2016学年黑龙江省实验中学高一下学期期末数学试卷及参考答案
高中数学：2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一(下)期末数学试卷(附参考答案)
2022-2023学年广东省佛山市禅城实验高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题1．（5分）若tan10°＝a ，则用a 表示sin820°的结果为（ ） A ．1√1+a B ．√1+a2C ．a√1+a D ．√1+a 22．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，−2√23)，那么cos （π﹣α）等于（ ） A ．−2√23B ．−13C ．13D ．2√233．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n B ．α⊥β，m ⊥α，n ⊥β⇒m ⊥n C ．m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ⇒α⊥βD ．α⊥β，α∩β＝m ，n ∥m ⇒n ∥α且n ∥β4．（5分）在复平面内，复数z ＝﹣2﹣3i ，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（5分）y =Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图，则其解析式为（ ）A ．y =2sin(2x +π6)B ．y =2sin(2x −π6)C ．y =2sin(2x +π3)D ．y =2sin(2x −π3)6．（5分）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A ，B 两个观测点，在A 点测得超然楼在北偏东60°的点D 处（A ，B ，D 在同一水平面上），在B 点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C的仰角为45°，则超然楼的高度CD（单位：米）为（）A．26B．26√3C．52D．52√37．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法中不正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊂α，α∥β，n⊥β，则m⊥n8．（5分）若tanθ＝2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（）A．25B．−25C．65D．−65二、多选题（多选）9．（5分）下列关于圆柱的说法中，正确的是（）A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱（多选）10．（5分）下列四个命题中，错误命题的是（）A．垂直于同一条直线的两条直线相互平行B．垂直于同一个平面的两条直线相互平行C．垂直于同一条直线的两个平面互相平行D．垂直于同一个平面的两个平面互相平行（多选）11．（5分）如图所示，在4×4的方格中，点O，A，B，C均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →|C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →（多选）12．（5分）函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．直线x =−2π3是函数f （x ）图像的一条对称轴 B ．函数f （x ）的图像关于点(−π6+kπ2，0)，k ∈Z 对称C ．函数f （x ）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]，k ∈Z D ．将函数f （x ）的图像向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x +π6)的图像三、填空题13．（5分）已知sin(α+π2)=23，则cos2α＝ ．14．（5分）已知sinα⋅cosα=38，且π4＜α＜π2，则cos α﹣sin α＝ ．15．（5分）底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是 ．16．（5分）如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长是 ．四、解答题17．（10分）求函数y＝sin x+cos x，x∈[−5π12，3π4]的最值，并指出相应x的值．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin B+√3b cos（B+C）＝0，a=√19．（1）求A；（2）若b＝2，求△ABC的面积．19．（12分）已知函数f(x)=2cos2x2+√3sinx+a−1的最大值为1．（1）求函数f（x）的单调递减区间．（2）若x∈[0，π2]，求函数f（x）的值域．20．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，BD＝2√2．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．21．（12分）已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD的棱AB、PC的中点，平面CMN与平面P AD交于PE．求证：（1）MN∥平面P AD；（2）MN∥PE．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，AB＝2，AA1＝3．（1）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1；（2）求点A到平面A1CD的距离．附：参考答案一、单选题1．（5分）若tan10°＝a，则用a表示sin820°的结果为（）A．1√1+a B．√1+a2C．a√1+aD．√1+a2【解答】解：∵tan10°＝a，∴sin820°＝sin（2×360°+100°）＝sin100°＝sin（90°+10°）＝cos10°=√11+tan210°=√11+a2．故选：B．2．（5分）已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，−2√23)，那么cos（π﹣α）等于（）A．−2√23B．−13C．13D．2√23【解答】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(13，−2√23)，∴由任意角的三角函数的定义可得，cosα=1 3，则cos（π﹣α）＝﹣cosα=−1 3．故选：B．3．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nB．α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βD．α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α且n∥β【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m与n相交、平行或异面，故A错误；对于B，由面面垂直和线面垂直的性质得：α⊥β，m⊥α，n⊥β⇒m⊥n，故B正确；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α与β相交或平行，故C错误；对于D，α⊥β，α∩β＝m，n∥m⇒n∥α或n⊂α且n∥β或n⊂β，故D错误．故选：B．4．（5分）在复平面内，复数z ＝﹣2﹣3i ，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z ＝﹣2﹣3i ， ∴z =−2+3i ，∴z 对应的点（﹣2，3）位于第二象限． 故选：B ．5．（5分）y =Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如图，则其解析式为（ ）A ．y =2sin(2x +π6)B ．y =2sin(2x −π6)C ．y =2sin(2x +π3)D ．y =2sin(2x −π3)【解答】解：T ＝4（7π12−π3）＝π=2πω，∴ω＝2，根据图象可得函数最大值为2，则A ＝2， 点（7π12，0）对应五点作图的第三个点，则2×7π12+φ＝π，∴φ=−π6， 则函数的解析式为：y ＝2sin （2x −π6）．故选：B ．6．（5分）“近水亭台草木欣，朱楼百尺回波濆”，位于济南大明湖畔的超然楼始建于元代，历代因战火及灾涝等原因，屡毁屡建．今天我们所看到的超然楼为2008年重建而成，共有七层，站在楼上观光，可俯视整个大明湖的风景．如图，为测量超然楼的高度，小刘取了从西到东相距104（单位：米）的A ，B 两个观测点，在A 点测得超然楼在北偏东60°的点D 处（A ，B ，D 在同一水平面上），在B 点测得超然楼在北偏西30°，楼顶C 的仰角为45°，则超然楼的高度CD （单位：米）为（ ）A．26B．26√3C．52D．52√3【解答】解：由题意可得：∠BAD＝30°，∠ABD＝60°，∠CBD＝45°，AB＝104（米），在△ABD中，可得∠ADB＝90°，则BD=AB⋅sin∠BAD=104×12=52（米），在Rt△BCD中，可得△BCD为等腰直角三角形，即DC＝BD＝52（米）．故选：C．7．（5分）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列说法中不正确的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊂α，α∥β，n⊥β，则m⊥n【解答】解：若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A正确；若m∥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β或m与β相交，相交也不一定垂直，故B错误；若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，又n⊥β，则α⊥β，故C正确；若m⊂α，α∥β，则m∥β，又n⊥β，则m⊥n，故D正确．故选：B．8．（5分）若tanθ＝2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（）A．25B．−25C．65D．−65【解答】解：sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sinθ（sinθ﹣cosθ）=sin2θ−sinθcosθsin2θ+cos2θ=tan2θ−tanθtan2θ+1=4−24+1=25．故选：A．二、多选题（多选）9．（5分）下列关于圆柱的说法中，正确的是（）A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的两个圆柱是两个不同的圆柱B ．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面C ．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面D ．以矩形的一组对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的面所围成的几何体是圆柱【解答】解：由旋转体的定义可知，故选项A 正确；由圆柱的结构特征可知，用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面，故选项B 正确； 用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，故选项C 错误； 由旋转体的定义可知，选项D 正确． 故选：ABD ．（多选）10．（5分）下列四个命题中，错误命题的是（ ） A ．垂直于同一条直线的两条直线相互平行B ．垂直于同一个平面的两条直线相互平行C ．垂直于同一条直线的两个平面互相平行D ．垂直于同一个平面的两个平面互相平行【解答】解：对于A ，垂直于同一直线的两条直线相交、平行或异面，故A 错误； 对于B ，由线面垂直的性质得垂直于同一个平面的两条直线相互平行，故B 正确； 对于C ，由面面平行的判定定理得垂直于同一直线的两个平面互相平行，故C 正确；对于D ，由面面平行的判定定理得垂直于同一个平面的两个平面互相平行或相交，故D 错误． 故答案为：AD ．（多选）11．（5分）如图所示，在4×4的方格中，点O ，A ，B ，C 均为小正方形的顶点，则下列结论正确的是（ ）A ．OB →=OA →+OC →B ．|OA →|=|OC →|=12|OB →|C ．AC →=OB →−2OC →D ．OA →⋅OB →=OC →⋅OB →【解答】解：如图所示，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系， 则A （﹣1，4），B （3，5），C （4，1），所以OA →=(−1，4)，OB →=(3，5)，OC →=(4，1)， 则OB →=OA →+OC →，故A 正确，|OA →|=√(−1)2+42=√17，|OB →|=√32+52=√34，|OC →|=√42+12=√17，所以|OA →|=|OC →|≠12|OB →|，故B 错误，AC →=(5，−3)，OB →−2OC →=（3，5）﹣2（4，1）＝（﹣5，3），所以AC →≠OB →−2OC →，故C 错误； OA →⋅OB →=−3+20=17，OC →⋅OB →=12+5=17，故D 正确． 故选：AD ．（多选）12．（5分）函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图像如图所示，下列结论中正确的是（ ）A ．直线x =−2π3是函数f （x ）图像的一条对称轴 B ．函数f （x ）的图像关于点(−π6+kπ2，0)，k ∈Z 对称C ．函数f （x ）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]，k ∈Z D ．将函数f （x ）的图像向右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x +π6)的图像【解答】解：由图象可知，A＝1，且14T=7π12−π3，则函数f（x）的周期T＝π，所以ω=2πT=2，又f(7π12)=−1，则2×7π12+φ=2kπ+3π2，k∈Z，而|φ|＜π2，则k=0，φ=π3，f(x)=sin(2x+π3)，对于A，由于f(−2π3)=sin(−4π3+π3)=0，则直线x=−2π3不是函数f（x）图象的对称轴，选项A不正确；对于B，由2x+π3=kπ，k∈Z，可得x=−π6+kπ2，k∈Z，则函数f（x）的图象关于点(−π6+kπ2，0)，k∈Z对称，选项B正确；对于C，由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，可得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，则函数f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]，k∈Z，选项C正确；对于D，g(x)=f(x−π12)=sin[2(x−π12)+π3]=sin(2x+π6)，选项D正确．故选：BCD．三、填空题13．（5分）已知sin(α+π2)=23，则cos2α＝−19．【解答】解：sin(α+π2)=23，可得cosα=23，所以cos2α＝2×49−1=−19．故答案为：−1 9．14．（5分）已知sinα⋅cosα=38，且π4＜α＜π2，则cosα﹣sinα＝−12．【解答】解：因为sinα⋅cosα=3 8，又因为π4＜α＜π2，所以cosα∈（0，√22），sinα∈（√22，1），则cosα﹣sinα=−√(cosα−sinα)2=−√1−2sinαcosα=−√1−2×38=−12．故答案为：−1 2．15．（5分）底面半径为1，高为4的圆柱的侧面积是8π．【解答】解：因为圆柱的底面半径为1，高为4，所以圆柱的侧面积S侧＝2πrl＝2π×1×4＝8π．故答案为：8π．16．（5分）如图是一体积为72的正四面体，连接两个面的重心E、F，则线段EF的长是2√2．【解答】解：设正四面体的棱长为a，则正四面体的体积为√212a3=72，a＝6√2，EF=23DS=13BC=2√2，故答案为：2√2．四、解答题17．（10分）求函数y＝sin x+cos x，x∈[−5π12，3π4]的最值，并指出相应x的值．