高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变
换
在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。
函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。常见的对称性质包括轴对称和中心对称。轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。这些对称性质在数学中的应用非常广泛。例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。
图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。这些图形变换在数学中有着广泛的应用。例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。
函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。
除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的
对称性质。具体而言，如果一个函数满足$f(-x)=-f(x)$，那么它是奇函数，其图像
关于原点对称；如果一个函数满足$f(-x)=f(x)$，那么它是偶函数，其图像关于y轴
对称。此外，我们还可以通过图形的旋转对称性来判断图形的性质。具体而言，如果一个图形在旋转180度后与原来的图形完全重合，那么它是旋转对称的；如果一个图形在旋转180度后与原来的图形相似但不完全重合，那么它是旋转相似的。这些概念在几何学中有着广泛的应用。
总之，高中数学中的函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。它们不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。通过研究函数与图像的对称性质和图形的变换，我们可以更好地理解数学的本质，并将其应用于实际生活中。因此，在学习数学的过程中，我们应该注重对函数与图像的对称性质和图形的变换的学习和理解。
8函数的基本性质(二)(对称性、图像翻折、零点)学生版
教学内容概要 教学内容【知识精讲】 一、函数对称性 1、函数的自对称问题
已知函数()y f x =图像关于： （1）直线x a =对称，则()f x =()2f a x -； （2）点(),a b 对称，则()()22f x b f a x =--，即()()22f x f a x b +-=。 2、函数的互对称问题 若函数()y g x =图像与()y f x =图像关于： （1）x 轴对称，则()()g x f x =-； （2）y 轴对称，则()g x =()f x -； （3）原点对称，则()()g x f x =--。 （4）()y f x =与()y g x =的图象关于直线x a =对称?()()f a x g a x +=-； （5）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y b =对称?()()2f x g x b +=； （6）()y f x =与()y g x =的图象关于点(),a b 对称?()()2f a x g a x b ++-=； （7）()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称?()f x 和()g x 互为反函数。 二、函数图像变换 注意：一切变换针对于变量本身 （1）平移变换： ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(a x f y +=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数b x f y +=)(的图象； （2）伸缩变换： ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x k f y ?=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f k y ?=的图象； （3）对称变换： ⅰ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象； ⅱ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y -=的图象； ⅲ．函数)(x f y =的图象 函数)(x f y --=的图象；
高中函数对称性总结
高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上
【高中数学】05函数图像的对称变换
函数图像的对称变换 函数y =f (x )与y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象分别关于x 轴、y 轴、原点对称 例1、设x x f 1)(= (x >0)作出y =-f (x )、y =f (-x )及y =-f (-x )的图象。 横坐标不变，纵坐标取相反数 纵坐标不变，横坐标取相反数 横坐标与纵坐标都取原来相反数 图象关于x 轴对称 图象关于y 轴对称 图象关于原点对称 定理：y =f (m -x )由函数y =f (-x )向右平移m 个单位得到。 证明：由于y =f (m -x )=f [-(x-m )]，故可得知。 定理：y =f (m -x )与y =f (x-m )的图象关于直线x=m 对称。 证明：y =f (m -x ）由函数y =f (-x )向右平移m 个单位得到；y =f (x-m )由函数y =f (x )向右平移m 个单位得到，而y =f (x )与y =f (-x )关于y 轴对称，故y =f (m -x )与y =f (x-m )的图象关于直线x=m 对称。 1.设函数y=f （x ）定义在实数集R 上，则函数y=f （1﹣x ）与y=f （x ﹣1）的图象关于（ D ） A ．直线y=0对称 B ．直线x=0对称 C ．直线y=1对称 D ．直线x=1对称 2.若函数y=f （x ）的图象如图所示，则函数y=f （1﹣x ）的图象大致为（ A ） y
