刚体的转动课后习题答案

第五章 刚体的转动5-1 在图5-21中，一钢缆绕过半径为0.4 m 的定滑轮吊着一个升降机，钢缆不打滑. 假设升降机以0.5 m/s 2的加速度向上提升.（1）求滑轮的角加速度.（2）如果滑轮转三周，问从静止开始的加速运动持续了多长时间？（3）求当t =2 s 时，轮缘上一点的瞬时加速度（切向和法向加速度）.解：（1）由于钢缆与滑轮间无相对滑动，轮缘上各点的切向加速度与升降机的加速度相同，即a a t ==0.5m/s 2, 22rad/s25.1rad/s4.05.0===Ra t β（2）由于滑轮作匀角加速运动，角位移 20021t t βωθθ+=-已知rad 63220πππθθ=⨯==-n ，且00=ω，故s 5.5s 49.525.162)(20≈=⨯=-=s t πβθθ（3）由t βωω+=0，可知rad/s t 25.1==t βω，法向加速度2222222m/s625.0m/s4.0)25.1(t t R t R a n =⨯===βωt=2s 时，222m/s5.2m/s2625.0=⨯=n a又2m/s 5.0=t a ，∴ 总加速度为222222m/s55.2m/s 5.05.2=+=+=t n a a a︒====---4.63225.05.0111tgtga a tgnt αα为总加速度与法线方向的夹角.5-2轮A 半径r A =15cm ，轮B 半径r B =30cm ，两轮通过一皮带耦合，如图5-22所示. 轮A 从静止开始以恒定的角加速度1.2rad/s 2转动，问从开始运动30s 后轮B 的转速（min /rev ）是多大？假定皮带不打滑. 解：由于皮带与两个轮的轮缘间无相对滑动，所以两轮轮缘上各点的切向加速度相等，设等于t a ，两轮的角加速度分别为A β和B β，由角量与线量的关系有B B A A t r r a ββ==22rad/s6rad/s123015=⨯==ABA B r r ββs 30=t 时rad/s 180rad/s 630=⨯==t B B βω而n B πω2=，故rev/min 17192601802=⨯==ππωBB n5-3一匀质园盘从静止开始以恒定的角加速度绕过盘心的竖直轴转动，某一时刻的转速为10rev/s.再转100转后，转速达20rev/s. 试求（1）园盘的角加速度；（2）从静止到转速为15rev/s 所需的时间；（3）在第（2）向的过程中园盘转了多少圈？ 解：（1）由匀角加速运动的规律可知角加速度22222122rad/s42.9rad/s321002)210()220(2==⨯⨯⨯-⨯=-=ππππθωωβ（2）所需时间s 103215=⨯==ππβωt（3）由πθ2=n ，2022ωωθβ-= 及00=ω rev 75rev 35.22322)215(22122==⨯⨯⨯=⨯=πππβωπn5-4 6个质量均为m 的粒子与6根长度均为d 的轻杆组成一个正6边形的刚体，如图5-23所示. 计算该刚体关于如下转轴的转动惯量：（1）转轴通过任意相邻的粒子；（2）转轴通过任意粒子且与6边形的平面垂直.解：这是质量呈分立分布的刚体，由转动惯量的定义2i i r m I ∑∆=其中i r 为i m ∆到转轴的垂距，可计算如下：（1）221)3(2)23(2d m d m I +=225.7)343(2mdmd=+=（2）2222)2()3(22d m d m mdI ++=2212)42(md b md=++= 解5-4图5-5 三根长度均为l 的细杆组成一个等边三角形刚体ABC 如图5-24所示. 计算其关于中线的转动惯量. 假定杆的单位长度质量为λ.