九年级数学辅导： 二次函数图象的变换
千 变 万 化
——二次函数图象的变换
【知识要点】
1．二次函数的表达式：
①一般式：2
y ax bx c =++ (a ≠0)
②顶点式：()0)(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标：（h,k ）,对称轴：x=h
③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++. ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律
① 二次函数2(0)y ax bx c
a =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的
2y ax =的图象
顶点（0，0） ② h>0，k>0,平移2y ax =的图象。
Ⅰ.沿
x
轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+
Ⅱ.沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =-
Ⅲ.沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+
Ⅳ.沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2
y ax k =-
3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式．
（1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2
（2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2
（3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=2
4．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【经典例题】
2y ax k =+的图象0，k ） ()2h x a y -=的图象顶点（h,0） ()k h x a y +-=2的图象顶点（h,k ）
例1．（1）抛物线22(1)3y x =-+是由抛物线22y x =怎样平移得到的？
（2）若抛物线2
y x =-向左平移2个单位，再向下平移4个单位，求所得到的解析式。
例2．抛物线3422+-=x x y 平移后经过点()()0,26,1-和，问应该怎样平移？
例3．抛物线2
y ax bx c =++向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着顶点旋转0180得到抛物线22
1x y =
，则a= ，b= ，c= . 例4．已知抛物线()21y a x h k =-+与2221y x x =+-开口方向和大小都相同，最低点的坐标是（-2，-1）．
（1）求抛物线1y 的解析式，并指出抛物线可否由2y 平移得到，如果可以，应怎样平移？
（2）求抛物线1y 与直线1y x =+的两交点的坐标及这两交点间距离．
例5．抛物线21:21l y x x =-+沿对称轴方向向下平移一个单位后得到抛物线2l ．
（1）求2l 的解析式．（2）若2l 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），顶点为D ，P 为2l 上一点，90PAD ∠=︒，求P 点坐标．
例6．一个抛物线与x 轴交于A （1,0x ），B （2,0x ），与y 轴交于C （30,y ）．如果把它向上平移
()904
a a >个
单位，再向左平移
52
个单位，就得到函数2y ax =的图像．若3y 是12,x x 的比例中项，求原抛物线的解析式.
【课堂练习】
一、选择题 1．将抛物线22y x =如何平移得到抛物线22(14)21y x =--（ ）
A ．向左平移14个单位，再向上平移21个单位。
B ．向左平移14个单位，再向下平移21个单位。
C ．向右平移14个单位，再向上平移21个单位。
D ．向右平移14个单位，再向下平移21个单位。
2．要从抛物线2211(1)322y x y x =-=-+-得到的图象，则抛物线212
y x =-必须（ ） A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位。
B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位。
C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位。
D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位。
3．把抛物线23y x =向右平移一个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）
A ．23(1)2y x =--
B ．23(1)2y x =+-
C ．23(1)2y x =++
D ．23(1)2y x =-+
4．与抛物线1542--=x y 形状相同，开口方向相同，而顶点在抛物线15
42--=x y 的顶点上方3个单位的抛物线所对应的函数是（ ）
A ．3542+-=x y B.3542--=x y C.2542+-=x y D.25
42--=x y
5.下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是( )
A ．y=2x
B ．y=―2x+5
C ．y=―3x
D ．y=―x 2
+2x ―1 6．抛物线bx x y +=22的对称轴在y 轴右侧，则b 的取值范围是（ ）．
A ．0>b
B ．4>b
C ．4->b
D 0
1．把抛物线2y x =-向右平移2个单位，再向下平移1个单位，则抛物线的解析式为 。
2．把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得的抛物线是 。
3．将抛物线22y x =经过 可得到抛物线22(4)1y x =--。
4．将函数22(3)y x =-的图象向右平移16个单位，再向上平移23个单位，得到的图象的解析式是 。
5．把函数2(1)y x =-的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到图象的解析式是 。
6．若抛物线2245y x x =--向左向上各平移4个单位，再绕顶点旋转180°，得到新的图象的解析式是 。
7．将抛物线223y x x =-+向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的图象所对应的解析式为 。将抛物线223y x x =-+向 平移 个单位，再向 平移 个单位，便可得到2y x =的图象，抛物线223y x x =-+关于x 轴对称的抛物线的解析式为 。
8．抛物线2(0)y ax bx c
a =++≠向左平移2个单位，再向上平移3个单位，最后绕着顶点旋转180°得到抛物线212
y x =，则a= ,b= ,c= 。 9．把函数212y x =的图象向 平移 个单位，再向 平移 个单位，可得到21(3)22
y x =+-的图象。 10．把函数21(3)2
y x =-的图象向上平移2个单位，得到函数 的图象。 11．抛物线222
++=x x y 记作C ，直线12+=x y 记作L ，平行移动C ，使它与x 轴两交点的距离为4，
且与L 只有一个交点，此时C 的解析式为 ，平移方法为
12.把函数23x y -=的图象沿x 轴翻折,得到的图象的解析式是
三．解答题
1．（1）抛物线()3122+-=x y 是由抛物线22x y =怎样平移得到的？（2）若抛物线2x y -=向左平移2个单
位，再向下平移4个单位，求所得抛物线的解析式.
