??－23，35
(4).已知实数x y ，满足121y y x x y m ??
-??+?
≥，
≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于
(4).答案：5 解：画出x y ，满足的可行域，可得直线21y x =-与直线x y m +=的交点使目标
图1
函数z x y =-取得最小值，故21y x x y m =-??+=? ，解得121
,33m m x y +-==
， 代入1x y -=- 得121
1533
m m m +--=-?=
最优解唯一问题和最优解有无数个问题（5）.已知变量x ，y 满足约束条
件1422x y x y ≤+≤??-≤-≤?
。若目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得
最大值，则a 的取值范围为 。
(5).解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+?=-+其表示为斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.a a -<-?>则a 的取值范围为(1,)+∞。
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。
二、已知线性约束条件-----距离（距离的平方）型
例2、（1）已知1,10,220x x y x y ≥??
-+≤??--≤?则22x y +的最小值是 .
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。22x y +的最小值是为5。
变式（2）．已知实数x ，y 满足???
x ≥－1，
y ≤3，
x －y ＋1≤0，
则x 2＋y 2－2x 的最小值____
（2）．答案：1解析：不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示．记目标函数为
z ＝x 2＋y 2－2x ＝(x －1)2＋y 2－1.因为点(1,0)到直线x ＝－1的距离为2，到直线y ＝3的距离为3，到直线x －y ＋1＝0的距离为|1＋1|
2
＝2，故目标函数的最小值
为(2)2－1＝1.
点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。
三、线性约束条件————面积型
例３．（没有参数）（１）在平面直角坐标系中，不等式组20
20
0x y x y y +-≤??-+≥??≥?
图2
表示的平面区域的面积是（）
(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2
（1）.解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20
200x y x y y +-≤??-+≥??≥?
表示的平面区域是一个三角形。
容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：
11
||||42 4.22
S BC AO =
?=??=从而选Ｂ。 （有参数）（２）．若不等式组???
x －y ＋2≥0，ax ＋y －2≤0，表示
y ≥0
的平面区域的面积为3，则
实数a 的值是________．
（２）.答案：2．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×? ???
?
2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.
(3).已知由不等式组00240
x y y kx y x ≤??≥?
?-≤??--≤?，确定的平面区域Ω的面积为7，定点M 的坐标为()1,2-，若
N ∈Ω，O 为坐标原点，则
OM ON ?u u u u r u u u r
的最小值是 。
(3).答案：7-. 依题意：画出不等式组0040x y y x ≤??
≥??--≤?
所表示的平面区域（如右图所示）可知其
围成的区域是等腰直角三角形面积为8，由直线2y kx =+恒过点(0,2)B ，且原点的坐标恒满足
2y kx -≤
当0k =时，2y ≤，此时平面区域Ω的面积为6，由于67<， 由此可得0k <.
由240
y kx y x -=??--=?可得242
(
,)11k D k k ---，依题意应有12
2||121
k ??=-，因此1k =-（3k =，舍去） 故有(1,3)D -，设(,)N x y ，故由
2z OM ON x y =?=-u u u u r u u u r ，可化为1122y x z =-，112
线1122y x z =
-过点D 时，截距1
2
z -最大，即z 取得最小值7-． 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 四、线性约束条件——斜率型
例４.已知???
x －y ＋2≥0，
x ＋y －4≥0，
2x －y －5≤0，
求（１）ｚ＝
x
y
(２)z ＝2y ＋1x ＋1的范围．
解：作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A (1,3)、B (3,1)、C (7,9)．
(２)z ＝2×y －? ????－12x －(－1)
表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q ? ?
???－1，－12连线的斜率的两倍，
因此k QA ＝74，k QB ＝38， 故z 的范围为????
??
34，72.(12分)
五．其他
例5．(1).若点(2,)t -在直线2360x y -+=的下方区域，则实数t 的取值范围是 。
(1).答案：2,3?
?-∞ ??
?
(2).已知点(1,2)和点(1,1)在直线30x y m -+=的异侧，则实数m 的取值范围是 。 (2).答案：()2,1--
（3）.已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）
(A)0003x y x y x -≥??+≥??≤≤? (B)0003x y x y x -≥??
+≤??≤≤?
(C)
003x y x y x -≤??
+≤??≤≤?
(D) 0003x y x y x -≤??
+≥??≤≤?
（3）.解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围成一个三角形区域
（如图4所示）时有0003x y x y x -≥??
+≥??≤≤?
。
(3).点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。