【解答】解：y＝sin x+cos x=√2sin（x+π4），∵x∈[−5π12，3π4]，∴x+π4∈[−π6，π]，则当x+π4=π2，即x=π4时，y取得最大值为√2，当x+π4=−π6，即x=−5π12时，y取得最小值为−√22．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a sin B+√3b cos（B+C）＝0，a=√19．（1）求A；（2）若b＝2，求△ABC的面积．【解答】解：（1）a sin B+√3b cos（B+C）＝0，可得sin A sin B−√3sin B cos A＝0，∴sin A=√3cos A，∴tan A=√3，∴A=π3⋯（5分）（2）因为A=π3，a=√19，b＝2，所以12=4+c2−194c，∴c＝5∴S=12bcsinA=12×2×5×√32=5√32⋯（10分）19．（12分）已知函数f(x)=2cos2x2+√3sinx+a−1的最大值为1．（1）求函数f（x）的单调递减区间．（2）若x∈[0，π2]，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）f(x)=2cos2x2+√3sinx+a−1=cosx+√3sinx+a=2sin(x+π6)+a．由f（x）max＝2+a＝1，解得a＝﹣1．由f(x)=2sin(x+π6)−1，则2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，k∈Z，所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3，2kπ+4π3]，k∈Z，（2）由x∈[0，π2]，则x+π6∈[π6，2π3]，所以12≤sin(x+π6)≤1，所以0≤2sin(x+π6)−1≤1，所以函数f（x）的值域为[0，1]．20．（12分）如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，BD＝2√2．（1）求证：BD⊥平面P AC；（2）求平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小．【解答】证明：（1）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，BD＝2√2．∴P A⊥BD，AB=√BD2−AD2=√(2√2)2−22=2，∴ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．解：（2）∵棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝2，BD＝2√2．∴P A⊥CD，AD⊥CD，∴∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，∵P A＝AD＝2，P A⊥AD，∴∠PDA＝45°，∴cos∠PDA＝cos45°=√22，∴平面PCD和平面ABCD夹角的余弦值的大小为√2 2．21．（12分）已知M、N分别是底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD的棱AB、PC的中点，平面CMN与平面P AD交于PE．求证：（1）MN∥平面P AD；（2）MN∥PE．【解答】证明：（1）如图，取DC的中点Q，连接MQ，NQ．∵N，Q分别是PC，DC的中点，∴NQ∥PD．∵NQ⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴NQ∥平面P AD．∵M是AB的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴MQ∥AD．又∵MQ⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴MQ∥平面P AD．∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面P AD．∵MN⊂平面MNQ，∴MN∥平面P AD．（2）∵平面MNQ∥平面P AD，且平面PEC∩平面MNQ＝MN，平面PEC∩平面P AD＝PE∴MN∥PE．22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点，AB＝2，AA1＝3．（1）求证：平面A1CD⊥平面ABB1A1；（2）求点A到平面A1CD的距离．【解答】证明：（1）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1的结构特征可得，AA1⊥平面ABC，又因为CD⊂平面ABC，所以AA1⊥CD，在正三角形ABC中，D为AB的中点，所以AB⊥CD，又因为AA1∩AB＝A，AA1，AB⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1，又因为CD⊂平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面ABB1A1．解：（2）由（1）可知，CD⊥平面ABB1A1，又因为A1D⊂平面ABB1A1，所以CD⊥A1D，在正三角形ABC中，CD=√3，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，又因为AD⊂平面ABC，所以AA1⊥AD，所以A1D=√10，因为V A1−ACD =V A−A1CD，所以点A到平面ACD的距离ℎ=13S△ACD⋅AA113S△A1CD=1×√3×3√3×√10=310√10．。
黑龙江省大庆实验中学2020学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
黑龙江省大庆实验中学2020学年高一数学上学期期中试卷（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则A． B． C ． D ．2．的值为A． B． C． D ．3．下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是A． B． C． D．4．下列说法正确的有①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合；②；③集合与集合表示同一集合；④空集是任何集合的真子集.A ．1个B ．2个 C．3个 D．4个5．已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是A ． B． C ． D．6．已知，，，则A ．B ． C． D ．7．已知函数是幂函数，且其图像与轴没有交点，则实数A．或 B ． C ． D ．8．已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为( )A ．B ．C ． D．9．已知,,若,则实数的取值范围是( )A． B． C ． D．10．已知在单调递减，则实数的取值范围是A． B ． C． D．11．已知，且，若存在,，使得成立，则实数的取值范围是A ．B ． C． D．12．已知函数在上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是A． B．C． D．二、填空题13．已知4510a b==，则12a b+=__________．14124cos4sin-=________.15．若关于的方程的两实根是，则_____．16．已知函数和同时满足以下两个条件：（1）对于任意实数，都有或；（2）总存在，使成立．则实数的取值范围是 __________．三、解答题17．（1）将写成的形式，其中；（2）写出与（1）中角终边相同的角的集合并写出在的角. 18．已知关于的不等式的解集为．（1）求集合；（2）若，求的最大值与最小值．19．已知函数是定义在的增函数，对任意的实数，都有，且．（1）求的值；（2）求的解集．20．已知.（1）求的值；（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值．21．已知二次函数对任意的实数都有成立，且．（1）求函数的解析式；（2）函数在上的最小值为，求实数的值．22．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.2020学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】题干可得到集合A,B再由函数补集的概念得到结果.【详解】集合，，则故答案为：D。
2016-2017年黑龙江省哈尔滨市道外区初三上学期期末数学试卷及参考答案
2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市道外区初三上学期期末数学试卷一、选择题：每小题3分，共30分．1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a4）3=a7B．a6÷a3=a2C．（2a）3=6a3D．a•a3=a4 3．（3分）下列动物图片中，如果不考虑颜色，大致是轴对称图形的是（）A．三脚猫B．金丝猫C．金狮子D．东北虎4．（3分）若双曲线y=的图象在第一、三象限，则k的取值范围为（）A．k＞0B．k＜0C．k＞1D．k＜15．（3分）如图所示的几何体是由9个小正方体组合而成的，它的左视图是（）A．B．C．D．6．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B 到点C上升的高度h是（）A．m B．4m C．4m D．8m7．（3分）如图，在▱ABCD中，G为BC延长线的一点，连结AG交对角线BD于E，交CD于F，下面结论错误的是（）A．=B．=C．=D．=8．（3分）红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂九、十月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．50（1+x）2=72B．50（1﹣x）2=72C．72（1﹣x）2=50D．50×2（1+x）=729．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为（）A．2.5B．3C．D．210．（3分）王卉同学从家出发沿笔直的公路去晨练，他离开家的距离y（米）与时间x（分）的函数关系图象如图所示，下列结论正确的个数是（）①整个行进过程花了30分钟；②整个行进过程共走了1000米；③前10分钟的速度越来越快；④在途中停下来休息了5分钟；⑤返回时速度为100米/分．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：每小题3分，共30分．11．（3分）我国国土面积约是9600000km2，用科学记数法表示为km2（保留三个有效数字）．12．（3分）计算=．13．（3分）因式分解：x3﹣x=．14．（3分）函数中自变量x的取值范围是．15．（3分）圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，那么该圆锥的母线长为．16．（3分）不等式组的解集是．17．（3分）2022年冬奥会将在北京召开，某场馆建设由甲乙两个工程队完成，甲单独做要30个月完成，乙单独做要60个月完成，则甲乙两队合作个月完成这项工程．18．（3分）不透明的袋子中，装有4个白球，5个黑球和若干个红球，它们除颜色外其它都相同．若从袋子中随机摸取1个球是红球的概率为，则袋子中红球的个数为．19．（3分）△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠BAC=80°，∠DAE=10°，则∠BAD的度数为．20．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在△ABC内，DB=DC，连接AD并延长交BC于F，且AD=BC，若DE=3，BE=5，则CE的长为．三、解答题：21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分．21．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷（），其中x=2sin60°+2tan45°．22．（7分）如图，在6×9的方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB两个端点都在小正方形的顶点上．（1）在所给方格纸中，画出直角△ABC，使点C在格点上，且△ABC的面积为；（2）在所给方格纸中，以BC为斜边画出直角△BCD，使点D位于△ABC外部的格点上，且∠BDC=90°；连接AD，请直接写出直线AD和直线CD所夹锐角的正切值．23．（8分）小玲初中就要毕业了，她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，她通过采集数据后，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出该班的总人数；（2）请你把图（一）、图（二）的统计图补充完整；（3）如果小玲所在年级共有600名学生，请你估计全年级想就读职高的学生人数．24．（8分）如图．在菱形ABCD中，BC边的中垂线EF交AD边于F，G是CD中点．（1）求证：EG=FG；（2）若△DFG为等腰三角形，求∠D的度数．25．（10分）艾琳服装店10月份以每套1200元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额是28000元，进入11月份搞促销活动，每件让利100元，这样11月份的销售额比10月份增加了11000元，销售量是10月份的1.5倍．（1）求每件羽绒服的标价是多少元？（2）进入12月份，该服装店决定把剩余的羽绒服九折甩货，全部卖掉，这批羽绒服总获利不少于9940元，问这批羽绒服至少购进多少件？26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作⊙O的直径CD，连接BD．（1）求证：∠BDC=2∠ABD；（2）连接OA，求证：OA∥BD；（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交AC于F，当F 为AC的中点时，若DE=4，求OF的长．27．（10分）如图，抛物线y=﹣（x+1）（x﹣2k）（k＞0）交x轴于A、B（A左B右），交y轴于点C，点D在第一象限抛物线的图象上，且∠ABD=45°，△BCD 的面积为．（1）求抛物线解析式；（2）点P为第一象限抛物线的图象上一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH 交BD于E．把△PAH沿PH翻折，点A落在BH边上F点，设PF交BD于G，若EG=BG，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，设PF交抛物线于N，连接AN，Q在线段AN上，若∠PQG=2∠APQ．求点Q的坐标．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市道外区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分．1．（3分）﹣2的倒数是（）A．2B．C．﹣2D．﹣【解答】解：﹣2的倒数是﹣．故选：D．2．（3分）下列计算正确的是（）A．（a4）3=a7B．a6÷a3=a2C．（2a）3=6a3D．a•a3=a4【解答】解：A、原式=a12，错误；B、原式=a3，错误；C、原式=8a3，错误；D、原式=a4，正确，故选：D．3．（3分）下列动物图片中，如果不考虑颜色，大致是轴对称图形的是（）A．三脚猫B．金丝猫C．金狮子D．东北虎【解答】解：A、三脚猫不是轴对称图形，故本选项错误；B、金丝猫不是轴对称图形，故本选项错误；C、金狮子不是轴对称图形，故本选项错误；D、东北虎是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．4．（3分）若双曲线y=的图象在第一、三象限，则k的取值范围为（）A．k＞0B．k＜0C．k＞1D．k＜1【解答】解：∵函数y=的图象在第一、三象限内，∴1﹣k＞0，解得k＜1，故选：D．5．（3分）如图所示的几何体是由9个小正方体组合而成的，它的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：C．6．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B 到点C上升的高度h是（）A．m B．4m C．4m D．8m【解答】解：过C作CE⊥AB于E点．