三角形数学总复习专题测试卷

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中考数学复习《全等三角形》专题(卷1)

《全等三角形》中考复习一. 选择题1. 如图，AB=AC，点D，E分别在AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE≅△ACD的是( )A.BD=CEB.∠BDC=∠BECC.∠ACD=∠ABED.BE=CD2. 如下图，在△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M和N，再分别以M，N 为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法中正确的是（）①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC=60∘；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3.A.①②③④B.②③④C.①②D.①②③3. 如图，若△MNP≅△MEQ，则点Q应是图中的()A.点AB.点BC.点CD.点D4. 全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC 和△A1B1C1是全等（合同）三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形如图①，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形如图②，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合如图①，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180∘如图②，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )A. B. C. D.5. 对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A.把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理B.木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理C.将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理D.将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理6. 如图，已知∠AOB，用直尺和圆规按照以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画射线O′A′，以O′为圆心，OC的长为半径画弧，交O′A′于点C′③以C′为圆心，CD的长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′④过点D′画射线O′B′根据以上操作，可以判定△OCD≅ΔO′C′D′，其判定的依据是（）A.SSSB.SASC.ASAD.HL7. 如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD//OA交OB于点D，点I是△OCD 的内心，连结OI，BI，∠AOB=β，则∠OIB等于()A.180∘−βB.180∘−12β C.90∘+12β D.90∘+β8. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1，2，3，4的四块），你认为将其中的哪一块带去玻璃店，就能配一块与原来一样大小的三角形玻璃.应该带( )A.第1块B.第2块C.第3块D.第4块二. 填空题三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形，至少要钉上________根木条．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B 为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为(3a,−a+8)，则a=________.如图，在菱形ABCD中，已知AB=4，∠ABC=60∘，∠EAF=60∘，点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线上，有下列结论：①BE=CF；②∠EAB=∠CEF；③△ABE∼△EFC；④若∠BAE=15∘，则点F到BC的距离为2√3−2.正确序号________.如图，△ABC中，点A的坐标为(0, 1)，点C的坐标为(4, 3)，如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是________．三. 解答题如图，小明用五根宽度相同的木条拼成了一个五边形，已知AE//CD，∠A=12∠C，∠B=120∘.(1)∠D+∠E=________度；(2)求∠A的度数；(3)要使这个五边形木架保持现在的稳定状态，小明至少还需钉上________根相同宽度的木条．根据要求完成下列各题．(1)如图1，在∠AOB的内部有一点P．①过点P画直线PC//OA交OB于点C；②过点P画直线PD⊥OA，垂足为D．(2)如图2，AB⊥BF,CD⊥BF,∠1=∠2，试说明∠3=∠E在下面解答中填空．解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠________=90∘（________），∴AB//CD（________）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（________），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（________）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF= BD，连接BF．(1)线段BD与CD有何数量关系，为什么？(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？请说明理由．(3)当△ABC满足________条件时，四边形AFBD是正方形？（直接写出结论，不用说明理由）一条大河两岸的A、B处分别立着高压线铁塔，如图所示．假设河的两岸平行，你在河的南岸，请利用现有的自然条件、皮尺和标杆，并结合你学过的全等三角形的知识，设计一个不过河便能测量河的宽度的好办法．（要求，画出示意图，并标出字母，结合图形简要叙述你的方案）参考答案与试题解析一. 选择题1.【答案】D【解析】欲使△ABE≅△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．2.【答案】A【解析】①连接NP，MP，根据SSS定理可得△ANP≅△AMP，故可得出结论；②先根据三角形内角和定理求出∠CAB的度数，再由AD是∠BAC的平分线得出∠1=∠2=30∘，根据直角三角形的性质可知∠ADC=60∘；③根据∠1=∠B可知AD=BD，故可得出结论；④先根据直角三角形的性质得出∠2=30∘，CD=12AD，再由三角形的面积公式即可得出结论．3.【答案】D【解析】此题暂无解析4.【答案】B【解析】认真阅读题目，理解真正合同三角形和镜面合同三角形的定义，然后根据各自的定义或特点进行解答．5.【答案】B【解析】根据圆的有关定义、垂线段的性质、三角形的稳定性等知识结合生活中的实例确定正确的选项即可．6.【答案】A【解析】此题暂无解析7.【答案】B 【解析】此题暂无解析8.【答案】B【解析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．二. 填空题【答案】3【解析】三角形具有稳定性，所以要使六边形木架不变形需把它分成三角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．【答案】2【解析】此题暂无解析【答案】①②【解析】①只要证明△BAE≅△CAF即可判断；②根据等边三角形的性质以及三角形外角的性质即可判断；③根据相似三角形的判定方法即可判断；④求得点F到BC的距离即可判断．【答案】(4, −1)或(−1, 3)或(−1, −1)【解析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．三. 解答题【答案】180(2)五边形的内角和为(5−2)×180∘=540∘，由(1)可知，∠D+∠E=180∘，又∠B=120∘，∠A=12∠C.设∠A=x，则∠C=2x，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=540∘,即x+120∘+2x+180∘=540∘,解得x=80∘,∴∠A=80∘.2【解析】(1)根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补即可得到180∘.先由AE//CD，根据平行线的性质得出∠E+∠D=180∘．再根据∠B=120∘，∠A=12∠C，设∠A=x∘，则∠C=2x∘．利用五边形的内角和为540∘列出方程x+120+2x+180=540，求解即可.根据五边形不具有稳定性，而三角形具有稳定性即可求解．【答案】解：（1）①如图，直线PC即为所求；②如图，直线PD即为所求；（2）解：∵AB⊥BF,CD⊥BF（已知），∴∠ABF=∠CDF=90∘（垂直的定义），∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1=∠2（已知），∴AB//EF（内错角相等，两直线平行），∴CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），∴∠3=∠E（两直线平行，同位角相等）【解析】此题暂无解析【答案】解：(1)BD=CD．理由如下：依题意得AF // BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，{∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≅△DEC(AAS)，∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；(2)当△ABC满足AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF // BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90∘，∴四边形AFBD是矩形．AB=AC，∠BAC=90∘【解析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90∘，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【答案】解：在河南岸AB的垂线BF上取两点C、E，使CE=BE，再定出BF的垂线CD，使A、E、D在同一条直线上，这时测得CD的长就是AB的长．如图所示：【解析】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．。

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。

中考数学总复习《三角形内角和定理》专题复习练习及答案

初三中考数学复习三角形内角和定理专题复习练习1. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )A．125° B．120° C．140° D．130°2. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 3. 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A．180° B．360° C．540° D．无法确定4. 如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )A．110° B．80° C．70° D．60°6. 下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( )7. 如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数为( )A．53° B．63° C．73° D．83°8. 已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．35° C．40° D．45°9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )A．40° B．35° C．30° D．25°10. 如图，a，b，c，d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是( )A．∠1＋∠5＋∠4＝180° B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180° D．∠1＋∠6＝∠211. 如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝____度．12. 如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝______．13. 如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝____度．14. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．15．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于_______．16．在△ABC 中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A ＝____°. 17. 如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．18. 如果等腰三角形的一个外角为110°，求它的底角．19. 在三角形ABC 中，∠BAE ＝12∠BAC ，∠C>∠B ，且FD ⊥BC 于D 点．(1)试推出∠EFD ，∠B ，∠C 的关系；(2)当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变，你在题(1)推导的结论还成立吗？请直接写出结论．20. 如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 与BA 的延长线相交于点E ，求证：∠BAC>∠B.21. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，试说明：∠BOC ＝90°＋12∠A.参考答案1---10 DBBCC DBCAD 11. 35 12. 60° 13. 45 14. 30° 15. 360° 16. 8017. 解：在△ABN 中，∠A ＋∠B ＋∠1＝180°，在△CDP 中，∠C ＋∠D ＋∠3＝180°，在△EFM 中，∠E ＋∠F ＋∠2＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠1＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠3＋∠2＝540°，在△MNP 中，∠5＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝360°18. 解：①当110°是顶角的外角时，则底角为110°×12＝55°，②当110°是底角的外角时，则底角为180°－110°＝70°，即它的底角是55°或70°19. 解：(1)∠EFD ＝90°－∠FED ＝90°－(∠B ＋∠BAE)＝90°－∠B －12∠BAC＝90°－∠B －12(180°－∠B －∠C)＝90°－∠B －90°＋12∠B ＋12∠C ＝12(∠C－∠B)(2)在(1)中推导的结论成立，∠EFD ＝12(∠C －∠B)20. 证明：∵∠BAC>∠ACE ，∠DCE>∠B ，又∠ACE ＝∠DCE ，∴∠BAC>∠B 21. 证明：∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A。

八年级数学三角形专题复习50道(含答案)

