2015-2016学年河南省郑州市高一下学期期末考试数学试题(图片版)
河南省郑州市高一下学期期末考试数学试题 扫描版含答
2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案一、 选择题BCBBB CAACB CB二、 填空题 13. 13 14. 231- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52. ∴cos θ＝a·b |a||b |＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆbx+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597, ……………2分 ∴ˆb =5593487767280736-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,第4组的频率为0.04×5=0.2,第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,第4组的2位同学为B 1,B 2,第5组的1位同学为C 1.则从六位同学中抽两位同学有(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2πϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6πϕ=-……………2分OP 每秒钟内所转过的角为52.606ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin() 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin()26,66z t ππ=-+=……………9分 得sin()1,66t ππ-=,4,662t t πππ-==令得故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩分由（2）、（3）有：21144b =+，解得：b =520∆=->，……………4分又sin cos )04πθθθ+=+>，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++==-+-因为……………8分且sin cos )04πθθθ-=->，sin cos θθ∴-=10分sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分1cos(2)1cos 2322.:()()221[cos(2)cos 2]23132cos 2)22)3x x f x x x x x x πωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ………………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω>∴==由题意可知的最小正周期为且即())3()122f x x f ππ∴=+∴=………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即min max 7[,0]|()|1,12()1()1,x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分max min 750,2126331sin(2)33)343(),()42x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤≤+≤==-因为所以所以所以即 …………………………………………………………………10分7147[1,].24m m -≤≤--即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。
河南省郑州市高一数学下学期期末考试试卷(含解析)
2014-2015学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角﹣终边相同的一个角是( )A．B．C．D．2．平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于( )A．4B．﹣4C．﹣1D．23．半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( )m．A．B．C．60D．14．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )A．80B．40C．60D．205．若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是( )A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件C．A与B不是互斥事件D．以上都不对6．在某次测量中，得到的A样本数据为81，82，82，84，84，85，86，86，86，若B样本数据恰好是A样本数据分别加2后所得的数据，则A、B两个样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．标准差D．中位数7．已知向量=（0，2），b=（1，），则向量在上的投影为( )A．3B．C．﹣D．﹣38．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是( )A．﹣1B．1C．2D．9．如图，在5个并排的正方形图案中作∠AO n B（n=1，2，3，4，5，6），则这6个角中恰为135°的有( )个．A．0B．1C．2D．410．已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为( ) A．B．C．D．无法确定11．已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（0，），β∈（﹣，0），则sinα=( ) A．B．C．﹣D．﹣12．如图，a∈（0，π），且a≠，当∠xOy=e时，定义平面坐标系xOy为a仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：、分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若=x+y，则记为=（x，y），若在仿射坐标系中，已知=（m，n），=（s，t），下列结论中不正确的是( )A．若=，则m=s，n=tB．若，则mt﹣ns=0C．若⊥，则ms+nt=0D．若m=t=1，n=s=2，且与的夹角，则a=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第__________象限角．14．102，238的最大公约数是__________．15．将八进制数123（8）化为十进制数，结果为__________．16．sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）17．某商场为一种跃进商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68（Ⅰ）按照上述数据，求四归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单位仍然服从（Ⅰ）中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）18．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象．19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．20．如图，在平面内将四块直角三角板接在一起，已知∠ABC=45°，∠BCD=60°，记=，=．（Ⅰ）试用，表示向量；（Ⅱ）若||=1，求．21．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，恒坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=t在区间[0，]上所有根之和．22．某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上（不含顶点），且∠EOF=90°．（≈1.4，≈1.7）（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．2014-2015学年河南省郑州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．与角﹣终边相同的一个角是( )A．B．C．D．考点：终边相同的角．专题：计算题；三角函数的求值．分析：与﹣终边相同的角为2kπ﹣，k∈z，选择适当k值，得到选项．解答：解：与角﹣终边相同的一个角是﹣+2π=．故选：D．点评：本题考查终边相同的角的定义和表示方法，得到与﹣终边相同的角为2kπ﹣，k∈z，是解题的关键．2．平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于( )A．4B．﹣4C．﹣1D．2考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．解答：解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），且∥，∴1•x﹣（﹣2）•（﹣2）=0，解得x=4．故选：A．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．3．半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为( )m．A．B．C．60D．1考点：弧长公式．专题：计算题．分析：根据题意可以利用扇形弧长公式l扇形直接计算．解答：解：根据题意得出：60°=l扇形=1×=，半径为1，60°的圆心角所对弧的长度为．故选A．点评：此题主要考查了扇形弧长的计算，注意掌握扇形的弧长公式是解题关键．4．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为( )A．80B．40C．60D．20考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数．解答：解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，∴三年级要抽取的学生是×200=40，故选：B．点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．5．若P（A）+P（B）=1，则事件A与B的关系是( )A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件C．A与B不是互斥事件D．以上都不对考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：通过理解互斥与对立事件的概念，核对四个选项即可得到正确答案．解答：解：若是在同一试验下，由P（A）+P（B）=1，说明事件A与事件B一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P（A）+P（B）=1，但事件A和B也不见得对立，所以事件A与B的关系是不确定的．故选D．点评：本题考查了互斥事件与对立事件的概念，是基础的概念题．6．在某次测量中，得到的A样本数据为81，82，82，84， 84，85，86，86，86，若B样本数据恰好是A样本数据分别加2后所得的数据，则A、B两个样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．标准差D．中位数考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据样本数据的众数和平均数以及中位数和方差的概念，即可得出正确的结论．解答：解：设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=x i+2，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数都加上2，只有标准差不会发生变化．故选：C．点评：本题考查了众数、平均数、中位数、标准差的定义与应用问题，是基础题目．7．已知向量=（0，2），b=（1，），则向量在上的投影为( )A．3B．C．﹣D．﹣3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由两向量的坐标求出两向量夹角的余弦值，代入投影公式得答案．解答：解：由，，得cos=，∴向量在上的投影为．故选：A．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影的概念，是基础题．8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为﹣5，则输出的y值是( )A．﹣1B．1C．2D．考点：程序框图．专题：图表型．分析：框图输入框中首先输入x的值为﹣5，然后判断|x|与3的大小，|x|＞3，执行循环体，|x|＞3不成立时跳出循环，执行运算y=，然后输出y的值．解答：解：输入x的值为﹣5，判断|﹣5|＞3成立，执行x=|﹣5﹣3|=8；判断|8|＞3成立，执行x=|8﹣3|=5；判断|5|＞3成立，执行x=|5﹣3|=2；判断|2|＞3不成立，执行y=．所以输出的y值是﹣1．故选A．点评：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环体，不满足条件时算法结束，此题是基础题．9．如图，在5个并排的正方形图案中作∠AO n B（n=1，2，3，4，5，6），则这6个角中恰为135°的有( )个．A．0B．1C．2D．4考点：计数原理的应用．专题：计算题；排列组合．