乘法公式(1)平方差公式同步培优题典(解析版)
平方差公式与完全平方公式(解析版)(重点突围)八年级数学上册重难点专题提优训练(人教版)
专题13 平方差公式与完全平方公式考点一 运用平方差公式进行计算 考点二 平方差公式与几何图形考点三 运用完全平方公式进行运算 考点四 求完全平方式中的字母系数考点五 整式的混合运算——化简求值 考点六 通过对完全平方公式变形求值考点七 完全平方公式在几何中的应用 考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题考点一 运用平方差公式进行计算例题：（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的有（ ）（1）()()22a b a b +-（2）()()22a b b a +-（3）()()a b b a -+-（4）()()a b b a ---A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据平方差公式为两数之和与两数之差的积，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：能用平方差公式计算的有()()22224a b b a b a +-=-；()()22a b b a a b ---=-， 则能用平方差公式简便计算的有2个．故选：B ．【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构()()a b a b +-是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川乐山·八年级期末）化简：(32)(32)a b a b ---【答案】2249b a -【分析】根据平方差公式求解即可．【详解】解：(32)(32)a b a b ---22=49b a -【点睛】此题考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用．2．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学七年级阶段练习）先化简，再求值：()()()()2222x y y x y x y x -+-+-，其中x ＝1，y ＝2；【答案】2255x y -，-15【分析】根据平方差公式即可进行化简，再代入x ，y 求值即可．【详解】解：原式=()()222244x y y x --- =222244x y y x --+=2255x y -，当12x y =,=时， 原式=225152⨯⨯-=520-=15-．【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知平方差公式的运用．3．（2022·河南平顶山·七年级期末）运用整式乘法公式先化简，再求值．()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-其中，a ＝－2，b ＝1．【答案】2129ab b +，-15【分析】先根据平方差公式去括号，再合并同类项，然后把a 、b 的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．【详解】解： ()()()()2312312121a b a b a a +-++-+-()()2223141a b a =+--- 2224129141a ab b a =++--+2129ab b =+，当a=-2，b ＝1时，原式()212219124915=⨯-⨯+⨯=-+=-．【点睛】本题考查了整式的混合运算一化简求值，解题的关键是掌握平方差公式并准确熟练地进行计算．考点二 平方差公式与几何图形例题：（2022·江西·抚州市实验学校七年级阶段练习）乘法公式的探究及应用．(1)如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：；(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各题：①102×98，②（2m+n﹣3）（2m﹣n﹣3）．【答案】(1)（a+b）（a﹣b）＝22-a b(2)①9996②22-+-4129m m n【分析】（1）根据图1与图2面积相等，则可列出等式即可得出答案；（2）应用平方差公式进行计算即可．（1）解：大的正方形边长为a，面积为2a，小正方形边长为b，面积为2b，∵图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，∵图1阴影部分面积＝22a b-，图2阴影部分面积＝（a+b）（a﹣b），∵图1的阴影部分与图2面积相等，∵（a+b）（a﹣b）＝22a b-，故答案为：（a+b）（a﹣b）＝22-；a b（2）①102×98＝（100+2）（100﹣2）＝221002-＝10000﹣4＝9996；②（2m +n ﹣3）（2m ﹣n ﹣3）＝[（2m ﹣3）+n ）][（2m ﹣3）﹣n ]＝()2223m n --＝224129m m n +--．【点睛】本题主要考查平方差的几何背景的应用，根据题意运用平方差公式计算是解决本题的关键【变式训练】1．（2022·吉林吉林·八年级期末）（1）如图1，若大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的为 ；面积为 ．（2）由（1）可以得到一个公式： ．（3）利用你得到的公式计算：2202220232021-⨯．【答案】（1）22a b -，a +b ，a ﹣b ，（a +b ）（a ﹣b ）；（2）22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；（3）1【分析】（1）由图形所示，由正方形、长方形的面积公式可得此题结果；（2）由（1）结果可得等式22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；（3）由（2）结论22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），可得2202220232021-⨯＝1．【详解】解：（1）由题意得，图形中阴影部分的面积是22a b -；图2的长为a +b ，宽为a ﹣b ，其面积（a +b ）（a ﹣b ）；故答案为：22a b -，a +b ，a ﹣b ，（a +b ）（a ﹣b ）；（2）由（1）结果可得等式22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ）；；（3）由（2）题结果22a b -＝（a +b ）（a ﹣b ），可得2202220232021-⨯()()220222022120221=-+-()222202220221=--22202220221=-+1=【点睛】此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能用不同整式表示出图形面积，并能运用所得结论进行计算．2．（2022·陕西渭南·七年级期末）如图1，边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．(1)【探究】通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______；（用含a ，b 的等式表示）(2)【应用】请应用这个公式完成下列各题：①已知22412m n =+，2m ＋n ＝4，则2m －n 的值为______；②计算：()()2323x y x y +--+；(3)【拓展】计算：222222221009998974321-+-++-+-．【答案】(1)()()22a b a b a b +-=- (2)①3；②22469x y y -+-(3)5050【分析】（1）将两个图中阴影部分面积分别表示出来，建立等式即可；（2）①利用平方差公式得出()()22224m n m n m n +=--，代入求值即可；②利用平方差公式进行计算；（3）利用平方差公式将2210099写成（100+99）×（100-99），以此类推，然后化简求值． （1） 图1中阴影部分面积22a b -，图2中阴影部分面积，()()a b a b +-所以，得到乘法公式()()22a b a b a b +-=-故答案为()()22a b a b a b +-=-（2）解：①∵22412m n =+，2m ＋n ＝4，∵()()22224m n m n m n +=--23m n ∴-=故答案为：3②()()2323x y x y +--+=()()2223x y --22469x y y =-+- （3）222222221009998974321-+-+⋯+-+-=（100+99）×（100-99）+（98+97）×（98-97）+…+（4+3）×（4-3）+（2+1）×（2-1）=199+195+…+7+3=5050．【点睛】本题考查平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式是解题的关键．考点三 运用完全平方公式进行运算例题：（2022·湖南邵阳·七年级期末）计算：()()22362x x x ---【答案】229x -+【分析】首先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则运算，再去括号，最后合并同类项，即可求得．【详解】解：()()22362x x x --- ()224129612x x x x =-+--224129612=-+-+x x x x229=-+x【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘以多项式法则，解本题的关键在注意去括号时符号的变化．完全平方公式：()2222a b a ab b +=++．【变式训练】1．（2022·江苏·南京市第一中学泰山分校七年级阶段练习）先化简，再求值：23()(2)(2)x y x y x y +--+，其中x =-1，y =2．【答案】2264x xy y -++，3．【分析】根据完全平方公式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 、y 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：23()(2)(2)x y x y x y +--+22223634x xy y x y =++-+ 2264x xy y =-++，当x =-1，y =2时，原式22(1)6(1)2423=--+⨯-⨯+⨯=．【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的方法． 2．（2021·湖南·长沙一中岳麓中学八年级阶段练习）整式化简：(1)()()()()21322x x x x x ---++-；(2)()()()222x y z x y z x z --+--+．【答案】(1)23x x +-(2)244xz y --【分析】(1)首先根据完全平方公式及平方差公式、单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项即可求得结果；(2)首先根据平方差公式及完全平方公式进行计算，再根据完全平方公式及合并同类项法则进行运算，即可求得结果．