A．B．C．D． 3.已知函数f（x）的值域是[﹣2，3]，则函数f（x+2）的值域是（D）A．[﹣4，1] B．[0，5] C．[﹣4，1]∪[0，5]D．[﹣2，3] 4.关于函数y=f（x）与函数y=f（x+1）的叙述一定正确的是（C） A．定义域相同B．对应关系相同C．値域相同D．定义域、値域、对应关系都可以不相同 5.函数y=1+的图象是（A） A． B．C． D． 6.已知函数y=f（x）的图象与函数y=的图象关于原点对称，则f（x）=（B）A．B．C．﹣D．﹣ 7.若函数y=f（x）的图象过点（1，1），则函数f（4﹣x）的图象一定经过定点（C）A．（1，3）B．（﹣5，1）C．（3，1）D．（1，﹣5） 8.为了得到函数y=f（﹣2x）的图象，可以把函数y=f（1﹣2x）的图象适当平移，这个平移是（B） A．沿x轴向右平移1个单位B．沿x轴向右平移个单位 C．沿x轴向左平移1个单位D．沿x轴向左平移个单位 9.已知函数f（x）=ax2+x（a为常数），则函数f（x﹣1）的图象恒过点（D）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，1）D．（1，0） 10.函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=e x关于y轴对称，则f（x）=（D）
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变 换 在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。 函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。常见的对称性质包括轴对称和中心对称。轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。这些对称性质在数学中的应用非常广泛。例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。 图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。这些图形变换在数学中有着广泛的应用。例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。 函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。 除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的
(完整版)高中数学常用函数图像及性质
1.指数函数 0(>=a a y x 且)1≠a 图像： 性质：恒过定点（0,1）； 当0=x 时，1=y ； 当1>a 时，y 单调递增，当)0,(-∞∈x 时，)1,0(∈y ；当),0(+∞∈x 时，),1(+∞∈y . 当10<=a x y a 且)1≠a 对数运算法则： N M MN a a a log log log += N M N M a a a log log log -= M n M a n a log log =)(R n ∈ N N a a =log （对数恒等式） a N N b b a log log log = （换底公式） 图像 x ) 1>(=a y x
性质：恒过定点（1,0）； 当1=x 时，0=y ； 当1>a 时，y 单调递增， 当)1,0(∈x 时，)0,(-∞∈y ；当),1(+∞∈x 时，),0(+∞∈y . 当10<a x ) 10(< 高考数学中的二次函数图像与性质总结 二次函数是高中数学中最重要的一章之一，也是高考数学中出 现频率最高的知识点之一。二次函数是关于自变量的二次多项式，其一般式为：$ y=ax^2+bx+c $。本文将从二次函数的图像以及性 质两个方面进行总结。 一、二次函数图像 二次函数的图像是一个通常被称为“开口”的抛物线。其开口的 方向、顶点、轴线等均与函数中的系数有关。 1、开口方向： 当 $ a > 0 $ 时，抛物线开口向上； 当 $ a < 0 $ 时，抛物线开口向下。 在解决应用问题时，我们需要根据问题中的实际含义来确定开 口方向。 2、顶点： 二次函数的图像上有一个最高点或最低点，被称为顶点。顶点坐标为 $ ( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} ) $ ，其中 $ \Delta = b^2-4ac $ 称作判别式。 当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有两个交点，顶点处为最低点或最高点； 当 $ \Delta = 0 $ 时，二次函数有一个实数根，此时抛物线与$ x $ 轴有一个交点，顶点处在此时的交点处； 当 $ \Delta < 0 $ 时，二次函数无实数根，此时抛物线与 $ x $ 轴没有交点，顶点处为反比例函数的最高点或最低点。 在实际问题中，顶点常常代表着最优解，需要我们加以研究。 3、对称轴： 在二次函数的图像中，顶点是对称轴的中心点。对称轴的方程为 $ x = -\frac{b}{2a} $。 在实际问题中，通过对称轴我们可以更好的分析函数的性质，例如计算函数的最值、判断函数的增减性等。 二、二次函数性质 二次函数的性质多种多样，常常被用于实际问题中的优化模型以及图像的分析。本文将从函数的零点、单调性、极值、函数值域四个方面进行总结。 1、零点： 二次函数的零点是指函数图像与 $ x $ 轴相交的点。我们可以通过化二次函数的标准式、配方法和公式法等多种方法求得函数的零点。 当 $ \Delta > 0 $ 时，二次函数有两个不同实数根； 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 （一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 （1）基本函数的奇偶性 奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性 （ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x ）为偶函数 由此得； 同理，为奇函数 . （ⅱ） 为偶函数；为奇函数 . 