天津市部分区2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题(word版含答案)
天津市五区县2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（）A．5，150 B．15，450 C．450，15 D．15，1502．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（）A．B．C．D．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S的值是（）A．60 B．61 C．62 D．634．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．95．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．1566．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.967．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.0168．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4] 10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取人．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．2017-2018学年天津市五区县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（ ） A ．5，150 B ．15，450 C ．450，15 D ．15，150 【考点】最大公因数；最小公倍数．【分析】利用辗转相除法即可求出两数的最大公约数，进而即可得出其最小公倍数． 【解答】解：①∵150=45×3+15，45=15×3，∴45和150的最大公约数是15； ②∵45=15×3，150=15×10，∴45和150的最小公倍数是15×3×10=450． 综上可知：45和150的最大公约数和最小公倍数分别是15，450． 故选B ．2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用排列的意义，先求出甲、乙、丙三名同学站成一排的排法及其甲站在中间的排法，再利用古典概型的计算公式即可得出．【解答】解：甲、乙、丙三名同学站成一排，共有=6种排法，其中甲站在中间的排法有以下两种：乙甲丙、丙甲乙．因此甲站在中间的概率P=．故选C ．3．某算法的流程图如图所示，运行相应程序，输出S 的值是（ ）A ．60B ．61C ．62D ．63【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当S=63时满足条件S ≥33，退出循环，输出S的值，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，n=1S=3，不满足条件S≥33，执行循环体，n=2，S=7不满足条件S≥33，执行循环体，n=3，S=15不满足条件S≥33，执行循环体，n=4，S=31不满足条件S≥33，执行循环体，n=5，S=63满足条件S≥33，退出循环，输出S的值为63．故选：D．4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+2y的最小值为（）A．2 B．3 C．5 D．9【考点】简单线性规划．【分析】先根据条件画出可行域，设z=x+2y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线z=x+2y，取得截距的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域，由z=x+2y可得y=则为直线y=在y轴上的截距，截距越小，z越小做直线L：x+2y=0，然后把直线L向可行域方向平移，当经过点B时，z最小由可得B（1，1），此时z=3故选B5．有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一天所卖的热饮杯数（y）与当天气温（x℃）之间的线性关系，其回归方程为=﹣2.35x+147.77．如果某天气温为2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（）A．140 B．143 C．152 D．156【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程为=﹣2.35x+147.77，要求我们预报当某天气温﹣2℃时，该小卖部大约能卖出热饮的杯数，只要代入x的值，做出y即可．【解答】解：∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程=﹣2.35x+147.77．∴某天气温为2℃时，即x=2，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y=﹣2.35×2+147.77≈143故选：B．6．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率0.03，出现丙级品的概率0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是（）A．0.09 B．0.98 C．0.97 D．0.96【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由题意知本产品只有正品和次品两种情况，得到抽查得到正品和抽查得到次品是对立事件，可知抽查得到次品的概率是0.03+0.01，根据互斥事件的概率得到结果．【解答】解：∵抽查得到正品和抽查得到次品是互斥的，抽查得到次品的概率是0.03+0.01=0.04∴抽查一次抽得正品的概率是1﹣0.04=0.96故选D．7．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A．9.4，0.484 B．9.4，0.016 C．9.5，0.04 D．9.5，0.016【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】根据题意，利用平均数、方差公式直接计算即可．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为9.4，9.4，9.6，9.4，9.7，其平均值为（9.4+9.4+9.6+9.4+9.7）=9.5，方差为 [（9.4﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.6﹣9.5）2+（9.4﹣9.5）2+（9.7﹣9.5）2]=0.016，故选D．8．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型；一元二次不等式的解法．【分析】先解不等式f（x0）≤0，得能使事件f（x0）≤0发生的x0的取值长度为3，再由x0总的可能取值，长度为定义域长度10，得事件f（x0）≤0发生的概率是0.3【解答】解：∵f（x）≤0⇔x2﹣x﹣2≤0⇔﹣1≤x≤2，∴f（x0）≤0⇔﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣5，5]，∴使f（x0）≤0的概率P==故选C9．方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则m的取值范围是（）A．（﹣5，﹣4]B．（﹣∞，﹣4]C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，﹣5）∪（﹣5，﹣4]【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，则其相应的函数f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m与x轴的两个交点都在直线x=2的右边，由图象的特征知应有对称轴大于2，f（2）＞0，且△≥0，解此三式组成的方程组即可求出参数m的范围．【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣2）x+5﹣m，其对称轴方程为x=由已知方程x2+（m﹣2）x+5﹣m=0的两根都大于2，故有即解得﹣5＜m≤﹣4m的取值范围是（﹣5，﹣4]故应选A．10．等差数列{a n}共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d．由已知可得：a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，相交可得：nd﹣a2n+1=﹣12，即a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，代入解出即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．∵a1+a3+…+a2n﹣1+a2n+1=132，a2+a4+…+a2n=120，∴nd﹣a2n+1=﹣12，∴﹣a1﹣nd=﹣12，∴a n+1=12．又=（n+1）a n+1=132，∴n+1=11，解得n=10．故选：B二、填空题本大题5小题，每小题4分，共20分11．掷两颗骰子，出现点数之和等于8的概率等于．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是掷两颗骰子有6×6=36个结果，满足条件的事件是向上点数之和等于8，有（2，6）（3，5）（4，4）（5，3）（6，2）共5种结果，∴要求的概率是P=，故答案为：．12．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在某公司有1000名员工，其中，高层管理人员占5%，中层管理人员占15%，一般员工占80%，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取96人．【考点】分层抽样方法．【分析】根据一般员工所占的比例为80%，用样本容量乘以此比例的值，由此求得结果．【解答】解：由题意知：一般员工占的比例为80%，样本容量为200，∴一般员工应抽取的人数为120×80%=96，故答案是：96．14．已知f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的值有正有负，则实数a的取值范围为（﹣1，﹣）．【考点】函数的值．【分析】函数f（x）=ax+2a+1在x∈[﹣1，1]内是单调函数，从而f（﹣1）f（1）＜0，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=ax+2a+1，当x∈[﹣1，1]时，f（x）的函数值有正有负，∴，或，解得﹣1＜a＜﹣，∴实数a的取值范围是（﹣1，﹣）．故答案为：（﹣1，﹣）．15．在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，则△ABC的面积是9．【考点】正弦定理．【分析】由B与C的度数求出A的度数，确定出sinA的值，再由sinB以及a的值，利用正弦定理求出b的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：∵在△ABC中，a=6，B=30°，C=120°，即A=30°，∴由正弦定理=得：b==6，则S△ABC=absinC=9．故答案为：9．三、解答题本大题共5小题，每小题10分，共50分16．某种产品的广告费支出x与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：如果y与x之间具有线性相关关系．（1）作出这些数据的散点图；（2）求这些数据的线性回归方程；（3）预测当广告费支出为9百万元时的销售额．【考点】回归分析的初步应用．【分析】（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，（2）根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．（3）把所给的广告费支出为9百万元时，代入线性回归方程，做出对应的销售额，这是一个预报值，与真实值之间有一个误差．【解答】解：（1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，如图（2）==5，==50，yi=1390，=145，=7，=15，∴线性回归方程为=7x+15．（3）当x=9时，=78．即当广告费支出为9百万元时，销售额为78百万元．17．