相似三角形的判定与性质综合运用经典题型
初中数学相似三角形的经典综合题
初中数学相似三角形的性质与应用经典试题一、知识体系：1．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等； ②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形对应边上的高之比，对应边上的中线之比，对应角的角平分线之比都等于相似比； ④相似三角形的周长之比等于相似比。
⑤相似三角形的面积之比等于相似比的平方（2k ）。
二、典型例题：例1：若△ABC∽△A′B′C′，且,,34AB A B ，△ABC 的周长为15cm ，则△A′B′C′的周长为（ ） A ．18 B ．20 C ．154 D ．803针对练习：1．已知△ABC∽△DEF，且△ABC 的三边长为3、4、5，若△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是（ ） A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．32．一直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x ，那么x 的值为（ ） A ．7 B ．5 C ．7或5 D ．无数个例2：（2014江苏南京，3）若△ABC ∽△A′B′C′，相似比为1:2，则△ABC 与△A′B′C′的面积的比为（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．1:4 D ．4:1 针对练习：1．两相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为322cm ，那么小三角形的面积为（ ） A ．102cm B ．142cm C ．162cm D ．182cm2．如图，DE ∥BC ，若AD ＝1，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 面积之比是 ▲ 。
3．如图，平行四边形ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD ＝2DE ，若△DEF 的面积为a ，则平行四边形ABCD 的面积为 ▲ （用a 的代数式表示）。
4．如图，在四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，EC ∥AB ，EB ∥DC ，若△ABE 的面积为3，△ECD 的面积为1，则△BCE5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 。
相似三角形常考综合题精练(11大题型)(原卷版)—2024-2025学年九年级数学上册(北师大版)
相似三角形常考综合题精练（11大题型）本讲目录链接题型01比例线段的应用题型02黄金分割题型03平行线分线段成比例定理题型04相似多边形的性质题型05相似三角形的性质与判定题型06相似三角形的实际应用题型07图形的位似题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定题型11相似三角形的综合问题题型01比例线段的应用1．定义一个运算()()1212121212,,,,0n n n n nx x x H x x x y y y y y y y y y +++=+++¹+++L L L L L ，下列说法正确的有（ ）个①()1,231H =；②若()()24,41,21H x H x ---=-，则=1x -或2；③()()()()22217511,212,413,6110,20264H H H H ++++=L ；④若()()()(),,,,,,,,H a b c d H b a c d H c a b d H d a b c ===，则1c d a b +=+．A ．1B ．2C ．3D ．42．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若A B C a ===，则一次函数1y ax =-的图像必过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 均为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实数根，则22182023y A B C +=+．A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，已知在ABC V 中，点D F 分别为边AB BC AC 、、上的点，且AE BF CD 、、相交于点G ，如果2014AG BG CG GE GF GD ++=，那么AG BG CG GE GF GD ××的值为 ．4．已知代数式x A y z =+，y B x z=+，z C x y =+，下列结论中，正确的个数是（ ）①若::1:2:3x y z =，则::2:5:10A B C =；②若()0A B C a a ===¹，则一次函数1y ax =-的图象必定经过第一、三、四象限；③若x ，y ，z 为正整数，且x y z <<，则A B C <<；④若1y =，2z =-，且x为方程21m =的一个实根，则2211A B +与82023C+的值相等；⑤若222x y zx yzxy yz zx z-+-=+++，222y z xy zxxy yz zx x-+-=+++()()()A AB B BC C C A-+-+-的值为28．A．1B．2C．3D．4题型02黄金分割5．我们把宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.如图,在黄金矩形ABCD()AB BC<中,ABCÐ的平分线交AD边于点E,EF BC^于点F,则下列结论错误的是（）A．AE DEAD AE=B．CF BFBF BC=C．AE BEBE BC=D．DE ABEF BC=6．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接BE，延长DA至F，使得EF BE=，以AF为边作正方形AFGH，则点H 即是线段AB的黄金分割点．若20AD=，记正方形AFGH的面积为1S，矩形BCIH的面积为2S，则1S与2S 的和为．7．如图①，点C把线段AB分成两部分()AC BC>，若AC BCAB AC=，那么称点C为线段AB的黄金分割点．类似的，可以定义“黄金分割线”：直线l把一个面积为S的图形分成面积为1S和2S的两部分12()S S>，如果121S SS S=，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在ABC V 中，若点D 是线段AB 的黄金分割点()BD AD >，线段CD 所在直线是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？(2)在（1）的条件下，如图③，过点C 作一条直线交BD 边于点E ，过点D 作DF EC ∥交ABC V 的一边于点F ，连接EF ，交CD 于点G ，回答问题．①CFG S V ______EDG S △（填“＞”“＜”或“=”）．②EF 是ABC V 的黄金分割线吗？为什么？8．（1）在图①中按下列步骤作图：第一步：过点C 画CD AC ^，使12CD AC =；第二步：连接AD ，以点D 为圆心，DC 的长为半径画弧，交AD 于点E ；第三步：以点A 为圆心，AE 的长为半径画弧，交AC 于点B ．（2）在所画图中，点B 是线段AC 的黄金分割点吗？为什么？（3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段AB 为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC ．（不写作法，保留作图痕迹）9．请阅读下列材料，并完成相应的任务：公元前300著．黄金分割（goldensection ）是指把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值．如图①，在线段AD 上找一个点C ，C 把AD 分为AC 和CD 两段，其中AC 是较小的一段，如果::AC CD CD AD =，那么称线段AD 被C 点黄金分割，点C 叫做线段AD 的黄金分割点，AC 与CD 的比值叫做黄金分割数．为简单起见，设1,AD CD x ==，则1AC x =-．∵::AC CD CD AD =，∴……任务：(1)请根据上面的部分解题过程，求黄金分割数．(2)如图②，采用如下方法可以得到黄金分割点：①设AB 是已知线段，过点B 作BD AB ^且使12BD AB =；②连接DA ，在DA 上截取DE DB =；③在AB 上截取AC AE =；则点C 即为线段AB 黄金分割点．你能说说其中的道理吗？(3)已知线段1AB =，点C ，D 是线段AB 上的两个黄金分割点，则线段CD 的长是 ．10．材料一：北师大版数学教材九年级上册第四章，对“黄金分割比”的定义如下：“如图 ，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝BC AC ，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC AB .”根据定义不难发现，在线段AB 另有一点D 把线段AB 分成两条线段AD 和BD ，满足BD AB ＝AD BD ，所以点D 也是线段AB 的黄金分割点．材料二：对于实数：a 1＜a 2＜a 3＜a 4，如果满足（a 3﹣a 1）2＝（a 4﹣a 3）（a 4﹣a 1），（a 4﹣a 2）2＝（a 2﹣a 1）（a 4﹣a 1）则称a 3为a 1，a 4的黄金数，a 2为a 1，a 4的白银数．请根据以上材料，回答下列问题（1）如图，若AB ＝4，点C 和点D 是线段AB 的黄金分割点，则AC ＝ ，CD ＝ ．（2）实数0＜a ＜b ＜1，且b 为0，1的黄金数，a 为0，1的白银数，求b ﹣a 的值．（3）实数k ＜n ＜m ＜t ，t ＝2|k |，m ，n 分别为k ，t 的黄金数和白银数，求m n 的值．11．根据以下素材，探索完成任务．题型03平行线分线段成比例定理12．如图，在正方形中，分别以点A 和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和ABCD B 12AB E，作直线，再以点A 为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ）AB ．CD13．如图是一张矩形纸片，点为AD 中点，点在上，把该纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点．若，则．14．如图，、，、分别是和的中点，过的直线依次交、、、于点、、、，求证：．15．如图，，点在上，过点作的平行线，与的平分线交于点，为的中点，点在上，（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．F EF AD EFG G ABCD DG BC K 2BK =ABCD 1521ABCD E F BC EF A B A ¢B ¢A E ¢BC G B A ¢¢C 23BF GC =AD AB =AB CD ∥AD CE F G AC FD G AB AD CD CE M N P Q 2PQ PN +=OPQ a Ð=A PQ A PO OPQ ÐB M PB C PM P M ，AC AC A 180a °-AD BD(1)①直接写出线段与之间的数量关系；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；(2)连接并延长，分别交，于点，过点作的垂线，交于点．依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系．16．四边形的两条对角线，相交于点O ，．(1)如图1，已知．①求证：；②若，求的值；(2)如图2，若，，，求的值．题型04相似多边形的性质17．如图，已知在矩形 中，，，点 从点 出发，沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动，点 从点 出发，沿射线 以每秒 个单位的速度运动，当点 运动AP AB BD BM MC DC AB PO E F ，M OP DC N CF CN NE ABCD AC BD 90BAD Ð=°AC CD =ACD BAC Ð=Ð225OC OA =OB OD 90BCD Ð=°AB AD =3CD BC =AC BDABCD AB 2=BC 6=E D DA 1A F B AB 3E到点 时，， 两点停止运动．连接 ，过点 作 ，垂足为 ，连接 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 ．给出下列结论：① ；② ；③ ；④ 的值为定值．上述结论中正确的个数为 （ ）个．A．B ．C ．D ．18．已知E、F 、G 、H 各点分别在四边形的、、、边上（如图）．(1)当时，求证：(2)当上述条件中比值为3，4，…，n 时（为自然数），那么与之比是多少？19．如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODEF ∽矩形ABCO ，其相似比为1：4，矩形ABCO 的边AB =4，BC （1）求矩形ODEF 的面积；（2）将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC 、EA ，ACE 的面积是否存在最大值或最小A E F BD E EH BD ^H EF BD G BC M CF CDE CBF V V ∽DBC EFC ÐÐ=DE HG AB EH=GH 1234ABCD AB BC CD DA 2AE BF CG DH EB FC GD HA ====59EFGH ABCDS S =四边形四边形n EFGH S 四边形ABCD S 四边形V值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．20，则称这条直线为该矩形的黄金线．例如图所示的矩形中，直线，分别交、于点、，且，显然直线是矩形的黄金线．（1）如图，在矩形中，，．请在图中画出矩形的其中一条黄金线，其中在边上，在边上，并标注出线段的长度；（2）将正方形纸片按图所示的方式折叠．如图所示，按上述方法折叠所得到的折痕是否为正方形的黄金线？请说明理由．ABCD EF BC^AD BC E F AE AB =EF ABCD ABCD 2AB = 3AD =ABCD MN M AD N BC AM GH ABCD（3）在矩形中，，，已知矩形的黄金线恰好将矩形分割成两个黄金矩形，则______（只要求直接写出其中三个答案）．21．阅读下列材料，完成任务：自相似图形定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形．例如：正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，连接EG ，HF 交于点O ，易知分割成的四个四边形AEOH 、EBFO 、OFCG 、HOGD 均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形．任务：（1）如图1中正方形ABCD 分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为________；（2）如图2，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC 也是“自相似图形”，他的思路是：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 将△ABC 分割成2个与它自己相似的小直角三角形．已知△ACD ∽△ABC ，则△ACD 与△ABC 的相似比为________；（3）现有一个矩形ABCD 是自相似图形，其中长AD=a ，宽AB=b （a ＞b ）．请从下列A 、B 两题中任选一条作答．