多元自适应样条回归模型
经典多元线性回归模型PPT课件
此即为多元线性总体回归模型。
称
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 2 X 2 ... k X k
为多元线性总体回归函数。
3
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计量经济学模型引入随机扰动项的原因：
反映影响被解释变量的未知因素； 代表数据观测误差； 反映影响被解释变量的个体因素；
• 同时，随着样本容量增加，参数估计量具有一致性。
28
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1、线性性
βˆ (XX)1 XY CY
其中,C=(X’X)-1 X’ 为一仅与X有关的矩阵。
2、无偏性
E(βˆ ) E(( XX)1 XY) E(( XX)1 X(Xβ μ )) β (XX)1 E(Xμ ) β
记残差向量为
可以表示为
^
eY X
e1
e
e2
en
此时，多元线性样本回归模型：
Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
可以表示为：
Y Xβˆ e
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由上述正规方程组
^^
^
(Yi 0 1 X1i ... k X ki) 0
得多元线性样本回归函数：
^
^
^
^
g(X1, X 2 ,...,X k ) 0 1 X1 ... k X k
^^
^
定义残差： ei Yi (0 1 X1i ... k X ki )
称 Yi ˆ0 ˆ1 X1i ˆ2 X 2i ˆki X ki ei
为多元线性样本回归模型。 5 第5页/共53页
^
j
~
c N( , c ) 2
基于多元自适应回归样条的光伏并网系统日输出功率预测
0 引言
化石燃料(如煤、石油和天然气)正变得越来越 缺乏。近年来，由于太阳能资源丰富、环保、可再 生，光伏发电技术得到了迅速发展。随着光伏技术
This work is supported by the National Key Research and Development Program of China (No. 2018YFB2100103). Key words: power output; prediction model; multivariate adaptive regression spline
Forecasting the daily power output of a grid-connected photovoltaic system based on multivariate adaptive regression splines
BAO Changgeng1, YAN Yipeng1, HUANG Yinan1, YUAN Jing2, LU Peijun2, ZHOU Zhifeng3 (1. State Grid Shanghai Qingpu Electric Power Supply Company, Shanghai 201700, China; 2. Shanghai Zhixin Electric Co., Ltd., Shanghai 201700, China; 3. Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China)
第 49 卷 第 5 期 2021 年 3 月 1 日
DOI: 10.19783/j.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnki.pspc.200503
第5章多元线性回归模型PPT课件
在原假设H0成立的情况下，服从自由度为(k-1 , n-k)的F分布，并根据样本数据计算F值。
给定显著性水平，得到临界值F(k-1,n-k) 比较 F F(k-1,n-k) 或 FF(k-1,n-k) 来拒绝或接受原假设H0，以判定原模型总体上的 线性关系是否显著成立。
假定2 解释变量X是非随机变量，在重复抽样 中固定在给定水平。
假定3 随机误差项的条件期望为0 即： E(ui | X 2i , X 3i ) 0
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假定4 随机误差项ui具有同方差性。
Var(ui X2i , X3i ) 2 假定5 随机误差项之间无自相关性/无序列 相关。
cov(ui ,uj ) o i j
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总体方差的估计
ˆ 2 uˆi2 n3
• 残差平方和的自由度＝样本容量的大小－待估计的参数的个数
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§5.3 多元线性回归模型的统计检验
一、拟合优度检验 （一）复判定系数R2的计算公式
R2 ESS TSS
yˆi2 ˆ2
yi2
yi x2i ˆ3
yi2
~
F(m, n
kUR
)
案例
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案例分析
• 教材P250 1960-1982年美国子鸡需求的例子
• 思考问题：
1）如何根据经济理论预测回归系数的符号？
2）如何检验
？
H0 : 4 5 0
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五、模型的参数稳定性检验－邹至庄检验
当利用时间序列数据进行回归时，因变量和 解释变量之间的关系可能会出现结构变动
样条回归模型
边界条件（一般有如下3种）
自然边界：两个端点处的二阶导数为0 固定边界：指定第一个和最后一个节点处的一
阶导数值
非节点边界：要求第二个和倒数第二个节点处 的三阶导数连续，即要求前两个和最后两个相 邻区域使用相同的三次函数，让前四个点确定 一个三次多项式，最后四个点确定一个三次多 项式。这个时候由于第二个和倒数第二个节点 已经不是两个不同三次曲线的连接点了，所以 被称为非节点条件。
样条回归
Ruppert, D., Wand, M.P., and Carroll, R.J. (2003), Semiparametric
regression, Cambridge University Press, New York.
