第6节 变换群与同构
群的同构定理
群的同构定理在抽象代数中，群是一种具有代数结构的数学对象，它在数学领域中有着广泛的应用和重要地位。
对于群的研究，同构是一个重要的概念。
同构是指两个群之间存在一个一一对应的双射，其保持了两个群之间的运算结构。
在本文中，我们将探讨群的同构定理及其相关性质。
一、同构的定义和性质设G和H是两个群，若存在一个从G到H的双射f，且对于任意的元素a、b∈G，有f(ab)=f(a)f(b)，则称这个双射f为从G到H的同构映射，记作G≅H。
若存在一个同构映射从G到H，则称G和H是同构的。
同构的基本性质如下：1. 同构是等价关系。
即同一个群与自身同构，若G≅H，则一定有H≅G；若G≅H，H≅K，则一定有G≅K。
2. 同构保持群的运算结构。
若G≅H，且a、b∈G，则f(a·b)=f(a)·f(b)。
3. 同构保持单位元。
若G≅H，且eG和eH分别为G和H的单位元，则f(eG)=eH。
4. 同构保持逆元。
若G≅H，且a∈G，则f(a⁻¹)=f(a)⁻¹。
二、下面我们介绍两个经典的群的同构定理。
1. 序号群同构定理设G是一个群，H是G的一个子群。
对于G中的任意元素a∈G，定义一个同态映射f：G→H，使得f(a)=aH。
则f是从G到H的一个同态映射，并且Ker(f)={a∈G | a∈H}是G的一个同态核。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅H。
2. 基本同构定理设f：G→H是一个群之间的同态映射，其同态核为Ker(f)。
根据同态核定理，G/Ker(f)≅Im(f)，即G除以同态核的商群与f(G)同构。
三、同构的应用群的同构是抽象代数中一个重要的研究对象，它在很多数学领域中有广泛的应用。
以下是一些同构的常见应用：1. 规范形式：通过寻找两个同构的群，可以将一个复杂的群转化为一个更简单的形式，从而更容易研究和理解。
2. 基于同构的证明：在证明中，可以通过寻找两个同构的群，将一个问题转化为另一个已知结论的证明，从而简化证明的难度。
抽象代数基础第一章1.6 群的同构与同态
授课时间第12次课
授课章节
1.6群的同构与同态
任课教师
及职称
xx教授
教学方法
与手段
讲授法、板书
课时安排
4
使用教材和
主要参考书
《抽象代数基础》 唐忠明 编 高等教育出版社 2006，4
《近世代数》 杨子胥 编 高等教育出版社 2000，5
教学目的与要求：
掌握群的同构定理和同态定理
（2）若H是G的正规子群且 ，则
证明：（1）易知HN是G的子群，又由于N是G的正规子群，自然有N也是HN的正规子群，因而有商群 。令
则f是一个群同态。易知f是满同态，又 ，由同态基本定理有 。
（2）令 ，若aN=bN，则 ，而 ，所以 ，即 ，因而g的定义是合理的，易见g是一个满同态且 ，所以有同态基本定理，
《 抽象代数基础 》教案
复习思考题、作业题：
课本P28 1、4、6、9、10
下次课预习要点
有限群
实施情况及教学效果分析
学院审核意见
学院负责人签字
年月日
（1）如果H是G的子群，则f（H）是 的子群
（2）如果 是 的子群，则 是G的子群；如果 是 的正规子群，则 也是G的正规子群。
8、定理3设f是群G到 的一个满同态，如果H是G的正规子群，则f（H）是 的正规子群。
9、定理4（群的同态基本定理）设f是群G到 的一个满同态，则
证明：令
由于，若 则 ，于是 ，而 ，所以 ，因而 的定义是合理的，显然 是满射。
教学重点，难点：
Cayley定理；群的同态基本定理
教学内容：
1.6群的同构与同态
1、定义1设 和 是两个群，f是G到 上的一个一一对应，如果对 都有
6.5---同构及同态PPT课件
-
4
证明
(1) 因为G非空，显然G′非空. (2)设a’∈G′，b’∈G′，往证a’b’∈G′。
因有a,b∈G,使得 a’=σ(a), b’=σ(b)，
故按σ的同态性， a’b’= σ(a)σ(b)=σ(ab)，
而ab ∈G, 因而a’b’∈G′。
-
5
(3) 往证G′中有结合律成立： 设a’ ，b’，c’∈G，往证a’ (b’ c’)=(a’b’)c’。 有a,b,c∈G,使得 a’ =σ(a),b’=σ(b),c’=σ(c)， 因群G中有结合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于 是
