高中高考数学所有二级结论《完整版》
完整版)高中数学二级结论
完整版)高中数学二级结论1.简单n面体内切球的半径为3V/S表。
其中V是简单n 面体的体积，S表是简单n面体的表面积。
2.在任意三角形ABC内，有XXX=XXX。
由此可推论，如果XXX<0，则三角形ABC为钝角三角形。
3.斜二测画法直观图面积是原图形面积的2倍。
4.在椭圆准线上过一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
5.在导数题中，常用放缩e≥x+1、1/(x-1)≤lnx≤x-1、ex>ex(x>1)、x/(x^2+y^2)≤1/sqrt(x^2+y^2)。
6.椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)的面积为S=πab。
7.圆锥曲线的切线方程可以通过隐函数求导得到。
推论：①过圆(x-a)^2+(y-b)^2=r上任意一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-x)+(y-b)(y-y)=r；②过椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)上任意一点P(x,y)的切线方程为2ax/x+2by/y=2a^2.8.切点弦方程是指平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程。
①圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的切点弦方程为xx+yy+2gx+2fy+c=0；②椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)的切点弦方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1；③双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)的切点弦方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；④抛物线y=2px(p>0)的切点弦方程为yy=p(x+x)；⑤二次曲线的切点弦方程为Axx+Bxy+Cyy+Dx+Ey+F=0，其中B≠0.9.①椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)与直线Ax+By+C=0(A·B≠0)相切的条件是A^2a^2-B^2b^2=C^2；②双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)与直线A x+By+C=0(A·B≠0)相切的条件是A^2a^2-B^2b^2=C^2.10.如果圆锥曲线(二次曲线)上的顺次四点A、B、C、D在同一圆上，则直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并且有kAC+kBD=0.11.已知椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，两焦点分别为 $F_1$，$F_2$，设焦点三角形 $PF_1F_2$ 中$\angle PF_1F_2=\theta$，则 $ab\cos\theta\geq 1-2e^2(\cos\theta_{max}=1-2e^2)$。
高中数学二级结论（精）
⾼中数学⼆级结论（精）⾼中数学⼆级结论1.任意的简单n ⾯体内切球半径为表S V3(V 是简单n ⾯体的体积，表S 是简单n ⾯体的表⾯积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝⾓三⾓形 3.斜⼆测画法直观图⾯积为原图形⾯积的42倍 4.过椭圆准线上⼀点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常⽤放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的⾯积S 为πab S =7.,8.圆锥曲线的切线⽅程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为12020=+b yya xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为12020=-b yya xx9.切点弦⽅程：平⾯内⼀点引曲线的两条切线，两切点所在直线的⽅程叫做曲线的切点弦⽅程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦⽅程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=-by y a x x~④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦⽅程为)(00x x p y y +=⑤⼆次曲线的切点弦⽅程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 10.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-11.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(⼆次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常⽤相交弦定理)的⼀个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表⽰AC 和BD 的斜率)12.已知椭圆⽅程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三⾓形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)13.椭圆的焦半径(椭圆的⼀个焦点到椭圆上⼀点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=14.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的⾓平分线，则1k ，2k ，3k 满⾜下述转化关系：%3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-=15.任意满⾜r by ax n n =+的⼆次⽅程，过函数上⼀点),(11y x 的切线⽅程为r y by x ax n n =+--111116.已知f (x )的渐近线⽅程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim17.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=18.平⾏四边形对⾓线平⽅之和等于四条边平⽅之和19.在锐⾓三⾓形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++20.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且⼀个正周期为|22|b a -21.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +22.~23.已知三⾓形三边x ，y ，z ，求⾯积可⽤下述⽅法(⼀些情况下⽐海伦公式更实⽤，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ?+?+?==+=+=+222224.