3、周期性 （1）基本公式 （ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx 的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期 的周期为； 的周期为 . （2）认知 （ⅰ）型函数的周期 的周期为； 的周期为 . （ⅱ）的周期 的周期为； 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究 （ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为； （ⅱ）的最小正周期为； （ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性 （1）基本三角函数的单调区间（族） 依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族） 循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝型三角函数的单调区间 高一数学三角函数的图像性质 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0， 3,, ,22 2 π π ππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域：都是[]1,1-；①对sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1； 当()322 x k k Z π π=+∈时，y 取最小值－1；②对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时， y 取最小值－1。 3、周期性：①sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和 ()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2|| T πω= 。 4、奇偶性、对称性与单调性： 奇偶性与单调性： ①正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+∈； ②余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z π π⎛⎫ + ∈ ⎪⎝ ⎭ ，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 单调性： ①()sin 2,22 2y x k k k Z π πππ⎡ ⎤ =- + ∈⎢⎥⎣ ⎦ 在上单调递增，在()32,22 2k k k Z π πππ⎡ ⎤ + + ∈⎢⎥⎣ ⎦ 单调递减； ②cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。 三角函数的基本性质与像变换三角函数是高中数学中一个重要的概念，它在几何图形的表示和计算中起着关键作用。本文将介绍三角函数的基本性质以及与像变换的关系。 一、正弦函数的性质 正弦函数在一个周期内的变化是周期性的，其一般形式可以表示为y = A*sin(Bx+C)+D。其中，A表示振幅，B表示周期的倒数，C表示相位角，D表示垂直方向的平移量。正弦函数的性质包括： 1. 周期性：正弦函数的周期为2π，即在[0, 2π]范围内，正弦函数呈现一个完整的周期性变化。 2. 对称性：正弦函数关于y轴对称，即sin(-x)=-sin(x)。 3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，在原点处对称。 二、余弦函数的性质 余弦函数的一般形式可以表示为y = A*cos(Bx+C)+D。与正弦函数类似，余弦函数的性质包括： 1. 周期性：余弦函数的周期为2π，即在[0, 2π]范围内，余弦函数呈现一个完整的周期性变化。 2. 对称性：余弦函数关于y轴对称，即cos(-x)=cos(x)。 3. 偶奇性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)，在原点处对称。 三、正切函数的性质 正切函数的一般形式可以表示为y = A*tan(Bx+C)+D。正切函数的性质包括： 1. 周期性：正切函数的周期为π，即在[0, π]范围内，正切函数呈现一个完整的周期性变化。 2. 对称性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)，在原点处对称。 3. 垂直渐近线：正切函数在x轴±π/2的整数倍处有垂直渐近线。 四、像变换与三角函数的关系 像变换是指通过变换函数对原函数进行平移、伸缩等操作，得到新的函数。在三角函数中，像变换常常用于描述函数的周期和振幅的变化。 1. 垂直方向平移：通过在三角函数中加上或减去一个常数D，可以实现函数在垂直方向的平移。例如，y = sin(x) + 2的函数图像相较于y = sin(x)的图像上移了2个单位。 2. 垂直方向伸缩：通过对三角函数乘以一个常数A，可以实现函数在垂直方向的伸缩。例如，y = 2*sin(x)的函数图像相较于y = sin(x)的图像在y轴上方向伸长了一倍。 3. 水平方向平移：通过对三角函数的自变量x加上或减去一个常数C，可以实现函数在水平方向的平移。例如，y = sin(x - π/2)的函数图像相较于y = sin(x)的图像向右平移了π/2个单位。 高中数学14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修 1 高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A版必修1 高中不得不掌握的函数图像与常用性质 高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性； 5.