(易错题精选)初中数学圆的难题汇编及答案解析
(易错题精选)初中数学圆的难题汇编及答案解析
一、选择题
1.如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,点D在BA的延长线上,CD与⊙O交于另一点E,DE=OB=2,∠D=20°,则弧BC的长度为()
A.2
3
πB.
1
3
πC.
4
3
πD.
4
9
π
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OE、OC,如图,根据等腰三角形的性质得到∠D=∠EOD=20°,根据外角的性质得到∠CEO=∠D+∠EOD=40°,根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CEO=40°,根据外角的性质得到∠BOC=∠C+∠D=60°,根据求弧长的公式得到结论.
【详解】
解:连接OE、OC,如图,
∵DE=OB=OE,
∴∠D=∠EOD=20°,
∴∠CEO=∠D+∠EOD=40°,
∵OE=OC,
∴∠C=∠CEO=40°,
∴∠BOC=∠C+∠D=60°,
∴?BC的长度=
2
60?2
360
π?
=
2
3
π,
故选A.【点睛】
本题考查了弧长公式:l=
??
180
n R
π
(弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R),还考查
了圆的认识及等腰三角形的性质及三角形外角的性质,熟练掌握等腰三角形的性质和三角
形外角性质是关键.
2.如图,在平面直角坐标系中,点P是以C(﹣2,7)为圆心,1为半径的⊙C上的一个动点,已知A(﹣1,0),B(1,0),连接PA,PB,则PA2+PB2的最小值是()
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
设点P(x,y),表示出PA2+PB2的值,从而转化为求OP的最值,画出图形后可直观得出OP的最值,代入求解即可.
【详解】
设P(x,y),
∵PA2=(x+1)2+y2,PB2=(x﹣1)2+y2,
∴PA2+PB2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2,
∵OP2=x2+y2,
∴PA2+PB2=2OP2+2,
当点P处于OC与圆的交点上时,OP取得最值,
∴OP的最小值为CO﹣CP=3﹣1=2,
∴PA2+PB2最小值为2×22+2=10.
故选:C.
【点睛】
本题考查了圆的综合,解答本题的关键是设出点P坐标,将所求代数式的值转化为求解OP 的最小值,难度较大.
3.已知,如图,点C,D在⊙O上,直径AB=6cm,弦AC,BD相交于点E,若CE=BC,则阴影部分面积为()
A.
9
3
4
π-B.
99
42
π-C.
39
3
24
π-D.
39
22
π-
【答案】B
【解析】
【分析】
连接OD、OC,根据CE=BC,得出∠DBC=∠CEB=45°,进而得出∠DOC=90°,根据S阴影=S 扇形-S△ODC即可求得.
【详解】
连接OD、OC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵CE=BC,
∴∠CBD=∠CEB=45°,
∴∠COD =2∠DBC=90°,
∴S阴影=S扇形?S△ODC=
2
903
360
π??
?
1
2
×3×3=
9
4
π
?
9
2
.
故答案选B.
【点睛】
本题考查的知识点是扇形面积的计算,解题的关键是熟练的掌握扇形面积的计算.
4.如图,小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子,则小豆子落在小正方形内部及边界(阴影)区域的概率为()
A.3
4
B.
1
3
C.
1
2
D.
1
4
【答案】C
【解析】
【分析】
算出阴影部分的面积及大正方形的面积,这个比值就是所求的概率.【详解】
解:设小正方形的边长为1,则其面积为1.
Q圆的直径正好是大正方形边长,
∴22,
∴大正方形的边长为2, 则大正方形的面积为222?=,则小球停在小正方形内部(阴影)区域的概率为12
. 故选:C .
【点睛】
概率=相应的面积与总面积之比,本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比.设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.
5.如图,AB 是O e 的直径,C 是O e 上一点(A 、B 除外),132AOD ∠=?,则C ∠的度数是( )
A .68?
B .48?
C .34?
D .24?
【答案】D
【解析】
【分析】 根据平角得出BOD ∠的度数,进而利用圆周角定理得出C ∠的度数即可.
【详解】
解:132AOD ∠=?Q ,
48BOD ∴∠=?,
24C ∴∠=?,
故选:D .
