二次函数专题二：二次函数和一元二次方程及一元二次不等式的关系

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22-2二次函数与一元二次方程(课件)-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂(人教版)

B．m＝0.25n
C．m＝0.5n2
D．m＝0.25n2
2.下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D )
A．y＝3x2－5x＋3
B．y＝4x2－12x＋9
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2＋3x－4
拓展训练
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3.已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0. (1)试判断该方程根的情况． (2)若抛物线y＝x2－(m－3)x－m与x轴交于A(x1，0)，B(x 2，0)两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由(友情提示： AB＝|x2－x1|)．
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第22.2 二次函数与一元二次方程
学习目标
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1.理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系. 2.能运用二次函数及性质确定方程的解或不等式的解集. 3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
复习引入
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1.二次函数的一般式：y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_（__a_≠__0_）_， __x__是自变量，__y__是__x__的函数.
互动新授
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（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？解：当h=20.5时，20t-5t2=20.5 整理得，t2-4t+4.1=0 因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根. 这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.
互动新授
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分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系 h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程. 如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.

二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系

27.3二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时)(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时)知识回顾：1如图填空：（1）a____0 2）b___0 （3）c___0 （4）b 2－4ac____02如图一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝3 的解为_________________探究实践：例1．画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0x 取什么值时，函数值y 小于0例2、关察图像回答下列问题:1．特殊代数式求值：①如图看图填空：（1）a ＋b ＋c___0 （2）a －b ＋c_____0 （3）2a －b __0 ②如图2a ＋b _______0 4a ＋2b ＋c_______02．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________；（2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________；（3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________；（4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________；（5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________．课内练习：1、根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；（9）当y＞0时，x的范围为___________；（10）当y＜0时，x的范围为___________；2．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（）3．如图：（1）当x为何范围时，y1＞y2（2）当x为何范围时，y1＝y2（3）当x为何范围时，y1＜y2课内小结：1、抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上 a 0 开口向下 a 0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定:交点在x轴上方 c 0 交点在x轴下方c 0 经过坐标原点 c 0（3）b的符号：（4）b2-4ac的符号：2、在观察图像时，注意抓住对称轴、顶点坐标、与x轴交点坐标、与y轴交点坐标、开口、特殊值等重要元素。

二次函数与一元二次方程

二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程二次函数与不等式二次函数与方程和不等式综合知识点1 二次函数与一元二次方程二次函数y =ax 2+bx +c 与一元二次方程ax 2+bx +c =0的关系.（1）一般地，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根；当二次函数y =ax 2+bx +c 的函数值为0 时，相应的自变量的值即是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根；（2）若抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点坐标分别为(1,0x )，2(,0)x ，那么对应方程ax 2+bx +c =0的两个根即为 12,x x ，结合一元二次方程根与系数关系可知12,b x x a +=-12c x x a⋅=（3）二次函数与x 轴的交点情况和一元二次方程根的情况的关系具体见下表：二次函数y =ax 2+bx +c 与x 轴交点情况a ＞0两个交点一个交点没有交点a ＜0两个交点一个交点没有交点24b ac -的值240b ac ->240b ac -=240b ac -<一元二次ax 2+ bx +c =0根的情况有两个不相等的实根有两个相等的实根没有实根例1.当a＜0时，方ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图象一定在（）A. x轴上方B. x轴下方C. y轴右侧D. y轴左侧例2.已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点。

(1)求C1的顶点坐标；(2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；例3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是；(2)不等式ax2+bx+c>0的解集是；(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是。

第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用

(2)解当 a－2＝0 即 a＝2 时，原不等式为－4＜0，显然成立，故当 a＝2 时成立．当 a－2≠0 时，由题意得aΔ－＜20＜. 0，即a4＜a－2，22－4a－2－4＜0，解得－2＜a＜2．综上可知，a 的取值范围是(－2,2]．
探究二一元二次方程根的分布
已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根大于－1小于0，另一根大于1小于2，求m的取值范围．
Δ＝－2t2－4t2－1≥0， ∴－ f－2＜2＞t＜04，，
f4＞0，
t∈R，解得－ t＞2－＜1t＜或4t＜，－3，
t＞5或t＜3.
∴－1＜t＜3，故 t 的取值范围是(－1,3)．
探究三一元二次不等式的实际应用
[知能解读] 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
范围．
设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值
解要使 mx2－mx－1＜0 恒成立，若 m＝0，显然－1＜0；若 m≠0，则
m＜0， Δ＝m2＋4m＜0，
解得－4＜m＜0.综上可知，m 的取值范围是(－4,0]．
[变式1] 将本例中的条件“若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立”改为“对于 1≤x≤3，f(x)＜－m＋5恒成立”，求m的取值范围．
3．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是
( A)
A．[－4,4]
B．(－4,4)
C．(－∞，4]∪[4，＋∞)
D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
4．∀x∈R，x2－a＞0恒成立，则a的取值范围为__________．

2023学年人教版高一数学上学期同步知识点讲义2-3 二次函数与一元二次方程、不等式 (解析版)