八年级数学三角形专题复习50道一、选择题：1.一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2.已知AB=1.5,AC=4.5,若BC的长为整数，则BC的长为（）A.3B.6C.3或6D.3或4或5或63.一定在△ABC内部的线段是（）A.锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B.钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C.任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D.直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线4.如图，为估计池塘岸边A,B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，A,B间的距离不可能是（）A.20米B.15米C.10米D.5米5.如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的邻补角，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A.90°B.180°C.210°D.270°6.按照定义，三角形的角平分线（或中线、或高）应是（）A.射线B.线段C.直线D.射线或线段或直线7.如图中有四条互相不平行的直线L1.L2.L3.L4所截出的七个角.关于这七个角的度数关系，下列何者正确( )A.∠2=∠4+∠7B.∠3=∠1+∠6C.∠1+∠4+∠6=180°D.∠2+∠3+∠5=360°8.三角形三条高的交点一定在（）A.三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的内部或外部.D.三角形的内部、外部或顶点9.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD是△ABC一条角平分线，则∠CAD度数为( )A．40° B．45° C．50° D．55°10.△ABC中，AB=AC=4，BC=a,则a的取值范围是( )A.a＞0B.0＜a＜4C.4＜a＜8D.0＜a＜811.如图，在△ABC中，∠A=,角平分线BE.CF相交于点O，则∠BOC=( )A.90°+B.90°-C.180°＋D.180°-12.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A.1cm，2cm，3.5cmB.4cm，5cm，9cmC.5cm，8cm，15cmD.6cm，8cm， 9cm13.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( )A.10cm的木棒B.20cm的木棒;C.50cm的木棒D.60cm的木棒14.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )A.∠BAC=70°B.∠DOC=90°C.∠BDC=35°D.∠DAC=55°15.如图，直角△ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，且∠ACB 的度数为(5x-10)°，则x 的值可能是(A)10 (B)20 (C)30 (D)4016.如图，在△ACB 中，∠ACB=100°，∠A=20°，D 是AB 上一点．将△ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于（）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°17.如图，在△ABC 中，已知点E 、F 分别是AD 、CE 边上的中点，且S △BEF =4cm 2，则S △ABC 的值为（）A.1cm2B.2cm2C.8cm2D.16cm 218.若a 、b 、c 是△ABC 的三边的长，则化简|a-b-c|-|b-c-a|+|a+b-c|=（）A ．a+b+cB ．﹣a+3b ﹣cC ．a+b ﹣c D．2b ﹣2c19.已知三角形的周长为9,且三边长都是整数,则满足条件的三角形共有( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个已知△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A.7B.11C.7或11D.7或10二、填空题：21.若等腰三角形的周长为21，其中两边之差为3，则各边长分别为。