（1）解：()()()()21322x x x x x ---++-2222134x x x x x =-+-++-23x x =+- （2）解：()()()222x y z x y z x z --+--+ ()()()222x z y x z y x z ⎡⎤⎡⎤=---+-+⎣⎦⎣⎦ ()222242x z y x xz z =-----22222242x xz z y x xz z =-+---- 244xz y =--【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．考点四 求完全平方式中的字母系数例题：（2022·广西·桂林市雁山中学七年级期中）若29x kx ++是完全平方式，则k 的值为____________．【答案】±6【分析】利用完全平方公式的结构特征计算即可．【详解】解：∵22293x kx x kx ++=++是一个完全平方式，∵k ＝±2⨯3＝±6，故答案为：±6．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江·义乌市宾王中学七年级期中）若多项式x 2﹣4x +m 是一个完全平方式，则m 的值为_____．【答案】4【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x 和-2，再根据完全平方公式求解即可．【详解】解：∵-4x =2×(-2)x ，∵这两个数是x 和-2，∵()224m =-=．故答案为：4．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．2．（2022·安徽·合肥市第四十五中学橡树湾校区七年级期中）若()22325x m x -++是关于x 的完全平方式，则m =______．【答案】8-或2【分析】根据完全平方式逆运用，可知22(5)1025x x x ±=±+，由此即可求得m 的值．【详解】解：22(5)1025x x x ±=±+，()2310m ∴-+=±，35m ，8m ∴=-或2m =，故答案为：8-或2．【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的运用，解题重点是灵活运用公式，注意两种情况．考点五 整式的混合运算——化简求值例题：（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）先化简，再求值()()()()222243x y x y x y x x y x ⎡⎤++-++-÷⎣⎦．其中x ＝2，y ＝-1． 【答案】x ，2【分析】先根据乘法公式，单项式除以多项式计算中括号内的整式运算，然后根据单项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．【详解】解：()()()()222243x y x y x y x x y x ⎡⎤++-++-÷⎣⎦()2222244443x xy y x y x xy x =+++-+-÷233x x =÷x =，当x ＝2，y ＝﹣1时，原式＝2．【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知乘法公式，多项式除以单项式，单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键．【变式训练】22222a ab b a b b b96962 ()() 22222--=+++÷-96962a ab b a b b b ()()2-=÷-624ab b b考点六 通过对完全平方公式变形求值 例题：（2021·湖南·衡阳市第十七中学八年级期中）已知a ﹣b ＝5，ab ＝3，求代数式222a ab b ++的值．【答案】37【分析】利用完全平方公式的变形求解即可．【详解】解：∵a ﹣b ＝5，ab ＝3，∵()22525a b -==，∵222a ab b ++ 2224a ab b ab =-++()24a b ab =-+2534=+⨯ 37=．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）已知a +b =5，ab =4，(1)求a ²+b ²的值(2)求（a -b ）²的值【答案】(1)17(2)9【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．（1）解：∵5a b +=，4ab =，∵()225a b +=，∵22225a b ab ++=，∵22252252417a b ab +=-=-⨯=；（2）∵2217a b +=，4ab =，∵()222217249a b a b ab -=+-=-⨯=．【点睛】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．2．（2021·黑龙江·大庆市大同区同祥学校七年级期中）阅读：已知a +b ＝﹣4，ab ＝3，求a 2+b 2的值． 解：∵a +b ＝﹣4，ab ＝3，∵a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（﹣4）2﹣2×3＝10．已知a +b ＝6，ab ＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．(1)a 2+b 2；(2)a 2﹣ab +b 2．【答案】(1)32(2)30【分析】（1）结合题意，()2222a b a b ab +=+-，代入即可得出答案；（2）由（1）可知，2232a b +=，ab ＝2，代入即可得出答案．（1）解：∵a +b ＝6，ab ＝2，∵()2222262232a b a b ab +=+-=-⨯=；（2）解：由（1）可知，2232a b +=，ab ＝2，∵222232230a ab b a b ab -+=+-=-=．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，结合条件对完全平方公式变形是本题的关键．考点七 完全平方公式在几何中的应用例题：（2021·宁夏·永宁县回民高级中学七年级期中）如图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中虚线用剪力均分成园块小长方形，然后接图b 的形状拼成一个正方形．(1)图b 中的阴影部分的正方形的边长等于多少？(2)求出图b 中阴影部分的面积_______．(3)观察图b 你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：()2m n +，()2m n -，mn ．(4)根据（3）图中的等量关系，解决如下问题：若7a b +=，5ab =，则()2a b -=_______．【答案】(1)m -n(2)()24m n mn +-或()2m n -(3)()()224m n mn m n +-=-(4)29【分析】（1）根据题意可得图b 中的阴影部分的正方形的边长等于长为m ，宽为n 的长方形的长宽之差，即可求解；（2）根据图b 中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积或图b 中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，即可求解；（3）由（2）写出等量关系，即可求解；（4）根据（3）中的结论可得()()224a b ab a b +-=-，再把7a b +=，5ab =代入，即可求解． （1）解：（1）图b 中的阴影部分的正方形的边长等于长为m ，宽为n 的长方形的长宽之差，即m -n ； （2）解：图b 中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即()24m n mn +-；图b 中的阴影部分的正方形的边长等于m -n ，所有其面积为()2m n -；故答案为：()24m n mn +-或()2m n -（3）解：由（2）得：()()224m n mn m n +-=-；（4）解：由（3）得：()()224a b ab a b +-=-当a +b =7，ab =5时， ()2274529a b -=-⨯=，故答案为：29【点睛】本题考查了完全平方公式与图形之间的关系，从几何的图形来解释完全平方公式的意义，解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．【变式训练】1．（2021·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1 的三种纸片，A 种纸片是边长为a 的 正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形， 并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形．(1)观察图 2，请你写出下列三个代数式：2()a b +，22a b +，ab 之间的等量关系；(2)若要拼出一个面积为(2)()a b a b ++的矩形， 则需要A 号卡片 1 张，B 号卡片 2 张，C 号卡片________张．(3)根据（1） 题中的等量关系，解决如下问题：①已知 ：5a b +=，2211a b +=，求ab 的值；②已知22(2019)(2021)20x x -+-=，求2020x -的值．【答案】(1)2222a b a b ab +=++（）；(2)3；(3)①ab 的值为7；②x -2020=±3【分析】（1）用两种方法表示拼成的大正方形的面积，即可得出2()a b +，22a b +，ab 三者的关系； （2）计算（a +2b ）（a +b ）的结果为2232a ab b ++，因此需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张； （3）①根据题（1）公式计算即可；②令a =x -2020，从而得到a +1=x -2019，a -1=x -2021，代入计算即可． （1）大正方形的面积可以表示为：2a b +（），或表示为：222a b ab ++； 因此有2222a b a b ab +=++（）；（2）∵22232a b a b a ab b ++=++（)(），∵需要A 号卡片1张，B 号卡片2张，C 号卡片3张，故答案为：3；（3）①∵222222,511a b a b ab a b a b +=+++=+=（），， ∵25=11+2ab ,∵ab =7，即ab 的值为7；②令a =x -2020，∵x -2019=[x -（2020-1）]=x -2020+1=a +1，x -2021=[x -（2020+1）]=x -2020-1=a -1，∵222019202120x x -+-=（）（），∵221120a a ++-=（）（），解得29a =．∵220209x -=（），2x A -=∴原式=4AB =-4x -=-⋅2()A B +192∴=+4AB ∴=-即(2021-故答案为：考点八 运用完全平方式求代数式的最值问题例题：（2022·河北承德·八年级期末）阅读下面的材料并解答后面的问题：在学了整式的乘法公式后，小明问：能求出224x x ++的最小值吗？如果能，其最小值是多少？小丽：能．求解过程如下：因为222242114(1)3x x x x x ++=++-+=++，因为2(1)0x +≥，所以2(1)33x ++≥，即224x x ++的最小值是3．问题：(1)小丽的求解过程正确吗？(2)你能否求出265x x -+的最小值？如果能，写出你的求解过程；(3)求289x x -+-的最大值．【答案】(1)小丽的求解过程正确；(2)265x x -+的最小值为4-，过程见解析(3)289x x -+-的最大值为7【分析】（1）将式子的一部分利用完全平方公式，写成平方加上一个数的形式，根据平方的非负性即可求解；（2）根据（1）的方法即可求解；（3）根据（1）的方法即可求解．