高中数学中的函数图像与变换总结
高中数学中的函数图像与变换总结
函数图像与变换是高中数学中重要的内容之一，它涵盖了函数的基本概念、性质以及图像的变换。通过研究函数图像与变换，我们可以更好地理解函数的特性和规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方法。
一、函数的基本概念与性质
函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。在函数的定义中，我们常常用自变量表示输入，用因变量表示输出。函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。
函数的性质包括奇偶性、周期性和单调性等。奇偶性指函数关于原点对称的特性，如果函数满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数；如果函数满足f(-x) = f(x)，则为偶函数。周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性，如正弦函数和余弦函数都是周期函数。单调性是指函数在定义域内的取值变化趋势，可以分为增函数和减函数两种。
二、函数图像的基本特征
函数图像是函数在平面直角坐标系上的几何表现，它可以通过绘制函数的图像来观察函数的性质和规律。函数图像的基本特征包括图像的对称性、图像的开口方向和图像的拐点等。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称的特性。例如，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。开口方向是指函数图像在无穷远处的趋势，可以分为上开口和下开口两种。拐点是指函数图像在某一点上的曲线方向发生突变的点，它对应了函数的极值点或拐点。
三、函数图像的变换
函数图像的变换是指通过对函数进行平移、伸缩、翻转等操作，得到新的函数
图像。常见的函数图像变换包括平移变换、纵向伸缩变换和横向伸缩变换等。
平移变换是指将函数图像沿着x轴或y轴方向移动一定的距离。当函数图像向
左平移a个单位时，可以通过将自变量x替换为x-a得到新的函数图像；当函数图
像向上平移b个单位时，可以通过将因变量y替换为y-b得到新的函数图像。
纵向伸缩变换是指将函数图像在y轴方向上进行伸缩。当函数图像纵向压缩为
原来的k倍时，可以通过将因变量y替换为y/k得到新的函数图像；当函数图像纵
向拉伸为原来的k倍时，可以通过将因变量y替换为ky得到新的函数图像。
横向伸缩变换是指将函数图像在x轴方向上进行伸缩。当函数图像横向压缩为
原来的k倍时，可以通过将自变量x替换为kx得到新的函数图像；当函数图像横
向拉伸为原来的k倍时，可以通过将自变量x替换为x/k得到新的函数图像。
通过函数图像的变换，我们可以更好地理解函数的性质和规律。同时，函数图
像的变换也为解决实际问题提供了数学工具和思维方法。
总结起来，高中数学中的函数图像与变换是一门重要的学科，它涵盖了函数的
基本概念、性质以及图像的变换。通过研究函数图像与变换，我们可以更好地理解函数的特性和规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方法。函数图像的基本特征和变换方法是我们学习函数图像与变换的重要内容，通过对函数图像的观察和分析，我们可以深入理解函数的性质和规律，提高数学解题的能力和思维能力。希望通过本文的总结，读者能够对高中数学中的函数图像与变换有更深入的了解和认识。
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变换
高中数学中的函数与图像对称性质与图形变 换 在高中数学中，函数与图像的对称性质以及图形的变换是非常重要的概念。这些概念不仅有助于我们理解数学中的抽象概念，还有助于我们解决实际问题。本文将探讨函数与图像的对称性质以及图形的变换，并分析其在数学中的应用。 函数与图像的对称性质是指函数图像在某个特定操作下的不变性。常见的对称性质包括轴对称和中心对称。轴对称是指函数图像关于某条直线对称，而中心对称是指函数图像关于某个点对称。这些对称性质在数学中的应用非常广泛。例如，在解方程时，我们可以利用函数图像的对称性质来简化问题。另外，在几何学中，对称性质也是研究图形性质的重要工具。 图形的变换是指将一个图形按照一定规则进行移动、旋转、翻转等操作，从而得到一个新的图形。常见的图形变换包括平移、旋转和翻转。平移是指将图形沿着平行于坐标轴的方向进行移动，旋转是指将图形按照一定角度进行旋转，翻转是指将图形关于某条直线进行镜像。这些图形变换在数学中有着广泛的应用。例如，在几何学中，我们可以利用图形变换来证明两个图形是否全等。此外，在计算机图形学中，图形变换也是生成动画和模拟现实世界的重要工具。 函数与图像的对称性质和图形变换之间存在着密切的联系。例如，我们可以利用函数图像的对称性质来进行图形变换。具体而言，如果一个函数图像关于某条直线对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该直线进行翻转来得到一个新的函数图像。同样地，如果一个函数图像关于某个点对称，那么我们可以通过将函数图像沿着该点进行旋转180度来得到一个新的函数图像。这些图形变换不仅可以帮助我们理解函数与图像的对称性质，还可以帮助我们解决实际问题。 除了函数与图像的对称性质和图形变换，高中数学中还涉及到其他一些与对称性质和图形变换相关的概念。例如，我们可以通过函数的奇偶性来判断函数图像的
高考数学函数图像总结
