以上两个事件的概率是相同的．正确解法为： P(A)=k k nn n n n n n n n 1)1(1111--=⨯-⨯⨯-⨯- 利用概念定义准确把握外延的不同，在解题时注意被取对象的全体，就可以避免错误．根据最近发展区理论，教学应该基于学生的最近发展区，而着眼于学生的潜在发展水平．因为大多数学生都接受用频率解释概率，所以教师应重视对概率统计定义的教学．此外，概率概念的教学要基于学生的认知发展水平，并且还要促进学生的认知能力的提高．在概率教学中，只有充分了解概率概念的认知特征，运用生活实践、活动体验等方式，这样才能帮助学生把握概率本质和概念定义之间的区别与联系，引导学生正确地分析问题和解决问题，把握随机性思维的规律．参考文献[1] 中华人民共和国教育部．全日制义务教育数学课程标准(实验稿) 北京师范大学出版社，2001．[2] 全日制普通高级中学教案系列丛书编委会．高中数学教案：第2册下(A)人民教育出版社，延边教育出版社 2001[3] 罗建宇．对“概率”概念教学的一处释疑数学通讯，2004，(5)．[4] 盛骤．概率论与数理统计高等教育出版社，2001．。
部编版高中数学必修二第十章概率易混淆知识点
(名师选题)部编版高中数学必修二第十章概率易混淆知识点单选题1、已知集合M ={−1,0,1,−2}，从集合M 中有放回地任取两元素作为点P 的坐标，则点P 落在坐标轴上的概率为（ ）A ．516B ．716C ．38D ．58 答案：B分析：利用古典概型的概率求解.由已知得，基本事件共有4×4= 16个，其中落在坐标轴上的点为：(−1,0)，(0,−1)，(0,0)，(1,0)，(0,1)，(−2,0)，(0,−2)，共7个， ∴所求的概率P =716， 故选：B ．2、某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：C ．0.5D ．0.6 答案：D分析：由表中数据，用频率估计概率求解. 由表中数据得：估计这个人体重减轻的概率约为p =6001000=0.6 故选：D小提示：本题主要考查用频率估计概率，属于基础题.3、若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足m 2+n 2<25的概率是（ ） A ．12B ．1336C ．49D ．512 答案：B分析：利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(m,n)表示， 则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共有36种．其中满足m 2+n 2<25有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足m 2+n 2<25的概率P =1336． 故选：B4、如图，开关K 1，K 2被称为双联开关，K 1可以与a ，b 点相连，概率分别为12，K 2可以与c ，d 点相连，概率分别为12，普通开关K 3要么与e 点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为12．若各开关之间的连接情况相互独立，则电灯L 1不亮的概率是（ ）A ．18B ．14C ．34D ．78答案：C分析：利用对立事件，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.先考虑对立事件“电灯L 1亮”：首先需要“K 3与e 点相连”，同时满足“K 1与a 点相连且K 2与c 点相连”或“K 1与b 点相连且K 2与d 点相连”，因此电灯L 1亮的概率P =12×(12×12+12×12)=14，故电灯L 1不亮的概率为34. 故选：C5、某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ） A ．至多一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都没中靶 答案：D分析：利用对立事件的定义判断可得出结论.对于A ，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶， “至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A 选项不满足条件； 对于B ，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B 选项不满足条件； 对于C ，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C 选项不满足条件； 对于D ，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D 选项满足条件. 故选：D.6、高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a 、b 、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab =（ ）A ．320B ．110C ．115D ．15答案：B分析：利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a ，b 的方程，联立求解即得.依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab ⋅(1−14)+14a(1−b)+14b(1−a)=15，整理得ab +a +b =45，又三个社团都进不了的概率为310，则(1−a)(1−b)(1−14)=310，整理得a +b −ab =35， 联立ab +a +b =45与a +b −ab =35，解得ab =110，所以ab =110. 