圆锥曲线的第⼆定义：椭圆的第⼆定义：平⾯上到定点F 距离与到定直线间距离之⽐为常数e (即椭圆的偏⼼率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为⼩于1的正数)双曲线第⼆定义：平⾯内，到给定⼀点及⼀直线的距离之⽐⼤于1且为常数的点的轨迹称为双曲线25.到⾓公式：若把直线1l 依逆时针⽅向旋转到与2l 第⼀次重合时所转的⾓是θ，则21121tan k k k k θ=?+-26.A 、B 、C 三点共线?nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 27.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意⼀点作两条渐近线的平⾏线，与渐近线围成的四边形⾯积为2 ab28.【29.反⽐例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.⾯积射影定理：如图，设平⾯α外的△ABC 在平⾯α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的⾯积和△ABO 的⾯积为S 和S′，记△ABC 所在平⾯和平⾯α所成的⼆⾯⾓为θ，则cos θ=S′:S28,⾓平分线定理：三⾓形⼀个⾓的平分线分其对边所成的两条线段与这个⾓的两边对应成⽐例⾓平分线定理逆定理：如果三⾓形⼀边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对⾓的两边对应成⽐例，那么该点与对⾓顶点的连线是三⾓形的⼀条⾓平分线 29.数列不动点：定义：⽅程的根称为函数的不动点利⽤递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等⽐数列或较易求通项的数列，这种⽅法称为不动点法、定理1：若是的不动点，满⾜递推关系，则，即是公⽐为的等⽐数列.定理2：设，满⾜递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这⾥）x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++= bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --?=----11qca pca k --=(2)若只有唯⼀不动点，则（这⾥）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k (2)若πC B A =++，则：$①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+—(3)在任意△ABC 中，有：①812sin 2sin 2sin≤??C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤??C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤C B A ⑥81cos cos cos ≤C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A )(x f p k p a p a n n +-=--111da ck +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan 222≥++CB Atan 2tan 2tan ≥++CB A932tan 2tan 2tan ≤??C B A ?332cot 2cot 2cot≥++CB A ?3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐⾓△ABC 中，有：①33tan tan tan ≥??C B A②93cot cot cot ≤C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果⼀个六边形内接于⼀条⼆次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同⼀条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平⾏平⾯内的多⾯体叫做拟柱体，它在这两个平⾯内的⾯叫做拟柱体的底⾯，其余各⾯叫做拟柱体的侧⾯，两底⾯之间的垂直距离叫做拟柱体的⾼拟柱体体积公式[⾟普森(Simpson )公式]：设拟柱体的⾼为H ，如果⽤平⾏于底⾯的平⾯γ去截该图形，所得到的截⾯⾯积是平⾯γ与⼀个底⾯之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底⾯的⾯积，0S 是中截⾯的⾯积(即平⾯γ与底⾯之间距离2Hh =时得到的截⾯的⾯积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平⾏平⾯上、⽤平⾏于底⾯的平⾯去截该图形时所得到的截⾯⾯积是该平⾯与⼀底之间距离的不超过3次的函数)的⽴体图形也可以利⽤该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为⾯上⼀点，过A 的斜线AO 在⾯上的射影为AB ，AC 为⾯上的⼀条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三⾓的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC ·cos∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐⾓)34.在Rt △ABC 中，C 为直⾓，内⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.⽴⽅差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- ⽴⽅和公式：))((233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外⼼，H 为其垂⼼，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任⼀点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任⼀点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三⾓形的内切圆圆⼼的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三⾓形四⼼：在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重⼼(2)??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂⼼ (3)O c b a ?=++为ABC ?的内⼼==?O 为ABC ?的外⼼43.正弦平⽅差公式：)sin()sin(sin sin 2βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意⼀点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三⾓函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为??+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离⼼率)48.超⼏何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公⽐为q 的等⽐数列，若数列{}n c 满⾜n n n b a c ?