解：AB BC I I I 2+=已知BC 关于图中转轴的转动惯量为32212)(121121l ll mlI BC λλ===而⎰⎰==l r m r I AB d 22λ，其中r r dl d 260cos d =︒=∴ ⎰⎰=⋅==ll AB l r rl r I 02/032212d 2d λλλ∴3334122122l llI I I AB BC λλλ=⨯+=+=解5-5图5-6一个半径为R 的匀质半园环的质量为m ，计算其关于如图5-25中所示的轴的转动惯量. 解：这是质量连续分布的刚体，取如图质元l Rml m d d d πλ==θmRmRd d πθπ==m d 与转轴的垂距θsin R r =∴⎰⎰⋅==2/0222d sin2d πθπθmR m r I⎰=2/02d 22cos 2πθθπH mR解5-6图⎰⨯+=smRmR /0222d 222cos 2πθθπ22mR =5-7在图5-26中，一匀质园盘安装在固定的水平轴上，园盘半径R =20cm ，质量M =3kg.园盘边缘上绕着轻绳，轻绳下端悬挂着一个质量m =1.0kg 的物体.（1）求物体下落的加速度，园盘的角加速度以及绳中的张力；（2）物体下落3m 所需的时间. 解：（1）忽略轴处可能存在的摩擦，盘受的合外力矩M =TR ，对园盘用转动定理，对物体用牛顿第二定律，并注意到物体下落的加速及t a a =，列方程组如下βI TR =①ma T mg =-②R a a t β==③ 221MRI =④ 联立①②③④解5-7图解得22m/s92.3m/s1230.128.922=⨯+⨯⨯=+⋅==mM m g a a t角加速度 2rad/s 6.192.092.3===Ra t β张力N 88.5N 12338.90.12=⨯+⨯⨯=+⋅=mM Mmg T（2）由题意知，物体从静止下落，由于a 为恒量，由221ath =可得所求时间为s 24.192.3322=⨯==ah t5-8唱机的转盘由电机驱动，转盘以恒定的角加速度在 2.0秒内从零加速到min /rev 3133. 均质转盘质量为1.5kg ，半径1.2cm. 为驱动转盘所需的关于转轴的力矩多少？如果驱动轮的外缘与转盘相接触，如图5-27所示. 求驱动轮必须施予转盘的法向力是多大？假定两轮间的摩擦系数7.0=μ.解：由题意可知角速度rad/s 49.36023133=⨯=πω 角加速度2rad/s75.10.249.3==∆∆=t ωβ转动惯量2222kgm1008.1)2.0(5.12121-⨯=⨯⨯==MRI 解5-8图由转动定理可得驱动转盘所需的力矩为222kgm1089.1Nm 75.11008.1--⨯=⨯⨯==βI M产生这个力矩的力必在切向，如图所示N 158.0N 1075.1512.01089.122=⨯=⨯==--R M F t由切向力与正压力（沿法向指向园心）的关系N F t μ=知驱动轮必须施予转盘的法向力N 226.0N 7.0158.0===μtF N5-9两个质量为m 的物体悬挂在一刚性轻杆两端，杆长为l 1+l 2，其中l 2=3l 1，如图5-28所示，初始时使杆处于水平位置，杆与物体保持静止，然后释放.求两个物体刚开始运动时的加速度. 解：如图设轻杆两端的轻绳中张力分别为T 1和T 2，刚开始运动的瞬间两物体的加速度分别为a 1和a 2，由转动定理和牛顿第二定律，列方程组如下： 02211=-l T l T ① （轻杆转动惯量I ≈0） 22ma T mg =- ②11ma mg T =-③∵ r a a t β== ∴31212==l l a a ④从①得31221==l l T T ①′ 解5-9图将①′代入②得 2121ma T l l mg =-∴ )(2121a g m l l T -⋅=②′将②′和④代入③化简得22112122m/s88.5533/132)//()1/(==+=+-=g l l l l g l l a222211m/s96.1m/s88.531=⨯=⋅=a l l a5-10一长度为L 的匀质细杆最初垂直地立在地板上，如图5-29所示.