故选：B7、下列事件中不是确定事件的个数是（ ）①从三角形的三个顶点各画一条高线，这三条高线交于一点；②水中捞月；③守株待兔；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量 A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据随机事件的定义分析判断即可三角形三条高线一定交于一点，则①是必然事件； ②水中捞月是不可能事件；③守株待兔是随机事件，不是确定事件；④某地区明年1月的降雪量高于今年1月的降雪量是随机事件，不是确定事件. 故选：B.8、某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮次数和命中的次数如下表：）A ．0.68B ．0.625C ．0.587D ．0.615 答案：D分析：由频率和概率的关系求解.解：由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差越小． 故选：D ． 多选题9、下列对各事件发生的概率判断正确的是（）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29答案：AC分析：根据每个选项由题意进行计算，从而进行判断即可对于A,该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯,第3个路口是红灯,所以概率为(1−13)2×13=427,故A 正确；对于B,用A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=15,P(B)=13,P(C)=14,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34=25,所以此密码被破译的概率为1−25=35,故B 不正确；对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=812=23,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=612=12,故取到同色球的概率为23×12+13×12=12,故C 正确；对于D,易得P(A ∩B̅)=P(B ∩A ),即P(A)⋅P(B ̅)=P(B)P(A ), 即P(A)[1−P(B)]=P(B)[1−P(A)],∴P(A)=P(B),又P(A ∩B ̅)=19, ∴P(A )=P(B̅)=13,∴P(A)=23,故D 错误 故选AC小提示：本题考查古典概型,考查事件的积,考查独立事件,熟练掌握概率的求解公式是解题关键 10、对于事件A ，B ，下列命题正确的是 （ ）A ．如果A ，B 互斥，那么A 与B 也互斥B ．如果A ，B 对立，那么A 与B 也对立C ．如果A ，B 独立，那么A 与B 也独立D ．如果A ，B 不独立，那么A 与B 也不独立 答案：BCD分析：A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互独立事件的定义判断.A.如果A ，B 互斥，由互斥事件的定义得A 与B 不一定互斥，故错误；B.如果A ，B 对立，由对立事件的定义得A 与B 也对立，故正确；C.如果A ，B 独立，由相互独立事件的定义得A 与B 也独立，故正确；D.如果A ，B 不独立，由相互独立事件的定义得A 与B 也不独立，故正确； 所以答案是：BCD11、（多选）以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）. A ．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是13B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如8=3+5，在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115C ．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l ，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是536D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是12 答案：BCD分析：利用古典概型公式分别计算四个选项中的概率，从而得解. 对于A ，画树形图如下：从树形图可以看出，所有可能出现的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，P （甲获胜）=13，P （乙获胜）=13，故玩一局甲不输的概率是23，故A 错误；对于B ，不超过14的素数有2，3，5，7，11，13共6个，从这6个素数中任取2个，有2与3，2与5，2与7，2与11，2与13，3与5，3与7，3与11，3与13，5与7，5与11，5与13，7与11，7与13，11与13共15种结果，其中和等于14的只有一组3与11，所以在不超过14的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为115，故B 正确；对于C ，基本事件总共有6×6=36种情况，其中点数之和是6的有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5种情况，则所求概率是536，故C 正确；对于D ，记三件正品为A 1，A 2，A 3，一件次品为B ，任取两件产品的所有可能为A 1A 2，A 1A 3，A 1B ，A 2A 3，A2B，A3B，共6种，其中两件都是正品的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，则所求概率为P=36=12，故D正确.