=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的⽅程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=51.过椭圆上⼀点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.⼆项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三⾓形五⼼的⼀些性质：(1)三⾓形的重⼼与三顶点的连线所构成的三个三⾓形⾯积相等(2)三⾓形的垂⼼与三顶点这四点中，任⼀点是其余三点所构成的三⾓形的垂⼼(3)三⾓形的垂⼼是它垂⾜三⾓形的内⼼；或者说，三⾓形的内⼼是它旁⼼三⾓形的垂⼼ (4)三⾓形的外⼼是它的中点三⾓形的垂⼼ (5)三⾓形的重⼼也是它的中点三⾓形的重⼼(6)三⾓形的中点三⾓形的外⼼也是其垂⾜三⾓形的外⼼(7)三⾓形的任⼀顶点到垂⼼的距离，等于外⼼到对边的距离的⼆倍54.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则222c b a AC AB -+=? >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+&。
高中二级结论大全
高中数学中的二级结论有很多，它们是一些重要的推论和解题技巧，可以帮助学生快速解决一些疑难问题。
以下是其中的一些：
1. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和。
2. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
3. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导。
4. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程。
5. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B 两点，则直线AB的斜率为定值。
6. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦。
7. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a（长半轴长）。
8. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点。
9. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线（椭圆、双曲线、抛物线），那么它的三对对边的交点在同一条直线上。
10. 三角形五心的一些性质：内心、外心、重心、垂心和旁心的性质。
这些二级结论是在学习高中数学过程中需要掌握的重要知识点，它们可以帮助你更好地理解数学概念和解决问题。
建议你在学习过
程中认真听讲，及时总结和掌握这些结论，以提高自己的数学水平。
高中数学二级结论55条
高中数学二级结论55条1.简单n面体内切球的半径为3V/S表，其中V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积。
2.在任意三角形ABC内，有tanA+tanB+tanC=XXX。
由此可以推出，如果XXX<0，则三角形ABC是一个钝角三角形。
3.斜二测画法可以得到直观图形，其面积是原图形面积的两倍。
4.通过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
5.在导数题中，常用放缩e≥x+1，-x1≤lnx≤x-1，ex>ex(x>1)和x2y2≥2xy来简化计算。
6.椭圆2/a2+2/b2=1(a>b)的面积为S=πab。
7.圆锥曲线的切线方程可以通过隐函数求导得到。
对于圆(x-a)2+(y-b)2=r，过任意一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-x)+(y-b)(y-y)=r(x-x)2+(y-y)2.对于椭圆2/a2+2/b2=1(a>b)，过任意一点P(x,y)的切线方程为x2/a2+y2/b2=1和2x/a2+2y/b2=0.对于双曲线2/a2-2/b2=1(a>b)，过任意一点P(x,y)的切线方程为x2/a2-y2/b2=1和2x/a2-2y/b2=0.8.切点弦方程是平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程。
对于圆x2+y2+Dx+Ey+F=0，切点弦方程为xx1+yy1+D(x+x1)+E(y+y1)+2F=0.对于椭圆2/a2+2/b2=1(a>b)，切点弦方程为xx1/ab+yy1/ab=1.对于双曲线2/a2-2/b2=1(a>b)，切点弦方程为xx1/ab-yy1/ab=1.对于抛物线y=2px(p>0)，切点弦方程为yy1=p(x+x1)。
对于二次曲线Axx+Bxy+Cyy+Dx+Ey+F=0，切点弦方程为A(x+x1)2+B(x+x1)(y+y1)+C(y+y1)2+D(x+x1)+E(y+y1)+F=0，其中B≠0.9.椭圆2/a2+2/b2=1(a>b)与直线Ax+By+C=0(A·B≠0)相切的条件是A2a2-B2b2=C2.对于双曲线2/a2-2/b2=1(a>b)，相切的条件是A2a2-B2b2=-C2.10.如果A、B、C、D是圆锥曲线上的四个顺次点，那么四点共圆的一个充要条件是，直线AC和BD的斜率存在且不等于零，并且kAC+kBD=0，其中kAC和kBD是直线AC和BD的斜率。
高考必备的50个二级结论
高考必备的50个二级结论5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：14. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.22. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值.24. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦.25. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长).26. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点.32. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.39. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上.45. 三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心；(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.。
高考数学考前必备二级结论
