2014年改版数字信号处理第二章-2-2

数字信号处理第二章

上抽样 (up-sampling)
L：上采样因子
上抽样器 (up-sampler)
(up-sampling factor)
抽样率扩展器 (sampling rate expander)
x[n]
3
xu [n]
xu
[n]
=
⎧x[n
⎨ ⎩
0,
3],
n = 0, ±3, ±6,…, otherwise
x[n]
2.2.1 基本运算
调制器 (modulator)
h∞ [k]
布莱克曼窗函数
w[k]
积 (product)
windowing (加窗)
调制 (modulation)
h[k]
乘法器 (multiplier) 标乘 (scalar multiplication)
加法器 (adder)
-
-
加法 (addition) 减法 (subtraction)
1 K
K i =1
xi
=1 K K i=1
s + di
=s+ 1 K K i=1
di
若K的取值很大，则
∑ ( ) 1 K
K i=1 di
0
xave s
Xave为信号向量s的合理近似。
Example 2.1: s
xi = s + di
di x ave
Example 2.2: x[n-3]=? x[n+2]=?
FT
=
1 T
sampling frequency (抽样频率) sampling rate (抽样率)
x[n] =
xa
(t) t =nT

数字信号处理_第二章

试画出其级联型网络结构。
解：将H(z)分子、分母进行因式分解，然后两两组合，得到：
(2 0.379 z 1 )(4 1.24 z 1 5.264 z 2 ) H ( z) (1 0.25z 1 )(1 z 1 0.5z 2 )
5.3
IIR系统的基本网络结构
5.3

IIR系统的基本网络结构
系数ai 、bi对滤波器性能的控制关系不直接，调整不方便。响应对系统变化过于灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。
直接型结构的缺点：
极点对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率
5.3
IIR系统的基本网络结构
二、级联型把H(z) 分解（因式分解）成几个一阶或二阶数字网络的级联形式：
H ( z) A H1 ( z) H 2 ( z) ... H K ( z)
式中 H j ( z) 表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，每个 H j ( z) 的网络结构均采用前面介绍的直接型网络结构。
5.3
IIR系统的基本网络结构
实现步骤：（1）先将系统函数按零、极点进行因式分解
第五章时域离散系统的基本网络结构
5.1 引言
1、滤波器的差分方程
y (n) ai y(n i) bi x(n i)
i 1 i 0 N M
所以，一个滤波系统的输出是其过去 N 点输出的线性组合加上当前输入序列与过去 M 点输入序列的线性组合。输出 y (n) 除了与当前的输入 x(n) 有关，同时还与过去的输入和过去的输出有关，系统是带有记忆的。
z 1
y(n 2)
5.3
IIR系统的基本网络结构

数字信号处理答案第2章

1 = ∑e 2 n =0
N −1
j
2π ( m−k ) n N
1 + ∑e 2 n =0
N −1 − j 2π ( m + k ) n N
2π 2π j (m−k ) N − j (m+k ) N 1 1 − e N 1− e N = + 2π 2π 2 j (m−k ) − j (m+ k ) 1− e N 1− e N
∑
N −1
−j
2π kn N
1 N −1 j(ω0 − 2π k ) n N −1 − j(ω0 + 2π k ) n N N = ∑ e − ∑e 2 j n =0 n=0
8
− jω0 N 1 − e jω0 N 1 1− e = − 2π 2π j(ω0 - k) − j(ω0 + k ) 2j N N 1− e 1 − e
12
故
N [δ( k ) − 1] X (k ) = k 1 − WN
k = 1, 2, L, N − 1
当k=0时，可直接计算得出X(0)为
N ( N − 1) X ( 0) = ∑ n ⋅ W = ∑ n = 2 n=0 n =0
N −1 0 N N −1
这样， X(k)可写成如下形式：
N ( N − 1) 2 X (k ) = −N k 1 − W N , k =0 k = 1, 2, L , N − 1

6
N =2 0
(7)
k = m, k = N − m k ≠ m, k ≠ N − m
jω0 n
0≤k≤N－1
X 7 (k ) = ∑ e

数字信号处理第二章 DFT

~ N=16：x (4) x((4))16 x((12 16))16 x(12)
例2：
x (n ) x (n ) 0
~ 1 X (k ) k 0 N ~ X (r )
e
j

15
周期序列的傅里叶级数表示：
正变换：
2 N 1 N 1 j nk ~ ~(n) ~(n)e N ~(n)W nk X (k ) DFS x x x N n 0 n 0
反变换：
~ ~(n) IDFS X (k ) 1 x N
j
2 kN N
k mN , m为整数其他k
W
n 0
N 1
( m k ) n N
1W 1W
( k m ) N N ( k m ) N