二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式及其解法①二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：(以下均以a>0为例)②二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解；③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的.【例】填表解析【练1】二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R 的条件是( ) A ．{a >0△>0B ．{a >0△<0C ．{a <0△>0D ．{a <0△<0解析由题意可知二次不等式ax 2+bx +c <0，对应的二次函数y =ax 2+bx +c 开口向下，所以a <0 二次不等式ax 2+bx +c <0的解集是R ，所以△<0．故选：D ．【练2】解不等式(1) x 2−x −6≤0 (2) x 2−3x +4<0 (3) x 2−4x +4>0 解析 (1) −2≤x ≤3 (2) ∅ (3)x ≠2 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解.由于a b>0与ab >0均意味a,b 同号，故ab>0与ab >0等价的；ab<0与ab <0均意味a,b 异号，故ab <0与ab <0等价的；可得① f (x )g(x)>0⇒f (x )g (x )>0，f (x )g(x)≥0⇒f (x )g (x )≥0且g (x )≠0. 比如x−1x−2>0⇒(x −1)(x −2)>0 ; x−1x−2≥0⇒(x −1)(x −2)≥0且x −2≠0. ② f (x )g(x)<0⇒f (x )g (x )<0，f (x )g(x)≤0⇒f (x )g (x )≤0且g (x )≠0.比如x−1x−2<0⇒(x −1)(x −2)<0 ; x−1x−2≤0⇒(x −1)(x −2)≤0且x −2≠0. 【例】解不等式x+1x−2<0的解集是 .解析不等式x+1x−2<0，等价于(x +1)(x −2)≤0，解得−1<x <2. 【练】解不等式x−1x−3≤0的解集是 .解析不等式x−1x−3≤0，等价于{(x −1)(x −3)≤0x −3≠0，解得1≤x <3. ．【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系【典题1】解下列不等式：(1) −12x 2+72x −5<0；(2) 4x 2+18x +814>0；(3) x−2x+3≥2.解析(1) 二次项系数化为1得：x 2−7x +10>0，十字相乘得：(x −2)(x −5)>0，解得x >5或x <2. (2) 4x 2+18x +814>0⇔(2x +92)2>0，结合二次函数图像易得不等式解集是{x|x ≠−94}. (3)不等式x−2x+3≥2⇔x−2x+3−2≥0⇔−x−8x+3≥0⇔x+8x+3≤0，等价于{(x +8)(x +3)≤0x +3≠0，解得−8≤x <−3.点拨1.求解不等式ax 2+bx +c >0(或<0)，其中a >0，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解；2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨.【典题2】若不等式2kx 2+kx −38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A ．(−3,0) B ．(),3-∞- (−∞,−3) C ．(−3,0] D ．(−∞,−3)∪(0,+∞) 解析由题意可知2kx 2+kx −38<0恒成立，当k =0时成立，当k ≠0时需满足{k <0Δ<0，代入求得−3<k <0，所以实数k 的取值范围是(−3,0].点拨注意二次系数是否为0，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析.【典题3】若不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)，则不等式cx 2−2x +a ≤0的解集是( )A ．[−12,13]B ．[−13,12]C ．[−2,3]D ．[−3,2]解析不等式ax 2+2x +c <0的解集是(−∞,−13)∪(12,+∞)， ∴−13和12是方程ax 2+2x +c =0的两个实数根，由韦达定理得{−13+12=−2a−13×12=c a，解得a =−12，c =2，故不等式cx 2−2x +a ≤0，即2x 2−2x −12≤0，解得−2≤x ≤3，所以所求不等式的解集是[−2,3]，故选：C ．【巩固练习】1.下列不等式的解集是空集的是 ( )A ．x 2−x +1>0B ．−2x 2+x +1>0C ．2x −x 2>5D ．x 2+x >2 答案 C2.若不等式kx 2+2kx +2<0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A ．0<k <2B ．0≤k <2C ．0≤k ≤2D ．k >2答案 C 解析当k =0时，满足题意；当k >0时，△=4k 2−8k ≤0，解得0<k ≤2； ∴实数k 的取值范围是0≤k ≤2．故选：C ．3.关于x 的不等式x 2+ax −3<0，解集为(−3,1)，则不等式ax 2+x −3<0的解集为 . 答案 {x|−32<x <1}解析由题意知，x=−3，x=1是方程x2+ax−3=0的两根，可得−3+1=−a，解得a=2；所以不等式为2x2+x−3<0，即(2x+3)(x−1)<0，解得−32<x<1，所以不等式的解集为{x|−32<x<1}.4.不等式2x2−x−3>0的解集为.答案{x|x>32或x<−1}解析2x2−x−3>0⇒(2x−3)(x+1)>0⇒x>32或x<−1.5.不等式x2x−1>1的解集为.答案{x|12<x<1}解析原不等式等价于x2x−1−1>0，即x−(2x−1)2x−1>0，整理得x−12x−1<0，不等式等价于(2x−1)(x−1)<0，解得12<x<1．6.若不等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}(1)求不等式ax2−5x+a2−1>0的解集．