分析：设O n（x，1），∠O n AB=θ，∠O n BA=φ，作出图形，利用两角和的正切可求得tan（θ+φ）====1，从而可得答案．解答：解：设O n（x，1），∠O n AB=θ，∠O n BA=φ，则tanθ=，tanφ=，∵∠AO n B=135°，∴θ+φ=，∴tan（θ+φ）====1解得：x=3或x=4，依题意，n=x，即n=3或n=4．故选：C．点评：本题考查两角和的正切，设O n（x，1），∠O n AB=θ，∠O n BA=φ，求得tan（θ+φ）====1是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．10．已知实数x，y满足0≤x≤2π，|y|≤1则任意取期中的x，y使y＞cosx的概率为( ) A．B．C．D．无法确定考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出满足：“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域面积的大小，及0≤x≤2π，|y|≤1对应平面区域面积的大小，再将它们一块代入几何概型的计算公式解答．解答：解：0≤x≤2π，|y|≤1所对应的平面区域如下图中长方形所示，“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”对应平面区域如下图中蓝色阴影所示：根据余弦曲线的对称性可知，蓝色部分的面积为长方形面积的一半，故满足“0≤x≤2π，|y|≤1，且y＞cosx”的概率P==．故选A．点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）/N求解．11．已知cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，且α∈（0，），β∈（﹣，0），则sinα=( ) A．B．C．﹣D．﹣考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由α和β的范围求出α﹣β的范围，然后由cos（α﹣β）及sinβ的值，分别利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α﹣β）及cosβ的值，最后把所求式子中的角α变形为（α﹣β）+β，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解答：解：∵α∈（0，），β∈（﹣，0），∴α﹣β∈（0，π），又cos（α﹣β）=，sinβ=﹣，∴sin（α﹣β）==，cosβ==，则sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β）cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×（﹣）=．故选A点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．12．如图，a∈（0，π），且a≠，当∠xOy=e时，定义平面坐标系xOy为a仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：、分别为与x轴、y轴正向相同的单位向量，若=x+y，则记为=（x，y），若在仿射坐标系中，已知=（m，n），=（s，t），下列结论中不正确的是( )A．若=，则m=s，n=tB．若，则mt﹣ns=0C．若⊥，则ms+nt=0D．若m=t=1，n=s=2，且与的夹角，则a=考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据在仿射坐标系中斜坐标的定义，便可得到，然后由平面向量基本定理及共线向量基本定理，以及向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式即可判断每项结论的正误．解答：解：根据斜坐标的定义，；∴；A．若，根据平面向量基本定理得：m=s，n=t，∴该结论正确；B．若∥，则存在实数k，使，；∴；∴；∴mt﹣ns=0；∴该结论正确；C．若，则：=；；∴ms+nt≠0；∴该结论错误；D．若m=t=1，n=s=2，，的夹角为，则：；，，；∴；解得；∴；∴该结论正确．故选：C．点评：考查对仿射坐标系的理解，及对定义的斜坐标的理解，以及平面向量基本定理、共面向量基本定理，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若sinα＜0，且tanα＞0，则α是第三象限角．考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角；故当sinα＜0且tanα＞0时，α是第三象限角．解答：解：由于sinα＜0，故α可能是第三或第四象限角；由于tanα＞0，故α可能是第一或第三象限角．由于 sinα＜0 且tanα＞0，故α是第三象限角，故答案为：三．点评：本题考查象限角的定义，三角函数在各个象限中的符号，得到sinα＜0时，α是第三或第四象限角；tanα＞0时，α是第一或第三象限角，是解题的关键．14．102，238的最大公约数是34．考点：辗转相除法．专题：计算题．分析：利用“辗转相除法”即可得出．解答：解：∵238=102×2+34，102=34×3．故答案为：34．点评：本题考查了“辗转相除法”，属于基础题．15．将八进制数123（8）化为十进制数，结果为83．考点：进位制．专题：计算题；算法和程序框图．分析：利用累加权重法，即可将四进制数转化为十进制，从而得解．解答：解：由题意，123（4）=1×82+2×81+3×80=83，故答案为：83．点评：本题考查四进制与十进制之间的转化，熟练掌握四进制与十进制之间的转化法则是解题的关键，属于基本知识的考查．16．sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是sin2＞sin1＞sin3＞sin4．考点：正弦函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：根据正弦函数的图象和性质结合三角函数的诱导公式和函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵1是第一象限，2，3是第二象限，4是第三象限，∴sin4＜0，sin2＞sin3＞0，∵sin1=sin（π﹣1），且2＜π﹣1＜3，∴sin2＞sin（π﹣1）＞sin3，即sin2＞sin1＞sin3＞sin4，故答案为：sin2＞sin1＞sin3＞sin4点评：本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数的诱导公式以及正弦函数的单调性是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）17．某商场为一种跃进商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单位x（元）8 8.2 8.4 8.6 8.8 9销量y（件）90 84 83 80 75 68 （Ⅰ）按照上述数据，求四归直线方程=bx+a，其中b=﹣20，a=﹣b；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单位仍然服从（Ⅰ）中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）考点：线性回归方程；二次函数的性质．专题：概率与统计．分析：（I）计算平均数，利用b=﹣20，a=﹣b即可求得回归直线方程；（II）设工厂获得的利润为W元，利用利润=销售收入﹣成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大解答：解：（I）由于=（x1+x2+x3+x4+x5+x6）=8.5，=（y1+y2+y3+y4+y5+y6）=80．…所以a=﹣b=80+20×8.5=250，从而回归直线方程为=﹣20x+250．…（II）设商场获得的利润为W元，依题意得W=x（﹣20x+250）﹣7.5（﹣20x+250）=﹣20x2+400x﹣1875…当且仅当x=10时，W取得最大值．故当单价定为10元时，商场可获得最大利润．…点评：本题主要考查回归分析，考查二次函数，考查运算能力、应用意识，属于中档题．18．已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（）；（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[﹣，]上的图象．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据T=，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可．解答：解：（1）依题意得，T==π，解得ω=2，所以f（x）=sin（2x﹣），所以 f（π）=sin（2×﹣）=sin（π+）=﹣sin=﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：点评：本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组；第一组[13，14），第二组[14，15），…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|m﹣n|＞1”的概率．考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：（1）利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于14秒且小于16秒的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数．（2）按照（1）的方法求出成绩在[13，14）及在[17，18]的人数；通过列举得到m，n都在[13，14）间或都在[17，18]间或一个在[13，14）间一个在[17，18]间的方法数，三种情况的和为总基本事件的个数；分布在两段的情况数是事件“|m﹣n|＞1”包含的基本事件数；利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|＞1”的概率．解答：解：（1）由直方图知，成绩在[14，16）内的人数为：50×0.16+50×0.38=27（人），所以该班成绩良好的人数为27人、（2）由直方图知，成绩在[13，14）的人数为50×0.06=3人，设为为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08=4人，设为A、B、C、D．若m，n∈[13，14）时，有xy，xz，yz共3种情况；若m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况；若m，n分别在[13，14）和[17，18]内时，A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD有12种情况、所以，基本事件总数为3+6+12=21种，事件“|m﹣n|＞1”所包含的基本事件个数有12种、∴点评：本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查列举法求完成事件的方法数、考查古典概型的概率公式．20．如图，在平面内将四块直角三角板接在一起，已知∠ABC=45°，∠BCD=60°，记=，=．（Ⅰ）试用，表示向量；（Ⅱ）若||=1，求．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的三角形法则、共线定理即可得出；（Ⅱ）利用数量积的定义及其运算性质即可得出．解答：解：（Ⅰ），由题意可知，AC∥BD，BD=BC=．∴，则=，=；（Ⅱ）∵||=1，∴，，则==．点评：本题考查了向量共线定理、数量积运算及其性质，属于中档题．21．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，恒坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=t在区间[0，]上所有根之和．考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用倍角公式、和差公式及其三角函数的单调性即可得出；（Ⅱ）由图象变换可得到函数g（x）=，由，可得≤≤，由g（x）=0，可得=0，π，2π，3π．即可得出．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+2=cos2x+sin2x+3=+3．由≤，解得≤x≤kπ+（k∈Z）．∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．（Ⅱ）由题意，将图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位，可得到函数g（x）=，由，可得≤≤，由g（x）=0，可得=0，π，2π，3π．∴方程g（x）=t在区间[0，]上所有根之和==．点评：本题考查了三角函数的图象与性质、图象变换、函数的零点，考查了数形结合方法、计算能力，属于中档题．22．某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=100米，BC=50米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上（不含顶点），且∠EOF=90°．（≈1.4，≈1.7）（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）要将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，需把△OEF的三边分别用含有α的关系式来表示，而OE，OF，分别可以在Rt△OBE，Rt△OAF中求解，利用勾股定理可求EF，从而可求．（2）铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得l=，α∈[]，利用换元，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，从而转化为求函数在闭区间上的最小值．解答：解：（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，∴OE=在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，∴OF=．又∠EOF=90°，∴EF==，∴l=OE+OF+EF=．当点F在点D时，这时角α最小，此时α=；当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=．故此函数的定义域为[]；（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．由（1）得，l=，α∈[]，设sinα+cosα=t，则sinαcosα=，∴l==由t=sinα+cosα=sin（α+），又≤α+≤，得≥t≤，∴≤t﹣1≤﹣1，从而当α=，即BE=25时，l min=50（+1），所以当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为200000（+1）元．点评：本题主要考查了借助于三角函数解三角形在实际问题中的应用，考查了利用数学知识解决实际问题的能力，及推理运算的能力．。