高中函数图像总结 一 基本函数图像 1y=kx (x ≠0) 2 y=kx+b (k ≠0) 3 (0)k y k x = ≠ 4 2(0)y ax bx c a =++≠ 5 a y x = 6 (0)k y x k x =+ ≠ 7 (0,1)x y a a a =>≠ 8 log (0,1)a y x a a =>≠ 二 抽象图像平移 f(x ）→f(x+1) f(x ）→f(x-1) f(x ）→f(x)+1 f(x ）→f(x)-1 f(x) →f(2x) f(x) →2f(x) f(x ）→f(2x+2) y=f （-x ）变成y=f （-x+2） 练习：cosx → cos2x c os2x → cos （2x+4） cosx →cos2x+4 三 图像的变换 1 f(x ）→f(|x|) 保留y 轴右边的，左边关于右边y 轴对称 2 f(x ）→| f(x)| 保留x 轴上方的，下方关于x 轴对称 3 f(x ）→ f(-x ） y 轴对称 4 f(x ）→-f(x) x 轴对称 5 f(x ）→-f(-x ） 原点对称 6 f(x ）→f （|x+1|）先根据1方法变成f （|x|）,在向左平移一个单位得到f （|x+1|） 7 f(x ）→f （|x|+1）先向左平移一个单位得到f （x+1），再根据1方法变成f （|x|+1） 8 f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联想点（x,y ）,(y,x) 9 f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 eg f （x ）= 2x 与g （x ）=-2x -关于 对称 一、函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关系 函数 的图象经沿y 轴翻折180°而得到的（即关于y 轴对称）。注意它与函数的图象是不同的，前者代表两个函数，后者表示函数本身是关于y 轴对称的。 （二）伸缩变换及其应用：
高中数学中的函数图像与变换总结
高中数学中的函数图像与变换总结 函数图像与变换是高中数学中重要的内容之一，它涵盖了函数的基本概念、性质以及图像的变换。通过研究函数图像与变换，我们可以更好地理解函数的特性和规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方法。 一、函数的基本概念与性质 函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。在函数的定义中，我们常常用自变量表示输入，用因变量表示输出。函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。 函数的性质包括奇偶性、周期性和单调性等。奇偶性指函数关于原点对称的特性，如果函数满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数；如果函数满足f(-x) = f(x)，则为偶函数。周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性，如正弦函数和余弦函数都是周期函数。单调性是指函数在定义域内的取值变化趋势，可以分为增函数和减函数两种。 二、函数图像的基本特征 函数图像是函数在平面直角坐标系上的几何表现，它可以通过绘制函数的图像来观察函数的性质和规律。函数图像的基本特征包括图像的对称性、图像的开口方向和图像的拐点等。 对称性是指函数图像关于某个轴或点对称的特性。例如，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。开口方向是指函数图像在无穷远处的趋势，可以分为上开口和下开口两种。拐点是指函数图像在某一点上的曲线方向发生突变的点，它对应了函数的极值点或拐点。 三、函数图像的变换
函数图像的变换是指通过对函数进行平移、伸缩、翻转等操作，得到新的函数 图像。常见的函数图像变换包括平移变换、纵向伸缩变换和横向伸缩变换等。 平移变换是指将函数图像沿着x轴或y轴方向移动一定的距离。当函数图像向 左平移a个单位时，可以通过将自变量x替换为x-a得到新的函数图像；当函数图 像向上平移b个单位时，可以通过将因变量y替换为y-b得到新的函数图像。 纵向伸缩变换是指将函数图像在y轴方向上进行伸缩。当函数图像纵向压缩为 原来的k倍时，可以通过将因变量y替换为y/k得到新的函数图像；当函数图像纵 向拉伸为原来的k倍时，可以通过将因变量y替换为ky得到新的函数图像。 横向伸缩变换是指将函数图像在x轴方向上进行伸缩。当函数图像横向压缩为 原来的k倍时，可以通过将自变量x替换为kx得到新的函数图像；当函数图像横 向拉伸为原来的k倍时，可以通过将自变量x替换为x/k得到新的函数图像。 通过函数图像的变换，我们可以更好地理解函数的性质和规律。同时，函数图 像的变换也为解决实际问题提供了数学工具和思维方法。 总结起来，高中数学中的函数图像与变换是一门重要的学科，它涵盖了函数的 基本概念、性质以及图像的变换。通过研究函数图像与变换，我们可以更好地理解函数的特性和规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方法。函数图像的基本特征和变换方法是我们学习函数图像与变换的重要内容，通过对函数图像的观察和分析，我们可以深入理解函数的性质和规律，提高数学解题的能力和思维能力。希望通过本文的总结，读者能够对高中数学中的函数图像与变换有更深入的了解和认识。
高中常见函数图像及基本性质