(2)已知二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，求关于x的不等式cx2−bx+a>0的解集．答案(1){x|−3<x<12}(2){x|−3<x<−2}解析(1)因为等式ax2+5x−2>0的解集是{x|12<x<2}，所以12和2是一元二次方程ax2+5x−2=0的两根，∴12×2=−2a，解得a=−2，∴不等式ax2−5x+a2−1>0可化为−2x2−5x+3>0，即2x2+5x−3<0，∴(2x−1)(x−3)<0，解得−3<x<12，所以不等式ax2−5x+a2−1>0的解集为{x|−3<x<12}；(2)由(1)知a=−2，∴二次不等式−2x2+bx+c<0的解集为{x|x<13或x>12}，∴13和12是一元二次方程−2x 2+bx +c =0的两根，∴13+12=−b−2，13×12=−c 2，解得b =53，c =−13，所以不等式cx 2−bx +a >0可化为：−13x 2−53x −2>0，即x 2+5x +6<0，解得−3<x <−2．所以关于x 的不等式cx 2−bx +a >0的解集为{x|−3<x <−2}．【题型2】求含参一元二次不等式(选学)角度1 按二次项的系数a 的符号分类，即a >0 ,a =0 ,a <0; 解不等式ax 2+(a +2) x +1>0. 解析(不确定不等式对应函数y =ax 2+(a +2) x +1是否是二次函数，分a =0与a ≠0讨论) (1) 当a =0时，不等式为2x +1>0，解集为{x | x >−12} ； (2) 当a ≠0时，∵Δ=(a +2)2−4a =a 2+4>0 (二次函数y =ax 2+(a +2) x +1与x 轴必有两个交点) 解得方程ax 2+(a +2) x +1=0两根x 1=−a−2−√a 2+42a,x 2=−a−2+√a 2+42a；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a >0与a <0讨论) (i)当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；(ii)当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.(注意x 1,x 2的大小)综上，当a =0时，解集为{x | x >−12}；当a >0时，解集为{x | x >−a−2+√a 2+42a或x <−a−2−√a 2+42a}；当a <0时, 解集为{x |−a−2+√a 2+42a<x <−a−2−√a 2+42a}.角度2 按判别式的符号分类解不等式x 2+ax +4>0. 解析 ∵Δ=a 2−16(此时不确定二次函数y =x 2+ax +4是否与x 轴有两个交点，对判别式进行讨论) ∴①当−4<a <4，即Δ<0时，解集为R ； ②当a =±4，即Δ=0时，解集为{x | x ≠−a2}；③当a>4或a<−4，即Δ>0时，此时两根为x1=−a+√a2−162 ,x2=−a−√a2−162，显然x1>x2，∴不等式的解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.综上，当−4<a<4时，解集为R；当a=±4时，解集为{x | x≠−a2}；当a>4或a<−4时，解集为{x | x>−a+√a2−162或x<−a−√a2−162}.角度3 按方程的根大小分类解不等式：x2−(a+1a)x+1<0 (a≠ 0).解析原不等式可化为：(x−a)(x−1a)<0 ,令(x−a)(x−1a )=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=(x−a)(x−1a)与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)∴(i)当x1=x2时，即a=1a⇒a=±1时，解集为ϕ；(ii)当x1<x2时，即a<1a ⇒a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当x1>x2时，即a>1a ⇒−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.综上，当a=±1时，解集为ϕ；(ii)当a<−1 或0<a<1时，解集为{x | a<x<1a}；(iii)当−1<a<0或a>1时，解集为{x |1a<x<a}.点拨①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2−(a+1)x+a=(x−1)(x−a) ,x2−(a+1a )x+1=(x−a)(x−1a)，ax2+(a+1)x+1=(ax+1)(x+1)等，若判别式Δ是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解；②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.【巩固练习】1.解关于x的不等式:12x2−ax−a2<0.解析方程12x2−ax−a2=0∴(4x+a)(3x−a)=0，即方程两根为x1=−a4,x2=a3，(1)当a>0时，x2>x1，不等式的解集是{x∣−a4<x<a3}；(2)当a=0时，x1=x2，不等式的解集是ϕ；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集{x∣a3<x<−a4}2.解关于x的不等式 x2+2x+a>0．解析方程x2+2x+a=0中△=4−4a=4(1−a)，①当1−a<0即a>1时，不等式的解集是R，②当1−a=0，即a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，③当1−a>0即a<1时，由x2+2x+a=0解得：x1=−1−√1−a,x2=−1+√1−a，∴a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}，综上，a>1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是{x|x≠−1}，a<1时，不等式的解集是{x|x>−1+√1−a或x<−1−√1−a}．3.若a∈R，解关于x的不等式ax2+(a+1)x+1>0．解析当a=0时，x>−1．当a≠0时，a(x+1a)(x+1)>0．。