介绍
非参数回归 多项式回归
分段线性回归 Knots(change points)
令
最小化
Lagrange乘数法
解 光滑参数
其他的惩罚
选择 最小化
令 则
最小化 这里 解
基的选择
二次样条
三次样条
即
P阶样条基 p阶样条回归
B 样条
所有的B样条的全体组成一个线性空间，线 性空间有基函数，这就是B样条基函数。de Boor-Cox递推定义（约定0/0=0）
结点的选择
经济现象突变时刻（例如金融危机） 相同样本点个数 区间长度相同 逐步回归模型选择方法
光滑参数的选择
交叉验证方法（Cross-Validation）
定义
为在x点估计值
残差平方和定义
交叉验证准则
这里 为去掉 选择 最小化
第八讲多元回归模型【课件】
阮桂海主编，SPSS实用教程，电子工业出版社，
2000年8月；
卢纹岱等编著，SPSS For Windows从入门到精 通，电子工业出版社，1997年6月； 北京大学人口所编译， SPSS BASE系统用户指南，
1995年。
诊断你的模型：残差分析
❖ 残差分析不仅被用于判断你对模型中误差项所设 的假定是否符合，而且还可以检测出异常值和有 影响的点。
Variable) ❖ 如何定义虚拟变量？
例：x=0 (女性），x=1（男性） ❖ 如何解释回归模型？
E(y)01x
Johnson过滤水股份公司
Johnson公司对遍步南弗罗里达州的水过滤 系统提供维修服务。为了估计服务时间和成本， 公司希望能够对顾客的每一次维修请求预测必要 的维修时间。他们收集的数据中包含就近一次维 修至今的时间（月数）、故障的类型（电子和机 械）以及相应的维修时间（小时）。
❖ 异常值不一定是影响点，反之，影响点的残差也 可以很小，不一定是异常值。
❖ 识别影响点的方法：杠杆率比较大(大于 3(p+1)/n)， 或者Cook距离D比较大(>1).
2
75
3
65
4
90
3
90
2
Travel Time (hours) 9.3 4.8 8.9 6.5 4.2 6.2 7.4 6.0 7.6 6.1
利用你的模型进行预测
❖ 使用计算机软件产生回归模型； ❖ 通过检验判断你的模型； ❖ 你可以预测什么？
定性的自变量
❖ 方差分析的解决方案：因子，处理。 ❖ 回归分析的解决方案：引入虚拟变量（Dummy
H 0:i0H 1:i0
❖ 拒绝域
ti
（完整版）多元线性回归模型原理
（完整版）多元线性回归模型原理研究在线性关系相关性条件下，两个或者两个以上自变量对一个因变量，为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式，称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似，只是在计算上为复杂需借助计算机来完成。
计算公式如下：设随机y 与一般变量12,,k x x x L 的线性回归模型为：01122k k y x x x ββββε=++++其中01,,k βββL 是1k +个未知参数，0β称为回归常数，1,k ββL 称为回归系数；y 称为被解释变量；12,,k x x x L 是k 个可以精确可控制的一般变量，称为解释变量。
当1p =时，上式即为一元线性回归模型，2k ≥时，上式就叫做多元形多元回归模型。
ε是随机误差，与一元线性回归一样，通常假设2()0var()E εεσ?=?=?同样，多元线性总体回归方程为01122k k y x x x ββββ=++++L 系数1β表示在其他自变量不变的情况下，自变量1x 变动到一个单位时引起的因变量y 的平均单位。