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，（I）A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}，代入古典概率的求解公式可求（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}，代入古典概率的求解公式可求【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．18．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的值；（2）若，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．【分析】（1）先根据余弦函数的二倍角公式化简求出cosA的值，再由三角形内角的范围可求出角A的值．（2）先由余弦定理求出bc的值，再代入三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）由2，得1+cosA+cosA=0，即cosA=﹣，∵A为△ABC的内角，∴A=，（2）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA∴a2=（b+c）2﹣bc即12=42﹣bc∴bc=4∴．19．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）先设出等差数列{a n}的公差为d，然后由等差数列的通项公式及题意列出方程，求出首项a1和公差d，进而求出数列{a n}的通项公式；（2）将（1）中所求的{a n}的通项公式代入，即可求出数列{b n}的通项公式，再运用裂项相消法求出其前n项和S n即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由a n=a1+（n﹣1）d得：解得，所以{a n}的通项公式为，（2）因为，所以．20．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣8，g（x）=2x2﹣4x﹣16，（1）求不等式g（x）＜0的解集；（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，求实数m的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）直接因式分解后求解不等式的解集；（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．【解答】解：由g（x）=2x2﹣4x﹣16＜0，得x2﹣2x﹣8＜0，即（x+2）（x﹣4）＜0，解得﹣2＜x＜4．所以不等式g（x）＜0的解集为{x|﹣2＜x＜4}；（2）因为f（x）=x2﹣2x﹣8，当x＞2时，f（x）≥（m+2）x﹣m﹣15成立，则x2﹣2x﹣8≥（m+2）x﹣m﹣15成立，即x2﹣4x+7≥m（x﹣1）．所以对一切x＞2，均有不等式成立．而（当x=3时等号成立）．所以实数m的取值范围是（﹣∞，2]．[附加题]21．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（I）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…22．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足3a n﹣2S n﹣1=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求f（n）=（n∈N+）的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②然后②﹣①得a n+1=3a n，求出数列{a n}是公比为3的等比数列，进一步求出首项，则数列{a n}的通项公式可求；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，求出b n=3n，再求出T n，然后由基本不等式即可求出f（n）的最大值．【解答】解：（1）由3a n﹣2S n﹣1=0，①则3a n+1﹣2S n+1﹣1=0，②②﹣①得a n+1=3a n，∴数列{a n}是公比为3的等比数列．由3a1﹣2S1﹣1=0，得a1=1，∴；（2）由①知，2S n=3a n﹣1，∴b n==3n．．=．当且仅当，即n=4时，等号成立．∴f（n）的最大值为．2018年8月2日。
天津市红桥区2016_2017高一数学下学期期末考试试题(扫描版)
天津市红桥区2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题（扫描版）高一数学(1706)一、选择题 每题4分二、填空题 每题4分 （9） π48（10） {x x <<12或x >（11） 5 （12） 8（13） a ≤0或a ≥6 三、解答题x -<-<131 ………………………………………………………9分 {}x x <<24 ………………………………………………………12分 15. 解：(1)由频率分布表得m n ...++++=0050150351 ………………1分, 即m n .+=045………………………………………………………………………2分 由抽取的20个零件中,等级为5的恰有2个, 得n .==20120………………………………………………………………………3分 所以m ...=-=04501035………………………………………………………4分 (2)：由(1)得,等级为3的零件有3个,记作x 1，x 2,x 3；等级为5的零件有2个,记作y 1,y2.从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2中任意抽取2个零件,所有可能的结果为:（x 1,x 2）,（x 1,x 3）,（x 1,y 1）, （x 1,y2）,（x 2,x 3）,（x 2,y 1）,（x 2,y 2）,（x 3,y 1）（x 3,y 2）,（y 1,y 2）共计10种. ……………………………………………………………………………8分 记事件A 为“从零件x 1,x 2 ,x 3,y 1,y 2中任取2件,其等级相等”.则A 包含的基本事件为（x 1,x 2）,（x 1,x 3）, （x 2,x 3）, （y 1,y 2）共4个.……10分……………………………………………………12分 ………………………………………………万元，则目标函数为z =3x +2y z x -+322，即y x .=-15y 轴上的截距，当z2取最大值时，观察图象发现，当直线y =取最大值，即z 的值也最大，联立(3,2)， ……………………………………………………………………max z =⨯+⨯=3322答：生产A 种产品3吨，B 种产品。
2016-2017学年天津市部分区高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
天津市部分区2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B 车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样系统抽样B．分层抽样简单随机抽样C．系统抽样简单随机抽样 D．简单随机抽样分层抽样2．（4分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n﹣m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（4分）给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是（）A．B．C．D．5．（4分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．D．36．（4分）在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则a的值为（）A．1或2 B．1 C．2 D．7．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A． B． C． D．8．（4分）若a，b，c，d∈R，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则＜9．（4分）从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：根据如表可得回归方程=0.56x+，据此模型可预报身高为172cm的高一男生的体重为（）A．70.12kg B．70.29kg C．70.55kg D．71.05kg10．（4分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），则S5等于（）A．85 B．255 C．341 D．1023二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）把二进制数110101（2）转化为十进制数为 ．12．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值是 ．13．（4分）已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若a 6=5，S 4=12a 4，则公差d 的值为 ．14．（4分）在[﹣5，5]上随机的取一个数a ，则事件“不等式x 2+ax +a ≥0对任意实数x 恒成立”发生的概率为 ．15．（4分）已知a ＞0，b ＞0，且是3a 与3b 的等比中项，若+≥2m 2+3m 恒成立， 则实数m 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N 的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求出表中N 及a ，b ，c 的值；（Ⅱ）求频率分布直方图中d 的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2a sin B=b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（i）列出所有可能抽取的结果；（ii）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．【参考答案】一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．B【解析】①个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多可简单随机抽样法．故选B．2．D【解析】由茎叶图，得：甲组学生成绩的平均数：m==88，乙组学生成绩的中位数：n=89，n﹣m=89﹣88=1．故选D．3．C【解析】在①中，某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确．故选C．4．B【解析】设口袋中装有一些大小相同的红球和黑球的个数分别为a，b，∵从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，∴，解得a=4，b=2，∴取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率：p==．故选B．5．C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，解得A（1，），代入目标函数z=2x+y得z=2×1+=．即目标函数z=2x+y的最大值为．故选C．6．A【解析】由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accos30∘，∵b=1，c=，B=30°，∴1=a2+3﹣2a××=a2+3﹣3a，∴a2﹣3a+2=0，解得a=1或a=2，故选A．7．B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=1++ +…的值，由于：S=1+++…==．故选B．8．D【解析】对于A：若a=0，b=﹣1，则不满足，对于B：若a=1，b=﹣1，c=0，d=﹣2，则不满足，对于C：若a=﹣2，b=﹣1，则不满足，对于D：若a＞b＞0，c＜d＜0，则ac＜bd，两边同除以cd得到＜．故选D.9．A【解析】根据已知数据，计算=×（160+165+170+175+180）=170，=×（63+66+70+72+74）=69，回归系数=﹣=69﹣0.56×170=﹣26.2，∴y与x的线性回归方程为=0.56x﹣26.2；把x=172代入线性回归方程中，计算=0.56×172﹣26.2=70.12，∴估计该男生的体重为70.12kg．故选A．10．C【解析】∵数列{a n}的前n项和为S n，a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），∴a2=3a1+1，∴a1+3a1+1=5，解得a1=1，a2=4，a3=3S2+1=3（1+4）+1=16，a4=3S3+1=3（1+4+16）+1=64，a5=3S4+1=3（1+4+16+64）+1=256，∴S5=1+4+16+64+256=341．