2022年初中数学《二次函数与一元二次不等式2》精品教案

21.3 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比方一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后答复.二、共同探究,获取新知师:你猜测一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如以下图,根据图象答复以下问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后答复.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们答复得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们答复得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.观察上表可以发现,当x分别取和时,对应的y由正变负,可见在与之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取或作为根都符合要求.但当时比y=0.25(x=-2.5)更接近0,应选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是.【答案】x1=1,x2=-52.判断以下二次函数的图象与x轴有无交点.假设有,求出交点的坐标;假设没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3;(2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三局部:一局部与x轴相交,一局部在x轴上方,一局部在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获? 学生答复.师:你还有什么不明白的地方吗? 学生提问,教师解答. 教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数〞和“形〞完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数〞和“形〞在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的根底上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更表达了学好数学的重要意义.3．乘、除混合运算1．能熟练地运用有理数的运算法那么进行有理数的加、减、乘、除混合运算；(重点) 2．能运用有理数的运算律简化运算；(难点)3．能利用有理数的加、减、乘、除混合运算解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入1．在小学我们已经学习过加、减、乘、除四那么运算，其运算顺序是先算________，再算________，如果有括号，先算__________里面的．2．观察式子3×(2＋1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，里面有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？二、合作探究探究点一：有理数乘、除混合运算计算：(1)－2.5÷58×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－47÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112.解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法那么进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．解：(1)原式＝－52×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52×85×14＝1；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－47×⎝ ⎛⎭⎪⎫－143×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－⎝ ⎛47×⎭⎪⎫143×32＝－4. 方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算．探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算及乘法的运算律【类型一】有理数加、减、乘、除混合运算计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)．解析：(1)先计算括号内的，再按“先乘除，后加减〞的顺序进行；(2)可考虑利用乘法的分配律进行简便计算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝53×(－6)－12÷43＝(－10)－12×34＝－10－38＝－1038；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)＝⎝⎛－3－16⎭⎪⎫－1－13＋1＋14×(－12)＝⎝⎛⎭⎪⎫－3－14×(－12)＝－3×(－12)－14×12＝3×12－14×12＝36－3＝33.方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，假设能应用运算律进行简化运算，就先简化运算．【类型二】有理数乘法的运算律计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)；(2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514.解析：第(1)题括号外面的因数－24是括号内每个分数的倍数，相乘可以约去分母，使运算简便．利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题－7可以与514的分母约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56×(－24)＋38×(－24)＝20＋(－9)＝11； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514＝(－7)×514×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝103.方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．【类型三】有理数混合运算的应用海拔高度每升高1000m ，气温下降6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃，热气球的高度为________m.解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m)，故填1500.方法总结：此题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法那么是解题的关键．三、板书设计1．有理数加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行． 2．利用运算律简化运算 3．有理数混合运算的应用这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算．运算顺序“先乘除后加减〞学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点．在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯．。

2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义专题02 二次函数(原卷版)