在Rt△CBE中，由三角函数的定义可知CE=BC•sin30°=8×=4m．故选：B．7．（3分）如图，在▱ABCD中，G为BC延长线的一点，连结AG交对角线BD于E，交CD于F，下面结论错误的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△AED∽△GEB，△ADF∽△GCF∽△GBA，△ABE∽△FDE，∴，故选：B．8．（3分）红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂九、十月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．50（1+x）2=72B．50（1﹣x）2=72C．72（1﹣x）2=50D．50×2（1+x）=72【解答】解：设平均每月增长的百分率为x，根据题意，得50（1+x）2=72，故选：A．9．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为（）A．2.5B．3C．D．2【解答】解：如图，连接BD，交EF于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD，Rt△ABD中，BD==2∴DO=，由折叠可得，∠BFO=∠DFO，由AD∥BC可得，∠DFO=∠BGO，∴∠BFO=∠BGO，∴BF=BG，即△BFG是等腰三角形，∴BD平分FG，设BF=DF=x，则AE=4﹣x，在Rt△ABE中，（4﹣x）2+22=x2，解得x=，即DF=，∴Rt△DOF中，OF==，∴FG=2FO=．故选：C．10．（3分）王卉同学从家出发沿笔直的公路去晨练，他离开家的距离y（米）与时间x（分）的函数关系图象如图所示，下列结论正确的个数是（）①整个行进过程花了30分钟；②整个行进过程共走了1000米；③前10分钟的速度越来越快；④在途中停下来休息了5分钟；⑤返回时速度为100米/分．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵当y=0时，x=0或x=30，∴整个行进过程花了30分钟，①正确；②观察函数图象可知，y的最大值为1000，∵1000×2=2000（米），∴整个行进过程共走了2000米，②错误；③∵当0≤x≤10时，函数图象为线段，∴前10分钟为匀速运动，③错误；④∵15﹣10=5（分钟），∴在途中停下来休息了5分钟，④正确；⑤∵1000÷（30﹣20）=100（米/分），∴返回时速度为100米/分，⑤正确．综上所述：正确的结论有①④⑤．故选：C．二、填空题：每小题3分，共30分．11．（3分）我国国土面积约是9600000km2，用科学记数法表示为9.60×106 km2（保留三个有效数字）．【解答】解：9 600 000km2=9.60×106km2．12．（3分）计算=．【解答】解：﹣=﹣=3﹣2=．故答案为：．13．（3分）因式分解：x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：原式=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），故答案为：x（x+1）（x﹣1）14．（3分）函数中自变量x的取值范围是x＞1．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1．故答案为：x＞1．15．（3分）圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，那么该圆锥的母线长为15cm．【解答】解：圆锥的底面周长=2π×5=10πcm，设圆锥的母线长为R，则：=10π，解得R=15．故答案为：15cm．16．（3分）不等式组的解集是2≤x＜4．【解答】解：，∵解不等式①得：x＜4，解不等式②得：x≥2，∴不等式组的解集为2≤x＜4，故答案为：2≤x＜4．17．（3分）2022年冬奥会将在北京召开，某场馆建设由甲乙两个工程队完成，甲单独做要30个月完成，乙单独做要60个月完成，则甲乙两队合作20个月完成这项工程．【解答】解：设甲乙两队合作x个月完成这项工程，根据题意得：（+）x=1，解得：x=20．故答案为：20．18．（3分）不透明的袋子中，装有4个白球，5个黑球和若干个红球，它们除颜色外其它都相同．若从袋子中随机摸取1个球是红球的概率为，则袋子中红球的个数为3．【解答】解：（4+5）÷（1﹣）﹣（4+5）=9÷﹣9=12﹣9=3（个）∴袋子中红球的个数为3．故答案为：3．19．（3分）△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠BAC=80°，∠DAE=10°，则∠BAD的度数为30°或50°．【解答】解：①当AC＞AB时，∵AE是角平分线，∠BAC=80°，∴∠BAE=∠BAC=40°．∵∠DAE=10°，∴∠BAD=40°﹣10°=30°．②当AB＞AC时，同法可得∠BAD=50°故答案为：30°或50°．20．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在△ABC内，DB=DC，连接AD并延长交BC于F，且AD=BC，若DE=3，BE=5，则CE的长为8．【解答】解：如图作DH⊥BC于H，设AD=BC=x．∵DH⊥BC，∠ACB=90°，DB=DC，∴∠DHB=∠ACB=90°，BH=HC=，∴DH∥AC，∴=，∴=，解得x=11或0（舍弃），∴BC=11，∴EC=BC﹣BE=11﹣3=8，故答案为8．三、解答题：21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分．21．（7分）先化简，再求值：（﹣）÷（），其中x=2sin60°+2tan45°．【解答】解：原式=•=•=，当x=2sin60°+2tan45°=2×+2=2+时，原式==．22．（7分）如图，在6×9的方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB两个端点都在小正方形的顶点上．（1）在所给方格纸中，画出直角△ABC，使点C在格点上，且△ABC的面积为；（2）在所给方格纸中，以BC为斜边画出直角△BCD，使点D位于△ABC外部的格点上，且∠BDC=90°；连接AD，请直接写出直线AD和直线CD所夹锐角的正切值．【解答】解：（1）△ABC为等腰直角三角形；（2）AD平分∠BDC，tan45°=1．23．（8分）小玲初中就要毕业了，她就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，她通过采集数据后，绘制了两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求出该班的总人数；（2）请你把图（一）、图（二）的统计图补充完整；（3）如果小玲所在年级共有600名学生，请你估计全年级想就读职高的学生人数．【解答】解：（1）25÷50%=50（人）；（2分）（2）职高频数为50﹣25﹣5=20，如图；（3）600×40%=240（人）．24．（8分）如图．在菱形ABCD中，BC边的中垂线EF交AD边于F，G是CD中点．（1）求证：EG=FG；（2）若△DFG为等腰三角形，求∠D的度数．【解答】（1）证明：如图1中，延长FH交BC的延长线于M/∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BM，∴∠DFH=∠M，在△FDH和△MCH中，‘，∴△FDH≌△MCH，∴FH=HM，∵FE⊥BC，∴∠FEM=90°，∴EH=FH=HM，∴EH=FH．（2）解：如图2中，①当FD=FH时，设∠M=∠DFH=x，∵BE=EC，CH=DH，BC=CD，∴EC=CH，∴∠CEH=∠CHE，∵HE=HM，∴∠CEH=∠CHE=∠M=x，∴∠HCM=∠ECH+∠EHC=2x=∠D=∠FHD，∵∠DFH+∠D+∠FHD=180°，∴x+2x+2x=180°，∴5x=180°，∴x=36°，∴∠D=72°．②当∠D=90°时，易知DF=DH，△DEF是等腰直角三角形，综上所述，当△DFH是等腰三角形时，∠D=72°或90°．25．（10分）艾琳服装店10月份以每套1200元的进价购进一批羽绒服，当月以标价销售，销售额是28000元，进入11月份搞促销活动，每件让利100元，这样11月份的销售额比10月份增加了11000元，销售量是10月份的1.5倍．（1）求每件羽绒服的标价是多少元？（2）进入12月份，该服装店决定把剩余的羽绒服九折甩货，全部卖掉，这批羽绒服总获利不少于9940元，问这批羽绒服至少购进多少件？【解答】解：（1）设每件羽绒服的标价为x元，则10月份售出件，根据题意得：=×1.5，解得：x=1400，经检验x=1400是原方程的解，答：每件羽绒服的标价为1400元．（2）设这批羽绒服购进a件，10月份售出28000÷1400=20（件），11月份售出20×1.5=30（件）根据题意得：28000+（11000+28000）+1400×0.9（a﹣20﹣30）﹣1200a≥9940解得：a≥99，所以a至少是99，答：这批羽绒服至少购进99件．26．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，过点C作⊙O的直径CD，连接BD．（1）求证：∠BDC=2∠ABD；（2）连接OA，求证：OA∥BD；（3）在（2）的条件下，过点D作DE⊥AB，垂足为E，延长DE交AC于F，当F 为AC的中点时，若DE=4，求OF的长．【解答】（1）证明：如图1中，连接OA，∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BAC=2∠ACD，∵∠BDC=∠BAC，∠ABD=∠ACD，∴∠BDC=2∠ABD．（2）证明：如图2中，由（1）可知，∠BAC=∠CAO=∠ACO，∵∠DBA=∠ACO，∴∠DBA=∠BAO，∴OA∥BD．（3）解：如图3中，连接AD，OA与DF交于等K，设OF=a，∵OA=OC，AF=CF，∴FO⊥AC，∴∠AFO=∠AEK=90°，∵∠AKE+∠EAK=90°，∠AOF+∠OAF=90°，∴∠AKD=∠AOF，∵∠AKE=∠OKF，∴∠AOF=∠FKO，∴OF=FK=a，∵CD是直径，∴∠DAC=∠OFC=90°，∴AD∥OF，AD=2OF=2a，∴∠DAO=∠AOF=∠AKE，∴DA=DK=2a，∵∠ADE=∠ADF，∠AED=∠DAF，∴△DAE∽△DFA，∴=，∴=，∴a=3，∴OF=3．27．（10分）如图，抛物线y=﹣（x+1）（x﹣2k）（k＞0）交x轴于A、B（A左B右），交y轴于点C，点D在第一象限抛物线的图象上，且∠ABD=45°，△BCD 的面积为．（1）求抛物线解析式；（2）点P为第一象限抛物线的图象上一点，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH 交BD于E．把△PAH沿PH翻折，点A落在BH边上F点，设PF交BD于G，若EG=BG，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，设PF交抛物线于N，连接AN，Q在线段AN上，若∠PQG=2∠APQ．求点Q的坐标．【解答】解：（1）如图1，在y=﹣（x+1）（x﹣2k），当x=0时，y=k，所以C（0，k），当y=0时，x=﹣1，或x=2k，所以A（﹣1，0），B（2k，0），设BD交y轴于E，所以E（0，2k），设D点坐标为[x，﹣（x+1）（x﹣2k）]tan∠ABD=tan45°==（x+1）=1，∴x=1∴D（1，2k﹣1）S△BCD=S△BCE﹣S△DCE=k（2k﹣1）=，解得k1=3，k2=﹣（舍）∴抛物线解析式为：y=﹣（x+1）（x﹣6）；（2）如图2，作GW⊥AB于W，∵P点在抛物线上，∴设P[m，﹣（m+1）（m﹣6）]则t an∠PAH===﹣（m﹣6），因G是BE中点，则GW=HW=（6﹣m），所以WF=WB﹣BF=m﹣2tan∠PFA====﹣（m﹣6），因m≠6，解得m=2，∴P（2，6）；（3）如图3，延长GH、PA交于点L，过L作LM⊥x轴于点M，∴∠LMA=90°由（2）可求G（4，2）∴直线PG解析式为：y=﹣2x+10，与抛物线联立求得N点坐标为（7，4）tan∠NAB=，∵tan∠PAB=2，∴∠PAN=90°．∠PQA=90°﹣∠APQ，∵∠PQG=2∠APQ，∴∠AQL=90°﹣∠APQ．在△APQ和△ALQ中，∴△APQ≌△ALQ（ASA）∴AP=AL．在△PHA和△LMA中，，∴△PHA≌△LMA（AAS）∴AM=AH=3 LM=PH=6，∴L（﹣4，6），直线GL解析式为：y=x﹣2 直线AN解析式为：y=﹣x﹣，联立方程组，解得Q（1，﹣1）．。
人教版数学高一第二章点,直线,平面之间的位置关系单元测试精选(含答案)2
【答案】A
15．如图，在三棱柱 ABC－A′B′C′中，点 E、F、H、K 分别为 AC′、CB′、A′B、B′C′
的中点，G 为△ABC 的重心，从 K、H、G、B′中取一点作为 P，使得该三棱柱恰有 2
条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为 ( )
A．K
B．H
C．G
D．B′
【来源】人教 A 版高中数学必修二第 2 章 章末综合测评 3
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
【来源】人教 A 版高中数学必修二第二章 章末检测卷
【答案】C
19．如图，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，AB 与α、β
试卷第 5页，总 17页
所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影长分别是 m 和 n，若 a＞b，则 ( )
【来源】2013-2014 学年福建省清流一中高一下学期第二次阶段考数学试卷（带解析) 【答案】①②
30．如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， M，N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点， 若 B1MN 是直角，则 C1MN ________.
试卷第 8页，总 17页
【来源】人教 A 版 2017-2018 学年必修二第 2 章 章末综合测评 1 数学试题 【答案】90°
29．如图，将边长为1的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使得平面 ADC 平面 ABC ， 在折起后形成的三棱锥 D ABC 中，给出下列三个命题： ① DBC 是等边三角形； ② AC BD ； ③三棱锥 D ABC 的体积是 2 .
6
其中正确命题的序号是* * * ．（写出所有正确命题的序号）
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陕西省咸阳市实验中学2016-2017学年高二下学期期末检测数学(理)试题 (word版含答案)