【点睛】
本题考查的是圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的度数的一半是解答此题的关键.
6.已知某圆锥的底面半径为3 cm ,母线长5 cm ,则它的侧面展开图的面积为( ) A .30 cm 2
B .15 cm 2
C .30π cm 2
D .15π cm 2
【答案】D
【解析】
试题解析:根据圆锥的侧面展开图的面积计算公式得:
S =RL π=15π
故选D.
7.如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°后得到正方形AB 1C 1D 1,边B 1C 1与CD 交于点O ,则图中阴影部分的面积是( )
A .224π--
B .224π
-+ C .142π
+ D .142
π- 【答案】B
【解析】
【分析】
先根据正方形的边长,求得CB 1=OB 1=AC-AB 1=2-1,进而得到211(21)2OB C S =
-V ,再根据S △AB1C1=
12
,以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积. 【详解】
连结DC 1,
∵∠CAC 1=∠DCA =∠COB 1=∠DOC 1=45°,
∴∠AC 1B 1=45°,
∵∠ADC =90°,
∴A ,D ,C 1在一条直线上,
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AC 2OCB 1=45°,
∴CB 1=OB 1
∵AB 1=1,
∴CB 1=OB 1=AC ﹣AB 12﹣1,
∴211111(21)22OB C S OB CB ?=
??=, ∵1111111111222
AB C S AB B C =?=??=V , 2245(2)11(21)22224
ππ??--=-+ 故选B .
【点睛】
本题考查了旋转的性质,正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力.解题时注意:旋转前、后的图形全等.
8.如图,弧 AB 等于弧CD ,OE AB ⊥于点E ,OF CD ⊥于点F ,下列结论中错误..的是( )
A .OE=OF
B .AB=CD
C .∠AOB =∠CO
D D .O
E >OF
【答案】D
【解析】
【分析】 根据圆心角、弧、弦的关系可得B 、C 正确,根据垂径定理和勾股定理可得A 正确,D 错误.
【详解】
解:∵??AB CD =,
∴AB =CD ,∠AOB =∠COD ,
∵OE AB ⊥,OF CD ⊥,
∴BE =
12AB ,DF =12
CD , ∴BE =DF ,
又∵OB =OD , ∴由勾股定理可知OE =OF ,
即A 、B 、C 正确,D 错误,
故选:D .
【点睛】
本题考查了圆心角、弧、弦的关系,垂径定理,勾股定理,熟练掌握基本性质定理是解题的关键.
9.如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,且CD ⊥AB ,BC=3,AC=4,则sin ∠ABD 的值是( )
A.4
3
B.
3
4
C.
3
5
D.
4
5
【答案】D
【解析】
【分析】
由垂径定理和圆周角定理可证∠ABD=∠ABC,再根据勾股定理求得AB=5,即可求sin∠ABD 的值.
【详解】
∵AB是⊙O的直径,CD⊥AB,
∴弧AC=弧AD,
∴∠ABD=∠ABC.
根据勾股定理求得AB=5,
∴sin∠ABD=sin∠ABC=4
5
.
故选D.
【点睛】
此题综合考查了垂径定理以及圆周角定理的推论,熟悉锐角三角函数的概念.
10.如图,用半径为12cm,面积2
72cm
π的扇形无重叠地围成一个圆锥,则这个圆锥的高为()
A.12cm B.6cm C.6√2 cm D.3
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据扇形的面积公式计算出扇形的圆心角,再利用周长公式计算出底面圆的周长,得出半径.再构建直角三角形,解直角三角形即可.
【详解】
72π=
2
12 360 nπ?
解得n=180°,
∴扇形的弧长=18012180
π?=12πcm . 围成一个圆锥后如图所示:
因为扇形弧长=圆锥底面周长
即12π=2πr
解得r=6cm ,即OB=6cm
根据勾股定理得OC=22126=63-cm ,
故选D .
【点睛】
本题综合考查了弧长公式,扇形弧长=用它围成的圆锥底面周长,及勾股定理等知识,所以学生学过的知识一定要结合起来.
