分数裂项与整数裂项
小学计算知识点：分数裂项
裂项综合：
分数列项练习题及答案
计算： 1/（1＋12＋14）＋2/（1＋22＋24）＋…＋100/（1＋1002
＋1004）
=（）。
第一：本质上这是小学分数数列计算！何也？因为这种类型的题目（数列求值计算），即使到了高考也会出现。
所以我再三强调：学数学的作用，“撇开单纯的获奖”这一因素，学数学的最大作用就是开拓思路；其次是对高中数学学习会有很大的帮助。
第二：方法——当然是裂项求和。结果只有首项和末项，中间项——正负，恰好互相抵消。
对“分数数列的裂项求和”这应该是“条件反射”下就能想到的。问题是：在不同的年级，它会出现各种变化。但总的思路只能是“裂项求和”。
第三：既然已经知道本题是用小学就已经学过的方法，那么，问题就归结到：如何裂项？
本题需要化简一下。（1＋22＋24）
看到：（1＋n2＋n4）形式，应该想到：立方差公式！
n/（1＋n2＋n4）=n（n2－1）/（n6－1）
=n（n－1）(n＋1)/[（n3－1）(n3＋1)]
=n/[（1＋n2＋n4）（1－n2＋n4）]
=0.5[1/（1＋n2＋n4）－1/（1－n2＋n4）]
计算：1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/99×100
1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/99×100
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/99-1/100
=1-1/100
=99/100
2、计算：1/（1×2×3）+1/（2×3×4）+1/（3×4×5）+1/（4×5×6）+…+1/（21×22×23）
1/（1×2×3）+1/（2×3×4）+1/（3×4×5）+1/（4×5×6）+…+1/（21 ×22×23）
=（1/2）【1/（1×2）-1/（2×3）+1/（2×3）-1/（3×4）+1/（3×4）-1/（4×5）+1/（4×5）-1/（5×6）+…+1/（21×22）-1/（22×23）】=（1/2）【1（1×2）-1/（22×23）】
=（1/2）（126/253）
=63/253
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求1(1) n n +型分数求和 分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二） 用裂项法求 1()n n k +型分数求和 分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三） 用裂项法求() k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+
（四） 用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五） 用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六） 用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和 分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。
最新分数裂项法解分数计算
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。
六年级分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 知识点拨 教学目标 分数裂项计算
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1) n n +型分数求和 分析：因为 111n n -+＝11 (1)(1)(1) n n n n n n n n +-= +++（n 为自然数） 所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】 求 111 ......101111125960+++???的和。 111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-= -= （二） 用裂项法求 1 () n n k +型分数求和 分析： 1 () n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 。所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? 111111*********()()()()()25727929112111321315= -+-+-+-+- 111111********* [()()()()()][]2577991111131315251515 =-+-+-+-+-=-= （三） 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】 求 2222 (1335579799) ++++????的和 1111111198 (1)()()......( )13355797999999 =-+-+-++-=-= （四） 用裂项法求 2()(2) k n n k n k ++型分数求和 分析： 2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 则 211 ()(2) ()()(2) k n n k n k n n k n k n k = - +++++ 【例4】 计算： 4444 (135357939597959799) ++++???????? 11111111()()......()()133535579395959795979799 1132001397999603 =-+-++-+-????????=-= ?? （五） 用裂项法求 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和 分析： 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111 ()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】 计算：111 ......1234234517181920+++ ????????? 1111111 [()()......()] 3123234 2343451718191819201111139[]312318192020520 =-+-++-????????????=--=???? （六） 用裂项法求 3()(2)(3) k n n k n k n k +++型分数求和 分析： 3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）
分数裂项练习题1
分数裂项练习题1 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 3. 2222 109985443 ++++=???? L 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L
分数裂项练习题1详解 1. 11111 1223344556 ++++= ????? 。 【解析】原式 111111115 122356166?????? =-+-++-=-= ? ? ? ?????? L 2. 111 ...... 101111125960 +++ ??? 【解析】原式 111111111 ()()......() 101111125960106012 =-+-++-=-= 3. 2222 109985443 ++++=???? L 【解析】原式 11111111 2 910894534 ?? =?-+-++-+- ? ?? L 11 2 310 ?? =?- ? ?? 7 15 = 4.1111 11212312100 ++++ ++++++ L L L 【解析】原式 2222120099 2(1)1 122334100101101101101 =++++=?-==???? L L 5. 1111 133******** ++++=???? L 【解析】 111111111150 (1 13355799101233599101101 ++++=?-+-++-= ???? L…） 6.计算： 1111 25 1335572325 ?? ?++++= ? ???? ?? L 【解析】原式 111111 251 23352325 ?? =??-+-++- ? ?? L 11 251 225 ?? =??- ? ?? 2524 225 =?12 = 7.251251251251251 4881212162000200420042008 +++++ ????? L 【解析】原式 25111111 16122334500501501502??=?+++++ ? ????? ?? L 2511111111 1 1622334501502 ?? =?-+-+-++- ? ?? L 25150150121 15 165023232 =?==
分数裂项求和
学生曹一诺学校年级六年级科目数学 教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题 分数裂项求和 教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。 教学步骤及教学内容一、作业检查： 平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身： 与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。 三、内容讲解： 先做几个题目： （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ， （2）求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和 这种题目就是分数裂项求和的运用。 分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项： 减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。 （1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，
解：原式= +?+?+?7 55 -7533-5311-3……+11 99-11? =( + ??+??+??)7 55-757()533-535()311-313 ……+( 11911 ?-11 99?) )11 191()7151()5131()3111(-+??+-+-+-= 11 191715151313111-+??+-+-+-= 11 111-= 11 10= （2）求 2222 (1335579799) ++++????的和 解：原式=+?+?+?7 55-75 33-53 11-3……+99 9797-99? 1111111 (1)()()......() 3355797991 1999899 =-+-+-++-=-= 再看一道例题： 例1：计算：72 17561542133011209127651-+-+-+ - 解：原式=98988787767665655454434332321?+-?++?+-?++?+-?++?+- ）（）（）（）（）（）（）（9 1818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11--++--++--++--= 9 11-=