……
用⊕表示陪集间的加法，则
1 ⊕4 =(1+N)⊕(4+N)=(1+4)+N=N= 0 ，
G 在陪集加法下是一个群，若命σ：a→a+N，
则σ是G到 G 上的同态映射,且σ的核就是N。
-
21
第三同态定理
定理6.5.4 设σ是G到G′上的一个同态映射，
若σ的核为N，则G′ G/N。 ❖例. 设G是整数加法群，
σ：x→x（mod 5），x∈G ，则 G′=σ（G）={0，1，2，3，4} 是模5的加法群，σ是G 到G′上的同态映射。 σ的核为N=5G，
G∕N =={ ,0 ,1 ,2 ,3 }4， 则G′G∕N。
-
22
证明
因为G′的元素和G∕N的元素一一对应，设在这个 一一对应之下，G′的元素a′和b′分别对应G∕N的 元素aN 和bN，其中a′=σ（a），b′=σ（b） ：
b∈σ-1(a’)iff σ（b）=a′
iff σ(b)(a′)-1=1′
iff σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1’
变换群的概念
变换群的概念变换群是数学中的一个重要概念，它是指一类具有特殊性质的变换的集合。
在讨论变换群时，我们通常关注的是其中的变换满足的一些性质以及它们之间的关系。
在数学中，变换是一种将一个对象映射为另一个对象的方法。
例如，我们可以考虑一个平面上的点，如果我们将这个点按照某种规则移动到另一个位置，则我们说发生了一个变换。
这个变换可以是平移、旋转、反射等等。
变换群就是由这些变换所组成的集合。
对于一个变换群来说，它必须满足以下几个条件：1. 闭合性：变换群中的任意两个变换的复合仍然是一个变换，也就是说，如果我们首先进行变换A，再进行变换B，那么结果可以看作是某一个变换C。
2. 结合律：对于变换群中的三个变换A、B、C，我们有(A·B)·C = A·(B·C)。
也就是说，变换的复合运算是结合的。
3. 单位元：变换群中存在一个特殊的变换，称为单位元，记作e。
对于任意变换A，都有A·e = e·A = A。
也就是说，单位元对于变换的复合运算没有任何影响。
4. 逆元：对于变换群中的每个变换A，存在一个逆变换A'，使得A·A' = A'·A =e。
也就是说，任意变换的逆变换都存在，并且变换与其逆变换的复合等于单位元。
值得注意的是，变换群要求变换的复合运算是满足结合律的，这一点在讨论中是非常重要的。
结合律的要求保证了变换的复合是唯一的，也就是说，不管我们按照什么顺序进行变换的复合，最终的结果都是一样的。
变换群可以具有很多种形式，取决于所考虑的变换的性质。
例如，当我们考虑平面上的刚体变换时，就形成了一个平面上的刚体变换群。
这个变换群包括了平移、旋转和反射等变换，满足闭合性、结合律、单位元和逆元的要求。
在应用中，变换群有着广泛的用途。
在几何学中，变换群可以用来描述在空间中的物体的位置和形态的变化。
在代数学中，变换群是很多代数结构的重要组成部分，例如矩阵群和置换群等。
近世代数课件--1.6 群的同构与同态
上的一个等价关系. 此外,根据定义,群 G 的正规子群也就是群 G 的只与本身
共轭的子群.
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§6
群的同构与同态
定理 6.2(Cayley 定理) 变换群同构.
证明
任何一个群都与某个
设 G 是群.对于每一个 a G ,定义 G 的
( σ a 1 σ a )( x ) a ax x I G ( x )
1 1
1
从而, σ a σ b σ ab G ' , σ a σ a σ a σ a I G .所以 G ' 是 G 上的一个变换群.
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1
,
( axa
1
)( aya
1
) fa (x) fa ( y) .
所以 f a 是群 G 的自同构.
fa
称为群 G 的一个内自同构.
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§6
例 3
aHa
1
群的同构与同态
设 G 是群, H 是 G 的 子群, a G .考察集合
因此 f 是单射,从而, f 是双射.此外,我们有
f ( ab ) σ ab σ a σ b f ( a ) f ( b ) , a , b G
.