河南省郑州市2015-2016学年高二数学下学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．03．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．904．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．405．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．637．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．28．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．189．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×2201412．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= ．14．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是．15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时， =（最后结果用m，n表示）三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 22．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．2015-2016学年河南省郑州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题所给的四个答案中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z+3i﹣3=6﹣3i，则z=（）A．9 B．3﹣6i C．﹣6i D．9﹣6i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接移向变形得答案．【解答】解：由z+3i﹣3=6﹣3i，得z=6﹣3i+3﹣3i=9﹣6i．故选：D．2．函数f（x）=2x+1在（1，2）内的平均变化率（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】变化的快慢与变化率．【分析】求出在区间（1，2）上的增量△y=f（2）﹣f（1），再利用平均变化率的公式，求出平均变化率．【解答】解：函数f（x）在区间（1，2）上的增量为：△y=f（2）﹣f（1）=2×2+1﹣3=2，所以f（x）在区间（1，2）上的平均变化率为：==2．故选：B．3．将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【考点】计数原理的应用．【分析】本题属于排列问题，全排即可．【解答】解：5本不同的数学用书，全排列，故有A55=120种，故选：C4．在2013年9月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某种商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y 11 10 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（）A．﹣24 B．35.6 C．40.5 D．40【考点】线性回归方程．【分析】先求出横标和纵标的平均数，根据a=y﹣bx，把所求的平均数和方程中出现的b的值代入，求出a的值，题目中给出公式，只要代入求解即可得到结果．【解答】解： ==10，==8，∵y=﹣3.2x+a，∴a=3.2x+y=3.2×10+8=40．故选D．5．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．6．设（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x6则|a1|+|a2|+…+|a6|的值是（）A．665 B．729 C．728 D．63【考点】二项式定理的应用．【分析】由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6，把x=﹣1，x=0代入已知式子计数可得结果．【解答】解：∵（2﹣x）6=a0+a1x+a2x+…+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=﹣1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6=（2+1）6=729，x=0时，a0=26=64．∴|a1|+|a2|+…+|a6|=665．故选：A．7．若x=2是函数f（x）=x（x﹣m）2的极大值点，则m的值为（）A．3 B．6 C．2或6 D．2【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意可知：求导，f′（2）=0，求得m的值，再分别利用函数极值的判断，求得m的值．【解答】解：f（x）=x（x﹣m）2=x3﹣2mx2+m2x，则f′（x）=3x2﹣4mx+m2，x=2是函数f（x）的极大值点，f′（2）=0，12﹣8m+m2=0，解得m=2或6，当m=2时，f（x）=x（x﹣2）2，f′（x）=3x2﹣8x+4，f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜，f′（x）＜0，解得：＜x＜2，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，），（2，+∞），单调递减区间为：（，2），∴x=是f（x）的极大值，x=2是f（x）的极小值；当m=6时，f（x）=x（x﹣6）2，f′（x）=3x2﹣24x+36，f′（x）＞0，解得：x＞6或x＜2，f′（x）＜0，解得：2＜x＜6，∴f（x）的单调递增区间为：（﹣∞，2），（6，+∞），单调递减区间为：（2，6），∴x=2是f（x）的极大值，x=6是f（x）的极小值；所以m=6，故答案选：B．8．由曲线y2=2x和直线y=x﹣4所围成的图形的面积（）A．21 B．16 C．20 D．18【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先求出曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标，从而得到积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后根据定积分的定义求出即可．【解答】解：由解得曲线y2=2x 和直线y=x﹣4的交点坐标为：（2，﹣2），（8，4）选择y为积分变量∴由曲线y2=2x 和直线y=x﹣4所围成的图形的面积S=（y+4﹣y2）=（y2+4y﹣y3）|﹣24=18，故选：D．9．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】因为第一次抽出正品，所以剩下的9件中有5件正品，所以第二次也摸到正品的概率是，据此解答即可．【解答】解：设“第一次摸出正品”为事件A，“第二次摸出正品”为事件B，则事件A和事件B相互独立，在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率为：P（B|A）===．故选：D．10．对于R上的可导函数f（x），若a＞b＞1且有（x﹣1）f′（x）≥0，则必有（）A．f（a）+f（b）＜2f（1）B．f（a）+f（b）≤2f（1）C．f（a）+f（b）≥2f（1）D．f（a）+f（b）＞2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由不等式，通过分类讨论可以得出f（x）的单调性，即可得出f（a），f（b），f （1）的大小关系．【解答】解：由（x﹣1）f′（x）≥0可以得知，若（x﹣1）f′（x）＞0，则有以下两种情况：①当x＞1时，有f′（x）＞0；②当x＜1时，有f′（x）＜0，∴可以得知当x＞1时，f（x）单调递增，当x＜1时，f（x）单调递减，∵a＞b＞1，∴f（a）＞f（b）＞f（1）∴f（a）+f（b）＞2f（1），而当（x﹣1）f′（x）=0时，可以得知，f（a）=f（b）=f（1），∴f（a）+f（b）=2f（1），综上，可得f（a）+f（b）≥2f（1），故选：C．11．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（）A．2017×22015B．2017×22014C．2016×22015D．2016×22014【考点】归纳推理．【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，故第1行的第一个数为：2×2﹣1，第2行的第一个数为：3×20，第3行的第一个数为：4×21，…第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，第2016行只有M，则M=（1+2016）•22014=2017×22014故选：B．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】构造函数g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=e x f（x）﹣e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）﹣e x=e x[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= 0.8413 ．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P（ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.841314．已知函数f（x）=+x+1有两个极值点，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．【解答】解：函数f（x）=+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）15．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36 种．【考点】排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．16．观察下列等式：+=1+++=12+++++=39…则当m＜n且m，n∈N时， = n2﹣m2（最后结果用m，n表示）【考点】归纳推理．【分析】通过观察，第一个式子为m=0，n=1．第二个式子为m=2，n=4．第三个式子为m=5，n=8，然后根据结果值和m，n的关系进行归纳得到结论．【解答】解：当m=0，n=1时，为第一个式子+=1，此时1=12﹣0，当m=2，n=4时，为第二个式子+++=12，此时12=42﹣22当m=5，n=8时，为第三个式子+++++=39，此时39，=82﹣52由归纳推理可知， =n2﹣m2．故答案为：n2﹣m2三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知（+）n展开式中的倒数第三项的系数为45．求：（1）含x5的项；（2）系数最大的项．【考点】二项式定理的应用．【分析】（1）由题意知=45，求得 n=10，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求得k的值，可得含x3的项．（2）本题即求二项式系数最大的项，利用通项公式求得结果．【解答】解：（1）由题意知=45，∴n=10，T k+1=•，令=5，得k=2．所以含x3的项为 T3=•x3=45x3．（2）系数最大的项，即二项式系数最大的项，即T6=•=252•．18．已知数列{a n}满足S n+a n=2n+1．（1）写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；（2）用数学归纳法证明所得的结论．【考点】数列递推式；数学归纳法．【分析】（1）取n=1，2，3，分别求出a1，a2，a3，然后仔细观察，总结规律，猜测a n的值．（2）用数学归纳法进行证明，①当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+a k+1+a k+1=2（k+1）+1，a k+1=2﹣，当n=k+1时，命题成立．