13.1周期性时间函数的傅里叶级数分解
第三章1傅里叶级数
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱
cn
c1 c2
c0
c3
0 w1 3w1
n ~ n1 信号的相位谱
各频率分量的幅度称为谱
线，连接谱线顶点的曲线
nw1
w 称为包络线。
n
0 w1 3w1
nw1
周期信号频谱图的特点： 离散性、谐波性、收敛性
w
二、指数形式的傅里叶级数
由三角形式的傅里叶级数：
2、傅里叶级数各系数之间的关系
e f (t)
F (n1) jn1t
n
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
f (t) c0 cn cos(n1t n )
n1
e 当n 0时，Fn Fn
nw1
w
说明：频谱中出现了负频率，而负频率的出现完全 是数学运算的结果，并没有任何物理意义，只有把 负频率与相应的正频率项成对地结合起来，才是实 际的频谱函数。
f (t) Fne jn1t c0 cn cos(n1t n )
n
n1
4.周期信号的功率特性
周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。
一周期内仅有限个间断点； 一周期内仅有限个极值；
一周期内绝对可积，tt00 T1 f (t) dt
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
例：求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号
f1(t)
E
[u(t
)
2
u(t
其中基波——角频率为1的分量; n次谐波——角频率为n1的分量
第三章傅里叶变换
讨论：离散性、收敛性、谐波性
2、 频谱的初步知识——三角波频谱
f ( t ) c0 c n cosn1t n
1
jn1t
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 jn1t cos(n1t ) (e e jn1t ) 2 1 sin(n1t ) (e jn1t e jn1t ) 2j
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 ( e e ) 2 2 n 1
t
0
E 2
F ( n1 )为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 1 1 sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期 并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变 化，即满足： T1 a 0 f (t ) f (t ) 0 2
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
二、指数形式的傅里叶级数 1、指数形式的傅里叶级数的形式
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 1 , 角频率1 T ） T1 则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
F (n )e
1 t0 T1 jn1t 记 dt 复函数：F (n1 ) Fn T t0 f (t )e 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0
coswt傅里叶级数
coswt傅里叶级数
（最新版）
目录
1.傅里叶级数的概念
2.coswt 傅里叶级数的意义
3.coswt 傅里叶级数的求解方法
4.coswt 傅里叶级数的应用
正文
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
在数学和物理学中，这种方法被广泛应用。
coswt 傅里叶级数就是其中一个典型的例子。
coswt 傅里叶级数，指的是将函数 cos(wt) 分解为一系列正弦和余
弦函数的级数。
其中，w 是角频率，t 是时间。
这个级数的求解，可以帮助我们更好地理解余弦函数的周期性，以及它在不同频率下的振幅和相位。
求解 coswt 傅里叶级数的方法，一般采用傅里叶变换。
首先，我们
需要将时间域的信号转换到频率域，然后，通过查看频率域的信号，我们可以得到每个频率的振幅和相位。
最后，我们将这些信息带回时间域，就可以得到 coswt 傅里叶级数。
coswt 傅里叶级数在许多领域都有应用，包括信号处理、图像处理、通信系统等。
例如，在信号处理中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，来去除信号中的噪声，或者增强信号的某些频率成分。
在图像处理中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，来实现图像的频域滤波，从而改
善图像的质量。
在通信系统中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，
来分析信号的频谱，从而更好地进行信号的调制和解调。
总的来说，coswt 傅里叶级数是一种重要的数学工具，它在许多领域
都有广泛的应用。
电子信息工程大学四年所学课程
《电路分析》教学大纲编写：杨帆审核：赵红梅一、课程性质与任务本课程是电类专业的一门技术性很强的专业基础课。
通过本课程的学习，使学生掌握电路的基本理论知识，学会分析计算电路的基本方法和初步的实验技能。
为学习后续有关课程(如信号与系统、模拟电子线路及脉冲技术等课程)准备必要的电路基本知识，为今后从事电类各专业的学习和工作打下必备的基础。