常见函数性质汇总及简单评议对称变换 常数函数 f (x )=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势 2）、图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线 一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R) 1)、两种常用的一次函数形式:斜截式—— 点斜式—— 2）、对斜截式而言，k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域：R 值域：R 单调性：当k>0时 ；当k<0时 奇 偶 性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性； 反 函 数：有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候）。 补充：反函数定义： 例题：定义在r 上的函数y=f （x ）; y=g （x ）都有反函数，且f （x-1）和g -1 (x)函数的图像关于y=x 对称，若g （5）=2016，求）= 周 期 性：无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法： x y b O f (x )=b x y O f (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标
反比例函数 f (x )= x k (k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远) 图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f (x )的图象分别在第一、第三 象限；当k<0时，函数f (x )的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线； 既是中心对成图形也是轴对称图形 定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性：无 奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身 补充：1、反比例函数的性质 2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）——入手点常有两个——⑴直接带入，利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此） 3、反函数变形（如右图） 1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较 2）、y=1/(-x)和y=-（1/x ）图像移动比较 3）、f (x )= d cx b ax ++ (c ≠0且 d ≠0)（补充一下分离常数） （对比标准反比例函数，总结各项内容） 二次函数 一般式：)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 顶点式：)0()()(2 ≠+-=a h k x a x f 两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f 图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当00时，函数图象与x 轴有两个交点（ ）；当<0时，函数图象与x 轴有一个交点（ ）；当=0时，函数图象与x 轴没有交点。 ④)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 关系 )0()(2 ≠=a ax x f 定 义 域：R 值 域：当0>a 时，值域为（ ）；当0a 时；当0 高中数学中的三角函数与图像变换 在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，它与图像变换密切相关。通过研 究三角函数的性质和图像变换的规律，我们可以更深入地理解数学的美妙之处。 一、三角函数的基本性质 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。它们的定义域是实数集，值 域是[-1,1]。其中，正弦函数的图像是一条连续的波浪线，余弦函数的图像是一条 连续的曲线，正切函数的图像是一条在某些点上无限接近于正无穷或负无穷的曲线。这些函数在数学和物理中有广泛的应用，如波动现象、周期性运动等。 二、三角函数的图像变换 图像变换是指通过一定的规则对函数的图像进行平移、伸缩、翻转等操作，从 而得到新的图像。在三角函数中，平移、伸缩和翻转是常见的图像变换方式。 1. 平移变换 平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。对于三角函 数而言，平移变换可以改变函数的图像在坐标平面上的位置。例如，对于正弦函数y=sin(x)而言，将其平移向右2个单位可以得到y=sin(x-2)，而平移向上3个单位可 以得到y=sin(x)+3。平移变换可以使函数的图像在坐标平面上上下左右移动，从而 改变函数的位置。 2. 伸缩变换 伸缩变换是指将函数的图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩。对于三角函 数而言，伸缩变换可以改变函数的图像在坐标平面上的形状。例如，对于正弦函数y=sin(x)而言，将其在横轴方向上压缩一半可以得到y=sin(2x)，而在纵轴方向上拉 伸2倍可以得到y=2sin(x)。伸缩变换可以使函数的图像在坐标平面上变得更加宽 或更加窄，从而改变函数的形状。 3. 翻转变换 翻转变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向进行翻转。对于三角函数而言，翻转变换可以改变函数的图像在坐标平面上的方向。例如，对于正弦函数y=sin(x) 而言，将其沿着横轴翻转可以得到y=-sin(x)，而沿着纵轴翻转可以得到y=sin(-x)。翻转变换可以使函数的图像在坐标平面上上下或左右翻转，从而改变函数的方向。 三、三角函数与图像变换的应用 三角函数与图像变换的应用非常广泛。在物理学中，三角函数的图像变换可以 用来描述波动现象，如声波、光波等。在工程学中，三角函数的图像变换可以用来设计和分析电路、信号处理等。在计算机图形学中，三角函数的图像变换可以用来生成动画、模拟物理效果等。 