故a n=2﹣都成立．【解答】解：（1）当n=1，时S1+a1=2a1=3∴a1=当n=2时，S2+a2=a1+a2+a2=5∴a2=，同样令n=3，则可求出a3=∴a1=，a2=，a3=猜测a n=2﹣（2）①由（1）已得当n=1时，命题成立；②假设n=k时，命题成立，即a k=2﹣，当n=k+1时，a1+a2+…+a k+2a k+1=2（k+1）+1，且a1+a2+…+a k=2k+1﹣a k∴2k+1﹣a k+2a k+1=2（k+1）+1=2k+3，∴2a k+1=2+2﹣，即a k+1=2﹣，即当n=k+1时，命题成立．根据①②得n∈N+，a n=2﹣都成立．19．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X 0 1 2 3PE（X）=3×=．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a） x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，求a，b的值；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（Ⅰ）先求导数：f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），再利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b等式解之，从而问题解决．（Ⅱ）根据题中条件：“函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，”等价于“导函数f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数”，由于导函数是一个二次函数，有两个根，故问题可以转化为到少有一根在区间（﹣1，1）内，先求两根，再由以上关系得到参数的不等式，解出两个不等式的解集，求其并集即可；【解答】解析：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）又，解得b=0，a=﹣3或a=1（Ⅱ）函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，等价于导函数f′（x）[是二次函数]，在（﹣1，1有实数根但无重根．∵f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=（x﹣a）[3x+（a+2）]，令f′（x）=0得两根分别为x=a与x=若a=即a=﹣时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，当两者不相等时即a≠﹣时有a∈（﹣1，1）或者∈（﹣1，1）解得a∈（﹣5，1）且a≠﹣综上得参数a的取值范围是（﹣5，﹣）∪（﹣，1）21．近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病，为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到如下的列联表．患心肺疾病不患心肺疾病合计男 5女10合计50已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为，（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（3）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望以及方差．下面的临界值表仅供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001K 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病的概率为，可得患心肺疾病的人数，即可得到列联表；（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．（3）在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ服从超几何分布，即可得到ξ的分布列、数学期望以及方差．【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到患心肺疾病生的概率为，可得患心肺疾病的为30人，故可得列联表补充如下患心肺疾病不患心肺疾病合计男20 5 25女10 15 25合计30 20 50（2）因为 K2=，即K2==，所以 K2≈8.333又 P（k2≥7.879）=0.005=0.5%，所以，我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．（3）现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行胃病的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，则ξ=0，1，2，3．故P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，则ξ的分布列：ξ0 1 2 3P则Eξ=1×+2×+3×=0.9，Dξ=×（0﹣0.9）2+×（1﹣0.9）2+×（2﹣0.9）2+×（3﹣0.9）2=0.4922．已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常数，a∈R．（1）讨论a=1时，函数f（x）的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+；（3）是否存在实数a使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=1时，求函数的定义域，然后利用导数求函数的极值和单调性．（2）利用（1）的结论，求函数f（x）的最小值以及g（x）的最大值，利用它们之间的关系证明不等式．（3）利用导数求函数的最小值，让最小值等于3，解参数a．【解答】解：（1）因为，所以当0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．当1＜x≤e时，f'（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．所以函数f（x）的极小值为f （1）=1．（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1．又，所以当0＜x＜e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增．所以g（x）的最大值为g（e）=，所以，所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．（3）假设存在实数a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，则，①当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值不是3．②当0时，f（x）在（0，]上单调递减，f（x）在（，e]上单调递增．所以f，满足条件．③当时，f（x）在（0，e]上单调递减，，（舍去），此时函数f（x）的最小值是不是3．综上可知存在实数a=e2，使f（x）的最小值是3．。
2015-2016学年河南省郑州市一中高一上学期期末数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年河南省郑州市一中高一上学期期末数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：153分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、（2015秋•郑州校级期末）设集合A={（x ，y ）|x 2+y 2≤|x|+|y|，x ，y ∈R}，则集合A 所表示图形的面积为（ ）A ．1+πB ．2C ．2+πD ．π2、（2015秋•郑州校级期末）方程=k （x ﹣1）+2有两个不等实根，则k 的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（，1]C ．（0，）D ．（，1]3、（2015•陕西模拟）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A （2，0），B （0，4），且AC=BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ）A ．x+2y+3=0B ．2x+y+3=0C ．x ﹣2y+3=0D ．2x ﹣y+3=04、（2015秋•郑州校级期末）函数f （x ）=log a （ax ﹣2）在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（0，2）C ．（0，）D ．（2，+∞）5、（2005•江西）在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ﹣AC ﹣D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π6、（2013•潼南县校级模拟）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小是（ ）A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°7、（2015秋•郑州校级期末）四面体ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若CD=2AB ，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°8、（2015秋•郑州校级期末）下列命题中正确的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 C ．由五个面围成的多面体一定是四棱锥 D ．棱台各侧棱的延长线交于一点9、（2015秋•郑州校级期末）若函数f （x ）=2ax 2﹣x ﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣1，1）D ．[0，1）10、（2015秋•郑州校级期末）已知a=log5，b=log 23，c=1，d=3﹣0.6，那么（ ）A ．a ＜c ＜b ＜dB ．a ＜d ＜c ＜bC ．a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜c ＜d ＜b11、（2015秋•郑州校级期末）下列函数中，在（﹣∞，1）内是增函数的是（ ）A ．y=1﹣x 3B ．y=x 2+xC ．y=D ．y=12、（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x 2≤x}，则M∩N=（） A ．{0} B ．{0，1} C ．{﹣1，1} D ．{﹣1，0，1}第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、（2015秋•郑州校级期末）圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．14、（2015秋•郑州校级期末）当x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．15、（2015秋•郑州校级期末）（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4= ．16、（2014•天津三模）一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为．三、解答题（题型注释）17、（2015秋•郑州校级期末）已知函数，其反函数为y=g（x）．（Ⅰ）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（Ⅲ）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2，m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．18、（2011•兴化市校级模拟）如图，已知圆心坐标为（，1）的圆M 与x 轴及直线y=x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x 轴及直线y=x 分别相切于C 、D 两点．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．19、（2015秋•郑州校级期末）如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰在CD 上，即A 1O ⊥平面DBC ．（Ⅰ）求证：BC ⊥A 1D ；（Ⅱ）求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ； （Ⅲ）求点C 到平面A 1BD 的距离．20、（2015秋•郑州校级期末）一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，（1）求每年砍伐面积的百分比；（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ （3）今后最多还能砍伐多少年？21、（2015秋•郑州校级期末）分别求出适合下列条件的直线方程： （Ⅰ）经过点a ＞2，t=2且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；（Ⅱ）经过直线2x+7y﹣4=0与7x﹣21y﹣1=0的交点，且和A（﹣3，1），B（5，7）等距离．