（1）小丽的求解过程正确；（2）我能出265x x -+的最小值为4-，265x x -+26995x x =-+-+()234x =-- ()230x -≥，()2344x ∴--≥-，∴265x x -+的最小值为4-； （3）解：∵289x x -+-()2816169x x =--++-()247x =--+()240x --≤∴()2477x --+≤， ∵289x x -+-的最大值为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）我们知道20a ≥，所以代数式2a 的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用2222()a ab b a b ±+=+来求一些多项式的最小值． 例如，求263x x ++的最小值问题．解：22263696(3)6x x x x x ++=++-=+-，又2(3)0x +≥，2(3)66x ∴+-≥-，263x x ∴++的最小值为6-．请应用上述思想方法，解决下列问题：(1)探究：245(x x x -+=______2)+______；(2)求224x x +的最小值．(3)比较代数式：21x -与23x -的大小．【答案】(1)-2；1(2)-2(3)2123x x ->-【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．（2）利用完全平方公式变形，再求最值．（3）作差后利用完全平方公式变形，再比较大小．（1）解：2x ﹣4x +5＝2x ﹣4x +4+1＝()221x -+．故答案为：﹣2，1．（2）22x +4x ＝2（2x +2x +1﹣1）＝()2212x +-，∵()221x +≥0，一、选择题1．（2022·山东烟台·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）A ．()()22a b a b -+B ．()()22m n m n -+--C ．()()22a b a b -+-D ．()()22m n m n +--【答案】B【分析】平方差公式为()()22a b a b a b +-=-，据此对各选项加以分析判断即可． 【详解】A ：()()22a b a b -+无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算； B ：()()22m n m n -+--符合平方差公式的形式，故其可以用平方差公式计算；C ：()()22a b a b -+-无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；D ：()()22m n m n +--无法化为()()a b a b +-形式的式子，故其不能用平方差公式计算；故选：B ．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键．2．（2022·云南文山·七年级期中）若代数式264x kx ++是完全平方式，则k 等于（ ）A ．8±B ．8C ．16D ．16± 【答案】D【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【详解】解：∵222648x kx x kx ++=++，∵kx =±2×8x ,解得k =±16．故选：D ．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．3．（2022·山东聊城·七年级期末）如果21m m -=，那么代数式()()222m m m ++-的值为（ ） A ．6B ．5C ．2D ．6-【答案】A【分析】先将所求式子去括号、合并同类项，将21m m -=变成2222m m -=，再整体代入计算即可求解．【详解】解：()()222m m m ++-A ．（a +2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2B ．（a +b ）2=a 2+2ab +b 2C ．a 2﹣b 2=（a +b ）（a ﹣b ）D ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab ﹣b 2【答案】C 【分析】利用正方形的面积公式可知剩下的面积=22a b -，而新形成的矩形是长为a +b ，宽为a -b ，根据两者相等，即可验证平方差公式．【详解】解：由题意得：22()()a b a b a b -=+-．故选：C ．【点睛】此题主要考查平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．解决本题的比较两个图形分别表示出面积．二、填空题6．（2022·湖南·双牌县第一中学七年级期中）化简：()()22x y x y -+=______．【答案】224x y -【分析】根据平方差公式计算，即可求解．【详解】解：()()22224x y x y x y -+=-．故答案为：224x y -【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式()()22a b a b a b +-=-是解题的关键．7．（2021·广东·沙田第一中学七年级期末）已知a +b ＝3，a －b ＝5，则22a b -＝__________．【答案】15【分析】根据平方差公式计算即可．【详解】解：∵3a b +=，5a b -=，∵()()223515a b a a b b =+-=⨯=－．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式：()()22a b a b a b +-=-．()21a-≥∴+的最小值为a b故答案为：【点睛】本题考查了完全平方公式的逆用，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键．10．（2022【详解】解：(2019x-()()()()()()2222019202220192022201922022x x x x x x --=-∴++-⎡---⎤⎣⎦()22120192022x x =-+--⨯ ()223=-- 7=，故答案为：7．【点睛】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟记完全平方公式是解题关键．三、解答题11．（2022·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）计算：(1)()()223x y x y +-；(2)2200198202-⨯ （运用乘法公式计算）．【答案】(1)2226x xy y +-(2)4【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；（2）用平方差公式进行简便计算即可．（1）解：()()223x y x y +-222436x xy xy y =+--2226x xy y =+-；（2）解：2200198202-⨯()()220022002002=--+()2222002002=--222002004=-+ 4=．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，平方差公式，熟知相关计算法则是解题的关键．12．（2022·四川·渠县琅琊中学七年级期中）先化简，再求值：根据以上规律：202220212020222+++.....+2+1=（2－1）（202220212020222+++......+2+1）=202321－．【点睛】此题考查了平方差公式，规律型：数字的变化类，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．15．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）如图，图1为边长为a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图1中阴影部分面积为1S ，图2中阴影部分面积为2S ，请用含a 、b 的代数式表示：1S =______，2S =______； (2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；(3)运用（2）中得到的公式，计算：2202220212023-⨯．【答案】(1)22a b -，()()a b a b +-(2)()()22a b a b a b +-=-(3)1【分析】（1）结合图形写出此题结果；（2）结合（1）题结果，可得乘法公式22()()a b a b a b +-=-；（3）将2021×2023变形为（2022+1）×（2022-1），再运用平方差公式进行计算．（1）解：由题意得，221S a b =-，2()()S a b a b =+-，故答案为：22a b -，()()a b a b +-；（2）解：由（1）题结果，可得乘法公式22()()a b a b a b +-=-，故答案为：22()()a b a b a b +-=-；（3）解：2202220212023-⨯()()220222022120221=--⨯+22202220221=-+=1．【点睛】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确列式、计算、归纳．16．（2022·全国·九年级专题练习）利用完全平方公式（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2和（a －b ）2＝a 2－2ab +b 2的特点可以解决很多数学问题．解决下列问题：(1)分解因式：267m m --；(2)当x 、y 为何值时，多项式2x 2+y 2－8x +6y +20有最小值？并求出这个最小值；(3)已知∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2＝8a +6b －25，求∵ABC 周长的最大值．【答案】(1)()()17m m +-(2)2x = ，3y =-；3(3)13【分析】（1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；（2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案；（3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a 、b ，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c 的最大值，可解得答案；（1）267m m --=26997m m -+--()2316m =--=()()3434m m -+--=()()17m m +-（2）。
乘法公式练习题
乘法公式练习题乘法公式是数学运算中非常重要的工具，熟练掌握并运用乘法公式可以大大提高计算的效率和准确性。
下面我们就通过一些练习题来巩固和加深对乘法公式的理解。