2016-2017学年度第二学期高二期末检测数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.2. 设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.163. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点（，）；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数5. 过点O（1，0）作函数f（x）＝e x的切线，则切线方程为（）A. y＝e2（x－1）B. y＝e（x－1）C. y＝e2（x－1）或y＝e（x－1）D. y＝x －16. 随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，P），且E（ξ）＝300，D（ξ）＝200，则等于（）A. 3200B. 2700C. 1350D. 12007. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.8. 如图，AB∩α＝B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB＝45°，则点P在平面α内的轨迹是（）A. 双曲线的一支B. 抛物线的一部分C. 圆D. 椭圆9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 30011. 设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A. B. 2 C. 1 D. 条件不够，不能确定12. 已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数的单调递减区间是（）A. （－∞，－2）B. （－∞，1）C. （－2，4）D. （1，＋∞）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题．把答案直接填在题中的相应横线上．）13. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为____________14. 连续掷一枚质地均匀的骰子4次，设事件A＝“恰有2次正面朝上的点数为3的倍数”，则P（A）＝________．15. 已知,则的值等于________.16. 已知函数，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含的项．18. 设正项数列的前项和为，且，(1)求，并猜想数列的通项公式(2)用数学归纳法证明你的猜想．19. 某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、，比较、的大小（直接写出结果，不写过程）；（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X，求X的分布列和期望；（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求抽到乙班同学不及格的概率．20. 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F 是PC的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）若底面ABCD为正方形，，求二面角C—AF—D大小．.21. 已知函数（a＜0）．（Ⅰ）当a＝－3时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；参考答案：1【答案】C2【答案】C3【答案】D4【答案】B5【答案】A6【答案】B7【答案】B8【答案】D9【答案】B10【答案】A11【答案】C12【答案】A13【答案】14【答案】15【答案】16【答案】17.解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C (2)42＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)T k＋1＝C (2)6－k k＝(－1)k26－k Cx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.18.解：(1)当时，，∴或(舍,).当时，，∴．当时，，∴．猜想：.(2)证明：①当时，显然成立．②假设时，成立，则当时，,即∴.由①、②可知，，.19.解：（Ⅰ）由茎叶图可得．（Ⅱ）由题可知X取值为0，1，2．，，，所以X的分布列为：所以．（Ⅲ）由茎叶图可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．设事件A＝“从两班这20名同学中各抽取一人，已知有人及格”，事件B＝“从两班这20名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”．则．20解：（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD＝O，连结OE，∵四边形ABCD为矩形，∴O是BD的中点，∵点E是棱PD的中点，∴PB∥EO，又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC．（Ⅱ）由题可知AB，AD，AP两两垂直，则分别以、、的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系．明确平面DAF的一个法向量为，利用二面角公式求角.设由可得AP＝AB，于是可令AP＝AB＝AD＝2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，1）设平面CAF的一个法向量为．由于，所以，解得x＝－1，所以．因为y轴平面DAF，所以可设平面DAF的一个法向量为．由于，所以，解得z＝－1，所以．故．所以二面角C—AF—D的大小为60°．点睛：立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的平行问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线PB与EO平行,再推证PB∥平面AEC即可.关于第二问中的二面角的余弦值的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,探求两个平面的法向量,然后运用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值21.解（Ⅰ）∵a＝－3，∴，故令f′（x）＜0，解得－3＜x＜－2或x＞0，即所求的单调递减区间为（－3，－2）和（0，＋∞）（Ⅱ）∵（x＞a）令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a＋1（1）当a＋1＞0，即－1＜a＜0时，f（x）在（a，0）和（a＋1，＋∞）上为减函数，在（0，a＋1）上为增函数．由于f（0）＝aln（－a）＞0，当x→a时，f（x）→＋∞．当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，此时函数f（x）有且仅有一个零点．即当－1＜a＜0对，f（x）有且仅有一个零点；（2）当a＝－1时，，∵，∴f（x）在（a，＋∞）单调递减，又当x→－1时，f（x）→＋∞．当x→＋∞时，f（x）→－∞，故函数f（x）有且仅有一个零点；（3）当a＋1＜0即a＜－1时，f（x）在（a，a＋1）和（0，＋∞）上为减函数，在（a＋1，0）上为增函数．又f（0）＝aln（－a）＜0，当x→a时，f（x）→＋∞，当x→＋∞时，f （x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，此时函数f（x）有且仅有一个零点；综上所述，所求的范围是a＜0．。
河北省衡水市高一数学下学期期末试卷 理(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．93．在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60° B．120°C．30° D．150°4．已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．805．已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．246．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．1627．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣39．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．2010．数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．11．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形12．△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为．14．若数列{a n}满足，则a2017=．15．已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4=．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17．在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a2﹣b2）=2accosB+bc（1）求A（2）D为边BC上一点，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值X围．2016-2017学年某某省某某市安平中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题只有一个正确选项．共12个小题，每题5分，共60分．）1．下列数列中不是等差数列的为（）A．6，6，6，6，6 B．﹣2，﹣1，0，1，2 C．5，8，11，14 D．0，1，3，6，10．【考点】83：等差数列．【分析】根据等差数列的定义，对所给的各个数列进行判断，从而得出结论．【解答】解：A，6，6，6，6，6常数列，公差为0；B，﹣2，﹣1，0，1，2公差为1；C，5，8，11，14公差为3；D，数列0，1，3，6，10的第二项减去第一项等于1，第三项减去第二项等于2，故此数列不是等差数列．故选：D．2．已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】8F：等差数列的性质．【分析】由等差中项的性质，利用已知条件，能求出m，n，由此能求出m和n的等差中项．【解答】解：∵m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，∴，解得m=4，n=2，∴m和n的等差中项===3．故选：B．3．在△A BC中内角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2=b2+c2﹣bc，则角A=（）A．60° B．120°C．30° D．150°【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cosA的值，结合X围A∈（0°，180°），利用特殊角的三角函数值即可得解A的值．【解答】解：在△A BC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴可得：b2+c2﹣a2=bc，∴cosA===，∵A∈（0°，180°），故选：A．4．已知等差数列{a n}中，a2=2，d=2，则S10=（）A．200 B．100 C．90 D．80【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式，可得首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，d=2，a1+d=2，解得a1=0，则S10=10a1+×10×9d=0+45×2=90．故选：C．5．已知{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，则S3=（）A．12 B．16 C．18 D．24【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】推导出a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，由等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3．【解答】解：∵{a n}是等比数列，其中|q|＜1，且a3+a4=2，a2a5=﹣8，∴a3a4=a2a5=﹣8，∴a3，a4是方程x2﹣2x﹣8=0的两个根，|a3|＞|a4|，解方程，得a3=4，a4=﹣2，∴，解得，∴S3===12．6．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和．是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，则此数列第20项为（）A．180 B．200 C．128 D．162【考点】81：数列的概念及简单表示法．【分析】0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．即可得出．【解答】解：由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：a2n=2n2．则此数列第20项=2×102=200．故选：B．7．定义为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”．若已知正数数列{a n}的前n项的“均倒数”为，又b n=，则+++…+=（）A．B．C．D．【考点】8E：数列的求和．【分析】直接利用给出的定义得到=，整理得到S n=2n2+n．分n=1和n ≥2求出数列{a n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a n}的通项公式可求；再利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：由已知定义，得到=，∴a1+a2+…+a n=n（2n+1）=S n，即S n=2n2+n．当n=1时，a1=S1=3．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2n2+n）﹣[2（n﹣1）2+（n﹣1）]=4n﹣1．当n=1时也成立，∴a n=4n﹣1；∵b n==n，∴==﹣，∴+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴+++…+=，故选：C8．在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，则•=（）A．B．﹣ C．3 D．﹣3【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，把已知等式及cosB的值代入求出ac的值，原式利用平面向量的数量积运算法则变形，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵在△ABC中，b2=ac，且a+c=3，cosB=，∴由余弦定理得：cosB=====，即ac=2，则•=﹣cacosB=﹣．故选：B．9．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（）海里．A．10B．20C．10D．20【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．故选：A．10．数列{a n}满足，则a n=（）A．B．C．D．【考点】8H：数列递推式．【分析】利用数列递推关系即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a1+3a2+…+3n﹣2a n﹣1=，∴3n﹣1a n=，可得a n=．n=1时，a1=，上式也成立．则a n=．故选：B．11．在△ABC中，若sin（A+B﹣C）=sin（A﹣B+C），则△ABC必是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形【考点】HX：解三角形．【分析】结合三角形的内角和公式可得A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，代入已知sin（A+B﹣C）=sin （A﹣B+C）化简可得，sin2C=sin2B，由于0＜2B＜π，0＜2C＜π从而可得2B=2C或2B+2C=π，从而可求【解答】解：∵A+B=π﹣C，A+C=π﹣B，∴sin（A+B﹣C）=sin（π﹣2C）=sin2Csin（A﹣B+C）=sin（π﹣2B）=sin2B，则sin2B=sin2C，B=C或2B=π﹣2C，即．所以△ABC为等腰或直角三角形．故选C12．△ABC外接圆半径为R，且2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，则角C=（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】HR：余弦定理．【分析】先根据正弦定理把2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB中的角转换成边可得a，b和c的关系式，再代入余弦定理求得cosC的值，进而可得C的值．【解答】解：△ABC中，由2R（sin2A﹣sin2C）=（a﹣b）sinB，根据正弦定理得a2﹣c2=（a﹣b）b=ab﹣b2，∴cosC==，∴角C的大小为30°，故选A．二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分．）13．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120°．