22、（2015秋•郑州校级期末）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，集合B={x|x2+2x﹣8＞0}，集合C={x|x2﹣4ax+3a2＜0，a≠0}，（Ⅰ）求A∩（C R B）；（Ⅱ）若C⊇（A∩B），试确定实数a的取值范围．参考答案1、C2、D3、C4、D5、C6、B7、A8、D9、A10、B11、C12、B13、．14、（﹣∞，﹣5]．15、．16、17、（Ⅰ）m∈（1，+∞）；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在m，n满足条件．18、（1），；（2）19、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．20、（1）（2）5年．（3）今后最多还能砍伐15年21、（Ⅰ）直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．（Ⅱ）直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．22、（Ⅰ）（﹣3，2]；（Ⅱ）【解析】1、试题分析：根据不等式，分别讨论x，y的取值，转化为二元二次不等式组，结合圆的性质进行求解即可．解：若x≥0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤，若x≥0，y＜0，则不等式等价为x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤，若x≤0，y≤0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤，若x＜0，y≥0，则不等式等价为x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤，则对应的区域如图：在第一象限内圆心坐标为C（，），半径=，则三角形OAC的面积S==，圆的面积为×=π，则一个弓弧的面积S=π﹣，则在第一象限的面积S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+，则整个区域的面积S=4×（+）=2+π，故选：C考点：圆方程的综合应用；Venn图表达集合的关系及运算．2、试题分析：由题意可得，函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点，数形结合求得k的范围．解：方程=k（x﹣1）+2有两个不等实根，即函数y=的图象和直线y=k（x﹣1）+2有2个交点．而函数y=的图象是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及x轴上方的部分），直线y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k="0" 的斜率为k，且经过点M（1，2），当直线和半圆相切时，由=1，求得k=．当直线经过点A（﹣1，0）时，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．数形结合可得k的范围为（，1]，故选：D．考点：函数的零点与方程根的关系．3、试题分析：由于AC=BC，可得：△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，求出线段AB的垂直平分线，即可得出△ABC的欧拉线的方程．解：线段AB的中点为M（1，2），k AB=﹣2，∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：C．考点：待定系数法求直线方程．4、试题分析：由题意可得可得，由此解得a的范围．解：函数f（x）=log a（ax﹣2）在[1，3]上单调递增，可得，解得a＞2，故选：D．考点：复合函数的单调性．5、试题分析：球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，则V球=π×（）3=．故选C．考点：球的体积和表面积．6、试题分析：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，说明∠A1BO为A1B与平面BB1D1D 所成的角，然后求解即可．解：连接A1C1交B1D1于O，连接OB，因为B1D1⊥A1C1，A1C1⊥BB1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，所以∠A1BO为A1B与平面BB1D1D所成的角，设正方体棱长为1，所以A1O=，A1B=，sin∠A1BO=，∠A1BO=30°．故选B．考点：直线与平面所成的角．7、试题分析：取AD的中点G，连接EG、FG，由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG=，FG∥AB，且FG==．∵EF⊥AB，FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD，∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中，∵EG=1，GF=，EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．考点：异面直线及其所成的角．8、试题分析：根据棱柱、棱锥、棱台的几何特征，即可得出结论．解：有两个面平行，其余各面是相邻的公共边都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，故A错误；有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故B错误；由5个面成的多面体可能是四棱锥或三棱柱，故C不正确；拿一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，故棱台各侧棱的延长线交于一点，即D正确．考点：命题的真假判断与应用．9、试题分析：根据函数零点存在性定理，若函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则f（0）f（1）＜0，可得关于a的不等式，解不等式，即可求出a的范围．解：当△=0时，a=﹣，此时有一个零点x=﹣2，不在（0，1）上，故不成立．∵函数f（x）=2ax2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，∴f（0）f（1）＜0，即﹣1×（2a﹣1）＜0，解得，a＞1，故选A考点：函数零点的判定定理．10、试题分析：利用对数函数、指数数的性质求解．解：∵a=log5＜=﹣2，b=log23＞log22=1，c=1，0＜d=3﹣0.6＜30=1，∴a＜d＜c＜b．故选：B．考点：对数值大小的比较．11、试题分析：逐一判断函数的单调性，推出正确结果即可．解：y=1﹣x3函数在（﹣∞，1）内是减函数．y=x2+x对称轴为x=﹣，在（﹣∞，1）内不是增函数．y==﹣1，在（﹣∞，1）内是增函数，满足题意．y=，函数在（﹣∞，1）内是减函数．故选：C．考点：函数单调性的判断与证明．12、试题分析：求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={﹣1，0，1}，所以M∩N={0，1}．故选B．考点：交集及其运算．13、试题分析：由于圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣43）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，整理得：（x﹣3）2+y2=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣3）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C′（3，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即5k2﹣12k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值．故答案为：．考点：直线与圆的位置关系．14、试题分析：利用一元二次函数图象分析不等式在定区间上恒成立的条件，再求解即可．解：∵解：利用函数f（x）=x2+mx+4的图象，∵x∈（1，3）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，∴，即，解得m≤﹣5．∴m的取值范围是（﹣∞，﹣5]．故答案为：（﹣∞，﹣5]．考点：函数的最值及其几何意义．15、试题分析：直接利用对数运算法则化简求解即可．解：（log3）2﹣3+log0.25+（）﹣4=﹣4+1+4=．故答案为：．考点：对数的运算性质．16、试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的形状，及关键数据，代入棱锥体积公式，即可求出答案．解：由已知中的三视图可得，该几何体有一个半圆锥和一个四棱维组合而成，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2为正方形，他们的高均为则V=（+4）•=故答案为：考点：由三视图求面积、体积．17、试题分析：（Ⅰ）求得g（x）=，由定义域为R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，即可得到所求最小值；（Ⅲ）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减，可得h （n）=m2，h（m）=n2，两式相减，即可判断．解：（Ⅰ）由函数，可得其反函数为y=，因为定义域为R，即有mx2+2x+1＞0恒成立，所以，解得m∈（1，+∞）；（Ⅱ）令，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，当a＞2，区间[，2]为减区间，t=2时，y min=7﹣4a；当≤a≤2，t=a时，y min=3﹣a2；当a＜，区间[，2]为增区间，t=时，y min=﹣a．则；（Ⅲ）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减．所以，两式相减得，m+n=4，与m＞n＞2矛盾，所以不存在m，n满足条件．考点：函数的最值及其几何意义；反函数．18、试题分析：（1）圆M的圆心已知，且其与x轴及直线y=x分别相切于A，B两点，故半径易知，另一圆N与圆M外切、且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点，由相似性易得其圆心坐标与半径，依定义写出两圆的方程即可．（2）本题研究的是直线与圆相交的问题，由于B点位置不特殊，故可以由对称性转化为求过A点且与线MN平行的线被圆截得弦的长度，下易解．解：（1）由于⊙M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为⊙M的半径，则M在∠BOA的平分线上，同理，N也在∠BOA的平分线上，即O，M，N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线，∵M的坐标为（，1），∴M到x轴的距离为1，即⊙M的半径为1，则⊙M的方程为，（4分）设⊙N的半径为r，其与x轴的切点为C，连接MA，NC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即得r=3，则OC=，则⊙N的方程为；（8分）（2）由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被⊙N截得的弦的长度，此弦的方程是，即：x﹣﹣=0，圆心N到该直线的距离d=，则弦长=2．考点：直线和圆的方程的应用．19、试题分析：（Ⅰ）由线面垂直得A1O⊥BC，再由BC⊥DC，能证明BC⊥A1D．（Ⅱ）由BC⊥A1D，A1D⊥A1B，得A1D⊥平面A1BC，由此能证明平面A1BC⊥平面A1BD．（Ⅲ）由=，能求出点C到平面A1BD的距离．证明：（Ⅰ）∵A1O⊥平面DBC，∴A1O⊥BC，又∵BC⊥DC，A1O∩DC=O，∴BC⊥平面A1DC，∴BC⊥A1D．（Ⅱ）∵BC⊥A1D，A1D⊥A1B，BC∩A1B=B，∴A1D⊥平面A1BC，又∵A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BC⊥平面A1BD．解：（Ⅲ）设C到平面A1BD的距离为h，∵=，∴=，又∵=S△DBC，，∴．∴点C到平面A1BD的距离为．考点：点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．20、试题分析：（1）根据每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，设每年砍伐面积的百分比为x 可建立方程，解之即可得到每年砍伐面积的百分比；（2）设经过m年剩余面积为原来的．根据题意：到今年为止，森林剩余面积为原来的．可列出关于m的等式，解之即可；（3）根据题意设从今年开始，以后砍了n年，再求出砍伐n年后剩余面积，由题意，建立关于n的不等关系，利用一些不等关系即可求得今后最多还能砍伐多少年．解：（1）设每年砍伐面积的百分比为x （0＜x＜1）．则，即，解得（2）设经过m年剩余面积为原来的，则，即，，解得m=5故到今年为止，已砍伐了5年．（3）设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为令≥，即（1﹣x）n≥，≥，≤，解得n≤15故今后最多还能砍伐15年．考点：函数模型的选择与应用．21、试题分析：（Ⅰ）分别讨论直线过原点和不过原点两种情况，设出直线方程，解出即可；（Ⅱ）先求出直线的交点坐标，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式求出斜率k即可．解：（Ⅰ）当直线不过原点时，设所求直线方程为+=1，将（﹣3，2）代入所设方程，解得a=，此时，直线方程为x+2y﹣1=0．当直线过原点时，斜率k=﹣，直线方程为y=﹣x，即2x+3y=0，综上可知，所求直线方程为x+2y﹣1=0或2x+3y=0．（Ⅱ）有解得交点坐标为（1，），当直线l的斜率k存在时，设l的方程是y﹣=k（x﹣1），即7kx﹣7y+（2﹣7k）=0，由A、B两点到直线l的距离相等得，解得k=，当斜率k不存在时，即直线平行于y轴，方程为x=1时也满足条件．所以直线l的方程是21x﹣28y﹣13=0或x=1．考点：直线的一般式方程．22、试题分析：（Ⅰ）先通过解一元二次不等式化简集合A和B，再求集合B的补集，最后求出A∩（C R B）即可；（Ⅱ）由于一元二次方程x2﹣4ax+3a2=0的两个根是：a，3a．欲表示出集合C，须对a 进行分类讨论：①若a=0，②若a＞0，③若a＜0，再结合C⊇（A∩B），列出不等关系求得a的取值范围，最后综合得出实数a的取值范围即可．解：（Ⅰ）依题意得：A={x|﹣3＜x＜4}，B={x|x＜﹣4或x＞2}，（C R B）={x|﹣4≤x≤2}∴A∩（C R B）=（﹣3，2]（Ⅱ）∴A∩B={x|2＜x＜4}①若a=0，则C={x|x2＜0}=∅不满足C⊇（A∩B）∴a≠0②若a＞0，则C={x|a＜x＜3a}，由C⊇（A∩B）得③若a＜0，则C={x|3a＜x＜a}，由C⊇（A∩B）得综上，实数a的取值范围为考点：一元二次不等式的解法；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算；补集及其运算．。