分数拆分(裂项法)
2008年10月4日 六年级 基本公式：()111n n+1n n 1-+＝； 推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝ 例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－4 1）＋……＋（991－100 1）=1－1001=10099。 例2、计算：1111112612203042+++++=7 6； 例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336； 例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝ 例5、计算：1111(1)(1)(1(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。 解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；
六年级分数-裂项法
知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。 分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快 速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运 算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。 公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项 法： 例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222
六年级+分数裂项
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 分数裂项计算 教学目标 知识点拨
裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556++++=????? 。 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 【解析】 原式111111115122356166??????=-+-++-=-= ? ? ??????? 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为： 111113355779+++????，计算过程就要变为： 111111113355779192 ??+++=-? ???????． 【答案】56 【巩固】 111 (101111125960) +++??? 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111111()()......()101111125960106012 =-+-++-=-= 【答案】112 例题精讲
分数乘法与分数裂项法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法 分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。 分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。 对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。 进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。 需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。 【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。 同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10
【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 （2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】
分数裂项计算
分数裂项计算 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： 知识点拨 教学目标
六年级分数裂项
六年级分数裂项 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 分数裂项 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1 a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有 1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1 (1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 知识点拨 教学目标 分数裂项计算
裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2） 2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 11111 1223344556 ++++=????? 。 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】美国长岛，小学数学竞赛 【解析】 原式111111115122356166 ???? ??=-+-+ +-=-= ? ? ????? ?? 提醒学生注意要乘以(分母差)分之一，如改为：1111 13355779 +++ ????，计算过程就要变为： 111111113355779192??+++=-? ???????． 【答案】5 6 【考点】分数裂项 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 原式111111111 ()()......()101111125960106012=-+-++-=-= 【答案】1 12 例题精讲
分数裂项求和标准个性化教案
分数裂项求和标准个性 化教案 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
变形裂项：先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算： 观察：直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1（ ）-（ ） ( )()=?= 1 301（ ）-（ ） 解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算：7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?（ ）+（ ） ()( ) 136742+==?（ ）+（ ） 解：原式） （）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项： .............. 解：原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= （）（ 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”
解：原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=）（ 例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为： 解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试： 【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 （二） 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ????? （三） 用裂项法求 () k n n k +型分数求和 分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11 n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k +
六年级分数裂项作业
分数裂项 校区 班级 姓名 本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。 本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。 一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 二、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。 习题练习 知识点拨 学习目标
小学奥数分数求和专题总结
分数求和 分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。 典型例题 一、公式法： 计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋2008 2007）×2007÷2 =2 11003 二、图解法： 计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图： 从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－64 1 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1）－641
…… = 21 ×2－64 1 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。 设x= 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ② 用②－①得 2x －x=1+ 21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1） x=64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463 三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。 再变数型：因为 21=211?=1－21，61=321?=21－31，121=431?=31－4 1，……，1101=11101?=101-111。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。 21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-11 1 =1－11 1 =11 10 2、计算：511?＋951?＋13 91?＋……＋33291?＋37331?