【考点】HR：余弦定理．【分析】直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和，求解最大角与最小角之和．【解答】解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则，所以由余弦定理可知cosθ==，所以7所对的角为60°．所以三角形的最大角与最小角之和为：120°．故答案为：120°．14．若数列{a n}满足，则a2017= 2 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a n+3=a n，利用周期性即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=2，a n=1﹣，可得a2=1﹣=，a3=1﹣2=﹣1，a4=1﹣（﹣1）=2a5=1﹣=，…，∴a n+3=a n，数列的周期为3．∴a2017=a672×3+1=a1=2．故答案为：215．已知正项等比数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n（n∈N*），且，则S4= 15 ．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】由题意先求出公比，再根据前n项和公式计算即可．【解答】解：正项等比数列{a n}中，a1=1，且，∴1﹣=，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∴S4==15，故答案为：15．16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=．【考点】HX：解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．三、解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）17．在△ABC中，a，b，c分别为A、B、C的对边，且满足2（a2﹣b2）=2accosB+bc （1）求A（2）D为边BC上一点，CD=3BD，∠DAC=90°，求tanB．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）将2（a2﹣b2）=2accosB+bc化解结合余弦定理可得答案．（2）因为∠DAC=，所以AD=CD•sinC，∠DAB=．利用正弦定理即可求解．【解答】解：（1）由题意2accosB=a2+c2﹣b2，∴2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．整理得a2=b2+c2+bc，由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：bc=﹣2bccosA∴cosA=﹣，∵0＜A＜π∴A=．（Ⅱ）∵∠DAC=，∴AD=CD•sinC，∠DAB=．在△ABD中，有，又∵CD=3BD，∴3sinC=2sinB，由C=﹣B，得cosB﹣sinB=2sinB，整理得：tanB=．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）是否存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n，若不存在，请说明理由．【考点】8D：等比关系的确定；81：数列的概念及简单表示法．【分析】（1）分别令n=1，2，3，依次计算a1，a2，a3的值；（2）假设存在常数λ，使得{a n+λ}为等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），从而可求得λ，根据等比数列的通项公式得出a n+λ，从而得出a n．【解答】解：（1）当n=1时，S1=a1=2a1﹣3，解得a1=3，当n=2时，S2=a1+a2=2a2﹣6，解得a2=9，当n=3时，S3=a1+a2+a3=2a3﹣9，解得a3=21．（2）假设{a n+λ}是等比数列，则（a2+λ）2=（a1+λ）（a3+λ），即（9+λ）2=（3+λ）（21+λ），解得λ=3．∴{a n+3}的首项为a1+3=6，公比为=2．∴a n+3=6×2n﹣1，∴a n=6×2n﹣1﹣3．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，且n+1=1+S n对一切正整数n恒成立．（1）试求当a1为何值时，数列{a n}是等比数列，并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列的前n项和T n取得最大值．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）由已知数列递推式可得a n+1=2a n，再由数列{a n}是等比数列求得首项，并求出数列通项公式；（2）把数列{a n}的通项公式代入数列，可得数列是递减数列，可知当n=9时，数列的项为正数，n=10时，数列的项为负数，则答案可求．【解答】解：（1）由a n+1=1+S n得：当n≥2时，a n=1+S n﹣1，两式相减得：a n+1=2a n，∵数列{a n}是等比数列，∴a2=2a1，又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．得：；（2），可知数列是一个递减数列，∴，由此可知当n=9时，数列的前项和T n取最大值．20．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=．（1）求AB的长；（2）求cos（A﹣）的值．【考点】HX：解三角形；HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理，即可求AB的长；（2）求出cosA、sinA，利用两角差的余弦公式求cos（A﹣）的值．【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=，∴sinB=，∵，∴AB==5；（2）cosA=﹣cos（C+B）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣．∵A为三角形的内角，∴sinA=，∴cos（A﹣）=cosA+sinA=．21．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设=a n+b n，求数列{}的前n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b+c=2，求a的取值X围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简可得，由0＜B+C＜π，可求，进而可求A的值．（Ⅱ）根据余弦定理，得a2=（b﹣1）2+3，又b+c=2，可求X围0＜b＜2，进而可求a的取值X围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得，化简得，整理得，即，由于0＜B+C＜π，则，所以．（Ⅱ）根据余弦定理，得=b2+c2+bc=b2+（2﹣b）2+b（2﹣b）=b2﹣2b+4=（b﹣1）2+3．又由b+c=2，知0＜b＜2，可得3≤a2＜4，所以a的取值X围是．。
吉林省德惠市实验中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷Word版含答案
吉林省德惠市实验中学高一上第一次月考数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（每小题5分，共50分）1. 一个非空集合A 中的元素a 满足：a N ∈，且4a A -∈，则满足条件的集合A 的个数有（ ）A. 6B. 7 C . 8 D. 52. 已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，则函数(2)f x +的定义域和值域分别是 （ ）A. []0,1，[]1,2B. []2,3，[]3,4C. []2,1--，[]1,2D. []1,2-，[]3,4 3. 函数2()f x x =对于任意的,x y R ∈都有( )A.()()()f x y f x f y +=B. ()()()f xy f x f y =+C.()()()f xy f x f y =D. ()()()f x y f x f y +=+ 4．函数y =）A ．(0,)+∞B ．1(0,]2C ．1[,)2+∞ D ．(2,2)- 5. 若函数f (x )满足11f x x =++，则函数)(x f 的表达式是（ ）A. 2xB. 21x + C. 22x - D.21x -6. 已知函数212x y x ⎧+=⎨-⎩(0)(0)x x ≤>，那么使函数值为5的x 的值是（ ）A ．-2B ．2或52-C ． 2或-2D ．2或-2或52- 7．已知函数)(x f 的定义域为{}0x R x ∈≠，且对任意非零实数,x y 都满足()()()f x y f x f y =+，则（ ）A ．(1)0f =且)(x f 为偶函数B ．(1)0f -=且)(x f 为奇函数C ．)(x f 为增函数且为奇函数D ．)(x f 为增函数且为偶函数 8．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式()2()0f x f x x+-<的解集为（ ） A.(,2)(0,2)-∞- B.(,2)(2,)-∞-+∞ C. (2,0)(0,2)- D.(2,0)(2,)-+∞9. 已知函数2()(4)3x mf x m x m m -+⎧=⎨-++--⎩,0,0x x ≥<，若对任意的实数1212,()x x x x ≠都有1212()()0f x f x x x -<-，则实数m 的取值范围是（ ）A.(4,)-+∞B.(,1)(3,)-∞-+∞C. (,1][3,)-∞-+∞D. (4,1][3,)--+∞10. 已知函数102,010()16,102x xf x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，若实数a 、b 、c 满足：a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则abca b+的取值范围是（ ） A.(10,12) B.(25,30) C.24(4,)5D.(25,)+∞二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共25分）.11. 已知集合{1,1}A =-，则集合{},B a b a b A =-∈的真子集的个数有 个. 12. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x R ∈都有(4)()(2)f x f x f +=+，若(1)2f =，则(6)(3)f f +-= .13. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动得人数为 . 14.已知函数()f x =1a ≠）. （1）若()f x 在2x =处有意义，则实数a 的取值范围是 ； （2）若()f x 在区间(0,1)上是减函数，则实数a 的取值范围是 .15. 已知函数222,()(4)1,x b f x x a a x +⎧=⎨+-+⎩0x x ≥<，其中,a b R ∈. 若对任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数2x （12x x ≠），使得21()()f x f x =成立，则a b +的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共75分).16. （本小题满分12分）已知函数2()411f x x x =-++.（1）去绝对值，把函数()f x 写成分段函数的形式，并作出其图象； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）求函数()f x 的最小值.17. （本小题满分12分）设常数a R ∈，集合{}{}(1)()0,1A x x x a B x x a =--≥=≥-. （1）若0A B ∈，求a 的取值范围； （2）若A B R =，求a 的取值范围.18. （本小题满分12分）设二次函数()f x 同时满足下列条件：①(0)8f =；②(2)f x -为偶函数；③关于x 的方程()4f x =有两个不等实根12,x x，且12||x x -=. （1）求函数()f x 的表达式；（2)当∈x [－2，2]时，kx x f x g -=)()(是单调函数，求实数k 的取值范围．19. (本小题满分12分)已知()f x 为R 上的奇函数，且0x >时22()(2)5f x x a x a =-++-+（其中a 为实常数）.（1）求(0)f 的值；（2）求0x <时()f x 的解析式；（3）若()f x 在区间(0,2]上的最大值为2，求a 的值.20. （本小题满分13分）已知函数22()1x f x x =+.（1）证明对任意实数x ，都有()()f x f x =，说明()f x 在(0,)+∞上的单调性并证明．．之； （2）记(1)(2)(3)(4)(100)A f f f f f =+++++，1111(1)()()()()234100B f f f f f =+++++，求A B +的值：（3）若实数12,x x 满足12()()1f x f x +>. 求证：121x x >.21. （本小题满分14分）已知偶函数．．．()f x 对任意12,x x R ∈，恒有121212()()()21f x x f x f x x x +=+++. （1）求(0),(1),(2)f f f 的值； （2）求()f x 的解析式；（3）是否存在实数a ，使得不等式2()()12f x af x -+<对任意的实数(1,2)x ∈都成立？若不存在，说明理由；若存在，求实数a 的取值范围.参考答案一、BCCCD ，AACDB二、11、7 12、2 13、1214、（1）3(,1)(1,]2-∞；（2）(,0)(1,3]-∞ 15、[1,5] 三、16. 解：（1）2243(1)()45(1)x x x f x x x x ⎧--≥-⎪=⎨++<-⎪⎩22(2)7(1)(2)1(1)x x x x ⎧--≥-⎪=⎨++<-⎪⎩ （2分） 其图象如右图所示。
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高一下学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷上作答无效。
2.请将选择题答案填涂在机读卡上，非选择题答案填写在第II 卷答题纸上。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试题卷共23题, 全卷满分150分。
考试用时120分钟。