2．将抛物线2143y x x =---向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到22y ax bx c =++．
（1）求,,a b c 的值；
（2）设抛物线2y 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为C ，求ABC ∆面积．
3．已知以x 为自变量的二次函数()()
341222-+-++-=m m x m x y ，m 为非负整数，它的图象与x 轴交
于点A 、B ，其中A 在原点左边，B 在原点右边．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若一次函数b kx y +=的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且10=∆ABC S ，求一次函数解析式．
【作业】日期 姓名 完成时间 成绩
1.抛物线4632++=x x y ，（1）与抛物线4632+-=x x y 关于 对称；（2）与抛物线4632
---=x x y
关于 对称；（3）与抛物线4632-+-=x x y 关于 对称；（4）与抛物线2632---=x x y 关于 对称.
2．（1）求与抛物线()2211y x =-+关于y 轴对称的抛物线的解析式；
（2）求与抛物线2245y x x =-+关于x 轴对称的抛物线的解析式．
3．二次函数2
y ax bx c =++的图象向左平移两个单位，再向上平移三个单位，得到二次函数 221y x x =-+的图象，求b,c 。
4．如图，在ABC ∆中AB=AC=4，F B D B ,,,30︒=∠分别是BC 、AC 、AB 上的点，DE ∥AB ，DF ∥AC ，x 表示CD 的长，y 表示
（1）求y 关于x 的函数关系式和自变量x
的取值范围．
（2）问点D 位于何处时 的面积最大？最大面积是多少？
二次函数的图像和参数的变化
二次函数的图像和参数的变化二次函数是代数学中的一个重要概念，也是数学中常见的函数 类型之一。在二次函数的研究中，了解它的图像和参数的变化十 分关键。本文将从图像和参数两个方面，详细探讨二次函数的变 化规律。 一、二次函数的图像变化 由于二次函数具有一条抛物线的特点，所以它的图像形状较为 固定，但其位置和方向却可以通过参数的改变而产生相应的变化。我们首先来研究二次函数在参数a不同时的图像变化。 1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上。随着a的增大，抛 物线的开口越来越宽，同时顶点也向上移动。当a=1时，抛物线 的开口最为标准，即为x^2函数的图像。当a>1时，抛物线的开 口更加宽广；当0 为-x^2函数的图像。当a<-1时，抛物线的开口更加宽广；当- 1 千 变 万 化 ——二次函数图象的变换 【知识要点】 1．二次函数的表达式： ①一般式：2 y ax bx c =++ (a ≠0) ②顶点式：()0)(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标：（h,k ）,对称轴：x=h ③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++. ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律 ① 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的 2y ax =的图象 顶点（0，0） ② h>0，k>0,平移2y ax =的图象。 Ⅰ.沿 x 轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+ Ⅱ.沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =- Ⅲ.沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+ Ⅳ.沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2 y ax k =- 3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式． （1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2 （2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2 （3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=2 4．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【经典例题】 2y ax k =+的图象0，k ） ()2h x a y -=的图象顶点（h,0） ()k h x a y +-=2的图象顶点（h,k ） 二次函数的变换 引言 二次函数是一种重要的数学函数之一，既有数学意义，也有实际应用价值。通过一些基础的变换，我们可以得到更多的二次函数图像，这些变换方式不仅方便了我们的计算，也可以拓展我们的思维，提高我们的数学素养。 一、平移变换 在二次函数图像中，如果我们希望将图像向左或向右平移，可以考虑在函数中加上一个常数。例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(x-a)=(x-a)^2$时，其图像就会向右平移a个单位。反之，如果我们写成$f(x+a)=(x+a)^2$，那么图像就会向左平移a个单位。这个变换的实际应用是很广泛的，比如在地图上移动坐标轴。 二、缩放变换 在二次函数图像中，如果我们需要缩放图像，那么我们可以改 变函数中二次项系数的值。例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将 其写成$f(kx)=kx^2$时，其图像就会沿x轴方向缩放k倍。当我们 将其写成$f(x/k)=\frac{1}{k}x^2$时，其图像就会沿y轴方向缩放k 倍。这个变换的实际应用比较广泛，例如在计算机图像处理中， 可以对图像进行缩放。 三、翻转变换 在二次函数图像中，如果我们需要翻转图像，那么我们可以改 变函数的系数。例如，对于$f(x)=x^2$函数，当我们将其写成$f(-x)=x^2$时，其图像就会以y轴为对称轴进行翻转。反之，如果我 们写成$f(-x)=-x^2$，那么图像就会以x轴为对称轴进行翻转。这 个变换的实际应用比较多，例如在研究物理现象时，可以通过翻 转图像得到更多的信息。 四、平移、缩放和翻转的组合变换 在二次函数图像中，我们还可以通过组合上述变换来得到更多 的图像。