二、教学基本要求1.牢固掌握电路理论的基本概念（如：电压、电流、功率、参考方向）基本定律（欧姆定律 KCL 、KVL)及电阻、电感电容、独立电源和受控源器件的基本特性。
2. 熟悉掌握线形电路的基本分析方法和网络定理，如：节点法、支路法、回路法、叠加原理、戴维南定理、和互易定理等，并能够灵活的运用它们来分析各种电路。
3. 重点掌握正弦稳态分析的基本概念（如：极大值、有效值、频率、相位等）及向量分析（如：向量图、复阻抗、复导纳等），熟练地运用向量法对正弦电路进行分析和计算（包括三相电路和具有互感耦合电路的计算）。
4.了解非正弦周期电路的谐波分析法。
5.熟练掌握动态电路的时域分析法。
对时域法，要求深刻理解时间常数、一阶的零输入响应、一阶零状态响应和阶跃响应等概念；对频域法，要求掌握拉氏变换分析电路的方法和步骤（如：运算阻抗、拉氏正变换、拉氏反变换）。
6.了解一般非线形电路的特点，熟悉非线形电路的计算方法（如：图解法、小信号分析法等）及非线形电路方程的编写。
7.掌握电路的拓扑矩阵，能熟练列写复杂电路方程的矩阵8.了解网络函数的性质，掌握极零点在复频率平面上的分布与网络时域的特点。
9.掌握二端口的方程和参数及二端口的等效电路。
10.学会正确使用常用的电工仪表和调节设备，掌握一些基本的电工及电子测试技术。
三、课程的主要内容及教学要求1电路模型和电路定律1.1电路和电路模型1.6电流及电压的参考方向1.5功率和能量1.4电阻元件1.5电压源和电流源1.6受控源1.7基尔霍夫定律教学基本要求：掌握，电压、电流及其参考方向；电功率和电能量；电阻、电压源和电流源等电路元件的特性及其电压电流关系；线性和非线性的概念；基尔霍夫定律。
傅里叶级数逐点收敛性1
xi
xi −1 xi
f ( x ) − f * ( x ) dx = ∑ ∫
i =1 n
xi
xi −1
f ( x ) − mi dx
≤ ∑ ∫ ωi dx = ∑ ωi Δxi < ε
i =1 xi −1 i =1
由此，我们可得：
∫ f ( x ) sin pxdx ≤ ∫ f ( x ) − f ( x ) dx + ∫
∫ f ( x ) sin pxdx
a
b
的积分当 p → ∞ 时的性质，为此，先引入一个引理：
Riemann-Lebesgue 引理：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可积或广义绝对可积，则有：
b ⎧sin px ⎫ lim ∫ f ( x ) ⎨ ⎬ dx = 0 ，其中 p ∈ R 。 a p →∞ ⎩cos px ⎭
证明： 证明思路是分为如下三个步骤进行： ① 对 f ( x ) 为阶梯函数证明结论； ② 对 f ( x ) 为 Riemann 可积函数证明结论； ③ 对 f ( x ) 为广义绝对可积函数证明结论。 ① 假设 f ( x ) 为一阶梯函数，即：
f ( x ) = ci ， xi ≤ x < xi +1 ， i = 0,1," , n − 1 ， a = x0 < x1 < " < xn = b ，
因而 S n f ( x0 ) 之收敛性只与
(
)
1
π
∫
δ
0
⎡ ⎣ f ( x0 + u ) + f ( x0 − u ) ⎤ ⎦
sin ( n + 1 2 )u 2sin 1 2u
函数的周期性与周期变换
函数的周期性与周期变换周期性是数学中一个重要的概念，它在函数的研究和应用中有着广泛的应用。
本文将从函数的周期性出发，探讨函数的周期性与周期变换。
一、周期性的定义函数的周期性是指当自变量取某个值时，函数的取值能够重复出现。
换句话说，如果存在一个正数T，对于函数f(x)，当x取任意实数时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就具有周期T，T称为函数的周期。
二、周期性的判定如何判定一个函数是否具有周期性？我们可以通过观察函数的图像、计算函数的性质以及运用一些特定的工具来进行判定。
1.观察函数的图像当我们通过观察函数的图像时，如果我们能够找到一条直线L，使得函数的图像在L上下方重复出现，那么该函数就具有周期性，并且直线L的长度就是函数的周期。
2.计算函数的性质有些函数的性质可以直接告诉我们它具有周期性。
例如正弦函数和余弦函数就是周期函数，它们的周期分别是2π和π。
3.运用特定的工具通过使用傅里叶级数展开和拉普拉斯变换等数学工具，我们可以得到函数的频域表示，从而判断函数是否具有周期性。
三、周期变换的特点周期变换是指函数的周期在特定条件下发生改变。
具体来说，当函数的周期随着某个参数的变化而变化时，我们称之为周期变换。
周期变换的特点如下：1.周期变换是通过改变函数中的参数来实现的。
参数的改变会改变函数的周期。
2.周期变换可以是线性的，也可以是非线性的。
线性周期变换指参数的改变和函数周期的改变呈线性关系；非线性周期变换指参数的改变和函数周期的改变不呈线性关系。
3.周期变换可以是周期的改变、延长或缩短。
具体来说，周期变换可以是周期的倍数关系、周期的倒数关系、周期的平方关系等。
四、周期性与周期变换的应用周期性与周期变换在各个领域有着广泛的应用。
以下列举几个例子：1.物理学中，通过研究物体的周期性运动，可以推导出物理规律，如谐振子的运动。
2.电力工程中，通过分析交流电的周期性特征，可以判断电路的稳定性和质量。
数学分析课件傅里叶级数
前页 后页 返回
有函数具有共同的周期 2π. 其次, 在三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数
的乘积在 [ , ]上的积分等于零,即
π
π
cos nxdx sin nxdx 0,
π
π
(6)
π
π π
cos mx cos nxdx sin mx sin nxdx
0 0
(m (m
nn)),,
π π
cos mx sin nxdx 0 .
