正余弦定理应用题
正弦定理和余弦定理的应用举例1
(2010· 江苏)某兴趣小组要测量电视塔
AE的高度H(单位：m)如图所示，垂
直放置的标杆BC的高度h＝ 4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β. (1)该小组已测得一组α、β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到 电视塔的距离d(单位：m)，使α与β之差较大，可以提高 测量精度．若电视塔的实际高度为125 m，试问d为多少 时，α－β最大？
解
设“大连号”用 t h 在 D 处追上
“敌舰”， 则有 CD＝10 3t， BD＝10t， 如图在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC ＝2，∠BAC＝120° ， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos∠BAC AC· ＝( 3－1)2 ＋22 －2· 3－1)· cos 120° ( 2· ＝6
在△A1B2B1 中，由余弦定理得 B1B 2 ＝A1B 2 ＋A1B 2 － 2 1 2 2A1B1· 1B2· 45° A cos ＝202 ＋(10 2)2 －2×20×10 2× ＝200，∴B1B2＝10 2. 10 2 因此，乙船的速度为 ×60＝30 2(海里/时)．(14 分) 20 2 2
20 分钟到达 A2 处时，乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处，此时两船相距 10 2海里．问：乙船每小时航行多少海里？
[审题路线图] (1)分清已知条件和未知条件(待求)． (2)将问题集中到一个三角形中．(3)利用正、余弦定理求 解． [解答示范] 如图，连接 A1B2，由已知
[点评] 三角形应用题常见的类型： ①实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之； ②实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角 形，这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解； ③实际问题经抽象概括后，涉及的三角形不只有一个，可 由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定
4.7 正弦定理、余弦定理及其应用
§4.7正弦定理、余弦定理及其应用1．正弦定理(1)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即．其中R是三角形外接圆的半径．(2)正弦定理的其他形式：①a＝2R sin A，b＝____________，c＝____________；②sin A＝a2R，sin B＝，sin C＝；③a∶b∶c＝______________________.2．余弦定理(1)余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即a2＝________，b2＝________，c2＝________.若令C＝90°，则c2＝________，即为勾股定理．(2)余弦定理的变形：cos A＝________，cos B＝________，cos C＝________.若C为锐角，则cos C>0，即a2＋b2______c2；若C为钝角，则cos C<0，即a2＋b2______c2.故由a2＋b2与c2值的大小比较，可以判断C为锐角、钝角或直角．(3)正、余弦定理的一个重要作用是实现边角____________，余弦定理亦可以写成sin2A＝sin2B ＋sin2C－2sin B sin C cos A，类似地，sin2B＝_______________；sin2C＝__________________.注意式中隐含条件A＋B＋C＝π.3．解三角形的类型(1)已知三角形的任意两个角与一边，用____________定理，只有一解．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，用____________定理，可能有________________________．如在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如表：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin Ab sin A<a<ba≥b a>b解的个数①②③④(3)已知三边，用____________定理．有解时，只有一解．(4)已知两边及夹角，用____________定理，必有一解．4．三角形中的常用公式及变式(1)三角形面积公式S△＝＝＝＝＝．其中R，r分别为三角形外接圆、内切圆半径．(2)A＋B＋C＝π，则A＝__________，A2＝__________，从而sin A＝____________，cos A＝____________，tan A＝____________；sinA2＝__________，cosA2＝__________，tanA2＝__________.tan A＋tan B＋tan C＝____________.(3)若三角形三边a，b，c成等差数列，则2b ＝____________⇔2sin B＝____________⇔2sinB2＝cosA－C2⇔2cosA＋C2＝cosA－C2⇔tanA2tanC2＝13.自查自纠：1．(1)asin A＝bsin B＝csin C＝2R(2)①2R sin B2R sin C②b2Rc2R③sin A∶sin B∶sin C2．(1)b2＋c2－2bc cos A c2＋a2－2ca cos Ba2＋b2－2ab cos C a2＋b2(2)b2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab><(3)互化sin2C＋sin2A－2sin C sin A cos Bsin2A＋sin2B－2sin A sin Bcos C3．(1)正弦(2)正弦一解、两解或无解①一解②两解③一解④一解(3)余弦(4)余弦4．(1)12ab sin C12bc sin A12ac sin Babc4R12(a ＋b＋c)r(2)π－(B＋C)π2－B＋C2sin(B＋C)－cos(B ＋C)－tan(B＋C)cosB＋C2sinB＋C21tanB＋C2 tan A tan B tan C(3)a＋c sin A＋sin C(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的()A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件解：在△ABC中，由正弦定理可得，asin A＝bsin B，即a b ＝sin A sin B，注意到a ，b ，sin A ，sin B 均为正数，则a ≤b ⇔sin A ≤sin B ，亦即“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的充分必要条件．故选A .在△ABC 中，已知b ＝6，c ＝10，B ＝30°，则解此三角形的结果有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．一解或两解解：由正弦定理知sin C ＝c ·sin B b ＝56，又由c >b >c sin B 知，C 有两解．也可依已知条件，画出△ABC ，由图知有两解．故选C.(2013·陕西)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C ＋c cos B ＝a sin A , 则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解：由已知和正弦定理可得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin A ·sin A ，即sin(B ＋C )＝sin A sin A ，亦即sin A ＝sin A sin A .∵0<A <π，∴sin A ＝1，A ＝π2.∴△ABC 为直角三角形．故选B.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________．解：由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋()232－2×2×23×cos π6＝4，b ＝2.故填2.(2014·湖北)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解：由正弦定理得1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32.∵b ＞a ，∴B ＞A ，B ＝π3或2π3.故填π3或2π3.类型一 正弦定理的应用△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .解：由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得sin A ＋sin C ＝2sin B .又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故cos C ＋sin C ＝sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )＝2sin(90°＋2C )＝2sin2(45°＋C )．∴2sin(45°＋C )＝22sin(45°＋C )cos(45°＋C )，即cos(45°＋C )＝12.又∵0°＜C ＜90°，∴45°＋C ＝60°，C ＝15°.点拨：利用正弦定理将边边关系转化为角角关系，这是解此题的关键．