2024年中考数学复习单元测试卷及答案解析第四章三角形

2024年中考数学复习单元测试卷及答案解析—第四章：三⾓形（考试时间：100分钟试卷满分：120分）⼀．选择题（共10⼩题，满分30分，每⼩题3分）1．下⾯⼏何体中，是圆锥的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察所给⼏何体，可以直接得出答案．【详解】解：A选项为圆柱，不合题意；B选项为圆锥，符合题意；C选项为三棱锥，不合题意；D选项为球，不合题意；故选B．【点睛】本题考查常见⼏何体的识别，熟练掌握常见⼏何体的特征是解题的关键．圆锥⾯和⼀个截它的平⾯，组成的空间⼏何图形叫圆锥．2．下列图形是正⽅体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据正⽅体的展开图的特征，11种不同情况进⾏判断即可．【详解】解：根据正⽅体的展开图的特征，只有第2个图不是正⽅体的展开图，故四个图中有3个图是正⽅体的展开图．故选：C．【点睛】考查正⽅体的展开图的特征，“⼀线不过四，⽥凹应弃之”应⽤⽐较⼴泛简洁．3．如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，则∠BOC的⼤⼩为（）A．36°B．44°C．54°D．63°【答案】C【分析】由∠AOC=∠BOD=90°，∠AOD=126°，可求出∠COD的度数，再根据⾓与⾓之间的关系求解．【详解】∵∠AOC=90°，∠AOD=126°，∴∠COD=∠AOD−∠AOC=36°，∵∠BOD=90°，∴∠BOC=∠BOD−∠COD=90°−36°=54°．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是⾓的计算，注意此题的解题技巧：两个直⾓相加和∠AOD相⽐，多加了∠BOC．4．如图，在△ABC中，D、E分别在AB边和AC边上，DE//BC，M为BC边上⼀点（不与B、C重合），连结AM 交DE 于点N ，则（）A ．AD AN =AN AEB ．BD MN =MN CEC ．DN BM =NE MCD ．DN MC =NEBM 【答案】C 【分析】根据平⾏线的性质和相似三⾓形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三⾓形的性质即可得到答案.【详解】∵DE //BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴DN BM =AN AM ,AN AM =NE MC ⇒DN BM =NEMC ，故选C.【点睛】本题考查平⾏线的性质、相似三⾓形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平⾏线的性质、相似三⾓形的判定和性质.【新考法】数学与实际⽣活——利⽤数学知识解决实际问题5．如图是⼩亮绘制的潜望镜原理⽰意图，两个平⾯镜的镜⾯AB 与CD 平⾏，⼊射光线l 与出射光线m 平⾏．若⼊射光线l 与镜⾯AB 的夹⾓∠1=40°10'，则∠6的度数为（）A ．100°40'B ．99°80'C ．99°40'D ．99°20'【答案】C 【分析】由⼊射光线与镜⾯的夹⾓等于反射光线与镜⾯的夹⾓，可得∠1=∠2，可求出∠5，由l //m 可得∠6=∠5【详解】解：由⼊射光线与镜⾯的夹⾓等于反射光线与镜⾯的夹⾓，可得∠1=∠2，∵∠1=40°10'∴∠2=40°10'∴∠5=180°−∠1−∠2=180°−40°10'−40°10'=99°40'∵l//m∴∠6=∠5=99°40'故选：C【点睛】本题主要考查了平⾏线的性质，熟记两直线平⾏，内错⾓相等是解答本题的关键．【新考法】数学与实际⽣活——利⽤数学知识解决实际问题6．如图是脊柱侧弯的检测⽰意图，在体检时为⽅便测出Cobb⾓∠O的⼤⾯⼩，需将∠O转化为与它相等的⾓，则图中与∠O相等的⾓是（）A．∠BEA B．∠DEB C．∠ECA D．∠ADO【答案】B【分析】根据直⾓三⾓形的性质可知：∠O与∠ADO互余，∠DEB与∠ADO互余，根据同⾓的余⾓相等可得结论．【详解】由⽰意图可知：△DOA和△DBE都是直⾓三⾓形，∴∠O+∠ADO=90°，∠DEB+∠ADO=90°，∴∠DEB=∠O，故选：B．【点睛】本题考查直⾓三⾓形的性质的应⽤，掌握直⾓三⾓形的两个锐⾓互余是解题的关键．7．【易错题】若等腰三⾓形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三⾓形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】题⽬给出等腰三⾓形有两条边长为3和5，⽽没有明确腰、底分别是多少，所以要进⾏讨论，还要应⽤三⾓形的三边关系验证能否组成三⾓形．【详解】解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三⾓形，此时等腰三⾓形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三⾓形，此时等腰三⾓形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三⾓形的周长为11cm或13cm．故选：D【点睛】本题考查等腰三⾓形的性质及三⾓形三边关系；已知没有明确腰和底边的题⽬⼀定要想到两种情况，分类进⾏讨论，还应验证各种情况是否能构成三⾓形进⾏解答，这点⾮常重要，也是解题的关键．【⼏何模型】三⾓形折叠模型8．如图，三⾓形纸⽚ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸⽚折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸⽚，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（）A．136B．56C．76D．65【答案】A【分析】根据题意可得AD = AB = 2，∠B = ∠ADB，CE= DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继⽽设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸⽚折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD = AB = 2，∠B = ∠ADB，∵折叠纸⽚，使点C与点D重合，∴CE= DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC = 90°，∴∠B+ ∠C= 90°，∴∠ADB + ∠CDE = 90°，∴∠ADE = 90°，∴AD2 + DE2 = AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2 =x2，解得x=136即AE=136故选A【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．【⼏何模型】⼀线三垂直模型9．如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（）A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)【答案】D【分析】先过点C做出x轴垂线段CE，根据相似三⾓形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．【详解】如图过点C作x轴垂线，垂⾜为点E，∵∠ABC=90°∴∠ABO+∠CBE=90°∵∠CBE+BCE=90°∴∠ABO=∠BCE在ΔABO和ΔBCE中，{∠ABO=∠BCE∠AOB=∠BEC=90°，∴ΔABO∽ΔBCE，∴AB BC =AOBE=OBEC=12，则BE=2AO=6 ,EC=2OB=2∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，∵点A坐标为(0，3)，∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，故答案选D【点睛】本题考查了图象的平移、相似三⾓形的判定与性质，利⽤相似三⾓形的判定与性质找出图象左右、上下平移的距离是解题的关键．10．如图①，在矩形ABCD中，H为CD边上的⼀点，点M从点A出发沿折线AH−HC−CB运动到点B停⽌，点N从点A出发沿AB运动到点B停⽌，它们的运动速度都是1cm/s，若点M、N同时开始运动，设运动时间为t s，△AMN的⾯积为S cm2，已知S与t之间函数图象如图②所⽰，则下列结论正确的是（）①当0<t≤6时，△AMN是等边三⾓形．②在运动过程中，使得△ADM为等腰三⾓形的点M⼀共有3个．③当0<t≤6时，S2．④当t=9△ADH∽△ABM．⑤当9<t<9+S=−3t+9+A．①③④B．①③⑤C．①②④D．③④⑤【答案】A【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最⼤，此时点M在点H处，点N在点B处并停⽌不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利⽤四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利⽤以上的信息对每个结论进⾏分析判断后得出结论．【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最⼤，此时点M在点H处，点N在点B处并停⽌不动，如图，①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，∴AH=AB=6cm，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm．∵当t=6s时，S=2，×AB×BC=∴12∴BC=∵当6≤t≤9时，S=∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，∴HC=3cm，即点H为CD的中点．∴BH=6．∴AB=AH=BH=6，∴△ABM为等边三⾓形．∴∠HAB=60°．∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，∴AM=AN，∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三⾓形．故①正确；②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三⾓形：此时有两个符合条件的点；当AD=AM时，△ADM为等腰三⾓形，如图：当DA=DM时，△ADM为等腰三⾓形，如图：综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三⾓形的点M⼀共有4个．∴②不正确；③过点M作ME⊥AB于点E，如图，由题意：AM =AN =t ，由①知：∠HAB =60°．在Rt △AME 中，∵sin ∠MAE =MEAM ，∴ME =AM ，∴S =12AN ×ME =12×t 2．∴③正确；④当t CM由①知：BC =∴MB =BC -CM =∵AB =6，∴tan ∠MAB =BM AB ∴∠MAB =30°．∵∠HAB =60°，∴∠DAH =90°-60°=30°．∴∠DAH =∠BAM ．∵∠D =∠B =90°，∴△ADH ∽△ABM ．∴④正确；⑤当9＜t ＜9+M 在边BC 上，如图，此时MB =9+t ，∴S =12×AB ×MB =12×6×=27+3t ．∴⑤不正确；综上，结论正确的有：①③④．故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三⾓形的⾯积，等腰三⾓形的判定，等边三⾓形的判定，相似三⾓形的判定，特殊⾓的三⾓函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．⼆．填空题（共6⼩题，满分18分，每⼩题3分）11．如图，已知△ABC ≌△DEF ，点B ，E ，C ，F 依次在同⼀条直线上．若BC =8，CE =5，则CF 的长为．【答案】3【分析】利⽤全等三⾓形的性质求解即可．【详解】解：由全等三⾓形的性质得：EF=BC=8，∴CF=EF−CE=8−5=3，故答案为：3．【点睛】本题考查全等三⾓形性质，熟练掌握全等三⾓形的性质是解答的关键．12．⼀个三⾓形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是．（只填⼀个即可）【答案】4（答案不唯⼀，⼤于2且⼩于8之间的数均可）【分析】根据三⾓形的三边关系定理：三⾓形两边之和⼤于第三边，三⾓形的两边差⼩于第三边可得5−3<x<5+3，再解即可．【详解】解：设第三边长为x，由题意得：5−3<x<5+3，则2<x<8，故答案可为：4（答案不唯⼀，⼤于2且⼩于8之间的数均可）．【点睛】此题主要考查了三⾓形的三边关系：第三边的范围是：⼤于已知的两边的差，⽽⼩于两边的和．13．【原创题】若直三棱柱的上下底⾯为正三⾓形，侧⾯展开图是边长为6的正⽅形，则该直三棱柱的表⾯积为．【答案】36++36【分析】根据题意得出正三⾓形的边长为2，进⽽根据表⾯积等于两个底⾯积加上侧⾯正⽅形的⾯积即可求解．【详解】解：∵侧⾯展开图是边长为6的正⽅形，∴底⾯周长为6，∵底⾯为正三⾓形，∴正三⾓形的边长为2作CD ⊥AB ，∵△ABC 是等边三⾓形，AB =BC =AC =2，∴AD =1，∴在直⾓ΔADC 中，CD∴S △ABC =12×2∴该直三棱柱的表⾯积为6×6+36+故答案为：36+【点睛】本题考查了三棱柱的侧⾯展开图的⾯积，等边三⾓形的性质，正⽅形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC <AC ．点D ，E 分别在边AB ，BC 上，连接DE ，将△BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B '．若点B '刚好落在边AC 上，∠CB 'E =30°，CE =3，则BC 的长为．【答案】9【分析】根据折叠的性质以及含30度⾓的直⾓三⾓形的性质得出B 'E =BE =2CE =6，即可求解．【详解】解：∵将△BDE 沿DE 折叠，点B 的对应点为点B '．点B '刚好落在边AC 上，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC <AC ，∠CB 'E =30°，CE =3，∴B 'E =BE =2CE =6，∴BC =CE +BE =3+6=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度⾓的直⾓三⾓形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【新考法】数学与规律探究——图形类规律15．在平⾯直⾓坐标系中，点A 1、A 2、A 3、A 4⋯在x 轴的正半轴上，点B 1、B 2、B 3⋯在直线y =x ≥0上，若点A 1的坐标为2,0，且△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4⋯均为等边三⾓形．则点B 2023的纵坐标为．【答案】2【分析】过点A 1作A 1M ⊥x 轴，交直线y x ≥0于点M ，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，先求出∠A 1OM =30°，再根据等边三⾓形的性质、等腰三⾓形的判定可得A 1B 1=OA 1=2，然后解直⾓三⾓形可得B 1C 的长，即可得点B 1的纵坐标，同样的⽅法分别求出点B 2,B 3,B 4的纵坐标，最后归纳类推出⼀般规律，由此即可得．【详解】解：如图，过点A 1作A 1M ⊥x 轴，交直线y x ≥0于点M ，过点B 1作B 1C ⊥x 轴于点C ，∵A 12,0，∴OA 1=2，当x =2时，y 1M∴tan ∠A 1OM =A 1M A 1O ∴∠A 1OM =30°，∵△A 1B 1A 2是等边三⾓形，∴∠A 2A 1B 1=60°,A 1A 2=A 1B 1，∴∠OB 1A 1=30°=∠A 1OM ，∴A 1B 1=OA 1=2，∴B 1C =A 1B 1⋅sin60°=2B 1的纵坐标为2同理可得：点B 2的纵坐标为22点B 3的纵坐标为23点B 4的纵坐标为24归纳类推得：点B n 的纵坐标为2n 2n −n 为正整数），则点B 2023的纵坐标为22023−2故答案为：2【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三⾓形的性质、正⽐例函数的应⽤、解直⾓三⾓形等知识点，正确归纳类推出⼀般规律是解题关键．16．【创新题】如图，在△ABC 中，AB =AC,∠A <90°，点D,E,F 分别在边AB ，BC,CA 上，连接DE,EF,FD ，已知点B 和点F 关于直线DE 对称．设BC AB =k ，若AD =DF ，则CFFA = （结果⽤含k 的代数式表⽰）．【答案】k 22−k 2【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明DE ∥AC ，再证△BDE ∽△BAC ，推出EC =12k ⋅AB ，通过证明△ABC ∽△ECF ，推出CF =12k 2⋅AB ，即可求出CF FA的值．【详解】解： ∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ DB =DF ，∵ AD =DF ，∴ AD =DB ．∵ AD =DF ，∴ ∠A =∠DFA ，∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ ∠BDE =∠FDE ，⼜∵ ∠BDE +∠FDE =∠BDF =∠A +∠DFA ，∴ ∠FDE =∠DFA ，∴ DE ∥AC ，∴ ∠C =∠DEB ，∠DEF =∠EFC ，∵点B 和点F 关于直线DE 对称，∴ ∠DEB =∠DEF ，∴ ∠C =∠EFC ，∵ AB =AC ，∴ ∠C =∠B ，在△ABC 和△ECF 中，∠B =∠C ∠ACB =∠EFC，∴ △ABC ∽△ECF ．∵在△ABC 中，DE ∥AC ，∴ ∠BDE =∠A ，∠BED =∠C ，∴ △BDE ∽△BAC ，∴ BE BC =BD BA =12，∴ EC =12BC ，∵ BC AB =k ，∴ BC =k ⋅AB ，EC =12k ⋅AB ，∵ △ABC ∽△ECF ．