高考数学考前必备二级结论1：子集的个数问题若一个集合A 含有n （n *∈N ）个元素，则集合A 有2n 个子集，有()21n −个真子集，有()21n−个非空子集，有()22n−个非空真子集.理解：A 的子集有2n 个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n 个元素共有2n 种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.对解决有关集合的个数问题，可以直接利用这些公式进行计算.计算时要分清这个集合的元素是从哪里来的，有哪些，即若可供选择的元素有个，就转化为求这个元素集合的子集问题.另外要注意子集､真子集､子集､非空真子集之间的联系有区别.2：子集､交集､并集､补集之间的关系()()I I A B A A B B A B A C B A B I =⇔=⇔⊆⇔=∅⇔=I U I U （其中I 为全集）.（1）当=A B 时，显然成立； （2）当AB 时，venn 图如图所示，结论正确.这个结论通过集合的交､并､补运算与集合的包含关系的转换解决问题.3. 均值不等式链222++1122+a b a b ab a b≤≤≤（>0,>0a b ，当且仅当=a b 时取等号）4.两个经典超越不等式集合、常用逻辑用语、不等式（1）对数形式：1+ln (>0)x x x ≥，当且仅当=1x 时，等号成立． （2）指数形式：+1()x e x x R ≥∈，当且仅当=0x 时，等号成立． 进一步可得到一组不等式链：>+1>>1+ln x e x x x （0x >且1x ≠）上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：()2+1=1+++++2!!+1!n x xn x x e e x x n n θL ，()()()23+1+1ln 1+=-+-+-1+23+1n n n x x x x x o x n L ，截取片段：()()()+1R , ln 1+>-1xe x x x x x ≥∈≤，当且仅当=0x 时，等号成立；进而：()ln -1>0x x x ≤，当且仅当=1x 时，等号成立．1.奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D ，则f(0)=0． 2.函数周期性问题【结论阐述】已知函数f(x)是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f(x)+f(-x)=0．特别地，若奇函数f(x)在D 上有最值，则f(x)max+f(x)min=0，且若0∈D ，则f(0)=0． 已知定义在R 上的函数f(x)，若对任意x ∈R ，总存在非零常数T ，使得f(x+T)=f(x)，则称f(x)是周期函数，T 为其一个周期．除周期函数的定义外，还有一些常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x +a )=-f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ． (2)如果f (x +a )=()1f x (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ． (3)如果f (x +a )+f (x )=c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =2a ． (4)如果f (x )=f (x +a )+f (x -a )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T =6a ．3.不同底的指数函数图像变化规律当底数大于1时，底数越大指数函数的图像越靠近y 轴；当底数大于0且小于1时，底数越小，指数函数的图像越靠近y 轴.即如图1所示的指数函数图像中，底数的大小关系为：01c d b a <<<<<，即图1中由y 轴右侧观察，图像从下至上，指数函数的底数依次增大.函数及其性质图14.不同底的对数函数图像变化规律当底数大于0且小于1时，底数越小，对数函数的图像越靠近x 轴；当底数大于1时，底数越大，对数函数的图像越靠近x 轴.即如图2所示的对数函数图像中，底数的大小关系为：01b a d c <<<<<，即图2中，在x 轴上侧观察，图像从左向右，对数函数的底数依次增大.图25.方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1x f x k −+=的根若函数=()y f x 是定义在非空数集D 上的单调函数，则存在反函数1()y f x −=.特别地，x y a =与log a y x =（0a >且1a ≠）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图像关于=y x 对称，即()()00,x f x 与()()00,f x x 分别在函数()=y f x 与反函数()1y f x −=的图像上.若方程()x f x k +=的根为1x ，方程()1x f x k −+=的根为2x ，则12x x k +=.1.降幂扩角公式【结论阐述】()()221cos =1+cos2,21sin =1cos2.2ααα−α⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2.升幂缩角公式【结论阐述】221+cos2=2cos ,1cos2=2sin .αα−αα⎧⎨⎩3.万能公式【结论阐述】①22tan2sin =1+tan 2ααα；②221tan 2cos =1+tan 2α−αα；③22tan2tan 1tan 2ααα=−.3.正切恒等式tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C若△为斜三角形，则有tan tan tan tan tan tan ++=A B C A B C （正切恒等式）．4.射影定理在ABC V 中，cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+．1.等差数列的性质设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则有如下性质：项的 性在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,,n n m n m a a a ++L 为等差数列，公差为md从第二项起每一项是它前一项与后一项的等差中项，也是与它等间距的两项的等差中项：三角函数与解三角形数列质()()1122,2n n n n n k n k a a a n a a a n k −+−+=+≥=+>两和式项数相同，下标和相等，则两式和相等：即若m n r s +=+，则m n r s a a a a +=+；若,m n p r s t ++=++则m n p r s t a a a a a a ++=++若{}{},n n a b 为项数相同的等差数列，则{}n n ka lb ±仍为等差数列（,k l 为常数）等差数列的图像是直线上一列均匀分布的孤立点(当0d ≠时，()1n a dn a d =+−是n的一次函数)和的 性 质①232,,,n n n n n S S S S S −−L 也成等差数列，公差为2n d②当0d ≠时，2122n d d S n a n ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭是n 的二次函数 ③n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列③n 为奇数时，121,,1n n S n S S a S na S n +−−===+奇奇中偶偶；n 为偶数时，212,=2nna S n S S d S a +−=奇奇偶偶④若{}{},n n a b 为项数相同的等差数列，且前n 项和分别为n S 与,n T 则()()2121212121,21n m m n m m m m m S a S a b T b n T −−−−−==−（处理方法分别设221122,n n S A n B n T A n B n =+=+） 单调性在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即2,,,n n m n m a a a ++L 为等差数列，公差为md2.