故选C．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．53【解析】110101（2）=1+1×22+1×24+1×25=53故答案为53．12．9【解析】模拟程序的运行，可得a=1，b=9满足条件a＜b，执行循环体，a=5，b=7满足条件a＜b，执行循环体，a=9，b=5不满足条件a＜b，退出循环，输出a的值为9．故答案为9．13．【解析】∵{a n}是等差数列，S n为其前n项和，a6=5，S4=12a4，∴，解得，d=．∴公差d的值为．故答案为．14．【解析】由已知不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立，所以△=a2﹣4a≤0，解答0≤a≤4，，所以在[﹣5，5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为：；故答案为．15．[﹣3，]【解析】a＞0，b＞0，且是3a与3b的等比中项，可得3a•3b=（）2，即有a+b=1，+=（a+b）（+）=1+4++≥5+2=5+4=9，当且仅当b=2a=时，取得等号，即最小值为9．由+≥2m2+3m恒成立，可得2m2+3m≤9，解得﹣3≤m≤．故答案为[﹣3，]．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．解：（Ⅰ）由频率分布表得：，解得N=200，a=80，b=0.4，c=0.2．（Ⅱ）由频率分布表得[25，27.5）频率为0.2，∴d==0.08．（Ⅲ）由频率分布表知产品的质量不少于25千克的频率为0.2+0.1=0.3，∴从该产品中随机抽取一件，估计这件产品的质量少于25千克的概率p=1﹣0.3=0.7．17．解：（Ⅰ）∵在△ABC中，若b=2a sin B，可得sin B=2sin A sin B，∴由sin B≠0，可得sin A=，∵A为锐角，∴A=60°．（Ⅱ）∵A=60°．a=，△ABC的面积为=bc sin A=bc，∴bc=6，∴由余弦定理可得：7=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣18，∴解得：b+c=5，∴△ABC的周长l=a+b+c=+5．18．解：（Ⅰ）∵高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．∴A班有学生：=32人，B班有学生：=40人，C班有学生：=48人．（Ⅱ）（i）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析，基本事件总数有15个，分别为：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，{}，{C3，C5}，{C3，C6}，{C4，C5}，{C4，C6}，{C5，C6}．（ii）A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，则事件A包含的基本事件个数为8，分别为：{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，C5}，{C1，C6}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，C5}，{C2，C6}，∴事件A发生的概率p=．19．解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），∴a1=S1==5，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣[]=3n+2，当n=1时，上式成立，∴数列{a n}的通项公式为a n=3n+2．∵数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列，∴，解得q=2．∴数列{b n}的通项公式b n=4×2n﹣1=2n+1．（Ⅱ）∵c n=a n•b n=（3n+2）•2n+1=（6n+4）•2n，∴数列{c n}的前n项和：T n=10×2+16×22+22×23+…+（6n+4）×2n，①2T n=10×22+16×23+22×23+…+（6n+4）×2n+1，②①﹣②，得：﹣T n=20+6（22+23+…+2n）﹣（6n+4）×2n+1=20+6×﹣（6n+4）×2n+1=﹣4﹣（6n﹣2）×2n+1，∴T n=（6n﹣2）×2n+1+4．20．解：（Ⅰ）当a=时，不等式f（x）＜3，即为x2+x+1＜3，即3x2+x﹣4＜0，解得﹣＜x＜1，则原不等式的解集为（﹣，1）；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，即有x2+ax+1＞0在0＜x＜2恒成立，即为﹣a＜x+在0＜x＜2恒成立，由y=x+的导数为y′=﹣，可得函数y在（0，）递减，（，2）递增，则y=x+的最小值为2=，即有﹣a＜，解得a＞﹣；（Ⅲ）f（x）﹣a2﹣1＞0，即为3x2+2ax﹣a2＞0，即（x+a）（3x﹣a）＞0，当a=0时，即为x2＞0，解集为{x|x≠0}；当a＞0时，＞﹣a，解集为{x|x＞或x＜﹣a}；当a＜0时，＜﹣a，解集为{x|x＜或x＞﹣a}．。
2016-2017年天津市五区县高一(上)数学期末试卷及答案
2016-2017学年天津市五区县高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）已知幂函数y=x n的图象经过点（2，8），则此幂函数的解析式是（）A．y=2x B．y=3x C．y=x3 D．y=x﹣12．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，集合B={3，6}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，2，4}B．{1，2，4，5}C．{2，4}D．{5}3．（4分）在△ABC中，点M是BC的中点，设=，=，则=（）A．+ B．﹣C．+ D．﹣4．（4分）已知a=20.3，b=log 0.23，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a5．（4分）函数y=sin（2x+）的图象可以由函数y=sin2x的图象（）得到．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．（4分）函数f（x）=x﹣log x的零点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个7．（4分）已知sin（π+α）=，则cos（α﹣π）的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣8．（4分）已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，若++=，则点P与△ABC的位置关系是（）A．P在AC边上B．P在AB边上或其延长线上C．P在△ABC外部D．P在△ABC内部9．（4分）函数y=3﹣2cos（2x﹣）的单调递减区间是（）A．（kπ+，kπ+）（k∈Z）B．（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）C．（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）D．（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）10．（4分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则满足f （log x）＞0的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，）∪（2，+∞）C．（0，）D．（0，）∪（1，2）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）sin210°=．12．（4分）已知A（2，3），B（4，﹣3），且=3，则点P的坐标为．13．（4分）函数f（x）=lg（1﹣2x）的定义域为．14．（4分）已知函数f（x）=（a∈R），若f（f（﹣））=1，则a的值为．15．（4分）在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点，则=．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）已知向量=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．（1）求|﹣2|；（2）若（+λ）与垂直，求实数λ的值．17．（12分）已知全集U=R，集合A={x|1＜2x﹣1＜5}，B={y|y=（）x，x≥﹣2}．（1）求（∁U A）∩B；（2）若集合C={x|a﹣1＜x﹣a＜1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（x∈R，m∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[0，]上的最大值是6，求f（x）在区间[0，]上的最小值．19．（12分）已知sinα=，且α∈（，π）．（1）求tan（α+）的值；（2）若β∈（0，），且cos（α﹣β）=，求cosβ的值．20．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣2﹣x）（a＞0，且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）当x∈（﹣1，1）时，总有f（m﹣1）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．2016-2017学年天津市五区县高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（4分）已知幂函数y=x n的图象经过点（2，8），则此幂函数的解析式是（）A．y=2x B．y=3x C．y=x3 D．y=x﹣1【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，8），∴f（2）=8=23，从而α=﹣3函数的解析式f（x）=x3，故选：C．2．（4分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，4}，集合B={3，6}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，2，4}B．{1，2，4，5}C．{2，4}D．{5}【解答】解：∵集合A={1，2，4}，集合B={3，6}，∴A∪B={1，2，3，4，6}，则∁U（A∪B）={5}，故选：D．3．（4分）在△ABC中，点M是BC的中点，设=，=，则=（）A．+ B．﹣C．+ D．﹣【解答】解：如图作平行四边形ABDC，则有．故选：C．4．（4分）已知a=20.3，b=log0.23，c=log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【解答】解：∵a=20.3＞20=1，b=log0.23＜log0.21=0，0=log31＜c=log32＜log33=1，∴a，b，c的大小关系是b＜c＜a．故选：D．5．（4分）函数y=sin（2x+）的图象可以由函数y=sin2x的图象（）得到．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：把函数y=sin2x的图象，向左平移个单位长度，可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，故选：C．6．（4分）函数f（x）=x﹣log x的零点个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数多个【解答】解：函数f（x）=x﹣log x的零点个数，就是函数y=x与y=log x，两个函数的图象的交点个数，如图：可知函数的图象只有一个交点．函数f（x）=x﹣log x的零点个数为：1个．故选：B．7．（4分）已知sin （π+α）=，则cos （α﹣π）的值为（ ） A ． B ．﹣ C ．D ．﹣【解答】解：由sin （π+α）=得，sinα=﹣， 所以cos （α﹣π）=cos （π﹣α）=﹣sinα=， 故选：A ．8．（4分）已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若++=，则点P 与△ABC 的位置关系是（ ） A ．P 在AC 边上 B ．P 在AB 边上或其延长线上 C ．P 在△ABC 外部 D ．P 在△ABC 内部 【解答】解：∵∴=∴∴∴P 在AC 的三等分点上 故选：A ．9．（4分）函数y=3﹣2cos （2x ﹣）的单调递减区间是（ ）A ．（kπ+，kπ+）（k ∈Z ）B ．