故选BCD.小提示：本题主要考查了古典概型的计算，属于基础题.填空题12、甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．答案：0.18分析：本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108,前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是0.4×0.62×0.52×2=0.072,综上所述，甲队以4:1获胜的概率是q=0.108+0.072=0.18.小提示：由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．。
概率教学中几类易混淆概念的认识
这是求随机事件概 时， 经常会遇到排列和组合方面 的思考 ， 不少同学往 在平面内除点 Ａ处以外 的概率． 往 难 以选 择 ． 率问题 ， 是一个典型的几何概型问题 ， 但前者的概率
， ． 例如 ： 乙两足球队激战 ９ ｎ 甲、 ０ ｍｉ 后踢成平局 ， 为 ０ 后者 的概率为 １ 发生上述 情形的原因在于概 有测度为 ０ 的不可数集存在 ， 并且对 加时赛 ３ ｉ 后仍成平局 ， Ｏ ｎ ａ ｒ 先决定派 ５ 名队员， 每人 率有一个测度 ， 在一点处的积分为零． 在古典概型 射一点球决定胜负， 甲、 设 乙两队每个队员的点球命 于连续函数来说 ，
误 ， 响了学生 学 习的认 知心理 ， 影 增加 了概率 教学 的难度 ． 在概 率教学 中， 要注意 区分概念定 义之 间的差别 ， 了解概 率概念的认知特 征， 这样才能引导学生正确解题 ， 把握随机 性思维的规律．
关键词 ： 概率概 念 ｝ 数学教 学｝ 混淆
中圈分类号 ： ２ ． Ｇ４ ４ １
直观的想法是用频率来表示 Ａ在一次试验中发生的 试验的次数越来越大时频率将 稳定于概率 Ｉ 而计算 可能性的大小 ， 但实际上频率值是有波动的． 需要通 比值 ， 这是概率的古典定义 ， 事件所包含的基本事件 古典） 概率． 学生对 过操作实验活动 ， 亲手体验、 感受频率的稳定性 以及 数与总的基本事件 的比值即为（ 频率与概率的关系． 观察频率的变化， 从而建立这样 概率的统计定义与古典定义是 不知道 的， 复试验 重 的信念或影响 ， 当实验次数越 来越大时 ， 这个 比值 次数让学生观察频率逐渐稳定 于一个 固定的值， 从
２ 排列 和组 合定 义的混 淆
由于种种原因 ， 现行学校数学的概率内容教学 ，
性大小的度量 ， 是随机事件 自身的一个属性 ， 是先于 还停留在对古典概率问题的计算技能训练上和一些
考研数学易混淆概念分析——概率论与数理统计(四)
2012考研数学易混淆概念分析—概率论与数理统计（四）万学海文数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。
万学海文数学考研辅导专家们在此特别为2012年的广大考生归纳一下线性代数的部分知识点。
下面介绍的是独立与不相关之间的联系与区别。
在我们的日常生活中两个事件独立的例子随处可见。
独立也是考研比较常考的概念，由于其与不相关的概念比较类似，所以又常常将独立与不相关的概念结合起来考辨析概念的选择题或通过独立与不相关的关系考简答题。
独立的定义是设,A B 是两个事件，如果满足等式 ()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立，简称事件,A B 独立.那么随机变量X Y ,相互独立的定义是设(),F x y 是X Y ,的联合概率分布函数，()(),X Y F x F y 分别是X Y ,的边缘分布函数，如果对任意的,x y 满足()()(),X Y F x y F x F y =⋅，则称随机变量X Y ,相互独立。
但X Y ,是连续型随机变量的时候，设他们的密度联合函数为(),f x y ，边缘概率密度函数分别为()(),X Y f x f y ，则有()()(),X Y f x y f x f y =。
而不相关指的是相关系数0XY ρ=，即协方差cov(,)0X Y =或者()()()E XY E X E Y =。
相关系数是一个用来反映X Y 和之间线性关系程度的数字特征．当XY ρ接近于0时，即代表X Y 和的线性相关程度越差。
我们可以通过独立来推导出不相关，但是一般情况下，不相关未必独立。
但是特别的，若(,)X Y 服从二维正态分布，则我们可以由X Y 和不相关推导出X Y 和独立．所以当随机变量X Y ,相互独立且方差存在时，()D X Y DX DY +=+，()D X Y DX DY -=+；事实上()2cov(,)D X Y DX DY X Y ±=+±，由于独立可以推导出不相关，所以cov(,)0X Y =，即X Y ,相互独立可以有()D X Y DX DY ±=+。
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辨析概率论中容易混淆的几个概念
一、互不相容和相互独立
互不相容：A·B=φ
相互独立：P（AB）=P（A）P（B）
例1：设盒中有2个黑球，1个白球，现从盒中抽球两次，每次抽取出一球。
设：A=“第一次抽取的是黑球”，B=“第二次抽取的是黑球”