总结起来，高中数学中的三角函数与图像变换是一个有趣且重要的话题。通过 研究三角函数的基本性质和图像变换的规律，我们可以更深入地理解数学的美妙之处，并将其应用于实际问题中。无论是在物理、工程还是计算机领域，三角函数与图像变换都发挥着重要的作用，为我们解决问题提供了有力的工具。让我们一起探索数学的奥秘，发现其中的乐趣和应用价值吧！ 高一数学必修一函数图像知识点总结 函数图像是高中数学中的重要内容之一，它是数学与实际问题相结合的桥梁。在高一数学必修一中，我们学习了函数图像的基本概念、性质和绘制方法。下面将对这些知识点进行总结。 一、函数图像的基本概念 函数是一种特殊的关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。函数图像是函数在坐标系中的表示，横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。函数图像可以用来描述实际问题中的变化规律，比如温度随时间的变化、销售额随月份的变化等。 二、函数图像的性质 1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。通过观察函数图像可以确定函数的定义域和值域。 2. 奇偶性：如果函数满足$f(x) = f(-x)$，则称该函数为偶函数；如果函数满足$f(x) = -f(-x)$，则称该函数为奇函数。通过观察函数图像可以确定函数的奇偶性。 3. 单调性：如果函数在定义域上递增，那么称该函数为递增函数；如果函数在定义域上递减，那么称该函数为递减函数。通过观察函数图像可以确定函数的单调性。 4. 最值和极值：函数的最大值和最小值称为最值，函数的极大值和极小值称为极值。通过观察函数图像可以确定函数的最值和极值。 三、函数图像的绘制方法 1. 函数关系式法：如果已知函数的关系式，可以根据关系式中的变量值来绘制 函数图像。比如，已知函数$y = 2x + 1$，可以取不同的$x$值计算对应的$y$值， 然后将这些点连成一条直线。 2. 函数性质法：如果已知函数的性质，可以根据性质来绘制函数图像。比如， 已知函数是偶函数，且在定义域上递增，可以根据这些性质来确定函数的图像形状。 3. 函数变换法：通过对已知函数进行平移、伸缩、翻转等变换，可以得到新的 函数图像。比如，对函数$y = x^2$进行平移变换，可以得到函数$y = (x-2)^2$的图像，它在$x$轴上向右平移了2个单位。 四、常见函数图像 1. 一次函数：一次函数的图像是一条直线，可以表示为$y = kx + b$，其中 $k$为斜率，$b$为截距。当$k>0$时，直线向上倾斜；当$k<0$时，直线向下倾斜。 2. 二次函数：二次函数的图像是一条抛物线，可以表示为$y = ax^2 + bx + c$， 其中$a$为抛物线的开口方向，$b$和$c$为抛物线的位置。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。 3. 幂函数：幂函数的图像是一条曲线，可以表示为$y = x^a$，其中$a$为幂指数。当$a>1$时，曲线逐渐上升；当$0 高中函数的全部总结 高中数学中，函数是一个非常重要的概念，涉及到的内容非常广泛。本文将全面总结高中函数的相关知识点，帮助大家更好地掌握这一内容。 一、函数的定义 函数是数学中的一个基本概念，它描述了输入和输出之间的关系。由此可以得出函数的定义：设有两个集合A和B，若对于A中任何一个元素，都有唯一的B中元素与之对应，则称这种对应关系为函数，记作f: A→B，其中A为定义域，B 为值域。 函数的定义也可以用图像表示，即函数在平面直角坐标系中的图象（图像）是一条曲线。这条曲线的点的横坐标范围就是该函数的定义域，纵坐标范围就是该函数的值域。 二、常见函数类型 1. 线性函数：y = kx + b（k，b为常数），表示一条直线。在直角坐标系中，其图像是一条斜率为k，截距为b的直线。 2. 二次函数：y = ax² + bx + c（a ≠ 0），表示一个开口朝上或者朝下的抛物线。在直角坐标系中，其图像是一条横轴交点为（-b/2a，c - b²/4a），纵轴对称的抛物线。 3. 指数函数：y = aⁿ（a > 0，且a ≠1），表示指数的变化对应函数值的变化。在直角坐标系中，其图像在x轴右侧且逐渐上升。 4. 对数函数：y = logₐx（a 为底数，且a > 0，a ≠1， x > 0），表示指数的变化对应自变量x的变化。在直角坐标系中，其图像在y轴右侧且逐渐下降。 5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。在直角坐标系中，正弦函数和余弦函数的图像是周期为2π的曲线，正切函数的图像有一些特殊的垂直渐近线。 三、函数的性质 1. 定义域和值域：函数的定义域和值域是函数的重要性质。定义域是所有输入的可能值，值域是所有输出的可能值。 2. 奇偶性：函数f(x)满足奇函数的条件是f(-x) = - f(x)，满足偶函数的条件是f(-x) = f(x)。 3. 周期性：函数f(x)是周期函数，当且仅当存在一个正常数T，使得f(x + T) = f(x)对于所有x成立。 4. 单调性：函数在定义域内是否单调增加或是单调减少。若满足f（x1） < f（x2），则成为单调增函数。若满足f （x1） > f（x2），则成为单调减函数。 5. 最大值与最小值：函数在定义域内可能存在最大值（最大值可能是无穷大），也可能存在最小值（最小值可能是负无穷大）。 6. 极限：极限是函数研究中的一个重要概念，即自变量趋近于某一值时，函数值的极限。可以根据极限的存在性来确定函数在某一点的连续性。 四、函数的图像变换 1. 平移：对于y = f(x)，y = f(x - a) 将使原函数平移到右a个单位，y = f(x + a) 将使原函数平移到左a个单位，y = f(x) + b 将使原函数上移b个单位，y = f(x) - b 将使原函数下移b个单位。 2. 