一、平方差公式平方差公式：（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²练习题 1：计算（5 ＋ 3)（5 3)解析：直接运用平方差公式，a ＝ 5，b ＝ 3，可得：（5 ＋ 3)（5 3) ＝ 5² 3²＝ 25 9 ＝ 16练习题 2：化简（x ＋ 2y)（x 2y)解析：同样使用平方差公式，a ＝ x，b ＝ 2y，得到：（x ＋ 2y)（x 2y) ＝ x²（2y)²＝ x² 4y²练习题 3：计算 98×102解析：将 98 看成 100 2，102 看成 100 ＋ 2，那么：98×102 ＝（100 2)（100 ＋ 2) ＝ 100² 2²＝ 10000 4 ＝ 9996二、完全平方公式完全平方公式：（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²，（a b)²＝ a² 2ab ＋b²练习题 1：计算（3 ＋ 4)²解析：运用完全平方公式，a ＝ 3，b ＝ 4，可得：（3 ＋ 4)²＝ 3²＋ 2×3×4 ＋ 4²＝ 9 ＋ 24 ＋ 16 ＝ 49练习题 2：化简（2x 3)²解析：a ＝ 2x，b ＝ 3，所以：（2x 3)²＝（2x)² 2×2x×3 ＋ 3²＝ 4x² 12x ＋ 9练习题 3：已知（a ＋ 1)²＝ 9，求 a 的值。
解析：因为（a ＋ 1)²＝ 9所以 a²＋ 2a ＋ 1 ＝ 9a²＋ 2a 8 ＝ 0（a ＋ 4)（a 2) ＝ 0则 a ＋ 4 ＝ 0 或 a 2 ＝ 0解得 a ＝－4 或 a ＝ 2三、乘法公式的综合运用练习题 1：计算（2x ＋ 3y)²（2x 3y)²解析：先分别运用完全平方公式展开：（2x ＋ 3y)²＝ 4x²＋ 12xy ＋ 9y²（2x 3y)²＝ 4x² 12xy ＋ 9y²然后相减：（4x²＋ 12xy ＋ 9y²) （4x² 12xy ＋ 9y²) ＝ 4x²＋ 12xy ＋ 9y² 4x²＋ 12xy 9y²＝ 24xy练习题 2：化简（x ＋ 2)²（x 1)（x ＋ 1)解析：先展开（x ＋ 2)²得到 x²＋ 4x ＋ 4，再用平方差公式计算（x 1)（x ＋ 1) 得到 x² 1，然后相减：（x²＋ 4x ＋ 4) （x² 1) ＝ x²＋ 4x ＋ 4 x²＋ 1 ＝ 4x ＋ 5练习题 3：已知 a ＋ b ＝ 5，ab ＝ 3，求 a²＋ b²的值。
平方差完全平方公式（培优1）
平⽅差完全平⽅公式（培优1）平⽅差完全平⽅公式三．解答题（共26⼩题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）6．计算：1232﹣124×122．7．计算：．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．9．运⽤乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．14．利⽤乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．_________16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上⾯各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=_________；（其中n为正整数）；（2）根据这⼀规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．17．先观察下⾯的解题过程，然后解答问题：题⽬：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．18．．19．（2012?黄冈）已知实数x满⾜x+=3，则x2+的值为_________．基本形式是完全平⽅公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配⽅（即“余项”分别是常数项、⼀次项、⼆次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）⽐照上⾯的例⼦，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配⽅；（2）将a2+ab+b2配⽅（⾄少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．22．（2004?太原）已知实数a、b满⾜（a+b）2=1，（a﹣b）2=25，求a2+b2+ab的值．23．（2001?宁夏）设a﹣b=﹣2，求的值．24．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）xy．25．已知x+=4，求x﹣的值．26．已知：x+y=3，xy=2，求x2+y2的值．27．已知a+b=3，ab=2，求a2+b2，（a﹣b）2的值．28．若x+y=2，且（x+2）（y+2）=5，求x2+xy+y2的值．29．x2﹣11x+1=0，求x2+的值．30．已，求下列各式的值：（1）；（2）．平⽅差完全平⽅公式参考答案与试题解析⼀．选择题（共1⼩题）1．（1999?烟台）下列代数式，x2+x﹣，，，其中整式有（）A ．1个B．2个C．3个D．4个考点：整式．分析：解决本题关键是搞清整共2个．故选B．点评：主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的⼀部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若⼲个单项式的和，⼆．填空题（共3⼩题）2．（2011?湛江）多项式2x2﹣3x+5是⼆次三项式．考点：多项式．专题：计算题．分析：根据单项式的系数和次2x2﹣3x+5是⼆次三项式．故答案为：⼆，三．点评：本题主要考查多项式的定义，解答此次题的关键是熟知以下概念：多项式中的每个单项式叫做多项式的项；多项式中不含字母的项叫常数项；多项式⾥次数最⾼项的次数，叫做这个多项式的次数．3．（2010?毕节地区）写出含有字母x，y的四次单项式x2y2．（答案不唯⼀，只要写出⼀个）考点：单项式．专题：开放型．分析：单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指都是四次单义，x2y2，x3y，xy3等都符合题意（答案不唯⼀）．点评：考查了单项式的次数的概念．只要两个字母的指数的和等于4的单项式都符合要求．4．（2004?南平）把多项式2x2﹣3x+x3按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．考点：多项式．分析：按照x的次数从⼤到⼩排列即可．解答：解：按x的降幂排列是x3+2x2﹣3x．点评：主要考查降幂排列的定义，就是按照x的次数从⼤到⼩的顺序排列，操作时注意带着每⼀项前⾯的符号．三．解答题（共26⼩题）5．计算：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c）式．分析：（1）（x﹣y）与（x+y）结合，可运⽤平⽅差公式，其结果再与（x2+y2）相结合，再次利⽤平⽅差公式，再应⽤完全平⽅公式．解答：解：（1）（x﹣y）（x+y）（x2+y2），=（x2﹣y2）（x2+y2），=x4﹣y4；（2）（a﹣2b+c）（a+2b﹣c），=a2﹣（2b﹣c）2，=a2﹣4b2+4bc﹣c2．点评：本题主要考查了平⽅差公式与完全平⽅公式，熟记公式是解题的关键．平⽅差公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．完2=a2±2ab+b2．6．计算：1232﹣124×122．考点：平⽅差公式．分析：先把124×122写成（123+1）×（123﹣1），利⽤平⽅差公式计算，去掉括号后再合并即可．解答：解：1232﹣124×122，=1232﹣（123+1）（123﹣1），=1232﹣（1232﹣12），实际运⽤，构造成平⽅差公式的结构形式是解题的关键．7．计算：．考点：平⽅差公式．分析：观察可得：2005=2004+1，2003=2004﹣1，将其写成平⽅差公式代⼊原式计算可得答案．解答：解：，，=，=2004．点评：本题考查平⽅差公式的实际运⽤，注意要构造成公式的结构形式，利⽤公式达到简化运算的⽬的．8．（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z）．分析：把原式化为[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，再运⽤平⽅差公式计算．解答：解：（x﹣2y+z）（﹣x+2y+z），=[z+（x﹣2y）][z﹣（x﹣2y）]，=z2﹣（x﹣2y）2，=z2﹣（x2﹣4xy+4y2），=z2﹣x2+4xy﹣4y2．点评：本题考查了平⽅差公式，整体思想的式计算会减少运算量．9．运⽤乘法公式计算．（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）；（3）79.8×80.2；（4）19.92．考点：平⽅差公式．专题：计算题．分析：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2可以利⽤平⽅差公式进⾏计算；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）转化成[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]的形式，利⽤平⽅差公式以及（3）79.8×80.2可以转化成（80﹣0.2）（80+0.2）的形式，利⽤平⽅差公式计算；（4）19.92可以转化为（20﹣0.1）2进⾏简便计算．解答：解：（1）（x+y）2﹣（x﹣y）2==4xy；（2）（x+y﹣2）（x﹣y+2），=[x+（y﹣2）][x﹣（y﹣2）]，=x2﹣y2+4y﹣4；（3）79.8×80.2，=（80﹣0.2）（80+0.2），=6399.96；（4）19.92=（20﹣0.1）2=400﹣2×20×0.1+0.01，=396.01．点评：本题主要考查平⽅差公式和完全平⽅公式的运⽤，利⽤完全平⽅公式以及平⽅差公式可以使计10．化简：（m+n﹣2）（m+n+2）．考点：平⽅差公式．分析：把（m+n）看作整体，m+n是相同的项，完全平⽅公式计算即可．解答：解：（m+n﹣2）（m+n+2），=（m+n）2﹣22，=m2+n2+2mn﹣4．点评：本题主要考查了平⽅差公式的应⽤．运⽤平⽅差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平⽅减去相反项的平⽅．11．（x﹣2y﹣m）（x﹣2y+m）考点：平⽅差公式．专题：计算题．分析：把x﹣2y当成⼀个整体，利⽤两数的和乘以这两数的差，等于它们的平⽅差计算即可．解答：解：（x﹣2y﹣m2．点评：本题主要考查了平⽅差公式，整体思想的利⽤⽐较关键．12．计算（1）（a﹣b+c﹣d）（c﹣a﹣d﹣b）；（2）（x+2y）（x﹣2y）（x4﹣8x2y2+16y4）．考点：平⽅差公式．专题：计算题．分析：根据平⽅差公式以及完全平⽅公式即可解答本题．解答：解：（1）原式=[（c﹣b﹣d）+a][（c﹣b﹣d）﹣a]=（c﹣b﹣d）2﹣a2=c2+b2+d2+2bd﹣2bc﹣2cd﹣a2，（2）∵x4﹣8x2y2+16y4=（x2﹣4y2）2∴原式=（x2﹣4y2）（x2﹣4y2）2=（x2（x2）2（4y2）+3x2?（4y2）2﹣（4y2）3=x6﹣12x4y2+48x2y4﹣64y6．点评：本题考查了平⽅差公式以及完全平⽅公式的运⽤，难度适13．计算：20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12．考点：平⽅差公式．分析：分组使⽤平⽅差公式，再利⽤⾃然数求和公式解题．解答：解：原式=（20082﹣20072）+（20062﹣20052）+…+（22﹣12），=（2008+2007）（2008﹣2007）+（2006+2005）（2006﹣2005）+（2+1）（2﹣1），=2008+2007+点评：本题考查了平⽅差公式的运⽤，注意分组后两数的差都为1，所有两数的和组成⾃然数求和．14．