所以 f 是 G 到 G ' 的同构,从而, G
G ' .□
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a hbh
1
,则称 a 与 b 在 H 中共轭.
,则称 H 与 K 共轭.
设 G 是群, H 和 K 都是 G 的子群.若存在 u G ,使得
空间几何的变换群
空间几何的变换群空间几何是几何学的一个分支，主要研究物体在空间中不同几何位置下的形态及其属性。
变换群是空间几何中的一个重要概念，它描述了空间中的各种变换所构成的数学对象。
本文将从变换群的概念、定义和性质等方面探讨空间几何的变换群。
一、概念在数学中，变换通常是指将一个数学对象（如图形、函数等）转换成另一个数学对象的操作。
在空间几何中，变换则是指将空间中的一个点、线、面或固体等通过某个规则转换成另一个点、线、面或固体的操作。
而变换群则是指一组变换所构成的集合，其中包括了所有可逆的变换和它们的复合。
其中，可逆的变换也称为同构，是指空间中的一个几何对象可以通过某个变换映射到另一个几何对象上，并且这个变换是可逆的。
例如，平移、旋转、反射等都是常见的空间几何变换，它们都可以构成一个变换群。
而在变换群中，任意两个变换的复合仍然是一个变换，而复合的顺序一般是从右往左进行。
二、定义空间几何的变换群定义为G={S|S:X→X}，其中X为空间几何中的点、直线、面或固体等几何对象的集合，S则是一个从X到X的可逆变换，即S是一个双射函数。
而变换群G满足以下条件：1.恒等变换：存在一个变换I，称为恒等变换，使得对于任意的几何对象x∈X，有I(x)=x；2.封闭性：对于任意的S,T∈G，它们的复合ST仍然属于G，即ST∈G；3.结合律：对于任意的S,T,R∈G，有(S∙T)∙R=S∙(T∙R)；4.逆变换：对于任意的S∈G，存在一个逆变换S-1，使得S∙S-1=I。
三、性质1.变换群是一个集合，其元素是一组可逆的变换；2.变换群中的变换满足封闭性和结合律，即任意两个变换的复合仍然是一个变换，并且复合的顺序没有影响；3.在任意一个变换群中，都存在一个恒等变换，它不改变几何对象的位置和形态；4.在任意一个变换群中，每个可逆变换都有一个唯一的逆变换；5.变换群中的元素可以用矩阵、向量、四元数等数学工具来表示和求解。
四、应用空间几何的变换群在几何学、物理学、计算机图形学等领域都有广泛应用。
群论中的群的同构和同构定理
群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质、结构和变换。
群的同构在群论中扮演着重要的角色，可以帮助我们发现不同群之间的相似性，并且提供了一种分类不同群的方法。
同构定理则是群论中的一项重要成果，它不仅提供了一种判断群是否同构的方法，还为我们分析群之间的关系提供了便利。
首先，我们来了解一下群的同构。
群的同构是指两个群之间存在一个双射映射，该映射既保持群运算的性质，也保持了群元素间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，如果存在一个映射f：G→H，满足以下条件：（1）f(x * y) = f(x) * f(y)，对任意x，y∈G成立；（2）f是双射（即一一映射和满射）；那么我们可以说G和H是同构的，记作G≅H。
同构的映射f在保持群运算的性质的同时，也保持了群元素之间的关系。
换句话说，两个同构群中的元素在运算上是相同的，在群的性质和结构上也是相似的。
例如，我们可以通过一个同构映射将整数加法群（Z，+）与自然数乘法群（N，*）建立起一一对应的关系，从而发现它们之间的相似性和对应关系。
而同构定理则进一步帮助我们判断群是否同构，以及刻画群之间的关系。
同构定理包括两个重要的定理，即第一同构定理和第二同构定理。
第一同构定理（同构基本定理）指出了任何一个群G和它的一个正规子群N的商群G/N之间存在一个同构关系。
具体来说，如果N是G的一个正规子群，那么存在一个同构映射f：G/N→im(f)，其中im(f)是映射f的像，满足f(gN) = f(g)，对任意g∈G成立。
第一同构定理不仅帮助我们理解了群的结构中正规子群的作用，也为判断群是否同构提供了一个重要的工具。
第二同构定理（同构定理）则是对第一同构定理的进一步应用和拓展。
它描述了两个群的商群之间的关系。
具体来说，设有两个群G和H，N1和N2分别是G和H的正规子群，并且存在一个同构映射f：G→H，那么G/N1和H/N2之间也存在一个同构的关系。
第二同构定理进一步说明了群的正规子群的作用，以及同构映射对群之间的关系的保持性。
变换群
第8 讲§5 变换群(Transformation group) 2课时本讲的教学目的和要求:在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要理论意义的群─变换群。
变换群的重要特点在于，一方面可以说它是一种非常具体的群。