翻折：y = -f(x) 将函数左右翻转，y = f(-x) 将函 高中数学三角函数的变换与图像分析 一、引言 三角函数是高中数学中的重要内容之一，它们的变换与图像分析是解决三角函 数相关问题的关键。本文将从正弦函数、余弦函数和正切函数三个方面进行讲解，并通过具体题目的举例，分析其考点和解题技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应用三角函数的变换与图像分析。 二、正弦函数的变换与图像分析 正弦函数的一般式为y = A sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D分别为常数， 控制函数的振幅、周期、相位和纵坐标平移。 1. 振幅的变换 振幅A决定了正弦函数图像的最大值和最小值，当A>1时，图像的振幅增大；当0 相位C决定了正弦函数图像的左右平移，相位为正时图像向左平移，相位为负 时图像向右平移。例如，考虑函数y = sin(x + π/2)和y = sin(x - π/2)，它们的图像如 下所示： （插入图像：y = sin(x + π/2)和y = sin(x - π/2)的图像） 4. 纵坐标平移的变换 纵坐标平移D决定了正弦函数图像的上下平移，纵坐标平移为正时图像向上平移，纵坐标平移为负时图像向下平移。例如，考虑函数y = sinx + 2和y = sinx - 2，它们的图像如下所示： （插入图像：y = sinx + 2和y = sinx - 2的图像） 三、余弦函数的变换与图像分析 余弦函数的一般式为y = A cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D分别为常数， 控制函数的振幅、周期、相位和纵坐标平移。 1. 振幅的变换 与正弦函数类似，振幅A决定了余弦函数图像的最大值和最小值。 2. 周期的变换 余弦函数的周期与正弦函数相同，即T = 2π/|B|。 3. 相位的变换 余弦函数的相位C与正弦函数相反，即相位为正时图像向右平移，相位为负时图像向左平移。 4. 纵坐标平移的变换 余弦函数的纵坐标平移D与正弦函数相同，纵坐标平移为正时图像向上平移，纵坐标平移为负时图像向下平移。 高中13种函数图像汇总 函数图像是数学教学中的重要知识点，在高中阶段，学生要掌握常见的13种函数图像的概念、性质、特征，本文将对13种函数图像进行汇总，为学生深入学习提供参考。 一、直线函数图像 直线函数的图像是一条直线，它的函数表达式为y=kx+b，其中k是斜率，b是y轴截距，如果k=0，则表示水平线；如果b=0，则表示垂直线。 二、平方函数图像 平方函数的图像是一个U型函数曲线，它的函数表达式为 y=x^2。正定平方函数的图像会向上钝化，而负定平方函数的图像会向下钝化，当x=0时，y取得最大值。 三、立方函数图像 立方函数的图像是一条U型函数曲线，它的函数表达式为 y=x^3，正定立方函数的图像会向上钝化，而负定立方函数的图像会向下钝化，当x=0时，y取得最大值。 四、正弦函数图像 正弦函数的图像是一条具有一定周期的曲线，它的函数表达式为y=A*sin（Bx+C），其中A表示振幅，B表示周期，C表示初相。 五、余弦函数图像 余弦函数的图像与正弦函数的图像大致相同，它的函数表达式为y=A*cos（Bx+C），其中A表示振幅，B表示周期，C表示初相。 六、指数函数图像 指数函数的图像是一条上升或下降的曲线，它的函数表达式为y=A*B^x，其中A是振幅，B是指数，当B>1时，图像会向上钝化；当B<1时，图像会向下钝化。 七、反指数函数图像 反指数函数的图像是一条上升或下降的曲线，它的函数表达式为y=A*B^(-x)，其中A是振幅，B是指数，当B>1时，图像会向上钝化；当B<1时，图像会向下钝化。 八、对数函数图像 对数函数的图像是一条上升曲线，它的函数表达式为y=A*ln （x），A表示振幅，此时x的取值范围是大于0的正数。 九、反对数函数图像 反对数函数的图像也是一条上升曲线，它的函数表达式为 y=A*ln（1/x），A表示振幅，此时x的取值范围是大于0的正数。 十、双曲线函数图像 双曲线的图像是一条上升或下降的曲线，它的函数表达式为 y=A*sinh（Bx+C），其中A表示振幅，B表示周期，C表示初相。 十一、指数-双曲线函数图像 指数-双曲线函数的图像也是一条上升或下降的曲线，它的函数表达式为y=A*e^（Bx+C），A表示振幅，B表示周期，C表示初相。 十二、反双曲线函数图像 反双曲线函数的图像也是一条上升或下降的曲线，它的函数表 函数图象变换小结 1、平移变换 函数y ＝ f（x）的图像向右平移a个单位得到函数y ＝ f（x - a）的图像；向上平移b个单位得到函数y ＝f（x）+ b 的图像；左平移a个单位得到函数y ＝ f（x + a）的图像；向下平移b个单位得到函数y ＝f（x）- b 的图像（a ，b＞0）。 2、伸缩变换： （1）函数 y ＝ f（x）的图像上的点保持横坐标不变纵坐标变为原来的k 倍（0＜k＜1时，缩；k ＞1时，伸）得到函数＝ k f（x）的图像； （2）函数 y ＝ f（x）的图像上的点保持纵坐标不变横坐标变为原来的1/k倍（0＜k＜1时，伸；k＞1时，缩）得到函数＝ f（k x）的图像（k＞0，且k ≠1）。 3、对称变换 （1）函数y ＝ f（x）的图象关于y轴对称的图像为 y ＝f（－x）；关于x轴对称的图像为y ＝－f（x）；关于原点对称的图像为y ＝－f（－x）。 （2）绝对值问题 ①函数 y ＝f（x）x轴及其上方的图像保持不变，把下方图像关于x轴对称的翻折到上方，再把下方的图像去掉得到函数＝| f（x）的图像； ②函数 y ＝f（x）y轴及其右侧的图像保持不变，把左侧图像去掉，再把右侧图像关于y轴对称的翻折到左侧得到函数 y ＝f（| x|）的图像； ③函数y ＝ f（x）先用第②步的方法得到函数y ＝f（| x|）的图像，再平移a个单位得到函数y ＝f （|x－a|）图象。 