（kπ﹣，kπ+）（k ∈Z ）C ．（2kπ+，2kπ+）（k ∈Z ） D ．（2kπ﹣，2kπ+）（k ∈Z ）【解答】解：函数y=3﹣2cos （2x ﹣）的单调递减区间，即函数y=2cos （2x ﹣）的单调递增区间，令2kπ﹣π≤2x ﹣≤2kπ，求得kπ﹣≤x ≤kπ+，可得原函数的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z ．结合所给的选项，故选：B ．10．（4分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（1）=0，则满足f （log x）＞0的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，）∪（2，+∞）C．（0，）D．（0，）∪（1，2）【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上是增函数，又f（1）=0，∴不等式f（log x）＞0等价为f（|log x|）＞f（1），即|log x|＞1，则log x＞1或log x＜﹣1，解得0＜x＜2或x，故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．（4分）sin210°=﹣．【解答】解：sin210°=sin（180°+30°）=﹣sin30°=﹣．故答案为：﹣12．（4分）已知A（2，3），B（4，﹣3），且=3，则点P的坐标为（8，﹣15）．【解答】解：设P（x，y），∵A（2，3），B（4，﹣3），且=3，∴（x﹣2，y﹣3）=3（2，﹣6）=（6，﹣18），∴，解得x=8，y=﹣15，∴点P的坐标为（8，﹣15）．故答案为：（8，﹣15）．13．（4分）函数f（x）=lg（1﹣2x）的定义域为（﹣∞，0）．【解答】解：∵f（x）=lg（1﹣2x）根据对数函数定义得1﹣2x＞0，解得：x＜0故答案为：（﹣∞，0）14．（4分）已知函数f（x）=（a∈R），若f（f（﹣））=1，则a的值为8．【解答】解：函数f（x）=（a∈R），若f（f（﹣））=1，可得f（﹣）=，f（f（﹣））=f（）=1，a×=1，解得a=8．故答案为：815．（4分）在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点，则=﹣．【解答】解：由题意可得=2×1×cos60°=1，∴=（）•（+）=（）•（﹣）=﹣++=﹣×4+×1+1=﹣，故答案为﹣．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）已知向量=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．（1）求|﹣2|；（2）若（+λ）与垂直，求实数λ的值．【解答】解：（1）∵=（1，0），=（m，1），且与的夹角为．∴=m，||=1，||=，cos＜＞==，解得m=1，或m=﹣1（舍）∴=（﹣1，﹣2），∴|﹣2|==．（2）∵=（1+λ，λ），（+λ）与垂直，∴，解得．17．（12分）已知全集U=R，集合A={x|1＜2x﹣1＜5}，B={y|y=（）x，x≥﹣2}．（1）求（∁U A）∩B；（2）若集合C={x|a﹣1＜x﹣a＜1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由集合A={x|1＜2x﹣1＜5}={x|1＜x＜3}，∴C U A={x|x≤1，或x≥3}∵B={y|y=（）x，x≥﹣2}={y|0＜y≤4}∴（C U A）∩B={x|0＜x≤1，或3≤x≤4}，（2）C={x|a﹣1＜x﹣a＜1}={x|2a﹣1＜x＜a+1}，当2a﹣1≥a+1时，即a≥2时，C=∅，满足C⊆A，当a＜2时，由题意，解得1≤a＜2，综上，实数a的取值范围是[1，+∞）18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m，（x∈R，m∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（x）在区间[0，]上的最大值是6，求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）+m=sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+）+1+m，故函数f（x）的最小正周期为π．（2）在区间[0，]上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最大值为2+1+m=6，∴m=3．故当2x+=时，f（x）取得最小值为﹣1+1+m=3．19．（12分）已知sinα=，且α∈（，π）．（1）求tan（α+）的值；（2）若β∈（0，），且cos（α﹣β）=，求cosβ的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵sinα=，且α∈（，π），∴cosα=，…（2分）∴tanα==﹣，…（4分）∴tan（α+）==．…（6分）（2）∵α∈（，π），β∈（0，），∴α﹣β∈（0，π），…（7分）又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）=，…（9分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（11分）=（﹣）×+×=．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=（2x﹣2﹣x）（a＞0，且a≠1）．（1）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；（2）当x∈（﹣1，1）时，总有f（m﹣1）+f（m）＜0，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（﹣x）=（2﹣x﹣2x）=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），∴f （x ）为奇函数．…（2分）设x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）=（﹣﹣+）=（﹣）（1+），∵y=2x 是增函数，∴﹣＜0，又1+＞0，∴当0＜a ＜1时，f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2），函数f （x ）是减函数当a ＞1时，f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2），函数f （x ）是增函数．…（6分）（2）由f （m ﹣1）+f （m ）＜0得f （m ）＜﹣f （m ﹣1）由（1）知f （x ）为奇函数，∴f （m ）＜f （1﹣m ） …（8分）又由（1）得当0＜a ＜1时，函数f （x ）是减函数 ∴解得＜m ＜1 …（10分）当a ＞1时，函数f （x ）是增函数∴，解得0＜m ＜．…（12分）。
2016-2017学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（文科）一.选择题（每题4分）1．（4分）若a，b，c∈R，下列命题是真命题的是（）A．如果a＞b，那么ac＞bcB．如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣dC．如果a＞b，那么ac2＞bc2D．如果a＞b，那么a n＞b n（n∈N*）2．（4分）i是虚数单位，则的虚部是（）A．1B．﹣1C．﹣i D．i3．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．31B．15C．7D．34．（4分）已知集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，B＝{x|x＜1，或x＞3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x＜2，或x＞3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1，或x＞3}5．（4分）用反证法证明命题“若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是（）A．假设a，b，c都不为0B．假设a，b，c不都为0C．假设a，b，c至多有一个为0D．假设a，b，c都为06．（4分）下列函数中，既在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2B．y＝x﹣1C．y＝﹣e x D．y＝ln|x|7．（4分）设a＝log2，b＝log32，c＝1.10.02，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a8．（4分）若函数f（x）＝|x2﹣4x|﹣a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（﹣∞，﹣4）C．（4，+∞）D．（0，4）9．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，类比以上结论，设等比数列{b n}的前n项积为T n，则（）A．T n，T2n，T3n成等比数列B．T n，T2n﹣T n，T3n﹣T2n成等差数列C．T n，，成等比数列D．T n，T2n﹣T n，T3n﹣T2n成等比数列10．（4分）设函数f（x）＝，若f（a）＝f（b）＝c（a≠b），且f′（a）＜0（f′（x）为函数f（x）的导数），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a二.填空题11．（4分）已知回归直线方程为＝0.5x﹣0.18，则当x＝20时，y的估计值是．12．（4分）若由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈6.630，则判断“这两个分类变量有关系”时，犯错误的最大概率是．参考数据：13．（4分）在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1，猜想这个数列的通项公式是．14．（4分）函数y＝在区间[，e]上的最小值是．15．（4分）若x，y∈R，且3x+9y＝2，则x+2y的最大值是．三.解答题16．（12分）已知i是虚数单位，且（1+2i）＝3+i．（1）求z；（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．17．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（f（﹣2））的值；（2）解不等式f（x）＞2．18．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．19．（12分）（1）若a＞b＞0，求证：＞；（2）若a＞0，b＞0，且a+b＝1，求的最小值．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+1（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．2016-2017学年天津市部分区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每题4分）1．（4分）若a，b，c∈R，下列命题是真命题的是（）A．如果a＞b，那么ac＞bcB．如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣dC．如果a＞b，那么ac2＞bc2D．如果a＞b，那么a n＞b n（n∈N*）【解答】解：对于A，如果a＞b，那么ac＞bc，是假命题，因为c≤0时不成立；对于B，如果a＞b，c＜d，那么a﹣c＞b﹣d，是真命题，因为c＜d，所以﹣c＞﹣d，所以a﹣c＞b﹣d；对于C，如果a＞b，那么ac2＞bc2，是假命题，因为c＝0时不成立；对于D，如果a＞b，那么a n＞b n（n∈N*），是假命题，因为a＝0，b＝﹣1，n＝2时不成立．故选：B．2．（4分）i是虚数单位，则的虚部是（）A．1B．﹣1C．﹣i D．i【解答】解：＝，则的虚部是：1．故选：A．3．（4分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．31B．15C．7D．3【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝1满足条件i＜4，执行循环体，S＝3，i＝2满足条件i＜4，执行循环体，S＝7，i＝3满足条件i＜4，执行循环体，S＝15，i＝4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为15．故选：B．4．