π
(7)
而(5)中任何一个后页 返回
不等于零, 即
π cos2 nxdx
π
π 12dx 2 π
π
π sin2
π
xdx
π,
(8)
若两个函数 与 在 [a, b] 上可积, 且
b
a ( x) ( x)dx 0
证 由定理条件, 函数 f 在[ , ]上连续且可积. 对
(9)式逐项积分得
π
f ( x)dx π
a0
2
π
dx
π
(an
n1
π
π cos nxdx bn
π
sin nxdx).
π
由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.
所以
π π
f
( x)dx
a0 2
2π
a0π,
前页 后页 返回
一、三角级数·正交函数系
二、以 2 为周期的函数的傅里叶级数
三、收敛定理
前页 后页 返回
一、三角级数·正交函数系
在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一
种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数
y Asin( x )
第三章周期信号的傅里叶级数表
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) 的 (LtT) I系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解：Q h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为， h(t) (t T)
找出一个信号，该信号不具有 的est形式，但却是
P179作业：9月13日
56
§3.5连续时间傅里叶级数的性质
Properties of Continuous-Time Fourier Series 这些性质的学习，有助于对概念的理解与信号 的展开.
10
② x2 t 不是一个特征函数形式，根据欧拉公式，将
其分解为特征函数的线性组合：
x2 t
cos4t
3
cos7t
3
1 2
e
j 4t
1 2
e
j 4t
1 2
e
j7t
1 2
e
j7t
以上4个特征函数的输出用① 步的方法求出，分别为：
1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e e j12 j4t , 1 e j4t 1 H j4 e j4t 1 e j12e j4t
ak
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1
1 8
Sa k
8
k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 Tak
1 4
Sa k
4
ak
1 8
Sa k
8
3）谱线随参数变化的结论：
ak
2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
关于周期函数的几个重要性质
关于周期函数的几个重要性质周期函数是一类在数学中非常常见的函数，具有一些重要的性质。
以下是关于周期函数的几个重要性质的详细介绍。
1.周期性：周期函数以一定的间隔重复自己。
形式地说，对于函数f(x)来说，如果存在正实数T，使得对于所有的x，有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就是周期函数，其中T称为函数f(x)的周期。
周期性是周期函数最基本的性质，使得我们可以通过研究函数的一个周期就可以推导出整个函数的性质。
2. 周期的唯一性：如果一个函数是周期函数，那么它的周期可以有很多个，但这些周期之间必然存在其中一种数学关系。
具体来说，如果T和T'是函数f(x)的两个周期，那么必有T'-T是f(x)的周期。
这意味着，两个周期的差值也是函数的一个周期，也就是说，周期的差值可以是无限的。
例如，sin(x)的周期是2π，而cos(x)的周期也是2π，它们的差值2π-(-2π) = 4π也是它们的周期。
3. 最小正周期：对于周期函数来说，最小正周期指的是所有周期中最小的一个。
最小正周期是周期函数中最常用的一个概念，因为它可以通过最小正周期来推导出其他的周期。
例如，sin(x)和cos(x)的最小正周期都是2π。
4.奇偶性：周期函数可以根据其奇偶性进行分类。
一个函数如果满足f(x)=f(-x)，那么它被称为偶函数；如果满足f(x)=-f(-x)，那么它被称为奇函数。
周期函数中的任何周期都可以是偶函数或奇函数，因为周期性使得函数的对称性得到了保持。
5.周期函数的图像性质：周期函数的图像具有一些特殊的性质。
例如，周期函数的图像在一个周期内是有限的，也就是说，函数在一个周期内不会有无穷大或无穷小的值。
此外，周期函数的图像具有对称性，在一个周期内可以有多个对称轴。
6.周期函数的傅里叶级数展开：由于周期性，周期函数可以使用傅里叶级数进行展开。
傅里叶级数是一种表达任意周期函数的方法，通过将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示。
时域和频域变换之---傅里叶级数的数学推导
时域和频域变换之---傅⾥叶级数的数学推导 废话不多说先列提纲： 0.概述-需求分析-功能描述-受限和缺点改进+知识点预备 1.泰勒级数和傅⾥叶级数的本质区别，泰勒展开 2. 函数投影和向量正交 3.两个不变函数求导是本⾝e^x,sinx,cosx也是为什么要傅⾥叶转换的原因！ 4.傅⾥叶技术推到过程 5.附录参考资料 0.有些时候，尤其是在图像处理中，矩阵运算数据量太⼤，特征提取量多，此时可以通过时域转频域来减少计算量，⽽且此转换不会损失数据完整性。
时域转频域的⽅法有周期函数⽤傅⾥叶技术，⾮周期函数（没有间断点的函数）⽤傅⾥叶转换，类似于直⽅图的分析。
两⾓和公式 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）平⽅关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α)平常针对不同条件的常⽤的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 （1）. 泰勒级数是求导函数组成的变化特征函数和；反应变化剧烈程度 傅⾥叶级数是频谱叠加的三⾓函数和；反应变化频率本质属性 （2）. 从⼏何的⾓度来看。