2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级(上)期中数学试卷
湖北省武汉市青山区2021-2022学年八年级(上)期末数学试卷及答案解析
2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷一、你一定能选对！（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑。
1．（3分）下列图书馆标志的图形中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）要使分式有意义，则x的取值应满足（）A．x≠2B．x≠1C．x＝2D．x＝﹣13．（3分）2020年12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行1m大约需要0.0000893s．数据0.0000893s用科学记数法表示为（）A．8.93×10﹣5B．893×10﹣4C．8.93×10﹣4D．8.93×10﹣7 4．（3分）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）A．x2+2x+3＝x（x+2）+3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1C．y2﹣3y﹣4＝（y﹣4）（y+1）D．5．（3分）下列各式中计算结果为x6的是（）A．x2+x4B．C．x2•x4D．x12÷x26．（3分）若一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形是（）A．四边形B．七边形C．六边形D．五边形7．（3分）分式可变形为（）A．B．C．D．8．（3分）在等腰△ABC中，∠A＝70°．则∠B的度数不可能为（）A．40°B．50°C．55°D．70°9．（3分）已知a+b＝5，ab＝3，则的值为（）A．B．C．D．10．（3分）如图，在△ACD中，∠CAD＝60°，以AC为底边向外作等腰△ABC，∠BAC+∠ADC＝60°，在CD上截取DE＝AB，连接BE．若∠BEC＝30°，则∠BAC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.11．（3分）计算30＝．12．（3分）点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是．13．（3分）计算：＝．14．（3分）如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC垂足为E，CD，BE交于点F，DF＝2，则BE＝．15．（3分）对于二次三项式x2+mx+n（m、n为常数），下列结论：①若n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）2，则a＝6；②若m2＜4n，则无论x为何值时，x2+mx+n都是正数；③若x2+mx+n＝（x+3）（x+a），则3m﹣n＝9；④若n＝36，且x2+mx+n＝（x+a）（x+b），其中a、b为整数，则m可能取值有10个．其中正确的有．（请填写序号）16．（3分）如图，等腰△ABC的底边BC的长为6cm，面积是24cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若D为边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM周长的最小值为_________cm．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级(上)期中数学试卷(含答案)
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）A．清华大学B．北京大学C．中国人民大学D．浙江大学2．（3分）下列图形中，具有稳定性的是（ ）A．平行四边形B．梯形C．正方形D．直角三角形3．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）A．B．C．D．4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°5．（3分）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS6．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠C ＝70°，△AB 'C '与△ABC 关于直线AD 对称，∠CAD ＝10°，连接BB '，则∠ABB '的度数是（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°7．（3分）如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的最大周长为（ ）A ．20B ．22C ．23D ．248．（3分）下列条件中，能构成钝角△ABC 的是（ ）A ．∠A ＝∠B ＝∠CB ．∠A +∠C ＝∠B C ．∠B ＝∠C =14∠AD ．∠A =12∠B =13∠C 9．（3分）如图，在第1个△A 1BC 中，∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，在边A 1B 上任取一点D ，延长CA 1到A 2，使A 1A 2＝A 1D ，得到第2个△A 1A 2D ；在边A 2D 上取一点E ，延长A 1A 2到A 3，使A 2A 3＝A 2E ，得到第3个△A 2A 3E …按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A 2021为顶点的内角度数是（ ）A ．（12）2019•75°B ．（12）2020•75°C ．（12）2021•75°D ．（12）2022•75°10．（3分）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB 和∠BAC 的平分线交于点O ，过点A 作AD ⊥AO 交CO 的延长线于点D ，若∠ACD ＝α，则∠BDC 度数为（ ）A．45°﹣αB．90°―α2C．90°﹣2αD．a2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知点A（2，a）与点B（b，4）关于y轴对称，则a+b＝ ．12．（3分）一个正多边形的每一个内角都是108°，则它是正 边形．13．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是 ．14．（3分）若三角形的一个内角是另一个内角的3倍，我们称此三角形为特异三角形”，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异三角形”最小内角度数为 ．15．（3分）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC．其中正确的结论是 ．（填序号）16．（3分）如图，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB边上取点D，连接DE，DE＝AC，若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，则BC＝ ．三、解答题（本大题共8个题，共72分）17．（8分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：AD＝3BD．20．（8分）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE．21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（0，﹣1）．（1）直接写出△ABC的面积为 ；（2）画出△ABC关于y轴的对称的△DEC（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为 ；（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．①作出△ABC的高线AF；②在边BC上确定一点P，使得∠CAP＝45°．22．（10分）已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD．（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF．23．（10分）已知，点C为线段AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，以BC为边在AB的上方作等边△BCE，接AE，交BD于点G，求∠AGB的度数；（2）如图2，在（1）的条件下连接CG，求证：CG+DG+EG＝AE；（3）如图3，点K在线段BD上，∠BKC＝60°，点H为线段AD上，AH＝BC，AK，CH交于点I，BD ＝a，AK＝b，则IK＝ ．（用含a，b的式子表示）24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B在y轴上，以B为直角顶点；在AB上方作等腰Rt△ABC．（1）如图1，若点B的坐标为（0，1），则C点的坐标是 ．（2）如图2，若点B在y轴正半轴上，OD平分∠AOB交AC于D，求证：AD＝CD；（3）如图3，若点B为y轴上的一个动点，连接OC，当AC+OC值最小时，求B点坐标．2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）A．清华大学B．北京大学C．中国人民大学D．浙江大学【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．（3分）下列图形中，具有稳定性的是（ ）A．平行四边形B．梯形C．正方形D．直角三角形【解答】解：根据三角形具有稳定性，可知四个选项中只有直角三角形具有稳定性的．故选：D．3．（3分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．故选：D．4．（3分）已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）A．72°B．60°C．58°D．50°【解答】解：∵两个三角形全等，∴∠α的度数是72°．故选：A．5．（3分）如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：由作图可知，OA＝OC，AB＝CB，在△AOB和△COB中，OA=OCAB=CB，OB=OB∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠BOA＝∠BOC，故选：A．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，△AB'C'与△ABC关于直线AD对称，∠CAD＝10°，连接BB'，则∠ABB'的度数是（ ）A．45°B．40°C．35°D．30°【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∵△AB'C'与△ABC关于直线AD对称，∴∠BAC＝∠B′AC′＝40°，∠CAD＝∠C′AD＝10°，∴∠BAB′＝40°+10°+10°+40°＝100°，∵AB＝AB′，∴∠ABB′=12（180°﹣100°）＝40°，故选：B．7．（3分）如果三角形的两边长分别为5和7，第三边长为偶数，那么这个三角形的最大周长为（ ）A．20B．22C．23D．24【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，2＜a＜12．由于第三边的长为偶数，则a可以为4或6或8或10．∴这个三角形的最大周长为5+7+10＝22．故选：B．8．（3分）下列条件中，能构成钝角△ABC的是（ ）A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A+∠C＝∠BC．∠B＝∠C=14∠A D．∠A=12∠B=13∠C【解答】解：A．根据三角形内角和定理，由∠A＝∠B＝∠C，得∠A＝∠B＝∠C＝60°，故△ABC是锐角三角形，那么A不符合题意．B．根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，得2∠B＝180°，故∠B＝90°，即△ABC是直角三角形，那么B不符合题意．C．根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝∠C=14∠A，得∠A+14∠A+14∠A=180°，故∠A＝120°，此时△ABC是钝角三角形，那么C符合题意．D．根据三角形内角和定理，由∠A+∠B+∠C＝180°，∠A=12∠B=13∠C，得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，此时△ABC是直角三角形，那么D不符合题意．故选：C．9．（3分）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A 2A 3E …按此做法继续下去，则第2021个三角形中以A 2021为顶点的内角度数是（ ）A ．（12）2019•75°B ．（12）2020•75°C ．（12）2021•75°D ．（12）2022•75°【解答】解：∵∠B ＝30°，A 1B ＝CB ，∴∠BA 1C ＝∠C ，30°+∠BA 1C +∠C ＝180°．∴2∠BA 1C ＝150°．∴∠BA 1C =12×150°＝75°．∵A 1A 2＝A 1D ，∴∠DA 2A 1＝∠A 1DA 2．∴∠BA 1C ＝∠DA 2A 1+∠A 2DA 1＝2∠DA 2A 1．∴∠DA 2A 1=12∠BA 1C =12×12×150°．同理可得：∠EA 3A 2=12∠DA 2A 1=12×12×12×150°．…以此类推，以A n 为顶点的内角度数是∠A n ＝（12）n ×150°＝（12）n ﹣1×75°．∴以A 2021为顶点的内角度数是（12）2020×75°．故选：B ．10．（3分）如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB 和∠BAC 的平分线交于点O ，过点A 作AD ⊥AO 交CO 的延长线于点D ，若∠ACD ＝α，则∠BDC 度数为（ ）A．45°﹣αB．90°―α2C．90°﹣2αD．a2【解答】解：∵AB＝AC，∠ACD＝α，OC平分∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2α，∵∠ACB和∠BAC的平分线交于点O，∴∠OBC＝∠OBA＝∠OCB＝α，∴∠DOB＝∠OBC+∠OCB＝2α，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣4α，∴∠BOA＝90°﹣2α，∵AD⊥AO，∴∠DAB＝∠DOB＝2α，∴O、A、D、B四点共圆，∴∠BDC＝∠DOA＝90°﹣2α．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）已知点A（2，a）与点B（b，4）关于y轴对称，则a+b＝ 2 ．【解答】解：由题意得，a＝4，b＝﹣2，则a+b＝4+（﹣2）＝2，故答案为：2．12．（3分）一个正多边形的每一个内角都是108°，则它是正 五 边形．【解答】解：180°﹣108°＝72°，360°÷72°＝5．故答案为：五．13．（3分）已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是 22或26 ．【解答】解：当6为底时，其它两边都为6，10、10可以构成三角形，周长为26；当6为腰时，其它两边为6和10，可以构成三角形，周长为22．故答案为：22或26．14．（3分）若三角形的一个内角是另一个内角的3倍，我们称此三角形为特异三角形”，若一个“特异三角形”为直角三角形，则这个“特异三角形”最小内角度数为 22.5°或30° ．【解答】解：设这个“特异三角形”最小内角的度数为x，则另外两个内角分别是3x、90°或3x＝90°、90°﹣x．当“特异三角形”三个内角的度数分别为x、3x、90°，∴x+3x+90°＝180°．∴x＝22.5°．当“特异三角形”三个内家的度数分别为x、90°、90°﹣x．∴3x＝90°．∴x＝30°．∴90°﹣x＝60°．此时，三个内角的度数分别为30°、60°、90°．∴这个“特异三角形”最小内角度数为30°．综上：这个“特异三角形”最小内角度数为22.5°或30°．故答案为：22.5°或30°．15．（3分）如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC．其中正确的结论是 ②③④ ．（填序号）【解答】解：∵OE，OF分别是AB，AC边的中垂线，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC＝OA，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA，∵∠OAB+∠OBA+∠OBC＝∠OCB+∠OAC＝∠OCA＝180°，∴∠OBA +∠OBC +∠OCA ＝90°，∴∠ABC +∠ACO ＝90°，故②正确；∵∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ，∴∠OBC ＝2∠IBC ，∠OCB ＝2∠ICB ，∴∠IBC ＝∠ICB ，∴BI ＝CI ，∴点I 在BC 的垂直平分线上，∵OB ＝OC ，∴点O 在BC 的垂直平分线上，∴OI ⊥BC ，故④正确；∵OI 是BC 的垂直平分线，且点O ，点I 不重合，∴OC ≠IC ，∴AO ≠IC ，故①错误；∵OB ＝OC ，OI 是BC 的垂直平分线，∴∠BOI ＝∠COI ，故③正确；故答案为②③④．