（4分）已知集合A＝{x||2x﹣1|＜3}，B＝{x|x＜1，或x＞3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|x＜2，或x＞3}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜﹣1，或x＞3}【解答】解：∵集合A＝{x||2x﹣1|＜3}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＜1，或x＞3}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}．故选：C．5．（4分）用反证法证明命题“若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是（）A．假设a，b，c都不为0B．假设a，b，c不都为0C．假设a，b，c至多有一个为0D．假设a，b，c都为0【解答】解：用反证法证明命题“若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为0”时，假设正确的是：假设a，b，c都不为0．故选：A．6．（4分）下列函数中，既在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．y＝﹣x2B．y＝x﹣1C．y＝﹣e x D．y＝ln|x|【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、y＝﹣x2，为二次函数，在区间（﹣∞，0）单调递增，不符合题意；对于B、y＝x﹣1＝，为反比例函数，在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为奇函数，不符合题意；对于C、y＝﹣e x，为非奇非偶函数，不符合题意；对于D、y＝ln|x|，f（﹣x）＝ln|﹣x|＝lnx＝f（x），为偶函数，在（﹣∞，0）上，f（x）＝ln （﹣x），为减函数，符合题意；故选：D．7．（4分）设a＝log2，b＝log32，c＝1.10.02，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵a＝log2＜log21＝0，0＝log31＜b＝log32＜log33＝1，c＝1.10.02＞1.10＝1，∴a，b，c的大小为a＜b＜c．故选：B．8．（4分）若函数f（x）＝|x2﹣4x|﹣a有4个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（﹣∞，﹣4）C．（4，+∞）D．（0，4）【解答】解：令f（x）＝0得|x2﹣4x|＝a，作出y＝|x2﹣4x|的函数图象如图所示：∵f（x）＝|x2﹣4x|﹣a有4个零点，∴直线y＝a与y＝|x2﹣4x|的图象有4个交点，∴0＜a＜4．故选：D．9．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n成等差数列，类比以上结论，设等比数列{b n}的前n项积为T n，则（）A．T n，T2n，T3n成等比数列B．T n，T2n﹣T n，T3n﹣T2n成等差数列C．T n，，成等比数列D．T n，T2n﹣T n，T3n﹣T2n成等比数列【解答】解：由于等差数列的定义是后一项减去前一项而等比数列的定义是后一项除以前一项，在运算上升了一级，故将差类比成比，故T n，，成等比数列，故选：C．10．（4分）设函数f（x）＝，若f（a）＝f（b）＝c（a≠b），且f′（a）＜0（f′（x）为函数f（x）的导数），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，由f′（x）＝，可得1＜b＜9，a＞9，log3b＝+1＝c，可得0＜c＜2，b＝3c，b﹣c＝3c﹣c，0＜c＜2，由g（c）＝3c﹣c，0＜c＜2，g′（c）＝3c ln3﹣1＞0，g（c）在（0，2）递增，可得g（c）＞g（0）＝1＞0，即有b＞c，即a＞b＞c．故选：C．二.填空题11．（4分）已知回归直线方程为＝0.5x﹣0.18，则当x＝20时，y的估计值是9.82．【解答】解：把x＝20代入回归直线方程＝0.5x﹣0.18中，计算＝0.5×20﹣0.18＝9.82，即x＝20时y的估计值是9.82．故答案为：9.82．12．（4分）若由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈6.630，则判断“这两个分类变量有关系”时，犯错误的最大概率是0.025．参考数据：【解答】解：根据数据计算得K2的观测值k≈6.630＞5.024，所以判断“这两个分类变量有关系”时，犯错误的最大概率是0.025．故答案为：0.025．13．（4分）在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1，猜想这个数列的通项公式是．【解答】解：∵在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1，∴a n+1+1＝2（a n+1），即，∵a1+1＝2，∴{a n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴．故答案为：．14．（4分）函数y＝在区间[，e]上的最小值是e．【解答】解：函数y＝的导函数为：y′＝，令y′＝0，可得x＝1，所以x∈[]，y′＜0，函数是减函数，x∈[1，e]，y′＞0，函数是增函数，所以函数在x＝1时，取得极小值也是最小值：f（1）＝e．故答案为：e．15．（4分）若x，y∈R，且3x+9y＝2，则x+2y的最大值是0．【解答】解：∵3x+9y＝2，∴2＝3x+9y≥2＝2，当且仅当x＝0，y＝0时取等号，∴3x+2y≤1＝30，∴x+2y≤0，∴则x+2y的最大值是0，故答案为：0三.解答题16．（12分）已知i是虚数单位，且（1+2i）＝3+i．（1）求z；（2）若z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，求实数p，q的值．【解答】解：（1）由（1+2i）＝3+i．得，则z＝1+i；（2）∵z＝1+i是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，∴（1+i）2+p（1+i）+q＝0，即p+q+（2+p）i＝0．∴，解得．17．（12分）已知函数f（x）＝．（1）求f（f（﹣2））的值；（2）解不等式f（x）＞2．【解答】解：（1）函数f（x）＝．可得f（﹣2）＝﹣2+5＝3，f（3）＝9﹣12+5＝2，即有f（f（﹣2））＝2；（2）当x＜0时，x+5＞2，解得﹣3＜x＜0；当x≥0时，x2﹣4x+5＞2，即为x＞3或x＜1，可得x＞3或0≤x＜1．综上可得x＞3或﹣3＜x＜1．即有不等式的解集为{x|x＞3或﹣3＜x＜1}．18．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x﹣lnx．（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）f′（x）＝2x﹣1﹣，故f（1）＝0，f′（1）＝0，故切线方程是y＝0；（2）由（1）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．19．（12分）（1）若a＞b＞0，求证：＞；（2）若a＞0，b＞0，且a+b＝1，求的最小值．【解答】证明：（1）a＞b＞0，要证：＞，只要证＞，只要证（a+b）2＞a2+b2，只要证2ab＞0，显然成立，故＞，解：（2）∵a+b＝1，∴＝+＝4++≥4+2＝8，当且仅当a＝，b＝时取等号，∴的最小值8．20．（12分）已知函数f（x）＝x3+ax2+1（a∈R）．（1）当a＞0时，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2ax＝x（3x+2a）（a＞0），令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣a，令f′（x）＜0，解得：﹣a＜x＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，在（﹣a，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）极大值＝f（﹣a）＝﹣a3+a•a2+1＝a3+1，f（x）极小值＝f（0）＝1．（2）由（1）a≥0时，f（x）在[1，2]递减，不合题意，a＜0时，f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，﹣a）递减，在（﹣a，+∞）递增，若f（x）在[1，2]递减，则[1，2]⊆[0，﹣a]，故﹣a≥2，解得：a≤﹣3，故a的范围是（﹣∞，﹣3]．。
2017年天津市部分区高一下学期数学期末考试试卷
2017年天津市部分区高一下学期数学期末考试试卷一、选择题（共10小题；共50分）1. 某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①，某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A. 分层抽样系统抽样B. 分层抽样简单随机抽样C. 系统抽样简单随机抽样D. 简单随机抽样分层抽样2. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则n−m的值是( )A. −2B. −1C. 0D. 13. 给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 34. 口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是25，都是黑球的概率是115，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是( )A. 715B. 815C. 35D. 14155. 若x，y满足约束条件{x−y+1≥0,x−2y≤0,x+2y−2≤0,则z=2x+y的最大值为( )A. −5B. 1C. 52D. 36. 在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=√3，∠B=30∘，则a的值为( )A. 1或2B. 1C. 2D. √37. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A. 511256B. 255128C. 12764D. 63328. 若a,b,c,d∈R，则下列结论正确的是( )A. 若a>b，则a2>b2B. 若a>b，c>d，则ac>bdC. 若a<b<0，则1a <1bD. 若a>b>0，c<d<0，则ad<bc9. 从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：身高x(cm)160165170175180体重y(kg)6366707274根据上表可得回归方程y^=0.56x+a^，据此模型可估计身高为172cm的高一男生的体重为( )A. 70.12kgB. 70.29kgC. 70.55kgD. 71.05kg10. 设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1(n∈N∗)，则S5等于( )A. 85B. 255C. 341D. 1023二、填空题（共5小题；共25分）11. 把二进制数110101(2)转化为十进制数为．12. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a的值是．13. 已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若a6=5，S4=12a4，则公差d的值为．14. 在[−5,5]上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为．15. 已知a>0，b>0，且√3是3a与3b的等比中项，若1a +4b≥2m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题；共65分）16. 为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：分组频数频率[17.5,20)100.05[20,225)500.25[22.5,25)a b[25,27.5)40c[27.5,30]200.10合计N1（1）求出表中N及a，b，c的值；（2）求频率分布直方图中d的值；（3）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17. 在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，△ABC的面积为3√32，求△ABC的周长．18. 某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（1）求A，B，C三个班各有学生多少人；（2）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（ⅰ）列出所有可能抽取的结果；（ⅱ）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19. 