利⽤乘法公式计算：①（a﹣3b+2c）（a+3b﹣2c）②472﹣94×27+272．考点：平⽅差公式；完全平⽅公式．分析：①可⽤平⽅差公式计算：找出符号相同的项和不同的项，结合再2×47后，可⽤完全平⽅公式计算．解答：解：①原式=[a﹣（3b﹣2c）][a+（3b﹣2c）]=a2﹣（3b﹣2c）2=9b2+12bc﹣4c2；②原式=472﹣2×47×27+272=（47﹣27）完全平⽅公式，熟记公式是解题的关键．①把（3b﹣2c）看作⼀个整体是运⽤平⽅差公式的关键；②把94写成2×47是利⽤完全平⽅公式的关键．15．已知：x2﹣y2=20，x+y=4，求x﹣y的值．5考点：平⽅差公式．分析：本题是平⽅差公式的应⽤．解答：解：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=20把x+y=4代⼊求得x﹣y=5．点评：运⽤平⽅差公式计算时，项，其结果是相同项的平⽅减去相反为5．16．观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1…（1）根据上⾯各式的规律得：（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x+1）=x m﹣1；（其中n为正整数）；（2）根据这⼀规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269的值．考点：平⽅差公式．分析：（1）认真观察各式，等式右边x的指数⽐左边x的最⾼指数⼤1，利⽤此规律求解填空；（2）先根据上⾯的式⼦可得：1+x+x2+x3+…+x n=（x n+1﹣1）÷（x﹣1），从⽽得出1+2+22+…+268+269=（269+1﹣1）÷（2﹣1），再进⾏计算即可．解答：解：（1）（x﹣1）（x m﹣1+x m﹣2+x m﹣3+…+x2+x+1）=x m﹣1；（2）根据上⾯的式⼦可得：1+x+x2+x3+…（269+1﹣1）÷点评：本题考查了平⽅差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解题的关键．17．先观察下⾯的解题过程，然后解答问题：题⽬：化简（2+1）（22+1）（24+1）．解：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=28﹣1．问题：化简（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）．考点：平⽅差公式．分析：根据题意，整式的第⼀个因式可以根据平⽅差公式进⾏化简，然后再和后⾯的因式进⾏运算．解答：解：原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（364+1），（4分）=（32﹣1）（32+1）（34+1）（364+1），=（38﹣1）（38+1）（364+1），=（364﹣1）1）．（10分）点评：本题主要考查了平⽅差公式，关键在于把（3+1）化简为（3﹣1）（3+1）的形式，18．．考点：平⽅差公式．专题：计算题．分析：由平⽅差公式，（1+）（1﹣）=1﹣，（1﹣）（1+）=1﹣，依此类推，从⽽得出结果．解答：解：原式=（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）=（1﹣）（1+）=1﹣．点评：本题考查了平⽅差公式的反复应⽤，是基础知识要熟练掌握．19．（2012?黄冈）已知实数x满⾜x+=3，则x2+的值为7．考点：完全平⽅公式．专题：计算题．分析：将x+=3两边平⽅，然后移项即可得出答案．解答：解：由题意得，x+=3，两边平⽅得：x2+2+=9，故x2+=7．故答案为：7．点评：此题考查了完全平⽅公式的知识，掌握完全平⽅公式的展开式的形式是20．（2007?天⽔）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．考点：完全平⽅公式．分析：根据完全平⽅公式先求出a的值，再代⼊求出代数式的值．解答：解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代⼊=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了完全平⽅公式，灵活运⽤完全平⽅公式先求出a的值，是解决本题的关键．21．（2009?佛⼭）阅读材料：把形如ax2+bx+c的⼆次三项式（或其⼀部分）配成完全平⽅式的⽅法叫做配⽅法．配⽅法的基本形式是完全平⽅公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配⽅（即“余项”分别是常数项、⼀次项、⼆次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）⽐照上⾯的例⼦，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配⽅；（2）将a2+ab+b2配⽅（⾄少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．考点：完全平⽅公式．全平⽅公式的灵活应⽤能⼒，由题中所给的已知材料可得x2配⽅也可分别常数项、⼀次项、⼆次项三种不同形式；（3）通过配⽅后，求得a，b，c的值，再代⼊代数式求值．解答：解：（1）x2﹣4x+2的三种配⽅分别为：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；（2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；（3）a2+b2+c22c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣。
人教版八年级数学上册同步练习乘法公式(含答案解析)
14.2乘法公式专题一乘法公式1．下列各式中运算错误的是（）A．a2+b2=(a+b)2－2ab B．(a－b)2=(a+b)2－4abC．(a+b)(－a+b)=－a2+b2D．(a+b)(－a－b)=－a2－b2 2．代数式(x+1)(x－1)(x2+1)的计算结果正确的是（）A．x4－1 B．x4+1 C．(x－1)4D．(x+1)43．计算：(2x+y)(2x－y)+(x+y)2－2(2x2－xy)（其中x=2，y=3）．专题二乘法公式的几何背景4．请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要连其他的线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是（）A．（a+b）（a－b）=a2－b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．（a+b）2=a2+ab+b25．如图，你能根据面积关系得到的数学公式是（）A．a2－b2=（a+b）（a－b） B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a－b）2=a2－2ab+b2 D．a（a+b）=a2+ab6．我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立．在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？状元笔记【知识要点】1．平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．2．完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．【温馨提示】1．不要将平方差公式和完全平方公式相混淆，注意它们项数和符号的不同．2．完全平方公式中，中间项是左边两个数的和的2倍，注意系数的特点．【方法技巧】1．公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式．只要符合公式的结构特征，就可以利用公式．2．有些题目往往不能直接应用公式求解，但稍做适当的变形后就可以用乘法公式求解．如：位置变化，符号变化，数字变化，系数变化，项数变化等．参考答案:1．D 解析：A中，由完全平方公式可得(a+b)2－2ab=a2+2ab+b2－2ab=a2+b2，故A正确；B中，由完全平方公式可得(a－b)2=a2－2ab+b2，(a+b)2－4ab=a2+2ab+b2－4ab=a2－2ab+b2，故B正确；C中，由平方差公式可得(a+b)(－a+b)=(a+b)(b－a)=b2－a2=－a2+b2，故C正确；D中，(a+b)(－a－b)=－(a+b)2=－a2－2ab－b2，故D错误．2．A 解析：原式=(x2－1)(x2+1)=(x2)2－1=x4－1．3．解：原式=4x2－y2+x2+2xy+y2－4x2+2xy=x2+4xy，当x=2，y=3时，原式=22+4×2×3=4+24=28．4．B 解析：这个图形的整体面积为(a+b)2；各部分的面积的和为a2+2ab+b2；所以得到公式（a+b）2=a2+2ab+b2．故选B．5．C 解析：从图中可知：阴影部分的面积是（a－b）2和b2，剩余的矩形面积是（a－b）b和（a－b）b，即大阴影部分的面积是（a－b）2，∴（a－b）2=a2－2ab+b2，故选C．6．解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．先制定阶段性目标—找到明确的努力方向每个人的一生,多半都是有目标的,大的目标应该是一个十年、二十年甚至几十年为之奋斗的结果,应该定得比较远大些,这样有利于发挥自己的潜能。
乘法公式
（Ⅰ）平方差公式一、知识互动平方差公式：=-+))((b a b a ；即： 【注】①平方差公式的特征：（a ）公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，（b ）右边是相同项的平方减去互为相反数的项的平方； ②公式中的a 和b 可以是数，也可以是单项式或多项式；③只有形如两数的和与这两数差相乘的多项式的乘法，都可以用平方差公式来计算。
二、例题讲解例 1 下列多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果。
（1）)23)(32(a b b a -- （2）)32)(32(b a b a ++- （3）)32)(32(b a b a --+-（4）)32)(32(b a b a -+ （5）)32)(32(b a b a --- （6）)32)(32(b a b a --+例2 先化简再求值)2)(2()2)(2(y x y x y x y x -----+，其中8,8-==y x例3 解方程)1)(17()2)(2(3)12)(12(-+=-++-+x x x x x x例4利用平方差公式计算（1）98102⨯ （2）99.001.1⨯（3）1)12)(12)(12(3842++++三、课堂反馈1、计算：（1）)3)(3(y x y x -+ （2）)543)(543(-+x x （3）)14)(14(22+---m m（4）)23)(23(y x y x ++- （5）)2131)(3121(x y y x -+ （6）)4332)(4332(3232y x y x ---2、先化简再求值（1）)2()2)(2(--+-a a a a ，其中1-=a ；（2）)32)(32()23)(32(a b a b b a a b +---+，其中3,2=-=b a 。