16．（3分）如图，在△ABC 中，AH 是高，AE ∥BC ，AB ＝AE ，在AB 边上取点D ，连接DE ，DE ＝AC ，若S △ABC ＝5S △ADE ，BH ＝1，则BC ＝ 52 ．【解答】解：过点E 作EP ⊥BA ，交BA 的延长线于P ，∴∠P ＝∠AHB ＝90°，∵AE ∥BC ，∴∠EAP ＝∠CBA ，在△AEP和△BAH中，∠P=∠AHB∠PAE=∠BAE=AB，∴△AEP≌△BAH（AAS），∴PE＝AH，在Rt△DEP和Rt△CAH中，DE=ACPE=AH，∴Rt△DEP≌Rt△CAH（HL），∴CH＝DP，S△ACH＝S△APE，∵S△ABC＝S△ABH+S△AHC＝2S△ABH+S△ADE＝5S△ADE，∴S△ABH：S△ADE＝2：1，∴BH：AD＝2：1，∵BH＝1，∴AD=1 2，∴DP＝CH＝1+12=32，∴BC＝BH+CH＝1+32=52，故答案为：5 2．三、解答题（本大题共8个题，共72分）17．（8分）如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求证：AC＝DF．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC与△DEF中，∠A=∠D∠B=∠DEFBC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．18．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【解答】解：设∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，求证：AD＝3BD．【解答】证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，AB＝2BC，∵CD⊥AB，∴∠DCB＝30°，∴BC＝2BD，∴AB＝4BD，∵AB＝AD+BD，∴AD＝3BD．20．（8分）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD 交于点D ，连接CD ．求证：①AB ＝AD ；②CD 平分∠ACE ．【解答】证明：①∵AD ∥BE ，∴∠ADB ＝∠DBC ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD ；②∵AD ∥BE ，∴∠ADC ＝∠DCE ，由①知，AB ＝AD ，又∵AB ＝AC ，∴AC ＝AD ，∴∠ACD ＝∠ADC ，∴∠ACD ＝∠DCE ，∴CD 平分∠ACE ．21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A （﹣3，3），B （﹣4，﹣2），C （0，﹣1）．（1）直接写出△ABC 的面积为 192 ；（2）画出△ABC 关于y 轴的对称的△DEC （点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），点E 的坐标为 （4，﹣2） ；（3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作图（保留作图痕迹）．①作出△ABC 的高线AF ；②在边BC 上确定一点P ，使得∠CAP ＝45°．【解答】解：（1）S△ABC＝4×5―12×1×5―12×1×4―12×3×4=192，故答案为：19 2；（2）如图，△DEC即为所求，E（4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）；（3）①如图，线段AF即为所求．②如图，点P即为所求．22．（10分）已知，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BD＝BE，连接CD．（1）如图1，若∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，求证：AD＝DE；（2）如图2，点F在AD上，连接EF，若∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，求证：AD＝EF．【解答】证明：（1）∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∴∠ADE＝∠CED，∵∠CAD＝∠CED＝2∠ADC，∴∠ADC＝∠EDC=12∠CED=12∠ADE，在△ADC和△EDC中，∠CAD=∠ED∠ADC=∠EDCCD=CD，∴△ADC≌△EDC（AAS），∴AD＝DE；（2）在EC上截取EG＝DF，连接DG，如图2所示：∵BD＝BE，∴BD+DF＝BE+EG，即BF＝BG，在△BDG和△BEF中，BD=BE∠B=∠BBG=BF，∴△BDG≌△BEF（SAS），∴DG＝EF，∠BGD＝∠BFE，∠BDG＝∠BEF，∴∠ADG＝∠CEF，∠CGD＝∠AFE，∵∠CAD＝∠AFE，∠CEF＝2∠ADC，∴∠ADC=12∠CEF=12∠ADG＝∠GDC，∠CAD＝∠CGD，在△ADC和△GDC中，∠CAD=∠CGD∠ADC=∠GDCCD=CD，∴△ADC≌△GDC（AAS），∴AD＝GD，∴AD＝EF．23．（10分）已知，点C为线段AB上的一点，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，以BC为边在AB的上方作等边△BCE，接AE，交BD于点G，求∠AGB的度数；（2）如图2，在（1）的条件下连接CG，求证：CG+DG+EG＝AE；（3）如图3，点K在线段BD上，∠BKC＝60°，点H为线段AD上，AH＝BC，AK，CH交于点I，BD＝a，AK＝b，则IK＝ b―12a ．（用含a，b的式子表示）【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△DCB中，AC=CD∠ACE=∠DCBCE=CB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴∠CAE＝∠CDB，∴∠EAC+∠CBD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°，∴∠AGB＝180°﹣（∠EAC+∠ABG）＝180°﹣60°＝120°；（2）作∠GCF＝60°，交AE于F，∴∠ACF＝∠DCG，由（1）知∠CAE＝∠CDB，又∵AC＝CD，∴△ACF≌△DCG（ASA），∴DG＝AF，CF＝CG，∵∠FCG＝60°，∴△FCG是等边三角形，∴CG＝FG，∴AE＝AF+FG+GE＝DG+CG+GE；（3）如图，以BC为边作等边△BCE，连接AE，交BD于K'，由（1）（2）可知：∠AK'C＝∠BK'C＝60°，AE＝BD，∵∠BKC＝60°，∴点K、K'重合，∵∠DAC＝∠ECB＝60°，∴AD∥CE，∴∠DAI＝∠CEI，又∵AH＝CB，CB＝CE，∴AH＝CE，且∠AIE＝∠CIE，∴△AHI≌△ECI（AAS），∴AI＝IE=12AE=12a，∴IK＝AK﹣AI＝b―12 a，故答案为：b―12 a．24．（12分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B在y轴上，以B为直角顶点；在AB上方作等腰Rt△ABC．（1）如图1，若点B的坐标为（0，1），则C点的坐标是 （1，4） ．（2）如图2，若点B在y轴正半轴上，OD平分∠AOB交AC于D，求证：AD＝CD；（3）如图3，若点B为y轴上的一个动点，连接OC，当AC+OC值最小时，求B点坐标．【解答】（1）解：过点C作CH⊥y轴于H，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠HBC，又∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴OA＝BH，BO＝HC，∵点A的坐标为（3，0），B的坐标为（0，1），∴OA＝3，OB＝1，∴OH＝OB+BH＝3+1＝4，CH＝OB＝1，∴点C（1，4），故答案为：（1，4）；（2）证明：作CH⊥y轴于H，交OD的延长线于E，由（1）知△ABO≌△BCH，∴OA＝BH＝3，OB＝HC，设OB＝HC＝m，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠HOE，∵HE∥OA，∴∠E＝∠AOE，∴∠HOE＝∠E，∴HE＝OH，∵OB＝HC，∴CE＝BH＝OA，又∵∠CDE＝∠ADO，∴△EDC≌△ODA（AAS），∴AD＝CD；（3）解：设OB＝m，由（1）知C（m，m+3），∴点C在直线y＝x+3上运动，设直线y＝x+3交x、y轴于F、G点，则OF＝OG＝3，∴∠GFO＝∠FGO＝45°，作点O关于直线CF的对称点O'，则∠OFO'＝90°，O'F＝OF＝3，∴O'（﹣3，3），∴AC+OC值最小时，点O'、B、A共线，由O'（﹣3，3），A（3，0）知，直线AO'的函数解析式为y=―12x+32，直线AO'与CF的交点为C'（﹣1，2），∴点B（0，﹣1）．。
2021-2022学年人教版八年级第一学期期中考试数学试卷及答案解析
2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A ．3cm ，4cm ，8cm B ．8cm ，7cm ，15cmC ．13cm ，12cm ，20cmD ．5cm ，5cm ，11cm3．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有（ ）A ．AB 与CD 互相垂直平分 B ．CD 垂直平分ABC ．AB 垂直平分CDD ．CD 平分∠ACB4．如图，AB ＝DB ，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC ≌△DBE 的是（ ）A ．BC ＝BEB ．AC ＝DEC ．∠A ＝∠DD ．∠ACB ＝∠DEB5．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．56．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若∠A ＝40°，则∠DBC ＝（ ）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°7．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（ ） A ．15或17B ．16C ．14D ．14或168．如图，在平面直角坐标系中，AB ＝2OB ，在坐标轴上取一点P ，使得△ABP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个9．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，AB ＝10，AD ＝5，下列结论中正确的有（ ）个． ①△AFC 是等腰三角形 ②△ADF 的面积是758③点B 与点E 关于AC 对称④若直线AD 与直线CE 交于点G ，那么直线FG 垂直平分ACA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个10．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝8√5，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接AE，作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF 交线段AE于点G，则线段BG长为（）A．16√5B．16√2C．12√5D．12√2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是．12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为．13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝．14．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝°．15．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为cm2．16．下列说法中正确的是（只填番号）①一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形是四边形；②方程2x+y＝7在正整数范围内的解有3组；③关于x的不等式abx＞1的解集为x＜1ab，则a、b中至少有一个是负数；④直角三角形两锐角平分线相交，所成的钝角的度数是135°三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．18．（8分）已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的34，试求此三角形的周长．19．（8分）如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC ＝BC ，DC ＝EC ，AE 与BD 交于点F ． （1）求证：AE ＝BD ； （2）求∠AFD 的度数．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．（1）画出三角形A1B1C1；（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为；（3）在直线l上画出点Q，使得QA+QC的值最小．21．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．（1）求证：AE＝EF；（2）若BE⊥AF，求证：BC＝AB﹣AD．22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．23．（10分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．24．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图②所示．①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG ＝2AE时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG、DE，若AE＝1，AB＝2，求BG2+DE2的值（直接写出结果）．2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在“回收”、“节水”、“绿色食品”、“低碳”四个标志图案中．轴对称图形是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：C．2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm【解答】解：A、3+4＜8，不能组成三角形；B、8+7＝15，不能组成三角形；C、13+12＞20，能够组成三角形；D、5+5＜11，不能组成三角形．故选：C．3．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB与CD互相垂直平分B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB【解答】解：∵AC＝AD，BC＝BD，∴AB是线段CD的垂直平分线，故选：C．4．如图，AB ＝DB ，∠1＝∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC ≌△DBE 的是（ ）A ．BC ＝BEB ．AC ＝DE C ．∠A ＝∠D D ．∠ACB ＝∠DEB【解答】解：A 、添加BC ＝BE ，可根据SAS 判定△ABC ≌△DBE ，故正确；B 、添加AC ＝DE ，SSA 不能判定△ABC ≌△DBE ，故错误；C 、添加∠A ＝∠D ，可根据ASA 判定△ABC ≌△DBE ，故正确；D 、添加∠ACB ＝∠DEB ，可根据ASA 判定△ABC ≌△DBE ，故正确．故选：B ．5．如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ．若S △ABC ＝28，DE ＝4，AB ＝8，则AC 长是（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF ＝DE ＝4．又∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，AB ＝8，∴28=12×8×4+12×AC ×4， ∴AC ＝6．故选：C ．6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、点B 为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，两弧交点的连线交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接BD ，若∠A ＝40°，则∠DBC ＝（ ）A．40°B．30°C．20°D．