一元二次方程实数根的分布2
一元二次方程的根的分布
c0 O x1 0
b 2 4ac 0 b 0 2a f (0) c 0
x2
b 0 2a
x
结论2 一元二次方程ax2 bx c 0(a0)有两个负根.
x1 0 x2 0
2 b 4ac 0 b x x 0 1 2 a c x1 x2 0 a
结论1 一元二次方程ax2 bx c 0(a〉 0)有两个大于
2 b 4ac 0 b 4 ac 0 x1 k b k x1 k x2 k 0 x2 k 2a ( x k )(x k ) 0 2 1 f (k ) 0 y
1.二次函数的性质 (1)定义在R上的二次函数f(x)与x轴有两个交点(-1,0),(2,0),
大 值(填“大”或“小”). 若f(0)>0，则f(x)有最____
(2)若f(x)=ax2+bx+2b>0的解集为 (-1,2)，则实数b的取值范围
0, 是________.
(3)已知二次函数f(x)的二次项系数为1，且满足f(1-x)=f(1+x),
a0
b 2 4ac 0 f (0) c 0 b 0 2a
y
c0
0 x1
b 0 2a
x2 O
x
结论3 一元二次方程ax2 bx c 0(a〉 0)有两异号根.
b 2 4ac 0 a 0 x1 0 c x2 0 x1 x2 0 f (0) c 0 a
情形1 ： 方程根的零分布
周末培优8 第八周 一元二次方程根的分布
第八周 一元二次方程根的分布重点知识梳理设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则1．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根从几何意义上来说就是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标，所以研究方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根的情况，可从y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上进行研究．若在(－∞，＋∞)内研究方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实根情况，只需考察函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及根与系数的关系，由y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数可判断出Δ，x 1＋x 2，x 1x 2的符号，从而判断出实根的情况．若在区间(m ，n )内研究二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，则需由二次函数图象与区间关系来确定．2．若m ，n 都不是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，则f (x )＝0有且只有一个实根属于(m ，n )的充要条件是f (m )f (n )<0.3．方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根都属于区间(m ，n )的充要条件是：⎩⎨⎧ b 2－4ac ≥0af (m )>0af (n )>0m <－b 2a <n .4．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根分别在区间(m ，n )的两侧(一根小于m ，另一根大于n )的充要条件是：⎩⎨⎧af (m )<0af (n )<0. 5．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根都在(m ，n )的右侧(两根都大于n )的充要条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧b 2－4ac ≥0af (n )>0－b 2a >n ， 二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个实根都在(m ，n )的左侧(两根都小于m )的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4ac ≥0af (m )>0－b 2a <m .6．求解一元二次方程根的分布问题时，可借助函数图象，数形结合来写出相应结论．典型例题剖析例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．【解析】∵二次方程有一正根一负根，∴(2m ＋1)·f (0)<0，即(2m ＋1)(m －1)<0，解得－12<m <1， ∴m 的取值范围为(－12，1)． 变式训练 已知二次函数y ＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【解析】∵对应二次方程(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋(3m ＋3)＝0的一根大于1，一根小于1， ∴(m ＋2)·f (1)<0，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0，解得－2<m <－12， ∴m 的取值范围为(－2，－12). 【小结】一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根大于m ，一根小于m ，若a >0，则只需f (m )<0；若a <0，则只需f (m )>0 .二者综合起来，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根大于m ，一根小于m ，则只需af (m )<0.例2 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围．(2) 若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的取值范围．【解析】(1)若抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋1<0，f (－1)＝2>0，f (1)＝4m ＋2<0，f (2)＝6m ＋5>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12m ∈R m <－12m >－56，故－56<m <－12， ∴实数m 的取值范围是(－56，－12)．