等比数列的性质设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，则有如下性质：项的性质在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比列，即2,,,n n m n ma a a++L为等比数列，公比为.m q从第二项起每一项是它前一项与后一项的等比数列，也是与它等间距的两项的等比中项.两积式项数相同，下标和相等，则两式积相等：即若,m n r s+=+则m n r sa a a a=；若,m n p r s t++=++则m n p r s ta a a a a a=若{}{},n na b为项数相同的等比数列，则①{}logc na（其中0,na c>为常数）为等差数列；②{}{}{}{}{}{}1,,,,,,,knn n n n n mn nn naka a b a a a aa b⎧⎫⎧⎫⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭（其中0,na k>为常数）为等比数列.等比数列的图像是一列分布的孤立点(当0q≠时，nna Aq=是n的指数型函数) 1212221223,,k k k k k k kA a a aB a a aC a a a++++===L L L，则,,A B C成等比数列和的性质①若{}na是1q≠−的等比数列，则数列232,,,n n n n nS S S S S−−L也成等比数列（其中n为常数）；1q=−且n为偶数时，数列232,,,n n n n nS S S S S−−L是常数列{}0，它不是等比数列；②m nm n m n n mS S q S S q S+=+=+；③在等比数列{}n a中，当项数为偶数2n时，S qS=奇偶；项数为奇数21n−时，1S a qS=+奇偶单调性①1q=时，数列{}n a是常数列，如数列2,2,2,2,L；②0q<时，数列{}n a是摆动数列，如数列1,2,4,8,16,−−L；③10,01a q><<时，数列{}n a是递减数列，如数列1111,,,,248L；④10,1a q>>时，数列{}n a是递增数列，如数列1,2,4,8,L；⑤10,01a q<<<时，数列{}n a是递增数列，如数列1111,,,,248−−−−L；⑥10,1a q<>时，数列{}n a是递减数列，如数列1,2,4,8,−−−−L.1.极化恒等式（1）极化恒等式：()()2214⎡⎤⋅=+−−⎣⎦a b a b a b ； （2）极化恒等式平行四边形型：在平行四边形ABCD 中，()2214AB AD AC BD ⋅=−u u u r u u u r u u u r u u u r ，即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14；（3）极化恒等式三角形模型：在ABC V 中，M 为边BC 中点，则；2214AB AC AM BC ⋅=−u u u r u u u r u u u u r u u u r .说明：（1）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决； （2）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.2.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心()()()02sin aOA OB OC OA OB AB OB OC BC OA OC AC A⇔===⇔+⋅=+⋅=+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . （如图1）（2）如图2，O 为ABC ∆的重心⇔OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r.（3）如图2，O 为ABC ∆的垂心⇔OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.（4）如图3，O 为ABC ∆的内心sin sin sin aOA bOB cOC A OA B OB C OC ⇔++=⇔⋅+⋅+⋅=00u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.说明：三角形“四心”——重心，垂心，内心，外心 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等.平面向量3.奔驰定理奔驰定理：设O 是ABC ∆内一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别记作A S ，B S ，C S 则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r .说明：本定理图形酷似奔驰的车标而得名. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式：①O 是ABC ∆的重心⇔::1:1:1A B C S S S =⇔0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r. ②O 是ABC ∆的内心⇔::::A B C S S S a b c =⇔0aOA bOB cOC ++=u u u r u u u r u u u r r.③O 是ABC ∆的外心::sin 2:sin 2:sin 2sin 2sin 2sin 20A B C S S S A B C A OA B OB C OC ⇔=⇔⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r. ④O 是ABC ∆的垂心⇔::tan :tan :tan A B C S S S A B C =⇔tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.1.三余弦定理与三正弦定理三余弦定理（又称最小角定理）：如图①，AB 是平面的一条斜线，BC 是平面内的一条直线，OA ⊥平面π于O ，OC BC ⊥于C ，则cos =cos cos ABC OBC OBA ∠∠⋅∠，即斜线与平面内一条直线夹角γ的余弦值等于斜线与平面所成角α的余弦值乘以射影与平面内直线夹角β的余弦值：cos =cos cos γα⋅β；说明：为方便记忆，我们约定γ为线线角，α为线面角，β为射影角，则由三余弦定理可得立体几何线面角是最小的线线角，即平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中的最小者.三正弦定理（又称最大角定理）：如图②，设二面角--AB θδ的平面角为α，AC ⊂平面θ，CO ⊥平面δ，OB AB ⊥，设=,=CAB CAO ∠β∠γ，则sin =sin sin γα⋅β.说明：为方便记忆，我们约定α为二面角，β为线棱角，γ为线面角，则由三正弦定理可得 二面角是最大的线面角，即对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于该二面角的平面角.2.多面体的外接球和内切球类型一球的内切问题（等体积法）例如：如图①，在四棱锥P ABCD −中，内切球为球O ，求球半径.方法如下：------=++++P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V即：-11111=++++33333P ABCD ABCD PBC PCD PAD PAB V S r S r S r S r S r ⋅⋅⋅⋅⋅，可求出.