河南省郑州市-学年高一下学期期末考试数学试题(图片版)
河南省郑州市2019.6.11下午14：30-16：30 考试用卷郑州市2018—2019学年下期期末考试 高中一年级 数学 参考答案一、选择题1—5 BACCC 6—10 BDDAD 11—12 CB 二、填空题13、19 14. π3 15.10 16. 77三、计算题17.解：（1）∵,a b ∴1221-=0x y x y 可得x ＝﹣1．……………………（4分） （2）依题意a ﹣2＝（2﹣2x ，4）．∵a ⊥（a ﹣2）， ∴a •（a ﹣2）＝0，即4﹣4x +8＝0，解得x ＝3，∴b ＝（3，﹣1）．……………………（8分） 设向量a 与的夹角为θ，∴5cos 5a b a bθ==．……………………（10分）18.【解答】解：（1）由题意可得cos α＝﹣，sin α＝，tan α＝＝﹣，……（2分） ∴＝＝＝﹣． ……（6分）（2）若•＝|OP |•|OQ |•cos （α﹣β）＝cos （α﹣β）＝，即 cos（α﹣β）＝，∴sin（α﹣β）＝＝．……（9分）∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）＝﹣（﹣）•＝．…（12分）19.解：Ⅰ)∑∑∑===----=niniiiniiiyyxxyyxxr11221)()()(）（=. ………（2分）Ⅱ依题意得,∑==--6130.80)(iiiyyxx）（，∑==-61230.14iixx）（,所以61621()()80.30ˆ 5.6214.30()i iiiix x y ybx x==--==≈-∑∑.又因为ˆˆ29.23-5.62 3.97.31 a y bx=-=⨯≈,故线性回归方程ˆˆˆ=5.62+7.31y a bx x=+ . ……………………（9分）当时，根据回归方程有：y，发生火灾的某居民区与最近的消防站相距千米，火灾的损失千元．………（12分）20.解：解：（1）由图象可知，可得：A＝2，B＝﹣1，……………………（2分）又由于＝﹣，可得：T ＝π，所以，……………………（3分）由图象知1)12(=πf ，1)122sin(=+⨯ϕπ，又因为3263πϕππ<+<-所以2×+φ＝， φ＝，所以f （x ）＝2sin （2x +）﹣1． ……………………（4分） 令2x +＝k π，k ∈Z ，得x ＝﹣，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心的坐标为（﹣，﹣1），k ∈Z ．…（6分）（2）由已知的图象变换过程可得：g （x ）＝2sin x ……………………（8分）由g （x ）＝2sin x 的图像知函数在0≤x ≤上的单调增区间为]2,0[π，单调减区间]672[ππ， ……………………（10分） 当2π=x 时，g （x ）取得最大值2；当67π=x 时，g （x ）取得最小值1-. ……………（12分）21解：（Ⅰ）依题意得（a +b +0.008+0.027+0.035）×10＝1，所以a +b ＝0.03， 又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006. ………………（2分）（Ⅱ）平均数为550.08650.24750.35850.27950.0674.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 中位数为0.50.080.247075.14.0.035--+≈众数为7080752+=. ………………（5分）（Ш）依题意，知分数在[50，60）的市民抽取了2人，记为a ，b ，分数在[60，70）的市民抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28种， ……………（8分）其中满足条件的为（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6）共13种， ……（11分）设“至少有1人的分数在[50，60）”的事件为A ，则P （A ）＝．…………（12分）22.解：（Ⅰ）()f x a b =＝cos ωx sin ωx ﹣cos 2ωx ＝sin2ωx ﹣（1+cos2ωx ） ═sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣ ＝sin （2ωx ﹣）﹣， ……………（2分）∵函数()的两个对称中心之间的最小距离为，f x a b∴＝，得T＝π，ω>0, 即T＝＝π，得ω＝1，即f（x）＝sin（2x﹣）﹣．……………（5分）则f（）＝sin（2×﹣）﹣＝1﹣＝，……………（6分）（Ⅱ）函数g（x）＝a+1﹣f（）＝a+1﹣[sin（x﹣）﹣]＝0，得a＝sin（x﹣）﹣﹣1，……………（8分）当0≤x≤π时，﹣≤x﹣≤，当≤x﹣≤且x﹣≠时，y＝sin（x﹣）才有两个交点，此时≤sin（x﹣）＜1，则，≤sin（x﹣）＜，……………（10分）即0≤sin（x﹣）﹣＜，﹣1≤sin（x﹣）﹣﹣1＜﹣1，即﹣1≤a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1）．……………（12分）。
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组数据关系如表：
（ I ）画出散点图；
（ II ）求纯利 y 与每天销售件数 x 之间的回归直线方程；
（ III ）估计当每天销售的件数为 12 件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注：
7
7
7
7
xi2 280 ， ( xi x) 2 27 ， xi yi 3076 ， yi2 34992 ，
i1
i1
i1
A．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
3
3. 下列各式中，值为
的是（ ）
2
A． 2sin15 0 cos150
B
． cos2 150 sin 2 150 C ． 2sin 2 150 1
D． sin2 150 cos2150
4. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所
所以 AE BF ( AB AD )[(m 1)AB AD] = ( m - 1)AB + AD = 9(m - 1)+8 = 2，
2
2
解得
m
=
1
，所以
DF 的长为
1．
3
21. 解：（ 1）由直方图可知，样本中数据落在 80,100 的频率为 0.2 0.1 0.3 ，则估计全校
这次考试中优秀生人数为 3000 0.3 900 ． （ 2）由分层抽样知识可知，成绩在 70,80 ， 80,90 ， 90,100 间分别抽取了 3 人， 2 人，
0 ），y f ( x) 的图象与直线 y 2
（ II ）已知 x
, ，求函数 f ( x) 的值域；
2
（ III ）求函数 f ( x) 的单调区间并判断其单调性 .
2015-2016学年河南省郑州一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．存在x0∈R，使得x02＜0B．对任意x∈R，使得x2＜0C．存在x0∈R，都有D．不存在x∈R，使得x2＜02．（5分）抛物线y＝2x2的准线方程为（）A．B．C．D．3．（5分）以棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）A．（0，）B．（）C．（）D．（）4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则a2+a6+a10＝（）A．12B．16C．20D．245．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A．b＝7，c＝3，C＝30°B．a＝20，b＝30，C＝30°C．b＝4，c＝2，C＝60°D．b＝5，c＝4，C＝45°6．（5分）有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（5分）已知F是双曲线C：y2﹣mx2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）数列{a n}，已知对任意正整数n，a1+a2+a3+…+a n＝2n﹣1，则a12+a22+a32+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．D．4n﹣19．（5分）已知△ABC，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac sin A＜，则（）A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是锐角三角形C．△ABC是直角三角形D．无法判断10．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+4y2≥m恒成立，则实数m的最大值为（）A．B．C．D．11．（5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得＝4a1，且a6＝a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2C．D．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，且＝2x•+3y•+4z•，则2x+3y+4z＝．14．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为．15．（5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2＝4，且C＝60°，则a+b的最小值为．16．（5分）把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n}，若a n＝2015，则n＝．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝ax2﹣c满足﹣4≤f（1）≤﹣1，﹣1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范围．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝，b sin（+C）﹣c sin（+B）＝a，（1）求证：B﹣C＝（2）若a＝，求△ABC的面积．20．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和S4＝14，a3是a1，a7的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*恒成立，求实数λ的最大值．21．（12分）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，P A⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）判断并说明P A上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．22．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，点M（1，1），求S△ABM的最大值．2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得：命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为“∃x0∈R，使得”．故选：A．2．【解答】解：抛物线的方程可变为x2＝y故p＝，其准线方程为y＝﹣，故选：D．3．【解答】解：由题意如图，平面AA1B1B对角线交点是横坐标为AB的中点值，竖坐标为AA1的中点值，纵坐标为0，所以平面AA1B1B对角线交点的坐标为（）．故选：B．4．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a8＝16，∴a4+a8＝2a6＝16，解得a6＝8，∴a2+a6+a10＝3a6＝24．故选：D．5．【解答】解：对于A，∵b＝7，c＝3，C＝30°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝＞1，无解；对于B，∵a＝20，b＝30，C＝30°，∴由余弦定理可得c＝＝＝，有一解；对于C，∵b＝4，c＝2，C＝60°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝1，B＝90°，A＝30°，有一解；对于D，∵b＝5，c＝4，C＝45°，∴由正弦定理可得：sin B＝＝＝，又B为三角形的内角，∴B∈（45°，180°），可得B有2解，本选项符合题意；故选：D．