1 e
j
1 e
N m k rN 0 mk
此外，复指数序列还有如下性质：
0 WN 1, W N 2 N r 1 1, WN WN r
ek (n)
ek (n) 是以N为周期的周期序列，所以基序
列 {e }（k=0,…,N-1) 只有N个是独立的，可以用这N个基序列将 ~ ( n) 展开。 x
j 2 nk N
12
复指数序列 ek (n) e
周期性:
j
2 nk N
W
nk N
的性质：
无论对k还是n，复指数序列都具备周期性。
时间函数连续和非周期连续和周期(T0) 离散(Ts)和非周期离散(Ts)和周期(T0) 非周期和连续非周期和离散(Ω 0=2π /T0) 周期(Ω s=2π /Ts)和连续周期(Ω s=2π /Ts)和离散(Ω 0=2π /T0) 频率函数

数字信号处理知识点整理 Chapter 2

第二章维纳滤波和卡尔曼滤波2.1 引言只考虑加性噪声影响，即观测数据()xn 是信号()s n 和噪声()v n 之和，即()()()x n s n v n =+不含噪声的信号()s n 称为期望信号，乃滤波之目的，亦可用()dy n 表示。

系统实际输出()()ˆy n s n =是对期望信号的估计。

维纳滤波从信号估计的角度讲：估计过去的信号值()s n N -叫做平滑；估计当前的信号值()s n 叫做滤波；估计将来的信号值()sn N +叫做预测。

这些估计都采用相同的准则：误差均方值最小,2n E e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

2.2 维纳滤波器的时域解（费时费力，更多考虑用Z 域解）设计维纳滤波器实际就是选择系统函数h (n )，使得输出信号x (n )与期望信号d (n )的误差均方值最小。

考虑线性时不变系统，设单位脉冲响应()()()012,,,h n a n jb n n =+=2.2.1 时域求解根据系统输出()()()*y n x n h n =和均方误差函数()()()22E e n E d n y n ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令()2Ee n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦关于()h j 的导数为0，即()20012,,,,jE e n j h ⎡⎤∂⎢⎥⎣⎦==∂ 可以推得()()0*E x n j e n ⎡⎤-=⎣⎦结论：正交性原理．．．．．——均方误差值达到最小的充要条件是误差信号．．．．．．．．．．．．．．．．．．．e ．(．n ．)．与任意输入的待估计信号．．．．．．．．．．．x ．(．n ．)．正交．．。

2.2.2 维纳-霍夫方程由上一式子展开可以得到维纳．．——．．霍夫方程．．．．的形式： ()()()()()012*,,,xd xxxx m r k h m r k m h k r k k +∞==-==∑维纳——霍夫方程表明，输入信号x (n )（待处理信号）与期望信号d (n )的互相关函数等于系统函数（维纳滤波器的时域解）与输入信号的互相关函数r xx (n )卷积。

数字信号处理2.ppt

周期
j 2 nk
复指数序列 e N 对K呈现周期性，
周期为N。也就是说，离散傅里叶级数的谐波成分只有N个独立量，
所以 X (k以0N)为周期
上式表示为
x(nTs )
N
1
X
(k )e
jk
2
NTs
nTs
k 0
即： x(nTs ) 是周期的，周期是 N ，间隔是 Ts
X (k0 )是周期的，周期是 N ，间隔是 0
但DFT并不是“第五种”傅立叶变换！
例2-1 设 ~x(n)为周期脉冲串
x(n) (n rN ) r
（2-8）
因为对于0≤n≤N-1， x(n) , 所(以n)利用DFS求出
的DFS系
数x为(n)
N 1
N 1
X (k) x(n)WNnk (n)WNnk 1
（2-9）
n0
n0
在这种情况下，对于所有的k值 X~ (k ) 均相同。于是，将式
（2-9）代入式（2-7）可以得出表示式
x(n)
(n rN )
r
1 N
N 1 k 0
W nk N
1 N
N 1 j 2 nk
e
k 0
N
（2-10）
上式为复正弦序列的正交特性：
1 N
N 1 j 2 nk
eN
k 0
1, n mN, m为整数
x(n) r (n rN ) 0，其他
例2-2 已知周期序列X (k ) 如图2-2所示，其周期N=10, 试求解它的傅里叶级数系数X (k ) 。
n0
N
正交性质：由三角函数的正交性以及欧拉公式可
得
DFS 中， n, k 仍取无穷长，实际上没必要！