类型二球的外接问题 1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2.补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD ，AD=BC ，AC=BD ） 3.单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥−P ABC 中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2=sin ar A）； ②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ，则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R ：在直线1PO 上任取一点O 如图：则==OP OA R ，利用公式22211=+OA O A OO 可计算出球半径R .4.双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥−P ABC 中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O ；②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O ； ③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O .1.焦点三角形的面积公式解析几何1.椭圆中焦点三角形面积公式在椭圆22221x y a b+=（0a b >>）中，1F ，2F 分别为左､右焦点，P 为椭圆上一点，12F PF θ∠=，12PF F ∆的面积记为12ΔPF F S ，则：①12Δ121=||||=||2PF F p p S F F y c y ；②12Δ121=|||||sin 2PF F S PF PF θ；③122Δ=tan 2PF F S b θ，其中12=F PF θ∠.2.双曲线中焦点三角形面积公式在双曲线22221x y a b−=（0a >，0b >）中，1F ，2F 分别为左､右焦点，P 为双曲线上一点，12F PF θ∠=，12PF F ∆的面积记为12ΔPF F S ，则：①12Δ121=||||=||2PF F p p S F F y c y ；②12Δ121=|||||sin 2PF F S PF PF θ；③122Δ=tan 2PF F b S θ.注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用.2.圆锥曲线的切线问题1.过圆C ：222()+()=x a y b R −−上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()+()()=x a x a y b y b R −−−−. 2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.3.已知点00(,)M x y ，抛物线C ：2=2(0)y px p ≠和直线l ：00()y y p x x =+.（1）当点00(,)M x y 在抛物线C 上时，直线l 与抛物线C 相切，其中M 为切点，l 为切线. （2）当点00(,)M x y 在抛物线C 外时，直线l 与抛物线C 相交，其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线，即直线l 为切点弦所在的直线.（3）当点00(,)M x y 在抛物线C 内时，直线l 与抛物线C 相离.3.圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>中（特别提醒此题结论适用焦点在x 轴上椭圆）：（1）如图①所示，若直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线l ，l '，有l //l '，设其斜率为0k ，则202=bk k a−.（2）如图②所示，若直线(0)y kx k =≠与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为椭圆上异于A ，B 的点，若直线PA ，PB 的斜率存在，且分别为1k ，2k ，则2122=b k k a−.（3）如图③所示，若直线=+(0,0)y kx b k m ≠≠与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为弦AB 的中点，设直线PO 的斜率为0k ，则202=b k k a−.2.在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b −=>>中，类比上述结论有（特别提醒此题结论）：（1）202=b k k a ；（2）2122b k k a =；（3）202=b k k a. 3.在抛物线C ：22(0)y px p =>中类比1（3）的结论有00=(0)pk y y ≠. 4：圆锥曲线中的定值问题1．在椭圆中：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在椭圆上，设A ，B 是椭圆上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y ．2．在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>中，定点00(,)P x y （000x y ≠）在双曲线上，设A ，B 是双曲线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率2020=AB b x k a y −．3．在抛物线C ：22(0)y px p =>，定点00(,)P x y （000x y ≠）在抛物线上，设A ，B 是抛物线上的两个动点，直线PA ，PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，且满足0PA PB k k +=．则直线AB 的斜率0=AB pk y −． 5.圆锥曲线中的定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合，则斜边所在直线过定点．（1）对于椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222()(,0)+a b a a b−．同理，当以AB 为直径的圆过左顶点(,0)a −时，直线AB l 过定点2222()(,0)+a b aa b −−．（2）对于双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>上异于右顶点的两动点A ，B ，以AB 为直径的圆经过右顶点(,0)a ，则直线AB l 过定点2222(+)(,0)a b a a b −．同理，对于左顶点(,0)a −，则定点为2222(+)(,0)a b a a b −−． （3）对于抛物线22(0)y px p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则弦AB 所在直线过点(2,0)p ．同理，抛物线22(0)x py p =>上异于顶点的两动点A ，B ，若0OA OB ⋅=u u u r u u u r，则直线AB 过定点(0,2)p ．6.