河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题(解析版)

河南省天一大联考高一上学期第一次阶段性测试数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2,3,4},{|3}A B x x =-=<，则A B ⋂=（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{|3}x x <【答案】A【解析】根据集合的交运算，结合已知，进行求解. 【详解】由集合的交运算，可得{}1,0,1,2A B ⋂=-.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2．已知22,0,()log ,0x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩，若()(2)1f f -=-，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．0D ．1【答案】D【解析】由已知条件，利用分段函数性质，先求出1(2)4f -=，再算出14f ⎛⎫⎪⎝⎭，即可求出a . 【详解】 由题意得：已知函数22,0,()log ,0,x x f x a x x ⎧≤=⎨+>⎩所以1(2)4f -=，则()1(2)214f f f a ⎛⎫-==-=- ⎪⎝⎭得1a =， 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数的概念，还涉及函数的性质和函数值的求法，同时考查运算能力.3．函数1()lg f x x=+ ） A ．(],2-∞- B ．(]0,2C ．()(]0,11,2D ．(]1,2-【答案】C【解析】由函数解析式可知，根据对数真数大于0，分母不为0和二次根式的被开方数大于等于0，即可求出定义域. 【详解】由题意可得0lg 020x x x >⎧⎪≠⎨⎪-≥⎩，化简得02x <≤且1x ≠，即()(]0,11,2x ∈⋃.故选：C. 【点睛】本题考查求具体函数的定义域的方法，注意函数的定义域是函数各个部分的定义域的交集.4．若()y f x =的定义域为R ，值域为[1,2]，则(1)1y f x =-+的值域为（ ） A ．[2,3] B ．[0,1] C ．[1,2] D ．[1,1]-【答案】A【解析】根据函数的平移规则，结合原函数的值域求解. 【详解】因为(1)1y f x =-+是将原函数()f x ，向右平移1个单位， 再向上平移1个单位得到，但是左右平移不改变值域， 故(1)1y f x =-+的值域为[]2,3. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的上下平移和左右平移对函数值域的影响. 5．函数21()log 1xf x e x=--的零点所在的区间是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,2)【答案】C【解析】将选项中区间左右端点代入函数解析式，若发现两端函数值异号，则零点就在该区间. 【详解】因为1202f ⎛⎫=<⎪⎝⎭，而()110f e =-> 则()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，根据零点存在性定理可知 函数零点所在区间为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查函数零点所在区间的确定，判断依据是零点存在性定理.6．设0.20.343,log 0.4,log 0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】B【解析】将,,a b c 与1和0进行比较，从而得出结果. 【详解】0.20331a =>=，0.30.3log 0.4log 0.31?b =<=且0b >， 44log 0.2log 10c =<=，故a b c >>， 故选：B. 【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，一般地，先与1和0进行比较，即可区分. 7．设m R ∈，幂函数1()(22)m f x m x +=+，且(1)(2)f a f a +>-，则a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．1,22⎛⎤⎥⎝⎦C ．(1,2]-D ．[2,)+∞【答案】B【解析】由()f x 是幂函数，求得参数的值，再求解不等式即可. 【详解】因为1()(22)m f x m x+=+是幂函数，故221m +=，解得12m =-， 则()f x x =，其在[)0,+∞为单调增函数，则不等式(1)(2)f a f a +>-等价于102012a a a a+≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B. 【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，以及利用函数单调性求解不等式. 8．函数|1|1()10x f x -=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的定义域，以及单调性，结合选项进行选择. 【详解】 因为|1|1()10x f x -=定义域为R ，故排除C 、D 选项； 又1101x ->，故()()0,1f x ∈，故排除B . 故选：A. 【点睛】本题考查由函数的解析式，选择函数的图像.一般地，要从定义域、值域、单调性、特殊点出发进行选择.9．已知函数()22()log 2f x x x a =-+的最小值为3，则a =（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】判断函数的单调性，找到最小值点对应的自变量，代值计算即可. 