A ：①如图3﹣1，若将矩形ABCD 纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；ABCD 1AB =AD a =ABCD EF ABCD a=②如图3﹣2若将矩形ABCD 纵向分割成n 个全等矩形，且与原矩形都相似，则a=________（用含n ，b 的式子表示）；B ：①如图4﹣1，若将矩形ABCD 先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含b 的式子表示）；②如图4﹣2，若将矩形ABCD 先纵向分割出m 个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a=________（用含m ，n ，b 的式子表示）．题型05相似三角形的性质与判定22．如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（ ）A ．的长B ．的长C ．的长D ．的长23．如图，，，，点E 在边上运动（不与端点重合），边始终过点A ，交于点G 是等腰三角形时，的面积是（ ）．A ．8或B ．8C．D ．6或 24．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边AB ，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ．Rt ABC △90ACB Ð=°AB ABDE EF BC ^F AD G BG BFG V AC BC BF FG ABC DEF ≌△△5AB AC ==6BC EF ==BC DE EF AC AEG AEG △625108625108625107ABCD EF BC G H 5GH =25．如图，在正方形中，为边上的两个三等分点，点关于的对称点为，的延长线交于点．(1)求证：；(2)求的大小；(3)求证：．26．如图1，四边形是正方形，点E 在边的延长线上，点F 在边上，且，连接交于点P ，连接交于Q ，连接．(1)求证：；(2)连接，如图2，①若的长；②若，则 ．27．平移图形是解答几何题目时一种重要的添加辅助线策略．如图①，在正方形中，E 、F 、G 分别是、、上的点，于点Q ．求证：．小鹿在分析解题思路时想到了两种平移法：方法一：平移线段使点F 与点B 重合，构造全等三角形；ABCD E F ，AB A DE A ¢AA ¢BC G DE A F ¢∥GA B ¢Ð2A C A B ¢¢=ABCD BC AB AF CE =EF DC AC EF DE DF 、EQ FQ =BQ AQ DP ×=BQ FP FD =PE PQ=ABCD BC AB CD FG AE ^=AE FG FG方法二：平移线段使点B 与F 重合，构造全等三角形；【尝试应用】(1)请按照小鹿的思路，选择其中一种方法进行证明；(2)如图②，点E 、F 、G 、H 分别是矩形边、、、上的点，且，若，，求的值；【拓展探究】(3)如图③，点E 、F 分别是平行四边形边、上的点，连接、交于点G ，若，求证：．28．如图，，，．(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；(2)如图2，若点E 落在边上，求证：；(3)如图3，若点H ，I ，J 分别为，AB ，AD 中点，判断与的数量关系及夹角度数（锐角）．题型06相似三角形的实际应用29．将一本高为（即）的词典放入高（AB ）为的收纳盒中（如图1）．恰好能盖上盒盖时，测得底部F 离收纳盒最左端B 处，若此时将词典无滑动向右倒，书角的对应点恰为CD 中点．BC ABCD AB CD AD BC EF GH ^3AB =4BC =EF GHABCD AB AD CF DE 180B EGC Ð+Ð=°DE AD CF CD=90BAC AED ÐÐ==°AB AC =EA ED =BC 2222AD EF BF EF =+×BC IJ HE 17cm 17cm EF =16cm 8cm H H ¢（1）收纳盒的长 ；（2）现将若干本同样的词典放入此有盖的收纳盒中，如图2放置，则最多有本书可与边BC 有公共点．30．【问题探究】（1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ；（2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值；【问题解决】（3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）．31．BC =Rt ABC △90BAC Ð=°4AB=AC =ABC V C DEC V A D BC BD ABCD 2AB =6AD =O ABCD E AD 2AE =F BC EF OF EF OF -ABC 24cm AB BC ==90ABC Ð=°DE D BC E ABC V B E 13cm DE BC ^BC BA M N M N BM BN =EM EN EP EM =PN PN PN NBN32．在光学中，由实际光线会聚成的像，称为实像，而光线能会聚的是因为折射．图中，凸透镜的焦距为f ，主光轴，A ，B ，C ，D 都在l 上，其中O 是光心，，蜡烛（蜡烛可移动，EF l EF ^2OB OD f ==PQ l ^且），光线，其折射光线与另一条经过光心的光线相交于点（）即为蜡烛在光屏上所成的实像．图中所有点都在同一平面内．记物高为h ，像高为，物距，像距为v ．(1)若，，， ．(2)求证．(3)当f 一定时，画出v 与u 之间的函数图象，并结合图象描述v 是怎么随着u 的变化而变化的？33．阅读理解：如图1，在△ABC 中，当DE ∥BC 时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE ∥BC ．理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．（1）如图2，已知矩形DEFG 是△ABC 的一个内接矩形，将矩形DEFG 沿CB 方向向左平移得矩形PBQH ，其中顶点D 、E 、F 、G 的对应点分别为P 、B 、Q 、H ，在图2中画出平移后的图形；（2）在（1）所得的图形中，连接CH 并延长交BP 的延长线于点R ，连接AR ．求证：AR ∥BC ；（3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC 空地的边AB ＝400米，BC ＝600米，∠ABC ＝45°；准备在△ABC 内建一个内接矩形广场DEFG （点E 、F 在边BC 上，点D 、G 分别在边AB 和AC 上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG 的对角线EG 最短，请在备用图中画出使对角线EG 最短距离（不要求证明）．34．阅读理解：如图1，AD 是△ABC 的高，点E 、F 分别在AB 和AC 边上，且EF BC ，可以得到以下结论：．OQ f >PG l ∥GC PP ¢P ¢P Q l ¢¢^()PQ ()P Q ¢¢h ¢()OQ ()OQ ¢10cm f =10cm h =15cm u ==v cm 111u v f+=()u f >AD AE DE AB AC BC ==AD AE BD CE =BD CE AB AC=//AH EF AD BC=拓展应用：(1)如图2，在△ABC中，BC＝3，BC边上的高为4，在△ABC内放一个正方形EFGM，使其一边GM在BC 上，点E、F分别在AB、AC上，则正方形EFGM的边长是多少？(2)某葡萄酒庄欲在展厅的一面墙上，布置一个腰长为100cm，底边长为160cm的等腰三角形展台．现需将展台用隔板沿平行于底边，每间隔10cm分隔出一排，再将每一排尽可能多的分隔成若干个无盖正方体格子，要求每个正方体格子内放置一瓶葡萄酒．平面设计图如图3所示，将底边BC的长度看作是0排隔板的长度．①在分隔的过程中发现，当正方体间的隔板厚度忽略不计时，每排的隔板长度（单位：厘米）随着排数（单位：排）的变化而变化．请完成下表：排数/排0123…隔板长度/厘米160__________________…若用n表示排数，y表示每排的隔板长度，试求出y与n的关系式；②在①的条件下，请直接写出该展台最多可以摆放多少瓶葡萄酒？35．阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔（2）请求出丙树的高度．36．【问题背景】人教版九年级下册教材第58页第11题：如图1，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，这个正方形零件的边长是多少?【提出问题】在满足正方形的一边在三角形的一边上，其余两个顶点分别在另外两边上的条件下，能否在上面的材料上，加工一个面积更大的正方形？如何用直角尺（只能画直角）和圆规画出这个正方形？【分析问题】小敏认为，由于正方形的一边在三角形的一边上，这样就存在三种可能．在已知三边长度的情况下，可以通过计算，分别求出三个正方形的边长，然后比较三条边长的大小，进而知道面积最大的正方形；也可以结合当前所学的位似，分别画出满足条件的正方形，再利用圆规比较三个正方形的边长的大小，即可解决问题．【解决问题】为了简化探索过程，小敏取边长分别为的三个等腰三角形（其中为腰）木块进行研究．如图2，正方形的顶点分别在上，边在上．如图3，正方形的顶点分别在上，边在上．请你完成下面两个问题：（1）通过计算，比较这两个正方形的边长的大小；（2）在图4中，用直角尺（只能画直角）和圆规画出面积最大的正方形，使其一边在三角形的一边上，其ABC 120mm BC =80mm AD =BC AB AC，556cm cm cm ，，AB AC ，EFGH E H ，AB AC ，FG BC MNPQ M N ，AB BC ，PQ AC余两个顶点分别在另外两边上（保留画图痕迹）．【学以致用】定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．小敏类比上面的研究方法，又提出下面问题：在如图5所示的扇形中，能否用直角尺和圆规画出一个正方形，使其两个顶点在弧上，另外两个顶点在半径上？你认为可以吗？如果可以、在图中画出符合条件的正方形（保留画图痕迹）；如果不可以，说明理由．题型07图形的位似37．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A ，B ，C 三点是格点，点P 在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．(1)在图（1）中，将线段沿的方向平移，使点B 与点C 重合，画出平移后的线段；再将绕的中点顺时针旋转，得到，画出线段；(2)在图（2）中，连接，将以C为位似中心缩小为原来的得到，画出；88´BC AB BC CD PC AC 180°GA GA AP APC △12EFC V EFC V(3)在图（3）中，在上画一点M ，在AB 上画一点N ，使得最小．38．（1）在正方形方格纸中，我们把顶点都在“格点”上的三角形称为“格点三角形”，如图，△ABC 是一个格点三角形，点A 的坐标为（－2，2）．①△ABC 的面积为______；②在所给的方格纸中，请你以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半；（仅用直尺完成作图）③在（2）中，若P （a ，b ）为线段AC 上的任一点，则缩小后点P 的对应点P 1的坐标为______．（2）按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹：我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．AC PM PN+①如图1，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点，作BC 的中点F ．②如图2，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC 的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC 的高AH ．39．如图①，在中，，，点D 是上一点，且．动点F 从点C 出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B 运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F 为直角顶点，且点E 与点B 位于线段两侧．设点F 的运动时间为t （秒）．AI(1)求线段的长度；(2)当点E 落在的中位线上时，求出t 的值：(3)连接，则线段的最小值是______．(4)如图②．以点B 为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t 的值．题型08旋转背景下的相似三角形的性质与判定40．定义：如果将一个三角形绕着它的一个角的顶点旋转后，使这个角的一边与另一边重叠，再将所旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边相互重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个三角形的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在中，，是以点为转似中心的顺时针的一个转似三角形，那么以点A 为转似中心的逆时针的另一个转似三角形 （点分别与对应），其中边的长为Rt ABC △9AB =12BC =AB 2AD BD =CB DF DEFDF AC Rt ABC △CE CE DEF V D E F ¢¢¢△3DF D F ¢¢=E C ¢E C ¢Rt DEF △ABC V 465AB AC BC ===，，AB C ¢¢△ABC V A AB C ¢¢¢¢△B C ¢¢¢¢，B C 、B C ¢¢¢¢41．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）．（1）发现问题：如图1，若，猜想：________；（2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，的长．42．综合与实践．问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动．实践操作：如图1，将等腰Rt △AEF 绕正方形ABCD 的顶点A 逆时针方向旋转，其中∠AEF ＝90，EA ＝EF ，连接CF ，点H 为CF 的中点，连接HD ，HE ，DE ，得到△DHE ．应用探究：（1）勤奋组：如图2，当点E 恰好落在正方形ABCD 的对角线AC 上时，判断△DHE 的形状，并说明理由；（2）善思组：如图3，当点E 恰好落在正方形ABCD 的边AB 上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；深入探究：（3）创新小组：ABCD O AC BD EPF ÐP O OE OF AB BC E F EF BC k AB =×k 1k =OE OF=1k ¹OE OF FO FC =k OD =EF发现若连接BE ，在旋转Rt △AEF 的过程中，为定值，请你直接写出其值 ．43．数学课上，有这样一道探究题．如图，已知中，AB =AC =m ，BC =n ，，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究的值和的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：（1）填空：【问题发现】小明研究了时，如图1，求出了___________，___________；小红研究了时，如图2，求出了___________，___________；【类比探究】他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了；【归纳总结】最后他们终于共同探究得出规律：__________(用含m 、n 的式子表示)；___________ (用含α的式子表示)．（2）求出时的值和的度数．BE CFABC V ()0180BAC a a Ð=°<<°EF AP b 60a =°EF PA =b =90a =°EF PA =b =EF PA EF PA =b =120a =°EF PAb44．