它的元素都具有明确的具体的意义，从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义；另一方面，这种非常具体的群具有普遍的意义：它代表了一切可能的群，这一点是靠凯莱定理来完成的。
因此，要求：（1）理解什么是变换群；变换群的理论意义。
（2）凯莱定理的内容以及定理的证明过程。
本讲的重点和难点：研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题：存在问题；数量问题以及结构问题。
如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。
关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。
凯莱定理告诉我们，如果将所有变换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。
故此，本讲中自然以凯来定理为重点，而其难点是有下列二个方面：（1）通过教材中定理1、定理2的论述对变换以及有关性质有一个清醒的认识。
（2）撑握凯来定理（定理3）的证明手法。
注意：本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变：)(:x x x ττ= 将改成:.:ττx x x = 也就是说,过去我们的记法 “)(x τ”将变为“τx ”于是要当心：τλλτλττλ)())(())((x x x x =→= 用教材的话是说：当B A →:τ是映射时，用“)(a τ”. 当A A →:τ是变换时，使用“τa ”. 一、变换群的概念和基本性质（1） 集合A 的变换和表示形式定义1 设A 是一个非空集合，若τ是到A 的任一子映射.:A A →τ那就称τ是A 的一个变换（注：这个定义在第一章中曾出现过）.在表示形式方面，若':a a τ，现将')(a a =τ改写为'a a =τ.这样一改，在变换的合成方面，尤其要注意：如果21,ττ都是A 的变换，那么21ττ也显然是的变换，并且这时要注意：":21a a →ττ应该是1212)("ττττa a a ==（而过去是写成：))(()(2121a a ττττ=在合成的表示形式上，要习惯这种改变.例1． 设=A ｛１，２｝．现取出A 的几个变换12,21:1 τ （即 12,1111==ττ ） 22,21:2 τ （即22,2122==ττ） 22,11:3 τ （即 22,1133==ττ）12,21:4 τ （即 12,2144==ττ）可以看出．4321,,,ττττ是A 的全部变换．其中3τ和4τ是双射．并且3τ是恒等变换．习惯上记 .3ετ= （或 A 13=τ）利用例１．可以换算一下它们的合成（乘积）21ττ：1 ２；２ ２．即 1.212;2122122====ττττττ这表明 .221τττ= ·同理知442τττ=．利用3τ是恒等变换．则i i i τττττ==33 （)4,3,2,1=i ．这是因为i i i i i i i i τττττττττττττ=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====32)2(21)1(13333 并且又有 i i i i i i i i τττττττττττττ=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====32)2(21)1(13333． 定义２．设A 是一个非空集合，而ε是A 的恒等映射，那么，对A 的任一个变换τ，都有 .ττεετ==二．变换群的概念设A 是一个非空集合，而A 的一些变换能否形成一个群呢？ 就以例1做比方。
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近世代数
群的同构
定义3 设(G1,∘)和( G2,)是两个群。如果存在一个双射 f: G1 G2 ，且x, y G1 有
f(x∘y) = f(x) f(y), 则称群G1 与G2 同构，记为G1 G2 . 而称f 是G1到G2的一个同构(映射).
同构是一个等价关系。
定理1(群的Cayley定理) 任意一个群都同构于某个变 换群。
8/13
近世代数
补充
命题2 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换
作成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当
M上的恒等变换IM G.
充分性: 设M上的恒等变换IM G，则IM 显然为G的 单位元。令f G，则由于G是群，所以存在
f -1 G，使得f ∘ f -1= f -1 ∘ f = IM 。
定义2 设S是一个非空集合，从S到S的所有一一变换 之集记为Sym(S)，则称Sym(S)对变换的合成“∘”构
成 一个群，称为S上的对称群，记作(Sym(S), ∘). 群(Sym(S), ∘)的任一子群称为S上的一个变换群.