《数字信号处理》第二章离散信号和抽样定理

性延拓，因而采样信号xs(t)就包含了的原信号x(t)全部
信息。
重要结论
第三节抽样定理
*带限信号抽样定理:
要想连续信号抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于或等于两倍原信号频谱的最高频率(2fm≤ fs)，这就是奈奎斯特抽样定理。
第三节抽样定理
二、如何从抽样信号恢复出带限信号x(t)
n
其中
1 g (t)
0
t
2
t

2
Ts
第二节连续信号的离散化
xa (t)
抽样器
（电子开关） P(t)
T
xa (t)
xˆs (t)
fs

1 T
xˆs (t)
第二节连续信号的离散化
理想抽样：当τ 趋于零的极限情况时，抽样脉冲
方波p(t)变成了冲激函数序列δT(t)，这些冲击函数的强度准确地为采样瞬间的xa(t)幅值，这样的抽样称为理想抽样。
余弦与正弦序列示意图如下：
第一节离散时间信号
5、用单位脉冲序列表示任意序列
任意序列x(n)都可用单位脉冲序列δ(n)表示成加权和的形式，即

x(n) x(m) (n m) m
如:
a n x(n)
可表示为 0
10 n 10 其他
10
x(n) am (n m)
样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的。
第一节离散时间信号
离散时间信号的时域表示 1）表示离散时间信号可采用枚举的方式。例如
{x(n)}={…，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2， …}

数字信号处理课件 Chapter 2

• The process is called windowing(加窗)
21
Elementary Operations
Addition operation:
–Adder x[n] + y[n] y[n]=x[n]+w[n]
w[n]
• Multiplication operation
–Multiplier x[n]
Chapter 2 Discrete-time signals in
the time domain
1
§2.1 Discrete-Time Signals
Discrete-time signal in its most basic form is defined at equally spaced discrete values of time, with the signal amplitude at these discrete times taking a continuous value
In most cases, the operation defining a particular discrete-time system is composed of some basic operations 20
Elementary Operations
Product (modulation) operation:
Sequences
A single-input, single-output discrete-
time system operates on a sequence,
called the input sequence, according
some prescribed rules and develops

数字信号处理——第2章离散时间傅里叶变换与Z变换

• 总结：
①序列ZT的收敛域以极点为边界（包含0 和 ②收敛域内不含任何极点，可以包含0 ③相同的零极点可能对应不同的收敛域，即：不同的序列可能有相同的ZT ④收敛域汇总：右外、左内、双环、有限长z平面

）
常见典型序列z变换
序列 Z变换收敛域
z a
z b
注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应。其它序列见P54：表2-1 几种序列的z变换
2.3
z反变换

Z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n)
X ( z ) ZT [ x ( n)]
n

x (n) z n
实质：求X(z)幂级数展开式
Z反变换的求解方法：留数定理法
部分分式法
长除法
1. 留数定理法
根据复变函数理论，可以推导出
x ( n)
1 2 j
X ( z ) z n 1dz
1 1 3z 1
n
z 2
2 n u ( n)
z 3
3
n
n
u (n 1)
x n 2 u n 3 u n 1
3. 幂级数法（长除法）
如果序列的ZT能表示成幂级数的形式，则序列x(n) 是幂级数说明： ①这种方法只对某些特殊的ZT有效。 ②如果ZT为有理函数，可用长除法将X(z)展开成幂级数。若为右边序列（特例：因果序列），将X(z)展开成负幂级数；若为左边序列（特例：反因果序列），将X(z)展开成正幂级数；中
z z 1 1 X z 1 z 2 z 3 1 2z 1 3 z 1
1 ZT [a u (n)] z a 1 1 az 1 n ZT [a u (n 1)] z a 1 1 az

数字信号处理第二章.ppt

例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0 X (3) 1 j 2 1 X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1
可以看出X~ (k)的周期性：
X~ (k
mN
)
N 1 x~(n)e j(k mN
)
2 N
n
n0
N
1
x~(n)e
j
2 N
kn
X~ (k )
n0
周期为N的 x~(n)的离散傅立叶级数只有N个不同的系数X~ (k) 。
周期序列的离散傅立叶级数对(DFS)：
X~ (k )
N
1
x~(n)e
j
2 N
kn
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (运算的方便。
求解 X~ (k)系数：
1
N
e N 1
j
2 N
rn
n0
1 N
1 e j
2 N