周期性； 6.对称性； 7.有界性； 8.反函数； 9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数： 2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心 单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心 值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性： 指数函数 概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质： 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 比较幂式大小的方法： 1. 当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 对数函数 1.对数函数的概念 由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1). 因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞). 2.对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x . 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质. 为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数 y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2 1x,y=log 10 1x 的草图 高考数学中的函数图像对称性数学是一门需要不断练习和思考的学科，高考数学中的函数图像对称性是其中重要的一个部分。在数学中，我们常常会遇到各种各样的函数，而图像的对称性对于函数的研究和分析具有非常重要的意义。 一、基础概念 首先，我们需要了解的是什么是对称性。在几何学中，对称性是指一个图形相对于某个线段、点或面的对称变换使得它自身与镜子中的图像重合。 在函数图像中，对称性是指函数图像相对于某个直线对称后会得到一样的图像。比如，若函数图像相对于直线y=x对称，那么得到的图像也是一样的。 二、函数图像的对称性 1. 奇偶性 在高中数学中，我们经常会遇到奇函数和偶函数。奇函数指的 是当自变量x取相反数时，函数y取相反数，即f(-x)=-f(x)；偶函 数则指当自变量x取相反数时，函数y不变，即f(-x)=f(x)。 从几何上来看，一个函数如果是奇函数，那么它的图像关于原 点对称；而如果是偶函数，它的图像关于y轴对称。 因此，对于一个函数f(x)，如果它既不是奇函数也不是偶函数，那么它的图像就不具有对称性。 2. x轴和y轴的对称性 当一个函数f(x)满足f(-x)=f(x)时，它就是一个偶函数，这时它 的图像关于y轴对称。这种对称性在数学研究中是非常常见的， 比如一些多项式函数和三角函数等。 另外，当一个函数f(x)满足f(x)=0时，它就在x轴上，且图像 上下对称。这是因为，如果将图像沿x轴反转，它会和原来的图 像重合。 3. 极轴对称性 在极坐标系中，一个点的坐标可以用(r,θ)表示。若一个点在它的对称点处，则它们到极轴的距离相等，且它们的角度加起来为180度。 在函数图像中，若一个点(x,y)关于极轴对称，则它的对称点为(-x,y)。因此，如果一个函数图像关于极轴对称，它的图像会在圆心进行对称，即圆心处的点不动。 4. 对称形状 在数学图形中，圆、正方形和正多边形等都具有各种不同的对称性，它们的图像所显示的对称性与其形状有关。 比如，当一个正方形图形关于一条对角线对称时，它的图像不变；而当它关于一条边对称时，它的图像会旋转180度。 同理，当一个圆形图形关于它的任意直径对称时，它的图像不变；而当它关于任意一条直线对称时，它的图像会发生翻转。 高中数学探究函数的性质和图像的变化规律函数作为数学中重要的概念之一，是数学建模和问题求解中常见的 工具，具有很强的实际应用价值。本文将探究函数的性质以及图像的 变化规律，帮助高中数学学习者更好地理解和应用函数。 一、函数的性质 1. 定义域和值域 函数的定义域是指函数输入的取值范围，也即自变量的取值范围。 而函数的值域则是指函数输出的值所在的范围，也即因变量的取值范围。通过研究函数的定义域和值域，可以帮助我们确定函数的可行性 和实际应用的范围。 2. 奇偶性 函数的奇偶性是指函数的对称性。如果对于函数中的任意一个值x，有f(-x) = f(x)成立，则称该函数为偶函数；如果对于函数中的任意一个 值x，有f(-x) = -f(x)成立，则称该函数为奇函数。通过研究函数的奇偶性，可以帮助我们简化计算和图像的绘制。 3. 单调性 函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。如果对于函数中的 任意两个不同的值x1和x2，有x1 < x2蕴含着f(x1) < f(x2)成立，则称 该函数为严格递增函数；如果对于函数中的任意两个不同的值x1和x2， 有x1 < x2蕴含着f(x1) > f(x2)成立，则称该函数为严格递减函数。通过研究函数的单调性，可以帮助我们判断函数的趋势和求解不等式。 二、图像的变化规律 1. 平移变换 函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的操作。平移可以分为水平平移和垂直平移。通过水平平移可以改变函数图像的位置，通过垂直平移可以改变函数图像与坐标轴的相对位置。 2. 翻折变换 函数图像的翻折是指将函数图像围绕某个点或某条线进行对称的操作。常见的翻折变换包括对称于x轴、y轴、原点等。通过翻折变换可以改变函数图像的形态和特征。 3. 缩放变换 函数图像的缩放是指将函数图像按比例进行拉伸或压缩的操作。缩放操作可以分为水平缩放和垂直缩放。通过缩放变换可以改变函数图像的幅度和形状。 通过以上对函数性质和图像变化规律的探究，我们可以更进一步地理解和应用函数。