第I 卷（选择题，共70分）一、选择题：本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足2025(1)1z i i +⋅=-，则z 的虚部为（ ） A.iB.1-C.i -D.12.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） A.系统抽样 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法3.平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（ ） A.255B.45 C. 55 D. 154.如图是一个由正四棱锥P ﹣A 1B 1C 1D 1和正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1构成的组合体，正四棱锥的侧棱长为6，BB 1为正四棱锥高的4倍.当该组合体的体积最大时，点P 到正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1外接球表面的最小距离是（ ） A. 6243- B. 6(32)- C. 6(21)-D. 6(31)-5.已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2b a ac =+，则sin cos cos a Ab A a B-的取值范围是（ ）A.20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D.13,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ 6.已知平面α、平面γ、平面β、直线a 以及直线b ，则下列命题说法错误的是（ ） A. 若αα⊥b a ,//，则b a ⊥ B. 若b a =⋂=⋂γβγαβα,,//，则b a //C. 若αβα⊥a ,//，则β⊥aD. 若γβγα⊥⊥,，则βα⊥a ,// 7.平行四边形ABCD 中，4AB =，3AD =，060=∠BAD ，Q 为CD 中点，点Р在对角线BD1上，且BD BP λ=，若BQ AP ⊥，则=λ（ ） A.14B.12C.23D.348.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，60ABC =∠︒，12AA AB ==，1BC =，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为（ ）A.1010B.31020C.31010 D. 10209.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.1现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被1分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执1勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A.15B.25C.35 D. 4510.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前470年~公1元前410年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以AB为直径构造半圆O ，C 为弧AB 的中点，D 为线段AC 的中点， 再以AC 为直径构造半圆D ，则由曲线AEC 和曲线AFC 所围成 的图形为月牙形，在图形ABCE 内任取一点，则该点在月牙形内的概率为（ ）A.112+πB.3+π C. 2+πD. 11+π11.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为80︒，P 为α，β外一定点，过点P 的一条直线与α和β所1成的角都是30，则这样的直线有且仅有（ ）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12.在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=-，11则1tan 2tan()C B C +-的最小值为（ ）B. 2C. 1D. 13.6(1)(1)ax x -+的展开式中，3x 项的系数为-10，则实数a 的值为（ ） A.23B. 2C. －2D. 23-14.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点(－1,0)的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A. 80,11⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 110,8⎛⎫⎪⎝⎭C. 80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题，共80分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.15.若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.16.6(12)(2x -的展开式中2x 的系数为________.（用数字作答）17.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖儒.如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，其三视图是三个全等的等腰直角三角形，则异面直线AC 与BD 所成的角的余弦值为______.18.已知函数()||||1x x f x e =+，()()2,02,0f x xg x x x a x ⎧≤=⎨-+>⎩，且()10g =，则关于x 的方程()()10g g x t --=实根个数的判断正确的是_________.①当2t <-时，方程()()10g g x t --=没有相异实根②当110t e-+<<或2t =-时，方程()()10g g x t --=有1个相异实根 ③当111t e <<+时，方程()()10g g x t --=有2个相异实根④当111t e -<<-+或01t ≤＜或11t e=+时，方程()()10g g x t --=有4个相异实根三、解答题：共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19.（本题满分12分）在①cos 13sin b B a A+=，②2sin tan b A a B =，③()()sin sin sin a c A c A B b B -++=这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若______. （1）求角B ；（2）若4a c +=，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积. 20.（本题满分12分）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业 加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障 抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管 理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,， [)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图. （1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口1罩，质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个1口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为2的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加1A 、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n ()*2,n n N ≥∈个该型号口罩构成.假1定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为2nπ，2cosn nπ，记甲、乙两人抢购1成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y .①求X 的分布列及数学期望()E X ；②求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.21.（本题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角 形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点. （1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 22.（本题满分12分）（1）已知()2112n x +-的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为1:4，求n 的值.（2）记()212210122112n n n x a a x a x a x +++-=+++⋅⋅⋅+，*n N ∈，①求0121n a a a +++⋅⋅⋅+；②设()2kk k a b =-，求和：()()01221123122k n b b b k b n b +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅+⋅⋅⋅++⋅.23.（本题满分12分）设,a b ∈R ，b 为常数，*,2n N n ∈≥，函数(),n f x x ax b x R =-+∈， （1）设3n =，①已知2,1a b ==，求函数f (x )的所有极值的和；②已知0a >，02b <<，函数f (x )在区间[0,1]上恒为非负数，求实数a 的最大值；并判断a 取最大值时函数()f x 在R 上的零点的个数；（2）求证：无论,a n 如何变化，只要函数()f x 同时存在极大值和极小值，那么所有这些极值的和1就是与,a n无关的常数.绝密★启用前 试卷类型A哈尔滨市第三中学2020—2021学年度第二学期期末考试 高一数学试卷参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。
高一数学下学期期中试卷(实验班,含解析)-人教版高一全册数学试题
2015-2016学年某某省某某市余姚中学高一（下）期中数学试卷（实验班）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．关于直线l：x+1=0，以下说法正确的是（）A．直线l倾斜角为0 B．直线l倾斜角不存在C．直线l斜率为0 D．直线l斜率不存在2．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4．在直角坐标系中，已知两点M（4，2），N（1，﹣3），沿x轴把直角坐标平面折成直二面角后，M，N两点的距离为（）A． B． C． D．5．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．46．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减 D．关于x先递减后递增8．正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[，]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值X围是（）A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，]二.填空题：本大题共7小题，共36分9．已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，则圆心C的坐标为；过点（3，5）的最短弦的长度为．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．11．已知x，y∈R且满足不等式组，当k=1时，不等式组所表示的平面区域的面积为，若目标函数z=3x+y的最大值为7，则k的值为．12．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于；点A坐标（p，q），曲线C方程：y=，直线l过A点，且和曲线C只有一个交点，则直线l的斜率取值X围为．13．已知三个球的半径R1，R2，R3满满足R1+R3=2R2，记它们的表面积分别为S1，S2，S3，若S1=1，S3=9，则S2=．14．已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b的最小值为．15．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．三.解答题：本大题共5小题，总共74分.16．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l过点P（2，3）且与圆M交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求直线l方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）为圆M上的点，求x02+y02的取值X围．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．18．设常数a∈R，函数f（x）=（a﹣x）|x|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，某某数m的取值X围．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，AE⊥平面CDE，，F 为线段DE上的一点．（Ⅰ）求证：平面AED⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF的长．20．已知数列{a n}中，a1=1，a2=，且a n+1=（n=2，3，4…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对一切n∈N*，有a k2＜．2015-2016学年某某省某某市余姚中学高一（下）期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．关于直线l：x+1=0，以下说法正确的是（）A．直线l倾斜角为0 B．直线l倾斜角不存在C．直线l斜率为0 D．直线l斜率不存在【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．【分析】根据直线方程判断即可．【解答】解：直线l：x+1=0，即x=﹣1，直线和x轴垂直，故直线l的斜率不存在，故选：D．2．设a，b，c分别是△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系是（）A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直【考点】正弦定理的应用；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】要寻求直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0的位置关系，只要先求两直线的斜率，然后由斜率的关系判断直线的位置即可．【解答】解：由题意可得直线sinA•x+ay+c=0的斜率，bx﹣sinB•y+sinC=0的斜率∵k1k2===﹣1则直线sinA•x+ay+c=0与bx﹣sinB•y+sinC=0垂直故选C．3．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，例如墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．4．在直角坐标系中，已知两点M（4，2），N（1，﹣3），沿x轴把直角坐标平面折成直二面角后，M，N两点的距离为（）A． B． C． D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】设一、二象限所在的半平面为α，三、四象限所在的半平面为β，可得α⊥β．作MC⊥x轴于点C，连结NC、MN，可得MC⊥平面β，Rt△MNC中算出直角边CM、之长，再利用勾股定理算出MN长，即得M，N两点的距离．【解答】解：过点M作MC⊥x轴于点C，连结NC、MN设一、二象限所在的半平面为α，三、四象限所在的半平面为β，∵α﹣l﹣β是直二面角，α∩β=l，MC⊥l∴MC⊥平面β∵C的坐标（4，0），得MC==3∴Rt△MNC中，MN===故选：C5．若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A．2 B．3 C．3 D．4【考点】两点间的距离公式；中点坐标公式．【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段AB的中点M到原点的距离的最小值为，求得答案．【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为x+y﹣6=0，∴M到原点的距离的最小值为d==3．故选C6．在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，若sinA、sinB、sinC依次成等比数列，则（）A．a，b，c依次成等差数列B．a，b，c依次成等比数列C．a，c，b依次成等差数列D．a，c，b依次成等比数列【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比中项的性质得：sin2B=sinAsinC，由正弦定理得b2=ac，则三边a，b，c 成等比数列．