(2)若抛物线与x 轴交点落在区间 (0,1) 内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)>0，Δ≥0，0<－m <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0，∴－12<m ≤1－2， ∴实数m 的取值范围是(－12，1－ 2 ]． 变式训练 已知方程2x 2－2(2a －1)x ＋a ＋2＝0的两个根在－3与3之间，求a 的取值范围．【解析】若抛物线与x 轴交点落在区间 (－3,3) 内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f (－3)>0，f (3)>0，Δ≥0，－3<2a －12<3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 18＋6(2a －1)＋a ＋2>0，18－6(2a －1)＋a ＋2>0，4(2a －1)2－8(a ＋2)≥0，－52<a <72，，解得－1413<a ≤3－214或3＋214≤a <2611， 故a 的取值范围是(－1413，3－214]∪[3＋214，2611)． 例3 求实数m 的范围，使关于x 的方程x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6＝0(1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小；(2)有两个实根α，β，且满足0<α<1<β<4；(3)至少有一个正根．【解析】设y ＝f (x )＝x 2＋2(m －1)x ＋2m ＋6.(1)依题意有f (2)<0，即4＋4(m －1)＋2m ＋6<0，得m <－1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝2m ＋6>0f (1)＝4m ＋5<0f (4)＝10m ＋14>0，解得－75<m <－54. (3)方程至少有一个正根，则有三种可能： ①有两个正根，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0f (0)>02(m －1)－2>0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－1或m ≥5m >－3m <1，∴－3<m ≤－1.②有一个正根，一个负根，此时可得f (0)<0，得m <－3.③有一个正根，另一根为0，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧6＋2m ＝0－2(m －1)>0， ∴m ＝－3.综上所述，得m ≤－1.变式训练 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[]－1，1上有零点，求a 的取值范围．【解析】函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，即方程2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解，a ＝0时，不符合题意，所以a ≠0.方程2ax 2＋2x －3－a ＝0在[－1,1]上有解，∴f (－1)·f (1)≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ af (－1)≥0af (1)≥0Δ＝4＋8a (3＋a )≥0－1<－12a <1，解得1≤a ≤5或a ≤－3－72或a ≥5， 即a ≤－3－72或a ≥1. 所以实数a 的取值范围是a ≤－3－72或a ≥1.跟踪训练1．对一元二次方程2 012(x －2)2＝2 013的两个根的情况，判断正确的是( )A ．一根小于1，另一根大于3B ．一根小于－2，另一根大于2C ．两根都小于0D ．两根都大于22．若一元二次方程3x 2－5x ＋a ＝0的一根大于－2且小于0，另一根大于1而小于3， 则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－12,0)B ．(－∞，1514)C ．(1514，＋∞)D ．(12，2) 3．已知关于x 的方程(m ＋3)x 2－4mx ＋2m －1＝0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m 的取值范围是( )A ．－3＜m ＜0B ．m ＜－3或m ＞0C ．0＜m ＜3D ．m ＜0 或m ＞34．方程x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m 的取值范围是 ________________．5．若方程mx 2＋2mx ＋1＝0一根大于1，另一根小于1，则实数m 的取值范围为_______．6．已知方程4x 2＋2(m －1)x ＋(2m ＋3)＝0有两个负根，则实数m 的取值范围是________．7．一元二次方程x 2＋(2a －1)x ＋a －2＝0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是______________．8．已知方程7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2＝0(m 为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，则m 的取值范围是 _________________.9．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k 的取值范围是_________________．10．方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的取值范围是________________．11．已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，探究a 为何值时，(1)方程有一正一负两根；(2)方程的两根都大于1；(3)方程的一根大于1，一根小于1.12．已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．参考答案1．A ∵2 012(x －2)2＝2 013，∴(x －2)2＝2 0132 012>1， ∴x －2<－1或x －2>1，∴x <1或x >3，∴该方程的两个根一个小于1，一个大于3.2．A 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，根据函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧ f (－2)＞0f (0)＜0f (1)＜0f (3)＞0即⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋10＋a ＞0a ＜03－5＋a ＜027－15＋a ＞0，解此不等式组可得a ∈(－12,0)，即实数a 的取值范围是(－12,0)．