2020-2021学年新教材高一数学寒假辅导讲义（沪教版2020）专题02 二次函数知识梳理一、二次函数的解析式的三种形式1．一般式：()()20f x ax bx c a =++≠2．顶点式：()()()20f x a x h k a =-+≠，其中()()k f h ,h,k =为抛物线的顶点坐标.3．交点式（零点式）：()()()()120f x a x x x x a =--≠，)0,()0,(21x x 和为抛物线与x 轴的交点坐标.二、二次函数的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是abx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，. 当0>a 时，函数在上是增函数，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数；当0<a 时，函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b 上是减函数. 三、根与系数关系设()()02≠++=a c bx ax x f 的两根为21,x x ，则有ax x x x x x a c x x a b x x ∆=-+=-=-=+212212121214)(,, 四、一元二次方程根的分布:设()()04022≥-=∆≠++=ac b a c bx ax x f ，的两根为.,21x x ，⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b1．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥∆⇔>>0000,021a c a b x x 2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥∆⇔<<0000,021ac a bx x3. 0)0(00,021<⇔<⇔><f acx x 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><->∆⇔<<0)(2021m f m a b m x x 5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>->∆⇔<<0)(2021m f m a b x x m6.0)(21<⇔<<m f x m x7.⎩⎨⎧<<⇔<<<0)(0)(21n f m f x n m x8.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><-<>∆⇔<<<0)(0)(2021n f m f n ab m n x x m 9.⎩⎨⎧><⇔<<<0)(0)(21n f m f n x m x 10.⎩⎨⎧<>⇔<<<0)(0)(21n f m f x n x m11. ()02=++=c bx ax x f 在),(n m 内恰有一解0f (m )f (n )⇔⋅<或0f (m )=（检验另一根在),(n m 内）或0f (n )=（检验另一根在),(n m 内）12.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>⇔<<<<<0)(0)(0)(0)(21q f p f n f m f q x p n x m讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置五、一元二次函数在给定区间上的值域设()()20f x ax bx c a =++>，],[n m x ∈()m n <1．当abn 2-<时，()f x 的值域为[]f (n ),f (m)； 2. 当n a b m ≤-≤2时,2min b f f ()a=- ，{}max f max f (m),f (n )=；（如果再细分的话，是什么情况呢，让同学思考）3. 当m ab<-2时，()f x 的值域为[]f (m),f (n ). 讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②开口方向六、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系设()()20f x ax bx c a =++>①0∆<⇔函数y f (x )=的图像与x 轴无交点⇔方程0f (x )=无实根⇔不等式0f (x )>的解集为R ⇔不等式的解集为∅；②0∆=⇔函数y f (x )=的图像与x 轴相切⇔方程0f (x )=有两个相等的实根⇔不等式0)(>x f 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2；③0∆>⇔函数)x (f y =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程0)x (f =有两个不等的实根：）设，βαβα<(⇔不等式0f (x )>的解集为(,)(,)-∞+∞αβ⇔不等式0)x (f <的解集为(,)αβ. 例题解析一、二次函数的概念【例1】若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称，则c =_________．【例2】已知二次函数()2f x ax bx c =++，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则122x x f +⎛⎫= ⎪⎝⎭____________. 【例3】若函数()()()22111f x m x m x =-+-+是偶函数，则在区间(],0-∞上()f x 是A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．可能是增函数，也可能是常数0f (x )≤【例4】已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．【巩固训练】1.若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．2．已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是( )A ．57()(1)()22f f f <<B ．75(1)()()22f f f <<)C ．75()(1)()22f f f << D ．75()()(1)22f f f <<3．已知函数2()22,[5,5]f x x ax x =++∈-，且函数在[5,5]-上是单调函数，则a 的取值范围是____________.二、和二次函数相关的函数的值域和最值问题【例5】如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[,1]t t +上，求f x ()的最小值.【例6】已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值.【例7】已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m ，最大值是3n ，求m ，n 的值.【例8】函数2111x x x y -+-++=的值域是【例9】已知函数31++-=x x y 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm的值是【巩固训练】1．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是____________.2．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式.3．函数22214x x y -+=的值域是 4．函数x x y -+-=53的值域为5．已知二次函数2211f (x )ax (a )x =+-+在区间3[,2]2-上的最大值为3，求实数a 的值. 三、一元二次方程根的分布【例10】求实数m 的范围，使关于x 的方程062)1(22=++-+m x m x ．（1）有两个实根，且一个比2大，一个比2小．（2）有两个实根βα,，且满足410<<<<βα．（3）至少有一个正根．【例11】已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．【例12】对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠. （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．【例13】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<. （1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（2）函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明：102x x <.【巩固训练】1．已知方程)(0)32()1(242R m m x m x ∈=++-+有两个负根，求m 的取值范围．2．已知抛物线22y x mx m =-+与直角坐标平面上两点(0,0),(1,1)为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求m 取值范围．3．已知关于x 的二次方程22210x mx m +++=.(1) 若方程有两根，其中一根在区间(1,0)-内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围. (2) 若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围.四、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的联系【例14】是否存在实数a b c 、、，使关于的不等式2+0ax bx c +>的解为1132x -<<？若存在，请解不等式2+0cx bx a --<；若不存在，请说明理由．【例15】已知不等式组22202(25)50x x x k x k ⎧-->⎪⎨+++<⎪⎩的整数解的集合是{}2-，求实数k 的取值范围．【例16】已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()10,-，问是否存在常数a b c 、、，使不等式()()2112x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？【巩固训练】1．不等式20x ax b --<的解集为()23，，则不等式210bx ax -->的解集为__________.2．已知关于x 的不等式4502≤++≤ax x 恰好有一个解，则a 的值为____________.3．不等式0122>--x x的解集为A ，集合}{0))(52(<++=a x x x B .设Z 为整数集，若{}2,1--=Z B A ，则实数a 的取值范围是________.五、二次函数的实际应用问题【例17】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）.（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．【例18】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中2AB =米，1BC =米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．EMN ∆是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB 平行的伸缩横杆．（1）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将EMN ∆的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；（2）求EMN ∆的面积S （平方米）的最大值．【巩固训练】1．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设)(t f 表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（)(t f 越大，表明学生的注意力越集中），经过实验分析得知：⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<≤≤++-=4020,38072010,240100,10024)(2t t t t t t t f（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最为集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟和讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更为集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？2．某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）其中年固定成本与年生产的件数无关，m 为待定常数，其值由生产A 产品的原材料价格决定，预计]8,6[∈m ．另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．（Ⅰ）写出该厂分别投资生产A 、B 两种产品的年利润12,y y 与生产相应产品的件数x 之间的函数关系并指明其定义域；（Ⅱ）如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．六、二次函数的综合应用【例19】直线1y =与曲线2||y x x a =-+有四个交点，则实数a 的取值范围是__________.【例20】设函数()()f x x x bx c x R =++∈给出下列4个命题① 当0,0==c b 时，0)(=x f 只有一个实数根；② 当0=c 时，)(x f y =是偶函数；③ 函数)(x f y =的图像关于点),0(c 对称；④ 当0,0≠≠c b 时，方程0)(=x f 有两个实数根.上述命题中，所有正确命题的序号是___________.【例21】对于定义域为D 的函数)(x f y =，若同时满足：①)(x f 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间[]D b a ⊆,，使)(x f 在[]b a ,上的值域为[]b a ,,那么把)(x f y =（D x ∈）叫做闭函数.（1）判断函数),0(,12)(+∞∈+=x xx x f 是否为闭函数？并说明理由；（2）若2)(++=x k x f 是闭函数,求实数k 的取值范围.【例22】设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-⋅=．（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值；（2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．【巩固训练】1．已知函数x a x x x f 2||)(+-=，若0>a ，关于x 的方程9)(=x f 有三个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．2．设关于x 的不等式()()()221210x a x a a -+++->和0)(322<++-a x a a x )(R a ∈的解集分别是A 和B.（1）若A B φ=，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得R B A = ？如果存在，求出a 的值，如果不存在，请说明理由．3．已知函数a ax x x f -++=3)(2，R a ∈.研究函数)(x f y =的图像与函数322--=x x y 的图像公共点的个数、坐标，并写出你的研究结论.反思总结二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解7---二次函数与一元二次方程、不等式