其他回归系数的含义相似，从集合意义上来说，多元回归是多维空间上的一个平面。
多元线性样本回归方程为：01122k ky x x x ββββ=++++L多元线性回归方程中回归系数的估计同样可以采用最小二乘法。
由残差平方和:()0SSE y y∑=-= 根据微积分中求极小值得原理，可知残差平方和SSE 存在极小值。
欲使SSE 达到最小，SSE 对01,,k βββL 的偏导数必须为零。
将SSE 对01,,k βββL 求偏导数，并令其等于零，加以整理后可得到1k +各方程式：?2()0i SSE y yβ?=--=?∑ 0?2()0i SSE y y x β?=--=?∑通过求解这一方程组便可分别得到01,,k βββL 的估计值0?β，1?β，···?kβ回归系数的估计值，当自变量个数较多时，计算十分复杂，必须依靠计算机独立完成。
第三章多元线性回归模型的参数估计
第三章多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的参数估计是指通过给定的数据样本，使用其中一种方法来计算出回归模型的参数值。
在多元线性回归模型中，我们有多个自变量与一个因变量之间的关系，因此需要估计出每个自变量的系数。
参数估计是回归模型的核心内容之一，它能够通过对样本数据的分析和处理，得到模型中的参数值，从而建立起模型与实际数据之间的映射关系。
常用的多元线性回归模型的参数估计方法有最小二乘法和最大似然估计法。
最小二乘法是一种最常用的参数估计方法。
它的基本思想是通过最小化因变量的观测值与模型预测值之间的平方误差，来确定模型参数的最佳估计值。
最小二乘法的优点是数学上简单且易于计算，但对于异常值的敏感性较强。
最大似然估计法是另一种常用的参数估计方法。
它的基本思想是找到最能使观测数据发生的概率最大的模型参数，从而得到最优的参数估计值。
最大似然估计法具有较好的统计性质，但它的计算复杂度较高，需要对似然函数进行极大化求解。
在实际应用中，我们需要根据实际情况选择合适的参数估计方法。
通常情况下，最小二乘法是首选的方法，因为它具有简单和直观的优点，适用于大多数情况。
但当样本数据存在异常值或者数据分布不符合正态分布假设时，最大似然估计法可能是更好的选择。
无论是最小二乘法还是最大似然估计法，其核心问题都是通过最优化方法找到使得模型和观测数据之间的误差最小的参数值。
这一过程需要使用数学工具和计算方法进行求解，可以使用迭代算法，如牛顿法或梯度下降法，来逐步逼近最优解。
参数估计的结果可以告诉我们每个自变量对因变量的贡献程度。
因此，一个良好的参数估计能够帮助我们更好地理解数据，预测因变量，以及识别自变量之间是否存在相互影响。
总而言之，多元线性回归模型的参数估计是通过最小化模型与观测数据之间的误差，找到最佳的模型参数值的过程。
合理选择参数估计方法，并进行有效的数学计算，能够为我们提供有关数据和模型之间的重要信息，并为进一步的分析和应用提供基础。
第二讲 多元线性回归模型
2)关于解释变量的假设
• 确定性假设。X values are fixed in repeated sampling. More technically, X is assumed to be nonstochastic. 注意：“in repeated sampling”的含义是什 么？ • 与随机项不相关假设。The covariances between Xi and μi are zero.