如果此杆倾倒，试求杆撞击地板时的角速度是多大？假定杆与地板的接触端不发生滑动.解：设杆的质量为m ，则其对O 轴的转动惯量231mL I =，重力到O 轴的垂距为θsin 2L r =，故重力对O 的力矩为θθπSin L mgL mg M 2)sin(2=-⋅=沿顺时针方向，由转动定理βI M =我们有ββθ⋅==231sin 2mLI L mg∴θβsin 23Lg =又 td d ωβ=，t d d βω=，即ωθθθθθβωd sin 23d d d sin 23d d Lg t Lg t =⋅== 分离变量积分 ⎰⎰=πωθθωω0d sin 23d Lg可得L g /)cos 1(3θω-=解5-10图将杆倒地时的 ︒=90θ 代入上式，得 L g /3=ω5-11图5-30表示飞轮的制动装置包括一个制动杆和一个制动靴.飞轮质量为50 kg ，半径为0.5m ，以1200 rev/min 的速率旋转.当给制动杆末端施加100N 的制动力时，使飞轮停止转动所需多长时间？设飞轮与制动靴之间的摩擦系数5.0=μ.解：本题涉及两个刚体，一个是飞轮，另一个是制动杆，由题意知，合外力矩使飞轮产生角加速而制动，而作用在杆上的力矩则保持平衡，设杆受到的正压力为N ′，轮受到的正压力为N ，根据转动定理M = I β，我们有摩擦力μf 对飞轮的定轴O ，的力矩ββμ221mR I R f ==-① N f μμ=②对制动杆的定轴A ，F 和N '的力矩平衡0)(121=⨯'-+⨯l N l l F③ N N -='④由③得N 2501004.00.1)(121=⨯=⋅+='F l l l N ⑤解5-11图又由①可得 mRf μβ2-=⑥将N =250 N ，m =50 kg 代入②及⑥中可得22rad/s25rad/s2.0502505.0222-=⨯⨯⨯-='-=-=mRN mRf μβμ由于β为恒量，可由匀角加速运动公式t t βωω=-0，即βωω0-=t t其中0=t ω，n πω20=，将已知min /rev 1200=n 代入上式可得 s 5.03s )25(60120020≅-⨯⨯-=πt5-12一个倾角为ϕ的光滑斜面上安装着转动惯量为I 的定滑轮，斜面上质量为m 1的物体系在一绕在轮轴上的轻绳的一端，另一质量为m 2的物体则由缠绕在轮缘上的另一轻绳悬挂着，当m 2下降时，m 1则被拉上斜面，如图5-31所示.定滑轮的半径为R =0.3m 而其轴的半径为r =0.1m.试计算滑轮的角加速度 解：在图中标出了m 1，m 2和滑轮的受力情况，其中T 1、T 2分别为两轻绳中的张力，对轮及两质点分别应用转动定理和牛顿第二定律，可列如下方程βI r T R T ='-'12① 1111sin a m g m T =-ϕ ② 2222a m T g m =- ③ r a β=1④R a β=2⑤解5-12图'-=11T T ， '-=22T T⑥ 由②及④可得 )sin (11ϕβg r m T -= ⑦ 由③及⑤可得)(22R g m T β-=⑧将⑦、⑧代入①得 βϕββI g r r m R g R m =---)sin ()(12 整理为)(sin 212212r m Rm I gr m gR m ++=⋅-βϕ解得 212212sin rm Rm I gr m gR m ++⋅-=ϕβ将m R 3.0=，m r 1.0=及2m/s8.9=g 代入上式，得111201.009.0sin 98.094.2m m I m m ++-=ϕβ5-13计算习题5-8中，力矩在加速过程中所作的功和平均功率.