定义2’ 一个非空集合S的若干个一一变换关于变换的 合成“∘”作成的一个群称为S的一个变换群.
“混搭”行不？
变换群：由一一变换作成 非变换群：只能由既不是单变换也不是满变换的变
换作成 13/13
9/13
近世代数
补充
命题3 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换作 成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当有M 上的单射f G.
证 必要性显然成立 . 下证充分性. 设f 是一个单变换且f G，e是G的单位元，则
x M，有f (e(x))= f ∘ e(x)= f(x)，而 f是单变换， 所以e(x)=x，即G的单位元e就是M上的恒等变换IM .
7/13
近世代数
补充
命题2 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换 作成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当 M上的恒等变换IM G.
证 必要性: 设G是变换群，则G的单位元就是M上
的恒等变换IM . 设f 是一个一一变换且f G，e是G的单位元，则 x M，有f (e(x))= f ∘ e(x)= f(x)，而 f是单变换， 所以e(x)=x，即G的单位元e就是M上的恒等变换IM . M上的恒等变换IM G.
定理2 设(G,∘)是一个群。 G 的所有自同构之集A(G) 对映射的合成运算构成一个群，称为G的自同构群。
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近世代数
群的自同构
设(G,∘)是一个群。a是G的一个固定元素。 x G， f(x) =axa-1，
则f 是G的一个自同构(映射)。 称f 是由a确定的G的一个内自同构。 G的其他自同构称为外自同构.
定理3 设(G,∘)是一个群。 G 的所有内自同构之集是 G的自同构群得一个子群。称为内自同构群.
6/13
近世代数
补充
命题1 非一一变换关于变换的合成所作成的群是存 在
的例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中
f(1)=f(2)=1, f(3)=3, f(4)=4;
g(1)=g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3. 则G关于变换的合成运算作成一个群。 (单位元e=f，f与g均有逆元，即自身)
于是 e(y)=e(f (x))= e ∘ f (x)= f (x)=y ，
即G的单位元e就是M上的恒等变换IM . 因此，由命题2知， G是M上的一个变换群. 11/13
近世代数
补充
例 令M={1，2，3，4}，G={f，g}，其中 f(1)=f(2)=1, f(3)=3, f(4)=4; g(1)=g(2)=1, g(3)=4, g(4)=3.
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近世代数
群的自同构
定义4 设(G,∘)是一个群。如果存在一个双射f: G G ， 且对x, y G有 f(x∘y) = f(x) ∘ f(y),
则称f 是G的一个自同构(映射).
例如: 群G上的恒等映射IG是G的一个自同构. 设(G,∘)是一个交换群。 x G，f(x) =x-1，
则f 是G的一个自同构(映射).
则G关于变换的合成运算作成一个群. (单位元e=f，f与g均有逆元，即自身)
f与g既不是单变换也不是满变换.
定理 设A和B是有限集，A=B，则f:AB是单射 当且仅当f是满射.
12/13
近世代数
补充
不是满变换的单变换不能构成群。
f是单变换当且仅当f左可逆. (左可逆变换可 能很多，逆元不唯一，所以不能做成群) f是单变换，则f有左可逆变换g. (gf=I，g是满 变换，所以仅由单变换不能做成群) 不是单变换的满变换不能构成群。
下面证明f是一一变换。
x M，则存在y= f -1(x) M使得
f(y)= f ( f -1(x))= f ∘ f -1(x)= IM (x)= x， 所以 f是满变换；
若x，y M，且f (x)= f (y)，则f -1 (f (x))= f -1 (f (y))，
即IM (x)= IM (y)，亦即x = y，所以 f是单变换.
近世代数
第6节 变换群与同构
变换群的定义 群的同构 群的Cayley定理 补充
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近世代数
变换群的定义
定义1 设S是一个非空集合。一个从S到S的映射称 为S的一个变换.
一个从S到S的满射、单射或双射(一一映射、 一一对应)称为S的一个满射变换、单射变换或一一 变换.
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近世代数
变换群的定义
因此，由命题2知， G是M上的一个变换群.
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近世代数
补充
命题4 设M是任一非空集合，G是由M的若干个变换 作成的群。证明： G是M上的一个变换群当且仅当 有M上的满射f G.
证 必要性显然成立 . 下证充分性. 设f 是一个满变换且f G，e是G的单位元，则 y M，存在x M 使得f (x)= y。