适用于多元线性回归模型。
时间序列数据作 样本时间适用
• 样本方差假设。随着样本容量的无限增加，解 释变量X的样本方差趋于一有限常数。
( X i X ) / n Q ,
2
n
3)关于随机项的假设
• 0均值假设。The conditional mean value of μi is zβ X Y
由于X’X满秩，故有
ˆ ( X X ) 1 X Y β
三、多元线性回归模型的统计检验 • 1、拟合优度检验（R2）
拟合优度检验：对样本回归线与样 本观测值之间拟合程度的检验。
问题思考：采用普通最小二乘估计方 法，已经保证了模型最好地拟合了样本观 测值，为什么还要检验拟合程度？
记 R
2
ESS TSS
1
RSS TSS
称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination)。 可决系数的取值范围：[0，1]
R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近， 拟合优度越高。
3）调整后的可决系数
2
R
R2越接近1，表明模型拟合效果越好。但在 应用中发现，如果在模型中增加一个解释变量， 不管此变量是否有助于解释Y的变动，R2往往增 大。也就是说，由增加解释变量个数引起的R2的 增大与拟合好坏无关，因此，在多元回归模型之 间比较拟合优度，R2就不是一个合适的指标，必 须加以调整
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多元自适应样条回归模型
多元自适应回归样条法是一种专门针对高维数据拟合的回归方法口。
因其建模速度快，可解释性强得到广泛的应用。
该方法以样条函数的张量积作为基函数，自动选择插入基函数的节点，构成基函数集合来逼近样本数据。
MARS算法自提出后，很多学者做了研究和改进。
由Friedman提出的Fast MARS算法能在略微降低模型精度的同时加快建模速度。
Sergey Bakin等提出的BMARS使用了并行算法，加快建模速度，同时使模型变得光滑。
但是当样本数据存在一定干扰时，MARS 可能在干扰点处插入基函数，建立的模型会贴近干扰点，后向剪枝过程不能删除这样的基函数，导致模型在干扰点附近的预测能力下降。
多元自适应回归样条(MARS)是由Fried--man引入的一种回归分析形式，它是一种非参数回归技术，可以看作模拟变量之间的非线性和相互作用的线性模型的扩展，MARS模型的一般插入点。
为了能够增加模型的鲁棒性，准确反映系统特征，对样本数据采用10折交叉验证的建模方法，确保所有数据都有机会参与模型的训练和预测。
MARS 是一种基于分段策略的非线性、非参数回归方法。
该方法无需假设输入变量与输出变量之间潜在的特定函数关系，而是将数据的训练集划分为独立的不同梯度的分段线段，每个分段线段称为基函数;各段的端点称为结点，一个结点标记数据的一个区域的结束和下一个区域的开始。
由此得到的基函数将给予模型更大的灵活性，允许产生弯曲、阂值他偏离线性的情况。
MARS通过逐步搜索以生成基函数，利用自适应回归算法以选择结点位置。
MARS算法分为前向选择、后向剪枝
2个步骤:前向选择过程是对输入的样本数据进行划分处理，用样条函数代替划分的小区间拟和得到新的基函数，继而得到一个拟合模型;后向剪枝过程是对所产生的基函数进行筛选处理，剔除对模型拟合贡献较小的基函数，以避免出现过拟合情况，进而产生最优模型。
MARS 是一个数据建模的过程，为使模型符合式，应先对数据的训练集进行前向选择程序。
通过采用常数项和基函数对生成模型，尽量减小训练误差;对含有N个基函数的模型，下一对加入模型的基函数形式中月利用最小二乘法求得。
模型加入新的基函数时，也会考虑其与模型中已有基函数之间的相互作用。
若基函数数目达到模型预定的最大数量，将产生一个过拟合的模型。
分子是MARS模型数据训练集的均方误差，分母为惩罚函数。
模型复杂度越高，方差就会越大。
二不仅决定模型的基函数数目，而且影响结点数。
一般默认d值取3〔‘3〕。
后向过程中，在已预设最大基函数个数的前提下，该算法通过不断地剔除基函数使式(5)取得最小值，直至找到一个合适的模型。
由于基函数的选择和可变结点的位置是依据数据和具体研究问题决定的，因此MARS是一种自适应的模型。
得出最优MARS模型后，通过将涉及同一个变量的所有基函数组合在一起，并采用方差分析比较变量的统计学显著性，以此来评价输入变量和基函数的贡献。
另外，由于最大基函数个数是事先预设的，若预设值不合理，可能导致最终的模型并不是最优模型。
因此可以试验多组预设值，并选取合适的评价指标，观察评价指标随预设值的变化情况，以此确定最终模型的预设最大基函数个数。
本文最终模型的选取主要参考3个评
价指标。