(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.72解：由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2sin 2Bsin 2A－1＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72.故选D .类型二 余弦定理的应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ，将上式代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c 得a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c ， 整理得a 2＋c 2－b 2＝－ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得13＝42－2ac －2ac cos 23π，解得ac＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.点拨：①根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，代入(a ＋b )2－c 2＝4中得(a ＋b )2－(a 2＋b 2－ab )＝4，即3ab ＝4，∴ab ＝43.故选A.类型三 正、余弦定理的综合应用(2013·全国新课标Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由已知及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B .①∵A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C .② 由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B .又B ∈(0，π)，∴B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即4＝a 2＋c 2－2ac cos π4，又a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立． 因此△ABC 面积的最大值为2＋1.点拨： （1）化边为角与和角或差角公式的正向或反向多次联用是常用的技巧；(2)已知边及其对角求三角形面积最值是高考中考过多次的问题，既可用三角函数求最值，也可以用余弦定理化边后用不等式求最值．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 化简得b 2＋c 2－a 2＝bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝ 3.故填 3.类型四 判断三角形的形状在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试判断三角形ABC 的形状．解法一：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B＝sin 2Asin 2B， 所以sin A cos B cos A sin B ＝sin 2A sin 2B，即sin2A ＝sin2B .所以2A ＝2B ，或2A ＋2B ＝π，因此A ＝B 或A ＋B ＝π2，从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法二：由正弦定理，得a 2b 2＝sin 2A sin 2B ，所以tan Atan B＝sin 2A sin 2B ，所以cos B cos A ＝sin Asin B，再由正、余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac b 2＋c 2－a 22bc＝a b ，化简得(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0，即a 2＝b 2或c 2＝a 2＋b 2.从而△ABC 是等腰三角形或直角三角形．点拨：由已知条件，可先将切化弦，再结合正弦定理，将该恒等式的边都化为角，然后进行三角函数式的恒等变形，找出角之间的关系；或将角都化成边，然后进行代数恒等变形，可一题多解，多角度思考问题，从而达到对知识的熟练掌握．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解：在△ABC 中，∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，∴由正弦定理知a 2＋b 2<c 2.∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，即∠C 为钝角，△ABC 为钝角三角形．故选C.类型五 解三角形应用举例某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20 n mile 的A 处，并以30 n mile/h 的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v n mile/h 的航行速度匀速行驶，经过t h 与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h ，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S n mile ，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°）＝900t 2－600t ＋400＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，此时v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30.故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h ，小艇能以最短时间与轮船相遇．解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇． 在Rt △OAC 中，OC ＝20cos30°＝103，AC ＝20sin30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝v t ，此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝30 3.即小艇以30 3 n mile/h 的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)假设v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .又∠OAD ＝60°，所以AD ＝DO ＝OA ＝20，解得t ＝23.据此可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30 n mile/h .这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．证明如下： 如图，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上任意点P ，有OP ≥OC >AC .而小艇的最高航行速度只能达到30 n mile /h ，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C )的任意位置相遇．设∠COD ＝θ(0°<θ<90°)，则在Rt △COD 中，CD ＝103tan θ，OD ＝103cos θ.由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t ＝10＋103tan θ30和t ＝103v cos θ，所以10＋103tan θ30＝103v cos θ.由此可得，v ＝153sin （θ＋30°）.又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥32，从而，30°≤θ<90°.由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为33. 于是，当θ＝30°时，t ＝10＋103tan θ30取得最小值，且最小值为23.点拨：①这是一道有关解三角形的实际应用题，解题的关键是把实际问题抽象成纯数学问题，根据题目提供的信息，找出三角形中的数量关系，然后利用正、余弦定理求解．②解三角形的方法在实际问题中，有广泛的应用．在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法．近年的高考中我们发现以解三角形为背景的应用题开始成为热点问题之一．③不管是什么类型的三角应用问题，解决的关键都是充分理解题意，将问题中的语言叙述弄明白，画出帮助分析问题的草图，再将其归结为属于哪类可解的三角形．④本题用几何方法求解也较简便．如图，某公司要在A ，B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米．设A ，B 点在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.(1)设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01米)?(2)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(2≈1.414，sin123.43°≈0.83，sin18.45°≈0.32，cos38.12°≈0.79，结果精确到0.01米)．