高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概念自我小测新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教a版必修4 (3)
【解析】 A→B＝D→C，A、B、C、D 四点可能在同一条直线上， 故①不正确；在▱ABCD 中，|A→B|＝|D→C|，A→B与D→C平行且方向相同， 故A→B＝D→C，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且 a 与 b 方向相同；b＝ c，则|b|＝|c|，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同， 故 a＝c，故③正确；对于④，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，故 ④不正确．
【课标要求】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念. 2.理解零向量、单位向量、两个向量平行(共线)、两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示.
自主学习 基础认识 |新知预习| 1．向量的定义 既有大小，又有方向的量称为向量．
2．向量的表示方法
3．向量的长度(模) |A→B|(或|a|)表示向量A→B(或 a)的大小，即长度(也称模). 4．与向量有关的概念
【解析】 (1)如图所示． (2)由题意，易知A→B与C→D方向相反， 故A→B与C→D共线， 即 AB∥CD. 又|A→B|＝|C→D|， 所以四边形 ABCD 为平行四边形． 所以|A→D|＝|B→C|＝200(千米)．
方法归纳
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练 2 在如图的方格纸中，画出下列向量． (1)|O→A|＝3，点 A 在点 O 的正西方向； (2)|O→B|＝3 2，点 B 在点 O 北偏西 45°方向； (3)求出|A→B|的值．
解析：易知A→B＝D→C. 答案：B
3．如图，在⊙O 中，向量O→B，O→C，A→O是( ) A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量
解析：由图可知O→B，O→C，A→O是模相等的向量，其模均等于圆 的半径，故选 C.
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念知识巧解学案 新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念疱工巧解牛知识•巧学一、向量1.数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量叫做标量.2.具有大小和方向的量称为向量.更具体一些，我们先把向量理解为“一个位移”或“一点相对于另一点位置”的量.这是因为有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是这样的量.显然，若用同样大小的力作用于一弹簧上，作用点不同，效果是不同的.有些向量是只有大小和方向，而无特定的位置，例如，位移、速度等.通常把后一类向量叫做自由向量.本章，我们所接触的向量，若无特别说明，都认为是自由向量.也就是说，本章所学的向量只有大小和方向两个要素.学法一得数学中的向量是由大小和方向唯一确定的，是与起点无关的向量.也就是说，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的.辨析比较①数量只有大小，是一个代数量，而向量不仅有大小，还有方向(两重性)；②数量能比较大小，而向量不能比较大小.例如，a>b没有意义，而|a|>|b|是有意义的；③数量可以进行代数运算，如数的加、减、乘、除运算，而向量只能按向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则或向量数乘的运算律去运算.二、有向线段在物理学中，表示位移的最简单方法是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段的长度分别表示速度和力的大小.1.定义：一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.显然，它的方向由A指向B.2.表示方法：以A为起点，以B为终点的有向线段记作.应注意始点一定要写在终点的前面.如图2-1-3.图2-1-33.有向线段的三要素：已知，线段的长度也叫做有向线段AB的长度，记作||.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.显然有向线段的终点由它的起点、方向和长度唯一确定.辨析比较由向量与有向线段的组成要素可知，向量和有向线段是有区别的.但是当我们约定有向线段的起点也是任意的时候，它们就是相同的了.我们就可以说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”.三、向量的表示法1.用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量的长度(或称模)，记作||.如图2-1-4所示.图2-1-4规定了合适的比例尺后，平面上的向量就可以用有向线段来表示了.2.用字母表示向量.向量印刷时可用黑体小写字母如a 、b 、c 来表示，书写用、、来表示，还可用表示向量的有向线段起点和终点的字母表示.四、两个特殊的向量1.零向量：长度(模)为0的向量，记作0.零向量的方向是不确定的.误区警示 注意0与0的区别：0是一个向量，具有方向，而0是数量，没有方向.2.单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量.显然，单位向量有无数个；单位向量的大小相等；单位向量不一定相等.五、平行向量1.定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如图2-1-5,a ，b ，c 是平行向量.图2-1-5通常记作a ∥b ∥c .2.规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .六、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如图2-1-6，用有向线段表示的向量a 与b 相等，记作a =b .图2-1-6对于相等向量的理解要注意以下几个问题：(1)零向量与零向量相等，即0=0.(2)任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.(3)由相等向量的定义可知，对一个向量，只要不改变它的大小和方向，可任意平移(自由向量的起点可任意选定).如图2-1-7，容易看出：332211B A B A B A ==.由以上分析，一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”.