故选A.3．A 由题意x 1x 2＜0，x 1＋x 2＜0，Δ＞0，由根与系数的关系x 1x 2＝2m －1m ＋3，x 1＋x 2＝4m m ＋3，因此可知参数的范围选A.4．(－∞，－3)解析 设f (x )＝x 2＋(2m －1)x ＋4－2m ，其图象开口向上，由题意，得f (2)<0，即22＋(2m －1)×2＋4－2m <0，解得m <－3.5．(－13，0) 6．[11，＋∞)解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ －2(m －1)4<0，2m ＋34>0，Δ＝4(m －1)2－16(2m ＋3)≥0，－2(m －1)8<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m >－32，m ≥11或m ≤－1，m >1，故m 的取值范围是[11，＋∞)．7．(0，23) 8．(－2，－1)∪(3,4)解析 设f (x )＝7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2，要使方程7x 2－(m ＋13)x ＋m 2－m －2＝0(m 为实数)有两个实数根，且一根在(0,1)上，一根在(1,2)上，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >2或m <－1－2<m <4m >3或m <0，则m 的取值范围为(－2，－1)∪(3,4)．9．(12，23) 解析 设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0f (1)<0f (2)>0即⎩⎪⎨⎪⎧ 2k －1>03k －2<04k －1>0， ∴12<k <23. 10．[2，52) 解析 因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－2a ×1＋4>0(－2a )2－4×1×4≥0， 解得实数a 的取值范围是[2，52)． 11．解析 (1)因为方程有一正一负两根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a －1a <0Δ＝12a ＋4>0， 解得0＜a ＜1.即当0＜a ＜1时，方程有一正一负两根．(2)方法一：当方程两根都大于1时，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(1)(2)所示，所以必须满足⎩⎨⎧ a >0Δ>0a ＋1a >1f (1)>0或⎩⎨⎧ a <0Δ>0a ＋1a >1f (1)<0，不等式组无解．所以不存在实数a ，使方程的两根都大于1.方法二：设方程的两根分别为x 1，x 2，由方程的两根都大于1，得x 1－1＞0，x 2－1＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ (x 1－1)(x 2－1)>0x 1－1＋x 2－1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0x 1＋x 2>2. 所以⎩⎨⎧ a －1a －2(a ＋1)a ＋1>02(a ＋1)a >2⇒⎩⎨⎧a <0a >0， 不等式组无解． 即不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.(3)因为方程有一根大于1，一根小于1，函数y ＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1的大致图象如图(3)(4)所示，所以必须满足⎩⎨⎧ a >0f (1)<0或⎩⎨⎧a <0f (1)>0，解得a ＞0. ∴即当a ＞0时，方程的一个根大于1，一个根小于1.12．解析 (1)依题意，x 1＝－1，x 2＝1是方程x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2b x 1x 2＝c 即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0c ＝－1， 所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题意知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－3)＝5－7b >0g (－2)＝1－5b <0g (0)＝－1－b <0g (1)＝b ＋1>0， 解得15<b <57， 所以实数b 的取值范围为(15，57)．。
一元二次方程根的分布理论 课件——2022届高三数学一轮复习
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
求m的范围.
(5)两个根都在(0，2)内
解：设f(x)＝ x2＋(m-3)x＋m，要使二次函数与x轴的交
点在0与2的之间，由图像知只需满足以下条件：
m 32 4m 0
0 3 m 2 2
f
0
m
0
m
2 3
m 1
y
f 2 3m 2 0
交点分别在x轴的正、负半轴，由图像知只需满足：
f 0=m<0 m m 0
与对称轴有关需要画出y轴， 与y轴无关的只需要画出x轴.
0
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
求m的范围.
(4) 一个正根，一个负根且正根绝对值较大
解法一：设方程的两实根分别为x1、x2，则
m 32 4m 0
0
m m0
y
f 0 m 0
o
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
求m的范围.
(7) 一个根大于1，一个根小于1
解：设f(x)＝ x2＋(m-3)x＋m，要使二次函数与x轴的交
点在x轴上1的两边，由图像知只需满足以下条件：
f (1) 2m 2 0 m m 1
1
x
问题：方程满足下列条件x2+(m-3)x+m=0，
解：设f(x)＝ x2＋(m-3)x＋m，要使二次函数与x轴的交
点在x轴的正半轴，由图像知只需满足以下条件：
＝(3 m)2 4m 0
b = 3 m >0 2a 2
m|0 m1
f 0 =m>0 y
二次函数图像解题——根的分布
其交点横坐标便是方程的解，由图知： k 4时， 无解； k = 4或k 3时，有两解； 4 k 3时有四个解； k 3时有三个解.
3
4
y
x
结论： 一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 在区间上的
实根分布问题.