∴ AB EC =BC CF，∴ AB 12k ⋅AB =k⋅AB CF ，解得CF =12k 2⋅AB ，∴CFFA =CFAC−CF=CFAB−CF=12k2⋅ABAB−12k2⋅AB=k22−k2．故答案为：k 22−k2．【点睛】本题考查相似三⾓形的判定与性质，轴对称的性质，平⾏线的判定与性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形外⾓的定义和性质等，有⼀定难度，解题的关键是证明△ABC∽△ECF．三．解答题（共9⼩题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，2 17．如图，AB∥CD，直线MN与AB,CD分别交于点E，F，CD上有⼀点G且GE=GF，∠1=122°．求∠2的度数．【答案】64°【分析】根据AB∥CD，可得∠DFE=∠1=122°，从⽽得到∠EFG=58°，再由GE=GF，可得∠FEG=∠EFG=58°，然后根据三⾓形内⾓和定理，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，∠1=122°∴∠DFE=∠1=122°，∴∠EFG=180°−∠DFE=58°，∵GE=GF，∴∠FEG=∠EFG=58°，∴∠2=180°−∠FEG−∠EFG=64°．【点睛】本题主要考查了平⾏线的性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形内⾓和定理，熟练掌握平⾏线的性质，等腰三⾓形的性质，三⾓形内⾓和定理是解题的关键．【⼏何模型】射影定理（相似）18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的⾼．(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=185【分析】（1）根据三⾓形⾼的定义得出∠ADB=90°，根据等⾓的余⾓相等，得出∠BAD=∠C，结合公共⾓∠B=∠B，即可得证；（2）根据（1）的结论，利⽤相似三⾓形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的⾼．∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C⼜∵∠B=∠B∴△ABD∽△CBA，（2）∵△ABD∽△CBA∴AB CB =BD AB，⼜AB=6，BC=10∴BD=AB 2CB =3610=185．【点睛】本题考查了相似三⾓形的性质与判定，熟练掌握相似三⾓形的性质与判定是解题的关键．19．△ABC在边长为l的正⽅形⽹格中如图所⽰．①以点C为位似中⼼，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似⽐为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表⽰出A1的坐标．②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．③在②的条件下求出点B经过的路径长．【答案】①作图见解析，点A1的坐标为（3，﹣3）；②作图见解析；【分析】①延长AC到A1使A1C＝2AC，延长BC到B1使B1C＝2BC，则△A1B1C满⾜条件；②利⽤⽹格特点和旋转的性质画出A、B的对应点A2、B2，从⽽得到△A2B2C．③先计算出OB的长，然后根据弧长公式计算点B经过的路径长．【详解】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；②如图，△A2B2C为所作；③OB点B经过的路径长．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的⼀般步骤为：确定位似中⼼；分别连接并延长位似中⼼和能代表原图的关键点；③根据位似⽐，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放⼤或缩⼩的图形．也考查了旋转变换．20．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC=∠ADE，AC=AD(1)求证：DE=AF(2)若∠ABC=∠CDE，求证：AF2=BF⋅CE【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）先根据平⾏线的性质可得∠DAE=∠ACF，再根据三⾓形的全等的判定可得△DAE≅△ACF ，然后根据全等的三⾓形的性质即可得证；（2）先根据全等三⾓形的性质可得∠AFC=∠DEA，从⽽可得∠AFB=∠CED，再根据相似三⾓形的判定可得△ABF∼△CDE，然后根据相似三⾓形的性质即可得证．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAE=∠ACF，在△DAE和△ACF中，∠DAE=∠ACFAD=CA∠ADE=∠CAF，∴△DAE≅△ACF ASA，∴DE=AF．（2）证明：∵△DAE≅△ACF，∴∠AFC=∠DEA，∴180°−∠AFC=180°−∠DEA，即∠AFB=∠CED，在△ABF和△CDE中，∠AFB=∠CED ∠ABF=∠CDE，∴△ABF∼△CDE，∴AF CE =BF DE，由（1）已证：DE=AF，∴AF CE =BF AF，∴AF2=BF⋅CE．【点睛】本题考查了三⾓形全等的判定与性质、相似三⾓形的判定与性质，熟练掌握相似三⾓形的判定与性质是解题关键．21．综合与实践主题：制作⽆盖正⽅体形纸盒素材：⼀张正⽅形纸板．步骤1：如图1，将正⽅形纸板的边长三等分，画出九个相同的⼩正⽅形，并剪去四个⾓上的⼩正⽅形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成⽆盖正⽅体形纸盒．猜想与证明：(1)直接写出纸板上∠ABC 与纸盒上∠A 1B 1C 1的⼤⼩关系；(2)证明（1）中你发现的结论．【答案】(1)∠ABC =∠A 1B 1C 1(2)证明见解析.【分析】（1）△ABC 和ΔA 1B 1C 1均是等腰直⾓三⾓形，∠ABC =∠A 1B 1C 1=45°；（2）证明△ABC 是等腰直⾓三⾓形即可.【详解】（1）解：∠ABC =∠A 1B 1C 1（2）证明：连接AC ，设⼩正⽅形边长为1，则AC =BC AB ∵AC 2+BC 2=5+5=AB 2，∴△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∵A 1C 1=B 1C 1=1，A 1C 1⊥B 1C 1，∴△A 1B 1C 1为等腰直⾓三⾓形，∴∠ABC =∠A 1B 1C 1=45°，故∠ABC =∠A 1B 1C 1【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应⽤和等腰三⾓形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．22．如图，⼀次函数y =kx +94（k 为常数，k ≠0）的图象与反⽐例函数y =mx (m 为常数，m ≠0)的图象在第⼀象限交于点A 1,n ，与x 轴交于点B −3,0．(1)求⼀次函数和反⽐例函数的解析式．(2)点P 在x 轴上，△ABP 是以AB 为腰的等腰三⾓形，请直接写出点P 的坐标．【答案】(1)⼀次函数的解析式为y =34x +94，反⽐例函数的解析式为y =3x (2)(−8,0)或(2,0)或(5,0)【分析】（1）根据待定系数法，把已知点代⼊再解⽅程即可得出答案；（2）⾸先利⽤勾股定理求出得AB 的长，再分两种情形讨论即可．【详解】（1）解：把点B −3,0代⼊⼀次函数y =kx +94得，−3k +94=0,解得：k =34，故⼀次函数的解析式为y =34x +94，把点A1,n代⼊y=34x+94，得n=34+94=3，∴A(1,3)，把点A(1,3)代⼊y=mx，得m=3，故反⽐例函数的解析式为y=3x；（2）解：B−3,0，A(1,3)，AB=5，当AB=PB=5时，P(−8,0)或(2,0)，当PA=AB时，点P,B关于直线x=1对称，∴P(5,0)，综上所述：点P的坐标为(−8,0)或(2,0)或(5,0)．【点睛】本题是反⽐例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰三⾓形的性质等知识，运⽤分类思想是解题的关键．23．【原创题】如图，△ABC是边长为4的等边三⾓形，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，满⾜AD=BE=CF．(1)求证：△ADF≌△BED；(2)设AD的长为x，△DEF的⾯积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述△DEF的⾯积随AD的增⼤如何变化．【答案】(1)见详解(2)y2−+(3)当2<x<4时，△DEF的⾯积随AD的增⼤⽽增⼤，当0<x<2时，△DEF的⾯积随AD的增⼤⽽减⼩【分析】（1）由题意易得AF=BD，∠A=∠B=60°，然后根据“SAS”可进⾏求证；=AF=4−x，（2）分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂⾜分别为点H、G，根据题意可得S△ABC然后可得FG1）易得△ADF≌△BED≌△CFE，则有S△ADF=S△BED=S△CFE4−x，进⽽问题可求解；（3）由（2）和⼆次函数的性质可进⾏求解．【详解】（1）证明：∵△ABC是边长为4的等边三⾓形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC=4，∵AD=BE=CF，∴AF=BD=CE，在△ADF和△BED中，AF=BD，∠A=∠BAD=BE∴△ADF≌△BED SAS；（2）解：分别过点C、F作CH⊥AB，FG⊥AB，垂⾜分别为点H、G，如图所⽰：在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC=4，∴CH=AC⋅sin60°=∴S △ABC =12AB ⋅CH =设AD 的长为x ，则AD =BE =CF =x ，AF =4−x ，∴FG =AF ⋅sin60°∴S △ADF =12AD ⋅FG 4−x ，同理（1）可知△ADF ≌△BED ≌△CFE ，∴S △ADF =S △BED =S △CFE 4−x ，∵△DEF 的⾯积为y ，∴y =S △ABC −3S △ADF =4−x =2−+（3）解：由（2）可知：y 2−+∴a 0，对称轴为直线x =2，∴当x >2时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，当x <2时，y 随x 的增⼤⽽减⼩；即当2<x <4时，△DEF 的⾯积随AD 的增⼤⽽增⼤，当0<x <2时，△DEF 的⾯积随AD 的增⼤⽽减⼩．【点睛】本题主要考查锐⾓三⾓函数、⼆次函数的综合及等边三⾓形的性质，熟练掌握锐⾓三⾓函数、⼆次函数的综合及等边三⾓形的性质是解题的关键．【⼏何模型】⼿拉⼿模型24．如图1，△ABC 是等边三⾓形，点D 在△ABC 的内部，连接AD ，将线段AD 绕点A 按逆时针⽅向旋转60°，得到线段AE ，连接BD ，DE ，CE ．(1)判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F．①如图2，当点F与点B重合时，直接⽤等式表⽰线段AE，BE和CE的数量关系为_______；②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．【答案】(1)BD=CE，理由见解析(2)①BE=AE+CE；②∠BAD=45°，理由见解析【分析】（1）利⽤等边三⾓形的性质和旋转的性质易得到△ABD≌△ACE SAS，再由全等三⾓形的性质求解；（2）①根据线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE得到△ADE是等边三⾓形，由等边三⾓形的性质和（1）的结论来求解；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，根据等边三⾓形的性质和锐⾓三⾓函数求值得到∠BAF=∠DAG，AGAD =AFAB，进⽽得到△BAD∽△FAG，进⽽求出∠ADB=90°，结合BD=CE，ED＝EC得到BD=AD，再⽤等腰直⾓三⾓形的性质求解．【详解】（1）解：BD=CE．证明：∵△ABC是等边三⾓形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∵线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE，∴AD=AE，∠DAE=60°，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE SAS，∴BD=CE；（2）解：①BE=AE+CE理由：∵线段AD绕点A按逆时针⽅向旋转60°得到AE，∴△ADE是等边三⾓形，∴AD=DE=AE，由（1）得BD=CE，∴BE=DE+BD=AE+CE；②过点A作AG⊥EF于点G，连接AF，如下图．∵△ADE是等边三⾓形，AG⊥DE，∴∠DAG=12∠DAE=30°，∴AGAD=cos∠DAG∵△ABC是等边三⾓形，点F为线段BC中点，∴BF=CF，AF⊥BC，∠BAF=12∠BAC=30°，∴AFAB=cos∠BAF∴∠BAF=∠DAG，AGAD =AF AB，∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF，即∠BAD=∠FAG，∴△BAD ∽△FAG ，∴∠ADB =∠AGF =90°．∵BD =CE ，ED ＝EC ，∴BD =AD ，即△ABD 是等腰直⾓三⾓形，∴∠BAD =45°．【点睛】本题主要考查了等边三⾓形的性质，旋转的性质，全等三⾓形的判定和性质，解直⾓三⾓形，相似三⾓形的判定和性质，等腰直⾓三⾓形的判定和性质，理解相关知识是解答关键．25．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A (﹣2，0)、B (6，0)两点，与y 轴交于点C (0，﹣3)．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 在直线BC 下⽅的抛物线上，连接AP 交BC 于点M ，当PM AM 最⼤时，求点P 的坐标及PMAM 的最⼤值；（3）在（2）的条件下，过点P 作x 轴的垂线l ，在l 上是否存在点D ，使△BCD 是直⾓三⾓形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y =14x 2−x −3；（2）P(3,−154)，916；（3）(3,6)或(3,−9)或(3,−32)或(3−32)【分析】（1）将A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代⼊y =ax 2+bx +c 即可求解析式；（2）过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ，由PF //AE ，可得MP AM =PF AE ，则求PF AE 的最⼤值即可；（3）分三种情况讨论：当∠CBD =90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，可证明ΔDBG ∽ΔBCH ，求出D(3,6)；当∠BCD =90°时，过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，可证明ΔOBC ∽ΔKCD ，求出D(3,−9)；当∠BDC =90°时，线段BC 的中点T(3,−32)，设D(3,m)，由DT =12BC ，可求D(32)或D(3,−32)．【详解】解：（1）将点A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代⼊y =ax 2+bx +c ，得4a −2b +c =036a +6b +c =0c =−3 ，解得a =14b =−1c =−3，∴y =14x 2−x −3；（2）如图1，过点A 作AE ⊥x 轴交直线BC 于点E ，过P 作PF ⊥x 轴交直线BC 于点F ，∴PF //AE ，∴ MP AM =PF AE ，设直线BC 的解析式为y =kx +d ，∴6k +d =0d =−3 ，∴ k =12d =−3 ，∴y =12x −3，设P(t,14t 2−t −3)，则F(t,12t −3)，∴PF =12t −3−14t 2+t +3=−14t 2+32t ，∵A(−2,0)，∴E(−2,−4)，∴AE =4，∴ MP AM =PF AE =−14t 2+32t 4=−116t 2+38t =−116(t −3)2+916，∴当t =3时，MP AM 有最⼤值916，∴P(3,−154)；（3）∵P(3,−154)，D 点在l 上，如图2，当∠CBD =90°时，过点B 作GH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥y 轴，DG 与GH 交于点G ，过点C 作CH ⊥y 轴，CH 与GH 交于点H ，∴∠DBG +∠GDB =90°，∠DBG +∠CBH =90°，∴∠GDB =∠CBH ，∴ΔDBG ∽ΔBCH ，∴ DG BH =BG CH ，即33=BG 6，∴BG =6，∴D(3,6)；如图3，当∠BCD =90°时，过点D 作DK ⊥y 轴交于点K ，∵∠KCD +∠OCB =90°，∠KCD +∠CDK =90°，∴∠CDK =∠OCB ，∴ΔOBC ∽ΔKCD ，∴ OB KC =OC KD ，即6KC =33，∴KC =6，∴D(3,−9)；如图4，当∠BDC =90°时，线段BC 的中点T(3,−32)，BC =设D(3,m)，∵DT =12BC ，∴|m +32|∴m =32或m =−32，∴D(3−32)或D(3,32)；综上所述：ΔBCD 是直⾓三⾓形时，D 点坐标为(3,6)或(3,−9)或(3,32)或(32)．【点睛】本题考查⼆次函数的综合，熟练掌握⼆次函数的图象及性质，通过构造平⾏线将MP AM 的最⼤值问题转化为求PF AE 的最⼤值问题是解题的关键．。

