高三数学考点-三角函数图象的变换

4．4三角函数图象的变换

1．用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图

用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示．

x

ωx＋φ

y＝A sin(ωx＋φ)0A0－A0

2.图象变换(ω＞0)

路径①：先向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝A sin(ωx＋φ)的图象．

路径②：先将曲线上各点的横坐标变为原来的________倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sinωx的图象；然后把曲线向左(φ>0)或向右(φ<0)平移________个单位长度，得到函数y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的________倍(横坐标不变)，这时的曲线就是y＝A sin(ωx＋φ)的图象．

3．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的物理意义

简谐运动的图象所对应的函数解析式y＝A sin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，其中A>0，ω>0.在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝________，这是做简谐运动的物体往复运动

一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f＝1

T＝________给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内

往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝________时的相位φ称为初相．

自查自纠

1.

x－φ

ω

π

2－φ

ω

π－φ

ω

3

2π－φ

ω

2π－φ

ω

ωx＋φ0π

2π

3

2π2π

y＝A sin(ωx＋

φ)

0A0－A0

2.||φ1

ωA

1

ω⎪

⎪

⎪

⎪φ

ωA

3. 2π

ω

ω

2π0

(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π

3个单位长度

B ．向右平行移动π

3个单位长度

C ．向上平行移动π

3个单位长度

D ．向下平行移动π

3

个单位长度

解：把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π

3

个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象．故选A . (2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移1

4

个周期后，所得图象对应的函数为( ) A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π3 解：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π

4个单位，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦

⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

3.故选D . (2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋2π

3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线

C 2

B ．把

C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位长度，得到曲线

C 2

C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π

6个单位长度，得到曲线C 2

D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π

12个单位长度，得到曲线

C 2

解：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12

倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 的图象，再把所得的图象向左平移π

12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.故选D .

(南京市、盐城市2017届高三一模)将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π

2个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.

解：因为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位后，所得函数为y ＝3sin ⎝

⎛⎭⎫2（x －φ）＋π

3，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ是偶函数，则2×0＋π3－2φ＝k π＋π2，φ＝－k 2π－π12，k ∈Z ，又因为0<φ<π

2，所以k ＝－1，φ＝5π12.故填5π12. (2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．

解：因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π

3＝2sin ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－2π3，所以函数y ＝sin x －

3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．故填2π

3.

类型一 五点法作图与求解析式

(1)作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫

x 2＋π3的图象． 解：周期T ＝2π

12＝4π，振幅A ＝2.

按五个关键点列表：

x 2＋π3

0 π2 π 3π2 2π x －2π3

π3 4π3 7π3 10π3 y

2

－2

描点作图：

【点拨】用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设X ＝ωx ＋φ，由X ＝0，π2，π，3

2π，

2π来求出相应的x 值，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．

(2)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )

A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6

B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π3 解：由图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法结合各选项可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π

6

，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6.故选A . 【点拨】已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式，常用如下两种方法：(1)升降零点法，由

ω＝2π

T ，即可求出ω；求φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0

＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入最值法，将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ.

(2016·安徽安庆二模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π

2

)的图象如图所示，则f (x )的递增区

间为( )

A.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π2，5π12＋k π

2，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π

12＋k π，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫－π6＋2k π，5π

6＋2k π，k ∈Z D.⎝⎛⎭

⎫－π6＋k π，5π

6＋k π，k ∈Z 解法一：由图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，

所以T ＝π，故ω＝2.

由f ⎝⎛⎭⎫1112π＝－2，得φ＝2k π－π

3

(k ∈Z )． 因为|φ|<π2，所以φ＝－π

3

.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 由2x －π

3∈⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 得x ∈⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，5π

12＋k π(k ∈Z )． 解法二：34T ＝11π12－π6＝3π

4，

所以T ＝π，π6－T 4＝π6－π4＝－π

12

，

π6＋T 4＝π6＋π4＝5π12

， 所以f (x )的递增区间是⎝

⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π

12(k ∈Z )．故选B . 类型二 三角函数的图象变换

说明由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象．

(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (2)y ＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －2

3π； (3)y ＝||sin x ； (4)y ＝sin ||x .