例如，对于$f(x)=x^2$函数，我们希望将其变成以点(-a,b)为顶点，开口向上的二次函数。那么我们可以进行如下组合变换： 第二十二章 二次函数 第5讲 二次函数的图象和性质 【板块一】二次函数的图象和性质 题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 【例1】(1)抛物线y ＝2x ²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数 y ＝－ 12 (x ＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x ＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y ＝2x ²＋1在x 轴的 上 方；当x ＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y ＝－12 (x ＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x 轴的 下方 ，顶点是 最高点 。 【解析】当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下，y ＝a (x ﹣h )²＋k 的顶点坐标为(h ，k )，对称轴是直线x ＝h ；当a ＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a ＜0时，抛物线的顶点为最高点。 题型二 抛物线的开口大小 【例2】如图，若抛物线y ＝ax ²与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是( ) A .14≤a ≤1 B ．12≤a ≤2 C .12≤a ≤1 D .14 ≤a ≤2 【解析】确定a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D 时，开口最小；抛物线经过点B 时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a 值分别2， 14，∴14≤a ≤2. 故选Ｄ． 【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y ＝x ²；②y ＝－ 12 x ²，③y ＝－2x ²的图象，则三个图象I ，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① . 【解析】当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；当|a |越大，开口越小，当|a |越小，开口越大。故 二次函数九年级知识点总结 二次函数是数学中的一个重要概念，也是九年级数学课程中的 一个重要内容。通过学习和掌握二次函数的相关知识，可以帮助 学生理解并解决与二次函数相关的问题。本文将对九年级数学中 的二次函数进行知识点总结和归纳。 一、二次函数的定义 二次函数是指函数y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。其中，a决定了二次函数的开口方向（a>0时开口向上，a<0时开 口向下），b则对称轴的位置起到了一定的决定作用。 二、二次函数的图像及其性质 1. 对称轴和顶点 对称轴是二次函数图像的一条垂直线，对函数y = ax² + bx + c 来说，对称轴的方程为x = -b/(2a)。而顶点则是该二次函数图像的 最低点（开口向上时）或最高点（开口向下时）。 2. 零点 二次函数的零点就是使得函数值为0的x值，也就是方程ax² + bx + c = 0的解。求解零点有多种方法，可以使用因式分解、配方法、求根公式等。 3. 判别式和解 判别式Δ（读作delta）是一个与二次函数相关的重要概念，用 来判断二次方程是否有实数解或者有几个实数解。判别式的计算 公式为Δ = b² - 4ac。Δ>0时，方程有两个不相等的实数解；Δ=0时，方程有两个相等的实数解；Δ<0时，方程无实数解。 4. 过顶点的切线 二次函数的图像在顶点处有一个切线，这个切线与函数图像在 该点处相切。这个切线的斜率等于二次函数在该点处的导数值， 即导数等于2a。 5. 函数值的变化 二次函数在对称轴两侧的函数值存在一定的变化规律。当a>0时，函数图像开口向上，随着x的增大，函数值增加；当a<0时，函数图像开口向下，随着x的增大，函数值减小。 三、二次函数的运用 1. 求解二次方程 二次函数可以用来求解与之相关的二次方程。通过前面提到的 求解零点的方法，可以将二次函数转化为二次方程，从而求解方 程的解。 2. 模拟与预测 二次函数可以用来模拟和预测一些真实世界中的问题。例如， 通过分析一辆汽车的加速度情况，可以建立一个二次函数来模拟 汽车的加速过程。再如，通过分析某个物体的落体过程，也可以 建立一个二次函数来模拟落体过程中的变化规律。 2023年春九年级数学中考复习《二次函数与图形变换综合解答题》专题提升训练（附答案）1．已知，抛物线y＝ax2+bx． （1）若该抛物线向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到y＝2x2，求a、b的值； （2）如图，若该抛物线经过点A（﹣2，2）和P（﹣3，0），求此抛物线的解析式； （3）已知点M（1，1），N（3，3），当b＝0时，若该抛物线与线段MN没有公共点，直接写出a的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k过点A． （1）求k的值； （2）若把抛物线y＝﹣（x﹣2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由． 3．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“变换点”Q的坐标定义如下：当a≥b时，Q点坐标为（b，﹣a）；当a＜b时，Q点坐标为（a，﹣b）． （1）求（﹣2，3），（6，﹣1）的变换点坐标； （2）已知直线l与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2）．若直线l上所有点的变换点组成一个新的图形，记作图形W，请画出图形W，并简要说明画图的思路； （3）若抛物线y＝﹣x2+c与图形W有三个交点，请直接写出c的取值范围． 4．已知抛物线y＝+（m﹣2）x+2m﹣6的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求m的值； （2）求A，B，C三点的坐标； （3）过点C作直线l∥x轴，将该抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线y＝与图象G只有一个公共点时，求b的取值范围． 