【详解】若220x x a -+>在R 上恒成立， 则根据复合函数的单调性可知，()f x 区间(),1-∞单调递减，则()1,+∞单调递增，故()()()21log 13min f x f a ==-=，解得9a =，此时满足2290x x -+>在R 上恒成立， 若220x x a -+>在R 上不恒成立，则该函数没有最值. 综上所述：9a =. 故选：D. 【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性的判断，遵循同增异减的原则.10．常见的三阶魔方约有194.310⨯种不同的状态，将这个数记为A ，二阶魔方有85603⨯种不同的状态，将这个数记为B ，则下列各数与AB最接近的是（ ）（参考数据：43 4.3log 10 2.1,0.63560-≈≈⨯） A ．280.63-⨯ B ．280.610⨯ C ．280.63⨯ D ．320.63⨯【答案】C【解析】根据题意，结合参考数据，应用对数运算法则，对数据进行估算. 【详解】由题可知：A B =1984.3105603⨯两边取对数可得1933384.310log log log 5603A B =+4198333333log log log 3log 10log 35A B -≈++- 333log log 419 2.185A B -≈-+⨯-35log 27.93A B ⨯≈故27.9533A B ≈⨯ 解得：27.90.63A B ≈⨯，故与之最接近的为280.63⨯. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，涉及数据的估算；要结合参考数据进行处理，是解决本题的重要思路.11．已知函数2()x x x xe e xf x e e--++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．1 B ．2C ．211e e ++ D ．221ee ++ 【答案】B【解析】对()f x 分离参数，构造一个奇函数，再进行求解. 【详解】因为2()x x x xe e xf x e e--++=+=1+2x x x e e -+ 不妨令()2x xxh x e e-=+，显然()h x 为奇函数， 故()()max 0min h x h x +=，则()()()()max 22max min min f x f x h x h x +=++=. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数最值之间的关系，本题的难点在于分离常数，构造奇函数.12．设函数222,2,()54, 2.x a x f x x ax a x ⎧-<=⎨-+⎩若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2(2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,2[4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2(4,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】分段考虑函数的零点，结合一元二次方程根的分布，对参数进行讨论. 【详解】为方便说明，不妨令()22?(2)?h x a x =-<，()()22542g x x ax ax =-+≥因为()h x 是单调函数，故其在定义域上的零点个数可以是0或1； 对()g x ，因为290a =≥，故其可以在定义域有1个零点，或2个零点；故当()f x 有两个零点，只有下面两种可能： ①当()40,4a -∈时，即()0,4a ∈时，()h x 在其定义域内有1个零点，此时只要保证()g x 在其定义域1个零点即可，等价于方程22540x ax a -+=有1个根在区间[)2,+∞， 只需()20g <，即：241040a a -+<，解得1,22a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭或()20g =且522a <，解得12a =， 故1,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭②当()40,4a -∉，即(][),04,a ∈-∞⋃+∞时，()h x 在其定义域内没有零点，此时只要保证()g x 在其定义域2个零点即可等价于方程22540x ax a -+=有2个根在区间[)2,+∞，只需()52220ag ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，解得[)4,a ∈+∞综上所述：[)1,24,2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，涉及二次方程根的分布，其难点是对参数进行分类讨论.二、填空题13．已知函数2(0,1)x y a a a =+>≠且的图象恒过点M ，则M 的坐标为________. 【答案】(0,3)【解析】根据函数平移，结合指数函数恒过定点()0,1即可求得. 【详解】因为xy a =恒过定点()0,1，又函数2x y a =+是由xy a =向上平移2个单位得到， 故2xy a =+恒过定点()0,3.故答案为：()0,3. 【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，其一般思路为，根据函数图像变换进行求解. 14．已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为___________. 【答案】3【解析】由集合A 的元素，以及2A ∈，分类讨论，结合集合元素互异性，即可得出实数m 的值. 【详解】由题可得，若2m =，则2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去； 若2322m m -+=，解得3m =或0m =，其中0m =不满足集合元素的互异性，舍去， 所以3m =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查集合元素的互异性，结合元素与集合关系以及通过对集合中元素构成的特点求参数值.15．