MSDC.初中数学.二元一次方程组B级.第01讲.学生版

内容 基本要求略高要求较高要求二元一次方程（组）了解二元一次方程（组）的有关概念能根据实际问题列出二元一次方程组二元一次方程组的解知道代入消元法和加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选用恰当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决实际问题版块一 二元一次方程（组）的基本概念☞二元一次方程1.含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程. 判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”； ③含有未知数的项的次数为1——“一次”.2.二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3.二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 一般情况下，一个二元一次方程有无数个解.【例1】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.例题精讲中考要求二元一次方程组的概念及解法【巩固】已知方程11(2)2m n m x ym ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值.【例2】 已知21x y =⎧⎨=⎩是方程3kx y -=的解，那么k 的值是（ ）A.2B.2-C.1D.1-【巩固】已知21x y =⎧⎨=⎩是方程25x ay +=的解，则a =【例3】 ⑴设x 、y 为正整数，求524x y +=的所有解⑵设x 、y 为非负整数，求25x y +=的所有解 ⑶设x 为正数，y 为正整数，求36x y +=的所有解【例4】 若方程24341358m n m n x y --+--=是二元一次方程，则22()()m n m mn n -++的值为 .☞二元一次方程组：1.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组.二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起：方程可以超过两个，有的方程可以只有一元（一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程）. 如2631x x y =⎧⎨-=⎩也是二元一次方程组.2.二元一次方程组的解必须满足方程组中的每一个方程，同时它也必须是一个数对，而不能是一个数. 【例5】 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）（多选）A.3257x y xy -=⎧⎨=⎩B.54x y =⎧⎨=⎩C.1345y xx y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ D.270453x y x z -=⎧⎨-=⎩E.3435x y x y -=⎧⎨+=⎩F.241241x y x y -=⎧⎨-=⎩G.4541x z x z -=⎧⎨-=⎩H.423531x y x x y -=⎧⎪=⎨⎪-=⎩【例6】 下列每个方程组后的一对数值是不是这个方程组的解？⑴ 1325x y x y +=⎧⎨+=⎩ 10x y =⎧⎨=⎩； ⑵264344x y y x =-⎧⎨=-⎩ 82x y =⎧⎨=⎩； ⑶2783108x y x y -=⎧⎨-=⎩ 6545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【例7】 请以12x y =⎧⎨=⎩为解，构造一个二元一次方程组【巩固】请以13x y =-⎧⎨=⎩为解，构造一个二元一次方程组版块二 二元一次方程组的解法☞代入消元法代入法是通过等量代换，消去方程组中的一个未知数，使二元一次方程组转化为一元一次方程，从而求得一个未知数的值，然后再求出被消去未知数的值，从而确定原方程组的解的方法.代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想，代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. ☞用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y ，用另一个未知数如x 的代数式表示出来，即写成y ax b =+的形式；②y ax b =+代入另一个方程中，消去y ，得到一个关于x 的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x 的值；④回代求解：把求得的x 的值代入y ax b =+中求出y 的值，从而得出方程组的解. ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式.【例8】 把方程2()3()3x y y x +--=改写成用含x 的代数式表示y 的形式，则（ ）A.53y x =-B.3y x =--C.53y x =+D. 53y x =--【例9】 用代入消元法求解下列二元一次方程组⑴ 25342x y x y -=⎧⎨+=⎩①②， ⑵52253415x y x y +=⎧⎨+=⎩ ①②【巩固】用代入法解下列方程组⑴ 23724x y x y -=⎧⎨+=⎩， ⑵732232x y y x -=⎧⎨-=⎩， ⑶4241x y x y -=⎧⎨+=⎩， ⑷2434y x x y -=⎧⎨+=⎩☞加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一.加减法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法.☞用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等；②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值； ⑤把这个方程组的解写成x ay b =⎧⎨=⎩的形式.☞加减消元方法的选择：①一般选择系数绝对值最小的未知数消元；②当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接对一个方程变形，使其系数互为相反数或相等，再用加减消元求解；④当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两个方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解. 