解：(1)将y ＝sin x 的图象向左平移π

3

个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． (2)解法一：将y ＝sin x 的图象向右平移2

3

π个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －23π图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2

(纵坐标不变)，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象． 解法二：先把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x 的图象，再将y ＝

sin2x 的图象向右平移π

3个单位长度，就得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象． (3)将y ＝sin x 的图象的x 轴下方部分翻折到x 轴上方，去掉x 轴下方图象，即可得到y ＝||sin x 的图象． (4)先去掉y 轴左边的y ＝sin x 的图象，再将y 轴右边的图象翻折到y 轴左边，保留y 轴右边的图象，即可得到y ＝sin ||x 的图象．

【点拨】(1)本题主要考查图象的平移、伸缩、对称变换．三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平

移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．对称变换要注意翻折的方向．(2)三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．

(荆门市2017届调考)若将函数y ＝12sin(2x ＋π3)图象上的每一个点都向左平移π

3

个单位，得到g (x )

的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )

A.⎣

⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π

4(k ∈Z ) B.⎣

⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π

4(k ∈Z ) C.⎣

⎡⎦⎤k π－2π3，k π－π

6(k ∈Z ) D.⎣

⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π

12(k ∈Z ) 解：因为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上的每一个点都向左平移π

3

个单位，得到g (x )的图象， 所以g (x )＝1

2sin ⎣⎡⎦

⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋π3， 即g (x )＝12sin(2x ＋π)＝－1

2sin2x ，

令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，即k π＋π4≤x ≤k π＋3π

4

，

函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π

4(k ∈Z )． 故选B .

类型三 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的图象及其变换

(2017·山东)设函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝⎛⎭⎫π

6＝0. (1)求ω；

(2)将函数y ＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π

4

个单位，

得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)在⎣⎡⎦

⎤－π4，3π

4上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝

⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f(x)＝32sin ωx －1

2

cos ωx －cos ωx

＝32sin ωx －3

2

cos ωx ＝3·⎝⎛⎭⎫12sin ωx －3

2cos ωx

＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π

3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z ，又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π

12∈⎣⎡⎦

⎤－π3，2π3，

当x －π12＝－π3，

即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－3

2

.

【点拨】(1)用辅助角法，将较复杂的三角式转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．(2)要看清由谁平移到谁，若自变量的系数不为1时，要将系数先提出来，再平移．

(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π

2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx ＋φ

0 π

2 π 3π2 2π x π

3 5π6 A sin(ωx ＋φ)

5

－5

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；

(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中

心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．

解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π

6.数据补全如下表：

ωx ＋φ 0 π2 π 3π2

2π x π12 π3 7π12 5π6 13π12

A sin(ωx ＋φ)

5

－5

且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π

12

－θ，k ∈Z .

由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π

3

，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π

6.

1．五点法作函数图象及函数图象变换问题

(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式．“五点法”作图的优点是用简单的计算、列表、描点替代图形变换，不易出错，且图形简洁．

(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，而“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，但要注意：先伸缩后平移时要把x 前面的系数提取出来． 2．根据y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象求解析式的步骤： (1)首先确定振幅和周期，从而得到A 与ω.

(Ⅰ)A 为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半．

(Ⅱ)ω由周期得到：①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；②函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；③一条

对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的1

4个周期(借助图象很好理解记忆)．

(2)求φ的值时最好选用最值点求．

峰点：ωx ＋φ＝π2＋2k π； 谷点：ωx ＋φ＝－π

2＋2k π.

也可用零点求，但要区分该零点是升零点，还是降零点． 升零点(图象上升时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝2k π；

降零点(图象下降时与x 轴的交点)：ωx ＋φ＝π＋2k π(以上k ∈Z )．

3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(φ由tan α＝b

a 确定)的应用是高考的热点，应予以重视．

1．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )

A ．向左平行移动1

2个单位长度

B ．向右平行移动1

2个单位长度

C ．向左平行移动1个单位长度

D ．向右平行移动1个单位长度

解：因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点向左平移12

个单位长度即可．故选A .

2．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π

10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍

(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )

A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10

B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5

C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10

D ．y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫12x －π20 解：将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π

10

个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫12x －π

10.故选C . 3．(北京昌平区2017届期末)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π

2)的图象如图所示，则函数f (x )的解析式为

( )

A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6

B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3

C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6

D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π3 解：由图可知周期为T ＝2⎝⎛⎭

⎫x 0＋π

2－x 0＝π，所以ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又函数图象经过点(0，3)，故f (x )＝2sin(2×0＋φ)＝3，sin φ＝32，又|φ|<π2，所以φ＝π

3

，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.故选B . 4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭

⎫ω＞0，－π2＜φ＜π

2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )

A ．2，－π3

B ．2，－π

6

C ．4，－π6

D ．4，π

3

解：由图可知，34T ＝5π12＋π3＝3π4，T ＝π，ω＝2πT ＝2.因为点⎝⎛⎭⎫5π12，2在图象上，所以2·5π12＋φ＝π2＋2k π，φ＝－π3

＋2k π，k ∈Z .又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π

3

.故选A .