(完整版)小学六年级奥数裂项第一讲
小学六年级奥数裂项第一讲 一、教学目标：1.掌握分数裂项的基本原理。 2 .掌握裂差和裂和的联系与区别 二、重点难点：裂项的技巧去分数运算 三、教学内容：知识梳理 1、常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差，使拆分后的项可前后 抵消或凑整，这种题目看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算。一般裂项分为分数裂项和整数裂项，其中分数裂项是重要考点。 2、分数裂项的技巧 分数裂项实质是异分母分数加减法的逆运算，关键是找分母上的数和分子上的数 的和差倍关系。 第一类：“裂差”型运算。 当分母是两数相乘的形式，分子表示为分母上两数的差（基本型），则可以进行o b — a b a 1 1 a x b a x b a x b a b 两项的裂差非常重要，一定要掌握。 第二类：“裂和”型运算。 当分母是两数相乘形式，分子可表示分母上两数的和（基本型），则可以进行裂项和。 b + a b a 1 1 ------ =--------- H -------- = — -\— a x b a x b a x b a b
四、归纳总结 1、裂差型基本形式： b — a b a 11 ---------------------- —— — a x b a x b a x b a b 1 111 —()x —n(n + d) n n + d y d a 1 1 —------- =( -------------- )x a n(n + 1) n n + 1 2、裂项和基本形式： b + a b a 1 1 ------- = --------- H -------- = — ~\— a x b a x b a x b a b 3、裂项的实质和意义 裂项的实质：实质是异分母分数的逆运算，关键是要找到分母上几个乘数和分子上数的和差倍关系； 裂项的意义：裂差与裂和都是为了简便运算，摆脱繁琐的计算。
分数裂项求和标准个性化教案
分数裂项求和标准个性化 教案 This manuscript was revised on November 28, 2020
两数之差。 直接裂项 加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。 变形裂项：先变形为直接裂项。 【典型例题】 例1 计算： 观察：直接裂项2 11121121-=?= 312132161-=?= 4131431121-=?= ............. =201()()=?1 （ ）-（ ） ( )()=?= 1 301（ ）-（ ） 解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 6 5 例2 计算：72 17561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 4 1314343127+=?+= 920==?+54545141+ ............... ()() 1156 30+==?（ ）+（ ） ( )( ) 1367 42 += =?（ ）+（ ） 解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11+-+++-+++-+++-= 例3. +?+?+?7 52532312 (1192) 变形裂项： ..............
解：原式)11 1 91 ()715 1()5 13 13 111- ++-+-+-= （）（ 例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128 1 1281128164132116181 4 12 1- +++++ ++=）（ 例5 1 101 18116114112122222-+ -+-+-+- 由)()(22b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为： 解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试： 【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结 （一） 用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和 分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数） 所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】 求111 (101111125960) +++ ???的和。 （二） 用裂项法求1 () n n k +型分数求和 分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数） 因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】 计算11111577991111131315++++ ?????