在学习完《图形的旋转》后，数学小组的同学们展开了新的探究．(1)【问题初探】如图1，在中，点D 在边上，交于点E ．绕点A 逆时针旋转得到（点D 的对应点为点，点E 的对应点为点），连接，，得到和，如图2，数学小组的同学们发现．请你帮助他们证明这一发现．(2)【问题应用】如图3，中，，，，M ，N 分别为边与的中点．绕点C 旋转，点M 的对应点为点E ，点N F ，直线与直线交于点G ．①如图4，当点E 落在线段AF 上时，求证：；②当点A ，E ，F 三点在同一条直线上时，直接写出的长．(3)【问题拓展】如图5，在（2）条件下，连接，取中点K ，取中点H ，请直接写出的最大值为___________．题型09折叠背景下的相似三角形的性质与判定45．在边长为4的正方形中，E 是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A 落在点H 处，直线交于点F ，连接，，分别与AC 交于点P 、Q ，连接，．则以下结论中正确的有________ (写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．ABC V AB DE BC ∥AC ADE V AD E ¢¢△D ¢E ¢BD ¢CE ¢ABD ¢△ACE ¢V ABD ACE ¢¢△∽△Rt ABC V 90ACB Ð=°6AC =8BC =AC BC CMN V EF BC 90BFE Ð=°BG AF AF EB HK ABCD AD ABE V BE EH CD BF BE BF PD PF =PB PD 2EFD FBC Ð=ÐPQ AP QC =+BPF △DHDH 446．如图，正方形的边长为6，点P 是边上的动点，将沿折叠得到，射线与边和射线的延长线交于F ，E 点．(1)如图①，若四边形是平行四边形，求证：；(2)如图②，当时，求的长；(3)如图③，当时，求的面积．47．如图①，在中，，动点D 从点C 出发沿以每秒5个单位长度的速度向终点A 从点A 出发沿以每秒3个单位长度的速度向终点B 运动．设点D 运动的时间是t 秒．过点D 作于点F ，连结．(1) ， ；（用含t 的代数式表示）(2)当四边形是菱形时，t 的值为 ；ABCD BC ABP V AP APB ¢V AB ¢DCBC APED DF EF =DF 2CF =BP FB CF ¢=DFE △Rt ABC △90159ABC AC AB Ð=°==，，CA AB ()03t <<DF BC ^DE EF、AE =AD =AEFD(3)当垂直于的一边时，求t 的值；(4)如图②，将沿翻折，点A 的对应点为点，直接写出点在外部时t 的取值范围．48．在矩形中，点E ，F 分别在边AD ，上，将矩形沿折叠，使点A 的对应点P 落在边CD 上，点B 的对应点为点G ，交于点H ．(1)如图1，求证：；(2)如图2，当P 为CD 的中点，，时，求的长；(3)如图3，连接，当P ，H 分别为CD ，的中点时，探究与AB 的数量关系，并说明理由．49．（1）【动手操作】如图1，将正方形沿直线折叠，使点的对应点M 始终落在边上（点M 不与点A ，D 重合），点C 落在点N 处，与交于点P ，折痕分别与边，交于点，，连接．求证：；（2）【问题探究】在图1中，若正方形的边长为，当点运动到的中点时，求的长；（3）【拓展延伸】如图2，若把（1）【动手操作】中的正方形改成矩形，且，其中，其他条件不变，若，直接写出折痕的长度的取值范围是______．（用含m 的式子表示）题型10动点背景下的相似三角形的性质与判定50．如图，在矩形中，厘米，厘米．点沿AB 边从开始向点以厘米/秒的速度移动；同时点沿边从点开始向点以厘米/秒速度移动，用（秒）表示移动的时间（）．DE ABC V DEA △DE A ¢A ¢ABC V ABCD BC ABCD EF PGBC DEP CPH △∽△2AB =3AD =GH BG BC BG ABCD EF B AD MN CD AB CD E F BM BM EF=ABCD 3P CD MD ABCD ABCD AB mAD =1m ³2AD =EF ABCD 12AB =6BC =P A B 2Q DA D A 1t 06t ££。
专题2.14相似三角形的性质与判定大题专练
2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.14相似三角形的性质与判定大题专练（期末培优30题）班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________本试卷满分120分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022秋•茌平区校级期末）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，点D在边AC上，且DE⊥AC交BC于点E．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）若AB＝3，AC＝5，E是BC中点，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE的长．【解答】（1）证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠CDE＝90°＝∠B．又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA．（2）解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，∴BC=4．∵E是BC中点，∴CE=12BC＝2．∵△CDE∽△CBA，∴DEBA=CECA，即DE3=25，∴DE=2×35=65．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE的长．2．（2022秋•大连期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠ADC＝∠BAC，CD＝1，BD＝3，求AC 的长．【答案】AC＝2．【分析】由题意可得BC＝BD+CD＝4，根据∠ADC＝∠BAC，公共角∠C＝∠C，即可证明△ADC∽△BAC，根据相似三角形的性质即可得到结果．【解答】解：∵CD＝1，BD＝3，∴BC＝BD+CD＝4，∵∠ADC＝∠BAC，∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，∴CDAC=ACBC，即AC2＝CD•BC＝4，∴AC＝2（负值舍去）．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定方法是解题关键．3．（2022秋•黄埔区期末）如图，已知AB⊥BC，EC⊥BC，垂足分别为B、C，AE交BC于点D，AB＝12，BD＝15，DC＝5，求EC的长．【答案】EC＝4．【分析】根据AB⊥BC，EC⊥BC可得∠C＝∠B＝90°，由对顶角相等得∠CDE＝∠BDA，则△DCE∽△DBA，根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠C＝∠B＝90°，∵∠CDE＝∠BDA，∴△DCE∽△DBA，∴DCBD=ECAB，∵AB＝12，BD＝15，DC＝5，∴515=EC12，∴EC＝4．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知两个三角形相似，对应边的比相等是解题关键．4．（2022秋•济南期末）如图：点D在△ABC的边AB上，连接CD，∠1＝∠B，AD＝4，AC＝6，求：AB的长．【答案】见试题解答内容【分析】由条件可证明△ACD∽△ABC，于是可得AC2＝AD•AB，再代入已知数据即可求出AB的长．【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A∴△ACD∽△ABC∴ADAC=ACAB∴AC2＝AD•AB而AD＝4，AC＝6∴AB＝9故AB的长为9．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据对应边成比例由已知线段求未知线段是基本思路．5．（2021秋•蓝田县期末）如图，在△ABC与△ADE中，ABAD=ACAE，且∠EAC＝∠DAB．求证：△ABC∽△ADE．【答案】见试题解答内容【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【解答】解：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，∴∠BAC＝∠DAE，∵ABAD=ACAE，∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．6．（2022秋•启东市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC ＝∠ADB．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC＝∠ADB可得出∠ADE＝∠C，结合∠DAE＝∠CAD即可证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质可求出AD的长，再结合AD＝AB即可得出AB的长．【解答】（1）证明：∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE，∠ADB＝∠DAE+∠C，∠DEC＝∠ADB，∴∠ADE＝∠C．又∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴ADAC=AEAD，即AD13=1AD，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED∽△ADC；（2）利用相似三角形的性质，求出AD的长．7．（2021秋•连平县校级期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，且∠ADE＝∠B，其中AE＝1.5，AC＝2，BC＝2，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】先判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出DE的长．【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴AEAC=DEBC，即1.52=DE2，∴DE＝1.5．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．8．（2021秋•临湘市期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．（1）求证：△ADE∽△EFC；（2）若AD＝4，DE＝6，AEEC=2，求EF和FC的值．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，由EF∥AB可得出△EFC∽△ABC，再利用相似于同一三角形的两三角形相似可证出△ADE∽△EFC；（2）由△ADE∽△EFC，利用相似三角形的性质可求出EF和FC的值．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC；∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵△ADE∽△EFC，∴EFAD=ECAE=FCDE，即EF4=12=FC6，∴EF＝2，FC＝3．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）牢记“相似于同一三角形的两三角形相似”；（2）利用相似三角形的性质，求出EF和FC的值．9．（2022秋•北碚区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFD＝∠C．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝AF＝DE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）DE的长为12．【分析】（1）利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而得∠ADE＝∠DEC，然后根据两角相等的两个三角形相似证明即可解答；（2）根据（1）的结论利用相似三角形的性质即可求出DE＝12．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝8，∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFDC，∴DE＝12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．10．（2022秋•长安区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8．在BC的延长线上取一点B，使CE=1 3BC，连接AE，AE与CD交于点F．（1）求证：△ADF∽△ECF；（2）求DF的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行四边形的性质可得出AD∥BE，从而得出∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，即证明△ADF∽△ECF；（2）由平行四边形的性质可得出AD＝BC，AB＝CD＝8，即得出ADCE=3，再根据相似三角形的性质可得出ADCE=DFCF，即DFCF=3，最后结合CD＝DF+CF，即可求出DF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，即AD∥BE，∴∠DAF＝∠CEF，∠ADF＝∠ECF，∴△ADF∽△ECF；（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD＝8，∴CE=13AD，即ADCE=3．∵△ADF∽△ECF，∴ADCE=DFCF，即DFCF=3．∵CD＝DF+CF，∴DF=34CD=6．【点评】本题考查平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质．熟练掌握三角形相似的判定定理及其性质是解题关键．11．（2022秋•内江期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．【答案】（1）见解析过程；（2）3225．【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，由外角的性质可得∠BAD ＝∠CDE ，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求解．【解答】（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵∠ADC ＝∠B +∠BAD ＝∠ADE +∠CDE ，∴∠BAD ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH ＝3，∴AH ==4，∵BD ＝2，BC ＝6，∴DC ＝4，S △ABD =12×BD •AH ＝4，∵△ABD ∽△DCE ，∴S △ABD S △CDE =（AB CD ）2=2516，∴S △CDE =6425，∴12×4×EM =6425，∴EM =3225，∴点E 到BC 的距离为3225．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．12．（2023春•太仓市期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．【答案】（1）证明见解答．（2）AB ＝2．【分析】（1）利用三角形外角的性质及∠DEC ＝∠ADB 可得出∠ADE ＝∠C ，结合∠DAE ＝∠CAD 即可证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质可求出AD 的长，再结合AD ＝AB 即可得出AB 的长．