解：由转动动能定理 2122122121ωωI I E E W k k -=-=，可得力矩的功为J 1058.6J )49.3(1008.1210212222--⨯≅⨯⨯⨯=-=ωI W平均功率 W 1029.30.21058.622--⨯=⨯==tW p5-14一蒸汽机飞轮的质量为200kg ，半径为1m ，如果当转速达150rev/min 时阀门被关闭，设作用于飞轮轴处的平均摩擦力矩是5m.N ，计算（1）飞轮停止转动前力矩所作的功；（2）关闭阀门后经多长时间飞轮即可停止转动. 解：（1）关闭阀门时飞轮的角速度为rad/s 7.1560/150220=⨯==ππωn由转动动能定理，2022121ωωI I W -=，其中0=ω，得飞轮停止转动前摩擦力矩作的功：J 12324J 7.15120021212102220-=⨯⨯⨯⨯-=-=ωI W（2）由于力矩是恒定的，平均角加速度也是恒定的，故有βω0=t ，其中 IM =β则有 min 2.5s 31461200217.15200≅=⨯⨯⨯===MI t ωβω5-15试用转动动能定理再解习题5-10. 解：根据转动动能定理和力矩的功的定义⎰-==022121d ωωθI I M W在解5-10图中，重力对水平轴O 的力矩为θsin 2l mg M =， 则有当杆的角位置为θ时，重力矩的功 ⎰-==θθθθ0)cos 1(21d sin 2mgl l mg W此时角速度为ωO I W -=221ω即 223121)cos 1(21ωθ⋅⨯=-mlmgl可得l g /)cos 1(3θω-=当杆倒地时，︒=90θ， 代入上式可得l g /3=ω由角加速度θθωωθθωωβsin 23d d d d d d d d lg tt ==⋅==当︒=90θ时 lg 23=β.5-16在图5-32中，长为1.0m 的匀质杆最初静止于竖直位置，然后杆的下端获得一初始线速度0v ，使得杆绕水平固定轴O 开始旋转.试求为使杆至少完成一周的旋转，0v 的最小值是多大？ 解：当杆通过πθ=的角位置时角速度0≥ω，即可至少完成一周的旋转，设这过程中重力作的功为W ，即2021ωI O W -≥ ① 而重力的元功 θθd sin 21d ⋅⋅-=mg l Wmgl lmgW W =-==⎰⎰θθπd sin 21d 0②将②及231ml I =，l /00v =ω代入①可得7.67m/s m/s 18.9660=⨯⨯==gl v 解5-16图5-17明渠中的流水驱动着水车的叶轮，叶轮半径2.0m ，如图5-33所示.水流到达叶轮的速度是6.0m/s ，离开叶轮的速度是3.0m/s ，水流量为每秒300kg.（1）水流作用于叶轮的力矩有多大？（2）如果叶轮边缘的速度是3m/s ，传送给叶轮的功率是多大？解：（1）考虑水的一个小质元d m 沿切向速度以v 1冲向水平的叶片，离开时速率减为v 2，该质元对水车中心的角动量增量为0)(d )d ()d (1212<-=-R m R m R m v v v v ，这是因为叶片的反作用力矩所致，由合外力矩与角动量对时间变化率的关系，可知R tm tL M )(d d d d 12v v -==其中tm d d 是每单位时间流经水车的水质量，即水的流量.由作用反作用定律，水作用在水轮机叶片上的力矩为m N 101.8m N 2)0.30.6(300)(d d 321⋅⨯=⋅⨯-⨯=-=-='R tm M M v v（2）水流传递给叶轮的功率为 RMM tMtW P v ====ωθd d d dkW 7.2W 107.223108.133=⨯=⨯⨯=5-18一个人坐在可绕竖直轴自由转动的转椅上，开始时，人静止地坐在转椅上，用手握住一转盘的中心轴，转盘以4rev/s 的角速度旋转，其转轴在竖直位置，角动量i L 的方向向上，如图5-34所示.如果此人将转盘的轴倒置会发生什么现象？假定轮盘对其中心轴的转动惯量是1kg.m 2. 解：由于系统是孤立的，对竖直轴的外力矩为零，所以系统对该轴的总角动量守恒.