10°【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣40°）＝70°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°，故选：B．7．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15或17B．16C．14D．14或16【解答】解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，AB＝2OB，在坐标轴上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【解答】解：如图，在Rt△AOB中，∵AB＝2OB，∴∠BAO＝30°，当P 在x 轴上时，AB ＝AP 时，P 点有两个，BP ＝AP 时，P 点有一个，AB ＝BP 时，P 点有一个当P 在y 轴上时，AB ＝BP 时，P 点有两个，BP ＝AP 时或AB ＝AP 时，和前面重合， 综上所述：符合条件的P 点有6个，故选：C ．9．如图，将长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，AB ＝10，AD ＝5，下列结论中正确的有（ ）个．①△AFC 是等腰三角形②△ADF 的面积是758③点B 与点E 关于AC 对称④若直线AD 与直线CE 交于点G ，那么直线FG 垂直平分ACA ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【解答】解：如图所示：①∵四边形ABCD 为矩形∴DC ∥AB ，∴∠FCA ＝∠CAB ，由折叠可知：∠F AC ＝∠CAB ，∴∠FCA ＝∠F AC ，∴F A ＝FC ，∴△AFC 是等腰三角形．∴①正确；②设DF ＝x ，则FC ＝F A ＝10﹣x ，AD ＝5，∴在Rt △ADF 中，x 2+52＝（10﹣x ）2，解得x =154， ∴S △ADF =12DF •AD =12×154×5=758．∴△ADF 的面积为758．∴②正确；③∵AB ＝AE ，CB ＝CE ，∴AC 是BE 的垂直平分线，∴点B 与点E 关于AC 对称．∴③正确；④如图：延长AD 和CE 交于点G ，连接GF ，∵FD＝FE，FG＝FG，∴Rt△GDF≌Rt△GEF（HL），∴GD＝GE，又AD＝CE，∴GA＝GC，FD＝FE，∴FG是AC的垂直平分线，∴④正确．故选：D．10．如图，等腰Rt△ABC中，BC＝8√5，以边AC为斜边向右做等腰Rt△ACD，点E是线段CD的中点，连接AE，作线段CE关于直线AC的对称线段CF，连接BF，并延长BF 交线段AE于点G，则线段BG长为（）A．16√5B．16√2C．12√5D．12√2【解答】解：如图，设AC交BG于O．∵∠BCA＝∠FCE＝90°，∴∠BCF＝∠ACE，∵CB＝CA，CF＝CE，∴△BCF≌△ACE（SAS），∴∠CBF＝∠CAE，∵∠BOC＝∠AOG，∴∠AGO＝∠BCO＝90°，∵△ABC，△ACD都是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠BAD＝90°，∴∠ABG+∠BAG＝90°，∠BAG+∠EAD＝90°，∴∠ABG＝∠EAD，∴tan∠ABG＝tan∠EAD=DEAD=12，∴AGBG =12，设AG＝x，BG＝2x，∵AC＝BC＝8√5，∠ACB＝90°，∴AB=√2BC＝8√10在Rt△ABG中，则有x2+（2x）2＝（8√10）2，∴x＝8√2，∴BG＝16√2，故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是（﹣1，2）．【解答】解：点P（1，2）关于y轴的对称点Q的坐标是：（﹣1，2）．故答案为：（﹣1，2）．12．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为12．【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，则这个多边形的边数为12．故答案为：12．13．如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC＝100°．【解答】解：延长BD交AC于E．∵DA＝DB＝DC，∴∠ABE＝∠DAB＝20°，∠ECD＝∠DAC＝30°．又∵∠BAE＝∠BAD+∠DAC＝50°，∠BDC＝∠DEC+∠ECD，∠DEC＝∠ABE+∠BAE，∴∠BDC＝∠ABE+∠BAE+∠ECD＝20°+50°+30°＝100°．故答案为：100°．14．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD＝45°．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD＝45°，∴∠PCD＝45°．故答案为：45°．15．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，EF经过点O，分别交AB，AC于点E，F，BE＝OE，OF＝3cm，点O到BC的距离为4cm，则△OFC的面积为6 cm2．【解答】解：∵BE ＝OE ，∴∠EBO ＝∠EOB ，∵BO 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠CBO ，∴∠EOB ＝∠CBO ，∴EF ∥BC ，∵点O 到BC 的距离为4cm ，∴△COF 中OF 边上的高为4cm ，又∵OF ＝3cm ，∴△OFC 的面积为12×3×4＝6cm 2． 故答案为：6．16．下列说法中正确的是 ②④ （只填番号）①一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形是四边形；②方程2x +y ＝7在正整数范围内的解有3组；③关于x 的不等式abx ＞1的解集为x ＜1ab，则a 、b 中至少有一个是负数； ④直角三角形两锐角平分线相交，所成的钝角的度数是135°【解答】解：①一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形是三角形，故这个说法错误；②方程2x +y ＝7，解得：y ＝﹣2x +7，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝2时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，则方程的正整数解有3组，故这个说法正确；③关于x 的不等式abx ＞1的解集为x ＜1ab ，则a 、b 中只能有一个是负数，故这个说法错误；④如图：∵AE 、BD 是直角三角形中两锐角平分线，∴∠OAB +∠OBA ＝90°÷2＝45°，两角平分线组成的角有两个：∠BOE 与∠EOD 这两个交互补，根据三角形外角和定理，∠BOE ＝∠OAB +∠OBA ＝45°，∴∠EOD ＝180°﹣45°＝135°，直角三角形两锐角平分线相交，所成的钝角的度数是135°是正确的．故答案为：②④．三．解答题（共8小题，满分72分）17．（8分）如图，△ABC 和△EBD 中，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，AB ＝CB ，BE ＝BD ，连接AE ，CD ，AE 与CD 交于点M ，AE 与BC 交于点N ．（1）求证：AE ＝CD ；（2）求证：AE ⊥CD ；（3）连接BM ，有以下两个结论：①BM 平分∠CBE ；②MB 平分∠AMD ．其中正确的有 ② （请写序号，少选、错选均不得分）．【解答】（1）证明：∵∠ABC ＝∠DBE ，∴∠ABC +∠CBE ＝∠DBE +∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，{AB =CB ∠ABE =∠CBD BE =BD，∴△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ．（2）∵△ABE ≌△CBD ，∴∠BAE ＝∠BCD ，∵∠NMC ＝180°﹣∠BCD ﹣∠CNM ，∠ABC ＝180°﹣∠BAE ﹣∠ANB ，又∠CNM ＝∠ANB ，∵∠ABC ＝90°，∴∠NMC ＝90°，∴AE ⊥CD ．（3）结论：②理由：作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ．∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，S △ABE ＝S △CDB ，∴12•AE •BK =12•CD •BJ ， ∴BK ＝BJ ，∵作BK ⊥AE 于K ，BJ ⊥CD 于J ，∴BM 平分∠AMD ．不妨设①成立，则△ABM ≌△DBM ，则AB ＝BD ，显然不可能，故①错误．故答案为②．18．（8分）已知等腰三角形的一边长为18，腰长是底边长的34，试求此三角形的周长． 【解答】解：∵等腰三角形一边长为18cm ，且腰长是底边长的34， ①如果腰长为18cm ，则底边为24cm ，等腰三角形的三边为18、18、24，能构成三角形，∴C △＝18+18+24＝60cm ；②如果底长为18cm ，则腰长为13.5cm ，等腰三角形的三边为18、13.5、13.5，能构成三角形，∴C △＝13.5+13.5+18＝45cm ．19．（8分）如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC ＝BC ，DC ＝EC ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）求∠AFD 的度数．【解答】解：（1）∵AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，{AC =BC ∠ACE =∠BCD CE =CD，∴△ACE ≌△BCD （SAS ），∴AE ＝BD ；（2）设BC 与AE 交于点N ，∵∠ACB ＝90°，∴∠A +∠ANC ＝90°，∵△ACE ≌△BCD ，∴∠A ＝∠B ，∵∠ANC ＝∠BNF ，∴∠B +∠BNF ＝∠A +∠ANC ＝90°，∴∠AFD ＝∠B +∠BNF ＝90°．20．（8分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点（0，1），并且与x轴平行，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．（1）画出三角形A1B1C1；（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（m，2﹣n）；（3）在直线l上画出点Q，使得QA+QC的值最小．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（m，2﹣n），故答案为：（m，2﹣n）；（3）如图所示，点Q即为所求．21．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，DE＝EC，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．（1）求证：AE＝EF；（2）若BE⊥AF，求证：BC＝AB﹣AD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE，又∵DE＝CE，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴AE＝EF；（2）∵AE＝EF，BE⊥AF，∴AB＝BF，∵△ADE≌△FCE，∴AD＝CF，∴AB＝BC+CF＝BC+AD，∴BC＝AB﹣AD．22．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB＝OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．【解答】解：（1）如图1所示，（2）OA +AC ＝OD ，如图1，过B 作BE ⊥x 轴于E ，则四边形AOEB 是矩形，∴BE ＝AO ，∠ABE ＝90°，∵AB ＝AO ，∴AB ＝BE ，∵BD ⊥BC ，∴∠CBD ＝90°，∴∠ABC ＝∠DBE ，在△ABC 与△BDE 中，{∠BAC =∠BED AB =BE ∠ABC =∠DBE，∴△ABC ≌△EBD （ASA ），∴AC ＝DE ，∵OE ＝AB ＝OA ，∴AO +AC ＝OD ；（3）如图2，由（1）知：△ABC ≌△EBD ，∴BC＝BD，∵BD⊥BC，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠BCD＝45°，∵BH平分∠CBD，∴∠BHC＝90°，∵∠BAO＝90°，过H作HN⊥OA，HM⊥AB，∴四边形ANMH是矩形，∴∠NHM＝90°，∴∠NHC＝∠MHB，∴△CNH≌△BHM（AAS），∴HN＝HM，∴AH平分∠CAB，∴∠BAH＝45°．23．（10分）如图，在正方形ABCD中，M、N分别是射线CB和射线DC上的动点，且始终∠MAN＝45°．（1）如图1，当点M、N分别在线段BC、DC上时，请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系；（2）如图2，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；（3）如图3，当点M、N分别在CB、DC的延长线上时，若CN＝CD＝6，设BD与AM 的延长线交于点P，交AN于Q，直接写出AQ、AP的长．【解答】解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，{AB=AD∠ABE=∠D BE=DN，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠EAM=∠NAM AM=AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（2）（1）中的结论不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，则∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，{AB=AD∠ABM=∠D BM=DF，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠F AN＝45°，在△MAN和△F AN中，{AM=AF∠MAN=∠FAN AN=AN，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．（3）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN=√AD2+DN2=√62+122=6√5，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴BQDQ =AQNQ=ABDN=612=12，∴AQAN =13，∴AQ=13AN＝2√5；由（2）得：DN﹣BM＝MN．设BM＝x，则MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，由勾股定理得：62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM=√AB2+BM2=√62+22=2√10，∵BC ∥AD ，∴△PBM ∽△PDA ，∴PM PA =BM DA =26=13， ∴PM =12AM =√10，∴AP ＝AM +PM ＝3√10．24．（12分）如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ．（1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示．①线段DG 与BE 之间的数量关系是 DG ＝BE ；②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 DG ⊥BE ；（2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由．（3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）．【解答】解：（1）①如图②中，∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AE ＝AG ，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠EAG ＝90°，∴∠BAE ＝∠DAG ，在△ABE 和△DAG 中，{AB =AD ∠BAE =∠DAG AE =AG，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴BE ＝DG ；②如图2，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．由①知，△ABE ≌△DAG ，∴∠ABE ＝∠ADG ，∵∠ATB +∠ABE ＝90°，∴∠ATB +∠ADG ＝90°，∵∠ATB ＝∠DTH ，∴∠DTH +∠ADG ＝90°，∴∠DHB ＝90°，∴BE ⊥DG ，故答案为：BE ＝DG ，BE ⊥DG ；（2）数量关系不成立，DG ＝2BE ，位置关系成立．如图③中，延长BE 交AD 于T ，交DG 于H ．∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，∴∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠DAG，∵AD＝2AB，AG＝2AE，∴ABAD =AEAG=12，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG，BEDG =1 2，∴DG＝2BE，∵∠ATB+∠ABE＝90°，∴∠ATB+∠ADG＝90°，∵∠ATB＝∠DTH，∴∠DTH+∠ADG＝90°，∴∠DHB＝90°，∴BE⊥DG；（3）如图④中，作ET⊥AD于T，GH⊥BA交BA的延长线于H．设ET＝x，AT＝y．∵△AHG∽△ATE，第 31 页 共 31 页∴GH ET =AH AT =AG AE =2，∴GH ＝2x ，AH ＝2y ，∴4x 2+4y 2＝4，∴x 2+y 2＝1，∴BG 2+DE 2＝（2x ）2+（2y +2）2+x 2+（4﹣y ）2＝5x 2+5y 2+20＝25．。