【解答】（1）证明：∵AD ＝AB ，∴∠ADB ＝∠B ，∵∠DEC ＝∠B ，∴∠DEC ＝∠ADB ，又∵∠DEC +∠AED ＝180°，∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠AED ＝∠ADC ，又∵∠EAD ＝∠DAC ，∴△AED ∽△ADC ．（2）解：由（1）可知，△AED ∽△ADC ，∴AE AD =AD AC ，∵AE ＝1，CE ＝3，∴AC ＝4，将AE 、AC 的值代入上式，得：AD 2＝AE ×AC ＝4，故AD ＝2，又∵AB ＝AD ，∴AB ＝2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等，两三角形相似”证出△AED ∽△ADC ；（2）利用相似三角形的性质，求出AD 的长．13．（2022秋•路北区期末）如图，AB ＝4，CD ＝6，F 在BD 上，BC 、AD 相交于点E ，且AB ∥CD ∥EF ．（1）若AE ＝3，求ED 的长．（2）求EF 的长．【答案】（1）92；（2）125．【分析】（1）证明△AEB ∽△DEC ，得到AE DE =AB CD ，把已知数据代入计算即可；（2）根据△BEF ∽△BCD ，得到EF CD =BF BD ，同理得到EF AB =DF BD，两个比例式相加再代入计算，得到答案．【解答】解：（1）∵AB ∥CD ，∴△AEB ∽△DEC ，∴AE DE =AB CD ，∵AB ＝4，CD ＝6，AE ＝3，∴3DE =46，解得：DE =92；（2）∵CD ∥EF ，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD=BFBD，同理：EFAB=DFBD，∴EFCD+EFAB=BFBD+DFBD=1，∴EF6+EF4=1，解得：EF=12 5．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．14．（2022秋•增城区校级期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE ＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）如果E是AC的中点，AD＝8，AB＝10，求AE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）由于点E是AC的中点，设AE＝x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．【解答】解：（1）∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）由（1）可知：△ADE∽△ACB，∴ADAC=AEAB，∵点E是AC的中点，设AE＝x，∴AC＝2AE＝2x，∵AD＝8，AB＝10，∴82x=x10，解得：x＝∴AE＝【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．15．（2022秋•藁城区期末）如图，等边三角形△ACB的边长为3，点P为BC上的一点，点D为AC上的一点，连接AP、PD，∠APD＝60°．（1）求证：△ABP∽△PCD；（2）若PC＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）2 3．【分析】（1）由△ABC为等边三角形，易得∠B＝∠C＝60°，又∠APD＝60°，由外角性质可得∠DPC ＝∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；（2）利用相似三角形的性质可得ABPC=BPCD，易得CD，可得AD，再利用AP2＝AD•AC，可得AP，从而可得答案．【解答】（1）证明：①在等边三角形△ACB中，∠B＝∠C＝60°，∵∠APD＝60°，∠APC＝∠PAB+∠B，∴∠DPC＝∠PAB，∴△ABP∽△PCD；（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB＝AC＝3，∴ABPC=BPCD，∴CD=BP⋅PCAB=2×13=23．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定，由条件证得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此题的关键．16．（2023春•钢城区期末）如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）如果BE＝3，BD＝4，DC＝9，求AB的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）先利用等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，再由∠BDE＝∠CAD可证得△BDE∽△CAD；（2）由相似三角形的性质可得出答案．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵△BDE∽△CAD，∴BECD=BDAC，∴39=4AC，∴AC＝12，∴AB＝12．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．17．（2022秋•丛台区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝32，点D，E分别在近BC，AC 上，且∠ADE＝∠B．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时，求AE的长．【答案】（1）见解答；（2）AE=125 16．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．（2）利用相似三角形的判定和性质，列出比例式，求解即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠B+∠BAD，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE．（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵DE∥AB，∴∠B＝∠CDE＝∠C，∴△ABD∽△CBA，∴ABBC=BDAB，即2032=BD20，解得：BD＝12.5，∴CD＝BC﹣BD＝32﹣12.5＝19.5，∵DE∥AB，∴BDBC=AEAC，即12.532=AEAC，解得：AE=125 16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确记忆三角形相似的条件和性质．18．（2022秋•杭州期末）如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段BD ，AC 上，连结AD ，EF 交于点G ，∠CEF ＝2∠CAD ．（1）求证：△ABC ∽△EFC ．（2）若BE ＝2DE ，AF CF =32，求FG GE 的值．【答案】（1）证明见解析；（2）FG GE =95．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，∠CAB ＝2∠CAD ，根据题意不难证明△ABC ∽△EFC ；（2）过点F 作FH ∥BC ，交AD 于点H ，）根据等腰三角形的性质可得BD ＝CD ，则DE =13CD ，易证明△AHF ∽△ADC ，则HF CD =AF AC =35，易证明△HFG ∽△DEG ，则FG GE =HF DE ，将DE =13CD ，HF CD =35代入即可求解．【解答】（1）证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∵点D 是BC 的中点，∴∠CAB ＝2∠CAD ，∵∠CEF ＝2∠CAD ，∴∠CEF ＝∠CAB ，在△ABC 和△EFC 中，∠ACB =∠ECF ∠CAB =CEF ，∴△ABC ∽△EFC ；（2）过点F 作FH ∥BC ，交AD 于点H ，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，∵BE ＝2DE ，∴DE BD =DE CD =13，即DE =13CD ，∵HF ∥BC ，∴△AHF ∽△ADC ，∴HF CD =AF AC，∵AF CF =32，∴AF AC =35，∴HF CD =AF AC =35，∵HF ∥BC ，∴△HFG ∽△DEG ，∴FG GE =HF DE，由上述知，DE =13CD ，HF CD =35，∴FG GE =HF DE =HF 13CD =3×35=95．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，根据相似三角形的对应边成比例答题时解题关键．19．（2022秋•金山区校级期末）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ，AF 2＝FG •FE ．（1）求证：△CAD ∽△CBG ；（2）联结DG ，求证：DG •AE ＝AB •AG ．【答案】（1）（2）证明见解析．【分析】（1）通过证明△FAG∽△FEA，可得∠FAG＝∠E，由平行线的性质可得∠E＝∠EBC＝∠FAG，且∠ACD＝∠BCG，可证△CAD∽△CBG；（2）由相似三角形的性质可得CACB=CDCG，且∠DCG＝∠ACB，可证△CDG∽△CAB，可得DGAB=CGCB，由平行线分线段成比例可得AECB=AGCG，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF2＝FG⋅FE．∴AFFG=EFAF，∵∠AFG＝∠EFA，∴△FAG∽△FEA，∴∠FAG＝∠E，∵AE∥BC，∴∠E＝∠EBC，∴∠EBC＝∠FAG，∵∠ACD＝∠BCG，∴△CAD∽△CBG；（2）∵△CAD∽△CBG，∴CACB=CDCG，∵∠DCG＝∠ACB，∴△CDG∽△CAB，∴DGAB=CGCB，∵AE∥BC，∴AEBC=AGGC，∴AGAE=GCBC，∴DG AB =AG AE，∴DG •AE ＝AB •AG ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．20．（2022秋•永丰县期末）如图所示，点B ，C ，D 在同一条直线上，且BC ＝CD ，点A 和点E 在BD 的同侧，且∠ACE ＝∠B ＝∠D ．（1）证明：△ABC ∽△CDE ；（2）若BC ＝2，AB ＝3，求DE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）43．【分析】（1）根据三角形内角和定理与平角的定义得出∠A ＝∠ECD ，即可推出结论；（2）根据相似三角形的性质得出比例式求解即可．【解答】（1）证明：∵∠A ＝180°﹣∠B ﹣∠ACB ，∠ECD ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ，∠ACE ＝∠B ，∴∠A ＝∠ECD ，∵∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△CDE ；（2）解：∵△ABC ∽CDE ，∴AB CD =BC DE，∵BC ＝CD ，BC ＝2，∴CD ＝2，∵AB ＝3，∴32=2DE，∴DE =43．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．（2021秋•杨浦区期末）已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ，点E 在边BC 上，AE ∥CD ，DE ∥AB ，过点C 作CF ∥AD ，交线段AE 于点F ，联结BF ．（1）求证：△ABF ≌△EAD ；（2）如果射线BF 经过点D ，求证：BE 2＝EC •BC ．【答案】（1）见解析过程；（2）见解析过程．【分析】（1）先证AB ＝AE ，DE ＝DC ，再证四边形ADCF 是平行四边形，得出AF ＝CD ，进而得出AF ＝DE ，再由平行线性质得∠AED ＝∠BAF ，进而证得结论；（2）通过证明△BEF ∽△BCD ，△DEF ∽△BAF ，可得BE BC =EF CD =EF AF =EC BE，即可得结论．【解答】证明：（1）∵AE ∥CD ，∴∠AEB ＝∠BCD ，∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠ABC ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ，∵DE ∥AB ，∴∠DEC ＝∠ABC ，∠AED ＝∠BAF ，∵∠ABC ＝∠BCD ，∴∠DEC ＝∠BCD ，∴DE ＝DC ，∵CF ∥AD ，AE ∥CD ，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF＝CD，∴AF＝DE，在△ABF和△EAD中，AB=EA∠BAF=∠AEDAF=ED，∴△ABF≌△EAD（SAS）；（2）如图，连接FD，∵射线BF经过点D，∴点B，点F，点D三点共线，∵AE∥DC，∴△BEF∽△BCD，∴BEBC=EFCD，ECBE=DFBF，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴EFAF=DFBF，∴ECBE=EFAF，∵CD＝AF，∴BEBC=EFCD=EFAF=ECBE，∴BE2＝EC•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，利用相似三角形的性质得到线段的关系是解题的关键．22．（2022秋•扶沟县校级期末）如图，已知锐角△ABC中，边BC为12，高AD长为8．矩形EFGIH的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E ，F 分别在AB ，AC 边上，EF 交AD 于点K ．（1）求的EF AK的值；（2）设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值．【答案】（1）32；（2）S 有最大值，最大值为24．【分析】（1）由EF ∥BC ，推出△AEF ∽△ABC ，推出EF BC =AK AD，由此即解决问题．（2）用类似（1）的方法求出EF ，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AK AD ，∴EF AK =BC AD =128=32；（2）∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AK AD ，∴EF 12=8x 8，∴EF =32（8﹣x ），∴S ＝x •32（8﹣x ）=―32x 2+12x =―32（x ﹣4）2+24．∵―32＜0，∴S 有最大值，最大值为24．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．23．（2022秋•信都区校级期末）如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，点P 从B 运动到C ，且∠APD ＝∠C ．（1）求证：AB •CD ＝CP •BP ；（2）若AB ＝6，BC ＝10，求P 到什么位置时，PD ∥AB ．【答案】（1）见解析；（2）BP =185．【分析】（1）先根据得出∠B ＝∠APD ，证明∠DPC ＝∠BAP ，得出△ABP ∽△PCD ，根据相似三角形性质得出AB CP =BP CD，即可证明结论；（2）根据平行线的性质得出∠BAP ＝∠APD ＝∠C ，证明△BAP ∽△BCA ，得出AB BC =BP AB ，根据AB ＝6，BC ＝10，求出BP =185，即可得出当BP =185时，PD ∥AB ．【解答】（1）证明：∵∠B ＝∠C ，∠APD ＝∠C ，∴∠B ＝∠APD ，∵∠APC ＝∠APD +∠DPC ，∠APC ＝∠B +∠BAP ，∴∠DPC ＝∠BAP ，∴△ABP ∽△PCD ，∴AB CP =BP CD，∴AB ⋅CD ＝CP ⋅BP ．