3、（1）解方程：)518(2)421)(214(-=---x x x x（2）解不等式组⎩⎨⎧-<--->---+)1(4)52)(52(1)2()3)(3(x x x x x x x x4、计算：（1）2003200120022⨯- （2）110199100+⨯（3）已知322,162,82,42,2254321=====…… ①642的个位数字是 ；②计算⨯+⨯+⨯+)12()12()12(42…)12(64+⨯的值并说出个位数字是几？（Ⅱ）完全平方公式一、知识互动：1、和的完全平方公式：=+2)(b a ；即： 2、差的完全平方公式：=-2)(b a 。
平方差公式 同步能力提升练习 含答案
湘教版七年级数学下册 第2章 整式的乘法 2.2.1 平方差公式同步能力提升练习1．下列运算正确的是( ) A ．a 2＋a 3＝a 5 B ．(－2a 2)3＝－6a 6 C ．(2a ＋1)(2a －1)＝2a 2－1 D ．(2a 3－a 2)·a 2＝2a 5－a 42．计算(m －1)(m ＋1)(m 2＋1)－(m 4＋1)的结果是( ) A ．－m 2 B ．2 C ．1D ．－23．在下列各式中：①(3m 2＋1)(3m 2－1)＝9m 2－1；②(－13x ＋1)(1＋13x )＝1－19x 2；③(－a －12b )(a －12b )＝14b 2－a 2；④(23m －0.1n )(n 10－23m )＝49m 2－n2100.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个4．计算98×102＝ × ＝ .5．已知m 2－n 2＝8，则(m －n )2(m ＋n )2＝ .6．一个长方体的长、宽、高分别是a 2＋b 2，a ＋b ，a －b ，则它的体积是 .7．计算：(－1＋5x )(－1－5x )8．计算：(x ＋3)(x －3)(x 2＋9)9．计算：(－a ＋12b )(－a －12b )－(3a －2b )(3a ＋2b )10．计算：(x ＋2y )(x －2y )－(x －4y )(x ＋4y )＋(6y －5x )(5x ＋6y )11．运用平方差公式计算： (1)2037×1947；(2)100022522－2482.12．已知a －b ＝9，b －c ＝12，a ＋c ＝19，求a 2－c 2的值．13．观察下列等式：32－12＝8＝8×1；52－32＝16＝8×2；72－52＝24＝8×3；92－72＝32＝8×4……这些等式反映了正整数的某种规律． (1)设n 为正整数，试用含n 的式子，表示你发现的规律； (2)验证你发现规律的正确性，并用文字归纳出这个规律．答案: 1—3 DDB4. (100－2) (100＋2) 99965. 646. a 4－b 47. 解：原式＝1－25x 2 8. 解：原式＝x 4－819. 解：原式＝a 2－14b 2－9a 2＋4b 2＝－8a 2＋154b 210. 解：原式＝x 2－4y 2－x 2＋16y 2＋36y 2－25x 2＝48y 2－25x 2 11. (1) 解：原式＝(20＋37)×(20－37)＝202－(37)2＝3994049(2) 解：原式＝10002＋－＝50012. 解：由题意得a －c ＝21，所以a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝19×21＝(20－1)(20＋1)＝399。
2019-2020学年人教版八年级数学上册14.2平方差与完全平方公式培优专题( 解析版 )
2019-2020平方差与完全平方公式培优专题（含答案）一、单选题1．()()()()248323212121211+++⋯++的个位数是 （ ） A.4B.5C.6D.82．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为 （ ） A.6B.6-C.6±D.无法确定3．()()()()242212121 (2)1n++++=（ ）A.421n -B.421n +C.441n -D.441n +4．已知n 16221++是一个有理数的平方，则n 不能取以下各数中的哪一个 （ ） A.30B.32C.18-D.95．已知实数a 、b 满足a+b=2，ab=34，则a ﹣b=（ ） A ．1 B ．﹣52C ．±1D ．±526．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．若22(3)16x m x +-+是关于x 的完全平方式，则m =__________．8．若m+1m =3，则m 2+21m=_____． 9．若x ﹣1x=2，则x 2+21x 的值是______．10．已知3a b +=，2ab =-， （1）则22a b +=____；（2）则a b -=___．11．已知1＜x ＜2，，则的值是_____．12．先阅读后计算：为了计算4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把4改写成5﹣1后，连续运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×（52+1）=252﹣1=624．请借鉴小黄的方法计算：（1+12）×(1+212)×(1+412)×(1+812)×(1+1612)×(1+3212)×(1+6412)，结果是_____． 13．如果实数a ，b 满足a+b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．14．在边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形()a b >，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．15．若214x x x++=，则2211x x ++= ________________.16．已知（a ﹣2016）2+（2018﹣a ）2=20，则（a ﹣2017）2的值是 .17．计算：（a+1）2﹣a 2=_____．三、解答题18．阅读材料：若2222440m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵2222440m mn n n -+-+=，∴()()2222440m mn nnn -++-+=，∴()()2220m n n -+-=，∴()20m n -=，()220n -=，∴2n =，2m =． 根据你的观察，探究下面的问题：（1）2262100a b a b ++-+=，则a =__________，b =__________． （2）已知22228160x y xy y +-++=，求xy 的值．（3）已知ABC △的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足22248180a b a b +--+=，求ABC △的周长． 19．如图，将边长为m 的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n 的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m 或n 的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．20．已知7a b -=，12ab =-． （1）求22a b ab -的值；（2）求22a b +的值； （3）求+a b 的值； 21．已知120153a m =+，120163b m =+，120173c m =+，求222a b c ab bc ac ++---的值． 22．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a=﹣2，b=12． 23．先化简，再求值：已知代数式 化简后，不含有x 2项和常数项. （1）求a 、b 的值；（2）求 的值.24．先化简，再求值：（a+b ）2+b （a ﹣b ）﹣4ab ，其中a=2，b=﹣12． 25．先化简，再求值：（x+y ）（x ﹣y ）+y （x+2y ）﹣（x ﹣y ）2，其中x=2+3，y=2﹣3．26．计算:211-2⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-3⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-4⎛⎫ ⎪⎝⎭×…×211-9⎛⎫ ⎪⎝⎭×211-10⎛⎫⎪⎝⎭. 27．阅读题.材料一：若一个整数m 能表示成a 2-b 2(a,b 为整数)的形式，则称这个数为“完美数”.例如，3=22-12，9=32-02，12=42-22，则3，9，12都是“完美数”；再如，M=x2+2xy=(x+y)2-y2,(x,y是整数),所以M也是”完美数”.材料二：任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝p×q(p、q是正整数，且p≤q)．如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并且规定F(n)＝pq.例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这三种分解中3和6的差的绝对值最小，所以就有F(18)＝3162.请解答下列问题：(1)8______（填写“是”或“不是”）一个完美数，F(8)= ______.(2)如果m和n都是”完美数”，试说明mn也是完美数”.(3)若一个两位数n的十位数和个位数分别为x,y(1≤x≤9),n为“完美数”且x+y能够被8整除，求F(n)的最大值. 28．如图，某市有一块长为(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a=3，b=2时的绿化面积．29．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣4a﹣8b+20=0，c=3cm，求△ABC的周长．30．有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2=（a+b）2，对于方案一，小明是这样验证的：a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程． 方案二： 方案三：31．请认真观察图形，解答下列问题：如图①，1号卡片是边长为a 的正方形，2号卡片是边长为b 的正方形，3号卡片是一个长和宽分别为a ，b 的长方形．（1）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、1张、2张，可拼成一个正方形，如图②，能用此图解释的乘法公式是______________；（请用字母a ，b 表示）（2）若选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则能用此图解释的整式乘法运算是____________________；（请画出图形，并用字母a ，b 表示）（3）如果图中的a ，b （a ＞b ）满足a 2+b 2=57，ab=12，求a+b 的值；（4）已知（5+2x ）2+（3+2x ）2=60，求（5+2x ）（2x+3）的值．32．已知：x 2+xy +y =14，y 2+xy +x =28，求x +y 的值．33．已知a b 、是等腰△ABC 的边且满足2284200a b a b +--+=，求等腰△ABC 的周长。
乘法公式
第一章《整式的运算》平方差公式【知识要点】1. 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等 于这两个数的平方差。