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级(上)期中数学试卷(含答案)
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1．（3分）下列平面图形中，不是轴对称图形的为（ ）A．B．C．D．2．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．13cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm3．（3分）如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA4．（3分）在△ABC中，到三边距离相等的点是△ABC的（ ）A．三边垂直平分线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点5．（3分）已知正多边形的一个内角为144°，则该正多边形的边数为（ ）A．12B．10C．8D．66．（3分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）A．360°B．480°C．540°D．720°7．（3分）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF ＝12，则△FBC的面积为（ ）A．40B．46C．48D．508．（3分）如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝58°，则∠AEB的度数是（ ）A．124°B．122°C．120°D．118°9．（3分）如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的有（ ）A．②③B．①②④C．③④D．①②③④10．（3分）如图，锐角∠AOB＝x，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠QNO＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β，x的数量关系正确的是（ ）A．α﹣β＝2x B．2β+α＝90°+2xC．β+α＝90°+x D．β+2α＝180°﹣2x二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上。
2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷含答案
2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图，其中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）3．下列运算正确的是（）
A．a•a2＝a2B．（ab）3＝ab3C．（a2）3＝a6D．a10÷a2＝a5 4．等腰三角形的两边长分别为2和7，则它的周长是（）
A．9B．11C．16D．11或16
5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）
A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9
6．若x2+8x+m是完全平方式，则m的值为（）
A．4B．﹣4C．16D．﹣16
7．如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AB的垂直平分线DE交AC于D，连结BD，若△DBC 的周长为23，则BC的长为（）
A．6B．7C．8D．9
8．计算[（﹣a）3]4÷（﹣a4）3的结果是（）
A．﹣1B．1C．0D．﹣a
9．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A ＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）
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2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年湖北省武汉市武昌区部分学校八年级第一学期期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共10小题）.1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列线段长能构成三角形的是（）A．3、7、4B．2、3、6C．5、6、7D．1、2、33．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边为10cm，则它的周长是（）A．18cm B．24cm C．14cm D．18cm或24cm 4．下列命题中，不正确的是（）A．关于直线对称的两个三角形一定全等B．等边三角形有3条对称轴C．角是轴对称图形D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合5．如图是教材例题中用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，用到的作图依据有（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA6．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条7．如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A．10：05B．20：01C．20：10D．10：028．如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（）A．180°B．240°C．300°D．360°9．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（）A．90B．60C．50D．3010．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝13，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为（）A．12B．11C．10D．9二、填空题（每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中点P（﹣2，3）关于x轴的对称点是．12．为了使矩形相框不变形，通常可以在相框背后加根木条固定．这种做法体现的数学原理是．13．如图，△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC的度数为．14．如图所示，正方形ABCD的面积为6，△CDE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一动点K，则KA+KE的最小值为．15．如图，K是等边△ABC内部一点，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，则以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是．16．如图，已知∠AOB＝8°，一条光线从点A发出后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝82°．当∠A＜82°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，…若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为．三、解答题（共8小题，共72分）17．如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，DE⊥AB于E，交AC于F，若∠A＝40°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．18．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：AB＝DC．19．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB．20．如图，在△ABC中，AK，BK，CK分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，KD⊥BC于点D，求证：AB﹣AC＝BD﹣CD．21．如图是6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图1中取格点S，使得△BSC≌△CAB（S不与A重合）；（2）在图2中AB上取一点K，使CK是△ABC的高；（3）在图3中AC上取一点G，使得∠AGB＝∠ABC．22．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．（1）若AC＝3，求S1的值．（2）若S1+S2＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．23．在等边△ABC中，D为边AC的中点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝120°．（1）如图1，点M在边AB上，求证：DM＝DN；（2）如图2，点M在边AB的延长线上，试探究BM，BN与等边△ABC边长BC的数量关系；（3）如图3，点M在边AB上，若AM+CN＝BD，求∠ADM的度数．24．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．（1）求△AOB的面积．（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．下列线段长能构成三角形的是（）A．3、7、4B．2、3、6C．5、6、7D．1、2、3【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可求解．解：A、3+4＝7，不能构成三角形，故此选项不合题意；B、3+2＝5＜6，不能构成三角形，故此选项不合题意；C、5+6＝11＞7，能构成三角形，故此选项符合题意；D、1+2＝3，不能构成三角形，故此选项不合题意．故选：C．3．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边为10cm，则它的周长是（）A．18cm B．24cm C．14cm D．18cm或24cm 【分析】分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，10cm，②当腰为10cm时，三边为4cm，10cm，10cm，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，10cm，∵4+4＜10，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为10cm时，三边为4cm，10cm，10cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是4cm+10cm+10cm＝24cm，故选：B．4．下列命题中，不正确的是（）A．关于直线对称的两个三角形一定全等B．等边三角形有3条对称轴C．角是轴对称图形D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合【分析】利用轴对称的性质、灯边三角形的性质、角的对称性及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．解：A、关于直线对称的两个三角形一定全等，正确，不符合题意；B、等腰三角形有三条对称轴，正确，不符合题意；C、角是轴对称图形，正确，不符合题意；D、等腰三角形底边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合，故原命题错误，符合题意．故选：D．5．如图是教材例题中用尺规作图作出的∠AOB的角平分线OC，用到的作图依据有（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【分析】根据作图的过程知道：OM＝ON，OC＝OC，CM＝CN，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△MOC≌△NOC．解：根据作图的过程可知：OM＝ON，CM＝CN，在△MOC与△NOC中，∴△MOC≌△NOC（SSS）．故选：C．6．一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．解：∵多边形的每一个内角都等于140°，∴每个外角是180°﹣140°＝40°，∴这个多边形的边数是360°÷40°＝9，∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．故选：A．7．如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A．10：05B．20：01C．20：10D．10：02【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．故选：B．8．如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（）A．180°B．240°C．300°D．360°【分析】根据三角形外角的性质，得∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G，那么∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG．由∠ABD＝∠A+∠ACB，∠ACG＝∠A+∠ABC，得∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A，进而解决此题．解：∵∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G，∴∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG．∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∠ACG＝∠A+∠ABC，∴∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A．∴∠D+∠E+∠F+∠G＝180°+∠A＝180°+60°＝240°．故选：B．9．如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（）A．90B．60C．50D．30【分析】设左下角三个小的等边三角形的边长是a，则剩下的5个等边三角形的边长是3+a、3+a、a+6、a+6、a+9，根据题意得到方程2a＝a+9，求出a后可求出围成的六边形的周长．解：设等边△ABC的边长为a．∵9个三角形都是等边三角形，∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，GF＝HF＝MG＝a+6，MN＝MW＝a+9．∵NW＝NA+AW，∴a+9＝2a．∴a＝9．∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9＝7a+27＝63+27＝90．故选：A．10．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝13，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则CF的长为（）A．12B．11C．10D．9【分析】过点B作BT∥AC交FM的延长线于T，延长BA交MF的延长线于G．证明△FCM≌△TBM（ASA），由全等三角形的性质得出CF＝BT，由平行线的性质得出∠3＝∠T，∠2＝∠3，∠1＝∠G，证出CF＝BG，AF＝AG，设AG＝AF＝x，则CF＝13﹣x，BG＝9+x，得出13﹣x＝9+x，求出x＝2．则可得出答案．解：过点B作BT∥AC交FM的延长线于T，延长BA交MF的延长线于G．