5．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y＝（x﹣a）2+（a为常数）当a＝﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！ （1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为； （2）如图②，当a＝0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式． 九年级数学讲义二次函数的图像及平移变换讲解 一、基础知识 图像的平移： （1）平移：将图像F 每个点，都沿着同一个方向，移动相同的距离，得到一个新图像F '， 我们称这个过程为一次平移； 常见的平移有向左（右）平移，向上（下)平移； （2）以二次函数的顶点式来说明二次函数的平移： 020)(y x x a y +-=−−−−−→ −个单位向左平移h 020))((y x h x a y +-+=； 020)(y x x a y +-=−−−−−→−个单位向上平移k k y x x a y ++-=020)(； 归纳为：左加右减，上加下减 **（3）对称：此处只学习关于x 轴、y 轴、原点对称；图形对称前后，形状、大小均保持不变。 20)(y x x a y +-=−−−−−→关于x 轴对称200()y a x x y -=-+， 即200()y a x x y =--- 0 20)(y x x a y +-=−−−−−→关于y 轴对称200()y a x x y =--+， 即200()y a x x y =++ 020)(y x x a y +-=−−−−−→关于原点对称200()y a x x y -=--+，即200()y a x x y =-+- 二、例题解析与跟进训练： 练习：求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标． （1）y=4x 2+24x+35； （2）y=﹣3x 2 +6x+2； （3）y=x2﹣x+3；（4）y=2x2+12x+18． 例1 已知抛物线y=ax2+bx经过点A（﹣3，﹣3）和点P（t，0），且t≠0． （1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；（2）若t=﹣4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向； （3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值． 2020-2021学年初中数学精品课程 二次函数的基本解析式与图像变换(下) ： 【挑战题】 如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过x轴上的点A，B。 ⑴求点A，B，C的坐标。 ⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式。 【例1】 已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线l1的解析式为y＝－x2，将抛物线l1平移后得到抛物线l2，若抛物线l2经过点(0，2)，且其顶点A的横坐标为最小正整数。 ⑴求抛物线l2的解析式； ⑵说明将抛物线l1如何平移得到抛物线l2； ⑶若将抛物线l2沿其对称轴继续上下平移，得到抛物线l3，设抛物线l3的顶点为B，直线OB与抛物线l3的另一个交点为C。当OB＝OC时，求点C的坐标。 二、二次函数图象的对称 1．关于x轴对称 y＝ax2＋bx＋c关于x轴对称后，得到的解析式是y＝－ax2－bx－c； 2．关于y轴对称 y＝ax2＋bx＋c关于y轴对称后，得到的解析式是y＝ax2－bx＋c； 3．关于原点对称 y＝ax2＋bx＋c关于原点对称后，得到的解析式是y＝－ax2＋bx－c； 【例2】 ⑴(东城期末) 抛物线C1：y＝x2＋1与抛物线C2关于x轴对称，则抛物线C2的解析式为 ( ) A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝x2－1 D．y＝－x2－1 ⑵(天津中考) 在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( ) A．y＝－x2－x＋2 B．y＝－x2＋x－2 C．y＝－x2＋x＋2D．y＝x2＋x＋2 ⑶(密云期末) 将抛物线y＝x2＋1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( ) A．y＝－x2B．y＝－x2＋1 C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1 【例3】(丰台期末) 如图，已知抛物线C1：y＝a(x＋2)2－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B 的左侧)，点B的横坐标是1。 ⑴求a的值； ⑵如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式。 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -⎛ ⎫=++ ⎪⎝ ⎭，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》练习题及答案 班级:___________姓名：___________考号：_____________ 一、单选题 1．抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线（） A．y=(x+1)2B．y=(x−1)2C．y=x2+1D．y=x2−1 2．抛物线y＝x2＋4x＋5是由抛物线y＝x2＋1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为() A．向上平移2个单位B．向左平移2个单位 C．向下平移4个单位D．向右平移2个单位 3．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是y=x2+1，则原抛物线的解析式不可能的是（） A．y=x2﹣1 B．y=x2+6x+5 C．y=x2+4x+4 D．y=x2+8x+17 4．将抛物线y＝x2﹣2向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+3B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x+2）2+1D．