已知函数()log (0,1)a f x x b a a =+>≠的定义域、值域都是[1,2]，则a b +=__________．【答案】52或3. 【解析】分析：分类讨论a 的取值范围，得到函数的单调性，代入数据即可求解. 详解：当01a <<时，易知函数()f x 为减函数，由题意有()()122log 21a fb f b ===+=，解得：1,22a b ==，符合题意，此时52a b +=； 当1a >时，易知函数()f x 为增函数，由题意有()()112log 22a fb f b ===+=，解得2,1a b ==，符合题意，此时3a b +=.综上可得：+a b 的值为52或3. 故答案为：52或3. 点睛：在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．16．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，2log (1),01,()31,1,x x f x x x +<⎧=⎨--⎩则方程1()2f x =的所有实根之和为________. 21【解析】画出分段函数的图像，根据图像，结合解析式，进行求解. 【详解】根据分段函数的解析式，以及函数为奇函数，作图如下：由图容易知，因为31y x =--在区间[)1,+∞上，关于3x =对称， 且31y x =---+在区间(],1-∞上，关于3x =-对称， 故其与直线12y =的所有交点的横坐标之和为0. 故1()2f x =所有根之和，即为当()0,1x ∈时的根， 此时()21log 12x +=，解得21x =.21. 【点睛】本题考查函数图像的交点，涉及函数图像的绘制，函数奇偶性的应用，属函数综合题.三、解答题17．计算（1）142110.2542216--⎛⎫⎛⎫⨯--÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()()3334839322log 2log log 8log 3log 3log 2log 29-+-++ 【答案】（1）4-（2）34【解析】（1）根据指数运算法则，直接计算即可得出结果； （2）根据对数运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】解：（1）原式14421242444⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭=⨯--=--22=-4（2）原式232233log 2log 3log 328log log 2322329⨯⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭323111533log 9log 3log 212232624⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯⨯+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考查指数运算以及对数运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.18．已知集合{}2{|32},|log 3,{|13}A x x B x x C x m x m =-<<=<=-<<+. （1）求R A C B ⋂；（2）若()C A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|30}x x -<（2）(,4]-∞【解析】（1）求解对数不等式，再求补集和交集即可；（2）先求并集，对集合C 是否为空集进行讨论，分别求解.【详解】（1）∵函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，∴由2log 3x <得08x <<，∴{|08}B x x =<<.∴{|08}R B x x x =或.∴(){|30}R A B x x ⋂=-<.（2）{|38}A B x x ⋃=-<<.若C =∅，则13m m -+，解得1m -.若C ≠∅，则13,13,38,m m m m -<+⎧⎪--⎨⎪+≤⎩，解得14m -<.∴实数m 的取值范围为(,4]-∞.【点睛】本题考查集合的运算，以及集合之间的包含关系，涉及对数不等式的求解.19．已知函数21()2x x f x a-=+的图象经过点11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的定义域和值域；（3）判断函数()f x 的奇偶性并证明.【答案】（1）1；（2）定义域为R ，值域为(1,1)-；（3）()f x 是奇函数，证明见详解.【解析】（1）将函数过的点的坐标代入函数解析式，求解参数；（2）利用分母不为零求定义域，采用不等式法求函数值域；（3）先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断()f x 与()f x -之间的关系.【详解】（1）由题意知11112112(1)1232f a a -----===-++， 解得1a =.（2）因为212()12121x x x f x -==-++. ∵20x >，∴211x +>，∴()f x 的定义域为R .∵2(0,)x ∈+∞，∴2(0,2)21x ∈+， ∴()f x 的值域为(1,1)-.（3）函数()f x 是奇函数.证明如下：∵()f x 的定义域为R ，关于原点对称， 且2112()()2112x x x xf x f x -----===-++， ∴()f x 是奇函数，即证.【点睛】本题考查函数解析式，定义域和值域的求解，以及函数奇偶性的证明，涉及指数运算，属函数综合基础题.20．某投资公司计划在甲、乙两个互联网创新项目上共投资1200万元，每个项目至少要投资300万元.