已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=32n2+72n(n∈N∗)，数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3−3，b2+2成等差数列．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）令c n=a n⋅b n(n∈N∗)，求数列{c n}的前n项和T n．20. 已知函数f(x)=32x2+ax+1(a∈R)．（1）当a=12时，求不等式f(x)<3的解集；（2）当0<x<2时，不等式f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求关于x的不等式f(x)−12a2−1>0的解集．答案第一部分 1. B 【解析】①个体有明显差异，所以选用分层抽样法，②个体没有差异且总数不多，可用简单随机抽样法．2. D【解析】由茎叶图，得：甲组学生成绩的平均数：m =17(78+88+84+86+92+93+95)=88，乙组学生成绩的中位数：n =89，n −m =89−88=1． 3. C 【解析】在①中，某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确． 4. B【解析】设口袋中装有一些大小相同的红球和黑球的个数分别为 a ，b ，因为从中取出 2 个球．两个球都是红球的概率是 25，都是黑球的概率是 115， 所以 {C a2C a+b 2=25,C b 2C a+b 2=115,解得 a =4，b =2，所以取出的 2 个球中恰好一个红球一个黑球的概率：P =C 41C 21C 62=815．5. C【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），由 z =2x +y 得 y =−2x +z ，平移直线 y =−2x +z ，由图象可知当直线 y =−2x +z 经过点 A 时，直线 y =−2x +z 的截距最大，此时 z 最大． 由 {x −2y =0,x +2y −2=0,解得 A (1,12)，代入目标函数 z =2x +y 得 z =2×1+12=52．即目标函数 z =2x +y 的最大值为 52． 6. A【解析】由余弦定理可得 b 2=a 2+c 2−2accos30∘，因为 b =1，c =√3，B =30∘， 所以 1=a 2+3−2a ×√3×√32=a 2+3−3a ，所以 a 2−3a +2=0，解得 a =1 或 a =2．7. B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量 S =1+12+122+⋯+127的值，由于：S =1+12+122+⋯+127=1−127×121−12=255128．8. D【解析】对于A ：若 a =0，b =−1，则不满足，对于B ：若 a =1，b =−1，c =0，d =−2，则不满足， 对于C ：若 a =−2，b =−1，则不满足，对于D ：若 a >b >0，c <d <0，则 ac <bd ，两边同除以 cd 得到 ad<bc ．9. A【解析】根据已知数据，计算 x =15×(160+165+170+175+180)=170，y =15×(63+66+70+72+74)=69，a ^=69−0.56×170=−26.2，所以 y 与 x 的线性回归方程为 y ^=0.56x −26.2；把 x =172 代入线性回归方程中，计算 y ^=0.56×172−26.2=70.12， 所以估计该男生的体重为 70.12 kg ． 10. C【解析】因为数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，a 1+a 2=5，a n+1=3S n +1(n ∈N ∗)， 所以 a 2=3a 1+1， 所以 a 1+3a 1+1=5，解得 a 1=1，a 2=4，a 3=3S 2+1=3×(1+4)+1=16， a 4=3S 3+1=3×(1+4+16)+1=64， a 5=3S 4+1=3×(1+4+16+64)+1=256， 所以 S 5=1+4+16+64+256=341． 第二部分 11. 53【解析】110101(2)=1+1×22+1×24+1×25=53． 12. 9【解析】模拟程序的运行，可得 a =1，b =9 满足条件 a <b ，执行循环体，a =5，b =7 满足条件 a <b ，执行循环体，a =9，b =5 不满足条件 a <b ，退出循环，输出 a 的值为 9． 13. 4【解析】因为 {a n } 是等差数列，S n 为其前 n 项和，a 6=5，S 4=12a 4，所以 {a 1+5d =5,4a 1+4×32d =12(a 1+3d ),解得 a 1=−15，d =4， 所以公差 d 的值为 4． 14. 25【解析】由已知不等式 x 2+ax +a ≥0 对任意实数 x 恒成立，所以 Δ=a 2−4a ≤0，解答 0≤a ≤4，所以在 [−5,5] 上随机的取一个数 a ，则事件“不等式 x 2+ax +a ≥0 对任意实数 x 恒成立”发生的概率为：4−05−(−5)=25．15. [−3,32]【解析】a >0，b >0，且 √3 是 3a 与 3b 的等比中项， 可得 3a ⋅3b =(√3)2， 即有 a +b =1，1a +4b =(a +b )(1a +4b )=1+4+ba +4a b≥5+2√ba ⋅4a b=5+4=9,当且仅当 b =2a =23 时，取得等号，即最小值为 9． 由 1a +4b ≥2m 2+3m 恒成立，可得 2m 2+3m ≤9， 解得 −3≤m ≤32． 第三部分16. （1） 由频率分布表得：{0.0510=c 40=ba ,0.05+0.25+b +c +0.1=1,N =10+50+a +40+20,解得 N =200，a =80，b =0.4，c =0.2． （2） 由频率分布表得 [25,27.5) 频率为 0.2， 所以 d =0.22.5=0.08．（3） 由频率分布表知产品的质量不少于 25 千克的频率为 0.2+0.1=0.3，所以从该产品中随机抽取一件，估计这件产品的质量少于 25 千克的概率为 P =1−0.3=0.7． 17. （1） 在 △ABC 中，若 √3b =2asinB ， 由正弦定理可得 √3sinB =2sinAsinB ， 所以由 sinB ≠0，可得 sinA =√32， 因为 A 为锐角，所以 A =60∘．（2） 因为 A =60∘，a =√7，△ABC 的面积为 3√32=12bcsinA =√34bc ，所以 bc =6，所以由余弦定理可得：7=b 2+c 2−bc =(b +c )2−3bc =(b +c )2−18，所以解得：b +c =5，所以 △ABC 的周长 C =a +b +c =√7+5．18. （1） 因为高一年级的A ，B ，C 三个班共有学生 120 人，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取 4，5，6 名学生进行调查．所以A 班有学生：44+5+6×120=32 人，B 班有学生：54+5+6×120=40 人，C 班有学生：64+5+6×120=48 人．（2） （i ）记从C 班抽取学生的编号依次为 C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6， 现从这 6 名学生中随机抽取 2 名做进一步的数据分析，基本事件总数有 15 个，分别为：{C 1,C 2}，{C 1,C 3}，{C 1,C 4}，{C 1,C 5}，{C 1,C 6}，{C 2,C 3}，{C 2,C 4}，{C 2,C 5}，{C 2,C 6}，{C 3,C 4}，{C 3,C 5}，{C 3,C 6}，{C 4,C 5}，{C 4,C 6}，{C 5,C 6}．（ii ）A 为事件“编号为 C 1 和 C 2 的 2 名学生中恰有一人被抽到”，则事件 A 包含的基本事件个数为 8，分别为：{C 1,C 3}，{C 1,C 4}，{C 1,C 5}，{C 1,C 6}，{C 2,C 3}，{C 2,C 4}，{C 2,C 5}，{C 2,C 6}， 所以事件 A 发生的概率 P =815．19. （1） 因为数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n =32n 2+72n (n ∈N ∗)， 所以 a 1=S 1=32+72=5，当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1=(32n 2+72n)−[32(n −1)2+72(n −1)]=3n +2.当 n =1 时，上式成立，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =3n +2．因为数列 {b n } 是首项为 4 的正项等比数列，且 2b 2，b 3−3，b 2+2 成等差数列， 所以 {2×(4q 2−3)=2×(4q )+4q +2,q >0, 解得 q =2．所以数列 {b n } 的通项公式 b n =4×2n−1=2n+1． （2） 因为 c n =a n ⋅b n=(3n +2)⋅2n+1=(6n +4)⋅2n .所以数列 {c n } 的前 n 项和为：T n =10×2+16×22+22×23+⋯+(6n +4)×2n , ⋯⋯① 2T n =10×22+16×23+22×24+⋯+(6n +4)×2n+1, ⋯⋯② ①−②，得：−T n =20+6(22+23+⋯+2n )−(6n +4)×2n+1=20+6×4(1−2n−1)1−2−(6n +4)×2n+1=−4−(6n −2)×2n+1.所以 T n =(6n −2)×2n+1+4． 20. （1） 当 a =12 时，不等式 f (x )<3，即为 32x 2+12x +1<3，即 3x 2+x −4<0， 解得 −43<x <1，则原不等式的解集为 (−43,1)．（2） 当 0<x <2 时，不等式 f (x )>0 恒成立，即有32x2+ax+1>0在0<x<2上恒成立，即为−a<32x+1x在0<x<2上恒成立，由y=32x+1x的导数为yʹ=32−1x2，令yʹ=0且0<x<2，则x=√63，令yʹ<0，则0<x<√63，可得函数y在(0,√63)上递减，令yʹ>0，则√63<x<2，则函数y(√63,2)上递增，当x=√63时y有最小值，则y=32x+1x的最小值为2√32=√6，即有−a<√6，解得a>−√6；则实数a的取值范围是(−√6,+∞)．（3）f(x)−12a2−1>0，即为3x2+2ax−a2>0，即(x+a)(3x−a)>0，当a=0时，即为x2>0，解集为{x∣ x≠0}；当a>0时，a3>−a，解集为{x∣ x>a3或x<−a}；当a<0时，a3<−a，解集为{x∣ x<a3或x>−a}．。
2016-2017学年天津市静海一中高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