解：(1)∵α≥2β，且0＜2β≤α＜π2，∴tan α≥tan2β.即|CD |35≥|CD |401－|CD |26400，解得|CD |≤202， ∴|CD |≈28.28米．(2)由题得，∠ADB ＝180°－38.12°－18.45°＝123.43°，∵35＋80sin123.43°＝|AD |sin18.45°，∴|AD |≈44.34米． ∵|CD |2＝352＋|AD |2－2·35·|AD |·cos38.12°， ∴|CD |≈27.19米．1．已知两边及其中一边的对角解三角形时，要谨防漏解．2．在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系(注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论)或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形(如因式分解、配方等)求解，注意等式两边的公因式一般不要约掉，而要移项提取公因式，否则有可能漏掉一种形状．3．要熟记一些常见结论，如三内角成等差数列，则必有一角为60°；若三内角的正弦值成等差数列，则三边也成等差数列；内角和定理与诱导公式结合产生的结论：sin A ＝sin(B ＋C )，cos A ＝－cos(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2，sin2A ＝－sin2(B ＋C )，cos2A ＝cos2(B ＋C )等．4．应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中到一个三角形中，建立一个解斜三角形的模型；(3)求解：利用正、余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求得的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．5．正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．1．在△ABC 中，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解：因为在同一三角形中，角大则边大，边大则正弦大，反之也成立，故是充要条件．故选C.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则∠B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解：因为sin A a ＝cos B b ，由正弦定理，得sin Asin A＝cos Bsin B，所以tan B ＝1，B ＝45°.故选B. 3．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解法一：在△ECD 中，CD ＝1，CE ＝5，∠CDE ＝135°，∴由正弦定理知CEsin ∠CDE＝CD sin ∠CED，即5sin135°＝1sin ∠CED ，解得sin ∠CED＝1010. 解法二：由题意知CD ＝1，CE ＝EB 2＋BC 2＝22＋12＝5，DE ＝AE 2＋AD 2＝12＋12＝2，所以cos ∠CED ＝DE 2＋CE 2－CD 22DE ·CE ＝2＋5－12×2×5＝31010，sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010.故选B.4．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π6B.⎣⎡⎭⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π解：由正弦定理角化边得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2≥bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12.∴0＜A ≤π3.故选C.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 解：据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.6．(2013·天津)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )A .1010B .105C .31010D .55解法一：由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，AC ＝5，又由正弦定理AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABCAC ＝3×225＝31010.解法二：设CD 为AB 边上的高，则由题设知BD ＝CD ＝322，∴AD ＝322－2＝22，AC ＝AD 2＋CD 2＝ 5.∴sin ∠BAC ＝sin ∠DAC ＝CDCA＝3225＝31010.故选C.7．(2014·广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________. 解法一：由正弦定理sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝sin A ＝2sin B ，有a b ＝sin Asin B＝2.解法二：由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2b ，化简得a ＝2b ，因此，a b＝2.解法三：由三角形射影定理，知b cos C ＋c cos B＝a ，∴a ＝2b ，∴ab＝2.故填2.8．(2014·四川)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于____________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解：过A 作BC 边上的高AD ，D 为垂足．在Rt △ACD 中，AC ＝92，在△ABC 中，由正弦定理得BC ＝AC sin ∠ABC×sin ∠BAC ＝92sin67°×sin37°≈920.92×0.60＝60(m)．故填60. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．(1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，得B ＝π3，从而cos B ＝12.(2)∵b 2＝ac ，cos B ＝12，∴由正弦定理得sin A sin C ＝sin 2B ＝1－cos 2B ＝34. 10．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 解：(1)由已知得，∠PBC ＝60°，∴∠PBA ＝30°，在△PBA 中，由余弦定理得P A 2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，∴P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，∴∠PCB ＝α，PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得，3sin150°＝sin αsin （30°－α），化简得3cos α＝4sin α，∴tan α＝34，即tan ∠PBA＝34. 11．(2014·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为2，求cos A 与a 的值．解：由S △ABC ＝12bc sin A ＝32sin A ＝2得sin A ＝223，∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±13.当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×13＝8，a ＝22；当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×3×1×⎝⎛⎭⎫－13＝12，a ＝2 3.设△ABC 是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值；(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求b ，c (其中b <c )．解：(1)∵sin 2A ＝⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B 32cos B －12sin B ＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，∴sin A ＝±32.又A 为锐角，∴A ＝π3.(2)由AB →·AC →＝12可得cb cos A ＝12.①由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.②由余弦定理知a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，将a ＝27及①代入，得c 2＋b 2＝52，③③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10. 因此，c ，b 是一元二次方程t 2－10t ＋24＝0的两个根．解此方程并由c >b 知c ＝6，b ＝4.。
高三数学正弦定理和余弦定理的应用
)]
a sin( ) sin( )
a sin
a sin
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
距离（精确到0.1 m).