（） 1 一元二次方程有且仅有一个实根属于（m, n）的 充要条件是： f (m) f (n) 0. b 2 4ac 0 a f ( m) 0 a f ( n) 0 m b n 2a
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0
k1
k2
0 或 b k1 k2 2a
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k2 k2
(2) 一元二次方程两个实根都属于（m, n）的充要条件是：
(3) 一元二次方程两个实根分别在（m, n）两侧的
a f ( m) 0 充要条件是： a f ( n) 0 （4）一元二次方程两个实根分别在（m, n）同一侧的 充要条件是： 分两类： b 2 4ac 0 （） 在（m, n）右侧 a f (n) 0 b n 注：前提 m,n 2a 不是方程（1） b 2 4ac 0 （） 在（m, n）左侧 a f (m) 0 b m 2a
不等式组
2 x 变式题：m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0
有两个大于1的根.
一元二次方程的根的分布与系数的关系-高中数学知识点讲解
一元二次方程的根的分布与系数的关系
1．一元二次方程的根的分布与系数的关系
【概述】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1•x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1•x2＝0．它表示根与系数有如
下关系：x1+x2 =―푏
푎
，x1•x2 =
푐
푎．
【例题解析】
例：利用根与系数的关系求出二次项系数为 1 的一元二次方程，使它的两根分别是方程x2﹣3x+1＝0 两根的平方．
解：方程x2﹣3x+1＝0 中，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有两个不相等的实数根，
设方程两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即 9＝x12+x22+2，
∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次项系数为 1，
则所求方程为x2﹣7x+1＝0．
这个题基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2 与x1•x2 可以变换，不管是变成加还是减还是倒数，都可以应用上面的公式（韦达定理）．
【考点分析】
首先申明，这是必考点．一般都是在解析几何里面，通过联立方程，求出两交点的横坐标与系数的关系，然后通过这个关系去求距离，或者斜率的积等等．所以在复习的时候要结合解析几何一同复习效果更佳．
1/ 1。
二次函数实根分布
b2 4ac 0 （）在（m, n）右侧 a f (n) 0
n
b
2a
注：前提 m,n 不是方程（1）
b2 4ac 0
（）在（m,
n）左侧
a
f
(m)
0
的根.
m
b
2a
课时小结：
紧紧以函数图像为中心，将方程的根用 图像直观的画出来，或数形结合或等价转 化，将函数、方程、不等式视为一个统一 整体，另外，要重视参数的分类讨论对图 形的影响。
（1） 两个正根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m 0 m 1
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围 （2）有两个负根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
（1）有实根 （2）有两正根 （3）一正一负
(1) m2 4(3 m) 0 ，m2 4m 12 0
得：m 6或m 2.
0
m 6或m 2
(2)
x1
x2
0
得
m 0
得：m 6
x1x2 0
m 3 0
(3)
0
x1x2
0
得
m 6或m 2 m 3 0
得：m 3.