（2）解：如图，PD ∥AB ，∴∠BAP＝∠APD＝∠C，又∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ABBC=BPAB，∵AB＝6，BC＝10，∴610=BP6，∴BP=18 5，即当BP=185时，PD∥AB．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明△ABP∽△PCD．24．（2022秋•叙州区期末）已知：如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA＝BC，DA＝DE，如果点D 在BC上，且∠EDC＝∠BAD，点O为AC与DE的交点．求证：（1）△ABC∽△ADE；（2）DA•OE＝OA•CE．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由相似三角形的判定定理可得结论；（2）由相似三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE，通过证明△COD∽△EOA，可得OCOE=ODOA，通过证明△AOD∽△EOC，可得DACE=OAOE，即可得结论．【解答】证明：（1）∵BA＝BC，DA＝DE，∴BABC=DADE=1，∵∠EDC＝∠BAD，∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∴∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE；（2）∵△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，∵∠COD＝∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴OCOE=ODOA又∵∠AOD＝∠EOC，∴△AOD∽△EOC，∴DACE=OAOE，即DA•OE＝OA•CE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．25．（2023春•文山州期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC 于点E，且∠ADC＝60°．（1）求证：△ABE是等边三角形；（2）若ABBC=m(0＜m＜1)，连接OE，设S四边形OECDS△AOD=k，试求k与m满足的关系．【答案】（1）答案见解答过程；（2）m+k＝2．【分析】（1）先由平行四边形的性质得∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，进而得∠DAB＝120°，再根据角平分线的定义得∠BAE＝60°，据此可得出结论；（2）由（1）可知△ABE是等边三角形，则AB＝BE，由AB/BC＝m得AB＝BE＝mBC，过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，先证OM＝ON，然后设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，分别求出S△BOE =12•mab，S△OBC=12•ab，S△OCD＝S△OBC=12•ab，则S△BCD＝ab，S△AOD=12•ab，进而得S四边形OECD =12ab（2﹣m），最后再根据已知条件即可得出k与m满足的关系．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，且∠ADC＝60°，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB＝180°，∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=12∠DAB=12×120°＝60°，∴△ABE是等边三角形；（2）解：由（1）可知：△ABE是等边三角形，∴AB＝BE，∵ABBC=m，∴AB＝BE＝mBC，过点O作OM⊥AD于M，MO的延长线∠BC于N，如图：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，∴∠MAO＝∠NCO，ON⊥BC，在△AOM和△CNO中，∠MAO=∠NCO∠AMO=∠CNO=90°OA=OC，∴△AOM≌△CNO（AAS），∴OM＝ON，设OM＝ON＝a，BC＝AD＝b，则AB＝BE＝mBC＝mb，∴S△BOE =12BE•ON=12mab，S△OBC=12BC•ON=12ab，S△AOD=12AD•OM=12ab，∵OB＝OD，∴△OBC和△OCD等底同高，∴S△OCD ＝S△OBC=12ab，∴S△BCD ＝S△OCD+S△OBC＝ab，∴S四边形OECD ＝S△BCD﹣S△BOE＝ab―12mab=12ab（2﹣m），∴S四边形OECDS△AOD=12ab(2m)12ab=k，∴2﹣m＝k，∴m+k＝2．即：k与m满足的关系是：m+k＝2．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定及性质，三角形的面积等，熟练掌握平行四边形的性质和等边三角形的判定方法，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解答此题的关键．26．（2022秋•怀化期末）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE＝∠ACB．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）若AD＝2DB，AE＝4，AC＝9，求BD的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出证．（2）设BD＝x，则AD＝2x，AB＝3x，根据相似三角形的性质可知ADAC=AEAB，从而列出方程解出x的值．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）解：由（1）可知：△ADE ∽△ACB ，∴AD AC =AE AB，设BD ＝x ，则AD ＝2x ，AB ＝3x ，∵AE ＝4，AC ＝9，∴2x 9=43x ，解得：x =，∴BD 【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．27．（2022秋•兴化市期末）如图，已知∠BAC ＝∠EAF ，∠ABE ＝∠ACF ，若B ，E ，F 三点共线，线段EF 与AC 交于点O ．（1）求证：△ABE ∽△ACF ；（2）若AB ＝3，CF ＝4，△AOB 的面积为9，求△COF 的面积．【答案】（1）见解答；（2）△COF 的面积是16．【分析】（1）由△ABC ∽△AEF ，可得∠BAC ＝∠EAF ，AB ：AE ＝AC ：AF ，可得∠BAE ＝∠CAF ，所以AB ：AC ＝AE ：AF ，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似可得结论；（2）由∠ABE ＝∠ACF ，易证△AOB ∽△FOC ，所以S △BOA ：S △COF ＝（AB CF ）2=916，由此可得结论．【解答】（1）证明：∵∠ABE ＝∠ACF ，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠AFB ＝∠BCA ，∵∠ABC ＝∠EAF ，∴△ABC ∽△AEF ，∴∠BAC ＝∠EAF ，AB ：AE ＝AC ：AF ，∴∠BAC ﹣∠EAC ＝∠EAF ﹣∠EAC ，即∠BAE ＝∠CAF ，∴AB：AC＝AE：AF，∴△ABE∽△ACF；（2）解：∵∠ABE＝∠ACF，∵∠AOB＝∠COF，∴△AOB∽△FOC，∴S△AOB ：S△FOC＝（ABCF）2=916，∵S△AOB＝9，∴S△FOC＝16．【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．28．（2023春•普陀区校级期末）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据两边成比例夹角相等判定两三角形相似即可；（2）只要证明△ADC∽△ACB，即可解决问题；【解答】（1）证明：∵BA•BD＝BC•BE．∴BDBC=BEBA，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA．（2）证明：∵BA•BD＝BC•BE．∴BDBE=BCBA，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCD，∴∠BAE＝∠BCD，∵AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE，∵∠AEC＝∠B+∠BAE，∠ACE＝∠ACD+∠BCD，∴∠B＝∠ACD，∵∠BAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB，∴ADAC=ACAB，∴AC2＝AD•AB．【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．29．（2022秋•细河区期末）如图，平行四边形ABCD，DE交BC于F，交AB的延长线于E，且∠EDB＝∠C．（1）求证：△ADE∽△DBE；（2）若DC＝7cm，BE＝9cm，求DE的长．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由平行四边形的对角相等，可得∠A＝∠C，即可求得∠A＝∠EDB，又由公共角∠E＝∠E，可证得△ADE∽△DBE；（2）根据相似三角形的对应边成比例，进而解答即可．【解答】（1）证明：平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∵∠EDB＝∠C，∴∠A＝∠EDB，又∠E＝∠E，∴△ADE ∽△DBE ；（2）平行四边形ABCD 中，DC ＝AB ，由（1）得△ADE ∽△DBE ，∴DE AE =BE DE，∵DC ＝7cm ，BE ＝9cm ，∴AB ＝7cm ，AE ＝16cm ，∴DE ＝12cm ．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用，要注意仔细识图．30．（2022秋•如皋市期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，M 为AC 上一点，AM ＝4，D 为AB 边上一点（不与A ，B 重合），作∠MDN ＝45°，使DN 交△ABC 的边于点N ．（1）如图1，点N 在BC 上时，①求证：△AMD ∽△DBN ；②若BD AD =15，求BN 的长；（2）若AD BD =13，请直接写出CN 的长．【答案】（1）①证明见解答；②BN 的长为10；（2）CN 的长为3或212．【分析】（1）①由∠C ＝90°，AC ＝BC ，得∠A ＝∠B ＝45°，再证明∠AMD ＝∠BDE ＝135°﹣∠ADM ，即可由“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AMD ∽△DBN ；②由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，根据勾股定理得AB =则AD =56AB ＝BD ＝BN ＝10；（2）当点N 在线段CM 上，作DF ∥AC 交BC 于点F ，由AD BD =13，求得AD =14AB ＝BD ＝设DN 与射线BC 交于点E ，由△AMD ∽△BDE ，可求得BE =272，可知点E 在BC 的延长线上，此时，DE 与AC 交于点N ，EC ＝BE ﹣BC =32，由CF BF =AD BD =13，求得BF =34BC ＝9，则EF ＝BE ﹣BF =92，而FD ＝BF ＝9，即可由△ECN ∽△EFD ，求得CN ＝3；当点N 在线段AM 上，作ML ∥BC 交AB 于点L ，可证明△LDM ∽△AND ，得LD AN =LM AD ，求得AN =32，则CN ＝12―32=212．【解答】（1）①证明：如图1，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝∠B ＝45°，∴∠AMD ＝180°﹣∠A ﹣∠ADM ＝135°﹣∠ADM ，∵∠MDN ＝45°，∴∠BDN ＝180°﹣∠MDN ﹣∠ADM ＝135°﹣∠ADM ，∴∠AMD ＝∠BDN ，∴△AMD ∽△DBN ．②解：如图1，∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝12，AM ＝4，∴AB =∵BD AD =15，∴AD =56AB =56×=BD ＝―∵△AMD ∽△DBN ，∴AM BD =AD BN ，∴BN =AD⋅BD AM =10，∴BN 的长为10.（2）解：如图2，点N 在线段CM 上，作DF ∥AC 交BC 于点F ，∵ADBD =13，∴AD =14AB =14×=BD ＝―设DN 与射线BC 交于点E ，∵∠A ＝∠B ，∠AMD ＝∠BDE ＝135°﹣∠ADM ，∴△AMD ∽△BDE ，∴AMBD=ADBE，∴BE=AD⋅BDAM=272，∴点E在BC的延长线上，此时，DE与AC交于点N，EC＝BE﹣BC=272―12=32，∵CFBF=ADBD=13，∴BF=34BC=34×12＝9，∴EF＝BE﹣BF=272―9=92，∵∠BDF＝∠A＝∠B，∴FD＝BF＝9，∵CN∥DF，∴△ECN∽△EFD，∴CNFD=ECEF，∴CN=EC⋅FDEF=32×992=3；如图3，点N在线段AM上，作ML∥BC交AB于点L，∵ALAB=AMAC=412=13，∴AL=13AB=13×∴LD＝AL﹣AD＝―∵∠DLM＝∠B＝∠A＝45°，∠MDN＝45°，∴∠LDM＝∠AND＝135°﹣∠ADN，LM＝AM＝4，∴△LDM∽△AND，∴LDAN=LMAD，∴AN=LD⋅ADLM==32，∴CN＝12―32=212，综上所述，CN的长是3或21 2．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、相似三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，证明∠AMD＝∠BDE＝135°﹣∠ADM，进而证明△AMD∽△BDN是解题的关键．。
相似三角形的判定与性质综合
A BCD EN MA B CP Q相似三角形判定与性质综合知识梳理根据相似三角形的定义，得出相似三角形的性质： 两三角形相似，则对应角相等，对应边成比例.【例】在ABC ∆中，12AB =，15AC =，D 为AB 上一点，3ABBD=，在AC 上取一点E ，得到ADE ∆，若ADE ∆与ABC ∆相似，则AE =．【解析】相似三角形的性质，分类讨论若ADE ∆与ABC ∆相似，则分两种情况：ABC ADE ∆∆∽或ABC AED ∆∆∽， 得AD AE AB AC =或AD AE AC AB =，解得AE 的值为10或325；【例】如图，正方形ABCD 的边长为2，AE EB =，1MN =，线段MN 的两端在CB 、 CD 上滑动，当CM 为何值时，AED ∆与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似． 【解析】动点问题，相似三角形的性质，分类讨论在RT AED ∆中，AD=2，AE=1，∴DE=5当AED CMN ∆∆时，AE EDCM MN =，得5CM =当AED CNM ∆∆时，AD EDCM MN=，得25CM =【例】如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8BC cm =，6AC cm =，点P 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动到C 点，点Q 从C 出发，沿CA 方向以1cm/s 的速度移动到A 点．若点P 、Q 分别同时从B 、C 出发，经过多少时间CPQ ∆与CBA ∆相似？ 【解析】动点问题，相似三角形的性质，分类讨论 设经过t 秒CPQ ∆与CBA ∆相似，则 2BP t =，CQ t =，∴82CP t =-．要使CPQ ∆与CBA ∆相似，有两种情况：①当CPQ CBA ∆∆∽，∴CP CQCB CA=，即8286t t -=，∴125t =；ABCDE ABM②当CPQ CAB ∆∆∽，∴ CP CQCA CB=， 即8268t t -=。