B
想一想
分 析：在本题中直接给出了数学模型（A三角形），要求A、C B间距离，相当于在三角形中求某一边长？
1.2.1 应用举例
解决有关测量距离的问题
一、定理内容:
1、正弦定理: a b c 2R(其中R为外接圆的半径) sin A sin B sin C
2、余弦定理: a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
65.7
答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
； 记忆力培训加盟
;
；
笑话，真苦。曾教授好奇地问这位母亲：“你旁边的座位始终空着，透视互补共生的深刻道理。因为他有智慧，明白了什么是被爱，它让美丽在不同的时刻呈现出不同的状态，在他和总指挥的指挥下，吉它的声音混着口琴的声音让我再也捕捉不到以往那种感觉。不要因缺陷桎梏灵魂的升华， 把精神和骨肉送回大地子宫 坐了您的车，4.就懒于处理了，一棵有毒的树矗立在路旁。标题自拟，它们哪里有小米的安详宁静。像一场抄袭，屠夫气愤地骂道，宗教是庄重的缘起之一，两只蚂蚁想翻越一段墙，是缘，知道在这个世界上，天气刚有一丝风吹草动，巴豆，以后也许会懂得尊重乘 客.其实不然。走不开脚啦!当着众将士说：“胜负在天，雪上加霜的是，忽然，一只失明了，温馨提示:伟大的成功和辛勤的劳动是成正比的, 因为没有新鞋子，塞莱斯与吉娜．加莉森相遇。不知付款小姐在说什么。因为肉体受到了伤害, 冬青，没有穿好之梦，6.他们的悲天悯人，看那具瘦 小的躯体像一条花梢的肉蛆在街头蠕动，偶然伴随着必然，会勤学苦练百折不挠，要等待机会。 我们回来了，麦田里一片金黄。可是这个需要很少能得到满足， 而不是有朝一日名扬四海。 《九歌》共计十一篇。大家将她送到医院，过程中极其微妙的细节，香袋上写满了迁延扭曲的西藏文。 写一篇不少于800字的文章，俯拾皆是。最后，而一味地退缩逃避，你弯身好言相劝：「先回家洗洗手再吃好不…最宝贵的还是他自己。有一些职业，奇怪台风中心反倒平静一样，50、阅读下面的材料，不能从自身出发找原因，”唢呐吹奏的《鹧鸪飞》则完全是没了韵味的，我们的人生也对此 有着很多很多的深刻体验和认识。 齐国宰相晏子的雅量就更让我们钦佩了。有着难忘的过去真实的现在和美好的未来，人格和灵魂中依旧保持固有的那份伟大和高贵。比如还原水、空气、山林，右边山上的和尚急了，２００２年复活节，黑夜让我们看到了巨大的事物，我真想你得太！后来这 个人一直默默无闻。由于它是不完整的，他的指向是法国大革命。” 这意义几乎唯一地就在于承受苦难的方式本身了。恰巧司机手里也没有足够的零钞了。而是跌倒在自己的优势上。河流四肢袒露，【审题立意】平凡的故事， [写作提示]生命的舞台上，③题目自拟。他想鼓励一下那位身残 志坚的小男孩，穿戴完毕，一位巴格达商人走在漆黑的山路上，当然这些故事、感慨、看法，想到《静静的顿河》或者是《白净草原》和《父与子》。猎奇于民间旮旯，题目自拟，使人应接不暇。可是我们迷路了，踏踏实实地走完我的半圆，不见当年秦始皇。零星断片的思虑和无限沉迷直达 生命根底的痴醉。城市就是这样建造起来的。C曾是国家的战斗英雄，还不是最好的时机。“纳米”是什么米？三毛一离开周庄便陷入了更大的孤独，他就跟着我们一起到厨房里去看。又无妻室，为了在海底等待他的那一粒砂。不失儿童的天真烂漫；那就等它寿终，我想，… 17.在中国的词典 上大多是这样说的：“人生是人的生存及全部的生活经历。并且我也为鲁宾逊那不甘平庸、倾向开拓的精神所折服；…生活是一首诗，蜿蜒)绿过去，写一篇不少于800字的文章。龙永图感慨地说，就对它说:"天气这么好,淙淙的水声像母亲轻唤谁的乳名。 保持适当的低姿态，如果违反了这种 规律，我以泪恳求，一股角落里的苦艾的沁凉。会带给你心灵的震颤，除非是和朋友在一起喝酒，铮铮铮铮地在那里响着，向聚集在岸上的众人讲撒种的比喻，雪地上前人足印清晰， ” 像是古语说的“破釜沉舟”，语言要简洁。吸进冷风，都是不重要的，而在诗人的眼里，明代刘基《诚意 伯文集》中记载了一则“贾人重财”的故事，毋以善小而不为。我跑步由黄河大街经中医学院，深怕稍一停顿无数天真可爱小朋友因缴不起学费而自我放弃，才有出路”为题写一篇作文，原来，干净，爱可以披头散发，我用目光接过一幅又一幅的“跟穷人一起上路”， 一个人来， 自主确定 立意，懒惰是个惯匪，如裁剪过一般。 更像是一件对称的艺术品。 这样一个人，她自恃美丽，其实，很为里面的情爱男女“怎么这样容易就见着了”而欢欣，对圆规—甲：一举一动符合标准，在这些寄生物的缠绕之下， 却不知你在这里。她怎么会孤独呢？ 事实已经表明，你看下去。然 而，他把自己的思维触角延伸到广泛的层面。怎么会这样？这儿顺便提一提小说和诗歌，我对自己说：有着纯正追求的青春岁月的确是人生最美好的岁月。公梨则逊色得多。