5．(2017·辽宁抚顺模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π

12个单位，再向上平移1个单位，得到g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为( )

A.25π16

B.35π6

C.49π12

D.17π4

解：由题意可得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

3＋1，所以g (x )max ＝3，又g (x 1)g (x 2)＝9，所以g (x 1)＝g (x 2)＝3，由g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1＝3，得2x ＋π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以x ＝π

12＋k π，因为x 1，x 2∈[－2π，2π]，所以(2x 1－x 2)max ＝2×⎝⎛⎭⎫π12＋π－⎝⎛⎭⎫π12－2π＝49π

12

.故选C . 6. (2016·北京)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π

4，t 向左平移s (s ＞0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )

A ．t ＝12，s 的最小值为π6

B ．t ＝32，s 的最小值为π

6

C ．t ＝12，s 的最小值为π3

D ．t ＝32，s 的最小值为π

3

解：因为点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝sin π6＝1

2

.又P ′⎝⎛⎭⎫π4－s ，12在函数y ＝sin2x 的图象上，所以12＝sin2⎝⎛⎭⎫π4－s ，则2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋π6或2⎝⎛⎭⎫π4－s ＝2k π＋56π，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π

6

或s ＝－k π－π6，k ∈Z ，又s ＞0，故s 的最小值为π

6.故选A .

7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________．

解：由图象知T ＝2π3，则ω＝2πT ＝2π

2π

3

＝3.故填3.

8．(2015·昆明模拟)把函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向左平移π

6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后

得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：

①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6； ②该函数图象关于点⎝⎛⎭⎫

π3，0对称；

③该函数在⎣⎡⎦

⎤0，π

6上是增函数； ④若函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎡⎦⎤0，π

2上的最小值为3，则a ＝2 3. 其中正确判断的序号是________．

解：将函数y ＝sin2x 的图象向左平移π

6

得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，①不正确；y ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π3＝2sinπ＝0，函数图象关于点⎝⎛⎭⎫π

3，0对称，②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为[－5π

12

＋

k π，π12＋k π]，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12，③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2

时，π3≤2x ＋π3≤4π3，当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，函数取得最小值，有y min ＝2sin 4π

3＋a ＝－3＋a ＝3，得a ＝

23，④正确．故填②④.

9．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π2)的图象关于直线x ＝π

3对称，且图象上相邻两个最高点的距

离为π，求ω和φ的值．

解：由题意，函数f (x )的最小正周期T ＝π，

ω＝2πT ＝2π

π＝2.

因为f (x )的图象关于直线x ＝π

3

对称，

所以2·π3＋φ＝k π＋π2，φ＝k π－π

6，k ∈Z .

又－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6

.

10．(2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；

(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π

3

个单位，得

到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫

π6的值． 解：(1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos2x )＋sin2x －1

＝sin2x －3cos2x ＋3－1＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π

2(k ∈Z )，

得k π－π12≤x ≤k π＋5π

12

(k ∈Z )，

所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π

12(k ∈Z )． (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π

3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x －π

3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π

3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，

即g (x )＝2sin x ＋3－1.

所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π

6

＋3－1＝ 3.

11．(2017·福建福州模拟)已知函数f (x )＝3sin2ωx ＋cos 4ωx －sin 4ωx ＋1(其中0<ω<1)，若点⎝⎛⎭⎫－π

6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．

(1)求f (x )的解析式，并求距y 轴最近的一条对称轴的方程； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．

解：(1)f (x )＝3sin2ωx ＋(cos 2ωx －sin 2ωx )(cos 2ωx ＋sin 2ωx )＋1 ＝3sin2ωx ＋cos2ωx ＋1

＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π

6＋1. 因为点⎝⎛⎭⎫－π

6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，所以ω＝－3k ＋1

2

，k ∈Z .

因为0<ω<1，所以k ＝0，ω＝1

2

，

所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6＋1. 由x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π

3

，k ∈Z .

令k ＝0，得距y 轴最近的一条对称轴方程为x ＝π

3

.

(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭

⎫x ＋π

6＋1，当x ∈[－π，π]时，列表如下： x ＋π6 －5π6 －π2

0 π

2 π 7π6 x －π －2π

3 －π6

π3 5π6 π f (x )

－1

1

3

1

则函数f (x )在区间[－π，π]上的图象如图所示．

(2016·厦门模拟)已知向量a ＝(2cos x ，3sin x )，b ＝(cos x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b ＋m ，m ∈R ，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 时，f (x )的最小值为2. (1)求f (x )的单调递增区间；

(2)先将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得的图象向右平移π

12

个单位，得

到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2 上的所有根之和． 解：(1)f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋m

＝cos2x ＋3sin2x ＋m ＋1

＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6＋m ＋1. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，当2x ＋π6＝76π，即x ＝π

2

时，f (x )min ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋m ＋1＝2，解得m ＝2，

所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2

得f (x )的增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6 (k ∈Z )． (2)将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12

，得到f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋3，再把所得的图象向右平移π12

个单位，得到函数y ＝g (x )的图象， 所以g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＋3，又g (x )＝4，得sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝12，解得4x －π6＝2k π＋π6

或4x －π6＝2k π＋5π6

，k ∈Z . 即x ＝k π2＋π12或x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x ＝π12或π4，故所有根之和为π12＋π4＝π3.