1、当x为全体实数时，方程的根与 有关
(1)当 b2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(2)当 b2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b2 4ac 0时， 方程没有实数根
高一数学专题讲座一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布（根的限制） 姓名__________一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，在初中代数中虽有涉及，但不够系统和完整，其包含的主要数学思想是函数与方程思想.即①若()y f x =与x 轴有交点()()00,00x f x ⇔=；②若()y f x =与()y g x =有交点(0x ，0y )⇔()()f x g x =有解0x x =.一元二次方程根的分布的基本类型设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤.k 为常数，则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）或根在区间上的分布主要有以下基本类型：表一：（两根与0的大小比较）表二：（两根与k的大小比较）k k k表三：（根在区间上的分布）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：㈠ 若()0f m =或()0f n =，则()()0f m f n < 不成立。
对这种情况可求出另一根，然后根据此根在区间()n m ,内，求出参数的值.如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，∵()10f =，∴()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<.㈡ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，由0∆=求出参数的值，再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内.如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围.分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314m -<<-； ②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =.当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-.方法点拨：主要考察四个方面①开口方向；②对称轴；③判别式；④端点值的符号.典型例题例1.已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求m 的取值范围.解：由 ()()2100m f +< 即()()2110m m +-<，得112m -<<. 例2.已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围.解：()()0102200m f ∆>⎧⎪-+⎪->⎨⨯⎪>⎪⎩⇒()218010m m m m ⎧+->⎪>-⎨⎪>⎩⇒330m m m ⎧<->+⎪⎨>⎪⎩⇒03m <<-3m >+.例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围.解：由 ()()210m f +< 即 ()()2210m m ++< ⇒ 122m -<<. 例4.已知二次方程()22340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围.解：由题意有方程在区间()0,1上只有一个正根，则()()010f f <⇒()4310m +< ⇒ 13m <-.例5．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=.(1)若方程有两根，其中一根在区间()1,0- 内，另一根在区间()1,2 内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间()0,1内，求m 的范围解 (1)条件说明抛物线2()221f x x mx m =+++与x 轴的交点分别在区间()1,0-和()1,2内，画出示意图，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧->-<∈-<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<+=>=-<+=65,21,21056)2(,024)1(,02)1(,012)0(m m R m m m f m f f m f ∴2165<<-m (2)据抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≥∆>>10,0,0)1(,0)0(m f f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<--≤+≥->->⇒.01,2121,21,21m m m m m 或 (这里01m <-<是因为对称轴x m =应在区间(0，1)内)例6.已知函数2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立,求a 的取值范围.解法一：（利用根的分布情况知识）解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.①()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+②24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a 。
一元二次方程根的分布典型例题
一元二次方程根的分布典型例题一元二次方程的根的分布是一个重要的数学概念。
下面我将提供几个典型的例题来说明一元二次方程根的分布。
例题1：求解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