∴3211t =．∴125t =或3211时，CPQ ∆与CBA ∆相似．【例】如图，在ABC ∆中，M 在AB 上，且8MB =，12AB =，16AC =，在AC 上，求作一点N ，使AMN ∆与原三角形相似，并求AN 的长. 【解析】相似三角形的性质，分类讨论如右图，要使AMN ∆与原三角形相似，有两种情况： 128AB BM ==，，∴4AM =．当//MN BC 时，AMN ABC ∆∆∽． ∴AM AN AB AC =，即41216AN =，∴163AN =． 当MN 与BC 不平行时，ANM ABC ∆∆∽． ∴AM AN AC AB =，即41612AN=，∴3AN =． ∴ 3AN =或163．【例】如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长． 【解析】子母三角形，求直角三角形斜边上的高用面积法3AC =，4BC =，=90ACB ∠︒，225AB AC BC ∴=+=．根据面积法，知CD AB AC BC ⋅=⋅，得125CD =． 又CD AB ⊥，=90ACB ∠︒，可得ADC ∆∽ACB ∆． AD AC AC AB ∴=，代入可得：95AD =． 再根据面积法：AC ED AD CD ⋅=⋅ABCDF GABCD EF∴3625ED =【例】已知直角三角形斜边上的高为12，并且斜边上的高把斜边分成3:4两段，则斜边上的中线长是 ．【解析】子母三角形，直角三角形斜边上的中线在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于点D ，AE EB =． 设3AD x =，4BD x =，12CD =．易证Rt ADC Rt CDB ∆∆∽，得DC BDAD DC =，得2DC AD DB =•， 所以21234x x =•，解得23x =，7143AB x ==， 而12CE AB =，所以73CE =．【例】如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DF AC ⊥于F ，DG BC ⊥于G ． 求证：CF CA CG CB =【解析】子母三角形，相似三角形的性质，射影定理CD AB ⊥，DF AC ⊥，∴90ADC CFD ∠=∠=．又DCF DCA ∠=∠， ∴DCF ACD ∆∆∽． ∴DC CFAC DC=，即2DC CA CF =•． 同理可得：2DC CG CB =•， ∴CF CA CG CB =．【例】如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，BAD C ∠=∠，BE 是ABC ∆的角平分线，交AD于点F ，1BD =，3CD =，求BF ：BE ．【解析】子母三角形，射影定理 BE 是ABC ∆的角平分线，∴ABF EBC ∠=∠又BAD C ∠=∠ ABF CBE ∴∆∆∽ AB BFBC BE∴=， 又BAD C ∠=∠，ABD ABC ∠=∠BAD BCA ∴∆∆∽，AB BDBC BA∴=， 即2AB BD BC =⋅2AB ∴=ABCDE FABCDEF12AB BC ∴=，12BF AB BE BC ∴==【例】如图，在ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ， 求证：CEF ∆∽CBA ∆【解析】子母三角形，相似三角形的性质，射影定理CD AB ⊥，DE AC ⊥， ∴90ADC CED ∠=∠=．又DCE DCA ∠=∠， ∴DCE ACD ∆∆∽． ∴DC CFAC DC=，即2DC CA CE =•． 同理，可得：2DC CF CB =⋅．∴CA CE CF CB •=•， 即 CF CEAC CB =． 又FCE BCA ∠=∠， ∴CEF CBA ∆∆∽．【例】在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 边上的一个动点（不与A 、C 重合），CF BE ⊥于点F ，连接DF ． （1）求证：2CB BF BE =；（2）求证：BF AE FD BA =．【解析】子母三角形，相似三角形的性质，射影定理 （1）90ACB ∠=，CF BE ⊥，∴90ACB CFB ∠=∠=． 又CBF CBE ∠=∠，∴CBF EBC ∆∆∽． ∴CB BEBF CB=，∴2CB BF BE =•．（2）90ACB ∠=，CD BA ⊥，∴90ACB CDB ∠=∠=．又CBD CBA ∠=∠，∴CBD ABC ∆∆∽． ∴CB ABBD CB=，即2CB BD BA =•．∴BF BE BD BA •=•，ABCDEF∴FB BDBA BE= 又ABE FBD ∠=∠， ∴FBD ABE ∆∆∽．∴FB FDBA AE=． ∴BF AE FD BA •=•．【例】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，E 为AC 上一点，CF BE ⊥ 于F ，联结DF .求证：BD DFBE AE=． 子母三角形，相似三角形的性质，射影定理90ACB ∠=，CF BE ⊥， ∴90ACB CFB ∠=∠=． 又CBF CBE ∠=∠， ∴CBF EBC ∆∆∽．∴CB BE BF CB=，即2CB BF BE =•． 同理2CB BD BA =•． ∴BF BE BD BA •=•，∴FB BDBA BE=． 又ABE FBD ∠=∠，∴FBD ABE ∆∆∽． ∴BD FD BE AE=．【例】如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC ∆与CDE ∆相似，求BC 的值．【解析】根据“ABC ∆与CDE ∆相似”，对应关系并未确定，需要分类讨论，若ABC CDE ∆∆，则对应关系确定（1）ABC ∆∽EDC ∆时，则应有4BC ABCD DE==． 由4BD =，可得：41655BC BD ==；（2）ABC ∆∽CDE ∆时，则应有BC ABDE CD=． 由4BD =，代入得：44BC BC=-，解得：2BC =．AB C DEABCDEABDCA【例】如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =． 【解析】判定定理一，角度的等量代换找等角ABC ∆是等边三角形，60BAC ACB ∴∠=∠=︒．120DAE ∠=︒，60DAB CAE ∴∠+∠=︒．又60ACB E CAE ∠=∠+∠=︒，DAB E ∴∠=∠．D D ∠=∠，DAB ∴∆∽DEA ∆，AD ABDE AE ∴=， 即AD AE AB DE =．【例】如图，D 、E 分别是ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠． 求证：AE AC AD AB =．【解析】判定定理一，斜A 型相似AED B A A ∠=∠∠=∠，，AED ∴∆∽ABC ∆， AD AEAC AB∴=， 即AE AC AD AB =．【例】如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =， 求:AC BC 的值.【解析】字母三角形90ACB ∠=︒，即90ACD BCD ∠+∠=︒，又CD AB ⊥，可得90ACD A ∠+∠=︒． A BCD ∴∠=∠．又90ADC BDC ∠=∠=︒，ACD ∴∆∽CBD ∆， AD DC ACDC BD BC ∴==．:9:4AD BD =，设()90AD k k =>，则4BD k =，代入可得：6DC k =．::9:63:2AC BC AD DC k k ∴===．【例】已知，在ABC ∆中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ． 求证：（1）AC CE CF GC =；（2）AFE ACB ∠=∠．ABCDEABCDEOA BC【解析】双高模型的应用 （1）90AFC BEC ∠=∠=︒，ACF GCE ∠=∠，GCE ∴∆∽ACF ∆，GC CEAC CF∴=，即AC CE CF GC =． （2）90AFC AEB ∠=∠=︒，A A ∠=∠，ABE ∴∆∽ACF ∆． AE AB AF AC ∴=，即AE AFAB AC=，又A A ∠=∠， AEF ∴∆∽ABC ∆，∴AFE ACB ∠=∠．【总结】双高模型中有8对相似三角形，其中有4个直角三角形两两相似，一个斜A 型相似，一个斜8型相似.GCEACF ABE GBF ∆∆∆∆，GEF GCB ∆∆，AEF ABC ∆∆【例】如图，点O 是ABC ∆的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ． 求证：ODE ∆∽OCA ∆． 【解析】钝角三角形中的双高模型O 是ABC ∆的垂心， 90AEO CDO ∴∠=∠=︒． O O ∠=∠， AOE ∴∆∽COD ∆， AO OECO OD ∴=， 即AO CO OE OD =． O O ∠=∠，∴ODE ∆∽OCA ∆．【例】如图，ABC ∆∽''AB C ∆，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB ∆∽'ACC ∆ 【解析】旋转型相似，把A 字型中的小三角形绕着A 点旋转ABC ∆∽''AB C ∆， ''''AB AC BAC B AC AB AC ∴=∠=∠，， ''''AB AB BAB CAC AC AC ∴=∠=∠，， ∴'ABB ∆∽'ACC ∆．A B CDPQABCDE F【总结】根据相似的性质，得到比例关系和等角，再比例转化和角度的转化，证明新的相似.【例】如图，正方形ABCD 中，2AB =，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意点，DQ AP ⊥于Q .（1）求证：DQA ∆∽ABP ∆；（2）当点P 在BC 上变化时，线段DQ 也随之变化．设PA x =，DQ y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围．【解析】正方形的性质，相似三角形判定性质与函数综合 正方形ABCD ，∴2AB AD ==， 90B BAD ∠=∠=︒ ∴90BAP DAQ ∠+∠=．DQ AP ⊥，∴90AQD ∠=，∴B AQD ∠=∠．90ADQ DAQ ∠+∠=， ∴BAP ADQ ∠=∠，∴DQA ABP ∆∆∽．（2）由DQA ABP ∆∆∽得：DQ AD AB AP =，即22y x = ．∴4y x= ． P 点的临界点是与B 、C 重合，对应x 的值分别为2和22，即定义域为222x << ∴()4222y x x=<<【例】已知，E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且13EB AF AB AD ==，求证：AEF FBD ∠=∠．【解析】作高构造相似直角三角形，正方形的性质 相似三角形的判定和性质过点F 作FH BD ⊥于点H ，得90BHF ∠=．正方形ABCD ，∴AB AD =，45ADB ∠=，90A ∠=．A BCD EF HA BCD NM NEFMDCBA∴BHF A ∠=∠．又13EB AF AB AD == 设BE AF a ==，则2DF AE a ==，3AB AD a ==． 由勾股定理得：32BD a =，2FH DH a ==，2DH a ， ∴22BH a =， ∴12FH FA BH AE ==． ∴AEF HBF ∆∆∽， ∴AEF FBD ∠=∠．【例】如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN=．【解析】正方形和相似三角形的性质延长MN 、BC 相交于点E ，过点E 作EF BM ⊥交BM 于点F ， 四边形ABCD 是正方形，90//AD BC AB ABC AD BC ∴==∠=︒，，．设AB a =，则152AM DM a BM ===，，BMN MBC ∠=∠，BE ME ∴=，152BF FM BM ∴==． 又90A BFE ∠=∠=︒，AM B M BE ∠=∠，ABM ∴∆∽MEB ∆，5BE BM BF AM∴= 554BE BF a ∴==，14CE BE BC a ∴=-=．又//AD BC ， 2DN DM CN CE ∴==．【例】如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G .A BCE F G H求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥． 【解析】相似三角形性质的综合运用 （1）EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，90ADC EGC ∴∠=∠=︒． C C ∠=∠，EGC ∴∆∽ADC ∆， ∴EG CGAD CD=． （2）90BAC ∠=︒，EF AB ⊥，EG AC ⊥，∴四边形是AFEG 矩形，AF EG ∴=． EG CG AD CD =， AF ADCG CD ∴=． EG AC ⊥，AD 是边BC 上的高，即有9090DAC DAF DAC C ∠+∠=︒∠+∠=︒，，DAF C ∴∠=∠， FAD ∴∆∽GCD ∆， FDA GDC ∴∠=∠， FDA GDA GDC GDA ∴∠+∠=∠+∠，即FDG ADC ∠=∠， ∴FD DG ⊥．【总结】证明垂直可以通过夹角是90°来说明，题中∠FDG 和直角ADE 有夹角，故而问题转化为证明∠ADE=∠GDC【例】如图，在ABC ∆中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且2EF AE FB =求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB =． 【解析】内接正方形（1）四边形EFGH 是正方形，90EF EH FG HEF EFG ∴==∠=∠=︒，．2EF AE FB =， EH FBAE FG ∴=， AEH ∴∆∽GFB ∆， AHE B ∴∠=∠，90A B A AHE ∴∠+∠=∠+∠=︒，90C ∴∠=︒．（2）∵A CHG ∠=∠，90AEH C ∠=∠=︒ ∴CHGEAH ∆∆∴AH HE HG CG =，即AH EFEF CG= ∴2AH CG EF = ∵2EF AE FB =ABCD E FGAB CDE ABCDE∴AH CG AE FB =【例】如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =． 【解析】矩形中的十字架模型 四边形ABCD 是矩形，//90AD BC AD BC ADC BCD ∴=∠=∠=︒，，． DE AC ⊥，EDC DAC ∴∠=∠．ADC ∴∆∽DCE ∆，AD CDCD CE ∴=． 设AD a =，则1122CE BC a ==，由此可得：2CD a =，∴2::2:2CD AD a a ==．【例】如图，在ABC ∆中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠． 求证：（1）2AD DE DB =；（2）DEC ACB ∠=∠． 【解析】子母三角形的应用 （1）DAE ABD ∠=∠，ADE ADB ∠=∠，ADE ∴∆∽BDA ∆，AD DEDB AD∴=，即2AD DE DB =． （2）2AD DE DB =，AD CD =，2CD DE BD ∴=⋅， 即DE CD CD BD=． EDC BDC ∠=∠，CDE ∴∆∽BDC ∆∴DEC ACB ∠=∠．【例】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ．（1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长． 