圆锥曲线中的定直线问题1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB u u u r u u u ru u ur u u u r 则点Q 必在定直线00221x x y y a b +=上； 2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y ，当过点P 的动直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B 时，在线段AB 上取一点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB u u u r u u u ru u ur u u u r 则点Q 必在定直线00221x x y y a b +=上； 3．已知抛物线22y px = (>0)p ，定点00(,)P x y 不在抛物线上，过点P 的动直线交抛物线于,A B 两点，在直线AB 上取点Q ，满足||||=.||||AP AQ PB QB u u u r u u u ru u ur u u u r 则点Q 在定直线00()y y p x x =+上． 7.抛物线的焦点弦长公式不妨设抛物线方程为()220y px p =>，如图1，准线2p x =−与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，O 为原点，α为AB 与对称轴正向所成的角，则有如下的焦点弦长公式：21212122212=1+-,=1+-,=++,=sin pAB k x x AB y y AB x x p AB k α． 8.抛物线中的三类直线与圆相切问题不妨设抛物线方程为()220y px p =>，如图1，准线2p x =−与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，O 为原点，α为AB 与对称轴正向所成的角，AB 的中点为C ，又作111,,AA l BB l CC l ⊥⊥⊥，垂足分别为111,,A B C ，则有如下结论（图2）：图1 图2 图3①以AB 为直径的圆M 与准线相切； ②以AF 为直径的圆C 与y 轴相切； ③以BF 为直径的圆D 与y 轴相切；④分别以,,AB AF BF 为直径的圆之间的关系：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切，又与圆M 相内切．结合圆的几何性质易得有关直线垂直关系的结论，如图3有，①以AB 为直径的圆的圆心在准线上的射影1M 与,A B 两点的连线互相垂直，即11M A M B ⊥； ②以AF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影1C 与,A F 两点的连线互相垂直，即11C A C F ⊥； ③以BF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影1D 与,B F 两点的连线互相垂直，即11D B D F ⊥； ④以11A B 为直径的圆必过原点，即11A F B F ⊥； ⑤1M F AB ⊥．1：排列组合中的分组与分配①“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使用分步组合法；②“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组．不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有A mm 种顺序不同的分法只能算一种分法；③对于非均匀编号分组采用分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采用分组法； ④平均分堆问题倍缩法采用缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）； ⑤有序分配问题逐分法采用分步法）； ⑥全员分配问题采用先组后排法；⑦名额分配问题采用隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）； ⑧限制条件分配问题采用分类法．2、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解；（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；（3）也可以按照推导二项式定理的方法解决问题．二、几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．3.二项式系数和的性质若()2012...nn n ax b a a x a x a x +=++++，则设()()nf x ax b =+，有：()00a f =；②()0121n a a a a f ++++=；③()()012311nn a a a a a f −+−++−=−；④()()0246112f f a a a a +−++++=L ；⑤()()1357112f f a a a a −−++++=L . 【应用场景】排列组合及二项式定理1.条件概率计算条件概率有两种方法． （1）定义法：利用定义()()()P AB P B A P A =；（2）压缩事件空间法：若()n A 表示试验中事件A 包含的基本事件的个数，则()()()n AB P B A n A =．【应用场景】（1）注意：利用定义求条件概率时，事件A 与事件B 有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清()P AB 的求法．（2）当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数()n A ，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即()n AB ，2.常见分布的数学期望和方差典型分布 数字特征 两点分布：()0,1X :，成功概率为p二项分布：(),X B n p :超几何分布：(),,X H n M N :数学期望()E X p=()E X np=()nME X N =方差()()1D X p p =−()()1D X np p =−()()()()21nM N n N M D X N N −−=−3.二项分布概率的最值函数及其性质下图是不同参数的二项分布的图象图1．不同参数下的二项分布的图象从图1中可以看出，对于固定的n 及p ，当k 增加时，概率()P X k =先是单调递增到最大值，随后单调减少．可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且：（1）当()1n p +不为整数时，概率()P X k =在()1k n p ⎡⎤=+⎣⎦时达到最大值；（2）当()1n p +为整数时，概率()P X k =在()1k n p =+和()11k n p =+−同时达到最大值． 注：[]x 为取整函数，即为不超过x 的最大整数．。
高中数学：16个二级结论（含例题解析）吃透，数学选择能快速解题
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一、基本知识点
直线 的方向向量分别为 ，平面 的法向量分别为 （若只涉及一个平面 ，则用 表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。
3、夹角问题
1）异面直线 所成的角 （范围： ）
2）线面角 （范围： ），
3）二面角 （范围： ）
4、距离问题
1）点A到点B的距离：
2）点A到线l的距离
在直线 上任取点
，
，
3）点A到面 的距离
在平面 上任取点
26、角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线
27、数列不动点：
定义：方程 的根称为函数 的不动点