在实际问题中，通过分析函数的性质可以帮助我们确定相关变量的范围和关系，通过研究函数图像的变化规律可以辅助我们解决函数相关的实际问题。 高中数学教案：函数图像的变换及性质 一、引言 在高中数学教学中，函数图像的变换及性质是学习函数的重要内容之一。理解函数图像的变换规律和性质，有助于学生更好地理解函数的概念、掌握函数的运算和图像的变化规律，进一步提高数学思维和解题能力。本教案将介绍函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，并探究函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。 二、函数图像的平移 1. 平移的概念与特点 平移是指保持图形形状不变，仅仅改变位置的变换方式。在函数图像中，平移可以通过改变函数的自变量（x）和因变量（y）的关系来实现。平移有平行于x轴的水平平移和平行于y轴的垂直平移两种形式。 2. 平移的公式与例题 水平平移的公式为f(x ± a)，其中a表示平移的距离和方向。垂直平移的公式为f(x) ± a，其中a表示平移的距离和方向。例如，对于函数y = x²-1，向右平移2个单位的函数表达式为y = (x-2)²-1。 三、函数图像的伸缩 1. 伸缩的概念与特点 伸缩是指通过改变图形的尺寸，保持图形形状与轴线关系不变的变换方式。在函数图像中，伸缩可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的比例系数来实现。伸缩有水平方向的横向伸缩和垂直方向的纵向伸缩两种形式。 2. 伸缩的公式与例题 横向伸缩的公式为f(kx)，其中k表示伸缩的比例系数。纵向伸缩的公式为 kf(x)，其中k表示伸缩的比例系数。例如，对于函数y = x²-1，横向伸缩2倍的函 数表达式为y = (1/2)x²-1，纵向伸缩2倍的函数表达式为y = 2(x²-1)。 四、函数图像的翻转 1. 翻转的概念与特点 翻转是指通过改变图形的方向，保持图形形状不变的变换方式。在函数图像中，翻转可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的正负号来实现。翻转有水平方向的左右翻转和垂直方向的上下翻转两种形式。 2. 翻转的公式与例题 左右翻转的公式为f(-x)，即将函数关于y轴翻转。上下翻转的公式为-f(x)，即 将函数关于x轴翻转。例如，对于函数y = x²-1，关于y轴翻转的函数表达式为y = (-x)²-1，关于x轴翻转的函数表达式为y = -(x²-1)。 五、函数的奇偶性 1. 奇函数的特点与例题 奇函数是指对于任意的x，有f(-x) = -f(x)的函数。奇函数关于原点对称，图像 关于原点对称。例如，y = x³为奇函数。 2. 偶函数的特点与例题 偶函数是指对于任意的x，有f(-x) = f(x)的函数。偶函数关于y轴对称，图像 关于y轴对称。例如，y = x²为偶函数。 六、函数的周期性 1. 周期函数的特点与例题 高中数学 14种函数图像和性质知识解析新人教A 版必修1 高中不得不掌握的函数图像与常用性质 高中常用函数有14种，它们是:1.正比例函数；2.反比例函数；3.根式函数；4一次函数；5.二次函数；6双勾函数.；7..双抛函数；8.指数函数；9对数函数；10.三角函数；11分段函数.；12.绝对值函数；13.超越函数；14.抽象函数。而函数的性质常见的有：1.定义域；2.值域；3.单调性；4.奇偶性；5.周期性； 6.对称性； 7.有界性； 8.反函数； 9.连续性.高中都是从函数解析式入手画出函数图像，再利用函数图像研究其性质，下面我们就函数的图像和性质做归纳总结。 1.正比例函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数： 2.反比例函数解析式图像性质定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：3根式函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：反函数：4一次函数解析式图像定义域：值域：1 性质性质性质用心爱心专心 单调性：反函数：5二次函数解析式图像定义域：值域：单调性：对称性：定义域：值域：单调性：对称性：6.双勾函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：7.双抛函数解析式图像定义域：值域：单调性：奇偶性：对称性：定义域：性质性质性质用心爱心专心 值域：单调性：奇偶性：对称性：8.指数函数解析式图像定义域：值域：单调性：9.对数函数解析式图像定义域：值域：单调性：10.三角函数解析式图像单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：定义域：值域：单调性：周期性：奇偶性：有界性：对称性：11.分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。其图像的画法是按定义域的划分分别作图。其性质主要是考察求值域和单调性。求值域时一定要首先看x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。考 函数图像与变换 教学目标：掌握常见函数图像及其性质〔高考要求B 〕，熟悉常见的函数图像〔平移、对称、翻折〕变换〔高考要求B 〕. 教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折〞等手段进行函数图像变换。 教学过程： 一.知识要点： 1.常见函数图像及其性质： 〔1〕平移变换： ①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向 平移a 个单位，〔左+右—〕. