高中数学教案：函数的应用与图像变换
高中数学教案：函数的应用与图像变换
一、引言
函数是高中数学中的重要概念，它帮助我们描述和解决各种实际问题。函数的应用与图像变换是高中数学教学的重要内容之一。本文将围绕这个主题展开，介绍函数的应用领域以及图像变换的相关知识，以帮助学生更好地理解和应用函数。
二、函数的应用领域
1. 经济学中的函数应用
函数在经济学中有广泛的应用。例如，成本函数和需求函数等可用于分析企业的生产与销售情况，帮助企业做出更好的决策。另外，经济学中的边际函数和弹性函数等也是重要的概念，它们有助于我们理解市场的供求关系以及市场的变动。
2. 物理学中的函数应用
函数在物理学中的应用也非常广泛。例如，速度函数和加速度函数等可以描述运动的规律，帮助我们分析物体的运动轨迹和速度变化。另外，力函数和功函数等也是描述物体相互作用的重要工具，它们帮助我们研究物体的动力学性质。
3. 生物学中的函数应用
函数在生物学中的应用也非常丰富多样。例如，生长函数和代谢函数等可以描述生物体的生长和代谢规律，帮助我们了解生物体的生长发育和能量转化过程。另外，生物学中的激素函数和酶函数等也是重要的研究对象，它们可以帮助我们理解生物体内部的调节机制和反应速率。
三、图像变换
函数的图像变换是数学中一个非常有意思的应用领域。通过对函数进行变换，
我们可以观察到函数图像的形状和位置发生变化，从而更好地理解函数的性质和行为。
1. 平移变换
平移变换是最基本的图像变换之一。当函数图像沿着 x 轴或 y 轴方向发生平移时，函数的形状和位置都会发生变化。平移变换可以通过函数的函数式来实现，例如，对于函数 y=f(x)，如果将 x 替换为 x-h，那么函数图像将沿 x 轴向右平移 h 个
单位，如果将 y 替换为 y-k，那么函数图像将沿 y 轴向上平移 k 个单位。
2. 缩放变换
缩放变换可以改变函数图像的尺寸。当函数图像被缩放时，函数的振幅和周期
都会发生变化。缩放变换可以通过函数的函数式来实现，例如，对于函数 y=f(x)，
如果将 x 替换为 cx，那么函数图像将在 x 轴上按比例缩放，其中 c 是一个常数。
同样地，如果将 y 替换为 cy，那么函数图像将在 y 轴上按比例缩放。
3. 翻转变换
翻转变换可以改变函数图像的方向。当函数图像发生翻转时，函数的增减性和
极值点的位置都会发生变化。翻转变换可以通过函数的函数式来实现，例如，对于函数 y=f(x)，如果将 x 替换为 -x，那么函数图像将绕 y 轴发生翻转，即左右对称。同样地，如果将 y 替换为 -y，那么函数图像将绕 x 轴发生翻转，即上下对称。
四、结语
函数的应用与图像变换是高中数学教学中的重要内容。通过学习函数的应用，
我们可以将抽象的数学概念与实际问题相结合，更好地分析和解决各种实际问题。通过学习图像变换，我们可以通过改变函数的形状和位置来探索函数的性质和行为。希望本文所介绍的内容能够帮助学生更好地理解和应用函数，提高数学学习的效果。
高中数学中的函数图像与变换总结
高中数学中的函数图像与变换总结 函数图像与变换是高中数学中重要的内容之一，它涵盖了函数的基本概念、性质以及图像的变换。通过研究函数图像与变换，我们可以更好地理解函数的特性和规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方法。 一、函数的基本概念与性质 函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。在函数的定义中，我们常常用自变量表示输入，用因变量表示输出。函数的定义域和值域分别表示自变量和因变量的取值范围。 函数的性质包括奇偶性、周期性和单调性等。奇偶性指函数关于原点对称的特性，如果函数满足f(-x) = -f(x)，则为奇函数；如果函数满足f(-x) = f(x)，则为偶函数。周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性，如正弦函数和余弦函数都是周期函数。单调性是指函数在定义域内的取值变化趋势，可以分为增函数和减函数两种。 二、函数图像的基本特征 函数图像是函数在平面直角坐标系上的几何表现，它可以通过绘制函数的图像来观察函数的性质和规律。函数图像的基本特征包括图像的对称性、图像的开口方向和图像的拐点等。 对称性是指函数图像关于某个轴或点对称的特性。例如，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。开口方向是指函数图像在无穷远处的趋势，可以分为上开口和下开口两种。拐点是指函数图像在某一点上的曲线方向发生突变的点，它对应了函数的极值点或拐点。 三、函数图像的变换