新人教版七下数学试题全集[各章总复习]第七章三角形复习测试题

ABDCE图42021年春季期七年级数学第七章三角形测试题一、填空题(每空2分，共30分)1、在直角三角形、钝角三角形和锐角三角形这三种三角形中，有两条高在三角形外部的是三角形。

2、如图1，AD 是△ABC 的中线，如果△ABC 的面积是18cm 2,则△ADC 的面积是______________cm 2。

3、把一副常用的三角板如图2所示拼在一起，那么图中∠ADE 是度。

4、等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，则这个等腰三角形的三边长是_________________。

5、若过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形有k 条对角线，求(m －k)n 的值__________。

6、如图3为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一图3 根木条，这样做使用的数学道理是 ___ 。

7、在△ABC 中，∠A=3∠B ，∠A －∠C=30°，则∠A=____，∠B=____，∠C=______。

8、一个三角形周长为27cm ，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长。

9、一个多边形的内角和与外角和的差是180°则这个多边形的边数为________。

10、如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的４倍，等于与它不相邻的一个内角的２倍，则此三角形各内角的度数是_________________________。

11、一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是_________。

12、已知△ABC 的周长是偶数，且a=2，b=7，则此三角形的周长是_________。

13、如图4,已知∠BOF=12021则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___图1 图2 二、选择题(每小题3分，共30分)1、下列长度的三条线段可以组成三角形的是( ) 图4（A ） 3、4、2 (B)12、5、6 (C)1、5、9 (D)5、2、72、三角形的两边分别为3和5,则三角形周长y 的范围是( )A.2＜y ＜8B.10＜y ＜18C.10＜y ＜16D.无法确定 3、将一个∆ABC 进行平移，其不变的是 ( )(A)面积 (B)周长 (C)角度 (D)以上都是4、在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(5，0)，C(0，4)所组成的三角形ABC的面积是( )A 、32；B 、4；C 、16；D 、85、以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个6、给出下列命题:①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。

中考数学专题复习《圆与三角形的综合(圆的综合问题)》测试卷(附带答案)