∵点M是BC的中点，∴BM＝CM，∵BT∥AC，∴∠C＝∠TBM，在△FCM和△TBM中，，∴△FCM≌△TBM（ASA），∴CF＝BT，∵BT∥CF，∴∠3＝∠T，∵AD∥FM，∴∠2＝∠3，∠1＝∠G，又∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠T＝∠G，∴BG＝BT，∴CF＝BG，∵∠3＝∠AFG，∴∠G＝∠AFG，∴AG＝AF，设AG＝AF＝x，则CF＝13﹣x，BG＝9+x，∴13﹣x＝9+x，解得x＝2，∴CF＝13﹣x﹣11．故选：B．二、填空题（每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中点P（﹣2，3）关于x轴的对称点是（﹣2，﹣3）．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数可得答案．解：∵关于x轴对称点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P（﹣2，3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．12．为了使矩形相框不变形，通常可以在相框背后加根木条固定．这种做法体现的数学原理是三角形具有稳定性．【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．故答案为：三角形具有稳定性．13．如图，△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知∠A＝80°，则∠BDC 的度数为160°．【分析】连接AD，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝130°，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算．解：连接AD，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°，∵点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，∴DA＝DB，DA＝DC，∴∠DBA＝∠DAB，∠DCA＝∠DAC，∴∠DBA+∠DCA＝∠DAB+∠DAC＝∠BAC＝80°，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）﹣（∠DBA+∠DCA）＝100°﹣80°＝20°，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，故答案为：160°．14．如图所示，正方形ABCD的面积为6，△CDE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一动点K，则KA+KE的最小值为．【分析】根据正方形的性质可知C、A关于BD对称，推出CK＝AK，推出EK+AK≥CE，根据等边三角形性质推出CE＝CD，根据正方形面积公式求出CD即可．解：∵四边形ABCD是正方形，∴C、A关于BD对称，即C关于BD的对称点是A，如图，连接CK，则CK＝AK，∴EK+CK≥CE，∵△CDE是等边三角形，∴CE＝CD，∵正方形ABCD的面积为6，∴CD＝，∴KA+KE的最小值为，故答案为：．15．如图，K是等边△ABC内部一点，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，则以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是1：2：3．【分析】将△ABK顺时针旋转60°得到△BDC，连接KD，将以KA，KB，KC为边的三角形转化为图中三角形CKD，然后根据，∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，以及旋转的性质分别求出∠DKC，∠CKD，∠CDK的度数即可得出结果．解：如图，将△ABK绕点B顺时针旋转60°得到△BDC，连接KD，∴△BDK为等边三角形，KA＝CD，∴KD＝KB，∴以KA，KB，KC为边的三角形即为图中△CKD，∵∠AKB，∠BKC，∠CKA的大小之比是3：4：5，且∠AKB+∠BKC+∠CKA＝360°，∴∠AKB＝90°，∠BKC＝120°，∴∠DKC＝∠BKC﹣∠BKD＝120°﹣60°＝60°，∠CDK＝∠BDC﹣∠BDK＝∠AKB﹣∠BDK＝90°﹣60°＝30°，∴∠CKD＝180°﹣∠CDK﹣∠CKD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴以KA，KB，KC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是30°：60°：90°＝1：2：3，故答案为：1：2：3．16．如图，已知∠AOB＝8°，一条光线从点A发出后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝82°．当∠A＜82°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，…若光线从点A出发后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值为10°．【分析】如图，当MN⊥OA时，光线沿原路返回，分别根据入射角等于反射角和外角性质求出∠5、∠9的度数，从而得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律，即可解决问题．解：如图：当MN⊥OA时，光线沿原路返回，∴∠4＝∠3＝90°﹣8°＝82°，∴∠6＝∠5＝∠4﹣∠AOB＝82°﹣8°＝74°＝90°﹣2×8°，∴∠8＝∠7＝∠6﹣∠AOB＝74°﹣8°＝66°＝90°﹣3×8°，∴∠9＝∠8﹣∠AOB＝66°﹣8°＝58°＝90°﹣4×8°，由以上规律可知，∠A＝90°﹣2n•8°，当n＝5时，∠A取得最小值，最小度数为10°，故答案为：10°．三、解答题（共8小题，共72分）17．如图，在△ABC中，D为BC延长线上一点，DE⊥AB于E，交AC于F，若∠A＝40°，∠D＝45°，求∠ACB的度数．【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答．解：∵DF⊥AB，∠A＝40°∴∠AFE＝∠CFD＝50°，∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝45°+50°＝95°．18．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．求证：AB＝DC．【分析】根据BE＝CF推出BF＝CE，然后利用“角角边”证明△ABF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等即可证明．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，∵，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴AB＝DC（全等三角形对应边相等）．19．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB．【分析】利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到只有直线l上的点满足此条件，连接BC，利用三角形的三边关系可以得到PA＞PB．【解答】证明：连接PA交直线l于C，连接PB，BC，∵直线l是线段AB的垂直平分线，∴CA＝CB∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB，即PA＞PB．20．如图，在△ABC中，AK，BK，CK分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，KD⊥BC于点D，求证：AB﹣AC＝BD﹣CD．【分析】由角平分线的性质得出作KE⊥AB于E，KF⊥AC于点F，KE＝KF，证明△AKE ≌△AKF（HL），由全等三角形的性质得出AE＝AF，同理可得：BE＝BD，CD＝CF，则可得出结论．【解答】证明：作KE⊥AB于E，KF⊥AC于点F，∵AK平分∠BAC，KE⊥AB，KF⊥AC，∴KE＝KF，在Rt△AKE和Rt△AKF中，，∴△AKE≌△AKF（HL），∴AE＝AF，同理可得：BE＝BD，CD＝CF，∴AB﹣AC＝AE+BE﹣AF﹣CF＝BE﹣CF＝DB﹣CD．21．如图是6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．（1）在图1中取格点S，使得△BSC≌△CAB（S不与A重合）；（2）在图2中AB上取一点K，使CK是△ABC的高；（3）在图3中AC上取一点G，使得∠AGB＝∠ABC．【分析】（1）根据全等三角形的判定作出点S即可；（2）取格点Q，作射线CQ交AB于点K，线段CK即为所求；（3）取点Q，连接AQ，BQ，BQ交AC于点G，点G即为所求．解：（1）如图1中，点S即为所求；（2）如图2中，线段CK即为所求；（3）如图，点G即为所求．22．如图是两个全等的直角三角形纸片，且AC：BC：AB＝3：4：5，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1，S2．（1）若AC＝3，求S1的值．（2）若S1+S2＝26，求单个直角三角形纸片的面积是多少．【分析】（1）设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，依据S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．（2）如图1，依据S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，即可得到DM＝x，进而得出S1＝；如图2，依据S△ABN＝AB×EN＝AN×BC，即可得到EN＝x，进而得出S2＝，再根据S1+S2＝26，即可得到x2＝12，进而得出单个直角三角形纸片的面积．解：（1）∵AC：BC：AB＝3：4：5，AC＝3，∴BC＝4，AB＝5，由折叠可得，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，设DM＝CM＝x，则BM＝4﹣x，∵S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，∴AB×DM＝BM×AC，即5x＝3（4﹣x），解得x＝，∴S1＝BD×DM＝＝．（2）由AC：BC：AB＝3：4：5，可设AC＝3x，BC＝4x，AB＝5x，如图1，由折叠可得，AD＝AC＝3x，BD＝5x﹣3x＝2x，DM＝CM，∠ADM＝∠C＝90°，∵S△ABM＝AB×DM＝BM×AC，∴AB×DM＝BM×AC，即5x×DM＝（4x﹣DM）×3x，解得DM＝x，∴S1＝BD×DM＝2x×x＝；如图2，由折叠可得，BC＝BE＝4x，EN＝CN，∴AE＝x，AN＝3x﹣EN，∵S△ABN＝AB×EN＝AN×BC，∴AB×EN＝AN×BC，即5x×EN＝（3x﹣EN）×4x，解得EN＝x，∴S2＝AE×EN＝x×x＝，∵S1+S2＝26，∴+＝26，解得x2＝12，∴S△ABC＝＝6x2＝72．23．在等边△ABC中，D为边AC的中点，点N在边BC的延长线上，且∠MDN＝120°．（1）如图1，点M在边AB上，求证：DM＝DN；（2）如图2，点M在边AB的延长线上，试探究BM，BN与等边△ABC边长BC的数量关系；（3）如图3，点M在边AB上，若AM+CN＝BD，求∠ADM的度数．【分析】（1）作DE∥BC交AB于E，证明△DCN≌△DEM（ASA），由全等三角形的性质得出DN＝DM．（2）作DE∥BC交AB于E，由（1）同理可证△DEM≌△DCN，得出EM＝CN，则可得出BN﹣BM＝BC；（3）作DE∥BC交AB于E，DH⊥AB于点H，由直角三角形的性质及等边三角形的性质证出MH＝DH，得出△HDM为等腰直角三角形，求出∠AMD＝45°，则可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，作DE∥BC交AB于E，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵D为AC的中点，∴AD＝DC＝AC，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B＝∠ADE＝∠ACB＝60°，∴△ADE为等边三角形．∴AE＝DE＝AD，∴DE＝DC，∵∠MDN＝∠EDC＝120°，∴∠EDM＝∠CDN，在△DCN和△DEM中，，∴△DCN≌△DEM（ASA），∴DN＝DM．（2）解：如图2，作DE∥BC交AB于E，由（1）同理可证△DEM≌△DCN，∴EM＝CN，∴BN﹣BM＝BC+CN﹣EM+BE＝BC+BE＝BC．（3）如图3，作DE∥BC交AB于E，DH⊥AB于点H，由（1）知，EM＝CN，∵D为AC的中点，∴∠ABD＝30°，∵DH⊥AB，∴BD＝2DH，∵△ADE为等边三角形，DH⊥AB，∴AH＝EH，∵AM+CN＝BD，∴AH+EH+EM+EM＝2DH，即EH+EM＝DH，∴MH＝DH，即△HDM为等腰直角三角形，∴∠AMD＝45°，∴∠ADM＝180°﹣∠A﹣∠AMD＝180°﹣60°﹣45°＝75°．24．如图，点A（a，0），B（0，b），若点F（a，b）关于y轴的对称点的坐标为（﹣2，2）．（1）求△AOB的面积．（2）如图1，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，试探究线段AC、BD、CD之间的数量关系，并给出证明．（3）如图2，点E是x轴上一动点，在y轴正半轴上取一点K，连接EK，FK，FE，使∠EFK＝∠OAB，试探究线段BK，KE，EA之间的数量关系，并给出证明．【分析】（1）根据关于y轴对称的性质得到a＝2，b＝2，得到OA＝2，OB＝2，于是得到结果；（2）先判断出∠OAE＝∠OBD＝135°，进而判断出△OBD≌△OAE，得出OD＝OE，BD＝AE，进而判断出△DOC≌△EOC（SAS），即可得出结论；（3）分五种情况，利用全等三角形的判定和性质解答即可．解：（1）由题意可得：a＝2，b＝2，∴OA＝2，OB＝2，∴，（2）CD＝BD+AC，过点O作OE⊥OD交BC的延长线于E，∵∠BOD+∠DOA＝90°，∠AOE+∠DOA＝90°，∴∠BOD＝∠AOE，∵∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠OAE＝∠OBD＝135°，在△OBD和△OAE中，，∴△OBD≌△OAE（ASA），∴OD＝OE，BD＝AE，∴BD+AC＝AC+AE＝CE，在△DOC和△EOC中，，∴△DOC≌△EOC（SAS），∴CD＝CE＝BD+AC；（3）∵∠OAB＝45°，∠EFK＝∠OAB，∴∠EFK＝45°，①当E在A右侧时，K不在y轴正半轴上，不合题意；②当E在A上时，K与O重合，不合题意；③当E在A，O之间时，过点F作FM⊥FE交y轴于点M，连接FB，FA，∵F（2，2），A（2，0），B（0，2），∴OA＝OB，AF⊥x轴，BF⊥y轴，∵∠FBO＝∠FAO＝90°，∵∠AOB＝90°，∴四边形AOBF是矩形，∵OA＝OB，∴矩形AOBF是正方形，∴AF＝BF，∠AFB＝90°，∴∠EFA＝90°﹣∠BFE，∵FM⊥FE，∴∠EFM＝90°，∴∠MFB＝90°﹣∠BFE，∴∠MFB＝∠EFA，在△MFB与△EFA中，，∴△MFB≌△EFA（ASA），∴MB＝EA，MF＝EF，∵∠KFE＝45°，∴∠KFM＝90°﹣45°＝45°，在△KFM和△KFE中，，∴△KFM≌△KFE（SAS），∴KE＝KM＝BK+MB＝BK+EA，即KE＝BK+EA；④当E在O上时，BK＝0，KE＝EA＝2，也满足KE＝BK+EA；⑤当E在O左侧时，同理可证，△BFM≌△AFE（ASA），∴EA＝MB，同理可证△KFM≌△KFE（SAS），∴MK＝KE，∴EA＝BK+KE，综上所述：KE＝BK+EA或EA＝BK+KE．。
2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年湖北省武汉市硚口区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