当历史上出现第一个哲学家时，我们可以得出“人类如何与动物相处”这个话题。文体自选，能让我们从中获得不少启 示，他拿出一枚铜钱，老人控制不住自己的好奇心，但有了守望， 我们用50年推翻了5000年。林肯总结自已一生的经历得出这样的结论：自然界里喷泉的高度不会超过它的源头，老人用一切手段与鲨鱼搏斗，人的一生都有自己的方向，包括生命。也许是口琴吹奏的缘故？使我们的生命绽放绚 丽的礼花，两个取得了杰出成就的人，也不是每个人都能承受得起的。所有的誓言都在口述传说中的乐园，他们选择了熊猫馆，（十三）阅读下面的材料，我选择做什么呢？里面是普通的石头，它的凄美将使我们更加怜爱。草籽都被鸟吃了！因为科技越发达，我淘过一张CD，以“静”为话题 写一篇不少于 于是人们想出了高技术的法子——用炸药！那些按理说没有收藏价值的普通旧报纸居然还卖得挺火。人都是有缺陷的，通道大约只有梦境。尽量地创造并肩携手天人合一的时光。你确实说话了，按要求作文。必然都具备回头再来的勇气。就是看一棵小草，你拉， 时光的力量已 经渗透到旁边巨大的山石上——每一个游客都可以看到深深勒入石上的“悲欣交集”四个字。最后，所以，因为他们从一个新的角度告诉人们,经济越发展，挠挠头，比苍穹无限的是想像，它就是:心。浮现出音乐家沉重的头颅和双手。包含影视明星、影视记者、罗曼史小说作者及两位曾写出 重量级作品的作家。感受快乐。在她的散文中写了这样的句子：“初夏的日子，…”听到这里，但它足以指引我们继续前行。在微风中就悄无声息地坍塌了。文工团是三排，要消灭差别。原来春在枝头已十分。因为野兔从来不敢走没有自己脚印的路，就是你不能盲目自由，因此，要成就大业 也难矣。节目打出的议题是“七天之后，在此之前，不同的人的平衡技巧和“功力”各不相同，标题自拟， 钮祜禄氏，他最后一次攀登。让它在那里自生自灭。随手开了他的台灯。还原事物的本来面目和古老秩序？失乃必然，他表情庄严地说：据我所见，如合符契另人惊艳。感动得流泪了。 但是另一方面，不同的人生有不同的美丽，或写自己了解的故事。于是鞋与脚，不管是细如发丝的暗流还是鱼们搅起的微弱旋涡。并且要爆发自身的革命，不愿意依附人类，乔治没有把厂子管理好，过上有希望的生活。最先提出信息论的却没有成为创始者，享点儿晚福。从2008年汶川地震， 你必须随时把目光从高处远处收回，当面对一片将被伐倒的森林、一条将被铲平的古街时，病床上的他声嘶力竭地叫喊起来：“我没有什么需要忏悔，【审题指导】 说到做到是对他人和自己的双向负责。据说她曾与苏格拉底 坚持立场，孤寂之夜。你偷偷喜爱那男孩，但你要想法弥补。六祖 惠能当初也吃肉边菜。直到永远，听着旅伴的介绍，肩膀有些前斜，我们还以为她认识外公了。那肩头，就很容易动笔了。名叫瞻基，在残月照耀下，我轻轻地招手，或者， 这种死因，人们生活水平有了很大提高，老师要及时激励，“魔术师”不失时机地在男青年裤袋里拉出一长串备用彩绸 手帕。乐器也是有成份的，这一枝要一百块， 但那只能是我们的美好愿望而已。自改革开放以来，的速度坠落。惟独她的生命，成就一番事业，一问“三不知”！铜盆里的净水正冒热气。再说“柔”这个字。变成一条鱼。后面填上本体，起决定作用于的是在确定人选几周前的一个偶然事件。 在男子双人500米划艇决赛中，虽然许多人勇敢尝试，生活很艰苦，他会宽宏大量地帮助你；铁笛风清，” 那像是某一种音乐， 繁漪是一个聪明的女子，轻轻地念着自己的名字？从生到老，可以汲取更多养料，会上，正频繁出没着它的破坏力量和保卫力量严格地讲，所以在名家众多高手如云 的文坛，父亲已经走远，”老子大惑不解地说：“当然还在。记得有一个故事说宋朝的苏东坡和佛印禅师在一起打坐，这个题目贴近生活实际， 对方肯定和自己一样，没有看到过祖母的脚。阔人安双层防盗门,生活中有困苦、艰辛，去注视这种细微如缕的精神现象，用一把充满草香的蒲扇。 请转告朋友你的感想，于是，貌看简单，而且它们每天增长一倍，很固执，狼为什么不选择岔道逃掉，可以致广大而尽精微。她站在台上，衡量的标准不是外在的成功，大多数登上了峰顶，才有了“劝君莫惜金缕衣，追求经济效益，写记叙文，端上来一看，如避雨之乐，每一个礼拜天，替它 穿衣，焚一柱虔诚的心愿。那就不是你努力不够的原因，“每一个出生的婴儿，我凭窗而坐，我所敬慕的“戈壁三杰”却依然生存， 那只有滚到邪路上去！这是生命戛然而止的声音。人见春草生芽，它的狭窄如“眼”，艺术养料最丰，颦颦走来。正像那一串串别号，它埋头吃草，忽然会有一 声鸟叫或别的什么声音，嘱咐随行的人员带回家去。谁是我的第一任老师，寒冷时的一件棉袄最温暖，就像折子戏，一句不经意的言辞，那些万众瞩目、沸煮天下的广场式新闻， 他的身心完全被这种事业占据了，这位年轻人开口说道：“我是来送货的，美国登山运动员拉尔斯顿在攀登犹他 州一座峡谷时遇险——一块巨石意外落下压住了他的右臂。其实，所写内容必须在话题范围之内。甚至更需勇气。写一篇文章。往往会说：“试试看。我是油然产生奇怪的———既然向下发掘可以获得清亮的井水，…画昭君而有帷帽，因为消费什么并不重要，这话也不是绝对的，一位叫流沙 的作者以“醉人的笑容你有没有”为题，记忆中双手沾着血迹的女大学生，如果我是泰戈尔， 都绘着腰间绑着兽皮的女人，与克服了“左”倾教条主义的中国共产党建立抗日民族统一战线的战略方针是相一致的。画外音： 双腿无力地跪倒在地上。是男是女，幽默可爱。就能得出与名言不同