中考数学专题复习《圆与三角形的综合（圆的综合问题）》测试卷(附带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1．如图 O 是ABC 的外接圆 AB 是O 的直径 FH 是O 的切线切点为F FH BC ∥ 连接AF 交BC 于E 连接BF ．(1)证明：AF 平分BAC ∠(2)若ABC ∠的平分线BD 交AF 于点D 4EF = 6DE = 求tan EBF ∠的值．2．如图① OA 是O 的半径点P 是OA 上一动点过P 作弦BD ⊥弦AC 垂足为E连结AB BC CD DA ．(1)求证：BAO CAD ∠=∠．(2)当OA CD ∥时求证：AC BC =．(3)如图① 在（2）的条件下连结OC ．①若ABC 的面积为12 4cos 5ADB求APD △的面积． ①当P 是OA 的中点时求BD AC 的值．3．如图 ABC 内接于O AB ，是①O 的直径过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D BE CD ⊥ EB 的延长线交O 于F CF ，交AB 于点G BCF BCD ∠=∠.(1)求证：BE BG =(2)若1BE = 求O 的半径．4．如图 O 是ABC 的外接圆 AB 是O 的直径 BD 是O 的切线连接AD 交O 于点E 交BC 边于点F 若点C 是AE 的中点．(1)求证：ACF BCA ∽△△(2)若1CF = 2BF = 求DB 的长．5．如图1 锐角ABC 内接于O 点E 是AB 的中点连结EO 并延长交BC 于D 点F 在AC 上连结AD DF BAD CDF ∠=∠．(1)求证：DF AB ．(2)当9AB = 4AF FD ==时①求tan CDF ∠的值①求BC 的长．(3)如图2 延长AD 交O 于点G 若::1:4:3GC CA AB = 求BED DFC S S△△的值．6．如图 AB 为O 的直径弦CD AB ⊥于点E 连接AC BC ．(1)求证：CAB BCD ∠=∠(2)若4AB = 2BC = 求CD 的长．7．如图四边形ABCD 内接于O BC 为O 的直径 O 的切线AP 与CB 的延长线交于点P ．(1)求证：PAB ACB ∠=∠(2)若12AB = 4cos 5ADB求PB 的长．8．在Rt ABC 中 90BCA ∠=︒ CA CB = 点D 是ABC 外一动点（点B 点D 位于AC 两侧）连接CD AD ．(1)如图1 点O 是AB 的中点连接OC OD 当AOD △为等边三角形时 ADC ∠的度数是______(2)如图2 连接BD 当135ADC ∠=︒时探究线段BD CD DA 之间的数量关系并说明理由(3)如图3 O 是ABC 的外接圆点D 在AC 上点E 为AB 上一点连接CE DE 当1AE = 7BE =时直接写出CDE 面积的最大值及此时线段BD 的长．9．如图 AB 为O 的直径 AB AC = BC 交O 于点DAC 交O 于点E 45BAC ∠=︒．(1)求EBC ∠的大小(2)若O 的半径为2 求图中阴影部分的面积．10．如图点C 是弧AB 的中点直线EF 与O 相切于点C 直线AO 与切线EF 相交于点E 与O 相交于另一点D 连接AB CD ．(1)求证：AB EF ∥(2)若3DEF D ∠=∠ 求DAB ∠的度数．11．如图1 BC 是O 的直径点A 在O 上 AD ①BC 垂足为D AE AC = CE 分别交AD AB 于点F G ．(1)求证：FA FG =(2)如图2 若点E 与点A 在直径BC 的两侧 AB CE 的延长线交于点G AD 的延长线交CG 于点F ．①问（1）中的结论还成立吗？如果成立请证明如果不成立请说明理由①若2tan3BAD∠=求cos BCE∠．12．如图1四边形ABCD内接于O连结BD AC交于点G点E是AB上一点连结CE交BD于点F且满足ACD ACF∠=∠．(1)求证：ACE ABD∠=∠(2)若点C是BD的中点①求证：CE CD=②若34CFCD=3tan4BDC∠=时求EFFD的值．(3)如图2当点F是BG的中点时若2AB=3AC=求CG的值．13．如图四边形OABC 中90OAB OCB ∠=∠=︒ BA BC =．以O 为圆心以OA 为半径作O ．(1)求证：BC 是O 的切线(2)连接BO 形延长交O 于点D 延长AO 交O 于点E 与BC 的延长线交于点F ①补全图形①若AD AC = 求证：OF OB =．14．如图在ABC 中 AB AC = AO BC ⊥于点O OE AB ⊥于点E 以点O 为圆心 OE 为半径作圆O 交AO 于点F ．(1)求证：AC 是O 的切线(2)若60AOE =︒∠ 3OE = 在BC 边上是否存在一点P 使PF PE +有最小值如果存在请求出PF PE +的最小值．15．如图1 在O 中 P 是直径AB 上的动点过点P 作弦CD （点C 在点D 的左边）过点C 作弦CE AB ⊥ 垂足为点F 连接BC 已知BE ED =．(1)求证：FP FB =．(2)当点P 在半径OB 上时且OP FB = 求FPFC 的值．(3)连接BD 若55OA OP ==． ①求BD 的长．①如图2 延长PC 至点G 使得CG CP = 连接BG 求BCG 的面积．参考答案：1．（1）解：连接OF 如图所示：FH 是O 的切线OF FH ∴⊥①FH BC ∥OF BC ∴⊥BF CF ∴=BAF CAF ∴∠=∠AF ∴平分BAC ∠（2）解：如图作出ABC ∠的平分线BD 交AF 于点DABD CBD ∠=∠ BAF CAF CBF ∠=∠=∠ 且FBD CBD CBF ∠=∠+∠ BDF ABD BAF ∠=∠+∠FBD BDF ∴∠=∠4610BF DF EF DE ∴==+=+= AB 是O 的直径90AFB ∴∠=42tan 105EF EBF BF ∴∠===．2．（1）解：延长AO 交圆O 与F 连接BF ．①90ABF ∠=︒①BD AC ⊥与E①90AED ABF ∠=∠=︒又AOE AFB ∠=∠①ABF AED ∽①BAF EAD ∠=∠即BAO CAD ∠=∠．（2）连接CF①AF 是O 的直径①90ACF ∠=︒①90AFC FAC ∠+∠=︒①OA CD ∥①FAC ACD ∠=∠①BD AC ⊥与E①90AED ∠=︒①90CDE ACD ∠+∠=︒①AFC CDE ∠=∠又①AFC CBA ∠=∠ CDE CAB ∠=∠①CBA CAB ∠=∠①AC BC =．（3）①①4cos 5ADB①45DE AD = ①45DE AD =①2235AE AD DE AD =- ①ACB ADB①45CE BC = 设4CE a = 则5BC a AC == ①223BE BC CE a -①5BC AC a ==①AE AC EC a =-=①53AD a = 43DE a = ①OP CD ①14OE AE DE CE == ①13PE a = 53PD a = ①211552236APD SPD AE a a a =⋅=⨯⨯= ①11531222ABC S AC BE a a =⋅=⨯⨯= 解得：22415a = ①25524466153APD S a ==⨯=． ①过点O 作OH AC ⊥于H①22AC AH CH ==①PE AC ⊥①PE OH ∥①P 是OA 的中点①E 是AH 的中点设AE k = 则2AH k = 4AC k= 3CE k = 4BC AC k ==①BE①ADB ACB ∠=∠ AED BEC∠=∠①AED BEC ∽ ①AEDEBE CE =①AE CEDE BE ⋅===①BD =①74BD AC k ==故BDAC3．（1）证明：如图连接OC①CD 是①O 的切线①OC CD ⊥①90OCB BCD ∠+∠=︒①OC OB =①OCB OBC ∠=∠①BCF BCD ∠=∠①90BCF OBC ∠+∠=︒①90BGC ∠=︒ 即BG CF ⊥①BCF BCD ∠=∠，BE CF ⊥①BE BG =（2）解：①AB 是O 的直径 CF AB ⊥①BC BF =①BC BF =①BCF F ∠=∠①BE CD ⊥ BCF BCD ∠=∠①30BCF BCD F ∠=∠=∠=︒①60OBC ∠=︒①1BE =①2BC =①60OB OC OBC =∠=︒，①OBC △为等边三角形①2OB BC ==即O 的半径为2.4．（1）解：①AB 是O 的直径①090ACB FCA ∠=∠=①点C 是AE 的中点①AC EC =①CAE CBA ∠=∠①ACF BCA ∽△△（2）ACF BCA ∵∽△△2AC CF CB =⋅∴1CF = 2BF =23AC CF CB =⋅=∴AC ∴090ACB ∠=AB ∴==1sin 2CA ABC AB ∴∠=== 30CAE CBA =︒∠=∠∴903060BAC ∴∠=︒-︒=︒603030BAD ∴∠=︒-︒=︒BD 是O 的切线 90ABD ∴∠=︒tan D B B BA D A ∠==∴2DB ∴=5．（1）证明：①点E 是AB 的中点且DE 过圆心①AB DE ⊥①AD BD =①B BAD ∠=∠有①BAD CDF ∠=∠①B CDF ∠=∠①DF AB ．（2）①DFAB ①CDF CBA △△∽①DF CF BA CA=即：494CF CF=+ 解得：165CF = 又①AF FD =①CAD FDA ∠=∠①DF AB①FDA BAD CDF ∠=∠=∠①CAD CDF ∠=∠又C C ∠=∠①CDF CAD ∽ ①=CD CA CF CD①2161657645525CD CF AC ⎛⎫=⋅=⨯+= ⎪⎝⎭ ①245CD = ①CDF CBA △△∽①DC DF BC BA= 即24459BC = ①545BC = ①5424655BD BC DC =-=-= ①1922AE AB == 在ADE 中222293762DE AD AE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭①3772tan tan 92DE CDF EAD AE ∠=∠=== 综上 17tan CDF ∠ 545BC =．（3）①::1:4:3GC CA AB =①它们所对圆心角度数比为1:4:3．根据同弧所对圆周角为原心角的一半可知它们所对的圆周角度数比为1:4:3 即1::1:4:3B C ∠∠∠=设1∠=α 则4B α∠= 3C α∠=则14ADB C α∠=∠+∠=①AD BD =①4BAD B α∠=∠=①4ADB BAD B α∠=∠=∠=①ADB 为等边三角形①460α=︒①15α=︒①345C α∠==︒过点E 作EM BC ⊥交BC 于M 过点A 作⊥AP BC 交BC 于P 过点F 作FN BC ⊥交BC 于N设2BD m =①=60B ∠︒ 90BED ∠=︒①1cos6022BE BD m m =⋅︒=⨯= sin sin 60EM BE B m m =⋅=⋅︒==①211222BED S EM BD m =⋅=⋅=同理sin 2sin 602AP AB B m m =⋅=⨯︒== ①45C PAC ∠=∠=︒①PC AP == ①12PD BD m ==①)1CD PC PD m =-=①45C NFC ∠=∠=︒设FN CN n ==①DF AB60FDN B ∠=∠=︒ ①3tan 60FN DN ==︒ 又①CD DN NC =+ 即)331m n =+ 解得：()233n m = ①)()211953313322DFC S DC FN m m -=⋅=⨯⨯= ①2253332953BED DFC S m S -+△△． 6．（1）证明：①直径AB CD ⊥①BC BD =．①A BCD ∠=∠（2）解：连接OC①直径AB CD ⊥①CE ED =．