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第7讲二次函数与一元二次方程、不等式一、知识梳理1.一元二次不等式(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.(2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.(其中a，b，c均为常数，a≠0)2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系有两个相等的实数常用结论1.分式不等式的解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0).(2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 2.两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.二、教材衍化1.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 1(3)改编)不等式x 2－3x －10＜0的解集为________.解析：由x 2－3x －10＜0得(x ＋2)(x －5)＜0，所以－2＜x ＜5. 答案：(－2，5)2.(人A 必修第一册P 55习题2.3T 3改编)已知M ＝{x |4x 2－4x －15≥0}，N ＝{x |x 2－5x －6＞0}，则M ∩N ＝________，M ∪N ＝________.解析：M ＝{x |(2x ＋3)(2x －5)≥0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥52，N ＝{x |(x ＋1)(x －6)＞0}＝{x |x ＜－1，或x ＞6}，所以M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6， M ∪N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ＞6⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1，或x ≥52一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( ) (2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、易错纠偏1.(忽略等号能否成立致误)不等式x －1x －3≤0的解集是( ) A.(－∞，1)∪[3，＋∞) B.(－∞，1]∪(3，＋∞)C.[1，3)D.[1，3] 解析：选C.不等式x －1x －3≤0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x －3）≤0，x －3≠0.解得1≤x <3，所以不等式的解集是[1，3)，故选C.2.(忽视二次项系数为0致误)不等式mx 2＋mx ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析：当m ＝0时，1>0，不等式恒成立，当m ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m <0.解得0<m <4. 综上，0≤m <4. 答案：[0，4)3.(不能正确理解不等式的解集致误)若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 解析：因为x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b 2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14. 答案：－14考点一一元二次不等式的解法(多维探究)复习指导：通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，会解一元二次不等式.角度1 不含参数的不等式(1)不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1 C.(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) (2)(链接常用结论1)不等式1－x 2＋x ≥0的解集为( )A.[－2，1]B.(－2，1]C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(－∞，－2]∪(1，＋∞) 【解析】 (1)－2x 2＋x ＋3<0可化为2x 2－x －3>0，即(x ＋1)(2x －3)>0，所以x <－1或x >32.(2)原不等式化为⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（2＋x ）≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋2）≤0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1. 【答案】 (1)C (2)B解一元二次不等式的方法和步骤角度2 含参数的不等式解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0). 【解】原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解得1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解得1<x <1a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1.在本例中，把a >0改成a ∈R ，解不等式. 解：当a >0时，同例2，当a ＝0时，原不等式等价于－x ＋1<0，即x >1，当a <0时，1a <1，原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x >1或x <1a .综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ，当a ＝1时，不等式的解集为∅，当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪x <1a 或x >1.解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式；(2)判断一元二次不等式所对应的方程实根的个数，即讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定方程无实根或有两个相同实根时，可直接写出解集；确定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式.|跟踪训练|1.若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12或x >13}，则a －b a ＝( ) A.56 B.16 C.－16D.－56解析：选A.由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和13，所以根据根与系数的关系可得－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56.2.解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R ). 解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞. 考点二一元二次不等式恒成立问题(思维发散)复习指导：此类问题的求解常利用转化思想，其思路为：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标.(链接常用结论2)已知函数f (x )＝mx 2－mx －1，若对于x ∈R ，f (x )＜5－m恒成立，求实数m 的取值范围.【解】对于x ∈R ，f (x )＜5－m 恒成立，即mx 2－mx －6＋m ＜0对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然符合题意，当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2－4m （m －6）＜0得m ＜0，综上，所求实数m 的取值范围是(－∞，0].1.本例中将条件“x ∈R ”改为“x ∈[1，3]”，其他不变，求实数m 的取值范围.解：要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立.令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3].当m ＞0时，g (x )在[1，3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6＜0，所以m ＜67，所以0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立；当m ＜0时，g (x )在[1，3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ＜67.2.本例中条件改为“若存在x ∈[1，3]，使f (x )＜5－m 成立”，求实数m 的取值范围.解：题中条件可转化为存在x ∈[1，3]，使m <6x 2－x ＋1成立.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1，3]上的最大值为6，所以只需m ＜6即可，故m 的取值范围是(－∞，6).(1)若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.若a ＝0，则应单独验证是否符合题意.(2)一元二次不等式在指定范围内恒成立，其本质是这个不等式的解集包含指定的范围.(3)“恒成立”和“能成立”问题都可以转化为函数最值问题.|跟踪训练|1.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A.(－2，2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)D.[－2，2]解析：选D.由题意知x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，即实数a 的取值范围是[－2，2].故选D.2.若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________.解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，03.若mx 2－mx －1＜0对于m ∈[1，2]恒成立，求实数x 的取值范围.解：设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1，2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＜0，g （2）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1＜0，2x 2－2x －1＜0，解得1－32＜x ＜1＋32，故x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.考点三一元二次不等式的实际应用(综合研析)复习指导：体会建立不等式模型解决实际问题的方法.某地区上年度电价为0.8元/kW ·h ，年用电量为a kW ·h.本年度计划将电价降到0.55元/kW ·h 至0.75元/kW ·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW ·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k ).该地区电力的成本价为0.3元/kW ·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式； (2)设k ＝0.2 a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价). 