问题：（1）若该试验为有放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？
（2）若该试验为不放回抽取，事件A与B是否相互独立？是否相容？
解：（1）事件A与B相互独立，又因为事件A与B可能同时发生，
所以事件A与B是相容的。
事实上由于P（A）=23，P（B/A）=P（B）=23，
∴P（AB）=P（A）P（B/A）=P（A）P（B）=49，
即事件A与B相互独立，然而P（AB）=49，即有AB≠φ，所以事件A与B是相容的。
（2）事件A与B不相互独立，第一次抽取一球后必然改变
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盒中两种颜色的球的组成成分，从而影响了第二次抽球，因为盒中有2个黑球，即使不放回抽样，事件A与B依然可能同时发生，所以事件A与B相容。
事实上，由于P（A）=23，P（B/A）=23，P（B）=12，
∴P（AB）=P（A）P（B/A）=49，P（A）P（B）=13。
所以事件A与B不相互独立，此时易知AB≠φ，所以事件A与B是相容的。
两事件相互独立与两事件互不相容虽是两个不同的概念，但它们之间也有关系。
例2：证明：若P（A）0，P（B）0，则有
（1）当事件A与B相互独立时，AB≠φ，即A与B相容。
（2）当A·B=φ即事件A与B互不相容时，A与B不独立。
证（1）因事件A与B相互独立，且P（A）0，P（B）0，∴P（AB）=P（A）P（B）0，故AB≠φ，即事件A与B相容。
（2）因A·B=φ，故P（AB）=P（φ）=0，而P（A），P（B）均为正数，故P（A）·P（B）也为正数，于是P（AB）≠P（A）P（B），即A与B不独立。
由上例得到“互不相容”与“相互独立”之间的关系
结论：当事件A，B的概率都非零（大于零）时，若A与B 相互独立，则A与B必相容；反之，若A与B互不相容，则A
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与B必不相互独立。
二、频率和概率
概率的统计性定义：在相同的条件下，独立重复的做n次试验，设μ是n次试验中事件A发生的次数，当试验次数n充分大时，若事件A的频率fn（A）=μ/n将“稳定”于某常数p的“附近”；且随着试验次数的增多，频率偏离这个常数p的可能性越来越小，则称常数p为事件A在该条件下发生的概率，记作P （A）=p。
但是，能否认为频率的极限就是概率呢？我们可以先做假设limn→∞μn=p，即对ε0，某个N，当nNμn-p<ε。
></ε。
> 在抛硬币试验中，事件A表示出现正面，p（A）=0.5，取0<ε> 0.5，不论N多大，存在nN，此时n次试验中每次出现正面是可能发生的，则μn-p=nn-0.5=0.5ε，因此limn→∞μn=p 不成立。
</ε>
但我们发现n次试验中每次出现正面的概率为12n→0（n→∞），发生的可能性很小，几乎为零。
也就是说对）ε，limn→∞pμn-p<ε=1成立，即频率μn依概率收敛于概率p，这就是伯努利大数定律。
></ε=1成立，即频率μn依概率收敛于概率p，这就是伯努利大数定律。
>
我们再通过一个具体的例子——野生资源调查问题，来体会一下何为频率何为概率。
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），
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先捞上200条作记号，放回后再捞上200条，发现其中有4条带记号，用A表示事件“任捞一条带记号”，问下面两个数：200n，4200，哪个是A的频率？哪个是A的概率？由概率的統计定义不难知道，前者为概率，后者是频率。
三、概率为零的事件不一定是不可能事件
我们知道不可能事件的概率确定为零，不可能事件可表示为A=φ，则P（A）=0。
反之则不成立，概率为零的事件却不一定为不可能事件，当P（A）=0，不一定能得到A=φ。
例如：在几何概率中，设
Ω=（x，y）：x2+y2≤9
A=（x，y）：x2+y2=9
Ω为圆域，而A为其中一圆周，则P（A）=A的面积Ω的面积=09π=0。
显然，A是可能发生的，即若向Ω内随机投点，点落在圆周x2+y2=9上的情况是可能发生的。
又如，对于连续型随机变量X，有P（X=a）=0，但X=a是可能发生的，即X可以取到值a。
那么在何种情况下当P（A）=0时，才有A=φ，其仅在样本点有限或样本点可数这种特殊的情况下才成立。
四、概率为1的事件不一定是必然事件
我们知道必然事件的概率值一定等于1，即当A=Ω时，得
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到P（A）=1，但反过来概率等于1的事件却不一定是必然事件，即当P（A）=1时，不一定能得到A=Ω。
例如：在几何概率中，设
Ω=（x，y）：x2+y2≤4
A=（x，y）：x2+y2=1
A-=Ω-A=（x，y）：x2+y2≤4且x2+y2≠1
故：P（A-）=P（Ω）-P（A）=1-0=1
但事件A-显然不是必然事件Ω。
若向Ω内随机投点，点有可能不落在A-上而落在A上。
又如，对于连续型随机变量X，P（X≠a）=1，但X≠a不是必然会发生的。
只是在样本点有限（如古典概型）或样本点可数的特殊情况下，
当P（A）=1时，才有A=Ω。
综上，理解数学概念是掌握定理、法则、公式和解题方法的基础，学习时要理清概念、定理、公式和法则的来龙去脉，要有针对性的弄清它们的逻辑联系、内涵和外延，注意归纳整理，这样才能更加游刃有余地解决概率当中的问题。
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