图2-1-7学法一得判断两个向量相等的唯一依据就是它的定义，即只需比较两个向量的模(有向线段的长度)是否相等、方向是否相同，与它们所在的直线是否共线无关.七、共线向量由于任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量.如图2-1-8，a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出=a，=b，=c.图2-1-8学法一得任一向量都与它自身是平行向量，因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与任一向量都是平行向量.由于平行向量的基线互相平行或重合，所以其方向相同或相反，向量平行与直线平行不同，向量平行包括基线重合的情况，而直线平行一般不包含重合的情形. 典题•热题知识点一向量例1 指出下列概念是不是向量：(1)作用于物体上的大小为10 N，方向是南偏西30°的力；(2)温度表中表示零上、零下的温度；(3)物体M沿东北方向移动了8 m的位移.思路分析：根据向量定义可以判别.解：(1)是向量.因为力是既有大小又有方向的量；(2)不是.因为温度表可以用带正负号的实数来表示；(3)是向量.因为位移是既有大小又有方向的量.知识点二向量的表示法例2 如图2-1-9，在平行四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是( )图2-1-9A.AD,,BC,DCB.DA,BA,BC,DCC.,,,D.,,,思路分析：向量可用有向线段来表示，箭头的指向是从向量的起点指向终点的方向.答案：C知识点三两个特殊的向量例 3 把平面上一切单位向量的起点归结到同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段弧C.一个圆D.圆上一群孤立的点思路分析：因为单位向量的模是1，所以它的终点到公共点的距离都是1，符合圆的定义，故选C.答案：C知识点四平行向量例4 命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( )A.总成立B.当a≠0时成立C.当b≠0时成立D.当c≠0时成立思路分析：这里要作出正确选择，就要探求题中命题成立的条件.∵零向量与其他任何非零向量都平行，∴当两非零向量a、c不平行而b=0时，有a∥b，b∥c，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，只能选择C.答案：C方法归纳本例说明向量平行的传递性要成立，就需“过渡”b向量不为零向量.事实上，在b≠0的情况下：①a≠0，c≠0时，∵a∥b，∴a与b同向或反向.又∵b∥c，∴b与c同向或反向.∴a与c同向或反向.∴a∥c.②若a与c中有一个为零向量，则另一个无论为零向量还是不为零向量，均有a∥c.由以上①②可以确定C是正确的.例5 如图2-1-10，D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，写出与DF平行的向量.图2-1-10思路分析：线段DF是△ABC的中位线，凡是与DF平行的有向线段都是与平行的向量.结合三角形中位线的性质可以得出结论.解：与DF平行的向量有DF、EC.知识点五相等向量例6 (1)如图2-1-11，D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点，在以A、B、C、D、E、F为起点或终点的向量中，找出与向量相等的向量.图2-1-11 图2-1-12(2)如图2-1-12，设点O为正八边形ABCDEFGH的中心，分别写出与、、、相等的向量.思路分析：寻找相等向量，应写出给定向量的相等向量，应结合图形的几何性质，如三角形中位线平行于底边且等于底边的一半等.先确定方向，再确定长度.解：(1)与相等的向量有，；(2)与OA相等的向量是EO与OB相等的向量是DO；与相等的向量是GO；与OD相等的向量是HO.方法归纳在研究相等向量时，要充分利用平面图形的几何性质，如平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；三角形的中位线平行且等于底边的一半；梯形的中位线平行于两底且它的长等于两底长的和的一半等.知识点六共线向量与相等向量例7 判断下列命题的真假.(1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴是向量；(2)若两个向量相等，则两个向量平行；(3)向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一条直线上；(4)向量的模是一个正实数；(5)若|a|=|b|，则a=b.思路分析：判断上述命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目.解：(1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的.(2)由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确.(3)不正确.由与共线，可以推知与平行或共线，故不一定能断定A、B、C、D在同一条直线上.∴此命题不正确.(4)不正确.因为零向量的模是零.(5)不正确.当a与b的方向不同时，a与b一定不相等.例8 试讨论以下几个问题：(1)平面向量是否一定方向相同？(2)共线向量是否一定相等？(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量？(4)不相等的向量，一定不平行.(5)相等的非零向量，若起点不同，终点一定不相同.(6)非零向量的单位向量唯一.解：(1)否，还可以方向相反.(2)否，共线向量的方向相同或相反，大小不一定相等.(3)是，因为向量与起点的位置无关.(4)否，例如模不等的共线向量.(5)对，可以用反证法证明.(6)不对，因为任一非零向量a 的单位向量为±||a a . 问题•探究交流讨论探究问题 在初学本节时，由于受到实数学习中的负面影响，或相关概念理解不深，易发生一些错误的判断，请问你们能不能归纳出一些常见的错误判断？探究过程：学生甲：由于向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，方向表示向量的方向，所以容易出现“向量就是有向线段”的错误判断.学生乙：在实数中，若|a|=|b|，则有a=b 或a=-b ，受它的影响易出现“若|a |=|b |，则有a =b 或a =-b ”的错误论断.学生丙：还有一条，由于实数中零书写的影响，容易出现“若|a |=0，则a =0”的错误判断. 学生丁：由于零向量与任意向量平行，当b =0时，不共线的两个非零向量a 、c 都与b 平行，即a ∥b ，b ∥c ，但受平面几何知识的影响，就易出现“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”的错误判断.探究结论：在本节中易出的错误判断有：“向量就是有向线段”“若|a |=|b |，则有a =b 或a =-b ”“若|a |=0，则a =0”“向量与向量是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上”“向量与向量平行，线段AB 与线段CD 平行”等错误判断.