我们还可以得到下面的结论： （1）函数y ＝ f（x）与y ＝f（2a－x）图象关于直线x = a 对称； （2）函数y ＝ f（x）与y ＝2b－f（x）图象关于直线y = b 对称； （3）函数y ＝ f（x）与y ＝2b－f（2a－x）图象关于点（a，b）对称； 附注： 下面是有关函数图象自身的对称性的一些结论，我们把它放在这里来对比一下： （1）若函数 f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝f（a －x）成立，则函数 f（x）的图像关于x=a对称； （2）若函数 f（x）满足：对任意的实数x，都有f（bx）＝f（2a －bx）成立，则函数 f（x）的图像关于x=a对称；（b≠0） （3）若函数 f（x）满足：对任意的实数x，都有f（a + x）＝－f（a －x）成立，则函数 f（x）的图像关于点(a,0）对称； 高中数学函数图像总结 函数图像是高中数学中重要的内容之一，它能够帮助我们更直观地理解函数的性质和变化规律。下面是关于函数图像的总结，总结从三个方面展开：基本性质、常见函数图像和绘制方法。 首先，我们来讨论一下函数图像的基本性质。函数图像通常由一系列的点连成曲线或折线来表示，这些点表示函数的各个输入输出值。函数图像的坐标系上，横轴表示自变量，纵轴表示函数的值。函数图像可以分为连续和非连续两类，连续函数图像上的任意两个点之间都是连线的，而非连续函数图像上的点之间存在间断。在函数图像中，曲线的斜率表示函数的变化速率，斜率的正负表示函数的增减性，斜率的大小表示函数的斜率的大小。 接下来，我们来讨论一下常见的函数图像。常见的函数图像有直线、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。直线函数图像是一条直线，它的一般方程为y=kx+b，其中k和b为 常数。二次函数图像是一个抛物线，它的一般方程为 y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数。指数函数图像是一条递 增的曲线，它的一般方程为y=a^x，其中a为大于0且不等于 1的常数。对数函数图像是一条递增的曲线，它的一般方程为 y=log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数。三角函数图 像包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们都是周期性的曲线。 最后，我们来讨论一下函数图像的绘制方法。函数图像的绘制可以通过描点、画线或使用计算机软件来完成。描点法是通过 取一些输入值，计算函数的输出值，然后在坐标系上标出这些点，再用直线或曲线将这些点连起来。画线法是通过分析函数的性质和关键点，然后用直线或曲线将这些关键点连接起来。使用计算机软件可以更快速和准确地绘制函数图像，通过输入函数的表达式，计算机可以自动绘制出函数的图像。 综上所述，函数图像是高中数学中重要的内容之一。了解函数图像的基本性质、常见函数图像和绘制方法，可以帮助我们更好地理解和应用函数。在学习和应用过程中，我们可以通过描点法、画线法或使用计算机软件来绘制函数图像，以更直观地展示函数的性质和变化规律。 高中数学函数的图像常用结论总结 一、函数图像间的变换 1.平移变换 左加右减，上加下减。 2.对称变换 （1）与的图像关于y轴对称； （2）与的图像关于x轴对称； （3）与的图像关于原点对称； （4）与的图像关于直线y=x对称； （5）的图像：可将的图像在x轴下方的部分关于x轴翻转180°，其余部分不变； （6）的图像：可先作出的图像，再利用偶函数的图像关于y轴对称，作出的图像。 3.伸缩变换 （1）的图像，可将的图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到； （2）的图像，可将的图像上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到。 二、函数的对称性 1.函数的图象的对称性（自身）： 定理1:函数的图象关于直对称 特殊的有： （1）函数的图象关于直线对称。 （2）函数的图象关于轴对称（偶函数）。 （3）函数是偶函数关于对称。 定理2：函数的图象关于点对称 特殊的有： （1）函数的图象关于点对称。 （2）函数的图象关于原点对称（奇函数）。 （3）函数是奇函数关于点对称。 定理3：（性质） （1）若函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 （2）若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。 （3）若函数y = f (x) 图像同时关于点 (a,c)和点B(b,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。 （4）若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。 2.两个函数图象的对称性: （1）函数与函数的图象关于直线(即轴)对称。 （2）函数与函数的图象关于直线对称。 特殊地:与函数的图象关于直线对称 （3）函数的图象关于直线对称的解析式为。 （4）函数的图象关于点对称的解析式为。 （5）函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。 函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。 函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。 函数的像与变换特征 函数的像和原像是数学中一个常见的概念，涉及到函数的基本性质和应用。在本文中，我们将探讨函数的像与原像的定义、性质以及它们在函数变换中的重要作用。 一、函数的像与原像的定义 1.