【例10】 用加减消元法、解下列方程⑴ 251x y x y -=⎧⎨+=⎩①② ⑵2422x y x y -=⎧⎨-=⎩①②【巩固】用加减消元法、解下列方程⑴ 235324x y x y +=⎧⎨+=⎩；⑵54310x y x y -=⎧⎨+=⎩；⑶358223x y x y +=⎧⎨-=⎩；⑷267322x y x y -=⎧⎨+=⎩☞选用恰当的方法解下列方程组【例11】 已知x 、y 满足方程组2100521004x y x y +=⎧⎨+=-⎩，则x y -的值为_________．【巩固】在方程组2122x y mx y +=-⎧⎨+=⎩中，若未知数x 、y 满足0x y +>，则m 的取值范围为（ ）A.3m >B.3m <C.3m ≥D.3m ≤【例12】 已知关于x 、y 的方程组227x y kx y k -=-⎧⎨+=⎩，则:________x y =【巩固】已知,,x y z 满足方程组207450x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩，且0x ≠，求：::x y z 的值.【例13】 解方程组199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩①②【巩固】解方程组：231763172357 x y x y +=⎧⎨+=⎩【例14】 解方程组：54 2 127320 12x y x y⎧+=⎪+-⎪⎨⎪+=⎪+-⎩【巩固】解方程组：254323625323x y x y ⎧+=-⎪-+⎪⎨⎪-=⎪-+⎩板块三、三元一次方程组☞三元一次方程组解三元一次方程组的基本方法是将三元一次方程组通过消元的方式，转化为二元一次方程组来求解 【例15】 解下列方程组⑴3423126x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩①②③⑵224104x y zx y zx y z-+=⎧⎪+-=⎨⎪++=⎩①②③【巩固】已知有理数x、y、z满足2(2)3673340x z x y y z--+--++-=，求x、y、z的值板块四含参数方程组☞方程组解x与y之间数量关系【例16】方程组43235x y kx y-=⎧⎨+=⎩的解x与y的值相等，则k等于________【巩固】若方程组431(1)3x yax a y+=⎧⎨+-=⎩的解x与y相等，则a的值等于_________【巩固】若联立方程式31023x ayx y+=⎧⎨-=⎩的解x与y之和是3，试求出此联立方程的解与a的值【巩固】若方程组322543x y kx y k+=⎧⎨+=+⎩的解之和5x y+=-，求k的值☞同解方程【例17】 已知方程组3247x y mx ny -=⎧⎨+=⎩与231953mx ny y x -=⎧⎨-=⎩有相同的解，求m 、n 的值【巩固】已知方程组5354x y ax y +=⎧⎨+=⎩与2551x y x by -=⎧⎨+=⎩有相同的解，求a b ，的值．☞错数与错解问题【例18】 小明与小强同解x 、y 的方程组3315ax y x by -=⎧⎨+=⎩①②，小明除了看错①中a 之外，无其他错误，求得解为16x y =⎧⎨=⎩；小强除了看错②式中的b 之外，无其他错误，求得解为21x y =⎧⎨=⎩，试求出a 、b 之值与方程组的解【巩固】小刚在解方程组278ax by cx y +=⎧⎨-=⎩时，本应解出32x y =⎧⎨=-⎩由于看错了系数c ，而得到的解为22x y =-⎧⎨=⎩求a b c ++的值．【巩固】已知方程组278ax by mx y +=⎧⎨-=⎩的解应为32x y =⎧⎨=-⎩，由于粗心，把m 看错后，解方程组得22x y =-⎧⎨=⎩，则a b m⋅⋅的值是 ．☞引入参数 【例19】 若345x y z==且24x y z ++=，求x 、y 、z 的值【巩固】解下列方程组4562343x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪+-=-⎩板块五 二元一次方程组解的讨论☞二元一次方程组解的三种情况 二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩⑴若1122a b a b ≠，则该方程组有唯一解 ⑵若111222a b c a b c =≠，则该方程组无解 ⑶若111222a b c a b c ==，则该方程组有无数组解 【例20】 解二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（1a 、1b 、1c 、2a 、2b 、2c 、均不为0）【例21】 k 、b 满足什么条件时，方程组(31)2y kx by k x =+⎧⎨=-+⎩⑴ 有唯一一组解 ⑵ 无解 ⑶ 有无穷组解【巩固】选择一组a ，c 值使方程组572x y ax y c +=⎧⎨+=⎩，①有无数多解；②无解；③有唯一的解．【巩固】当m n ，为何值时，方程组(21)4mx y nm x y -=-⎧⎨--=-⎩⑴无解；⑵惟一解；⑶有无穷多解．1. 解方程组：56812 412345x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩2. 解方程组：:::1:2:3:49732200x y z u x y z u =⎧⎨+++=⎩3. 已知关于x 、y 的方程组72x y ax y c +=⎧⎨+=⎩⑴当a 、c 满足什么条件时，方程组有唯一解⑵当a 、c 满足什么条件时，方程组有无数组解⑶当a 、c 满足什么条件时，方程组无解1. 解下列方程组：课堂检测课后作业⑴ 3(1)4(4)5(1)3(5)y x x y -=-⎧⎨-=+⎩，⑵21322453132045y x y x --⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩， ⑶2153224111466x y x y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，⑷35724310()4(1)3x y y x x y x y -+⎧+=-⎪⎪⎨---⎪=⎪⎩2. 已知：::1:2:7x y z =，2321x y z -+=，求,,x y z 的值.3. 如果二元一次方程组4x y a x y a +=⎧⎨-=⎩的解是二元一次方程3528x y a --=的一个解，那么a 的值是？。