平均变化率公式
平均变化率与瞬时变化率详解课件
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。
in的公式
in的公式In的公式是一种常见的数学公式，它用于表示一个变量或物体在一定时间内的变化率。
在数学和物理学中，这个公式被广泛应用于各种问题的求解中。
In的公式可以表示为：In = ΔQ / Δt，其中In表示某一物体或变量在一段时间内的变化率，ΔQ表示在这段时间内物体或变量的变化量，Δt表示这段时间的长度。
通过求解这个公式，我们可以计算出物体或变量在一段时间内的平均变化率。
在实际应用中，In的公式被广泛运用于各个领域。
例如，在物理学中，我们可以用In的公式来计算物体的速度。
假设一个物体在时间t1和t2之间移动了一段距离Δx，那么物体的速度可以通过In的公式求解：v = Δx / Δt，其中v表示物体的速度。
通过这个公式，我们可以计算出物体在一段时间内的平均速度。
在经济学中，In的公式可以用来计算某一经济指标的增长率。
例如，假设某个国家的GDP在两个时间点t1和t2之间增加了一定金额ΔGDP，那么这个国家的GDP增长率可以通过In的公式求解：GDP增长率= ΔGDP / Δt。
通过这个公式，我们可以计算出这个国家的GDP在一段时间内的平均增长率。
除了物理学和经济学，In的公式还被广泛应用于其他领域。
在生物学中，我们可以用In的公式来计算某一物种的增长率。
在工程学中，我们可以用In的公式来计算某一系统的效率。
在计算机科学中，我们可以用In的公式来计算某一算法的时间复杂度。
In的公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们计算物体或变量在一段时间内的变化率。
通过应用这个公式，我们可以解决各种不同领域的问题。
无论是在物理学、经济学还是其他领域，In的公式都发挥着重要的作用，为我们提供了解决问题的有效工具。
在未来的研究和应用中，我们可以进一步探索和发展In的公式，以应对更加复杂和多样化的问题。
化学反应速率4个公式
化学反应速率4个公式1. 平均反应速率（Average Reaction Rate）平均反应速率是指反应物质浓度在一段时间内的平均变化率。
对于一般的反应A+B→C+D，平均反应速率可以表示为：v=Δ[A]/Δt=-Δ[B]/Δt=Δ[C]/Δt=Δ[D]/Δt其中v表示平均反应速率，Δ[A]、Δ[B]、Δ[C]、Δ[D]分别表示反应物A、B和生成物C、D的浓度变化量，Δt表示时间间隔。
该公式表示反应物物质浓度的变化量与时间的比值。
2. 瞬时反应速率（Instantaneous Reaction Rate）瞬时反应速率是指在其中一特定时刻的反应速率。
由于反应速率在反应过程中可能会发生变化，因此瞬时反应速率需要通过微分来进行计算。
对于一般的反应A+B→C+D，瞬时反应速率可以表示为：v = -d[A]/dt = -d[B]/dt = d[C]/dt = d[D]/dt其中v表示瞬时反应速率，d[A]/dt、d[B]/dt、d[C]/dt、d[D]/dt 分别表示反应物A、B和生成物C、D的浓度随时间变化的微分。
该公式表示反应物物质浓度的变化率。
3. 反应速率定律（Rate Law）反应速率定律是描述反应速率与反应物浓度的关系的数学公式。
对于一般的反应A+B→C+D，反应速率定律可以表示为：v=k[A]^m[B]^n其中v表示反应速率，k为反应速率常数，[A]、[B]分别表示反应物A和B的浓度，m和n为反应物浓度的阶数，可以根据实验结果来确定。
4. Arrhenius公式（Arrhenius Equation）Arrhenius公式是描述反应速率与温度的关系的数学公式，可用于计算反应速率常数。
Arrhenius公式可以表示为：k=Ae^(-Ea/RT)其中k为反应速率常数，A为预指数因子，Ea为活化能，R为气体常数，T为反应温度。
该公式表示反应速率常数与温度的关系。
通过测定不同温度下的反应速率常数，可以确定活化能。
人教版初中数学九年级上册第二十一章21.3.2平均变化率问题与一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
用一元二次方程解决平均变化率问题
【问题1】思考,并填空：
1.某户的粮食产量年平均增长率为 10%,第一年的产量为6t,第二年的
产量为___________t,第三年的产量___________t.
2.某厂今年一月份的总产量为500吨,二月份的总产量为720吨,则第 一个月比第二个月产量增长_________,增长率是 __________.
2．解决“传播问题” 探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121
个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：
（1）本题中的数量关系是什么？ （2）每一轮的传染源和传染之后的患流感人数是 多少？
2．解决“传播问题”
探究 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个 人？
种药品的成本是
元.