6．【解答】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选：C．7．【解答】解：双曲线C：y2﹣mx2＝3m（m＞0）即为﹣＝1，可得a2＝3m，b2＝3，c2＝a2+b2＝3m+3，设F（0，），一条渐近线方程为y＝x，则点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．8．【解答】解：∵a1+a2+a3+…+a n＝2n﹣1…①∴a1+a2+a3+…+a n﹣1＝2n﹣1﹣1…②，①﹣②得a n＝2n﹣1，∴a n2＝22n﹣2，∴数列{a n2}是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a12+a22+a32+…+a n2＝＝，故选：C．9．【解答】解：△ABC中，ac sin A＜，∴ac sin A＜ca cos B，即sin A＜cos B，∴sin A＜sin（﹣B），∴A＜﹣B，∴A+B＜，∴C＞，∴△ABC是钝角三角形．故选：A．10．【解答】解：设a＝x，b＝2y，则不等式x2+4y2≥m等价为a2+b2≥m，则约束条件等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z＝a2+b2，则z的几何意义是区域内的点到原点的距离，由图象知O到直线2a+b＝2的距离最小，此时原点到直线的距离d＝，则z＝d2＝，即m≤，即实数m的最大值为，故选：C．11．【解答】解：在等比数列中，∵a6＝a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∵＝4a 1，∴，即2m+n﹣2＝16＝24，∴m+n﹣2＝4，即m+n＝6，∴，∴＝（）＝，当且仅当，即n＝2m时取等号．故选：A．12．【解答】解：不妨设圆与y＝x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0＝x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN＝120°，所以由余弦定理得4c2＝（a+a）2+b2+b2﹣2•b cos 120°，化简得7a2＝3c2，求得e＝．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：∵＝2x•+3y•+4z•，∴＝﹣2x•﹣3y•﹣4z•，∵O是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案为：﹣114．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：．15．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝4，∴c2＝a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C＝60°，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab②由①②得：3ab＝4，ab＝．∴a+b≥2＝2＝（当且仅当a＝b＝时取“＝”）．∴a+b的最小值为．故答案为：．16．【解答】解：分析图乙，可得①第k行有k个数，则前k行共有个数，②第k行最后的一个数为k2，③从第三行开始，以下每一行的数，从左到右都是公差为2的等差数列，又由442＝1936，452＝2025，则442＜2015＜452，则2015出现在第45行，第45行第一个数为442+1＝1937，这行中第＝40个数为2015，前44行共有＝990个数，则2015为第990+40＝1030个数．故答案为：1030．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：∵f（x）＝ax2﹣c，∴f（1）＝a﹣c，f（2）＝4a﹣c，f（3）＝9a﹣c则由题意可得，，作出其平面区域如下图：则过点A（0，1），B（3，7）时，有f（3）有最值，f（3）min＝0﹣1＝﹣1，f（3）max＝9×3﹣7＝20．故f（3）的取值范围为[﹣1，20]．18．【解答】解：（1）a＝1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤219．【解答】解：（1）证明：由b sin（+C）﹣c sin（）＝a，由正弦定理可得sin B sin （+C）﹣sin C sin（）＝sin A．sin B（）﹣sin C（）＝．整理得sin B cos C﹣cos B sin C＝1，即sin（B﹣C）＝1，由于0＜B，C，从而B﹣C＝．（2）解：B+C＝π﹣A＝，因此B＝，C＝，由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以三角形的面积S＝＝cos sin＝．20．【解答】解：（I）设公差为d，∵S4＝14，a3是a1，a7的等比中项∴，解得：或（舍去），∴a n＝2+（n﹣1）＝n+1；（II）∵，∴T n＝﹣+﹣+…+＝﹣＝，∵对一切n∈N*恒成立，∴∴∀n∈N*恒成立，又≥16，∴λ≤16∴λ的最大值为16．21．【解答】解法一：（Ⅰ）∵P A⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．（2分）不妨令P（0，0，t）∵，∴，即PF⊥FD．（4分）（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，由，得，令z＝1，解得：．∴．（6分）设G点坐标为（0，0，m），，则，要使EG∥平面PFD，只需，即，得，从而满足的点G即为所求．（8分）（Ⅲ）∵AB⊥平面P AD，∴是平面P AD的法向量，易得，（9分）又∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA＝45°，P A＝1，平面PFD的法向量为（10分）∴，故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．（12分）解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则，，又AD＝2，∴DF2+AF2＝AD2，∴DF⊥AF（2分）又P A⊥平面ABCD，∴DF⊥P A，又P A∩AF＝A，∴（4分）（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有（5分）再过点H作HG∥DP交P A于点G，则HG∥平面PFD且，∴平面GEH∥平面PFD（7分）∴EG∥平面PFD．从而满足的点G即为所求．（8分）（Ⅲ）∵P A⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA＝45°．∴P A＝AB＝1（9分）取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面P AD，在平面P AD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角（10分）∵Rt△MND∽Rt△P AD，∴，∵，且∠FMN＝90°∴，，∴（12分）22．【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），则∵椭圆离心率，点在椭圆C上，∴，解得a＝2，b＝1，∴椭圆方程为；（2）设直线n的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），（x2，y2），则∵k OA、k、k OB成等差数列，∴m（x1+x2）＝0，∴m＝0，∴直线n的方程为y＝kx代入椭圆方程得（1+4k2）x2＝4，∴|AB|＝．∵M到y＝kx的距离为d＝∴S＝•＝∴S2＝，∴（S2）′＝，∴k，（S2）′＞0，﹣＜k＜1，（S2）′＜0，k＞1，（S2）′＞0，∴k＝﹣时，S取得最大值．。
2015-2016学年河南省郑州一中高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）下列命题是全称命题的是（）A．存在x∈R，使x2﹣x+1＜0B．所有2的倍数都是偶数C．有一个实数x，使|x|≤0D．有的三角形是等边三角形2．（5分）抛物线y2＝2x的准线方程是（）A．y＝B．y＝﹣C．x＝D．x＝﹣3．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝7a1，则数列{a n}的公比q的值为（）A．2B．3C．2或﹣3D．2或34．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则a2+a6+a10＝（）A．12B．16C．20D．245．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则（）A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a与b的大小关系不能确定6．（5分）椭圆ax2+by2＝1与直线y＝1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m8．（5分）在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形9．（5分）已知数列{a n}：，+，++，…，+++…+，…，那么数列b n＝的前n项和S n为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|＜﹣1}C．{x|x＜﹣1或x＞1}D．{x|x＞1} 11．（5分）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得＝4a1，且a6＝a5+2a4，则的最小值是（）A．B．2C．D．12．（5分）设F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN ＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b切于点（1，3），则a，b的值分别为．14．（5分）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为．15．（5分）若x，y满足约束条件，且z＝kx+y取最小值时的最优解有无数个，则k＝．16．（5分）若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2＝4，且C＝60°，则a+b的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）等差数列{a n}中，a2＝4，a4+a7＝15．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．18．（12分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19．（12分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A＝，b sin（+C）﹣c sin（+B）＝a，（1）求证：B﹣C＝（2）若a＝，求△ABC的面积．21．（12分）若椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k（k≠0）的直线n交椭圆C与A、B两点，且k OA、k、k OB成等差数列，又有点M（1，1），求S△ABM的面积（结果用k表示）；（3）求出（2）中S△ABM的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）求f（x）的单调区间及最大值；（2）若不等式xf（x）+x2﹣kx+k＞0对∀x∈（2，+∞）恒成立，求实数k的最大值；（3）若数列{a n}的通项公式为，试结合（1）中有关结论证明：a1•a2•a3…a n＜e（e为自然对数的底数）．2015-2016学年河南省郑州一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．【解答】解：对于A，C，D中，分别含有特称量词“有一个”，“有的”，“存在”，故A，C，D都是特称命题；对于B，含有全称量词“所有”，故B是全称命题．故选：B．2．【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝2x，∴2p＝2，得＝，可得抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣．故选：D．3．【解答】解：由S3＝7a1，则a1+a2+a3＝7a1，即a1+a1q+a1q2＝7a1，由a1≠0，化简得：1+q+q2＝7，即q2+q﹣6＝0，因式分解得：（q﹣2）（q+3）＝0，解得q＝2或q＝﹣3，则数列{a n}的公比q的值为2或﹣3．故选：C．4．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4+a8＝16，∴a4+a8＝2a6＝16，解得a6＝8，∴a2+a6+a10＝3a6＝24．故选：D．5．【解答】解：由题意得，∠C＝120°，c＝2a，根据正弦定理得，sin C＝2sin A，即2sin A＝，所以sin A＝，又∠C＝120°，所以A＜30°，又B＝180°﹣C﹣A＝60°﹣A＞30°＝A，所以b＞a，故选：B．6．【解答】解：联立椭圆方程与直线方程，得ax2+b（1﹣x）2＝1，（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），，y1+y2＝1﹣x1+1﹣x2＝2﹣＝，AB中点坐标：（），AB中点与原点连线的斜率k＝＝＝．故选：A．7．