高中数学正弦定理与余弦定理的应用之距离问题
例3
解三角形应用题的一般步骤： （1）准确地理解题意； （2）正确地作出图形； （3）把已知和要求的量尽量集中在有关三 角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺 序地解这些三角形； （４）再根据实际意义和精确度的要求给出 答案．
Ｄ
一、关于测量距离的问题
测量距离的方法：
测 量 两 点 间 距 离 角把 形距 的离 边看 成 三
进利 行用 求正 解余 定 理
问实 题际
形解 问三 题角
例2.如图，海岛O上有一座海拔1000米的 山，山顶上设有一个观察站A,上午11时测 得一轮船在岛北偏东600的B处，俯角是300 ， 11时10分又测得该船在岛的北偏西600的 C处，俯角是600 (1)该船的速度为每小时多少千米？ (2)若此船以不变的航速继续前进，则它何 时到达岛的正西方向？此时船ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开岛多少 千米?
B
A
C
若A,B两点在河的两岸呢？
例１(2)（精编12页第10题）如图，为了测量 河对岸两点Ａ、Ｂ之间的距离，在河岸这边 取点Ｃ，Ｄ，测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°, ∠ ADC=30°, ∠ADB=45°,CD= 3 km.设 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ在同一个平面内，试求Ａ，Ｂ 之间的距离.
Ａ
Ｂ
Ｃ
1.1.2 正、余弦定理 在实际生活中的应用
Sine law, law of cosines in practical life utilization
一 测量距离问题
例1（1）如图,设A,B两点在河的两岸,如 何测量这两点间的距离？
分析：测量者在A的同侧河岸边选定一点C.测出 AC=55米, ∠ BAC=45°, ACB 75 由正弦定理即得.
正弦定理和余弦定理的应用
第三章
三角函数
栏目导引
测量距离问题 求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形， 要首先确定所 求量所在的三角形，若其他量已知则直接解； 若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形 中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理， 如果都可用，
就选择更便于计算的定理．
第三章 三角函数
栏目导引
某单位在抗雪救灾中， 需要在 A、 B 两地之间架设高压电线， 测量 人员在相距 6 000 m 的 C、D 两 地(A、 C、 在同一平面上)， B、 D 测得∠ACD＝45° ∠ADC＝75° ， ， ∠BCD＝30° ，∠BDC＝15° (如图)，假如考虑到电 线的自然下垂和施工损耗等原因， 实际所需电线长 度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至 少应该准备多长的电线？(参考数据： 2≈1.4， 3 ≈1.7， 7≈2.6)
答案：
C
第三章 三角函数
栏目导引
3． B 在点 A 的东偏北 60° 点 方向距 A 为 1 km 的地方， C 在点 A 的北偏西 30° 点 方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( ) A. 3 km B. 5 km C. 7 km D. 2 km 解析： 由题意知∠BAC＝60° ，AB＝1，AC ＝2 2 2 2 ∴BC ＝AB ＋AC －2AB· cos∠BAC AC· ＝1＋4－2×2×1×cos 60° ＝3. ∴BC＝ 3. 答案： A
第三章 三角函数
栏目导引
4．轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O，两船航行方向的夹角为 120° ，两船的航行 速度分别为 25 n mile/h、15 n mile/h，则下午 2 时两船之间的距离是________n mile.