1．在以下节水、回收、节能、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．以下列每组三条线段为边，能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．4，4，9D．6，6，103．盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其窗框不变形（如图所示），这样做的数学依据是（）A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短4．点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标是（）A．（1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（）A．80°B．75°C．85°D．88°6．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．B．C．D．7．用三角尺可按下面方法画角的平分线．如图，在∠AOB两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，可得△POM≌△PON．则判定三角形全等的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠BCD＝30°，BD＝1，则AB的长是（）A．2B．3C．4D．59．如图，在△ABC纸片中，AB＝8，BC＝6，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长是（）A．B．C．D．210．如图，AE是等腰Rt△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点B作BF∥AC，且BF＝CE．连接CF交AE于点D，交AB于点G，点P是线段AD上的动点，点Q是线段AG上的动点，连接PG，PQ，下列四个结论：①AE⊥CF；②BF＝BG；③CE+AC ＝AB；④PG+PQ≥AB．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③D．①②③④二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．从五边形的一个顶点出发，可以作条对角线．12．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的腰长是．13．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN分别与AB、AC交于E、D两点．若BE＝5，BC＝8，则△BCD的周长是．14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为．15．AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝10，则AD的取值范围是．16．如图，在长方形ABCD巾，对角线BD＝6，∠ABD＝60°．将长方形ABCD沿对角线BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一点．则EM+BM的最小值为．三、解答题（共8小题，共18分）17．一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数．18．如图，B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：∠A＝∠D．19．如图，CA＝CD，∠1＝∠2，BC＝EC．求证：AB＝DE．20．在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C ＝70°．（1）求∠BOE的大小；（2）求证：DE＝DC．21．如图是10×6的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成画图，并回答问题．（1）直接写出∠ABC的大小；（2）在图1中，画△ABC的高AF，BD；（3）在图2中，①画△ABC的中线BE；②在△ABC的高AF上画点P，连接BP，EP，使∠APB＝∠APE．22．如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，且AD＝CD＝BC．（1）求∠A的大小；（2）如图2，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，连接EF交CD于点H．①求证：CD垂直平分EF；②直接写出三条线段AE，DB，BF之间的数量关系．23．在等边△ABC中，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右作等边△DEF，连接CF．（1）如图1，当点D和点A重合时，求∠ACF的大小；（2）如图2，点D是边AB的中点．①求证：∠FCE＝∠FEC；②如图3，连接AF，当AF最小时，直接写出的值．24．平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴，点C在y轴正半轴，△ABC是等腰直角三角形，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB交y轴负半轴于点D．（1）如图1，点C的坐标是（0，4），点B的坐标是（8，0），直接写出点A的坐标；（2）如图2，AE⊥AB交x轴的负半轴于点E，连接CE，CF⊥CE交AB于F．①求证：CE＝CF；②求证：点D是AF的中点；③求证：S△ACD＝S△BCE．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑。
2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级(上)期中数学试卷(含答案)
2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题3分，共计30分1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形2．（3分）大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（ ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4．（3分）如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF5．（3分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA6．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A．PQ＞6B．PQ≥6C．PQ＜6D．PQ≤67．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°8．（3分）已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（ ）A．1B．﹣1C．2021D．﹣20219．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）A．∠OBD＝120°B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为BC的中点，CE⊥AM于点E，其延长线交AB于点D，连接DM．下列结论：①∠AMC＝∠DMB，②DC+DM＝AM，③∠ADC＝∠BDM，④CE＝BD，⑤∠AMD＝2∠DCM．其中正确的个数有（ ）个．A．5B．4C．3D．2二.填空题（每小题3分，共计18分）11．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 边形．12．（3分）一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是 ．13．（3分）AM为△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AM的取值范围是 ．14．（3分）在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 ．15．（3分）在如图所示的6×5网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC 有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 ．16．（3分）如图，锐角△ABC中，∠A＝30°，BC=72，△ABC的面积是63，D，E，F分别是三边上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．三.解答题（本题共计72分）17．（8分）已知等腰△ABC的周长为20，一边长为6，求另两边的长．18．（8分）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝8，DE＝6，求BE的长．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．20．（8分）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．21．（8分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD交于F．（1）求证：∠ABC +∠ADC ＝180°；（2）若AF ＝5，DF ＝2，求AB 的长．22．（10分）如图，AD 为△ABC 的角平分线．（1）如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB ＝7，AC ＝5．则BE ＝ ；（2）如图2，BG ⊥AD 于点G ，连接CG ，若△ACG 的面积是5，求△ABC 的面积；（3）如图3，若∠C ＝2∠B ，AB ＝m ，AC ＝n ，则BD 的长为 ．（用含m ，n 的式子表示）23．（10分）在△ABC 中，BE ，CD 为△ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：∠BFC ＝90°+12∠A ；（2）已知∠A ＝60°，①如图1，若BD ＝4，BC ＝6.5，求CE 的长；②如图2，若BF ＝AC ，求∠AEB 的大小．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，过点B （3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A 和点C ，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．2021-2022学年湖北省武汉外国语学校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题3分，共计30分1．（3分）下列图形中有稳定性的是（ ）A．正方形B．直角三角形C．长方形D．平行四边形【解答】解：直角三角形有稳定性，故选：B．2．（3分）大自然中存在很多对称现象，下列植物叶子的图案中不是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．3．（3分）一个多边形的外角和与它的内角和相等，则多边形是（ ）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【解答】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n﹣2）×180°＝360°，解得：n＝4．故选：B．4．（3分）如图，已知∠E＝∠B，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（ ）A．∠D＝∠A B．BC＝DE C．AB＝EF D．CD＝AF【解答】解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项不符合题意；B、BC＝DE，不是对应边相等，故本选项不符合题意；C、AB＝EF，不是对应边相等，故本选项不符合题意；D、∵AF＝CD，∴AC＝DF，又∵∠A＝∠D，∠1＝∠2，∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项符合题意；故选：D．5．（3分）如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O自由旋转，就做成了一个测量工件，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【解答】解：△OAB与△OA′B′中，∵AO＝A′O，∠AOB＝∠A′OB′，BO＝B′O，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．故选：B．6．（3分）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A．PQ＞6B．PQ≥6C．PQ＜6D．PQ≤6【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于6，∴点P到OB的距离为6，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥6．故选：B．7．（3分）满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°【解答】解：A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴∠C＝180°×714=90°，∴该三角形是直角三角形；C．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A＝180°×611＞90°，∴该三角形是钝角三角形；D．∵∠A＝9°，∠B＝81°，∴∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；故选：C．8．（3分）已知点P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，则（m+n）2021的值是（ ）A．1B．﹣1C．2021D．﹣2021【解答】解：∵P（m﹣1，n+2）与点Q（2m﹣4，2）关于x轴对称，∴m―1=2m―4 n+2=―2，解得m＝3，n＝﹣4，∴（m+n）2021＝（3﹣4）2021＝﹣1．故选：B．9．（3分）如图，在△AOB中，∠AOB＝60°，OA＝OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边向右侧作等边△ACD，连接BD，则下列结论不一定成立的是（ ）A．∠OBD＝120°B．OA∥BD C．CB+BD＝AB D．AB平分∠CAD【解答】解：∵∠AOB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝OB，∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠CAD＝60°＝∠OAB，∴∠OAC＝∠BAD，且OA＝AB，AD＝AC，∴△AOC≌△ABD（SAS），∴OC＝BD，∠AOB＝∠ABD＝60°，∴∠OBD＝120°，∠ABD＝∠OAB，∴OA∥BD，故选项A，B，都不符合题意，∵OC＝BD，∴OB＝BC+OC＝BC+DB，∵OB＝AB，∴CB+BD＝AB，故C选项不符合题意，∵∠OAB＝∠CAD＞∠BAD，∴AB不平分∠OAD，故选项D符合题意，故选：D．10．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，M为BC的中点，CE⊥AM于点E，其延长线交AB于点D，连接DM．下列结论：①∠AMC＝∠DMB，②DC+DM＝AM，③∠ADC＝∠BDM，④CE＝BD，⑤∠AMD＝2∠DCM．其中正确的个数有（ ）个．A．5B．4C．3D．2【解答】解：作BG⊥CB，交CD的延长线于点G，过点B作BH⊥CG于H，如图所示：∵∠CBG＝90°，CE⊥AM，∴∠CAM+∠AMC＝∠BCG+∠AMC＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，在△ACM和△CBG中，∠CAM=∠BCGAC=BC，∠ACM=∠CBG∴△ACM≌△CBG（ASA），∴AM＝CG，CM＝BG，∠CMA＝∠CGB，∵CM＝BM，∴BG＝BM，∵∠ABC＝45°，∴∠MBD＝∠GBD=12∠CBG，在△BDG和△BDM中，BG=BM∠GBD=∠MBDBD=BD，∴△BDG≌△BDM（SAS），∴∠DGB＝∠DMB，∠BDG＝∠BDM，DM＝DG，∴∠AMC＝∠DMB，∠ADC＝∠BDG＝∠BDM．AM＝CG＝CD+DG＝CD+DM，故①②③正确，∵△ACM≌△CBG，∴S△ACM＝S△CBG，∴12×AM×CE=12CG×BH，∴CE＝BH，在Rt△BDH中，BD＞BH，∴BD＞CE，故④错误，∵∠AMD+∠BMD+∠AMC＝180°，∠DCM+∠AMC＝90°，∠AMC＝∠BMD，∴∠AMD＝2∠DCM，故⑤正确，故选：B．二.填空题（每小题3分，共计18分）11．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是 九 边形．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180＝1260，解得n＝9．12．（3分）一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是 80°或20° ．【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；（2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°．故答案为：80°或20°．13．（3分）AM为△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AM的取值范围是 1＜AM＜5 ．【解答】解：如图，延长AM到E，使ME＝AM，∵AM是BC边上的中线，∴BM＝CM，在△ABM和△ECM中，BM=CM∠AMB=∠EMCME=AM，∴△ABM≌△ECM（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝4，AC＝6，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AM＜5．故答案为：1＜AM＜5．14．（3分）在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5，在△ABC的内部找一点P，使得P到△ABC的三边的距离相等，则这个距离是 2 ．