【VIP专享】有限交换p群的自同构群
关于有限p群的计数问题的若干研究
关于有限p群的计数问题的若干探究专业品质权威编制人：______________审核人：______________审批人：______________编制单位：____________编制时间：____________序言下载提示：该文档是本团队精心编制而成，期望大家下载或复制使用后，能够解决实际问题。
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有限ρ群的生成元与其子群的生成元的关系
预备知识§２预备知识我们先介绍一些本文要用到的基本概念．５定义２．１．［１，第４３页，定义１．８．６】设Ｇ为有限群．称Ｇ是亚循环的，如果Ｇ有循环正规于群Ⅳ，使商群Ｃ／Ｎ也是循环群．即，亚循环群为循环群被循环群的扩张．定义２．２．［１，第６８页，定义２．３．１］设Ｐ是任一群性质，称Ｐ是商群遗传的，如果由任一群Ｇ是Ｐ群可推出Ｇ的任一商群Ｇ／Ⅳ也是Ｐ群．定义２．３．［１，第６８页，定义２．３．３】设Ｐ为一群性质，群Ｇ不是Ｐ群，但Ｇ的每个真子群皆为Ｐ群，则称Ｇ为一个内Ｐ群．定义２．４．［１＇第８０页，定义２．６．１］设Ｇ是群，Ａ，Ｂ是Ｇ的子群．若Ｇ＝ＡＢ且［Ａ，Ｂ】＝１，则称Ｇ是。
４与Ｂ的中心积，＂ｆＳｔｔＬＡ半Ｂ．显然Ａ≤ｚ（Ｇ）．本文我们总假设ＡｎＢ≠１．定义２．５．［１，第１０７页，定义４．１．１；第１２１页，定义５．１．１】设Ｇ是有限Ｐ群，ｓ是正整数．称Ｇ是Ｐ５交换的，如果对任意的ａ，ｂ∈Ｇ，有（ａｂ）ｐ３＝ａｐ５ｂＰ５．特别地，若ｓ＝１，Ｐ５交换群称为Ｐ交换群．称Ｇ是Ｐ５，－ｖＮ的，如果对任意的ａ，ｂ∈Ｇ，有（ａｂ）ｐ５＝ａｐ。
垆５蓝５…《，其中ｃ１）．…ｃｍ∈（ａ，６）７．特别地，若ｓ＝１，则称Ｇ是正则的．定义２．６．［１，第１４６页，定义５．５．１］设Ｇ是Ｐ群且ｂｌ…．，乩∈Ｇ，称（ｂｌ…．，乩）为Ｇ的一组唯一性基底，如果对任意的夕∈Ｇ，夕均可唯一表成下列形式：ｇ＝６：１６尹…虼“，其中ｏ≤Ｑｊ＜ｏ（ｂｊ），Ｊ＝１…．，ｕ．定义２．７．［１，第１４７页，定义５．５．３】设Ｇ是有限正则Ｐ群，令暇（Ｇ）＝ｕ１（Ｇ）纯（Ｇ），Ｏ＜ｉ＜ｅ．称群列Ｇ＝ｗｏ（Ｇ）＞ｗｏ一１（Ｇ）≥…≥Ｗｏ（Ｇ）＝ｕ１（Ｇ）（Ｗ）为Ｇ的ｗ群列．在Ｗ群列中去掉重复项，再加细成Ｇ到Ｕ１（Ｇ）问的一个主群列Ｇ＝Ｌｏ（Ｇ）＞Ｌｔ（Ｇ）＞…＞Ｌ。
（Ｇ）＝ｕ１（Ｇ）把上述群列（Ｌ）称为Ｇ的一个Ｌ群列（Ｌ）６山西师范大学学位论文定义２．８．［１，第１４１页，定义５．４．１０；第１４２页，定义５．４．１２］设Ｇ是有限正则Ｐ群，ｅｘｐＧ＝ｐ８．对于１≤ｓ≤ｅ，令矿（Ｇ）＝１Ｑ。
交换子群较小的一类有限p群
交换子群较小的一类有限p群
安立坚;成小院
【期刊名称】《数学研究》
【年(卷),期】2011(044)001
【摘 要】研究了阶为p(m(m+1)/2)且交换子群的最大阶为p(m)的有限群,得到了
这类特殊的p群的几个性质,给出了满足极大类条件的这类p群的同构分类.