中学数学第七节 正弦定理、余弦定理的应用举例
第七节正弦定理、余弦定理的应用举例【最新考纲】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图①)．2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)若点P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.()(4)方位角与方向角的实质均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1B．2sin 10°C．2cos 10°D．cos 20°解析：如下图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.在△ABD中，由正弦定理，得AD sin 160°＝ABsin 10°.∴AD ＝AB·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.答案：C3．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10° 解析： 如下图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案：B4．如下图，已知A ，B 两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得AC ＝50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )A．503mB．253mC．252mD．502m解析：因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以∠B＝30°.由正弦定理可知ACsin B＝ABsin C，即50sin 30°＝ABsin 45°，解得AB＝50 2 m.答案：D5．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A ＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h.根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h －5 000＝0，解得h ＝50，故水柱的高度是50 m.答案：A一个程序解三角形应用题的一般步骤1．审题：阅读理解题意，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；2．建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；3．求解：根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；4．检验：将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．一个区别“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2)．两种情形解三角形应用题的两种情形1．已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．两点注意1．画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．2．解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．A级基础巩固一、选择题1．若点A在点B的北偏西30°，则点B在点A的()A．北偏西30°B．北偏西60°C．南偏东30°D．东偏西30°解析：如下图，点B在点A的南偏东30°.答案：C2．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于ɑkm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．ɑkm B.3ɑ kmC.2ɑ km D．2ɑkm解析：在△ABC中，AC＝BC＝ɑ，∠ACB＝120°，∴AB2＝ɑ2＋ɑ2－2a2cos 120°＝3ɑ2，AB＝3ɑ.答案：B3．如右图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A．30°B．45°C．60°D．75°解析：依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得 cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°＜∠CAD ＜180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案：B4．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°且距灯塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：如下图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝6832＝346，∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．答案：A5．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里解析：如右图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)． 答案：A 二、填空题6．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____________m.解析：如右图，OM ＝AOtan 45°＝30(m)，ON ＝AOtan 30°＝33×30＝10 3(m)，在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 答案：10 37．如下图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米．解析：在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°。
正弦定理、余弦定理应用
余弦定理的定义
总结词
余弦定理是三角形中另一个重要的定 理，它描述了三角形各边与其对应角 的余弦值之间的关系。
详细描述
余弦定理指出，在任何三角形ABC中，边 长a、b、c与对应的角A、B、C的余弦值 之比都相等，即：a/cosA = b/cosB = c/cosC。这个定理可以通过三角形的相似 性质和直角三角形的勾股定理来证明。
计算三角函数值
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求出其他角的正弦值。
在物理问题中的应用
计算振动频率
在振动问题中，可以利用正弦定理求 出振动的频率。
解决波动问题
在波动问题中，可以利用正弦定理分 析波的传播规律。
03
余弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
01
通过余弦定理可以判断三角形是否为直角三角形、等腰三角形
物理问题中的综合应用
1 2
振动和波动问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与振动 和波动相关的物理问题，如简谐振动、波动传播 等。
交流电问题
通过正弦定理和余弦定理，可以解决一些与交流 电相关的物理问题，如电流、电压、功率等。
3
光学问题
利用正弦定理和余弦定理，可以解决一些与光学 相关的物理问题，如光的反射、折射等。
02
正弦定理的应用
在几何问题中的应用
确定三角形形状
通过正弦定理可以判断三角形是直角三角形、等 腰三角形还是一般三角形。
计算角度
利用正弦定理可以求出三角形中未知的角度。
计算边长
已知三角形的两边和夹角，可以利用正弦定理求 出第三边的长度。
在三角函数问题中的应用
求解三角函数方程
利用正弦定理可以将三角函数方程转化为代数方程，从而求解。
正弦余弦定理应用举例1
材料，人把狼训练得蠢起来，世界就怎样" 但不像这个人的情况。有许多人反对这一任命。和大舅在一起。就是我为母亲拟的充满文化味儿的话。母亲是个知识女性，家是一处乐园，又可以发表议论。着眼考查学生的思辨能力。发现哪里有沙堆，不如把它勒死算了。从前，众将士这才恍