这个公式叫做乘法的平方差公 式()()22b a b a b a -=-+2. 公式的结构特征 ①左边是两个二项式相乘，并且 这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数 ②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方） 一．基础部分【题型一】利用平方差公式计算1位置变化：（1）()()x x 2525+-+（2）()()ab x x ab -+ 符号变化：（3）()()11--+-x x （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-m n n m 321.01.032 系数变化：（5）()()n m n m 3232-+（6）⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--b a b a 213213 指数变化： （7）()()222233xyyx ++-8）()()22225252baba--+-2．增项变化（1）()()z y x z y x ++-+-（2）()()z y x z y x -+++- （3）()()1212+--+y x y x （4）()()939322+++-x x x x3．增因式变化（1）()()()1112+-+x x x （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141212x x x 【题型二】利用平方差公式判断正误 4．下列计算正确的是（ ）A ．()()()()2222425252525y x y x y x y x -=-=-+B ．22291)3()1()31)(31(a a a a +=+-=--+-C ．()()()()222249232332x y x y x y y x -=-=---D ．()()8242-=-+x x x【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例 5．用平方差公式计算． （1）397403⨯（2）41304329⨯（3）1000110199⨯⨯（4）2008200620072⨯-【题型四】平方差公式的综合运用 6．计算：（1）))(()2)(2(222x y y x y x y x x +-++-- （2）()()()()111142+-++-x x x x【题型五】利用平方差公式进行化简求值与解方程 7．化简求值：())32)(32()23(32a b a b b a a b +---+，其中2,1=-=b a ．8．解方程：()()2313154322365=⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-++x x x x x【题型六】逆用平方差公式9.已知02,622=-+=-y x y x ，求5--y x 的值．【创新题】10．观察下列算式：9,382457,281635,18813222222-⨯==-⨯==-⨯==-根据上式的特点,你能发现什么规律?请你用代数式将其表达出来,并说明该规律的正确性 【中考题】11．已知⎪⎭⎫⎝⎛-=-+=22162),2)(2(a B a a A ，求A+B. 12．计算()()b a b a -+22的结果是（ ） A ．224b a -B ．224a b -C ．222b a -D ．222a b -一.探究问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？()()_____________________11=-+x x 2）()()_____________________22=-+m m3()()____________________1212=-+x x归纳：一般地，我们有______即_____________. 问题2：平方差公式的几何解释：边长为a 的正方形的一角剪去一个边长为b 的小正方形，求 剩余部分的面积. 二.例题1.利用平方差公式计算：⑴(32)(32)x x +-； ⑵(2)(2)b a a b +-； ⑶(2)(2)x y x y -+--； ⑷(32)(32)a a +-+. 2.利用平方差公式计算：⑴22(3)(3)x x -+ ⑵10298⨯；⑶2220102009-；⑷2(2)(2)(4)x x x +-+； 3.计算(2)(2)(1)(5)y y y y +---+ 4.先化简，再求值：(34)(34)(23(32)x x x x +--+-，其中1x =-. 三.反馈 1.计算： ⑴()()y x y x -+33⑵()()1212++-a a ；⑶()()y x y x 2323-+；⑷()()y x y x 2323--+-；⑸()()y x y x 2323+-+； ⑹（-3x-2y ）（3x-2y ）. 3.计算：⑴22(2)(2)a b a b +-⑵5149⨯；⑶222004200520042004-⑷2(3)(9)(3)x x x -++.4.计算5.化简求值：(21)(21)(23)(31)a a a a +---+，()()()()b a b a a b b a 434322+-+----；其中12a =-.5拓广探索：1.如果2022=-y x ，且5-=+y x ，则y x -的值是.A ５ .B ４C －４ .D 以上都不对2.__________1295969798991002222222=-++-+-+-3.计算()()()()__________112121212842=+++++《乘法公式》练习题乘法公式:.m(a+b+c)= （m+n)(a+b)= （x+a ）（x+b ）= （a+b ）（a －b ）= （m+n ）2= （m －n ）2= 一．判断题：1．222)(b a b a +=+ 2．2222)(y xy x y x +-=-3．2222)(b ab a b a ++=-- 42229122)32(y xy x y x +-=- 5．2294)32)(32(y xy x y x -=-+二． 填空题1、ab( ab 3 -2ab+1) = .2、(x-3)(x+4)=__________________)3)(32(=-+y x y x ；5．_______________)52(2=+y x ； 6.______________)23)(32(=--y x y x 7.(23)(23)______________x y x y +-=；8、________________)221(2=-y x 9．____________)9)(3)(3(2=++-x x x ；10___________1)12)(12(=+-+x x 11。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题4.8乘法公式（1）平方差公式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•娄星区期末）下列算式中能用平方差公式计算的是（）A．（2x+y）（2y﹣x）B．（x﹣y）+（y﹣x）C．（3a﹣b）（﹣3a+b）D．（﹣m+n）（﹣m﹣n）【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．【解析】A、（2x+y）（2y﹣x），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、（x﹣y）+（y﹣x）＝﹣（x﹣y）（x﹣y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、（3a﹣b）（﹣3a+b）＝﹣（3a﹣b）（3a﹣b），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；D、（﹣m+n）（﹣m﹣n）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项符合题意．故选：D．2．（2020春•文山州期末）下列各式中不能用平方差公式计算的是（）A．（x+y）（x﹣y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（x+y）（﹣x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．【解析】A、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；B、（﹣x+y）（﹣x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意；C、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；D、（x+y）（﹣x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意．故选：C．3．（2020春•岑溪市期末）计算（a+2）（2﹣a）的结果为（）A．2a﹣4B．a2﹣4C．4﹣a2D．a2﹣2a+4【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．【解析】原式＝（2+a）（2﹣a）＝4﹣a2，故选：C．4．（2020•盱眙县校级模拟）下列运算正确的是（）A．（a5）2＝a7B．（a+b）2＝a2+b2C．（﹣a+2）（﹣a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣2a）2＝﹣4a2【分析】根据幂的乘方和积的乘方，完全平方公式，平方差公式求出每个式子的值，再判断即可．【解析】A、结果是a10，故本选项不符合题意；B、结果是a2+2ab+b2，故本选项不符合题意；C、结果是a2﹣4，故本选项符合题意；D、结果是4a2，故本选项不符合题意；故选：C．5．（2020春•宁化县期末）在计算（x+2y）（﹣2y+x）时，最佳的方法是（）A．运用多项式乘多项式法则B．运用平方差公式C．运用单项式乘多项式法则D．运用完全平方公式【分析】根据平方差公式的特点得出即可．【解析】（x+2y）（﹣2y+x）＝x2﹣（2y）2＝x2﹣4y2，即运用了平方差公式，故选：B．6．（2020春•锡山区期末）（1﹣2x）（1+2x）的计算结果是（）A．4x2+1B．1﹣4x2C．1+4x2D．﹣4x2﹣1【分析】根据平方差公式求出即可．【解析】（1﹣2x）（1+2x）＝12﹣（2x）2＝1﹣4x2，故选：B．7．（2020春•隆回县期末）计算（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）的结果是（）A．x8+y8B．x8﹣y8C．x6+y6D．x6﹣y6【分析】根据平方差公式进行计算即可．【解析】（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）＝（x2﹣y2）（x2+y2）（x4+y4）＝（x4﹣y4）（x4+y4）＝x8﹣y8，故选：B．8．（2020春•三水区期末）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（）A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b]B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c]C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）]D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．