【解析】一线三等角模型（根据外角性质证明）（1）有两对相似三角形AMF ∆∽MEF ∆，AEM ∆∽BMG ∆； 例证AEM ∆∽BMG ∆，证明过程如下；C EFGAB CDEFA90ACB ∠=︒，AC BC =，45A B ∴∠=∠=︒． 45EMG ∠=︒，EMB EMG GMB AEM A ∴∠=∠+∠=∠+∠． GMB AEM ∴∠=∠，∴AEM ∆∽BMG ∆．（2）4AC BC ==，2242AB AC BC ∴=+=又M 为AB 中点， 1222AM BM AB ∴=== 由（1）得AEM ∆∽BMG ∆，AE AM BM BG ∴=2222=，解得：83BG =． 413CE CG ∴==，，根据勾股定理得：2253EG CE CG +=．【例】如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上，BA BD BC BE =．（1）求证：AE AD =；（2）如果点F 在BD 上，CF CD =，求证：2BD BE BF =． 【解析】相似三角形性质综合运用，等比例转化 （1）BA BD BC BE =，BA BEBC BD∴=， 又BD 平分ABC ∠， ABE CBD ∴∠=∠，ABE ∴∆∽CBD ∆，AEB BDC ∴∠=∠． ADE BDC ∠=∠，ADE AEB ∴∠=∠，∴AE AD =．（2）CF CD =，FDC DFC ∴∠=∠， BFC ADB ∴∠=∠．又ABE CBD ∠=∠， ABD ∴∆∽CBF ∆， BA BDBC BF∴=． 又BA BD BC BE =， BA BE BC BD ∴=， BD BEBF BD∴=． 即2BD BE BF =．【例】如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒． 求证：（1）ABE ∆∽DCA ∆；（2）22BC BE CD =． 【解析】等积式中数字2的转化，根据222BC AB = （1）90AB AC BAC =∠=︒，，45B C ∴∠=∠=︒．AEACD EM45DAE ∠=︒，AED AEB ∠=∠，ABE ∴∆∽DAE ∆，同理可证DAE ∆∽DCA ∆，∴ABE ∆∽DCA ∆．（2）ABE ∆∽DCA ∆，AB BECD AC∴=，即2CD BE AB AC AB ⋅=⋅=． 90AB AC BAC =∠=︒，，2222BC AB CD BE ∴==⋅．【例】如图，EM AM ⊥，CE DE =．求证：2ED DM AD CD =. 【解析】对数字2的转化，等分CD 或倍长DE 两个思路 方法一：过点E 作EH CD ⊥于点H ，得90EHD ∠=．EC ED =，EH CD ⊥，∴12DH CD =．EM AM ⊥，∴90M ∠=． ∴EHD M ∠=∠．又EDH MDA ∠=∠， ∴EHD AMD ∆∆∽． ∴DM ADDH ED=， 即DM ED DA HD •=•． ∴12DM ED DA CD •=•，即2ED DM DA CD •=•．方法二：延长DE 至F ，使得EF=DE ，即DF=2DE ，连接CF ，因为CE=DE= 12DF 所以三角形CDF 是直角三角形，易证CDFMDA ∆∆，所以DF CDAD DM= 所以DF DM CD AD ⋅=⋅，即2ED DM AD CD =【例】如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC ∆∽ABC ∆． 求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC .【解析】相似的性质，等角转化，等比例转化，判定定理二AB CDE（1）EDC ∆∽ABC ∆， EC DCAC BC ∴=，DCE ACB ∠=∠， 即EC ACDC BC=，ACE ACD ACD BCD ∠+∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠，∴ACE ∆∽BCD ∆．（2）AB AC =，B ACB ∴∠=∠．ACE ∆∽BCD ∆，CAE B ∴∠=∠． CAE ACB ∴∠=∠，∴AE //BC ．【例】如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD AB ⊥于点A ，交BC 边于点E ，DC BC ⊥于点C ，与AD 交于点D ．（1）求证：ACE ∆∽ADC ∆；（2）如果1CE =，2CD =，求AC 的长 【解析】子母三角形，相似三角形性质的应用 （1）∵AB AC = ∴B ACB ∠=∠∵90AEC B ∠=︒+∠，90ACD ACB ∠=︒+∠ ∴AEC ACD ∠=∠ 又CAE CAD ∠=∠ ∴ACE ∆∽ADC ∆、（2）由（1）可知AEB ∆∽CED ∆，AE AB CE CD∴=． 1CE =，2CD =25AB AE AC DE ∴==， ACE ∆∽ADC ∆， AC CEAD CD ∴=．即11252AC AC =+解得：25AC ．【例】已知AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，且111111AC AB ADAC A B A D ==．求证：ABC ∆∽111A B C ∆． 【解析】相似三角形的判定性质综合，倍长中线法 分别延长AD 、11A D 到点1E E 、．使得1111DE AD D E A D ==，．ABCDEFGH123AD 、11A D 分别是ABC ∆、111A B C ∆边BC 、11B C 上的中线，∴1111BD DC B D D C ==，．111111ADB ADC A D B A D C ∠=∠∠=∠， ， ∴ADB EDC ∆≅∆，111111A D B E D C ∆≅∆ ∴1111BAD E B A D E ∠=∠∠=∠，．111111AC AB AD AC A B A D ==，∴111111AC CE AEAC C E A E ==． ∴111AEC A E C ∆∆∽，∴1111E E CAD C A D ∠=∠∠=∠， ∴111BAD B A D ∠=∠ ，∴111BAC B AC ∠=∠．又1111AB ACA B AC =， ∴111ABC A B C ∆∆∽． 【总结】通过全等和相似的性质，得到对应角相等，得出111BAC B AC ∠=∠，再根据SAS 判定相似.【例】如图，四边形ABDC 、CDFE 、EFGH 是三个正方形，则123∠+∠+∠的值是多少？ 【解析】判定定理三，相似三角形的性质，角度转化 设正方形ABDC 、CDFE 、EFHG 的边长为1．则2AD =，5AF =，1DF =，2HD =，10AH ． ∴2AD DH AH DF AD AF=== ∴ADH FDA ∆∆∽． ∴3DAF ∠=∠．四边形ABDC 是正方形， ∴AB BD =． ∴145∠=． 又21DAF ∠+∠=∠， ∴231∠+∠=∠． ∴12390∠+∠+∠=．【总结】正方形方格中的相似问题，表示出各边边长，根据三边比例关系找相似【例】如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，2BC =，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 边上，BEF ∆沿着直线EF 翻折后与DEF ∆重合，设CD x =，BF y =．试问DFC ∆是否有可能与ABC ∆相似，如有可能，求出CD 的长；如不可能，说明理由.AB CDEF ABCDEF【解析】相似三角形的性质判定综合，翻折变换，分类讨论 有可能相似，翻折后，BF DF =．分以下两种情况讨论 （1）当DFC ABC ∆∆∽时，DFC C B ∠=∠=∠． BF DF CD x ∴===，2CF x =-． CD CF CA CB ∴=，即232x x -=． 65x ∴=； （2）当DFC BAC ∆∆∽时，FDC C B ∠=∠=∠， BF DF CF y ∴===则22y BC ==∴1y =即1BF DF CF ∴=== CD CF CB CA ∴=，即123x =． 23x ∴=． 综上，有可能存在相似，65CD =或23．【例】如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上的一点，BD 的垂直平分线交AB 于E ， 交BC 于F ．（1）当点D 在边AC 上移动时，DEF ∆中哪一个角的大小始终保持不变？并求出它的度数； （2）当点D 在边AC 上移动时，ADE ∆与哪一个三角形始终相似？并写出证明过程． 又问：当点D 移动到什么位置时，这两个三角形的相似比为1？ （3）若等边三角形ABC 的边长为6，2AD =，试求:BE BF 的值【解析】相似三角形的判定性质综合运用，一线三等角模型，线段的垂直平分线（1）∵EF 是BD 的垂直平分线，∴EDB EBD ∠=∠，DBF BDF ∠=∠ ∴60EDF EBF ∠=∠=︒（2）∵120AED ADE ∠+∠=︒，120ADE CDF ∠+∠=︒ ∴AED CDF ∠=∠ 又A C ∠=∠ ∴ADECFD ∆∆∵相似比为1，则ADE CFD ∆≅∆，∴DE DF =． 又DB EF ⊥，∴DB 垂直平分EF ∴BD 平分ABC ∠，∴D 为AC 的中点,（3）8AED C AD AE ED AD AE EB AD AB ∆=++=++=+=10CFD C DF DC CF CF DC BF DC BC ∆=++=++=+=A BCDEO∵ADE CFD ∆∆ ∴45AED CFD C DE DF C ∆∆== ∴:4:5BE BF =【例】如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，O 是AB 的中点，将45°角的顶点置于点O ，并绕点O 旋转，使角的两边分别交边AC 、BC 于点D 、E ，连接点D 、E ． （1）观察图形，在旋转过程中有无一定相似的三角形？若有，请找出，并证明； （2）设AD x =，BE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当x 为何值时，ODE ∆是等腰三角形？【解析】一线三等角模型，动点问题，等腰三角形的存在性问题 （1）存在相似，AOD BEO ∆∆∽90C ∠=︒，2AC BC ==，∴45A B ∠=∠=．又AOD DOE B BEO ∠+∠=∠+∠，而45DOE ∠=，∴AOD BEO ∠=∠， ∴AOD BEO ∆∆∽；（2）由AOD BEO ∆∆∽，得：AO ADBE OB=， 即22y =2y x =； 当E 点与C 重合时，x 取值最小值，1x =， 当D 点与C 重合时，x 取值最大值，2x = ∴()212y x x=≤≤（3）①当点E 与点C 重合时，ODE ∆是等腰直角三角形，即OD=ED ，此时1x =； ②当点D 与点C 重合时，ODE ∆是等腰直角三角形，即OE=ED ，此时2x =； ③ODE ∆是等腰三角形时，OD OE =，AOD BEO ∆≅∆，2AD OB ==2x =． 综上，当122x =，时，ODE ∆是等腰三角形．自主巩固【巩固】如图，AC BD ⊥，DE AB ⊥，AC 与ED 交于点F ，3BC =，1FC =，5BD =则____AC =ABCDEA BP Q R 12【解析】由ACB DCF ∆∆∽，得CF CDCB AC=．得AC=6【巩固】已知梯形ABCD 中，AB // CD ，90B ∠=︒，3AB =，6CD =，12BC =，点E 在BC 边上自B 点向C 点移动，求使得ABE ∆与ECD ∆相似的BE 的值. 【解析】由题知：90B C ∠=∠=． ABE ∆与ECD ∆相似，分两种情况：设BE x =．（1）ABE DCE ∆∆∽，得：AB BEDC CE=， 即3612x x=-，解得4x =； （2）ABE ECD ∆∆∽，得：AB BEEC DC=， 即3126x x =-，得212180x x -+=， 解得632x =± 综上：BE =4或632±【巩固】如图，A 是等边PQR ∆的边RQ 的延长线上的点，B 是QR 延长线上的点． （1）若1260∠+∠=︒，求证：2QR AQ BR =；（2）若12AQ QR =，当RB 与QR 满足什么条件时，BRP ∆∽PQA ∆？（3）BPQ ∆有可能与PQA ∆相似吗？若可能相似，说明应满足什么条件；若不可能相似，请说明理由．【解析】（1）证明：PQR ∆是等边三角形，∴PQ PR QR ==，60PQR PRQ ∠=∠=， ∴120AQP PRB ∠=∠=．1A PQR ∠+∠=∠，而1260∠+∠=， ∴2A ∠=∠， ∴AQP PRB ∆∆∽．∴PQ AQDR PR=，即QR AQ DR QR =， ∴2QR AQ BR =； （2）当2RB QR =时，BRP ∆∽PQA ∆；（3）BPQ ∆与PQA ∆不可能相似，因为AQP BPQ B ∠=∠+∠，所以AQP BPQ ∠>∠，所以不可能相似．。
专题04 相似三角形的性质压轴题型全攻略(解析版)
专题04相似三角形的性质压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形有关线段的计算】 (1)【考点二相似三角形有关面积的计算】 (2)【考点三相似三角形性质的应用】 (2)【考点四相似三角形性质的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一相似三角形有关线段的计算】A．252+【答案】A【分析】根据全等三角形的判定得出及相似三角形的判定和性质求解即可．A．254B．【答案】A【分析】证明ABE ECFV:VA ．12AF EF =B ．12AF EF =【答案】D 【分析】先证明ADG ECG ≌得到AD =【考点二相似三角形有关面积的计算】【例题2】如图，在ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，15BCED S =四边形，则ABC S = ()A ．30B ．25C ．22D ．20【答案】D 【分析】根据题意得出DE 是ABC 的中位线，进而可得ADE ABC △△∽，根据面积比等于相似比的平方，A ．2.4B ．3【答案】B 【分析】证明ABE CDE ∽△△可求A．2:3B．3:【答案】D【分析】根据平行四边形的性质得到【考点三相似三角形性质的应用】【答案】22【分析】设EF x =分米，判断出AEF △和DEG △可求出AE ，即可得到正方体礼品盒的棱长．【详解】解：如图，在正方形ABCD 中，AD设EF x =分米，由此裁剪可得：AEF △和∴AEF DEG ∽ ，∴AE EF DE EG =，即10AE AE =-解得：2AE =分米，∴222EF AE ==分米，∴正方体礼品盒的棱长为故答案为：22．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形．【变式2】魏朝时期，刘微利用下图通过令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．BF 交CD 于E ，若2DE =【答案】117【分析】根据已知条件得到CD DE CE =+到结论．【详解】解：4CE = ，2DE =，A．4B．13 3【答案】B【分析】首先根据正方形的性质，得出()SASABF DAE△≌△，则AFB∠A ．23B ．192【答案】B 【分析】证CDJ 是等边三角形，DCI ∠∵菱形ABCD 和菱形CEFG 在同一条直线上，∴60DCJ JDC ∠=∠=︒，ICJ ICE ∠=∠∴CDJ 是等边三角形，60JIC ∠=︒-∠∴1JI JC CD ===，90DCI ∠=︒，A．2个∴90BPG BQG PGQ ∠=∠=∠=︒，∴四边形PBQG 是矩形，∴90PBQ ∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴NPB QBE ∠=∠，由①得DEC CNB ≌，∴EC NB =，∵E 是BC 的中点，∴EC BE =，∴BE BN =，∴90NBP EBQ NPB EBQ BN BE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴NBP EBQ AAS ≌（），∴BP BQ =，∴四边形PBQG 是正方形，∴45BGN ∠=︒，故④正确；如图所示，连接NE ，设BN x =，则2BE EC x BC CD AB x =====，，【过关检测】一、选择题1.如图，ABO CDO ∽，2BO OD =，CDO 的周长为4，则ABO 的周长为（）A ．