利用递推数列 的不动点，可将某些递推关系 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法
1、任意的简单n面体内切球半径为 (V是简单n面体的体积， 是简单n面体的表面积)
2、在任意 内，都有tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC
3、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。①f(x＋a)＝f(x－a)②f(x＋a)＝－f(x)③f(x＋a)＝1/f(x)④f(x＋a)＝－1/f(x)
(3)三角形的外心：中垂线的交点(外接圆圆心，正弦定理求外接圆半径）
(5)三角形的内心：角平分线交点（内切圆圆心，面积法求内切圆半径）
40、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
41、洛必达法则：若函数 和 满足： ， ；则
42、圆锥曲线弦长公式
d = =
= = d =
43、抛物线焦点弦长公式：
39、三角形五心：
(1)三角形的重心：中线的交点（1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。2、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3。3、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。）
(2)三角形的垂心：高线的交点
21、到角公式：若把直线 依逆时针方向旋转到与 第一次重合时所转的角是 ，则
22、过双曲线 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为
过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
23、抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦
sin33对任意圆锥曲线过其上任意一点作两直线若两射线斜率之积为定值则两交点连线所在直线过定点34点xy关于直线axbyc0的对称点坐标为35为公差为d的等差数列bn为公比为q的等比数列若数列匕满足cnbn则数列匕啲前n项和为sn错位相减法36若圆的直径端点a41xxixx2yyiyy
高中数学二级结论
29、在Rt△ABC中，C为直角，
内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
则△ABC的内切圆半径为
30、立方差公式： 立方和公式：
31、向量与三角形四心：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c
(1) 是 的重心
(2) 为 的垂心
(3) 为 的内心
(4) 为 的外心
32、正弦平方差公式：
33、对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点
24、双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长)
推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值
25、面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC在平面α内的射影为△ABO，分别记△ABC的面积和△ABO的面积为S和S′，记△ABC所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cosθ=S′:S
12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程
①圆 的切点弦方程为
②椭圆 的切点弦方程为
③双曲线 的切点弦方程为
④抛物线 的切点弦方程为
⑤二次曲线的切点弦方程为
13、①椭圆 与直线 相切的条件是
②双曲线 与直线 相切的条件是
14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为 的点P的距离)公式 （左加右减）
4、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
5、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
6、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
=2px，过焦点直线交抛物线于A(x1,y1）和B(x2,y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2
44、三垂线定理：平面内搭一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也就和这条斜线垂直。由于定理中涉及三条与平面内已知直线有垂直关系的直线（如图，PA⊥a，PB⊥a，AB⊥a），故称为三垂线定理。
15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x的点P到焦点的距离)公式，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。
│PF1│=|a+ex|，│PF2│=|a-ex|（对任意x而言，左加右减）
16、任意满足 的二次方程，过函数上一点 的切线方程为
17、平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
18、在锐角三角形中
19、y=kx+m与椭圆 相交于两点，则纵坐标之和为
20、圆锥曲线的第二定义：
椭圆的第二定义：平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率， )的点的集合(定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数)
双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线
34、点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为
35、 为公差为d的等差数列， 为公比为q的等比数列，若数列 满足 ，则数列 的前n项和 为 （错位相减法）
36、若圆的直径端点 ，则圆的方程为
37、过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A、B两点，则直线AB的斜率为定值
38、二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：
7、斜二测画法直观图两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点
9、导数题常用放缩 、 、
10、椭圆 的面积S为
11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导
推论：①过圆 上任意一点 的切线方程为
②过椭圆 上任意一点 的切线方程为
③过双曲线 上任意一点 的切线方程为
定理1：若 是 的不动点， 满足递推关系 ，则 ，即 是公比为 的等比数列.
定理2：设 ， 满足递推关系 ，初值条件
(1)若 有两个相异的不动点 ，
(2)则 （这里 ）
(2)若 只有唯一不动点 ，则 （这里 ）28、三余弦定理：设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC·cos∠OAB(∠BAC和∠OAB只能是锐角)