【解】 (1)下调电价后新增的用电量为k x －0.4，所以下调电价后的总用电量为a ＋kx －0.4，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋k x －0.4(x －0.3)(0.55≤x ≤0.75). (2)由已知⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫a ＋0.2a x －0.4（x －0.3）≥[a ×（0.8－0.3）]×（1＋20%），0.55≤x ≤0.75，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1 x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75，解得0.60≤x ≤0.75.当电价最低定为0.60元/kW ·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.求解不等式应用题的四个步骤|跟踪训练|若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1 x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.解析：生产者不亏本时有y－25x＝－0.1 x2－5x＋3 000≤0，即x2＋50 x－30 000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去).故生产者不亏本时的最低产量是150台.答案：150[A基础达标]1.(2022·铜仁市思南中学期中考试)不等式－x2－3x＋10≥0的解集为()A.{x|－5≤x≤2}B.{x|x≤－5或x≥2}C.{x|－2≤x≤5}D.{x|x≤－2或x≥5}解析：选A.－x2－3x＋10≥0可化为x2＋3x－10≤0，即(x－2)(x＋5)≤0，解得－5≤x≤2.2.设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是()A.{x |x <－n 或x >m }B.{x |－n <x <m }C.{x |x <－m 或x >n }D.{x |－m <x <n }解析：选B.原不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，因为m ＋n >0，所以m >－n ，所以原不等式的解为－n <x <m .3.关于x 的不等式(ax －b )(x ＋3)<0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为( )A.(－∞，－1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，1)D.(1，＋∞)解析：选A.由题意可得a <0，且1，－3是方程(ax －b )(x ＋3)＝0的两实数根，所以x ＝1为方程ax －b ＝0的根，所以a ＝b ，则不等式ax ＋b >0可化为x ＋1<0，即x <－1，所以不等式ax ＋b >0的解集为(－∞，－1).4.若存在实数x ∈[2，4]，使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，则m 的取值范围为( ) A.(13，＋∞) B.(5，＋∞) C.(4，＋∞)D.(－∞，13)解析：选B.m ＞x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2，4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，若∃x ∈[2，4]使x 2－2x ＋5－m ＜0成立，即m ＞f (x )min ，所以m ＞5.故选B.5.(多选)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是( )A.(－2，－1)B.(－3，－6)C.(2，4)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 解析：选AD.不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，所以方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，故选AD.6.不等式x ＋2x －1>2的解集为________. 解析：原不等式可化为x ＋2x －1－2>0，即（x ＋2）－2（x －1）x －1>0，即4－x x －1>0，即(x －1)(x －4)<0，解得1<x <4，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}. 答案：{x |1<x <4}7.若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是________.解析：原不等式可化为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a . 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a8.(2022·河南温县一中10月月考)已知定义在R 上的运算“⊗”： x ⊗y ＝x (1－y )，关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0.(1)当a ＝2时，不等式的解集为________________；(2)若∀x ∈[0，1]，不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________，解析：(1)当a ＝2时，不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －2)(1－x －2)>0，即(x －2)(x ＋1)<0，解得－1<x <2，所以不等式的解集为{x |－1<x <2}.(2)不等式(x －a )⊗(x ＋a )>0为(x －a )(1－x －a )>0，即－x 2＋x ＋a 2－a >0，不等式对∀x ∈[0，1]恒成立，设y ＝－x 2＋x ＋a 2－a ，则只要∀x ∈[0，1]，y min >0，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋a 2－a ，当x ＝0或x ＝1时，y min ＝a 2－a ，所以y min ＝a 2－a >0，解得a <0或a >1.答案：(1){x |－1<x <2} (2)a <0或a >1 9.若不等式ax 2＋5x －2>0的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x <2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集.解：(1)由题意知a <0，且方程ax 2＋5x －2＝0的两个实数根为12和2，代入方程解得a ＝－2.(2)由(1)知不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0，即为－2x 2－5x ＋3>0，即2x 2＋5x －3<0，解得－3<x <12，即不等式ax 2－5x ＋a 2－1>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12. 10.(2022·重庆九校联考)汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1 x＋0.01 x2，s乙＝0.05 x＋0.005 x2.问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1 x＋0.01 x2>12，即x2＋10 x－1 200>0，解得x>30或x<－40(不符合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意知刹车距离略超过12 m，由此估计甲车的车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05 x＋0.005 x2>10，即x2＋10 x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不符合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速.故甲车没有超速，乙车有超速现象.[B综合应用]11.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是()A.(－3，5)B.(－2，4)C.[－1，3]D.[－2，4]解析：选C.因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0可化为(x－1)(x－a)＜0，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}，当a＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a＝1或1＜a≤3或－1≤a＜1，所以实数a的取值范围是a∈[－1，3]，故选C.12.(多选)(2022·淄博高三一模)设[x]表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式[x]2＋[x]－12≤0的解可以为()A.10B.3C.－4.5D.－5解析：选BC.因为不等式[x]2＋[x]－12≤0，所以([x ]－3)([x ]＋4)≤0，所以－4≤[x ]≤3，又因为[x ]表示不小于实数x 的最小整数，结合选项，所以不等式[x ]2＋[x ]－12≤0的解可以为3和－4.5. 故选BC.13.(2022·山东泰安一中月考)设m 为实数，若函数f (x )＝x 2－mx ＋2在区间(－∞，2)上是减函数，对任意的x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则m 的取值范围为( )A.[4，6]B.(4，6)C.(4，6]D.[4，6)解析：选A.函数f (x )＝x 2－mx ＋2的对称轴为直线x ＝m2，由其在区间(－∞，2)上是减函数，可得m2≥2，即m ≥4；因为m ≥4，m 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1且m 2＋1－m 2≤m2－1，故当x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，m 2＋1时，f (x )max ＝f (1)＝3－m ，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－m 24＋2，由|f (x 1)－f (x 2)|≤4，可得3－m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2≤4，化简可得m 2－4m －12≤0，可得－2≤m ≤6，综上可得4≤m ≤6，故选A.[C 素养提升]14.(2022·河南郑州联考改编)已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则b ＝________；若对于任意x ∈[－1，0]，不等式f (x )＋t ≤4恒成立，则实数t 的取值范围是________.解析：由题可知－1和3是方程－2x 2＋bx ＋c ＝0的根，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝b2，－3＝－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝6，所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6.所以不等式f (x )＋t ≤4可化为t ≤2x 2－4x －2，x ∈[－1，0].令g (x )＝2x 2－4x －2，x ∈[－1，0]，由二次函数的性质可知g (x )在[－1，0]上单调递减，则g (x )的最小值为g (0)＝－2，则t ≤－2.答案： 4 (－∞，－2]15. (2022·浙江诸暨中学高三模拟)设函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c ，若不等式f (x )<0的解集是(1，5).(1)求f (x )的解析式；(2)若对于任意x ∈[1，3]，不等式f (x )≤2＋t 有解，求实数t 的取值范围. 解： (1)由题意知1和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由根与系数的关系知，－b 2＝6，c2＝5，解得b ＝－12，c ＝10，所以f (x )＝2x 2－12x ＋10.(2)不等式f (x )≤2＋t 在x ∈[1，3]时有解，等价于2x 2－12x ＋8≤t 在x ∈[1，3]时有解，只要t ≥(2x 2－12x ＋8)min 即可，不妨设g (x )＝2x 2－12x ＋8，x ∈[1，3]，则g (x )在[1，3]上单调递减，所以g (x )≥g (3)＝－10，所以t ≥－10.。