解答：首先，我们可以使用求根公式来求解这个方程。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，其中a、b、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0的系数。
对于这个方程，a = 1，b = -5，c = 6。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*1*6)) / (2*1)，化简得：x = (5 ± √(25 - 24)) / 2，继续化简得：x = (5 ± √1) / 2，进一步化简得：x = (5 ± 1) / 2。
因此，方程的根为x = 3和x = 2。
根的分布：这个方程有两个根，分别为3和2。
由于系数a为正数，所以这个二次方程开口朝上，根的分布在x轴上是向上凸起的，也就是根的分布是“两个根分别在两侧”的形式。
例题2：求解方程：x^2 + 4x + 4 = 0。
解答：同样地，我们可以使用求根公式来求解这个方程。
对于这个方程，a = 1，b = 4，c = 4。
将这些值代入求根公式，我们可以得到：x = (-4 ± √(4^2 - 4*1*4)) / (2*1)，化简得：x = (-4 ± √(16 - 16)) / 2，继续化简得：x = (-4 ± √0) / 2。
因此，方程的根为x = -2。
根的分布：这个方程有一个重根x = -2。
由于系数a为正数，所以这个二次方程开口朝上，根的分布在x轴上是一个顶点，也就是根的分布是“两个根重合”的形式。
例题3：求解方程：x^2 - 6x + 10 = 0。
解答：同样地，我们使用求根公式来求解这个方程。
对于这个方程，a = 1，b = -6，c = 10。
初高中衔接08一元二次方程的根的分布
课题：《初高中衔接08一元二次方程的根的分布》一 教学目标：①会用数形结合的思想和函数与方程的相互转化的思想方法解决根的分布问题．二 教学重点：一元二次方程根的分布．三 教学难点：数形结合思想和函数与方程的相互转化的数学思想方法．四 教学过程：1、复习引入（由学生讨论完成）例题 已知二次函数2()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表所示：问题：①请作出函数()y f x =的图象；②一元二次方程20ax bx c ++=的根个数为 ；且它的根分别是 ． 2、例题分析例1 当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：① 方程240x x a -+-=的一根大于0，另一根小于0；② 方程20x x a ++=的的一根大于1，另一根小于1；③ 方程20x x a ++=的两个根都小于1；例2 求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ．① 有两个实根，且一个比２大，一个比２小．② 有两个实根βα,，且满足410<<<<βα．③ 至少有一个正根．（提示分类讨论）答案：①1-<m ；②57-<<-m ；③1-≤m ．《初高中衔接08一元二次方程的根的分布》作业班级 学号 姓名1. 若方程022=+-a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 .2. 方程012=-++a x x 有两个异号的实根，则a 的取值范围 .3. 方程0)3(2=-++a ax x 的一个根比1大，一个根比1小，则a 的取值范围 .4. 关于x 的方程022=+-mx x ，分别求实数m 的范围，使方程的根21,x x 满足：（1）1,121<>x x ；（2）41021<<<<x x ；（3）1,121>>x x ；（4）)4,0(,21∈x x ；（5）在（1，4）内有解.5. 已知方程0242=-++m x x 的两实根βα,满足βα<<3，求m 的取值范围.6. 当23<<-a 时，求证：方程0522=+-a x x 在区间)3,2(内有一解.7.函数262+-=x mx y 的的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值.。
广东省广州二中奥数培训讲义第4讲《一元二次方程根的分布》
第4讲一元二次方程根的分布一、内容提要二次方程问题其实质就是其相应二次函数的零点(图象与x轴的交点)问题，因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用形数结合的方法来研究是非常有益的。
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的二实根为x1,x2，(x1＜x2)，Δ=b2-4ac，且α、β(α＜β)是预先给定的两个实数。
1．当两根都在区间(α,β)内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜x2＜β，对应的二次函数f (x)的图象有下列两种情形(图1)当a＞0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＞0，f (β)＞0当a＜0时的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，f(α)＜0，f (β)＜0两种情形合并后的充要条件是：Δ＞0，α＜-b/2a＜β，af(α)＞0，af (β)＞0 ①2．当两根中有且仅有一根在区间（α，β）内，方程系数所满足的充要条件：∵α＜x1＜β或α＜x2＜β，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形（图2）从四种情形得充要条件是：f (α)·f (β)＜0 ②3．当两根都不在区间［α，β］内方程系数所满足的充要条件：（1）两根分别在区间［α，β］之外的两旁时：∵x1＜α＜β＜x2，对应的函数f (x)的图象有下列两种情形（图3）：当a＞0时的充要条件是：f (α)＜0，f (β)＜0当a＞0时的充要条件是：f (α)＞0，f (β)＞0两种情形合并后的充要条件是：af (α)＜0，af (β)＜0 ③（2）两根分别在区间［α，β］之外的同旁时：∵x1＜x2＜α＜β或α＜β＜x1＜x2，对应函数f(x)的图象有下列四种情形（图4）：当x1＜x2＜α时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＜α，af (α)＞0 ④当β＜x1＜x2时的充要条件是：Δ＞0，-b/2a＞β，af (β)＞0 ⑤二次函数与二次不等式前面提到，一元二次不等式的解集相应于一元二次函数的正值、负值区间。
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第7课二次方程根的分布