【总页数】4页(P107-110)
【作 者】安立坚;成小院
【作者单位】山西师范大学数学与计算机科学学院,山西,临汾,041004;山西师范大
学数学与计算机科学学院,山西,临汾,041004
【正文语种】中 文
【中图分类】O152
【相关文献】
1.交换环上线性群中直和因子定驻子群的一类子群 [J], 谭玉明
2.非平凡循环子群共轭类类数较小的有限非可解群 [J], 史江涛;张翠
3.一类有非交换Sylow p-子群的p4q阶群的分类 [J], 欧阳建新;陈松良
4.非交换的非平凡子群均有唯一非平凡特征子群的有限p群 [J], 曹建基;毛月梅
5.Frattini子群循环的有限p-群中的非交换集和极大Abel子群 [J], 王玉雷; 刘合
国; 吴佐慧
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国开作业近世代数-形考三（第3~4章）11参考（含答案）
题目：【填空题】环R中既是左单位元又是右单位元的元素，叫做R的回答元。
答案：单位
题目：【填空题】无限循环群的自同构群是一个____阶循环群。
答案：2
题目：【填空题】群G的中心C是G的一个特征____群。
答案：子
题目：【填空题】无限循环群的非e子群的指数均回答限。
答案：有
题目：【填空题】设p，q是两个素数且p＜q，则pq阶群G最多有回答个q阶子群。
答案：一
题目：【选择题】）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】设R是交换环，则R的极大理想必为素理想。
（）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】）
选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】正规子群的交仍是正规子群。
（）选项A：对
选项B：错
答案：对
题目：【判断题】）
选项A：对
选项B：错
答案：对。
循环群G的自同构群Aut(G)结构的一点注记
引理 ３ 关 于模 ２ （ ＞３ ， 阶数是 ２ ， ｋ－ ）５的 并且 ±１ ±５ ±５ ， … ， ５ ， ， … ±
化剩 余 系。
是 ２（ ＞３ 的一 个简 ｋ ） －
引理 ４ 若 ｛ ａ ， …ａ（）是 模 ｒ ａ ， … ｝ ａ的一个 简 化剩 余 系 ，ａ ｍ）＝１， ｛ａ ，ｃ ， … ，ａ ）也 （， 则 ａ ａ … ｔ ａ ｝
（ Ｚ ）的分解 。
１ 预 备 知 识
引理 １ 设 ｍ是 大于 １的整 数 ， 整数 ａ是 ｍ原 根 的充分 必要 条件 是 ａａ ， … ， （ 中 （ ，。… ａ 其 ｍ） 是 ｍ 的欧拉 函数值 ） ｍ 的简化 剩余 系 。 是
引理 ２ 设 ｍ 是 大 于 １的整 数 ， 有原 根 的充分 必 要 条件 是 它 是 如 下形 状 的数 ： ， ， ２ 其 中 Ｐ ｍ ２ ４Ｐ ， （ ｐ 为奇 素数 ， 任意 的正整 数 ） ｋ为 。
是模 ｍ 的一 个简 化剩 余 系 。 引理 ５ 若 ｍ， 正 整数 ， ｍ， ）＝１， ａ ， … …ａ ㈨ ｝ 模 ｍ 的一 个 简 化剩 余 系 ，｛ ｂ ， ｎ为 （ ｎ ｛ ａ ， 是 ｂ ，： ……
ｂ ）是模 ｒ的一 个 简化 剩余 系 ， ｎ ｉ ６（ ：１２ …… ， ｍ） ， ， ｝ ｔ 则 ａ ＋ｍ ｆｉ ， ， 妒（ ；＝１２ …… ， ｎ ）是 模 ｉｎ的一 （ ） ｎ
加 群 Ｚ ．因此 研究 循环 群 Ｇ 的 自同构 群 Ａ ｔ Ｇ ｕ（ ）的问题也 就是 研究 Ａ ｔ Ｚ） Ａ ｔ Ｚ ） 问题 。文 ｕ（ 与 ｕ（ 的
献［］ １ 中给 出 了几个结 论 ： ｕ（ ｚ ， ｕ（ 一Ｚ ， ｕ（ ８ Ｚ ０Ｚ ， ｕ（ 一Ｚ 一（ 中 Ｐ是 Ａ ｔＺ） Ａ ｔＺ ） ：Ａ ｔｚ ） Ａ ｔｚ ） ｐ 其
同构和自同态
同构和自同态一、引言同构和自同态是数学领域中的重要概念，它们在代数学、图论、拓扑学等多个领域都有广泛的应用。
本文将深入探讨同构和自同态的概念、性质以及其在不同领域中的应用。
二、同构2.1 概念同构是指两个结构之间存在一一对应的关系，这种关系保持了结构的某些性质。
在数学中，同构通常用来描述两个代数结构之间的关系，比如群、环、域等。
2.2 同构的性质同构具有以下性质： 1. 一一对应关系：同构是一种一一对应的关系，每个元素在同构映射下都有唯一的对应元素。
2. 保持运算：同构映射保持运算，即对于两个元素的运算，它们在同构映射下的映射结果也是对应的运算结果。
3. 保持结构：同构映射保持结构的性质，比如群的同构映射会保持群的封闭性、结合律等性质。
2.3 同构的例子下面以群的同构为例，来说明同构的概念和性质。
2.3.1 群的定义群是一种代数结构，它由一个集合和一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