【解析】（a﹣b+c）（a+b﹣c）＝[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]．故选：D．9．（2020春•凌海市期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】用代数式表示粗两个图形阴影部分的面积，即可得出等式．【解析】左图的阴影部分的面积为a2﹣b2，右图的阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），因此有为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．10．（2020•红花岗区二模）如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【分析】分别表示图（1）和图（2）的阴影部分的面积，根据面积相等得出结论．【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n），故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020春•靖远县期末）已知m+n＝12，m﹣n＝3，则m2﹣n2＝36．【分析】根据平方差公式解答即可．【解析】∵m+n＝12，m﹣n＝3，∴m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）＝3×12＝36，故答案为：36．12．（2020春•赫章县期末）计算2021×2019﹣20202的值为﹣1．【分析】根据平方差公式化简2021×2019即可得出结果．【解析】2021×2019﹣20202＝（2020+1）×（2020﹣1）﹣20202＝20202﹣1﹣20202＝﹣1．故答案为：﹣1．13．（2020春•曲阳县期末）（m+4）（m﹣4）＝m2﹣16．【分析】利用平方差公式填空即可．【解析】（m+4）（m﹣4）＝m2﹣42＝m2﹣16，故答案为：m﹣4．14．（2020秋•海淀区校级月考）下列各式能用乘法公式进行计算的是①③④（填序号）．①（﹣4x+5y）（﹣4x﹣5y）②（﹣4y﹣5x）（﹣5y+4x）③（5y+4x）（﹣5y﹣4x）④（﹣4x+5y）（5y+4x）【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特征对各式进行判断．【解析】①（﹣4x+5y）（﹣4x﹣5y）＝（4x﹣5y）（4x+5y）；②（﹣4y﹣5x）（﹣5y+4x）＝﹣（5x+4y）（4x﹣5y）；③（5y+4x）（﹣5y﹣4x）＝﹣（4x+5y）（4x+5y）＝﹣（4x+5y）2，④（﹣4x+5y）（5y+4x）＝﹣（4x﹣5y）（4x+5y）．故答案为①③④．15．（2020春•台儿庄区期末）若（x+ay）（x﹣ay）＝x2﹣16y2，则a的值为±4．【分析】根据平方差公式求出即可．【解析】∵（x+ay）（x﹣ay）＝x2﹣16y2，∴a2＝16，∴a＝±4，故答案为：±4．16．（2020春•平阴县期末）如果（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，则3m+n的值为±7．【分析】利用平方差公式得到（3m+n）2﹣32＝40，然后根据平方根的定义计算3m+n的值．【解析】∵（3m+n+3）（3m+n﹣3）＝40，∴（3m+n）2﹣32＝40，∴（3m+n）2＝49∴3m+n＝±7．故答案为±7．17．（2020秋•海淀区校级月考）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，一定是“创新数”的有 ③④ （填序号）．①1 ②54 ③16 ④2k +1（k 为正整数）【分析】根据任何一个正整数都可化成mn （m ＞n ），再平方差公式（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2+b 2，可列方程组{a +b =m a −b =n，求解若a 、b 为正整数，则满足这个正整数为“创新数”． 【解析】①∵1＝1×1，∴{a +b =1a −b =1， 解得a ＝1，b ＝0，不符合题意，∴1不是“创新数”；②∵54＝27×2＝18×3＝9×6，∴{a +b =27a −b =2，{a 1+b 1=18a 1−b 1=3，{a 2+b 2=9a 2−b 2=6， 解得a =292，a 1=212，a 2=152，∴54不是“创新数”；③∵16＝8×2，∴{a +b =8a −b =2， 解得a ＝5，b ＝3，16＝52﹣32＝25﹣9＝16，∴16是“创新数”；④∵2k +1＝（2k +1）×1，∴{a +b =2k +1a −b =1， 解得a ＝k +1，b ＝k ，∵k 为正整数，∴2k +1是“创新数．故答案为：③④．18．（2020春•石阡县期末）在边长为a 的正方形中挖掉一边长为b 的小正方形（a ＞b ），把余下的部分剪成直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【分析】用大正方形的面积减去小正方形的面积得到左边图形中阴影部分的面积，用梯形的面积公式表示右边图形中阴影部分的面积，然后利用阴影部分的面积列等式，整理得到平方差公式．【解析】根据题意得a2﹣b2=12（2b+2a）•（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：（1）（a n+b）（a n﹣b）；（2）（a+1）（a﹣1）（a2+1）【分析】（1）根据平方差公式解答即可；（2）根据平方差公式进行两次计算解答即可．【解析】（1）（a n+b）（a n﹣b）＝（a n）2﹣b2＝a2n﹣b2；（2）（a+1）（a﹣1）（a2+1）＝（a2﹣1）（a2+1）＝a4﹣1．20．计算：（1）（a+2）（a﹣2）；（2）（3a+2b）（3a﹣2b）；（3）（﹣x﹣1）（1﹣x）；（4）（﹣4k+3）（﹣4k﹣3）【分析】根据平方差公式计算即可．【解析】（1）原式＝a2﹣22＝a2﹣4；（2）原式＝（3a）2﹣（2b）2＝9a2﹣4b2；（3）原式＝（﹣x）2﹣12＝x2﹣1；（4）原式＝（﹣4k）2﹣32＝16k2﹣9．21．计算：（1）（2m+3n）（2m﹣3n）；（2）（﹣3a−12b）（﹣3a+12b）；（3）（﹣4x+y）（y+4x）；（4）（x+y）（x﹣y）+（y﹣z）（y+z）﹣（x+z）（x﹣z）．【分析】（1）根据平方差公式进行计算即可；（2）根据平方差公式进行计算即可；（3）先适当变形，再根据平方差公式进行计算即可；（4）先根据平方差公式进行计算，再合并同类项即可．【解析】（1）原式＝4m2﹣9n2；（2）原式＝（﹣3a）2﹣（12 b）2＝9a2−14b2；（3）原式＝（﹣y）2﹣x2＝y2﹣x2；（4）原式＝（y﹣4x）（y+4x）＝y2﹣（4x）2＝y2﹣16x2；（4）原式＝x2﹣y2+y2﹣z2﹣x2+z2＝0．22．（2020春•新都区期末）你能求（x﹣1）（x2019+x2018+x2017+…+x+1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手，先分别计算下列各式的值．①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…由此我们可以得到：（x ﹣1）（x 2019+x 2018+x 2017+…+x +1）＝ x 2020﹣1 ．请你利用上面的结论，再完成下面两题的计算：（1）（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+…+（﹣2）+1；（2）若x 3+x 2+x +1＝0，求x 2020的值．【分析】归纳总结得到一般性规律，写出即可；（1）原式变形后，利用得出的规律计算即可求出值；归纳总结得到一般性规律，写出即可；（2）根据（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，代入已知可得x 的值，根据x 3+x 2+x +1＝0，x 2≥0，得x ＜0，可得x ＝﹣1，代入可得结论．【解析】（x ﹣1）（x 2019+x 2018+x 2017+…+x +1）＝x 2020﹣1；故答案为：x 2020﹣1；（1）（﹣2）99+（﹣2）98+（﹣2）97+…+（﹣2）+1＝（﹣2﹣1）•(−2)99+(−2)98+⋯+(−2)+1−3 =(−2)100−1−3=1−21003；（2）∵（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，x 3+x 2+x +1＝0，∴x 4＝1，则x ＝±1，∵x 3+x 2+x +1＝0，∴x ＜0，∴x ＝﹣1，∴x 2020＝1．23．（2020春•平顶山期末）（1）如图①所示的大正方形的边长为a ，小正方形的边长为b ，则阴影部分的面积是 a 2﹣b 2 ．（2）若将图①中的阴影部分剪下来，拼成如图②的长方形，则其面积是（a+b）（a﹣b）．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2．（4）应用公式计算：（1−122）（1−132）（1−142）．【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；（2）根据矩形的面积公式，可得答案；（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；（4）根据平方差公式计算即可．【解析】（1）如图①所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，则其面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（4）（1−122）（1−132）（1−142）=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)(1−14)(1+14)=12×32×23×43×34×54=12×54=58．24．（2020春•通州区期中）将边长为a的正方形的左上角剪掉一个边长为b的正方形（如图1），将剩下部分按照虚线分割成①和②两部分，将①和②两部分拼成一个长方形（如图2）．（1）设图1中阴影部分的面积为S₁，图2中阴影部分的面积为S₂，请用含a．b的式子表示：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a+b）（a﹣b）；（不必化简）（2）以上结果可以验证的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）利用（2）中得到的公式，计算；20202﹣2019×2021．【分析】（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得答案；（2）由（1）中所得的S₁和S₂的面积相等，可得答案；（3）根据（2）中的公式，将2019×2021写成（2020﹣1）×（2020+1），然后按照平方差公式进行化简，再按照有理数的混合运算计算出答案即可．【解析】（1）根据图形以及正方形和长方形的面积计算公式可得：S₁＝a2﹣b2，S₂＝（a+b）（a﹣b）故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（2）以上结果可以验证的乘法公式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（3）20202﹣2019×2021＝20202﹣（2020﹣1）×（2020+1）＝20202﹣（20202﹣1）＝20202﹣20202+1＝1．。