函数图像的变换是指通过对函数进行平移、伸缩、翻转等操作，得到新的函数 图像。常见的函数图像变换包括平移变换、纵向伸缩变换和横向伸缩变换等。 平移变换是指将函数图像沿着x轴或y轴方向移动一定的距离。当函数图像向 左平移a个单位时，可以通过将自变量x替换为x-a得到新的函数图像；当函数图 像向上平移b个单位时，可以通过将因变量y替换为y-b得到新的函数图像。 纵向伸缩变换是指将函数图像在y轴方向上进行伸缩。当函数图像纵向压缩为 原来的k倍时，可以通过将因变量y替换为y/k得到新的函数图像；当函数图像纵 向拉伸为原来的k倍时，可以通过将因变量y替换为ky得到新的函数图像。 横向伸缩变换是指将函数图像在x轴方向上进行伸缩。当函数图像横向压缩为 原来的k倍时，可以通过将自变量x替换为kx得到新的函数图像；当函数图像横 向拉伸为原来的k倍时，可以通过将自变量x替换为x/k得到新的函数图像。 通过函数图像的变换，我们可以更好地理解函数的性质和规律。同时，函数图 像的变换也为解决实际问题提供了数学工具和思维方法。 总结起来，高中数学中的函数图像与变换是一门重要的学科，它涵盖了函数的 基本概念、性质以及图像的变换。通过研究函数图像与变换，我们可以更好地理解函数的特性和规律，为解决实际问题提供数学工具和思维方法。函数图像的基本特征和变换方法是我们学习函数图像与变换的重要内容，通过对函数图像的观察和分析，我们可以深入理解函数的性质和规律，提高数学解题的能力和思维能力。希望通过本文的总结，读者能够对高中数学中的函数图像与变换有更深入的了解和认识。
高中数学二次函数的图像变换规律与应用
高中数学二次函数的图像变换规律与应用 二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。掌握二次函数的图像变换规律以及应用，对于解题和理解数学概念都非常有帮助。本文将详细介绍二次函数的图像变换规律，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。 一、二次函数的图像变换规律 1. 平移变换 平移变换是指将二次函数图像沿着坐标轴的方向进行移动。对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过改变a、b、c的值来实现。 例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像向右平移2个单位。根据平移变换的规律，我们只需将x的值减去2，即可实现平移。因此，新的二次函数为y = (x-2)^2。 2. 纵向拉伸和压缩 纵向拉伸和压缩是指将二次函数图像在纵向上进行拉长或压缩。对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，纵向拉伸和压缩可以通过改变a的值来实现。 例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在纵向上拉伸2倍。根据纵向拉伸和压缩的规律，我们只需将a的值改为2，即可实现纵向拉伸。因此，新的二次函数为y = 2x^2。 3. 横向拉伸和压缩 横向拉伸和压缩是指将二次函数图像在横向上进行拉长或压缩。对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，横向拉伸和压缩可以通过改变x的值来实现。