【问题2】你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？
两年后： “变化率”问题公式：a(1±x)n=b
x为平均增长(或降低)百分率, a是增长(或降低)前的量, b是增长(或降低)n次后的量, 其中增长取“+”,降低取“－” 。
【例1】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙
设甲种药品成本的年平均下降率为 y
6000(1-y)2=3600
解得y1≈0.225,y2≈1.775(不合题意,舍去)
∴乙种药品成本的年平均下降率约为 22.5%．
答：两种药品成本的年平均下降率一样大。
【例2】某公司去年的各项经营中,一月份的营业额为200万元 ,第一季度的营业额共950万元,如果平均每月营业额的增长率 相同,求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得
变化率问题资料课件
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。
21.3平均变化率问题课件
首页
典型例题
例1：某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元， 一月、• 二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增 长率相同，求这个增长率．
分析：设这个增长率为x;则 200(1+x) 二月份营业额为：__________________ 2 200 ( 1 x ) 三月份营业额为：_______________ 一月、• 二月、三月的营业额共950万元 根据：______________________ 作为等量关系列方程为：
200 200 (1 x) 200 (1 x) 2 950
整理方程得： 4 x 2 12x 7 0
解这个方程得： x1 3.5(舍去）x2 0.5
答：这个增长率为50%。
达标训练
1、某林场现有木材a立方米，预计在今后 两年内年平均增长 p%，那么两年后该林场 2 (1 p%) 立方米. 有木材a __________
二、合作探究
探究点一 平均变化率问题与一元二次方程
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本 是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是 3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平 均下降率较大？
首页
Байду номын сангаас
典例精析
例1：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1 吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现 在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品 的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
三、课堂小结
1、平均增长（降低）率公式 2
a(1 x) b
大一导数公式及运算法则
大一导数公式及运算法则导数公式指的是基本初等函数的导数公式，导数运算法则主要包括四则运算法则、复合函数求导法则（又叫“链式法则”）。
一、什么是导数？导数就是“平均变化率“△y/△x”，当△x→0时的极限值”。
可导函数y=f(x)在点(a,b)处的导数值为f'(a)。
二、基本初等函数的导数公式高中数学里基本初等函数的导数公式里涉及到的函数类型有：常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数。
它们的导数公式如下图所示：高中数学基本初等函数导数公式三、导数加、减、乘、除四则运算法则导数加、减、乘、除四则运算法则公式如下图所示：1、加减法运算法则导数的加、减法运算法则公式2、乘除法运算法则导数的乘、除法运算法则公式【注】分母g(x)≠0.为了便于记忆，我们可以把导数的四则运算法则简化为如下图所示的、比较简洁的四则运算公式。
简化后的导数四则运算法则公式【注】分母v≠0.四、复合函数求导公式（“链式法则”）求一个基本初等函数的导数，只要代入“基本初等函数的导数公式”即可。
对于基本初等函数之外的函数如“y=sin(2x)”的导数，则要用到复合函数求导法则（又称“链式法则”）。
其内容如下。
（1）若一个函数y=f(g(x))，则它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系如下图所示。
复合函数导数公式（2）根据“复合函数求导公式”可知，“y对x的导数，等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”。
【例】求y=sin(2x)的导数。
解：y=sin(2x)可看成y=sinu与u=2x的复合函数。
因为(sinu)'=cosu，(2x)'=2，所以，[sin(2x)]'=(sinu)'×(2x)'=cosu×2=2cosu=2cos(2x)。
五、可导函数在一点处的导数值的物理意义和几何意义（1）物理意义：可导函数在该点处的瞬时变化率。
（2）几何意义：可导函数在该点处的切线斜率值。
高中数学 第二章 变化率与导数 2.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修22
∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2.
Δ
即为平均速度,
Δ
答案:A
=
5-3(1+Δ)2 -5+3×12
=-3Δt-6.
Δ
探究一
探究二
探究三
思维辨析
瞬时变化率
1
【例2】 已知s(t)= 2gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
(2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
Δ
=
3(2+Δ)2 +2-(3×22 +2)
Δ
=
12Δ+3(Δ)2
=12+3Δx.
Δ
反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).
Δ
=
4Δ+(Δ)2
=4+Δt,
Δ
∵≤5,∴4+Δt≤5,∴Δt≤1.
又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1].
答案:(0,1]
探究一
探究二
探究三
思维辨析
因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]
上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平均变化率公式
平均变化率，是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
平均变化率公式：Δy=f(x+Δx)-f(x)。
平均变化率是y的增量与x的增量的比，可以用来观察函数的变化速度以及函数是怎样变的。
在学习导数之前也可以先学习平均变化率，为后来学习导数做铺垫。
导数也叫导函数值。
又名微商，是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。