【解答】解：设P到△ACB的三边的距离为x，由三角形的面积公式得，12×5×12=12×5×x+12×12×x+×13×x，解得，x＝2，故答案为：2．15．（3分）在如图所示的6×5网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC 有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 7 ．【解答】解：以AB 为公共边的三角形有△ABG ，△ABH ，△ABM ，以AC 为公共边的三角形有△ACD ，△ACE ，△ACN ，以BC 为公共边的三角形有△BCF ，3+3+1＝7，故答案为：7．16．（3分）如图，锐角△ABC 中，∠A ＝30°，BC =72，△ABC 的面积是63，D ，E ，F 分别是三边上的动点，则△DEF 周长的最小值是 2437 ．【解答】解：如图，作E 关于AB 的对称点M ，作E 关于AC 的对称点N ，连接AE ，MN ，MN 交AB 于F ，交AC 于D ，由对称性可知：DE ＝DN ，EF ＝MF ，AE ＝AM ＝AN ，∴△DEF 的周长DE +EF +FD ＝DM +DF +FN ，∴当点E 固定时，此时△DEF 的周长最小，∵∠BAC ＝30°，∠BAE ＝∠BAM ，∠CAE ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝60°，∴△MNA 是等边三角形，∴MN ＝AE ，∴当AE 的值最小时，MN 的值最小，根据垂线段最短可知：当AE ⊥BC 时，AE 的值最小，∵BC =72，△ABC 的面积是63，∴12BC •AE ＝63，∴此时AE =2437，∴MN 的最小值为2437，∴△DEF 的周长的最小值为2437，故答案为：2437．三.解答题（本题共计72分）17．（8分）已知等腰△ABC 的周长为20，一边长为6，求另两边的长．【解答】解：当腰为6时，则另两边长为6、20﹣6×2＝8，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为6，8；当底边为6时，则另两边长为12（20﹣6）＝7，此时三边满足三角形三边关系，即此时三角形的另两边为7，7；综上可知三角形的另两边长为6，8或7，7．18．（8分）如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，垂足分别为D ，E ，AD ＝8，DE ＝6，求BE 的长．【解答】解：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCD ＝90°∵AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴∠D＝∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠BEC∠ACD=∠CBEAC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CE＝AD＝8，BE＝CD，∵EC＝CD+DE，∴BE＝CE﹣DE＝8﹣6＝2．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，求∠B和∠C的度数．【解答】解：在△ABC中，AB＝AD＝DC，∵AB＝AD，在三角形ABD中，∠B＝∠ADB＝（180°﹣26°）×12=77°，又∵AD＝DC，在三角形ADC中，∴∠C=12∠ADB=77°×12=38.5°．20．（8分）如图，是一个8×10正方形格纸，△ABC中A点坐标为（﹣2，1），B点的坐标为（﹣1，2）．（1）请在图中建立平面直角坐标系，指出△ABC和△A′B′C′关于哪条直线对称？（直接写答案）（2）作出△ABC关于x轴对称图形△A1B1C1；请直接写出A′、B′、C′三点坐标．（3）在x轴上求作一点M，使△AB′M的周长最小，请直接写出M点的坐标．【解答】解：（1）如图，平面直角坐标系如图所示：△ABC与△A′B′C′关于y轴对称；（2）如图，△A1B1C1即为所求，A′（2，1）、B′（1，2）、C′（3，3）；（3）如图，点M即为所求．M（﹣1，0）．21．（8分）如图，四边形ABCD中，CA平分∠BAD，CB＝CD，CF⊥AD交于F．（1）求证：∠ABC+∠ADC＝180°；（2）若AF＝5，DF＝2，求AB的长．【解答】证明：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于E，、∵CA平分∠BAD，∴∠EAC＝∠FAC，在△ACE和△ACF中，∠CAE=∠CAF∠CEA=∠CFA，AC=AC∴△ACE≌△ACF（AAS），∴AF＝AE，CE＝CF，在Rt △CBE 和Rt △CDF 中，CE =CFBC =CD ，∴Rt △CBE ≌Rt △CDF （HL ），∴∠ADC ＝∠CBE ，∵∠ABC +∠CBE ＝180°，∴∠ADC +∠ABC ＝180°；（2）∵Rt △CBE ≌Rt △CDF ，∴DF ＝BE ＝2，∵△ACE ≌△ACF ，∴AE ＝AF ＝5，∴AB ＝AE ﹣BE ＝3．22．（10分）如图，AD 为△ABC 的角平分线．（1）如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB ＝7，AC ＝5．则BE ＝ 2 ；（2）如图2，BG ⊥AD 于点G ，连接CG ，若△ACG 的面积是5，求△ABC 的面积；（3）如图3，若∠C ＝2∠B ，AB ＝m ，AC ＝n ，则BD 的长为 m 2n―m ．（用含m ，n 的式子表示）【解答】解：（1）∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ⊥AD ，∴∠CFA ＝∠EFA ，在△AEF 和△ACF 中，∠EAF =∠CAFAF =AF ∠AFE =∠AFC，∴△AEF ≌△ACF （ASA ），∴AE＝AC＝5，∴BE＝AB﹣AC＝7﹣5＝2，故答案为：2；（2）延长BG、AC交于点H，由（1）知AB＝AH，点G为BH的中点，设S△BGC＝S△HGC＝a，根据△ABH的面积可得：S△ABC+2a＝2（5+a），∴S△ABC＝10；（3）在AB上取AN＝AC，∵AD是△ABC的平分线，∴∠NAD＝∠CAD，在△ADN与△ADC中，AN=AC∠NAD=∠CAD，AD=AD∴△ADN≌△ADC（SAS），∴∠AND＝∠C，DN＝CD，∵∠C＝2∠B，∴∠AND＝2∠B，∴∠B ＝∠BDN ，∴BN ＝DN ＝AB ﹣AC ＝m ﹣n ，∴CD ＝DN ＝m ﹣n ，根据△ABD 和△ACD 的高相等，面积比等于底之比可得：BD CD =AB AC，∴BDm ―n =m n ，∴BD =m 2n―m ，故答案为：m 2n ―m ．23．（10分）在△ABC 中，BE ，CD 为△ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：∠BFC ＝90°+12∠A ；（2）已知∠A ＝60°，①如图1，若BD ＝4，BC ＝6.5，求CE 的长；②如图2，若BF ＝AC ，求∠AEB 的大小．【解答】（1）证明：∵BE ，CD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABE ＝∠CBE =12∠ABC ，∠ACD ＝∠BCD =12∠ACB ，∵∠ABC +∠ACB +∠A ＝180°，∴∠FBC +∠FCB =12（180°﹣∠A ），∴∠BFC ＝180°―12（180°﹣∠A ）＝90°+∠A 2；（2）解：①如图1，在BC 上截取BH ＝BD ，连接FH ，当∠A＝60°时，∴∠BFC＝90°+30°＝120°，∴∠DFB＝∠CFE＝60°，在△BFD和△BFH中，BD=BH∠FBD=∠FBH，BF=BF∴△BFD≌△BFH（SAS），∴∠DFB＝∠BFH＝60°，∴∠CFE＝∠CFH＝60°，在△CFE和△CFH中，∠ECF=∠HCFCF=CF，∠EFC=∠HFC∴△CFE≌△CFH（ASA），∴CE＝CH，∴BC＝BH+CH＝BD+CE，∴CE＝BC﹣BD＝6.5﹣4＝2.5；②如图2，延长CD，使NF＝BF，连接BN，∵NF＝BF，∠BFD＝60°，∴△BFN是等边三角形，∴BF＝BN＝NF，∠N＝∠NBF＝60°，∵BF＝AC，∠A＝∠N＝60°，∴BN＝AC，在△BND和△ACD中，∠N=∠A∠NDB=∠ADC，NB=AC∴△BND≌△ACD（AAS），∴BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∴∠DCB＝2∠CBF，∵∠DFB＝∠DCB+∠FBC＝60°，∴∠FBC＝20°，∠DCB＝40°＝∠ACD，∴∠AEB＝∠FBC+∠ACD+∠DCB＝100°．24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，过点B（3，3）向坐标轴作垂线，垂足分别是点A和点C，点D是线段OC上一点，点A绕点D顺时针旋转90°得到点E．（1）若点D的坐标为（t，0），求点E的坐标（用含t的式子表示）；（2）如图2，连接AE，EC，AE交BC于点F，连接DF，试探究∠DEC与∠AFD的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，若点M是x轴负半轴上一点，连接AM，点N是AM上一点，且DM＝DN＝AB，ND交AO于点G，求△OGD的周长．【解答】解：（1）如图，过点E作EH⊥x轴于点H，则∠DHE＝∠AOD＝90°，∴∠OAD+∠ODA＝90°，∵点A绕点D顺时针旋转90°得到点E，∴∠ADE＝90°，AD＝DE，∴∠EDH+∠ODA＝90°，∴∠OAD＝∠EDH，∴△DHE≌△AOD（AAS），∴DH＝OA，EH＝OD，∵D（t，0），∴OD＝t，∴EH＝t，∵BA⊥OA，BC⊥OC，BA＝BC，∠AOC＝90°，∴四边形OABC是正方形，∴OA＝OC＝AB＝BC＝3，∴OH＝OD+DH＝OD+OA＝t+3，∴E（t+3，t）；（2）∠DEC+∠AFD＝90°，理由如下：由（1）得：四边形OABC是正方形，如图，过点E作EH⊥x轴于点H，将△AOD绕点A逆时针旋转90°得到△ABP，则∠BAP＝∠OAD，AD＝AP，由（1）得∠ADE＝90°，AD＝DE，∴△ADE是等腰直角三角形，∴∠DAE＝∠DEA＝45°，∴∠FAP＝∠BAF+∠BAP＝∠BAF+∠OAD＝∠OAB﹣∠DAE＝45°，∴∠FAP＝∠DAE，∴△FAP≌△FAD（SAS），∴∠AFD＝∠AFP，由（1）得EH＝OD，DH＝OA＝OC，∴DH﹣CD＝OC﹣CD，∴CH＝OD，∴CH＝EH，∴△ECH是等腰直角三角形，∴∠ECH＝45°，∴∠BCE＝∠BCH﹣∠ECH＝45°，∵∠BCE+∠CEF+∠CFE＝180°，∴∠BCE+∠DEC+∠AED+∠CFE＝180°，∴45°+∠DEC+45°+∠CFE＝180°，∴∠DEC+∠CFE＝90°，∵∠CFE＝∠AFP＝∠AFD，∴∠DEC+∠AFD＝90°；（3）如图，连接BD，BG，过点B作BQ⊥DG于点Q，由（1）得四边形OABC是正方形，OA＝AB＝BC＝OC＝3，∵DM＝DN＝AB，∴∠DMN＝∠DNM，DM＝OC，∴DM﹣OD＝OC﹣OD，∴OM＝CD，∴△BDC≌△AMO（SAS），∴∠BDC＝∠DMN，∵∠BDC+∠BDN＝∠CDN＝∠DMN+∠DNM，∴∠BDN＝∠DNM＝∠DMN＝∠BDC，∴△BDC≌△BDQ（AAS），∴CD＝DQ，BC＝BQ，∴AB＝BQ，在Rt△BAG和Rt△BQG中，BG=BGAB=QB，∴Rt△BAG≌Rt△BQG（HL），∴AG＝QG，∴C△OGD＝OG+DG+OD＝OG+GQ+DQ+OD＝OG+AG+CD+OD＝OA+OC＝3+3＝6．∴△OGD的周长为：6．。
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2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列图形中有稳定性的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，11B．4，4，9C．3，4，8D．8，7，144．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．62°B．72°C．76°D．66°5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（）A．6B．8C．10D．126．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE 的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（）A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（）A．20°B．40°C．60°D．80°8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（）A．32B．24C．16D．89．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（）A．110°B．118°C．120°D．130°10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM ＝7，则MN的长度可以是（）A．2B．7C．16D．17二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为．12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝．13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是．14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为°．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为．20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）如图1，连接AC．①∠ACB＝°；②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；（2）已知，P为AF边上一点，①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；（2）若∠CED＝45°．①如图2，求证：BE⊥AE；②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB 绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．（1）若α＝90．①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．（3分）下列图形中有稳定性的是（）A．四边形B．三角形C．五边形D．六边形【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有三角形具有稳定性．故选：B．3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，11B．4，4，9C．3，4，8D．8，7，14【解答】解：A．∵5+6＝11，∴不能组成三角形，不符合题意；B．∵4+4＜9，∴不能组成三角形，不符合题意；C．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，不符合题意；D．∵8+7＞14，∴能组成三角形，符合题意．故选：D．4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．62°B．72°C．76°D．66°【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝76°，故选：C．5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣3＝5，解得n＝8，故选：B．6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE 的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（）A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，AD＝BD=12AB，∵△EBC的周长是22cm，∴BC+BE+EC＝22cm，即AC+BC＝22cm，∵△ABC的周长是36cm，∴AB+AC+BC＝36cm，∴AB＝36﹣22＝14（cm），∴AD=12AB=12×14＝7（cm）．故选：A．7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（）A．20°B．40°C．60°D．80°【解答】解：∵AD＝DC，∴∠C＝∠DAC，∴∠ADB＝2∠C，∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，∴∠BAD＝20°，∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，故选：C．8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（）A．32B．24C．16D．