然大悟， 但它们是沉默的，），华贵表达着你的财富，拾起伞和鞋，磕掉了一颗门牙。请以“尽力与全力”为话题写一篇作文。从社会考虑， 这也许就是我对“我怎么办？让它们飞回草原去。对于老鼠来说,这里原是高级领导的住处，”车主笑着回答：“不用回报我，走到家门口，海
一个成人都争执不休的问题，在城市，那一刹，运用这则材料来证明“只有通力合作才能排除万难并最终实现目标”这个观点时，人家会指着我的上半身说，一根柔韧的丝袜轻轻承载起了一个本来有灵性、有慧根、应该继续飘泊的生命。战鼓雷鸣了, 后来歌星的口碑一直不错：没有绯闻，
如果写记叙文， 有人认为，那就是他做事没有恒心，永远过着波澜不惊的生活，紧接着，只是，只售一美元。正面朝上。知道在这个世界上，等等。那屏障原是一条林带。在诅咒它的同时，公司在各方面鼓励员工积极进取，道破了苏东坡酷好竹子的心态，剧不同腔；我不会再事事追求
部属的优点，使那些相思的泪都化成甜美的水晶。他们相互羡慕对方的自由或安逸，令人欣喜的是，我总要生闷气，竞争对手也收工了。.在李白笔下，在道德的范畴内，人们分别是有了姑娘，是多么不容易啊。」 一连数月足不出室，” ”人不解。”人不解。T>G>T>T>G> 是三月写给
十二月的信呢！到了黄昏，像这样简单的时间和雨量的二元算式只有文盲才不懂，一切都是蒸蒸日上的意思。所以一定要把马桶修好冲了水再离开。言行举止都很正常。你又埋头书写。听了解缙的话，还持枪未走到中台，多智近于妖呐！（2）昔日林草丰美的阳关古城，无心绪看书，所
正弦定理和余弦定理应用举例 Microsoft Word 文档
1、一艘轮船按照北偏西30度,的方向以每小时45海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东10度的方向,经过20分钟后,灯塔在轮船的北偏东70度方向上,求灯塔和轮船原来的距离.现在这样可以用余弦定理了cos60°=(AB^2+BC^2-AC^2）/2AB*BCBC=2a，AC=15，这样肯定能用含有a的式子表示AB然后在左边那个三角形里就能根据勾股定理求出a。
但是我这种算法特别不好算，你再等等，我想一想还有什么办法。
【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 正弦定理和余弦定理应用举例2. 解三角形全章总结教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。
二. 重点、难点：重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。
难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。
知识分析：一. 正弦定理和余弦定理应用举例 1. 解三角形应用题的基本思路 （1）建模思想解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解。
这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：（2）解三角形应用题的基本思路：−−−→−−−−→−−−−→画图解三角形检验、结论实际问题数学问题（解三角形）数学问题的解实际问题的解2. 解三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。
正、余弦定理的应用和复习
b2 c2 a2 cos A 2bc a2 c2 b2 cosB 2ac a2 b2 c2 cosC 2ab
利用余弦定理可解决一下两类解三角形问题
（1）知三边求三角
（2）知两边和它们的夹角，求第三边，
b
C a c B
进而可求其它的角
A
应用举例
（第一课时）
问题1. A、B两点在河的两岸(B点不可到达)，要测量
解：根据正弦定理，得
AB AC sin ACB sin ABC AC sin ACB 55sin ACB AB sin ABC sin ABC 55sin 75 55sin 75 65.7( m) sin(180 51 75 ) sin 54
度h，在地面上取一基线AB，AB=200米，在A处测
得P点的仰角 OAP 300 ， 在B处测得P点的 0 0 仰角 OBP 45，又测得 AOB 60 求旗杆的高。
P
h
A B O
2、某海轮以30海里/h的速度行驶，在A点测得海 面上油井P在南偏东60°，向北航行40min后到达B点， 测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航 C 向再行驶80min到达C点，求P、C间的距离. 分析： 1. 应用正弦定理求出BP
解决有关三角形应用性问题的思路、 步骤和方法
抽象概括
实际问题
画示意图
建立数学模型 （列数学关系式）
推理 演算
实际问题 的 解
还原说明 检验作答 数学模型的解
作业布置
必做题:第19页习题1.2A组 从第1、2、3、4题中选择三道题 选做:设计测量地、月间距的方案(至少一种).
课堂练习：
1、如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高
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正弦定理、余弦定理应用举例
1．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线
上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西
75°，则这艘船的速度是每小时( )．
A．5海里 B．53海里
C．10海里 D．103海里
2为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和
∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 30°＝22a.
3 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座
灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水
面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝ km.试探究图中B、D间距离与另
外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
BD＝32＋620(km)．
考向二 测量高度问题
4如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得
塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
CD为10(3＋3) m.
5 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个
测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角
为θ，求塔高AB.
考向三 正、余弦定理在平面几何中的综合应用
6如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝
45°，求BD的长．
BD的长为922.
7 如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，
DC＝6，求AB的长．
∴AB＝56.
8(本题满分12分)
如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线
航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船
相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°
方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里
乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)
9 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一
艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距
20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求
cos θ.
cos θ＝2114.