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向 平移b 个单位，(上+下—) ③假设将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④假设将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 〔2〕对称变换： ①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于y 轴对称; 假设f (－x )=f (x ),那么函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称. ③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 假设f (－x )=－f (x ),那么函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b )对称. 假设f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))那么函数自身的图象关于直线x =a 对称. 假设函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-= 〔3〕翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习： 1.假设把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 那么函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y ＝f (x －1)－1 B.y ＝f (x ＋1)－1 C.y ＝f (x －1)＋1 D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.函数y =f (x )的图象如图2—3，那么以下函数所对应的图象中，不正确的选项是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x )D.y =－f (x ) 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ⊆A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数． 如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点． 周期性： 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0． 对称性： 若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称． 函数的图象： 函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图： y =f (x )−−−→−左右平移 y =f (x ＋a ) y =f (x )−−−→−上下平移 y =f (x )＋b 常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： 例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标 反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 难点10 函数图象与图象变换 函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质. ●难点磁场 (★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图，求b 的范围. ●案例探究 ［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x 的值均有f(x+a)=f(a －x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a 对称；(2)若函数f(x)对一切实数x 都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和. 命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目. 知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题. 错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化. 技巧与方法：数形结合、等价转化. (1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a －x),∴f(2a －x0)= f ［a+(a －x0)］=f ［a －(a －x0)］=f(x0)=y0,∴(2a －x0,y0)也在函数的图象上，而2)2(0 0x x a +-=a, ∴点(x0,y0)与(2a －x0,y0)关于直线x=a 对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a 对称. (2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8. ［例2］如图，点A 、B 、C 都在函数y=x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a+1、a+2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f(a),△A ′BC ′的面积为g(a). (1)求函数f(a)和g(a)的表达式； (2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论. 命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目. 知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口. 错解分析：图形面积不会拆拼. 技巧与方法：数形结合、等价转化.高考数学中的二次函数图像与性质总结
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