y＝（x+3）2+1 5．对于实数c、d，我们可用min{ c，d }表示c、d两数中较小的数，如min{3，-1}=-1.若关于x的函 数y = min{2x2，a(x-t)2}的图象关于直线x=3对称，则a、t的值可能是 A．3，6B．2，-6C．2，6D．-2，6 6．将抛物线y=x2﹣2x+2先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后 所得抛物线的顶点坐标是（） A．（﹣2，3）B．（﹣1，4）C．（3，4）D．（4，3） 7．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（） A．b=2，c=﹣6B．b=2，c=0C．b=﹣6，c=8D．b=﹣6，c=2 8．已知抛物线y=-x2+1，下列结论： ①抛物线开口向上； ②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）； ③抛物线的对称轴是y轴； ④抛物线的顶点坐标是（0，1）； ⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=−x2向上平移1个单位得到的. 其中正确的个数有 A．5个B．4个C．3个D．2个 中考数学《二次函数图形的几何变换》专项练习题(附答案) 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，二次函数y=(x+1)(x−3)的图象向右平移2个单位后的函数为（）A．y=(x−1)(x−5)B．y=(x+2)(x−2) C．y=(x+3)(x−1)D．y=(x+1)(x+5) 2．把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=-（x-1）2-3B．y=-（x+1）2-3 C．y=-（x-1）2+3D．y=-（x+1）2+3 3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（） A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位 C．向左平移8个单位D．向右平移8个单位 4．要得到函数y=−x2+3的图像，可以将函数y=−x2的图像（） A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位D．向下平移3个单位 5．将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向右移动2个单位，再向下移动3个单位，得到的抛物线的解析式为（） A．y＝2（x+1）2B．y＝2（x+1）2﹣6 C．y＝2（x﹣3）2D．y＝2（x﹣3）2﹣6 6．抛物线y=−2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y=−2(x−2)2−3B．y=−2(x+2)2−3 C．y=2(x−2)2−3D．y=2(x+2)2−3 7．已知抛物线y=ax2−2ax+a2+1(a≠0).当x≥3时，y随x的增大而增大；当−2≤x≤0时，y的最大值为10.那么与抛物线y=ax2−2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在−2≤x≤3内的函数最大值为（） A．10B．17C．5D．2 8．将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=4（x+1）2+3B．y=4（x﹣1）2+3 C．y=4（x+1）2﹣3D．y=4（x﹣1）2﹣3 9．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（） A．（3，4）B．（1，2）C．（3，2）D．（1，4） 中考数学总复习《二次函数图像的几何变换》练习题附有答案 一、单选题(共12题；共24分) 1．把抛物线y=-x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．B． C．D． 2．如果要得到y=x2－6x＋7的图象，需将y=x2的图象（）. A．由向左平移3个单位，再向上平移2个单位 B．由向右平移3个单位，再向下平移2个单位 C．由向右平移3个单位，再向上平移2个单位 D．由向左平移3个单位，再向下平移2个单位 3．将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（）． A．y＝x2－2B．y＝－x2＋2C．y＝x2＋2D．y＝－x2－2 4．已知抛物线y=x2+ax+b对称轴是直线x=1，与x轴两个交点间的距离为2，将此抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得新抛物线与x轴两个交点间的距离为（）A．2B．3C．4D．5 5．关于x的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列不符合题意的是（） A．3＜α＜β＜5B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5D．α＜3且β＞5 6．把抛物线y=2x2向右平移1个单位，所得抛物线的函数解析式为（）A．y=2x2+1B．y=2(x+1)2C．y=2x2−1D．y=2(x−1)2 7．如图，抛物线y=ax2+bx+c关于原点对称的抛物线是（） A．y=﹣ax2﹣bx+c B．y=ax2﹣bx﹣c C．y=﹣ax2+bx﹣c D．y=﹣ax2﹣bx﹣c 8．将抛物线y=4x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=4（x+1）2+3B．y=4（x﹣1）2+3 1 初三秋季·第1讲·目标班·学生版 中考内容 中考要求 A B C 二次函数 能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象 能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题 二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。 中考内容与要求 中考考点分析 满分晋级阶梯 1 二次函数图象特征与 变换 函数16级 方程与函数思想 函数15级 二次函数图象特征与变换 函数14级 二次函数实际应用 2 初三秋季·第1讲·目标班·学生版 这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。 