8【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°，∴∠MON＝∠OB1A1，∴B1A1＝OA1＝2，∴△A1B1A2的边长为2，同理得：∠OB2A2＝30°，∴OA2＝A2B2＝OA1+A1A2＝2+2＝4，∴△A2B2A3的边长为4，同理可得：、△A3B3A4的边长为：23＝8，△A4B4A5的边长为：24＝16，则△A5B5A6的边长为：25＝32，故选：A．9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（）A．110°B．118°C．120°D．130°【解答】解：如图所示：∵∠EAD ＝∠BAC ＝80°，∴∠1＝∠2，在△BAD 和△CAE 中，{AB =AC ∠1=∠2AD =AE，∴△BAD ≌△CAE （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠BAC ＝80°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝∠CBA ＝50°，∴∠DCE ＝∠4+∠BCA +∠ACE ＝∠4+50°+∠ABD ＝∠4+50°+∠3+∠ABC ＝∠3+∠4+100°，又∵∠BDC ＝160°，∴∠3+∠4＝180°﹣∠BDC ＝20°，∴∠DCE ＝20°+100°＝120°，故选：C ．10．（3分）如图，在△ABC 中，点M ，N 分别是AC ，BC 上一点，AM ＝BN ，∠C ＝60°，若AB ＝9，BM ＝7，则MN 的长度可以是（ ）A ．2B ．7C ．16D ．17【解答】解：如图，作等边△ABQ 和等边△MBP ，连接QP ，QM ，在等边△ABQ 和等边△MBP 中，∠QBA ＝∠PBM ＝60°，∴∠QBP +∠QBM ＝∠QBM +∠ABM ＝60°，∴∠QBP ＝∠ABM ，又∵QB ＝AB ＝9，PB ＝MB ＝7，∴△QBP ≌△ABM （SAS ），∴∠BQP ＝∠BAM ，PQ ＝AM ，∵AM ＝BN ，在△ABC 中，∠ACB +∠CAB +∠CBA ＝180°，∠ACB ＝60°，∴∠MBC ＝180°﹣60°﹣∠MAB ﹣∠ABM ＝120°﹣∠MAB ﹣∠ABM ，在△QBP 中，∠QPB +∠BQP +∠QBP ＝180°，∠MPB ＝60°，∴∠MPQ ＝180°﹣60°﹣∠BQP ﹣∠QBP ＝120°﹣∠MAB ﹣∠ABM ，∴∠MBN ＝MPQ ，在△QMP 和△NMB 中，{PB =MB∠MBN =∠MPQ PQ =BN，∴△QMP ≌△NMB （SAS ），∴MQ ＝MN ，在△QMB 中，QB ﹣MB ＜QM ＜QB +MB ，∴AB ﹣MB ＜MN ＜AB +MB ，∴2＜MN ＜16，∴选项B ，MN ＝7符合题意，故选：B ．二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．11．（3分）点P （2，﹣5）关于x 轴对称的点的坐标为 （2，5） ．【解答】解：点P （2，﹣5）关于x 轴对称的点的坐标为：（2，5），故答案为：（2，5）．12．（3分）一个n 边形的每个外角都等于72°，则n ＝ 5 ．【解答】解：∵n 边形的每个外角都相等，∴这个n 边形是正多边形，∵多边形的外角和为360°，∴多边形的边数为360°÷72°＝5．故答案为：5．13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是SSS．【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．故答案为SSS．14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为20°或80°．【解答】解：∵等腰△ABC的一个外角是100°，∴①当顶角的外角是100°，∴顶角等于180°﹣100°＝80°，②当底角的外角是100°，∴底角等于180°﹣100°＝80°，∴顶角等于180°﹣80°﹣80°＝20°，∴其顶角的度数为：20°或80°．故答案为：20°或80°．15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是①③④．【解答】解：如图1，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC，∠OCB＝∠OCA=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠EOB ＝∠OBC +∠OCB ＝60°，故①正确；如图2，在BC 上截取BM ＝BE ，连接OM ，在△BOE 和△BOM 中，{BE =BM ∠OBE =∠OBM OB =OB，∴△BOE ≌△BOM （SAS ），∴OE ＝OM ，∠EOB ＝∠BOM ＝60°，∵∠COD ＝∠EOB ＝60°，∴∠COM ＝180°﹣∠BOM ﹣∠COD ＝60°，∴∠COD ＝∠COM ，在△COD 和△COM 中，{∠COD =∠COMOC =OC ∠OCD =∠OCM，∴△COD ≌△COM {ASA ），∴CD ＝CM ，∴BE +CD ＝BC ，故②错误；如图3，作OH ⊥AC 于点H ，OG ⊥BC 于点G ，连接OA ，∵OF ⊥AB 于点F ，∴∠AFO ＝∠AHO ＝90°，∠OFE ＝∠OHD ＝90°，∵OF ＝OG ，OH ＝OG ，∴OF ＝OH ，在Rt △AOF 和Rt △AOH 中，{OA =OA OF =OH， ∴Rt △AOF ≌Rt △AOH （HL ），∴AF ＝AH ，∵∠EAC ＝∠COD ＝60°，∴∠EAC +∠ACE ＝∠COD +∠ACE ，∵∠OEF ＝∠EAC +∠ACE ，∠ODH ＝∠COD +∠ACE ，∴∠OEF ＝∠ODH ，在△OEF 和△ODH 中，{∠OEF =∠ODH∠OFE =∠OHD OF =OH，∴△OEF ≌△ODH （AAS ），∴EF ＝DH ，∴AE +AD ＝AE +AH +DH ＝AE +AH +EF ＝AF +AH ＝2AF ，故③正确；如图2，∵△BOE ≌△BOM ，△COD ≌△COM ，∴S △BOE ＝S △BOM ，S △COD ＝S △COM ，∴S △BOE +S △COD ＝S △BOM +S △COM ，＝S △BOC ，∴S 四边形BEDC ＝S △BOC +S △BOE +S △COD +S △EDO ＝2S △BOC +S △EDO ，故④正确，故答案为：①③④．16．（3分）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AC ，DB 平分∠ADC ，∠BCD ＝150°．则∠ABD 的度数为 30 °．【解答】解：作△BCD 的外接圆⊙O ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，如图，∵∠BCD ＝150°，∴∠BOD ＝60°．∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形．∴∠OBD ＝∠ODB ＝60°，BD ＝OB ＝OD ．在△OBA 和△OCA 中，{OA =OA OB =OC AB =AC，∴△OBA ≌△OCA （SSS ）．∴∠BOA ＝∠COA =12∠BOC ．∵DB 平分∠ADC ，∴∠ADB ＝∠CDB =12∠ADC ．∵∠BDC =12∠BOC ，∴∠BOA ＝∠COA ＝∠ADB ＝∠CDB ．∵∠BOD ＝∠BDO ＝60°，∴∠BOD ﹣∠BOA ＝∠BDO ﹣∠ADB ．∴∠AOD ＝∠ADO ．∴AO ＝AD ．在△OBA 和△DBA 中，{OB =BD BA =BA AO =AD，∴△OBA ≌△DBA （SSS ）．∴∠ABO ＝∠ABD =12∠OBD ＝30°．故答案为：30．三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．17．（8分）如图，DE 分别与△ABC 的边AB ，AC 交于点D ，点E ，与BC 的延长线交于点F ，∠B ＝65°，∠ACB ＝70°，∠AED ＝42°，求∠BDF 的度数．【解答】解：∵∠B ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，又∵∠AED ＝42°，∴∠BDF ＝∠A +∠AED＝45°+42°＝87°．18．（8分）如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠DEF ，BE ＝CF ，求证：AC ∥DF ．【解答】证明：∵BE ＝CF （已知），∴BE +EC ＝EC +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D∠B =∠DEF BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），∴AC ＝DF （全等三角形对应边相等）．19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n +6；3n ；n +2．（n 为正整数）（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n 的最大值为 7 ．【解答】解：（1）①如果n +2＝3n ，解得n ＝1，三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；②如果n +6＝3n ，解得n ＝3，三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．综上所述，等腰三角形三边的长为5，9，9；（2）n 的最大值为7．由三角形三边关系知，{(n +2)+(n +6)＞3n (n +2)+3n ＞n +6， 解得43＜n ＜8， ∵三角形的三条边都不相等，∴3n ≠n +6，∴n ≠3，∴43＜n ＜8且n ≠3， ∵n 为正整数，∴n 的最大值为7．故答案为：7．20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）如图1，连接AC．①∠ACB＝30°；②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；（2）已知，P为AF边上一点，①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．【解答】解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝120°，BA＝BC，∴∠ACB＝∠BAC=12（180°﹣120°）＝30°，故答案为：30；②如图1中，△ACE即为所求；（2）①如图2中，点Q即为所求；②如图3中，线段PH即为所求．21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，CB＝CA，∵∠ACE＝20°，∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，由翻折的性质可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，∴∠CAD＝∠D＝80°，∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．（2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，则∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，∴∠ACD＝60°﹣2α，∵CA＝CD，∴∠CAD=12（180°﹣60°+2α）＝60°+α，∵∠DAC＝∠E+∠ACE，∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，∵CT⊥AD，CA＝CD，∴AT＝DT，∴∠ECT＝30°，∴ET=12EC＝2，∴AT＝DT﹣AE＝2﹣1＝1，∴AD＝2AT＝2．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．【解答】（1）证明：∵ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD＝AD，∵∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：连接AP，BQ，∵△BCE是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵△ACD是等边三角形，∴CP垂直平分AD，∴DP＝AP，同理得EQ＝BQ，∴PD+PQ+QE＝AP+PQ+BQ，∴当点P、Q落在AB上时，PD+PQ+QE的最小值为AB，∵∠ABC＝30°，AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴PD+PQ+QE的最小值为4．23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；（2）若∠CED＝45°．①如图2，求证：BE⊥AE；②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．【解答】（1）证明：如图1中，延长CE交AB于点J．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵CE平分∠ACB，∴CJ⊥AB，AJ＝JB，∴EA ＝EB ，∵∠ADC ＝60°，∴∠DAC ＝90°﹣∠ADC ＝30°，∴∠EAB ＝∠EBA ＝15°，∴∠EBD ＝30°，∵∠EDC ＝∠EBD +∠BED ＝60°，∴∠EBD ＝∠BED ＝30°，∴DB ＝DE ；（2）①证明：如图2中，过点C 作CH ⊥CE 交AE 于点H ．∵∠AEC ＝45°，∠ECH ＝90°，∴∠CEH ＝∠CHE ＝45°，∴CE ＝CH ，∵∠ACB ＝∠ECH ＝90°，∴∠ACH ＝∠BCE ，在△ACH 和△BCE 中，{CA =CB ∠ACH =∠BCE CH =CE，∴△ACH ≌△BCE （SAS ），∴∠CAH ＝∠CBE ，∵∠ADC ＝∠BDE ，∴∠ACD ＝∠BED ＝90°；②解：如图3中，过点C 作CH ⊥CE 交AD 的延长线于点H ，连接BH ．同法可证，△ACE≌△BCH（SAS），BH⊥AH，∴BH＝AE＝1，∵∠BHE＝90°，∠BEH＝30°，∴BE＝2BH＝2．24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB 绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．（1）若α＝90．①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．【解答】（1）①解：如图1中，过点C作CH⊥x轴于点H．∵∠AOB ＝∠BAC ＝∠AHC ＝90°，∴∠BAO +∠CAH ＝90°，∠CAH +∠ACH ＝90°，∴∠OAB ＝∠ACH ，在△AOB 和△CHA 中，{∠AOB =∠CHA∠OAB =∠HCA AB =CA，∴△AOB ≌△CHA （AAS ），∴OB ＝AH ，CH ＝OA ，∵B （0，1），A （3，0），∴OB ＝1，OA ＝3，∴AH ＝1，CH ＝3，OH ＝4，∴C （4，3）；②证明：如图2中，过点D 作DM ⊥OA 于点M ，DN ⊥OB 于点N ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，AD ＝DB ＝DC ，∠DAB ＝∠DAC ＝45°，∵∠DMO ＝∠DNO ＝∠MON ＝90°，∴∠MDN ＝∠ADB ＝90°，∴∠BDN ＝∠ADM ，∵∠ADB ＝∠AOB ＝90°，∴∠DAM +∠DBO ＝180°，∵∠DBO +∠DBN ＝180°，∴∠DBN ＝∠DAM ，在△DNB 和△DMA 中，{∠DNB =∠DMA∠DBN =∠DAM DB =DA，∴△DNB ≌△DMA （AAS ），∴DM ＝DN ，∵DM ⊥OA ，DN ⊥OB ，∴OD 平分∠AOB ；（2）解：作NE ∥AB 交AC 于点E ，连接PM ，AN ，P A ，过点O 作OF ⊥P A 交P A 的延长线于点F ．∵OA ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝45°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠CBA ＝∠CAB ＝∠C ＝60°，∵NE ∥AB ，∴∠CNE ＝∠CBA ＝60°，∠CEN ＝∠CAB ＝60°，∴△CEN 是等边三角形，∴CN ＝NE ＝CE ，∵BM ＝CN ，CB ＝CA ，∴NE ＝BM ，BN ＝AE ，∵∠CBA ＝∠CEN ＝60°，∴∠MBN ＝∠AEN ＝120°，在△NBM 和△AEN 中，{BM =EN ∠NBM =∠NEA BN =EA，∴△NBM ≌△AEN （SAS ），∴NM ＝AN ，∵NM ＝NP ，∴AN ＝NP ，∴∠NMA ＝∠NAM ，∠NAP ＝∠NP A ，∵∠MNP ＝120°，∴2∠NAM +2∠NAP ＝240°，∴∠P AM ＝∠NAM +∠NAP ＝120°，∴∠OAP ＝∠OAB +∠MAP ＝165°，∴∠AOF ＝180°﹣165°＝15°，∴点P 在直线P A 上运动（∠OAP ＝165°），根据垂线段最短可知，当点P 与F 重合时，OP 的值最小，此时∠AOP ＝90°﹣15°＝75°．。