2.3.2 同构的定义设有两个群G和H，如果存在一个双射f：G→H，且满足对于任意的a, b∈G，有f(a·b) = f(a)·f(b)，则称G和H是同构的，记作G≅H。
2.3.3 同构的性质同构保持群的封闭性、结合律、单位元和逆元的性质。
2.4 同构的应用同构在代数学、图论、拓扑学等多个领域中都有广泛的应用。
2.4.1 代数学中的应用在代数学中，同构可以帮助我们研究不同代数结构之间的关系，比如同构可以用来判断两个环是否相同，或者两个域是否同构等。
2.4.2 图论中的应用在图论中，同构可以用来判断两个图是否同构。
同构图是指具有相同的图结构，即图中的顶点和边可以一一对应。
2.4.3 拓扑学中的应用在拓扑学中，同构可以用来刻画空间的同构性质。
同构的拓扑空间具有相同的拓扑结构，即它们可以通过一个连续的双射相互映射。
三、自同态3.1 概念自同态是指一个结构自身到自身的同态映射。
在数学中，自同态可以用来描述一个结构的对称性质。
离散数学 ch6-2.3群、变换群、有限群
#Ex2：(G,）是群, a∈G, 如果a的阶为n ,则 ak=e 当且仅当 k=mn (m∈I)(即k是n的整数倍) 证明：⑴ 充分性，已知k=mn (m∈I) ak= amn=(an)m= em =e ⑵ 必要性，已知ak=e ， a的阶为n，即 an=e , 假设k不是n的整数倍，令 k=mn+t m,t∈I, 0<t<n t=k-mn at= ak-mn= aka-mn= e(an)-m =e-m = e 由于at=e，而 t<n，与 a的阶为n矛盾。 所以 k是n的整数倍。即 k=mn (m∈I)。 思考题：上例中R4=S; L4=S R和L的阶都为4；而R-1=L 由此可以得到什么结论？
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2.可换群（阿贝尔群）
定义2: 设（G, * ）是群,运算*是可交换的，则称它是可 换群。 例如（I,+）,（R,+） ,（P(E), ）都是可换群。
3.子群
定义3：设（G, * ）是群, 如果（G, * ）的子系统（H , *） 也是群，则称（H , * ）是（G, * ）的一个子群
即如果（H , * ）满足： ⑴ 任何a,b∈ H 有a * b∈ H, (封闭) ⑵幺元 e∈ H, (有幺元) ⑶任何a∈ H 有a-1∈ H, (可逆) 则称（H, * ）是（G, * ）的子群。 例如：（I,+）是（R,+）的子群。
例如： 判断（I,+）,（R,+） ，（P(E), ）， （R,×） 及（P(E), ∩）是否为群？请说明理由。 解：（I,+）,（R,+）幺元是 0，每个x的逆元是 -x 。 （P(E), ）幺元是Φ ，因任何X∈P(E) XX=Φ ∴X-1=X， ∴（I,+）,（R,+）,（P(E), ）是群。 而 （R,×） ,（P(E), ∩）都有幺元，但不是群。
陪集图的同构与自同构
陪集图的同构与自同构化小会;陈利【摘要】令G是一个有限图,H是G的无核子群,D是形如HgH(g(+)H)的一些双陪集的并,且满足D=D-1.记(Cos(G,H,D)表示G关于H和D的陪集图,A=Aut (Cos(G,H,D)).用RH(G)表示G在H的全体右陪集所在的集合Ω=[G:H]上的右乘置换表示,σ(g)表示g∈G通过共轭作用诱导在G上的自同构.本文不但证明了NA (RH (G》) =RH (G)Aut(G,H,D)且RH (G)∩ Aut(G,H,D)=I(H),其中Aut(G,H,D)={α∈Aut(G) |Ha =H,Dα=D},I(H)={σ(h)|h∈H},而且证明了Cos(G,H,D)是一个CI-图当且仅当对任意的σ∈SΩ,满足RH(G)σ≤A,必存在a∈A 使得RH(G)α=RH(G)σ.作为对本文两个定理的应用,本文考虑了一类线性群上陪集图的CI-性问题及其在同构意义下的计数问题.【期刊名称】《广西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(033)004【总页数】5页(P68-72)【关键词】弧传递图;陪集图;Cayley图【作者】化小会;陈利【作者单位】河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007;河南师范大学数学与信息科学学院,河南新乡453007【正文语种】中文【中图分类】O157.5对有限简单图X，用V(X)、E(X)和Aut(X)分别表示它的顶点集合、边集合和全自同构群。
如果Aut(X)在V(X)或E(X)上作用传递，则相应的称图X为点传递或边传递的。
称X中有序(s+1)-元顶点集(v0，v1，…，vs-1，vs)为s-弧，如果(vi，vi+1)∈E(X)，0≤i≤s-1，并且对s≥2有vi≠vi+2，0≤i≤s-2。
图X被称为(G，s)-弧传递的，如果G≤Aut(X)传递地作用在X的s-弧集合上，且如果它是(Aut(X)，s)-弧传递的，就称其为s-弧传递的。