【解答】解：因为sinA、sinB、sinC依次成等比数列，所以sin2B=sinAsinC，由正弦定理得，b2=ac，所以三边a，b，c依次成等比数列，故选：B．7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减 D．关于x先递减后递增【考点】空间点、线、面的位置；棱锥的结构特征．【分析】由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；然后判断选项．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，PD=x，∠BPC=θ，∴可求得：AC=，AB=，PA=，PC=，BP=，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ==∴tan2θ=﹣1=﹣1=，∴tanθ==≤=（当且仅当x=时取等号）；所以f（x）关于x先递增后递减．故选：C．8．正四面体ABCD的棱长为2，棱AD与平面α所成的角θ∈[，]，且顶点A在平面α内，B，C，D均在平面α外，则棱BC的中点E到平面α的距离的取值X围是（）A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，]【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取平面DEA⊥平面α位置考虑，在△ADE中，求出cos∠DAE，再考虑特殊位置，可得结论．【解答】解：取平面DEA⊥平面α位置考虑即可．如图所示，在△ADE中，AD=2，DE=AE=，∴cos∠DAE==，棱AD与平面α所成的角为时，sin∠EAN=sin（﹣∠DAE）==，∴EN=（）=或sin∠EAN=sin（+∠DAE）=∴EN=（）=∴棱BC的中点E到平面α的距离的取值X围是[，]．故选：C．二.填空题：本大题共7小题，共36分9．已知圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，则圆心C的坐标为（3，4）；过点（3，5）的最短弦的长度为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，能求出圆C的圆心C的坐标和半径r，再求出（3，5），C（3，4）两点间的距离d，从而得到过点（3，5）的最短弦的长度为：2．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，∴圆C的圆心C（3，4），圆心的半径r==5，∵过点（3，5）、C（3，4）的直线的斜率不存在，∴过点（3，5）的最短弦的斜率k=0，（3，5），C（3，4）两点间的距离d=1，∴过点（3，5）的最短弦的长度为：2=2=4．故答案为：（3，4），．10．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3，表面积为cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个半球去掉后得到的几何体．∴该几何体的体积==cm3，表面积=++=cm2．故答案分别为：；．11．已知x，y∈R且满足不等式组，当k=1时，不等式组所表示的平面区域的面积为，若目标函数z=3x+y的最大值为7，则k的值为 2 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到k的值．然后即可得到结论．【解答】解：若k=1，则不等式组对应的平面区域如图：则A（1，﹣1），B（1，3），由得，即C（，），不等式组所表示的平面区域的面积为S=×4×（﹣1）=2×=，由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点C时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，为3x+y=7由，解得，即A（2，1），此时A在kx﹣y﹣k﹣1=0上，则2k﹣1﹣k﹣1=0，得k=2．故答案为：；2；12．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于9 ；点A 坐标（p，q），曲线C方程：y=，直线l过A点，且和曲线C只有一个交点，则直线l的斜率取值X围为{}∪（，1] ．【考点】二次函数的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．求出直线与圆相切时，直线的斜率，过（﹣1，0）、（1，0）直线的斜率，即可得出结论．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：a=4，b=1；解②得：a=1，b=4．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．点A坐标（5，4），直线的方程设为y﹣4=k（x﹣5），即kx﹣y﹣5k+4=0曲线C方程：y=表示一个在x轴上方的圆的一半，圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1．由圆心到直线的距离d==1，可得k=，过（﹣1，0）、（5，4）直线的斜率为=，过（1，0）、（5，4）直线的斜率为1，∴直线l的斜率取值X围为{}∪（，1]．故答案为：9，{}∪（，1]．13．已知三个球的半径R1，R2，R3满满足R1+R3=2R2，记它们的表面积分别为S1，S2，S3，若S1=1，S3=9，则S2= 4 ．【考点】球的体积和表面积．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+R3=2R2，得出+=2，代入计算可得结论．【解答】解：因为S1=4πR12，所以R1=，同理：R2=，R3=，由R1+R3=2R2，得+=2，因为S1=1，S3=9，所以2=1+3，所以S2=4．故答案为：4．14．已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），则u=2a+b的最小值为3﹣2．【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，由a＜b＜1且f（a）=f（b），可求得（a﹣1）2+（b﹣1）2=8，a＜﹣1，0＜b＜1，利用直线和圆的位置关系，结合线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出f（x）的图象如图，由图可知，f（x）的对称轴为：x=1．∵a＜b＜1且f（a）=f（b），∴a＜﹣1，﹣1＜b＜1，则|a2﹣2a﹣3|=|b2﹣2b﹣3|，即a2﹣2a﹣3=﹣（b2﹣2b﹣3），则（a﹣1）2+（b﹣1）2=8，a＜﹣1，﹣1＜b＜1，则（a，b）的轨迹是圆上的一个部分，（黑色部分），由u=2a+b得b=﹣2a+u，平移b=﹣2a+u，当直线b=﹣2a+u和圆在第三象限相切时，截距最小，此时u最小，此时圆心（1，1）到直线2a+b﹣u=0的距离d=，即|u﹣3|=2，得u=3﹣2或u=3+2（舍），故答案为：3﹣215．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题：A．M中所有直线均经过一个定点B．存在定点P不在M中的任一条直线上C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是BC （写出所有真命题的代号）．【考点】命题的真假判断与应用；过两条直线交点的直线系方程．【分析】验证发现，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．M中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出，B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C．对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D．M中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出．【解答】解：因为点（0，2）到直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圆x2+（y﹣2）2=1的切线的集合，A．由于直线系表示圆x2+（y﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A不正确；B．存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点M（0，2）即符合条件，故B正确；C．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n（n≥3），存在正n 边形，其所有边均在M中的直线上，故C正确；D．如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等，故本命题不正确．故答案为：BC．三.解答题：本大题共5小题，总共74分.16．已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，直线l过点P（2，3）且与圆M交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求直线l方程；（Ⅱ）设Q（x0，y0）为圆M上的点，求x02+y02的取值X围．【考点】圆方程的综合应用；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线l的方程．（Ⅱ）利用 x02+y02的几何意义．求解圆心与坐标原点的距离，转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当直线L的斜率存在时，设直线L的方程为y﹣3=k（x﹣2），即kx﹣y+3﹣2k=0，作MC⊥AB于C，在直角三角形MBC中，BC=，MB=2，所以MC=1，又因为MC==1，解得k=，所以直线方程为3x﹣4y+6=0．当直线斜率不存在时，其方程为x=2，圆心到此直线的距离也为1，所以也符合题意，综上可知，直线L的方程为3x﹣4y+6=0或x=2．（Ⅱ）圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，Q（x0，y0）为圆M上的点，x02+y02的几何意义是圆的上的点与坐标原点距离的平方，圆心到原点的距离为：，圆的半径为2，x02+y02的取值X围：[0，]，即[0，6+4]．17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc﹣8）cosA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又△ABC不是直角三角形，解得bc=4，又b+c=5，联立即可解得b，c的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直角三角形，∴bc=4，又∵b+c=5，∴解得或…（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，∴，∴，所以．∴△ABC面积的最大值是，当时取到…18．设常数a∈R，函数f（x）=（a﹣x）|x|．（Ⅰ）若a=1，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）是奇函数，且关于x的不等式mx2+m＞f[f（x）]对所有的x∈[﹣2，2]恒成立，某某数m的取值X围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）a=1时，便可得出，从而可根据二次函数的单调性，即可分别求出x≥0和x＜0时f（x）的单调区间，从而得出f（x）的单调区间；（Ⅱ）可由f（x）为奇函数得到a=0，从而得到f（x）=﹣x|x|，进一步求得f[f（x）]=x3|x|，从而可由mx2+m＞f[f（x）]得到对于任意x∈[﹣2，2]恒成立，可由x∈[﹣2，2]得出，这样便可得出实数m的取值X围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，；当x≥0时，，∴f（x）在内是增函数，在内是减函数；当x＜0时，，∴f（x）在（﹣∞，0）内是减函数；综上可知，f（x）的单调增区间为，单调减区间为（﹣∞，0），；（Ⅱ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）；即（a+1）•1=﹣（a﹣1）•1；解得a=0；∴f（x）=﹣x|x|，f[f（x）]=x3|x|；∴mx2+m＞f[f（x）]=x3|x|，即对所有的x∈[﹣2，2]恒成立；∵x∈[﹣2，2]，∴x2+1∈[1，5]；∴；∴；∴实数m的取值X围为．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=1，AE⊥平面CDE，，F 为线段DE上的一点．（Ⅰ）求证：平面AED⊥平面ABCD；（Ⅱ）若二面角E﹣BC﹣F与二面角F﹣BC﹣D的大小相等，求DF的长．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出AE⊥CD，AD⊥CD，从而CD⊥面AED，由此能证明平面AED⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD，BC的中点G，H，连结EG，GH，EH，过F作FM||EG交AD于M，过M作NM||HG 交BC于N，连结FN，推导出∠EHG就是二面角E﹣BC﹣D的平面角，∠FNM就是二面角F﹣BC﹣D的平面角，由此能求出DF的长．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥面CDE，CD⊂面CDE，∴AE⊥CD，又∴是矩形，∴AD⊥CD，∴CD⊥面AED，又∵CD⊂面ABCD，∴平面AED⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）取AD，BC的中点G，H，连结EG，GH，EH，过F作FM||EG交AD于M，过M作NM||HG交BC于N，连结FN，∵，∴且EG⊥AD，∵平面AED⊥平面ABCD，∴EG⊥面ABCD，GH⊥BC，∴EH⊥BC，∴∠EHG就是二面角E﹣BC﹣D的平面角，同理∠FNM就是二面角F﹣BC﹣D的平面角，由题意得∠EHG=2∠FNM，而，∴，∴，∴．20．已知数列{a n}中，a1=1，a2=，且a n+1=（n=2，3，4…）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：对一切n∈N*，有a k2＜．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）当n≥2时， =，从而=﹣（），进而得到=﹣（1﹣），由此能求出a n=，n∈N*．（2）当k≥2时， =，由此利用裂项求和法能证明对一切n∈N*，有a k2＜．【解答】（1）解：∵a1=1，a2=，且a n+1=（n=2，3，4…），∴当n≥2时， =，两边同时除以n，得，∴=﹣（），∴=﹣=﹣（1﹣）∴=﹣（1﹣），n≥2，∴，∴a n=，n≥2，当n=1时，上式成立，∴a n=，n∈N*．（2）证明：当k≥2时， =，∴当n≥2时，=1+＜1+ [（）+（）+…+（）]=1+＜1+=，又n=1时，，∴对一切n∈N*，有a k2＜．。