天津市静海一中2016-2017学年高一（下）期末数学试卷一、选择题：1．阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为（）A．2 B．3 C．4 D．52．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）=0，a=2，c=，则C=（）A．B．C．D．3．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．94．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．5．已知x与y之间的一组数据，则y与x的线性回归方程=x+必过点（）A．（2，2）B．（1，2）C．（1.5，4）D．（1.5，0）6．已知a=log0.50.3，b=log30.5，c=0.5﹣0.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a7．已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2 B．1 C．D．8．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：9．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方式，按1～200编号分为40组，分别为1～5，6～10，…，196～200，第5组抽取号码为23，第9组抽取号码为；若采用分层抽样，40﹣50岁年龄段应抽取人．10．在△ABC中若a=2，b=2，A=30°，则B等于．11．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是．12．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a+b的最小值为．13．设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．14．设正实数x，y满足，不等式恒成立，则m的最大值为．三、解答题：15．在△ABC中，∠A=60°，c=a．（1）求sin C的值；（2）若a=7，求△ABC的面积．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．（1）求a1，a2，a3的值；（2）设b n=a n+3，证明数列{b n}为等比数列，并求通项公式a n．17．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cos B；（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．19．解含参数a的一元二次不等式：（a﹣2）x2+（2a﹣1）x+6＞0．20．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=2S n+1，数列{b n}满足a1=b1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和T n．提高卷：21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cos x sin（x﹣A）+sin A （x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sin B+sin C=，求△ABC的面积．22．等比数列{a n}的各项都是正数，2a5，a4，4a6成等差数列，且满足，数列{b n}的前n项和为，n∈N*，且b1=1（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）设，n∈N*，{C n}前n项和为，求证：．【参考答案】一、选择题：1．B【解析】第一次执行循环体，n=16，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体，n=49，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体，n=148，不满足退出循环的条件，k=3；第四次执行循环体，n=445，满足退出循环的条件，故输出k值为3，故选B.2．B【解析】sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）=0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C=0，∴cos A sin C+sin A sin C=0，∵sin C≠0，∴cos A=﹣sin A，∴tan A=﹣1，∵0＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得=，∴sin C=，∵a=2，c=，∴sin C===，∵a＞c，∴C=，故选B．3．A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（﹣6，﹣3），则z=2x+y的最小值是：﹣15．故选A．4．C【解析】袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”，现从中随机选取三个球，基本事件总数n==4，所选的三个球上的数字能构成等差数列包含的基本事件有：（2，3，4），（2，4，6），共有2个，∴所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是p==．故选C．5．C【解析】回归方程必过点（，），∵==，==4，∴回归方程过点（1.5，4）．故选C.6．A【解析】∵a=log0.50.3＞log0.5=1.5，b=log30.5＜log31=0，c=0.5﹣0.3=20.3∈（1，），∴a，b，c的大小关系为a＞c＞b．故选A．7．C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选C．8．D【解析】因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选D．二、填空题：9．43；12【解析】∵将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组，由分组可知，抽号的间隔为5，∵第5组抽出的号码为23，∴第9组抽出的号码为23+4×5=43．440﹣50岁年龄段数为200×0.3=60，则应抽取的人数为×60=12．故答案为43；12.10．60°或120°【解析】∵，∴由正弦定理得：sin B===．因为b＞a，所以B=60°或120°．故答案为60°或120°．11．【解析】到坐标原点的距离大于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆外区域D：表示正方形OABC，（如图）其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．因此在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的外部，如图中的阴影部分∵S正方形OABC=22=4，S阴影=S正方形OABC﹣S扇形OAC=4﹣π•22=4﹣π∴所求概率为P==故答案为.12．8【解析】直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则+=1，由2a+b=（2a+b）×（+）=2+++2=4++≥4+2=4+4=8，当且仅当=，即a=，b=1时，取等号，∴2a+b的最小值为8，故答案为8．13．【解析】∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为．14．8【解析】设y﹣1=b，得y=b+1，令2x﹣1=a，得x=（a+1），则a＞0，b＞0；那么：+=+≥2•=2•=2•（++）≥2•（2+）=2•（2+2）=8；当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时取等号；∴+的最小值为8，即m的最大值为8．故答案为8．三、解答题：15．解：（1）∠A=60°，c=a，由正弦定理可得sin C=sin A=×=，（2）a=7，则c=3，∴C＜A，由（1）可得cos C=，∴sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=×+×=，∴S△ABC=ac sin B=×7×3×=6．16．解：（1）∵数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣3n（n∈N+）．∴n=1时，由a1=S1=2a1﹣3×1，解得a1=3，n=2时，由S2=2a2﹣3×2，得a2=9，n=3时，由S3=2a3﹣3×3，得a3=21．（2）∵S n=2a n﹣3×n，∴S n+1=2a n+1﹣3×（n+1），两式相减，得a n+1=2a n+2，*把b n=a n+3及b n+1=a n+1+3，代入*式，得b n+1=2b n，（n∈N*），且b1=6，∴数列{b n}是以6为首项，2为公比的等比数列，∴b n=6×2n﹣1，∴．17．解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．∴P（A）=．答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．18．解：（1）sin（A+C）=8sin2，∴sin B=4（1﹣cos B），∵sin2B+cos2B=1，∴16（1﹣cos B）2+cos2B=1，∴（17cos B﹣15）（cos B﹣1）=0，∴cos B=；（2）由（1）可知sin B=，∵S△ABC=ac•sin B=2，∴ac=，∴b2=a2+c2﹣2ac cos B=a2+c2﹣2××=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，∴b=2．19．解：∵a≠2，当△=（2a﹣1）2﹣24（a﹣2）=（2a﹣7）2≥0．不等式（a﹣2）x2+（2a﹣1）x+6＞0化为[（a﹣2）x+3]（x+2）＞0．即．（*）当时，，a﹣2＞0，上述（*）不等式的解集为{x|或x＜﹣2}；当时，上述（*）不等式化为（x+2）2＞0，因此不等式的解集为{x|x≠﹣2}；当时，，a﹣2＞0，上述（*）不等式的解集为{x|x＞﹣2或}；当a＜2时，，a﹣2＜0，上述（*）不等式化为，解得，因此不等式的解集为{x|}．综上可知：①当a﹣2=0时，不等式的解集为{x|x＞﹣2}；②当a≠2时，△≥0．当时，不等式的解集为{x|或x＜﹣2}；当时，不等式的解集为{x|x≠﹣2}；当时，不等式的解集为{x|x＞﹣2或}；当a＜2时，不等式的解集为{x|}．20．解：（1）由a n+1=2S n+1可得a n=2S n﹣1+1（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2a n，a n+1=3a n（n≥2）．又a2=2S1+1=3，所以a2=3a1．故{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．所以a n=3n﹣1．由点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，所以b n+1﹣b n=2．则数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．则b n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1（2）因为，所以．则，两式相减得：．所以=．提高卷：21．解：∵函数f（x）=2cos x sin（x﹣A）+sin A=2cos x sin x cos A﹣2cos x cos x sin A+sin A=sin2x cos A﹣cos2x sin A=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cos x sin（x﹣A）+sin A（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈Z，即，其中k∈Z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sin B+sin C=sin A，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bc cos A=（b+c）2﹣2bc﹣2bc cos A即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．22．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由题意可知2a4=2a5+4a6，即a4=a4q+2a4q2，由a n＞0，则2q2+q﹣1=0，解得：q=，或q=﹣1（舍去），a4=4a32=4a2a4，则a2=，∴a1=，等比数列{a n}通项公式a n=（）n，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=﹣，整理得：=，∴数列{}是首项为=1的常数列，则=1，则b n=n，n∈N*，数列{b n}的通项公式b n=n，n∈N*；（2）证明：由（1）可知：c n=a n=•=﹣，∴c k=c1+c2+…+c n=（﹣）+（﹣）+…+﹣=﹣＜．。
天津市部分区2016～2017学年度第二学期期末考试