①直径4AB =①2CO OB ==①2BC =①OCB 是等边三角形①60COE ∠=︒①30OCE ∠=︒ ①112OE OC == 在Rt COE △中①CE①2CD CE ==7．（1）证明：如图连接OA①AP 为O 的切线①OA AP ⊥①90OAP ∠=︒①90OAB PAB ∠+∠=︒①OA OB =①OAB OBA ∠=∠①90OBA PAB①BC 为O 的直径①90ACB OBA ∠+∠=︒①PAB ACB ∠=∠（2）由（1）知PAB ACB ∠=∠ 且ADB ACB ∠=∠ ①ACB PAB ADB ∠=∠=∠ ①4cos cos cos 5ACB PAB ADB ∠=∠=∠= 在Rt ABC 中 3tan 4AB ACB AC ∠== ①12AB =①16AC =①2220BC AB AC +=①10OB =过B 作BF AP ⊥于F①ADB FAB ∠=∠ 4cos 5ADB①4cos 5FAB ∠=①3sin 5FAB ∠= ①在Rt ABF 中 36sin 5BF AB FAB =⋅∠=①OA AP BF AP ⊥⊥，，①BF OA ∥ ①PBF POA ∽①BF PB OA PO ①3651010PB PB =+①1807PB = 故PB 的长为1807． 8．（1）解：90BCA ∠=︒ BC AC = 点O 是AB 的中点 90COA ︒∴∠= 12CO AB OA == AOD 是等边三角形OD OA ∴= 60ODA DOA ∠=∠=︒OC OD ∴= 906030COD COA DOA ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ()()11180180307522ODC COD ∴∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒ 7560135ADC ODC ODA ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：135︒（2）解：线段BD CD DA 之间的数量关系为：BD DA =+ 理由如下：过点C 作CH CD ⊥交AD 的延长线于点H 如图2所示：则180********CDH ADC ∠=︒-∠=︒-︒=︒ DCH ∴△是等腰直角三角形CH CD ∴= HD90BCA ∠=︒ACH BCD ∴∠=∠()ACH BCD SAS ∴≌BD AH HD DA AD ∴==+=+ （3）解：连接OC 如图3所示：90BCA ∠=︒ BC AC =ACB ∴是等腰直角三角形45ABC ∴∠=︒ O 是ABC 的外接圆O ∴是AB 的中点OC AB ∴⊥ ()()111174222OC OA AB AE BE ===+=⨯+= 413OE OA AE ∴=-=-=在Rt COE △中由勾股定理得：2222435CE OC OE ++ CE 是定值∴点D 到CE 的距离最大时 CDE 面积的面积最大 AB 是O 的直径过点O 作ON CE ⊥于N 延长ON 与O 的交点恰好是点D 时点D 到CE 的距离最大 CDE 面积的面积最大1122OCE S OC OE CE ON =⋅=⋅431255OC OE ON CE ⋅⨯∴===4OD OC ==128455DN OD ON ∴=-=-=此时在直角CNO 中 222212164()55CN OC ON =-=-=在直角CND △中 222216885()()55CD CN DN +=+=在直角ABD △中 222228BD AB AD AD =-=- 由（2）知 8581022BD CD AD AD AD =+==2228108()AD AD ∴-=+610AD ∴=8108106101410BD AD ∴+=即CDE 面积的面积最大值为4 此时 1410BD ．9．（1）解：①AB 为O 的直径①90AEB ∠=︒又①45BAC ∠=︒①=45ABE ∠︒．又①AB AC =①67.5ABC C ∠=∠=︒①22.5EBC ∠=︒．（2）解：连接OE 如图所示：①45ABE BAE ∠=∠=︒①AE BE =①OA OB =①OE AB ⊥①2OA OB OE ===①OBE OBE S S S =-阴影扇形29021223602π⨯⨯=-⨯⨯2π=-．10．（1）证明：连接OC 如图①直线EF 与O 相切于点C①OC EF ⊥．①点C 是AB 的中点①OC AB ⊥．①AB EF ∥．（2）解：①OC EF ⊥①90OCE ∠=︒．①90DEF EOC ∠+∠=︒．①2EOC D ∠=∠ 3DEF D ∠=∠①590D ∠=︒．①18D ∠=︒．①331854DEF D ∠=∠=⨯︒=︒．①AB EF ∥①54DAB DEF ∠=∠=︒．11．（1）证明：BC 为直径90BAC ∴∠=︒90ACE AGC ∴∠+∠=︒AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒90ABD DAB ∴∠+∠=︒①AE AC =ACE ABD ∴∠=∠DAB AGC ∴∠=∠FA FG ∴=（2）解：①（1）中的结论成立理由如下： BC 为直径90BAC ∴∠=︒即：=90GAC ∠︒90ACG AGC ∴∠+∠=︒AD BC ⊥90ADB ∴∠=︒90ABD DAB ∴∠+∠=︒①AE AC =ACG ABD ∴∠=∠DAB AGC ∴∠=∠FA FG ∴=①如图2 过点G 作GM BC ⊥交CB 的延长线于点M90GMB ADB ∴∠=∠=︒又ABD GBM ∠=∠GBM ABD ∴∽ ∴BMMGBD DA = ∴BM BDMG DA =90BAD ABD ∠+∠=︒90BAD DAC ∠+∠=︒ABD DAC ∴∠=∠ACE ABD ∠=∠DAC ACE ∴∠=∠AF CF ∴=又AF GF =CF GF ∴=∴点F 为CG 的中点2tan 3BD BAD AD ∠== ∴23BMBD MG DA ==90ADB ADC ∠=∠=︒ABD CAD ∴∽ ①23BDAD AD CD ==设2BD x = 则3AD x =①233x x x CD= 解得：92CD x =AD BC ⊥ GM BC ⊥AD GM ∴∥①点D 为CM 的中点29CM CD x ∴==92DM CD x ∴== BM DM BD ∴=-52x = ①23BM MG = 32MG BM ∴=154x = CG ∴22MG CM +()221594x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭394x = cos BCE ∴∠CM CG =． 9394xx = 1213=． 12．（1）①ACD ACF ∠=∠ ACD ABD ∠=∠ ①ACE ABD ∠=∠（2）①①点C 是BD 的中点①BAC DAC ∠=∠ BC DC =①BAC DAC DBC ∠=∠=∠①BEC BAC ACE ∠=∠+∠ ABC ABD DBC ∠=∠+∠ ①BEC ABC ∠=∠①CE BC =①CE CD =②延长CE 交O 于点P 连接PB 连接CO 交BD 于点M由①得BAC DAC DBC ∠=∠=∠ BC DC = ①CM BD ⊥ ①12DM BM BD ==①BAC BPC ∠=∠①DBC DPC ∠=∠①BCF PCB ∠=∠①CBF CPB ∽ ①CB CF CP CB = ①34CF CD = 设3CF k = 4DC CE CB k === 则EF k = ①434k k CP k= 则163PC k = ①43PE PC CF EF k =--=①在Rt CMD 中 3tan 4CM BDC DM ∠== 设BDC ∠的对边为3CM m = 则4DM m = ①由勾股定理得5CD m = ①44cos 55DM m BDC CD m ∠=== ①4cos 5DM BDC DC ∠==①165DM k = 由12DM BM BD == ①3225BD DM k ==①BPF CDF ∠=∠ PBF DCF ∠=∠ ①BPF CDF ∽ ①PF BF DF CF= 设DF y = 由4733PF PE EF k k k =+=+= 325BF BD DF k y =-=- ①732353k k y y k-= 解得15y k = 275y k = ①155EF k DF k ==或5775EF k DF k == 综上可知EF DF 的值为15或57（3）过F 作FH AB ∥ 交AC 于点H同理FHG CHF ∽ ①FH HC HG FH= ①点F 是BG 的中点则设AH HG a == ①FH HC HG FH = 即131a a -= 整理得2310a a -+= 解得：135a +=（舍去） 235a -=①325CG a =-13．（1）证明：如图连接BO90OAB OCB ∠=∠=︒ BA BC = BO BO =①()Rt Rt HL ABO CBO ≌①AO CO =CO ∴是O 的半径又①90BCO ∠=︒①BC 是O 的切线（2）①解：依照题意画出图形如图所示①证明：①Rt Rt ABO CBO ≌ ①AOB BOC ∠=∠①AOD COD ∠=∠①AD AC =①AOC AOD ∠=∠①120AOC AOD COD ∠=∠=∠=︒ ①60AOB BOC ∠=∠=︒①90BCO ∠=︒①30OBC ∠=︒①60AOB OBC F ∠=∠+∠=︒①30F OBC ∠=︒=∠①OB OF =．⊥与点D如图14．（1）证明：过点O作OD AC⊥=AO BCAB AC∠∴平分BACAO⊥OE AB⊥OD AC∴=OD OEOE是圆的半径OD∴是圆的半径这样AC经过半径OD的外端且垂直于半径OD∴是O的切线AC（2）解：在BC边上存在一点P使PF PE+有最小值．延长AO交O于点G连接EG交BC于点P连接PF则此时PF PE+最小连接EF过点E作EH AO⊥于点H如图∠=︒OE OFAOE60=∴为等边三角形OEF∴===3EF OE OF⊥EH OF1322OH HF OF ∴=== 39322GH OG OH ∴=+=+= 在Rt EHO 中sin EH AOE OE ∠=EH OE ∴=在Rt EHG △中EG BC FG ⊥ OG OF = PG PF ∴=PE PF PE PG EG ∴+=+==∴在BC 边上存在一点P 使PF PE +有最小值．PF PE +的最小值为 15．（1）①BE ED = ①BCE DCE ∠=①CE AB ⊥①90CFP CFB ∠=∠=︒ 在CPF 和CBF 中 DCE BCE CF CFCFP CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA CPF CBF ≌ ①FP FB =．（2）由（1）得 FP FB = ①OP FB =①OP FB FP ==设3OA a =①OP FB FP a === ①2OF OP PF a =+= 连接OE①在Rt OFE △中 ()()225FE OE OF a - ①AB 为O 的直径 CE AB ⊥ ①5CF EF a == ①55FP FC a ==（3）①连接OE 如图①AB 为O 的直径 CE AB ⊥ ①CB BE =①BE ED =①BE ED CB == ①CB BE BE BD +=+ ①CE BD =①CE BD =①55OA OP == ①1OP =①FP FB = 5FP FB OP ++= ①2FP FB ==①3OF =在Rt OFE △中 FE =①4FE =①12CF FE CE == ①8CE = ①8BD = ①①CG CP = FP FB = ①点F 点C 是线段PB GO 的中点 ①CF 为PGB △的中位线 ①12CF GB = 12CF GB ∥ ①4CF = ①8GB = ①CF AB ⊥ ①BG AB ⊥ ①BCG 中BG 边上的高等于BF 的长①BCG 的面积为：1182822BG BF ⨯=⨯⨯=．。