像的定义： 对于一个函数 f，如果 x ∈ A，y ∈ B，且 y = f(x)，则称 y 是 x 在函数 f 下的像，记为 y = f(x)，其中 x 称为原像，y 称为像。 2.原像的定义： 对于一个函数 f，如果 y ∈ B，存在 x ∈ A，使得 y = f(x)，则称 x 是 y 在函数 f 下的原像，记为 x = f^(-1)(y)，其中 y 称为像，x 称为原像。 二、函数像与原像的性质 1. 函数的像不一定是唯一的，也就是说，对于同一个函数 f 和同一个原像 x，可能会存在多个不同的像。 2. 函数的原像也不一定是唯一的，也就是说，对于同一个函数 f 和同一个像 y，可能会存在多个不同的原像。 3. 函数的像和原像具有对称性，即如果 y 是 x 在函数 f 下的像，则x 是 y 在函数 f^(-1) 下的像。这也就是说，如果 f 是一一映射（或叫双射），则 f 的像和原像是唯一的，且 f^(-1) 也是函数。 三、函数变换中的像和原像 像和原像在函数变换中具有重要的作用。我们以常见的函数变换为例，来说明它们的作用。 1.平移变换 平移变换指将函数图像沿着 x 或 y 方向平移一定的距离。对于函数 y = f(x)，如果将它沿着 x 轴平移 h 个单位，那么其新的函数为 y = f(x-h)。这时，原来的像 y 对应的新像为 y' = f(x-h)，原来的原像 x 对应的 新原像为 x' = x + h。 2.翻转变换 翻转变换包括对称、反函数等。对于函数 y = f(x)，如果将它关于 y 轴对称，那么其函数变为 y = -f(x)，此时，原来的像 y 对应的新像为 y' = -y，原来的原像 x 对应的新原像不变。 3.伸缩变换 伸缩变换指将函数图像沿着 x 或 y 方向进行拉伸或压缩。对于函数 y = f(x)，如果将它沿着 x 方向缩放 a 倍，那么其新函数为 y = f(x/a)， 此时，原来的像 y 对应的新像为 y' = y，原来的原像 x 对应的新原像为 x' = x * a。 四、总结 函数的像与原像是一个在数学中非常常见的概念，不仅对于基本的 函数性质和性质有着深刻的影响，也在函数的变换中有着重要的应用。 高中数学各类函数图像规律及变换规律和试(修复的) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 指数函数图像规律： 对数函数图像规律： 幂函数图像规律 在直线x=1的右侧，随着a 值增大，函数图像从下到上逐 渐仰起，且图像总过点（1，1）。 根据第一象限图像规律再结 合奇偶性即可容易的画出任 一幂函数图像。把a化成 形式，n为偶非奇非偶；n为 奇m为奇则奇 m为偶则偶 a＞0增 a＜0减 a＞1陡 a＜1缓 y x() = x 3 2 g1x() = x1 f1x() = x0 y x() = x3 y x() = x2 y x() = x 4 5 y x() = x 3 5 y x() = x2 y x() = x1 y x() = x 2 3 () y x() = x 1 3 () 1 1 1 -1 -1 以下为对数函数图像：从第一象限看从左 到右依次是 从第一象限内的图像随着a的增加由左向 右偏移，a＜0时是减函数，a＞0时是增函 数。 y=a x在第一象限内的图像随着a 值的增加由下向上扬起，a＜0时 为减函数，a＞0时是增函数。 w x() = 3 2 ()x v x() = 2x u x() = 1x t x() = 4 5 ()x s x() = 3 5 ()x 1 -22 x y 幂函数 图像规 律 1 1 Y=a x与y=a-x=( a 1 )x的 图像关于y轴对称 的图像关于x轴对称 函数图像变换规律平移变换 绝对值变换 +b 上 下 平 移 正 上 负 下 上 下 平 移 正 上 负 下 左 右 平 移 正 左 负 右 左 右 平 移 正 左 负 右 a＞0向左平 移a 个单位-a b＞0向上平 移b个单位 b -a b -a y x() = x3 + 1 y x() = x3 + 1 y x() = x3 + 1原来的 左侧换 下侧图 h x() = 2∙x2 + x 1 g x() = 2∙x2 + x 1 f x() = 2∙x2 + x 1 函数图像总结 函数图像总结 函数图像总结 一基本函数图像 1y=kx(x≠0)2y=kx+b(k≠0)3y4yax2bxc(a0)5yxa6yxk(k0)xk(k0)7yax(a 0,a1)x8ylogax(a0,a1) 二抽象图像平移 f(x）f(x+1)f(x）f(x-1)f(x）f(x)+1f(x）f(x)-1f(x)f(2x)f(x)2f(x) f(x）f(2x+2)y=f（-x）变成y=f（-x+2）练习：cosxcos2xcos2xcos （2x+4）cosxcos2x+4三图像的变换 1f(x）f(|x|)保留y轴右边的，左边关于右边y轴对称2f(x）|f(x)| 保留x轴上方的，下方关于x轴对称3f(x）f(-x）y轴对称4f(x）-f(x)x 轴对称5f(x）-f(-x）原点对称 6f(x）f（|x+1|）先根据1方法变成f（|x|）,在向左平移一个单位得到f（|x+1|）7f(x）f（|x|+1）先向左平移一个单位得到f（x+1），再根据1方法变成f（|x|+1）8f(x)与f1(x)的图象关于直线yx对称联想点（x,y）,(y,x)9f(x)与f(2ax)的图象关于点(a，0)对称egf（x）= 2x与g（x）=- 2x关于对称 一、函数yf(x)与函数yf(x)的图象关系 函数yf(x)的图象是由yf(x)的图象经沿y轴翻折180°而得到的（即关于y轴对称）。注意它与函数yf(x)满足f(x)f(x)的图象是不同的，前者代表两个函数，后者表示函数yf(x)本身是关于y轴对称的。 （二）伸缩变换及其应用： 函数yaf(bx)的图像可以看作是由函数yf(x)的图像先将横坐标伸长(|b|＜1）或缩短(|b|＞1）到原 来的 1倍，再把纵坐标伸长(|a|＞1）或缩短(|a|＜1）到原来的|a|倍即可得到。