2B ．4【答案】C 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，即可得出结果．【详解】解：∵ABO CDO ∽，A ．32B ．48【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得A．2B．3【答案】A【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质可知【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，中点的定义，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4.如图，在Rt ABC △中，AB =点G 在CD 上，且1DG GC =::A ．22cm B ．24cm 【答案】B 【分析】连接DE ，首先得到DE ∥12DF DE BF AB ==，然后利用三角形面积公式求出∵D 、E 分别为AC BC 、中点，∴DE AB ∥，13cm 2DE AB ==，∴ABD EDF ∠=∠，BAF DEF ∠=∠∴ABF EDF ∽，1DF DE 二、填空题【答案】16【答案】733【分析】作2⊥AE l 于E 点，CF∴AE CF ∥，AED CFD ∽，∴12AE DE AD CF DF CD ===，设AD x =，则3AC x =，由“三线合一【答案】8⊥轴于点【分析】过点A作AE x求出D点的坐标，最后利用设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,OE m AE ==∵23OA AB =，25AO OB ∴=，,AOE BOC AEO BCO ∠=∠∠=∠ AOE BOC ∴ △△，【答案】6【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出AEH △的高，可得出AM EH AD BC=，再将数据代入即可得出答案．∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴AEH ABC ∽△△，∴点H是AD的中点，∥，∵AB DG∴点F是BG的中点，【答案】4.5【分析】根据等边对等角和折叠的性质证明计算求出 3.5GF =，则CG =【详解】解：∵16AC BC ==【答案】25【分析】在正方形ABCD 中，EM AD ⊥于M ，可得EMF △222AD AG DG +=，解得a DE EF =，1122DM FM DF a∴===，90ADG HFD MEF ∠+∠=︒=∠+∠ ADG MEF ∴∠=∠，11PN AC ∥ ，11PM BC ∥，11BPN BAC ∴ ∽，11APM ABC ∽，则11112P N BP x AC AB ==，同理得到1111PM AP x BC AB==，两式相加得到11x x +=，【答案】17.5m【分析】依题意，四边形CBDE ==，证明AEC15mFC BM【答案】213【分析】记ADC α∠=，则CAB CMD ∽，求得DM 【详解】解：如图．记ADC ∠则CD CM =，ACB ∠=∠∵2CD AC =，∴22CM AC BC ==，∴CAB CMD ∽，∴2MD CM AB AC==；∴24DM AB ==，∵ADM ADC ∠=∠+∠∴246BD AM ==+故答案为：213．【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，证明18．如图，在正方形连接DF ，则DF 的长为【答案】3104【分析】如图，过F 作FM ⊥可得四边形CMFN 是正方形，则FM ME AB BE =，即2332a a -=，解得∵CF 平分DCE ∠，∴45FCM FCN ∠=∠=︒，∴=CM FM ，∴四边形CMFN 是正方形，【答案】12/0.5【分析】如图，延长AF 、点，可得12BE CE B E '===由折叠的性质可得，AEB AEB '∠=∠∵E 为BC 中点，∴12BE CE B E BC '===，由菱形的性质可得，AD BC =，AD【答案】7【分析】根据题意，过E 作用ABD ADC S S = 得到BD CD =求解．∴EM AN ∥，∴BEM BAN △∽△，∴BE EM BA AN=，∵3AB BE =，即1BE =，5BED EDC S S ∴==△△，3AB BE = ，BD CD =，EF ∴AEF ABD ∽△△，EFO △23EF AE BD AB ∴==，【答案】14【分析】由菱形的性质及ECF ∠FDG CBG ∠=∠，DFG BCG ∠=∠【详解】∵60ECF ACB ∠=∠=∴ECF ACE ACB ACEÐ-Ð=Ð-Ð∴FCA ECB∠=∠∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，12FAC BAD Ð=Ð∴180120BAD ABC =︒-=︒∠∠∴160FAC BAD Ð=Ð=°【答案】3m 2【分析】先通过证明ABM86 1.6FN FN +=求解即可．【详解】解：∵EF AB∥,【答案】245【分析】过点D 作DE BC ⊥于点再由三角形面积公式即可得出答案．【详解】解：如图，过点D 作由折叠可知12ACD A CD '∠=∠=∠∴45CDE A CD '∠=∠=︒，∴DE CE =，设DE x =，则6BE x =-，。
相似三角形知识点与经典题型
甲小华乙相似三角形的判定与性质【知识点1】三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。
1、甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为 ________米．（第1题图）（第2题图）2、如图，在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，画出符号条件的格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点P，A，B为顶点的三角形与△ABC相似（全等除外），则格点P的坐标是_______．3、在Rt△ABC中，斜边AC上有一动点D（不与点A，C重合），过D点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，则满足这样条件的直线共有______条．【知识点2】三角形相似基本图形B CB E AC D 12A BCD E 12AABBCCDDE E12412EABC (D )EADCBGE AD B CP FCAB DE F （1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
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相似三角形的判定与性质综合运用经典题型 考点一：相似三角形的判定与性质： 例1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD. 例2、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE； （2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE取得最小值？ （3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由？ 例3、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B：1）求证：△ADF∽△DEC； 2）若AB=4，33AD,AE=3，求AF的长。 考点二：射影定理： 例4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。 例5、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF=14 AD，EG⊥CF于点G， （1）求证：△AEF∽△BCE； （2）试说明：EG2=CG·FG.
例6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD>AB），将纸片折
叠一次，使点A与点C重合,再展开，折痕EF交AD边于E，交BC
边于F，分别连结AF和CE．
（１）求证：四边形AFCE是菱形；（２）若AE=10cm，△ABF的面
积为24cm2，求△ABF的周长；
（３）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2＝AC·AP？若存在，
请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．
考点三：相似之共线线段的比例问题：
例7、已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直
线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.
求证：PGPHPFPE
例8、如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于
点F．（1）求证：PC2=PE•PF；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB的长．
A
B
C
D
E
F
A
BC
D
E
F
G
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例9、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F． 求证：BD•CF=CD•DF． 例10、如图：已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD=CE，直线CD与AE相交于点F．（1）求证：DC=AE；（2）求证：AD2=DC•DF． 例11、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（2）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长． 例12、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN． 例13、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：（1）△AED∽△CBM； （2）AE•CM=AC•CD．
例14、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的
中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．（1）求证：FD2=FB•FC；
（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．
例15、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.
(1)⊿ACF与⊿ACG相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度
数.
考点四：相似三角形的实际应用：
例16、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使
一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．
（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
（2）若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少？
例17、已知左，右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树的根部的距离BD=5m。一个身高
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1.6m的人沿着正对着两棵树的一条水平直路从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看见右边较高的树的顶端点C？ 例18、两颗树的高度分别为AB=6m，CD=8m，两树的根部间的距离AC=4m，小强沿着正对这两棵树的方向从左向右前进，如果小强的眼睛与地面的距离为1.6m，当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D？ 例19、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m，地面影长BC=10m． 若此时1米高的标杆的影长恰好为2m．请你求出这棵大树AB的高度． 例20、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2
米，求电线杆的高度．
例21、如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，
沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．
考点五：相似三角形中的动点问题：
例22、在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点
Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0
≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．
例23、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC
向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点
时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析
式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写
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出t的值。 例24、如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2）当S△BCQ:S△ABC=1:3 ，求S△BPQ:S△ABC的值；（3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由． 例25、如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒． （1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由． 例26、如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F． （1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P、F、E为顶点的三角形也与△ABE
相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．
例27、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且
OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单
位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运
动，设点P、Q运动的时间为t秒．
（1）求A、B两点的坐标；（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t=2时，在坐标平面内，
是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，
请说明理由．