天津市部分区2018～2019学年度第二学期期末考试高二数学（文科）试卷答案1.（B ）2.（A ）3.（B ）4.（C ）5.（A ）6.（D ）7. （B ）8. （D ）9.（C ）10（C ）11. 9.82 12. 0.025 13. 21nn a =- 14. e 15. 016.解：（Ⅰ）3(3)(12)1125i i i z i i ++-===-+ ……………………4分∴ 1z i =+ ……………………6分 （Ⅱ）由题意2(1)(1)0i p i q ++++=，即()(2)0p q p i +++= ……………………9分 ∴020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得2,2p q =-=. ……………………12分17.解：（Ⅰ）(2)253f -=-+= ……………………3分 2((2))(3)34352f f f -==-⨯+= ……………………6分 （Ⅱ）当0x ≥时，2452x x -+>，2430x x -+>∴3x >或01x ≤< ……………………8分 当0x <时，52x +>，∴30x -<<. ……………………10分 综上，不等式的解集为{|31,3}x x x -<<>或.……………………12分18.解：（Ⅰ） 由题意xx x f 112)(--='，……………………2分0)1(=f ， 切线的斜率0)1(='=f k ， ……………………5分 ∴切线方程为 0=y ……………………6分（Ⅱ）函数的定义域为(0,)+∞ ………………7分xx x x x x x x x f )1)(12(12112)(2-+=--=--=' ………………8分令0)(>'x f ，解得1>x ，函数)(x f 的增区间是),1(+∞ ………………10分 令0)(<'x f ，解得10<<x ，函数)(x f 的减区间是)1,0( ………………12分19. （Ⅰ）证法一：2222222222()()()()()()a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---+--+-=++++=))(()2)((222222b a b a b a b ab a b a ++--++- =))(()(222b a b a b a ab ++-……………2分 ∵ 0a b >>， ∴222()0,()()0ab a b a b a b ->++>……………………4分∴222()0()()ab a b a b a b ->++，即22220a b a b a b a b --->++ ∴2222a b a ba b a b-->++ ……………………6分 证法二：∵0a b >>，∴0a b ->，20ab > ……………………1分要证2222a b a b a b a b -->++成立，只需证221a b a b a b+>++ ……………………3分 只需证222()a b a b +>+，只需证20ab > ……………………5分∵20ab >成立，∴2222a b a ba b a b-->++ ……………………6分 （Ⅱ）44444()a a b a b aa b a b a b++=+=++ ……………………8分∵44b a a b +≥=， 当且仅当4b aa b=即2a b =时取等号 ……………………10分 ∴4a a b +8≥，即4a a b +的最小值是8，此时21,33a b ==.………………12分20.解：（Ⅰ）2()32(32)f x x ax x x a '=+=+……………………1分 令()0f x '=，得0,x =或23ax =-……………………2分 当()0f x '>时，0x >，或23ax <-当()0f x '<时，203ax -<<当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，当23ax =-时，()f x 有极大值34127a +； 当0x =时，()f x 有极小值1. ……………………7分 （Ⅱ）由题意，令()0f x '≤，即2320x ax +≤在区间[1,2]上恒成立……………………9分所以，32a x ≤-在区间[1,2]上恒成立， ……………………10分 因为 33322x -≤-≤-，所以3a ≤-. ……………………12分。
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2016-2017学年天津市部分区高一（下）期末考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．分层抽样系统抽样B．分层抽样简单随机抽样C．系统抽样简单随机抽样D．简单随机抽样分层抽样2．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各7名学生在一次数学测试中的成绩，已知甲组学生成绩的平均数是m，乙组学生成绩的中位数是n，则 n﹣m的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．口袋中装有一些大小相同的红球和黑球，从中取出2个球．两个球都是红球的概率是，都是黑球的概率是，则取出的2个球中恰好一个红球一个黑球的概率是（）A．B．C．D．5．若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．﹣5 B．1 C．D．36．在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，b=1，c=，∠B=30°，则a的值为（）A．1或2 B．1 C．2 D．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．B．C．D．8．若a，b，c，d∈R，则下列结论正确的是（）A．若a＞b，则a2＞b2 B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若a＜b＜0，则＜D．若a＞b＞0，c＜d＜0，则＜9．从某高中随机选取5名高一男生，其身高和体重的数据如表所示：根据如表可得回归方程=0.56x+，据此模型可预报身高为172cm的高一男生的体重为（）A．70.12kg B．70.29kg C．70.55kg D．71.05kg10．设数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a2=5，a n+1=3S n+1（n∈N*），则S5等于（）A．85 B．255 C．341 D．1023二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．把二进制数110101（2）转化为十进制数为．12．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出a的值是．13．已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，若a6=5，S4=12a4，则公差d的值为．14．在上随机的取一个数a，则事件“不等式x2+ax+a≥0对任意实数x恒成立”发生的概率为．15．已知a＞0，b＞0，且是3a与3b的等比中项，若+≥2m2+3m恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．（12分）为了检测某种产品的质量（单位：千克），抽取了一个容量为N的样本，整理得到的数据作出了频率分布表和频率分布直方图如图：（Ⅰ）求出表中N及a，b，c的值；（Ⅱ）求频率分布直方图中d的值；（Ⅲ）从该产品中随机抽取一件，试估计这件产品的质量少于25千克的概率．17．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若2asinB=b．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某校高一年级的A，B，C三个班共有学生120人，为调查他们的体育锻炼情况，用分层抽样的方法从这三个班中分别抽取4，5，6名学生进行调查．（Ⅰ）求A，B，C三个班各有学生多少人；（Ⅱ）记从C班抽取学生的编号依次为C1，C2，C3，C4，C5，C6，现从这6名学生中随机抽取2名做进一步的数据分析．（i）列出所有可能抽取的结果；（ii）设A为事件“编号为C1和C2的2名学生中恰有一人被抽到”，求事件A发生的概率．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=n2+n（n∈N*），数列{b n}是首项为4的正项等比数列，且2b2，b3﹣3，b2+2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n=a n•b n（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1（a∈R）．（Ⅰ）当a=时，求不等式f（x）＜3的解集；（Ⅱ）当0＜x＜2时，不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求关于x的不等式f（x）﹣a2﹣1＞0的解集．天津市部分区2016～2017学年度第二学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 11．53 12．9 13．4 14．25 15． 33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）解：（Ⅰ）由题意得：102000.05N ==， …………………………1分 200(10504020)80a =-+++=，800.40200b ==， 400.20200c ==． ………………………4分 （Ⅱ）0.20.082.5d ==． …………………………8分 （Ⅲ）记“从该产品中随机抽取一件，这件产品的质量少于25千克”为事件A ，由所给数据知，质量少于25千克的频率为1050800.7200++=．所以，可估计产品质量少于25千克的概率为0.7． …………………………12分 17．（12分）解：（Ⅰ） 在锐角ABC ∆中，2sin a B由正弦定理，得 2sin sin A B B = ……………………3分B 是锐角ABC ∆的内角，∴sin 0B >∴2sin A =sin A =……………………………5分 A 是锐角ABC ∆的内角，∴3A π=． ……………………………6分（Ⅱ）由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅221722b c bc =+-⋅()237b c bc +-=……………………………8分1sin 2S bc A =⋅==……………………………9分 ∴6bc = ∴()2187b c +-= 5b c +=∴ABC △周长为5a b c ++=+ ……………………………12分18．（12分）解：（Ⅰ）样本容量为45615++=，样本容量与总体中的个数的比为1511208=，所以，A 、B 、C 三个班的学生人数分别为32，40，48． ……………………3分（Ⅱ）（ⅰ）从6名学生中随机抽取2人的所有可能结果为{}12,C C ，{}13,C C ，{}14,C C ，{}15,C C ，{}16,C C ，{}23,C C ，{}24,C C ，{}25,C C ，{}26,C C ，{}34,C C ，{}35,C C ，{}36,C C ，{}45,C C ，{}46,C C ，{}56,C C ，共15种．……………………8分（ⅱ）编号为1C 和2C 的2名学生中恰有1人被抽到的所有可能结果为：{}13,C C ，{}14,C C ，{}15,C C ，{}16,C C ，{}23,C C ，{}24,C C ，{}25,C C ，{}26,C C 共8种，因此，事件A 发生的概率8()15P A =． …………………………12分19．（12分）解：（Ⅰ）当2≥n 时，132n n n a S S n -=-=+， ……………1分当1=n 时， 1137522a S ==+=，适合上式 ． ……………2分 ∴32n a n =+． ………………………3分22b ，33b -，22b +成等差数列，∴2（33b -）＝22b ＋22b +． ………………………4分 又 数列{}n b 是正项等比数列，设公比为q （0q >）， ∴2232q q =+，解得2q =或12q =-（舍）， ………………………5分 14b =，∴12n n b +=． ………………………6分（Ⅱ）由题意得， 1(32)2n n n n c a b n +=⋅=+⋅， ………………………7分∴ 2315282(31)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯++⨯ ①341225282(31)2(32)2n n n T n n ++=⨯+⨯++-⨯++⨯ ②① -②得234123122523(222)(32)23(222)20(32)2124(31)2n n n n n n T n n n +++++-=⋅++++-+⋅-⋅=+-+⋅-=---⋅ …………11分∴24(31)2n n T n +=+-⋅. ………………………12分20．（12分） 解：（Ⅰ）当12a =时，不等式可化为2340x x +-<； 即：(1)(34)0x x -+<．所以，原不等式的解集为4|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． ………………………3分 （Ⅱ）由题意可知，当02x <<时，不等式()0f x >恒成立等价于312a x x-<+对于一切(0,2)x ∈时恒成立， 设31()2g x x x=+，(0,2)x ∈， ………………………5分 则只需()g x 在(0,2)上的最小值大于a -即可．31()2g x x x =+≥=当且仅当312x x =，即3x =时，取“＝”． ………………………7分∴a >a 的取值范围()+∞． ……………………8分 （Ⅲ）由题意可知，不等式可化为()(3)0x a x a +-> ……………………9分①当0a <时，不等式的解集为|3a x x x a ⎧⎫<>-⎨⎬⎩⎭,或， ②当0a =时，不等式的解集为{}|0x x ≠， ③当0a >时，不等式的解集为|3a x x a x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭,或． ……………………12分。