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2＝3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为＝0，∴点F到C的一条渐近线的距离为＝．故选：A．8．【解答】解：由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac，又b2＝ac，∴a2+c2﹣ac＝ac，∴（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．9．【解答】解：由题意，数列{a n}的通项为a n＝＝∴b n＝＝4（）∴S n＝4（1﹣++…+）＝4（）＝故选：A．10．【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）＝f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）＝f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）＝1，∴g（1）＝f（1）﹣﹣＝1﹣1＝0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D．11．【解答】解：在等比数列中，∵a6＝a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2＝0，解得q＝2或q＝﹣1（舍去），∵＝4a 1，∴，即2m+n﹣2＝16＝24，∴m+n﹣2＝4，即m+n＝6，∴，∴＝（）＝，当且仅当，即n＝2m时取等号．故选：A．12．【解答】解：不妨设圆与y＝x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0＝x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN＝120°，所以由余弦定理得4c2＝（a+a）2+b2+b2﹣2•b cos 120°，化简得7a2＝3c2，求得e＝．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：把（1，3）代入直线y＝kx+1中，得到k＝2，求导得：y′＝3x2+a，所以y′|x＝1＝3+a＝2，解得a＝﹣1，把（1，3）及a＝﹣1代入曲线方程得：1﹣1+b＝3，则b的值为3．故答案为：﹣1和3．14．【解答】解：∵F是抛物线y2＝x的焦点F（，0）准线方程x＝﹣设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|＝x1++x2+＝3解得x1+x2＝∴线段AB的中点横坐标为∴线段AB的中点到y轴的距离为故答案为：．15．【解答】解：∵z＝kx+y则y＝﹣kx+z，z为直线y＝﹣x+在y轴上的截距，要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则截距最小时的最优解有无数个．把z＝kx+y平移，使之与可行域中的边界AC，或BC重合即可，∵A（2，2），B（﹣1，2），C（1，0），∴﹣k＝＝2或﹣k＝解得k＝2或k＝﹣1，故答案为：2或﹣1．16．【解答】解：∵（a+b）2﹣c2＝4，∴c2＝a2+b2+2ab﹣4①∵△ABC中，C＝60°，∴c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab②由①②得：3ab＝4，ab＝．∴a+b≥2＝2＝（当且仅当a＝b＝时取“＝”）．∴a+b的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17．【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，解得，所以a n＝3+（n﹣1）＝n+2；（Ⅱ）b n＝+n＝2n+n，所以b1+b2+b3+…+b10＝（2+1）+（22+2）+…+（210+10）＝（2+22+...+210）+（1+2+ (10)＝+＝2101．18．【解答】解：（1）当a＝1时，p：{x|1＜x＜3}，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p 真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：{x|a＜x＜3a}（a＞0），q：{x|2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]19．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝155°﹣125°＝30°，∠BCA＝180°﹣155°+80°＝105°，∠BAC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，BC＝×50＝25，由正弦定理，得∴AC＝＝（浬）答：船与灯塔间的距离为浬．20．【解答】解：（1）证明：由b sin（+C）﹣c sin（）＝a，由正弦定理可得sin B sin （+C）﹣sin C sin（）＝sin A．sin B（）﹣sin C（）＝．整理得sin B cos C﹣cos B sin C＝1，即sin（B﹣C）＝1，由于0＜B，C，从而B﹣C＝．（2）解：B+C＝π﹣A＝，因此B＝，C＝，由a＝，A＝，得b＝＝2sin，c＝＝2sin，所以三角形的面积S＝＝cos sin＝．21．【解答】解：（1）设椭圆方程为+＝1（a＞b＞0），由点在椭圆C上，知+＝1 ①又e＝＝＝②联立①②解得，a＝2，b＝1，所以椭圆方程为+y2＝1；（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线n的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0．△＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，且x1+x2＝﹣，因为直线OA，AB，OB的斜率依次成等差数列，所以+＝2k，即x1y2+x2y1＝2kx1x2，又y＝kx+m，所以kx1x2+mx2+kx1x2+mx1＝2kx1x2，即为m（x1+x2）＝0，即m＝0，联立易得A（，），B（﹣，﹣），弦AB的长为，又点M到直线y＝kx的距离d＝，所以S△ABM＝••＝；（3）令f（k）＝，则f′（k）＝，易知f（k）在（﹣∞，﹣），（1，+∞）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减．又f（﹣）＝5，且x→+∞时，f（k）→1．所以当k＝﹣时，f（k）取最大值5，此时，S△ABM的面积取最大值．22．【解答】（1）解因f（x）＝ln x﹣x，所以f′（x）＝﹣1＝．当x∈（0，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．所以f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．（2）解：令g（x）＝＝，则g′（x）＝，令h（x）＝x﹣ln x﹣1，则h′（x）＝1﹣，x＞2时h′（x）＞0，故h（x）在（2，+∞）上单调递增，而h（x）＞h（2）＝1﹣ln 2＞0，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以g（x）在（2，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（2）＝＝2ln 2．由题意有k≤2ln 2，所以k的最大值是2ln 2．（3）证明：由（1）知，当x＞0时，f（x）＜f（1）＝﹣1，即ln x＜x﹣1．因为a n＝1+（n∈N*），所以ln a n＝ln（1+）＜．令k＝1，2，3，…+，n，这n个式子相加得：ln a1+ln a2+…+ln a n＜+++…＝1﹣＜1．即ln（a1a2a3…+a n）＜1，所以a1a2a3…a n＜e．。
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2015—2016学年度下期期末高一数学参考答案
一、 选择题
BCBBB CAACB CB
二、 填空题 13. 13 14. 2
31- 15. [1,1]- 16. 1[1,)2- 三、 解答题
17．解 (Ⅰ)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．…………2分
又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．……………5分
(Ⅱ)∵()a ＋2b ⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0. ……………7分
∵|a |＝5，|b |＝52，∴a·b ＝－52
. ∴cos θ＝a·b |a||b |
＝－1，∴θ＝180°. ……………10分 18.解:( Ⅰ)设回归直线方程为ˆy =ˆb
x+ˆa . ∵72i i 1x =∑=280,72i i 1y =∑=45 309,7
i 1=∑x i y i =3 487,x =6,y =5597
, ……………2分 ∴ˆb =559
3487767280736
-⨯⨯-⨯=13328=4.75, ……………4分 ˆa =5597
-6×4.75≈51.36, ∴回归直线方程为ˆy =4.75x+51.36. ……………6分
(Ⅱ)当x=20时,ˆy =4.75×20+51.36≈146.
故某天的销售量为20件时,估计这天可获纯利大约为146元. ……………12分
19.解:(Ⅰ)由题设可知,第3组的频率为0.06×5=0.3,
第4组的频率为0.04×5=0.2,
第5组的频率为0.02×5=0.1. ……………3分
(Ⅱ)第3组的人数为0.3×100=30,
第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10. ……………5分
因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组抽取的人数分别为
第3组:3060×6=3, 第4组:2060×6=2, 第5组:1060
×6=1. 所以第3、4、5组分别抽取3人,2人,1人. ……………7分
(Ⅲ)设第3组的3位同学为A 1,A 2,A 3,
第4组的2位同学为B 1,B 2,
第5组的1位同学为C 1.
则从六位同学中抽两位同学有
(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共15种可能. ……………9分
其中第4组的2位同学为B 1,B 2至少有一位同学入选的有
(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2).
(A 3,B 1),(B 1,B 2),(A 3,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共9种可能.
所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为915=35
.……………12分 20.解 (Ⅰ)如图所示建立直角坐标系， 设角(0)2π
ϕϕ-<<是以Ox 为始边，0OP 为终边的角,则.6π
ϕ=-……………2分
OP 每秒钟内所转过的角为
52.606
ππ⨯=……………4分 由OP 在时间()t s 内所转过的角为52().606t t ππ⨯= 由题意可知水轮逆时针转动， 故所求的函数关系式为4sin(
) 2.66z t ππ=-+……………6分 (Ⅱ)令4sin(
)26,66z t ππ=-+=……………9分 得sin()1,66t ππ
-=
,4,662t t π
π
π
-==令得
故点p 第一次到达最高点大约需要4s . ……………12分
21．解：（Ⅰ）sin θ因为，θcos 为方程21204
x bx -+=的两根， 则有： 220(1)sin cos (2)21sin cos (382)b b θθθθ⋯⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⋯⎪⋯=⋯⋯⎪⎪⎩
分
由（2）、（3）有：21144b =+，
解得：b =520∆=->，……………4分
又sin cos )04
πθθθ+=+>
，b ∴=……………6分 （Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθθθθθ
+++==-+-因为……………8分
且sin cos )04π
θθθ-=->，
sin cos θθ∴-=……………10分
sin 1cos 1sin cos 21cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴+=⋅=-+-.……………12分
1cos(2)1cos 2322.:()()22
1[cos(2)cos 2]23132cos 2)22
)23
x x f x x x x x x π
ωωπωωωωπω+--=-=-+=+=+解Ⅰ…
……………………………………………………2分 2,(),0,,12f x ππωπωω
>∴==由题意可知的最小正周期为且即
())3()12f x x f ππ∴=
+∴= ………………………………………………………………………………5分 ()|()|1,()1()1f x m f x m f x -≤-≤≤+Ⅱ即
min max 7[,0]|()|1,12
()1()1,
x f x m m f x m f x π∃∈--≤≥-≤+因为使得成立所以且 ………………………………………………………………………………7分
max min 750,212633
1sin(2)33)22343(),()4x x x x f x f x ππππππ-≤≤-≤+≤-≤+≤-≤+≤==因为所以所以所以即
…………………………………………………………………10分
714
7[1,].4m m -≤≤即的取值范围是 ………………………………………………………………………………12分。