11.如图,已知某圆锥轴截面等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,则这个圆锥的侧面积为( )
A .50cm 2
B .50πcm 2
C .52
D .5cm 2
【答案】D
【解析】
【分析】 根据勾股定理求出圆锥的母线长,求出底面圆周长,根据扇形面积公式计算即可.
【详解】
解:如图所示,
∵等腰三角形的底边和高线长均为10cm ,
22105+=55,圆锥底面圆半径为5,
∴这个圆锥的底面圆周长=2×π×5=10π,即为侧面展开扇形的弧长,圆锥的侧面积=12
55cm 2, 故选:D .
【点睛】
本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清楚圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的轴截面是等腰三角形,勾股定理的应用,以及圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.
12.已知⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB=8cm,且AB⊥CD,垂足为M,则AC 的长为()
A.25cm B.45 cm C.25cm或45cm D.23cm或
43cm
【答案】C
【解析】
连接AC,AO,
∵O的直径CD=10cm,AB⊥CD,AB=8cm,
∴AM=1
2
AB=
1
2
×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时,
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB,
∴2222
54
OA AM
-=-=3cm,
∴CM=OC+OM=5+3=8cm,
∴2222
4845
AM CM
+=+=;
当C点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,
∴MC=5?3=2cm,
在Rt△AMC中2222
4225
AM CM
+=+=cm.故选C.
13.如图,有一个边长为2cm 的正六边形纸片,若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片,则这个圆形纸片的半径是( )
A .3cm
B .2cm
C .23cm
D .4cm
【答案】A
【解析】
【分析】 根据题意画出图形,再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数,最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可.
【详解】
解:如图所示,正六边形的边长为2cm ,OG ⊥BC ,
∵六边形ABCDEF 是正六边形,
∴∠BOC=360°÷6=60°,
∵OB=OC ,OG ⊥BC ,
∴∠BOG=∠COG=
12
∠BOC =30°, ∵OG ⊥BC ,OB=OC ,BC=2cm , ∴BG=
12BC=12×2=1cm , ∴OB=sin 30
BG o =2cm , ∴OG=2222213OB BG -=-=,
∴圆形纸片的半径为3cm ,
故选:A .
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆,根据题意画出图形,利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键.
14.已知圆锥的三视图如图所示,则这个圆锥的侧面展开图的面积为( )
A .60πcm 2
B .65πcm 2
C .120πcm 2
D .130πcm 2
【答案】B
【解析】
【分析】 先利用三视图得到底面圆的半径为5cm ,圆锥的高为12cm ,再根据勾股定理计算出母线长为13cm ,然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算.
【详解】
根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm ,即底面圆的半径为5cm ,圆锥的高为12cm ,
所以圆锥的母线长=225+12=13,
所以这个圆锥的侧面积=
12
×2π×5×13=65π(cm 2). 故选B .
【点睛】
本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.也考查了三视图.
15.“直角”在几何学中无处不在,下列作图作出的AOB 不一定...
是直角的是( ) A . B .
C .
D .
【答案】C
【解析】
【分析】
根据作图痕迹,分别探究各选项所做的几何图形问题可解.
【详解】
解:选项A 中,做出了点A 关于直线BC 的对称点,则AOB ∠是直角.
选项B 中,AO 为BC 边上的高,则AOB ∠是直角.
选项D 中,AOB ∠是直径AB 作对的圆周角,故AOB ∠是直角.
故应选C
【点睛】
本题考查了尺规作图的相关知识,根据基本作图得到的结论,应用于几何证明是解题关键.
16.如图,已知ABC ?和ABD ?都O e 是的内接三角形,AC 和BD 相交于点E ,则与ADE ?的相似的三角形是( )
A .BCE ?
B .AB
C ? C .AB
D ? D .AB
E ?
【答案】A
【解析】
【分析】 根据同弧和等弧所对的圆周角相等, 则AB 弧所对的圆周角BCE BDA ∠=∠,CEB ∠和DEA ∠是对顶角,所以ADE BCE ??∽.
【详解】
解:BCE BDA ∠=∠Q ,CEB DEA ∠=∠
ADE BCE ∴??∽,
故选:A .
【点睛】
考查相似三角形的判定定理: 两角对应相等的两个三角形相似,关键就是牢记同弧所对的圆周角相等.