误区陷阱探究问题 “向量就是有向线段”这个观点是否正确？探究过程：在画图时，向量常用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小(模)，有向线段的方向表示向量的方向，因此，有向线段是向量的一种表示方法.此外有向线段是一个图形,它包括了起点、方向和长度三个要素，而向量是一个量,它只包含了方向和大小两个要素.也就是说，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平移的.因此，用有向线段表示向量时可以任意选取起点.再有起点不同，长度相等和方向相同的两个有向线段是不同的有向线段，但它们可以表示同一个向量.因此不能说向量就是有向线段.探究结论：“向量就是有向线段”这个观点是错误的.不能说向量就是有向线段，和向量相比，有向线段多了起点这个要素.材料信息探究问题 向量又称矢量，最初被应用于物理学.很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量，大约公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.那么向量又是如何进入数学的？探究过程：“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段.向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向.但是在高等数学中还有更广泛的向量.例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量.在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的.这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象.这样，就可以将线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了.因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用.而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型.探究结论：向量能够进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的.18世纪末，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题.人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学.。
高中数学第二章平面向量2-2平面向量的线性运算第1课时自我小测新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量2-2平面向量的线性运算第1课时自我小测新人教A 版必修4自我小测1．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c)＋b ，b ＋(a ＋c)，b ＋(c ＋a)，c ＋(a ＋b)，c ＋(b ＋a)中，与向量a ＋b ＋c 相等的向量的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．22．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，AC 与BD 交于点O ，则＋＋＝( )OA uu u r BC uuu r AB u u u rA.B.C.D.CD uuu r OC u u u r DA u u u r CO uuu r3．已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a ＋b 的方向A ．与向量a 方向相同B ．与向量a 方向相反C ．与向量b 方向相同D ．与向量b 方向相反4．在平行四边形ABCD 中，若|＋|＝|＋|，则四边形ABCD 是( )BC uuu r BA uu u r BC uuu r AB u u u rA ．菱形B ．正方形C ．矩形D ．梯形5．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则＋＝( )OP uuu r OQ uuu rA.B.C.D.OH u u u r OG u u u r FO uuu r EO uuu r6．如图，在正六边形ABCDEF 中，＋＋＝________.BA uu u r CD uuu r FE uuu r7．如图，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F1|＝24 N ．绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N ，则F1与F2的合力大小为________，方向为________．8．设a ＝(＋)＋(＋)，b 是任一非零向量，则在下列结论中：AB u u u r CD uuu r BC uuu r DA u u u r①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b|<|a|＋|b|；⑤|a ＋b|＝|a|＋|b|.其中正确的序号是________．9．如图所示，设O 为正六边形ABCDEF 的中心，作出下列向量：(1)＋；OA uu u r OC u u u r(2)＋.BC uuu r FE uuu r10．如图，在▱ABCD 的对角线BD 的延长线上取点E ，F ，使BE ＝DF ，求证：四边形AECF 是平行四边形．参考答案1. 解析：向量加法满足交换律和结合律，所以五个向量均等于a ＋b ＋c.答案：A2. 解析：＋＋＝＋＋＝.OA uu u r BC uuu r AB u u u r DA u u u r AB u u u r BC uuu r OC u u u r答案：B3. 解析：当a 与b 同向时，a ＋b 与a ，b 的方向都相同； 当a 与b 反向时，|a|>|b|>0，如图所示，a ＝，b ＝，则a ＋b ＝与同向，即a ＋b 与a同向．AB u u u r BC uuu r AC u u u r AB u u u r 答案：A4. 解析：由图知|＋|＝||，BC uuu r BA uu u r BD u u u r|＋|＝|＋|＝||.BC uuu r AB u u u r AD u u u r AB u u u r AC u u u r所以||＝||，故四边形ABCD 为矩形．BD u u u r AC u u u r答案：C5. 解析：如图由平行四边形法则可得＋＝，而与相等，故＋。
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4
类型 1 向量的概念
[典例 1] 给出下列命题： ①若A→B＝D→C，则 A、B、C、D 四点是平行四边形的 四个顶点； ②在▱ABCD 中，一定有A→B＝D→C； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.