根据市场分析预测：甲项目的收益P 与投入a满足30P =-，乙项目的收益Q 与投入a 满足1505Q a =+.设甲项目的投入为x . （1）求两个项目的总收益关于x 的函数()F x .（2）如何安排甲、乙两个项目的投资，才能使总收益最大？最大总收益为多少？（注：收益与投入的单位都为“万元”）【答案】（1）1()260,3009005F x x x =-+≤≤；（2）甲项目投资500万元，乙项目投资700万元；360万元【解析】(1)由题意得，分别代入甲和乙的收益函数即可得出两个项目的总收益关于x 的函数()F x ；(2)利用换元法，令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦，得出关于t 的二次函数，根据已知区间内的二次函数即可求出最大值以及对于的x 值，即可得出答案.【详解】（1）由题知，甲项目投资x 万元，乙项目投资1200x -万元.所以11()4530(1200)504526055F x x x x x =-+-+=-++ 依题意得3001200300x x ≥⎧⎨-≥⎩解得300900x ≤≤. 故1()45260,3009005F x x x x =-++≤≤ （2）令t x =，则103,30t ⎡⎤∈⎣⎦.221145260(105)36055y t t t =-++=--+ 当105t =，即500x =，y 的最大值为360.所以当甲项目投资500万元，乙项目投资700万元时，总收益最大，最大总收益为360万元.【点睛】本题考查函数模型的应用以及二次函数的性质，利用换元法及二次函数求最值. 21．已知函数2()22f x x kx =-+.（1）若函数(1)f x -是偶函数.求k 的值，并在坐标系中画出()y f x =的大致图象； （2）若当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）4k =-，图像见解析；（2）8,43⎡-⎣【解析】（1）根据(1)f x -是偶函数，得出()f x 的对称轴，结合二次函数对称轴，求出k ，便可以得出()f x 解析式，即可画出二次函数图像；（2）由条件，得出min ()4f x ≥-，分类讨论对称轴和所给区间比较，结合单调性，分别求出每种情况的最小值，分析加以排除，即可得出k 的取值范围.【详解】（1）由题得，函数(1)f x -是偶函数，可得函数()f x 的图象关于1x =-对称， 即14k =-，得4k =- 则2()242y f x x x ==++的大致图象如图所示.（2）因为当[]1,2x ∈-时，()4f x ≥-恒成立，所以min ()4f x ≥-.由题可知()f x 的对称轴为4k x =. 当14k ≤-，即4k ≤-时，()f x 在[]1,2-上单调递增， 此时min ()(1)224f x f k =-=++≥-，得8k ≥-，所以84k -≤≤-； 当24k ≥，即8k ≥时，()f x 在[]1,2-上单调递减， 此时min ()(2)8224f x f k ==-+≥-，得7k ≤，不符合条件； 当124k -<<，即48k -<<时，()f x 在(1,)4k -上单调递减，在,24k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 此时22min()()24484k k k f x f ==-+≥-，得4343k -≤≤443k -<≤综上所述，k 的取值范围是8,43⎡-⎣.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，利用偶函数性质以及二次函数的对称轴、单调性、最值，同时还考查二次函数图像的画法和分类讨论思想，以及数形结合思想.22．设a R ∈,函数 ()1,11ln ,1ax x f x x a x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩,且()()3f f e -=()1求()f x 的最大值()2若方程()()0f x f x --=在区间[)(),1k k k Z +∈上存在实根,求出所有可能的k 值【答案】（1）3；（2）3,0,2-【解析】（1）由(3)()f f e -=求得a ，分段考查函数值的取值范围可得最大值．（2）由()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩，分类讨论，分11x -<<，1x ≥和1x ≤-三类讨论其零点，其中1x ≤-可由1x ≥得出，主要是()()0f x f x --=的解都是成对出现的．【详解】（1）由()()3f f e -=得31131a a -+=---,解得3a = 当1x <时,()3143311x f x x x +==+<-- 当1x ≥时,()3ln f x x =-单调递减,()()13f x f ≤=所以()f x 的最大值为3（2）由（1）知()31,113ln ,1x x f x x x x +⎧<⎪=-⎨⎪-≥⎩ 当11x -<<时,11x -<-<由()()0f x f x --=得3131011x x x x +-+-=---,解得0x =,因为[)00,1∈,故可取0k = 当1x >时,1x -<-，由()()0f x f x --=得313ln 01x x x -+--=--,整理得4ln 01x x -=+ 设()()4ln 11g x x x x =-≥+,易知()g x 在[)1,+∞上单调递减 又因为()()42ln 20,31ln 303g g =->=-<,所以()g x 在[)2,3上存在唯- -点, 从而原方程在[)2,3,上有且仅有一个实根.故可取2k =当非零实数0x 满足()()000f x f x --=时,0x -也满足()()000f x f x --=,即原方程的非零实根总是成对出现,所以在[)3,2--上也仅有一个实根,故可取3k =-. 综上所述,k 的值可以为3,0,2-．【点睛】本题考查对数型复合函数的最值，考查函数的零点问题．通过零点存在定理可确定函数零点所在区间．对分段函数一般需要分类讨论．。