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2015-2016学年黑龙江省实验中学高一（下）期末数学试卷一.选择题（12×5分=60分）1．（5分）在等差数列{a n}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为（）A．9 B．12 C．16 D．172．（5分）设数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n等于（）A．B．C．D．n2+n3．（5分）已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β4．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．5．（5分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2 B．C．2 D．46．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B． C．D．7．（5分）已知△ABC，若点M及实数λ满足：++=且+=λ，则λ的值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．48．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m10．（5分）设向量，满足：|=，||=1，•=﹣，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°11．（5分）若a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A．ab≤1 B．ab≥1 C．a2+b2≥4 D．a2+b2≤212．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．2二.填空题（12×5分=60分）13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，0），若向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，则实数λ=．14．（5分）某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C 的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为米．15．（5分）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则三棱锥的体积与其外接球体积之比是．16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是．三.解答题（共70分）17．（10分）某观测站C在城A的南20°西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40°东，在C处测得距C为31千米的公路上B处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A城？18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：平面A1DC⊥平面ABC；（2）求证：BC1∥平面A1DC．19．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2（+），a3+a4=32（+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n2+log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n ＜．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：EM∥平面PAB；（2）求证：PC⊥AE；（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．22．（12分）在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+sinC=sinB．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．2015-2016学年黑龙江省实验中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（12×5分=60分）1．（5分）在等差数列{a n}中，若S4=1，S8=4，则a17+a18+a19+a20的值为（）A．9 B．12 C．16 D．17【解答】解：设首项为a1，公差为d．由，得S4=4a1+6d=1，S8=8a1+28d=4，解得：，d=．∴a17+a18+a19+a20=S20﹣S16=4a1+70d=4×+70×=9．故选：A．2．（5分）设数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1=1且a1，a3，a6成等比数列，则{a n}的前n项和S n等于（）A．B．C．D．n2+n【解答】解：设公差为d，∵a1=1且a1，a3，a6成等比数列，∴（1+2d）2=1×（1+5d），d=．故{a n}的前n项和S n =n×1+=，故选：A．3．（5分）已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β【解答】解：若m∥n，m⊥α，由线面垂直的第二判定定理，我们可得n⊥α，故A正确；若m∥α，α∩β=n，m与n可能平行也可能异面，故B错误；若m⊥α，m⊥β，则根据垂直于同一直线的两个平面平行，则α∥β，故C正确；若m⊥α，m⊂β，则根据线面垂直的判定定理，则α⊥β，故D正确．故选：B．4．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=42=+BC2﹣2×4×BC ×cos30°，解得BC=4，或BC=8．当BC=4时，AC=BC，∠B=∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∠C=120°，△ABC的面积为•AB•BC•sinB=•4•4•=4．当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8，故选：C．5．（5分）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥面A1B1C1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为（）A．2 B．C．2 D．4【解答】解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是2的等边三角形中，底边上的高是，∴侧视图的面积是2故选：A．6．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC的面积为，则C=（）A．B． C．D．【解答】解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．7．（5分）已知△ABC，若点M及实数λ满足：++=且+=λ，则λ的值为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．4【解答】解：△ABC，点M满足：++=，根据三角形重心的性质可得M为△ABC的重心，则=（+）又∵+=λ，∴λ=3．故选：C．8．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：•cos＜＞=•===，故选：A．9．（5分）如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC=50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°，则A、B两点的距离为（）A．m B．m C．m D．m【解答】解：由正弦定理得，∴AB===50，∴A，B两点的距离为50m，故选：D．10．（5分）设向量，满足：|=，||=1，•=﹣，则向量与的夹角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：∵||=，||=1；∴•=||×||cosθ=×1×cosθ=﹣，∴cosθ=﹣；又∵θ∈[0°，180°]，∴θ=150°．故选：D．11．（5分）若a≥0，b≥0，且a+b=2，则（）A．ab≤1 B．ab≥1 C．a2+b2≥4 D．a2+b2≤2【解答】解：∵a≥0，b≥0，且a+b=2，∴a+b≥2，即≤1，即0≤ab≤1，故A正确，B错误；a2+b2=（a+b）2﹣2ab=4﹣2ab∈[2，4]，故C错误，D错误；故选：A．12．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（）A．2 B．2 C．4 D．2【解答】解：∵lg2x+lg8y=lg2，∴lg（2x•8y）=lg2，∴2x+3y=2，∴x+3y=1．∵x＞0，y＞0，∴==2+=4，当且仅当x=3y=时取等号．故选：C．二.填空题（12×5分=60分）13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，0），若向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，则实数λ=﹣1．【解答】解：因为向量=（1，2），=（2，0），所以向量λ+=（λ+2，2λ），又向量λ+与向量=（1，﹣2）共线，所以﹣2（λ+2）=2λ，解得：λ=﹣1；故答案为：﹣1．14．（5分）某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C 的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为120+40米．【解答】解：过A作水平线交BC于F点，如图所示Rt△ABF中，BF=AD=60米，∠FAB=15°∴tan15°=，得AF==60（2+）米Rt△ACF中，∠CAF=30°∴tan30°=，可得CF=AFtan30°=60（2+）×=（60+40）米∴BC=BF+CF=60+（60+40）=（120+40）米故答案为：120+4015．（5分）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则三棱锥的体积与其外接球体积之比是．【解答】解：设三棱锥S﹣ABC，则SA，SB，SC两两垂直，SA=SB=SC=，∴SA⊥平面SBC，=V A﹣SBC===．∴V S﹣ABC∵SA=SB=SC=，且SA，SB，SC两两垂直，∴AB=BC=AC=，即△ABC为等边三角形．设△ABC的中心为O，连接OS，则OS⊥平面ABC，设三棱锥外接球的球心为M，则M在直线OS上，∵OC=×=，∴OS==1，设外接圆半径为r，则MS=MC=r，OM=r﹣1，∵OM2+OC2=MC2，∴（r﹣1）2+2=r2，解得r=．==．∴V外接球∴=．故答案为：．16．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的体积是，表面积是+1+．【解答】解：由三视图可知：该几何体是如图所示的三棱锥，其中侧面PAC⊥面ABC，△PAC是边长为2的正三角形，△ABC是边AC=2，边AC上的高OB=1，PO=为底面上的高．•PO=×2×1×=，于是此几何体的体积V=S△ABC几何体的表面积S=S △PAC +S △ABC +2S △PAB =××2+×2×1+2×××=+1+． 故答案为：，+1+．三.解答题（共70分）17．（10分）某观测站C 在城A 的南20°西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40°东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处，有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问这人还需走多少千米到达A 城？【解答】解：根据题意得，BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚． 设∠ACD=α，∠CDB=β． 在△CDB 中，由余弦定理得，于是．sinα=sin （β﹣20°﹣40°）=sin （β﹣60°）=． 在△ACD中，由正弦定理得．答：此人还得走15千米到达A 城．18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：平面A1DC⊥平面ABC；（2）求证：BC1∥平面A1DC．【解答】（1）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB=60°，∴△A1AB为正三角形．…（2分）∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．…（4分）∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1DC．…（6分）∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．…（8分）（2）证明：连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点．…（10分）在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．…（12分）∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC．…（14分）19．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2（+），a3+a4=32（+）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n2+log2a n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）∵，，又因为数列{a n}各项均为正数．∴a1a2=2，a3a4=32，∴，∴q=2又a1a2=a1•a1q=2，∴a1=1∴（2）由（1）可知，∴b n=a n2+log2a n，∴b n=4n﹣1+n﹣1，前n项和S n=（1+4+42+…+4n﹣1）+（0+1+2+…+n﹣1）=+n（n﹣1）=+n（n﹣1）．20．（12分）在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n ＜．【解答】解：（Ⅰ）∵a3=，S3=，∴当q=1时，S3=3a1=，满足条件，∴q=1．当q≠1时，a1q2=，=，解得a1=6，q=﹣．综上可得：a n=或a n=6•（﹣）n﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n=log2=log2=log222n=2n，则C n===（﹣），即有C1+C2+C3+…C n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．21．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA ⊥平面ABCD，E为PD的中点，M为AD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：EM∥平面PAB；（2）求证：PC⊥AE；（3）求三棱锥P﹣ACE的体积V．【解答】（1）证明：∵E为PD的中点，M为AD的中点，∴在△PAD的中，ME∥PA…（1分）又PA⊂平面PAB，ME⊄平面PAB…（2分）则EM∥平面PAB，…（3分）（2）证明：在Rt△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，∴BC=2，AC=4．取PC中点F，连AF，EF，∵PA=AC=4，∴PC⊥AF．∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∠ACD=90°，即CD⊥AC，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC，∴EF⊥PC，∴PC⊥平面AEF，∴PC⊥AE．（3）解：由（1）知AC=4，EF=CD，且EF⊥平面PAC．在Rt△ACD中，AC=4，∠CAD=60°，∴CD=4，得EF=2．则V=V E==﹣PAC22．（12分）在△ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sinAcosC+sinC=sinB．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC周长的最大值及相应的b，c值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，sinAcosC+sinC=sinB．∴sinC=cosAsinC，又sinC≠0，∴cosA=，A∈（0，π），∴A=．（II）由正弦定理可得：====，∴b=sinB，c=sinC，∴△ABC周长=2+b+c=2+（sinC+sinB）=2+[sinC+sin]=2+（sinC +cosC+sinC ）=2+4=2+4sin ， ∵C ∈，∴C+∈，∴sin ∈（0，1]，∴C==B ，即b=c=2时，△ABC 周长取得最大值6．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为MFEB2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。