解：(1)如图所示．
(2)由题意，易知A→B与C→D方向相反，故A→B与C→D共线． 又|A→B|＝|C→D|，
类型 3 共线向量与相等向量(互动探究)
[典例 3] (1)如图所示，在等腰梯形 ABCD 中：
①A→B与C→D是共线向量；
②A→B＝C→D；③A→B>C→D.
以上结论中正确的个数是( )
A．0
B．1
C．换 条 件 ) 在 例 (1) 中 若 把 “ 梯 形 ABCD”改为“▱ABCD 中”呢？
[变式训练] 一架飞机从 A 点向西北飞行 200 km 到 达 B 点，再从 B 点向东飞行 100 2 km 到达 C 点，再从 C 点向东偏南 30°飞行 50 2 km 到达 D 点．问 D 点在 A 点的什么方向？D 点距 A 点多远？
解：由|B→C|＝100 2，知 C 在 A 的正北方向，|A→C|＝100 2. 又由|C→D|＝50 2，∠ACD＝60°知∠CDA＝90°.
解析：如图，在▱ABCD 中， ①因为 AB∥CD， 所以A→B∥C→D，故①正确；
1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时 一定要从大小和方向两个方面去考虑．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念，两个共 线向量不一定是要在同一条直线上．当然，同一直线上 的向量也是平行向量．
第二章 平面向量
[知识提炼·梳理] 1．向量的概念 定义：既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示 (1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．它包 含三个要素：起点、方向、长度．
高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念课件新人教A版必修4 (1)(1)
方法归纳 判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素： (1) 有大小．(2)有方向．两个条件缺一不可．
跟踪训练 1 (1)下列说法中正确的是( D ) A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大 小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 (2)下列说法正确的是( C ) → → → → A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．与非零向量 a 平行的单位向量只有 2 个 D．共线向量是在一条直线上的向量
5．向量的平行或共线
[化解疑难] 注意以下几组量的关系 (1)向量与有向线段的关系 → → 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB，但有 向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段． (2)向量与数量的区别 ①向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一 个代数量，没有方向； ②数量可以比较大小， 而向量无法比较大小． 即使有|a|>|b|也不 能说 a>b，特殊地，若向量 a 与 b 是相等向量，记作 a＝b； ③0 与 0 不同，虽然|0|＝0，但 0 是向量，而 0 是数量．
解析：取每个方格的单位长为 1， 依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示． (3)由图知，△AOB 是等腰直角三角形， → → → 所以|AB|＝ |OB|2－|OA|2＝3.
类型三 共线向量与相等向量 [例 3] → 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，且OA＝a， → OB＝b. (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？ (2)与 a 共线的向量有哪些？
【课标要求】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念. 2.理解零向量、单位向量、两个向量平行(共线)、两个向量相 等的含义. 3.理解向量的几何表示.