==∑i L L 常量人将转盘轴倒置后，转盘的角动量变为i L -，设在相互作用过程中，系统获得的角动量为L ，则后来的总角动量为L -L i ，由于系统总角动量守恒，即i i L L L -=从而 L =2L i设系统对转椅轴共同的角速度为ω，则有ωI L = 即人将转盘轴倒置后，整个系统将绕转椅的竖直轴以角速度ω旋转rev/s 6.154122=⨯⨯===IL I L i ω其中转盘的初角动量11ωI L i =，21kgm 1=I ，rev/s 41=ω.5-19一质量为M ，半径为R 的匀质园盘以角速度ω绕过其中心的竖直轴旋转，如果盘缘质量为m ∆的一小块破裂并飞离园盘，如图5-35所示，（1）园盘的角动量在边缘破损后变成多大？（2）小块被抛出多远？假定园盘与地面的距离为h .解：在盘缘破损过程中，对轴的合外力矩为零，故总角动量守恒 =∑ωI 常量 设盘后来的转动惯量为I ′，角速度为ω′，则有ωωω2mR I I ∆+''=即ωωω2222)21(21mR mRMRMR ∆+'∆-=ωωω=∆-∆-='222221)21(mRMRmRMR园盘的角动量变为 ωω)21(22mRMRI L ∆-=''='（2）小块m ∆作平抛运动221gt h =，gh t 2=故m ∆被抛出的水平距离为gh RRt t S 20ωω===v5-20一质量为M ，半径为R 的匀质园台，可以绕过中心的竖直轴无摩擦地旋转.假定初始时一个人静止地站在台边缘处，然后沿园台边缘行走.(1)如果此人步行一周回到台面的初始位置，园台将转过多大角度？（2）如果此人回到相对于地面的初始位置，园台又将转过多大角度？ 解：∵ 运动过程中对竖直轴的合外力矩 M =0，∴ 系统总角动量守恒=∑L 常量. （1）园台将沿相反方向相对地面旋转，设任意时刻人、台对地面的角速度分别为ω和Ω，∵ 0=∑i L ，∴ 任意时刻有 02122=Ω-MR mR ω①又设人对台的相对角速度为ω'，由速度合成定理Ω-'=ωω ②将②代入①得 021)(22=Ω-Ω-'MR mRω解得ω'+=ΩmM m 21 ③设H 为台对地的角坐标，θ'为人对台的角坐标，则Ω=Θtd d ，ωθ'=td d④将④代入③，两边积分 ⎰⎰'+=ΘHm M m 020d 22d πθ得台转过的角度π222⋅+=ΘmM m（2）设人对地的角坐标为θ，则有人对地的角速度 td d θω=，将 td d θω=和 td d Θ=Ω代入①式，得Θ=d 21d 22MR mR θ 对两边积分得⎰⎰Θ=πθ2022d 21d HMRmR这次台对地转过的角度为π22⋅=ΘM m显然，第二种情况园台转过的角度大些. 5-21两个飞轮A 和B 可以通过轮轴上的摩擦离合器连接或分离，如图5-36所示.当两轮分离时，B 轮静止，而A 轮角度速度达600rev/min ，然后连接离合器，B 轮开始加速而A 轮减速，直到两轮具有相同的角速度240rev/min.当连接完成时，离合器片发出的热量是2000J ，分别求出两轮的转动惯量. 解：在连接过程中，合外力矩M=0（离合器片作用的摩擦力矩为内力矩）∴系统总角动量守恒f i L L ∑=∑. 即21)(ωωB A A I I I +=①由于相互作用是完全非弹性的，动能不守恒，由能量守恒与转化定律，动能的减少量即为摩擦产生的热量Q I I I E B A A k =+-=∆2221)(2121ωω②从①可得221)(ωωωB A I I =-B B B A I I I I 32240600240212=⋅-=⋅-=ωωω③把J Q E k 2000==∆和③代入②，得2000)123(21212221=+-ωωA A I I 解得2222kgm69.1kgm)42(25)102(4000=⨯⨯-⨯=ππA I其中用到 10rev/srev/min6001==ω， rev/s 42=ω.由③得2kgm53.223==A B I I。