年份 2011年 2012年 2013年 题号 7，8，23 8，23 10，23 分值 11分 11分 9分 考点 抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根） 函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围 二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性 图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调 性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 知识互联网 思路导航 题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系 2 二次函数的图象与性质 第1课时二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质教学目标 一、基本目标 1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念．在作图的过程中初步研究二次函数的图象变化． 2．通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用． 二、重难点目标 【教学重点】 函数y＝x2和y＝－x2的图象的画法，理解函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质． 【教学难点】 函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P32～P34的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．用描点法画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线． 2．二次函数y＝x2和y＝－x2的图象都是一条抛物线． 3．抛物线y＝x2的开口方向是向上，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴．抛物线y＝－x2的开口方向是向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴． 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论(师生互学) 【例1】在同一平面直角坐标系中，画出下列函数的图象： y＝x2; y＝－x2. 根据图象分别说出两条抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向及最高(低)点坐标． 【互动探索】(引发学生思考)利用列表、描点、连线的方法作出两个函数的图象即可．【解答】列表如下： 抛物线y ＝x 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向上，最低点坐标为(0，0)． 抛物线y ＝－x 2的对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)，开口方向向下，最高点坐标为(0，0)． 【互动总结】(学生总结，老师点评)画二次函数的图象时应注意的问题：(1)在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖形；(2)抛物线是向两个方向无限延伸的，左右两边必须保持关于对称轴对称；(3)用描点法画出的图象只是二次函数的图象的一部分，且是近似的． 活动2 巩固练习(学生独学) 1．下列关于抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2的说法错误的是( D ) A ．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2有共同的顶点与对称轴 B ．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2关于x 轴成轴对称 C ．抛物线y ＝x 2与y ＝－x 2的开口方向相反 D ．点A (－2，4)在抛物线y ＝x 2上，也在抛物线y ＝－x 2上 2．二次函数y ＝(m ＋1)x 2的图象过点(－2，4)，则m ＝0，这个二次函数的表达式为y ＝x 2，当x <0时，y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)；当x >0时，y 随x 的增大而增大(填“增大”或“减小”)． 活动3 拓展延伸(学生对学) 【例2】如图，直线y ＝3x ＋4与抛物线y ＝x 2交于A 、B 两点，求出A 、B 两点的坐标． 【互动探索】联立两表达式构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋4，y ＝x 2 ， 方程组的解即为交点坐标． 【解答】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ＋4， y ＝x 2 ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝16 或⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ x ＝－1，y ＝1. 所以直线y ＝3x ＋4与抛物线y ＝x 2的交点坐标为A (4，16)和B (－1，1)． 【互动总结】(学生总结，老师点评)解本题的关键是求直线和抛物线的交点，可联立方 专题22.1 二次函数的图像和性质 知识点解读 1.定义 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 轴是直线h x =。 ③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。 若已 知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：12 2 x x x += 5.抛物线c bx ax y ++=2 中， a 、b 、c 的作用 ①a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样。 ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② 0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴； ③0九年级数学辅导： 二次函数图象的变换
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