本节讨论的一元二次方程为：20(0)axbxca （＊）
1．根的个数的判断：
（1）当判别式240bac时，方程（＊）有 两个不相等 的实数根
（2）当判别式240bac时，方程（＊）有 两个相等 的实数根
（3）当判别式240bac时，方程（＊） 没有 实数根
例1．若关于x的方程210xmx有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(1,1) B．(2,2) C．(,2)(2,) D．(,1)(1,)
变式1. 若关于x的方程210xmx没有实数根，则实数m的取值范围是
变式2. 若关于x的方程210xmx有两个相等的实数根，则实数m的取值范围是
变式3。若关于x的方程210xmx有实数根，则实数m的取值范围是
2．韦达定理：设方程（＊）的两个实数根为1x与2x，则12xxba ，12xxca
3．一元二次方程的零分布
例2．设有一元二次方程2(1)20xmxm．试问：
（1）m为何值时，有一正根、一负根；（2）m为何值时，有两正根；（3）m为何值时，
有两负根？
【解析】设2(1)20xmxm的两根为12,xx，则
（1）∵120xx，即20m，∴2m．
（2）12(1)(1)0xx，即1212()10xxxx，∴2(1)10mm，∴1m．
（3）1212000xxxx，即2(1)4(2)0(1)020mmmm∴26701mmm，∴7m．
小结：若方程（＊）的的两根为21,xx，则
（1）方程（＊）有两正根1212000bxxacxxa（2）方程（＊）有两负根1212000bxxacxxa
（3）方程（＊）有两负根 0ca （想一想？）
3．二次函数的图象与根的分布
3.1直接由图可以列不等式组求解
例3．若关于x的方程2350xxa的一个根在(2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的
范围
【解析】设2()35fxxxa，如图所示，
∴(2)0(0)0(1)0(3)0ffff，∴220020120aaaa，解得120a．
∴a的范围是(12,0)．
变式：若一元二次方程2(1)20xmxm一个根大于1，另一个根小于1，求实数
m
的取值范围
【解析】设2()(1)2fxxmxm，如图所示，
则(1)220fm ，解得1m
所以，实数m的取值范围为(,1)
3.2结合图象及韦达定理列不等式组求解
【例4】方程2240xax的两根都大于1，求实数a的取值范围．
【解析】设2()24fxxax，由于方程2240xax的两根均大于1，
因此，据二次函数图象应满足: 0212(1)0af，∴241601520aaa，解得522a．
∴实数a的取值范围是5[2,)2．
【例5】 若关于x的方程22210xmxm的两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
【解析】设2()221fxxmxm，则(0)0,(1)0,0,01ffm1,21212,10.mmmm或
∴1122m．
小结：设21,xx是方程2()0(0)fxaxbxca的两个实根，则
根的分布
12kxx 12
xxk
图象
充要条件
02()0bkafk
02()0bkafk
根的
分布
11223
kxkxk
在12(,)kk有且只有
一个根
图象
充要
条件
1
2
3
()0()0()0fkfkfk
12
()()0fkfk
12
02bkka
或
2
k
y Ox1x2x1k3ky
O
x
1
k
2
k
y
O
x
1
x
2
x
k
y
O
x
1
x
2
x
k
＊4.综合问题（选作）
例6．设x与y是关于m的方程2260mama的两个实数根，求22(1)(1)xy的
的最小值
【解析】由已知，得26xyaxya
22()(1)(1)gaxy22222xyxy2
()2()22xyxyxy
2
442(6)2aaa
22
349
46104()44aaa
关于m的方程2260mama的两个实数根
2
44(6)0aa
，解得3a 或2a
()ga在[3,)上是增函数，()g(3)8ga
()ga在(,2]上是减函数，()g(2)18ga
所以22(1)(1)xy最小值为8
第7课二次方程根的分布作业
1．一元二次方程2(1)210kxx有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．2k B．2k且1k C．2k D．2k且1k
【答案】B
【解析】10244(1)0kkk且1k，选B
2．“14m”是“一元二次方程20xxm有实数解”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】有实数解的充要条件是140m，解得14m．
3．一元二次方程2210(0)axxa有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．0a B．0a C．1a D．1a
【答案】C
4.方程22(1)(2)0xmxm的一个根比1大，另一个根比1小，则实数m的取值
范围是（ ）
A．02m B．31m C．20m D．11m
【答案】C
【解析】设22()(1)(2)fxxmxm，则
2
2
(1)0202120(1)0100fmmmmfmmmm
或
，选C
5.若方程2210axx在(0,1)恰有一个解，则实数a的取值范围是（ ）
A．1a B．1a C．11a D．01a
【答案】B
【解析】设2()21fxaxx，则(0)(1)0ff(22)0a1a，选B
6. 已知二次函数()fx有两个零点0和－2，且它有最小值－1.
(1)求()fx解析式；(2)若()gx与()fx图象关于原点对称，求()gx解析式．
（提示：若()gx与()fx图象关于原点对称，则()()gxfx）
【解析】(1)设2()fxaxbxc
由已知，得0(0)(2)0420cffabc ，所以2ba ，0c
()fx
有最小值－1，2014aba ，即24ba
由2240babaa ，得1,2ab ，所以()fx解析式为2()2fxxx
(2) 22()()[()2()]2gxfxxxxx
7. 已知2()2(01)fxaxxx，并且0a求()fx的最小值．
【解析】2211()2()fxaxxaxaa，得对称轴为1xa ，抛物线开口向上
当101a即1a时，()fx在1[0,]a 上递减，在1[,1]a 上递增，
min
11
()()fxfaa
；
当11a即01a时，()fx在[0,1] 上递增， min()(0)0fxf
所以，min001()11afxaa