17.如图,点,,A B S 在圆上,若弦AB 2倍,则ASB ∠的度数是
( ).
A .22.5°
B .30°
C .45°
D .60°
【答案】C
【解析】
【分析】 设圆心为O ,连接OA OB 、,如图,先证明OAB V 为等腰直角三角形得到
90AOB ∠=?,然后根据圆周角定理确定ASB ∠的度数.
【详解】
解:设圆心为O ,连接OA OB 、,如图,
∵弦AB 的长度等于圆半径的2倍,
即2AB OA =,
∴222OA OB AB +=,
∴OAB V 为等腰直角三角形,90AOB ∠=? ,
∴1452
ASB AOB ∠=
∠=°. 故选:C .
【点睛】
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.
18.如图,抛物线y =ax 2﹣6ax+5a (a >0)与x 轴交于A 、B 两点,顶点为C 点.以C 点为圆心,半径为2画圆,点P 在⊙C 上,连接OP ,若OP 的最小值为3,则C 点坐标是( )
A .522(,22-
B .(4,﹣5)
C .(3,﹣5)
D .(3,﹣4)
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据二次函数的解析式求出点A 、B 、C 三点的坐标,再由当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,列出关于a 的方程,即可求解.
【详解】
∵2650y ax ax a a +-=(
>) 与x 轴交于A 、B 两点, ∴A (1,0)、B (5,0),
∵226534y ax ax a a x a =+=---(
) , ∴顶点34C a (,-)
, 当点O 、P 、C 三点共线时,OP 取最小值为3,
∴OC =OP+2=5, 29165(0)a a +=> ,
∴1a = ,
∴C (3,﹣4),
故选:D .
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质,解题的关键是明确圆外一点到圆上的最短距离即该点与圆心的距离减去半径长.
19.如图,3个正方形在⊙O 直径的同侧,顶点B 、C 、G 、H 都在⊙O 的直径上,正方形ABCD 的顶点A 在⊙O 上,顶点D 在PC 上,正方形EFGH 的顶点E 在⊙O 上、顶点F 在QG 上,正方形PCGQ 的顶点P 也在⊙O 上.若BC =1,GH =2,则CG 的长为( )
A.12
5
B
.6C.21
+D.22
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解:连接AO、PO、EO,设⊙O的半径为r,OC=x,OG=y,
由勾股定理可知:
222
222
222
11
{
22
r x
r x x y
r y
=++
=++
=++
()①
()②
()③
,②﹣③得到:x2+(x+y)2﹣(y+2)2﹣
22=0,∴(x+y)2﹣22=(y+2)2﹣x2,∴(x+y+2)(x+y﹣2)=(y+2+x)(y+2﹣x).∵x+y+2≠0,∴x+y﹣2=y+2﹣x,∴x=2,代入①得到r2=10,代入②得到:10=4+(x+y)2,∴(x+y)2=6.∵x+y>0,∴x+y=6,
∴CG=x+y=6.
故选B.
点睛:本题考查了正方形的性质、圆、勾股定理等知识,解题的关键是设未知数列方程组解决问题,难点是解方程组,利用因式分解法巧妙求出x的值,学会把问题转化为方程组,用方程组的思想去思考问题.
20.如图所示,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且OC⊥AB,过点C的弦CD与线段OB 相交于点E,满足∠AEC=65°,连接AD,则∠BAD等于()
A.20°B.25°C.30°D.32.5°
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD,根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB=40°,再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数.
【详解】
解:连接OD,
∵OC⊥AB,
∴∠COB=90°,
∵∠AEC=65°,
∴∠OCE=180°﹣90°﹣65°=25°,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD=25°,
∴∠DOC=180°﹣25°﹣25°=130°,
∴∠DOB=∠DOC﹣∠BOC=130°﹣90°=40°,
∴由圆周角定理得:∠BAD=1
2
∠DOB=20°,
故选:A.
【点睛】
本题考查了圆和三角形的问题,掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键.
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初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是() A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是() A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度() A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有() A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是() A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时,有一个交点 B、1 m时,有两个交点 ≠ ± C、当1 m时,有一个交点 D、不论m为何值,均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,且(d-r)2=R2,则