中考数学专题复习之《三角形》试题集

9.1 三角形(2) 同步练习◆课堂测控测试点三角形的三条重要线段1．锐角三角形的三条高在三角形_________，钝角三角形有______条高在三角形外，直角三角形有两条高恰好是_________．2．如图1，BD=DE=EF=CF，图中共有_______个三角形，AF是△______的中线，AE是△_______的中线．(1) (2) (3)3．如图2，∠AEB=90°，则AE是______个三角形的高，它们分别是______．4．如图3，△ABC中BC边上的高是________，△ACD中CD边上的高是_____，以CF为高的三角形是________．5．关于三角形的角平分线和中线，下列说法正确的是（）A．都是直线 B．都是射线 C．都是线段 D．可以是射线或线段6．如果一个三角形的三条高的交点恰是一个三角形的顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定7．下列说法正确的是（）A．三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部;B．三角形的角平分线、高都在三角形的内部;C．三角形的高、中线都在三角形的内部;D．三角形的角平分线、中线在三角形的内部8．在图4中第一个三角形中作三条中线、在第二个三角形作三条角平分线，在第三个三角形中作三条高线．◆课后测控1．如图5，AD为△ABC的中线，AE•是△ABC•的角平分线，•若BD=•2cm，•则BC=_____cm，若∠BAC=80°，则∠CAE=________．(5) (6) (8)2．如图6，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则BC边上的高是______，AC•边上的高是______，AB边上的高是______，三条高的交点是______．3．如图7，BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD与△BCD•的周长差为_______cm．4．如图，画△ABC的AB边上的高，正确的是（）5．下面的说法：①三角形一边的对角也是另外两边的夹角；②三角形的角平分线就是三角形的内角的平分线；③三角形的中线就是顶点和它的对边中点的连线段；④△ABC中，顶点A就是∠A，其中正确的说法是（）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①③6．下面说法正确的是（）A．三角形的高就是顶点到对边垂线段的长 B．直角三角形有且仅有一条高C．三角形的高都在三角形的内部 D．三角形三条高至少有一条高在三角形内部7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形C．直角三角形 D．周长相等的三角形8．如图，在△ABC中，AD⊥BC且AD平分∠BAC，若∠1=30°，则∠C为多少度？∠B呢？△ABC是什么三角形？9．如图，已知：D是△ABC的BC边延长线上一点，DF⊥AB于点F，交AC于E，•∠A=40°，∠D=30°，求∠ACB的度数．10．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，与∠ABC的角平分线BE 相交于点D，求∠ADE的度数．答案:回顾探索1．中线 2．顶点与垂足间的线段2．顶点与交点之间的线段课堂测控1．内两两直角边2．10 AEC ADF和△ABC3．三△ADE，△ ABE，△ACE4．AD AD △BCF和△ACF5．C 6．B 7．D 8．画图略课后测控1．4 40°2．AC BC CD C3．2（点拨：由BD是中线知AD=CD）4．D 5．B 6．D 7．B8．60°，60°，等边三角形9．80°（点拨：根据三角形内角和等于180°先求∠B=60°，再求∠ACB=80°）10．45°（点拨：由∠C=90°，AD、BE是∠CAB、∠CBA的平分线可得∠BAD+•∠ABD=45°，又∠ADE=∠BAD+∠ABD）学校班级姓名…………………………………密………………………封………………………线……………………………中考专题训练三角形（一）一、选择题1．（2013德阳）如果三角形的两边分别为3和5，那么连结这个三角形三边中点所得的三角形的周长可能是（）． A ． 5. 5 B ．5 C ．4.5 D ．4 是一个三角形的边长的是（）． 2．（2013温州）下列各组数可能A ．1，2，4 B ．4，5，9 C ．4，6，8 D ．5，5，113．（2013宁波）一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（）．A ．5B ．6C ．7D ．8 4．（2013陕西）如图，在四边形中，对角线AB=AD ，CB=CD ，若连接AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有（）． A ．1对B ．2对 C ．3对D ．4对5．（2011泸州）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ′，折痕为BE ，则EC 的长度是（）． A ．B ．C ．D ．6．（2012贵阳）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于点F ，若∠F=30°，DE=1，则EF 的长是（）． A ．3 B ．2 C ．D ．17．（2012宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）．B C DAO第4题图第5题图第6题图A ．90B ．100C ．110D ．1218．（2013牡丹江）如图，在△ABC 中∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM ，PN ，则下列结论：①PM=PN ；②；③△PMN 为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC ．其中正确的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．（2013温州）如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a ∥b ，∠1=40°，∠2=70°，则∠3=度．10．（2013黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ， DF=DE ，则∠E=度．11．（2012四川南充）如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形ABCD 的面积是24cm 2.则AC 长是cm ．12．（2012山东枣庄）如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且∠AFB ＝90°，若AB＝5，BC ＝8，则EF 的长为_．13．（2012甘肃白银）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接第7题图第8题图第9题图第10题图第11题图第12题图小正方形的三个顶点，可得到△ABC，则△ABC中BC边上的高是．第13题图第14题图14．（2012山东临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE=cm．三、解答题15．（2012广东广州）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．16．(2012湖南湘西)如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°，∠C=45°．（1）求∠BAC的度数．（2）若AC=2，求AD的长．17．（2012重庆市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）18．（2012广东肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．19．（2012北京市）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．20．（2012浙江绍兴）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．21．（2012山东滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．（1）求证：△ADF≌△CBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．22．(2011广东河源)如图,已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连结AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转α的大小是否发生变化？（旋转角小于180°），此时（只需直接写出你的猜想，不必证明）23．（2011吉林长春）探究：如图①，在的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE,,连结AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用：以的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连结EF、GH、IJ、KL，若的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为________．24．（2013常德）已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．北师大版七年级下第五章三角形一、三角形三边关系和角关系1、三角形任意两边之和大于第三边。

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F
E
DCB

三角形测试题
1．满足下列条件的三角形，按角分类有三个属于同一类，则另一个是（）。
A．∠A:∠B:∠C＝1:2:3 B．∠A－∠B＝∠C C．∠A＝∠C＝40° D．∠A＝2∠B＝2∠C
2．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）
A．1 B．6 C．7 D．10

3．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（）
A．110° B．115° C．120° D．130°
4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若
∠A=24°，则∠BDC等于（）
5．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的
坐标为（）A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（﹣2，1） D．（﹣1，2）
6．如图2，将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C点．已知2AB，
30DEC

，则折痕DE的长为（）。A．2 B．23 C．4 D． 1

7．如图3，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且SABC=4cm2，则阴
影面积等于（）。A．2cm2 B．1cm2 C．12cm2 D．14cm2
8．直角三角形的两锐角平分线相交成的角的度数是（）
A．45° B．135° C．45°或135° D．以上答案均不对
9．能把一个三角形分成两个面积相等的三角形的线段，是三角形的（）。
A．中线 B．高线 C．边的中垂线 D．角平分线
10．．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）
A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD
侧作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，
AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM=DN；②S△CDN=S四边形ABDN；③DE=DF．其
中正确的结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、
11.若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围
是．
12．如图，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE的
大小是度．

13．一个等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm，那么，该三角形的面积等于_________。
14．如图,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°, 则∠EDF =_________度。
15．在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要____m。
16.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于45°，则这个三角形的顶角等于_______
17.已知等腰三角形的腰长是6cm，底边长是8cm
，那么以各边中点为顶点的三角形的周长是_________cm

18.如图已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是________△BPD的
面积是
三、19．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．

F
E

DCB

A
20．如图，一只蚂蚁沿长方体表面从顶点A爬到顶点B，已知4,2,1abc，则它走过的路
程最短为多少？

21．如图，大江的一侧有A、B两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为3千米和1千
米，设两条小路相距4千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到A、B两厂去，欲使供水
管路最短，抽水站应建在哪里？

22．如图，△ABC、△DEC均为等边三角形，点M为线段AD的中点，点N为线段BE的中点，
求证：△CNM为等边三角形。

c
b
a

A
A''''

A'''
A'
A'''

A''
B
23．已知：如图13，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，90DCEACB，D为AB
边上一点，

求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）222DEAEAD。

24．操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的
中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如
图14①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．

A
C
B

E
D