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A版必修4
用有向线段表示向量的步骤及注意事项 (1)步骤
(2)注意事项：有向线段书写时要注意起点和终点的不同；字母表示在书写时不要 忘了字母上的箭头．
2．在某军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从 A 处出 发向西迂回了 100 km 到达 B 地，然后又改变方向向北走了 120 km 到达 C 地， 最后又改变方向，向南偏东 45°突进 80 2 km 到达 D 处，完成了对蓝军的包围． (1)在如图所示的坐标纸上，用直尺和圆规作出向量A→B，B→C，C→D；
混淆向量的模与数的绝对值致误
[典例] 给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则 a＝0；②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b；③若 a∥b，则|a|＝|b|；
④若 a＝0，则－a＝0
其中的正确命题有( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
[解析] 对于①，前一个零是实数，后一个应是向量 0.对于②，两个向量的模相 等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行， 它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．故选 A. [答案] A
OAED，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中分
别
写出：
(1)与D→O，C→O相等的向量；
(2)与D→O共线的向量；
(3)与A→O模相等的向量．
解析：(1)D→O＝C→F，C→O＝D→E. (2)与D→O共线的向量为：C→F，B→O，A→E. (3)与A→O模相等的向量有：D→O，C→O，B→O，B→F，C→F，A→E，D→E.
[解析] (1)与 a 的模相等的向量有 23 个． (2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有O→D，B→C，A→O，F→E. (3)与 a 共线的向量有E→F，B→C，O→D，F→E，C→B，D→O，A→O，D→A，A→D. (4)与 a 相等的向量有E→F，D→O，C→B； 与 b 相等的向量有D→C，E→O，F→A.
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课前引导素材 新人教A版必修4
1 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课前导引
问题导入
已知两个力F 1和F 2同时作用在一个物体上，其中F 1=40 N ，方向向东，F 2=30 N ，方向向北，求它们的合力
.
思路分析：如右图所示，OA 表示F 1，OB 表示F 2.以OA 、OB 为邻边作OACB ，则OC 表示合力F.
在Rt△OAC 中，||=40 N ，||=||=30 N
由勾股定理，得F=.503040||||||2222N AC OA =+=
+= 设合力F 与力F 1的夹角为θ，则4
3||12==F F OA =0.75. 所以θ≈37°.
答：合力大小为50 N ，方向是东偏北37°.
本题中求的力既有大小，又有方向，在物理中叫矢量.像这种既有大小、又有方向的量，就是我们这章要学习的向量.
知识预览 1．我们把既有大小又有方向的量叫做向量.如：力、位移速度、加速度等. 2．我们把具有方向的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段记作.注意起点一定写在终点的前面，线段AB 的长度也叫做有向线段的长度，记作||.有向线段包括三个要素：起点、方向、长度.
3．向量可以用有向线段来表示，向量的大小，也就是向量的长度（或称模）记作||.长度为零的向量叫做零向量、记作B ，长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
4．向量的表示方法有两种，如a 或.
5.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行，记作a ∥b .规定0与任一非零向量平行，即对任一向量a ,都有0∥a .
6.长度相等且方向相同的向量叫相等向量；若a 与b 相等.记作a =b .
7.由于向量可以平行移动，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量.。
高一数学人教A版必修4第二章2.1平面向量的实际背景及基本概念2课时课件
如:
B (终点)
A (起点)
(3) 字母表示: ① 用端点的大写字母表示, 如 ② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c. ③ 用书写体加箭头表示, 如
aB A
3. 向量的模:
也叫做向量的模, 记作
4. 零向量: 模为零的向量称为零向量, 记作0 ( 方向是任意的.
), 零向量的
5. 单位向量:
的中线向量 AD的模| AD|.
A
解:
AB 3, 则 BD
由勾股定理求得
B DC
2.1.3 相等向量
与 共线向量
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1. 什么是相等向量? 相等向量与什么有关, 与 什么无关?
2. 什么叫平行向量? 什么叫共线向量? 共线向 量一定画在一条直线上吗?
3. 共线向量的长度是否相等? 共线向量的方向 是否相同?
【课时小结】
2. 向量 既有大小, 又有方向的量.
3. 向量的物理背景 向量研究具有方向和大小的问题: 位移具有方向与距离. 力具有方向与大小. 速度具有方向和大小.
【课时小结】
4. 向量的表示
向量用有向线段表示.
字母表示有三种方法:
① 用端点的大写字母表示, 如
② 用印刷黑体小写字母表示, 如 a、b、c.
(2) 求| AB|的值.
y
答: (1)
4
B
因为方向不同.
因为长度是相等的.