如：|b|1的图像x1要求：1会画y=|x+1|y=- 2会画f（x）=lg|x|以及f（x）=|lgx|3会画f（x）=|lg|x+1||以及f(x)= x2-4|x|+5f(x)=| x2-2x-3| 二1由图像可知f（x+1）为偶函数对称轴为2由图像可知f（x+1）为奇函数关于点（，）对称Eg、对a，bR，记max{a，b}＝(A)0(B) a,ab，函数f（x）＝max{|x＋1|，|x－2|}(xR)的最小值是 b,a＜b13(C)(D)3 901（选讲）1、yf(x)绕原点顺时针方向旋转；yf（x）12、yf(x)；yf （x）绕原点逆时针方向旋转9000 yQP(a,b)(yf(x)yQ1xP1(b,a)(yf1(x))P(a,b)(yf(x)0P1(b,a)1 (yf(x))0（乙） 高中数学函数图象的简单变换知识点总结 高中阶段，函数图象的简单变换有：平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换。 一、函数图象的平移变换 ①左右平移变换：()y f x =与()y f x a =+ ()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向左平移个单位时，向右平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向右平移一个单位得到； 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。 ②上下平移变换 ()()00a a a a y f x y f x a ><=−−−−−−−−−−−→=+时，向上平移个单位时，向下平移个单位 如：1y x =+的图象可由y x =的图象向上平移一个单位得到。 1y x =-的图象可由y x =的图象向下平移一个单位得到。 【注】变换的口诀为：“上加下减，左加右减”。 二、函数图象的对称变换 ①()()y y f x y f x =−−−−−−−−− →=-作关于轴对称的图象 ②()()x y f x y f x =−−−−−−−−− →=-作关于轴对称的图象 ③()()y f x y f x =−−−−−−−−−→=--作关于原点对称的图象 如：（i ）()sin sin y x y x ϕ=→=+ ①0ϕ>时，把sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得到； ②0ϕ<时，把sin y x =的图象向右平移ϕ个单位得到； （ii ）已知()2f x x x =-，则()()2g x f x x x =-=+的图象可由()2f x x x =- 的图象做关于y 轴对称的图象得到；函数()h x ()2f x x x =-=-+的图象可由 ()2f x x x =-的图象作关于x 轴对称后的图象得到；函数()()u x f x =--= 2x x --的图象可由()2f x x x =-的图象做关于坐标系原点对称的图象得到。 三、函数图象的翻折变换 ①()()x x x x y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−−−→=轴上方的图象，保持不变轴下方的图象，沿轴对称地翻折到轴上方 。 ②()()y y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→=轴右侧的图象，保持不变 轴左侧的图象去掉，并把轴右侧的图象翻折到轴左侧。 高一数学必修一函数图像知识点总结 高一数学必修一函数图像知识点总结 1 知识点总结： 本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。 一、函数的单调性 1、函数单调性的定义 2、函数单调性的判断和证明： (1)定义法 (2)复合函数分析法 (3)导数证明法 (4)图象法 二、函数的奇偶性和周期性 1、函数的奇偶性和周期性的定义 2、函数的奇偶性的判定和证明方法 3、函数的周期性的判定方法 三、函数的图象 1、函数图象的作法 (1)描点法 (2)图象变换法 2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。 常见考法 本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。 误区提醒 1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域 优先的原则”。 2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。 3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。 4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。 5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。 高一数学必修一函数图像知识点总结 2 一、函数的定义域的常用求法： 1、分式的分母不等于零; 2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1; 5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2; 6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法： 1、定义法; 2、换元法; 3、待定系数法; 4、函数方程法; 5、参数法; 6、配方法 三、函数的值域的常用求法： 1、换元法; 2、配方法; 3、判别式法; 4、几何法;高中数学中的三角函数与图像变换
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