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二次函数专题二：二次函数、一元二次方程
及一元二次不等式的关系
问题1：你能快速地求出一

元二次方程
2
230xx

的根吗？

问题2：请你画出函数
2
23yxx

图象，研究图象上是否有一

些特殊的点和一元二次方
程
2
230xx

的根之间有某种联

系，你有什么发现吗？
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问题3：研究一元二次方
程
2
230xx

的根的个数及其判

别式与二次函数
2
23yxx

的图

像和x轴的交点个数，你能
得到什么结论？

问题4：你能结合问题2、3，
得到一般化的结论吗？
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归纳：一元二次方程
2
0(0)axbxca

的

根的个数与二次函数
2
(0)yaxbxca

的图像和x轴的位置关系之间

有什么联系？
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1．判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标。
（1）
2621yxx （2）215148yxx （3）2
44yxx

2．如图，抛物线
)0(2acbxaxy
的对称轴是直线1x，且
经过点

P
（3，0），则方程20(0)axbxca 的
根为：。

y
–
3

3
O
x

1
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3．已知抛物线26yxxa的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，
则a的范围是；与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .
4．已知抛物线2yxpxq与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= .

5．抛物线2(0)yaxbxca的图象全部在x轴下方的条件是（）
A． a＜0 b2-4ac≤0 B．a＜0 b2-4ac＞0 C．a＞0 b2-4ac＞0 D．a＜0 b2-4ac＜0
6.不论x取何值，抛物线

cbxaxy
2
总在x轴上方，则a,b,
c
满足的条件是（）
A.04,02acba B.04,02acba
C. 04,02acba D.04,02acba
7.根据下列表格的对应值：
x 3.3.3.3
.
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判断方程
02cbxax
(a≠
0，a，b，c为常
数)一个解
x
的范围是（）
A .3＜x＜3.23 B. 3.23
＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜

23 24 25 2
6

cbxax
2
－
0.06 －0.
0
2

0.03 0
.
0
9
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3.25 D. 3.25 ＜x＜
3.26

8．已知二次函数2222yxkxkk．
（1）当实数k为何值时，图象
经过原点？
（2）当实数k在何范围取值
时，函数图象的顶点在第四象
限内？
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9．已知抛物线2(32)2(0)ymxmxmm与x
轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在
抛物线上
（3）当m=1时，求抛物线的
顶点Q及P点关于抛物线的对
称轴对称的点P′的坐标，并
过P′、Q、P三点，画出抛物
线草图．
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10.二次函数y=
cbxax
2
(a≠0，a，

b，c
为常数)图象如图所示，

根据图象解答问题
（1）写出方程
0
2
cbxax

的两个根

（2）写出不等式cbxax2＞0的解
集
（3）若方程
cbxax
2
=k有两个不相

等的实数根，
求k的取值范围.

y
x
O
3

2
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提高题：（选做）

1．若函数qpxxy22（p，q是实数）
与x轴没有交点
（1）求证：
4
1
qp

；

（2）试写出上述命题的逆命
题；判断逆命题是否正确，若
正确请加以证明；若不正确，
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请举一反例说明．
2．已知二次函数y1=x2-2x-3。
（1）结合函数y1的图象，确
定当x取什么值时，y1＞0，
y
1

＝0，y1＜0；

（2）根据（1）的结论，确定
函数
)(
2

112
yyy

关于x的解析式；
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（3）若一次函数y=kx+b（k≠
0）的图象与函数y2的图象交
于三个不同的点，试确定实数
k与b
应满足的条件。