A
(2)
o1 4 x
(二) 向量的表示 1. 向量 我们把既有大小, 又有方向的量叫做向量 (物理学 中称为矢量); 而把只有大小, 没有方向的量称为数量, (物理学中称为标量).
向量是勾通代数, 几何, 三角函数的一种工具.
高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念教案 新人教A版必修4
2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.知识与技能(1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示.(2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念.(3)学会区分平行向量、相等向量和共线向量.2.过程与方法通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.情感、态度与价值观通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力.重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.难点:向量的概念,平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.(1)重点的突破:从向量的物理背景、几何背景等入手,从学生熟悉的矢量概念引出向量概念;还要注意与数量概念的比较,使学生在区分相似概念的过程中把握向量的概念.(2)难点的突破:借助信息技术,通过向量平移来说明向量的相等与起点无关.让学生体会,只要表示两个向量的有向线段所在直线平行或重合,这两个向量就是共线向量.向量及向量符号的由来向量最初应用于物理学,被称为矢量,很多物理量,如力、速度、位移、电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年,古希腊著名学者亚里士多德(Aristotle,公元前384—前322)就知道力可以表示成向量.向量一词来自力学、解析几何中的有向线段.最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿(Newton,1642—1727).向量是一种带几何性质的量,除零向量外,总可以画出箭头表示方向,线段长表示大小的有向线段来表示它.1806年,瑞士人阿尔冈(R.Argand,1768—1822)以AB表示一个有向线段或向量.1827年,莫比乌斯(Mobius,1790—1868)以AB表示起点为A,终点为B的向量,这种用法被数学家广泛接受.另外,哈密尔顿(W.R.Hamilton,1805—1865)、吉布斯(J.W.Gibbs,1839—1903)等人则以小写希腊字母表示向量.1912年,兰格文用表示向量,以后,字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行,尤其在手写稿中.为了方便印刷,用粗黑小写字母a,b等表示向量,这两种符号一直沿用至今.向量进入数学并得到发展,是从复数的几何表示开始的.1797年,丹麦数学家威塞尔(C.Wessel,1745—1818)利用坐标平面上的点(a,b)来表示复数a+b i,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算.把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题.人们逐步接受了复数,也学会了利用复数表示、研究平面中的向量.1。
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高中数学第二章平面向量2-1平面向量的实际背景及基本概
念自我小测新人教A版必修4
自我小测
1．下列说法中正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>bB．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a与b不是共线向量
2．设O是正方形ABCD的中心，向量，，，是( )
AOOBCOOD
A．平行向量 B．有相同终点的向量C．相等向量 D．模相等
的向量
3．把平面上所有长度为2的向量的起点放在同一点，那么这些
向量的终点所构成的图形是( )
A．一条线段 B．一段圆弧C．圆上的一群孤立点 D．一个圆
4．下列说法正确的是( )
A．若a与b不共线，则a与b都是非零向量
B．方向相反的非零向量可能相等
C．共线的单位向量一定相等
D．若＝，则A，B，C，D四点构成平行四边形ABCD
AB
DC
5．如图，在四边形ABCD中，＝，则必有( )
AB
DC
A.＝B.＝C.＝D.＝
ADCBOAOCACDB
DOOB
6．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，
与是共线向量，则m＝________.
AB
BC
7．给出下列四个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反，④|a|＝0或|b|＝0，
其中能使a∥b成立的条件是________．(填序号)
8．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AD与BC的
中点，则在以A，B，C，D四点中的任意两点为起点和终点的所有向
量中，与向量方向相反的向量为________．
EF
9．如图所示是4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起
点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个？
AB
(2)与方向相同且模为3的向量共有几个？
AB
2
10．如图所示，在△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是
边AC，AB和BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
EF
(2)写出与模相等的向量；
EF
(3)写出与相等的向量．
EF
参考答案
1.解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个
条件：a，b同向与|a|＝|b|，所以B不正确，C正确；a与b是共线
向量，只需满足a与b方向相同或相反，所以D不正确．
答案：C
2.解析：根据正方形的性质与向量的模的定义可知D正确．
答案：D
3.解析：所有满足条件的向量的终点在以起点为圆心，半径为2
的圆上．
答案：D
4.解析：若a与b中至少一个为零向量时，则a与b共线，故A
正确；相等向量一定同向，故B错误；共线向量不一定方向相同，故