例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在横向上压缩为原来的一半。 根据横向拉伸和压缩的规律，我们只需将x的值改为原来的两倍，即可实现横向压缩。因此，新的二次函数为y = (1/2)x^2。 二、二次函数图像变换的应用 1. 最值问题 二次函数的图像变换可以帮助我们解决最值问题。例如，考虑二次函数y = x^2 + 2x + 1，我们可以通过平移变换将其图像向左平移1个单位，得到新的二次 函数y = (x+1)^2 + 2x + 1。这样，我们可以发现新的二次函数的最小值为1，即原 函数的最小值为1-1=0。因此，原函数的最小值为0。 2. 相交问题 二次函数的图像变换可以帮助我们解决相交问题。例如，考虑二次函数y = x^2和直线y = 2x + 1，我们可以通过横向拉伸和压缩变换将二次函数的图像压缩 为原来的一半，得到新的二次函数y = (1/2)x^2。这样，我们可以发现新的二次函 数和直线在两个交点处相交。因此，原函数和直线在两个交点处相交。 3. 面积问题 二次函数的图像变换可以帮助我们解决面积问题。例如，考虑二次函数y = x^2和x轴之间的面积，我们可以通过纵向拉伸和压缩变换将二次函数的图像拉伸 为原来的两倍，得到新的二次函数y = 2x^2。这样，我们可以发现新的二次函数和 x轴之间的面积是原来的两倍。因此，原函数和x轴之间的面积是原来的一半。 通过以上的例子，我们可以看到二次函数的图像变换规律和应用是非常有用的。掌握这些规律和应用，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数，解决各种数学问题。因此，我们在学习二次函数时，要注重理解和掌握其图像变换规律，并通过具体的题目进行练习和应用，以提升解题能力和数学思维。希望本文能对高中学生和他们的父母有所帮助。
高中数学中的三角函数与图像变换
高中数学中的三角函数与图像变换 在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，它与图像变换密切相关。通过研 究三角函数的性质和图像变换的规律，我们可以更深入地理解数学的美妙之处。 一、三角函数的基本性质 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。它们的定义域是实数集，值 域是[-1,1]。其中，正弦函数的图像是一条连续的波浪线，余弦函数的图像是一条 连续的曲线，正切函数的图像是一条在某些点上无限接近于正无穷或负无穷的曲线。这些函数在数学和物理中有广泛的应用，如波动现象、周期性运动等。 二、三角函数的图像变换 图像变换是指通过一定的规则对函数的图像进行平移、伸缩、翻转等操作，从 而得到新的图像。在三角函数中，平移、伸缩和翻转是常见的图像变换方式。 1. 平移变换 平移变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向移动一定的距离。对于三角函 数而言，平移变换可以改变函数的图像在坐标平面上的位置。例如，对于正弦函数y=sin(x)而言，将其平移向右2个单位可以得到y=sin(x-2)，而平移向上3个单位可 以得到y=sin(x)+3。平移变换可以使函数的图像在坐标平面上上下左右移动，从而 改变函数的位置。 2. 伸缩变换 伸缩变换是指将函数的图像在横轴或纵轴方向上进行拉伸或压缩。对于三角函 数而言，伸缩变换可以改变函数的图像在坐标平面上的形状。例如，对于正弦函数y=sin(x)而言，将其在横轴方向上压缩一半可以得到y=sin(2x)，而在纵轴方向上拉 伸2倍可以得到y=2sin(x)。伸缩变换可以使函数的图像在坐标平面上变得更加宽 或更加窄，从而改变函数的形状。
3. 翻转变换 翻转变换是指将函数的图像沿着横轴或纵轴方向进行翻转。对于三角函数而言，翻转变换可以改变函数的图像在坐标平面上的方向。例如，对于正弦函数y=sin(x) 而言，将其沿着横轴翻转可以得到y=-sin(x)，而沿着纵轴翻转可以得到y=sin(-x)。翻转变换可以使函数的图像在坐标平面上上下或左右翻转，从而改变函数的方向。 三、三角函数与图像变换的应用 三角函数与图像变换的应用非常广泛。在物理学中，三角函数的图像变换可以 用来描述波动现象，如声波、光波等。在工程学中，三角函数的图像变换可以用来设计和分析电路、信号处理等。在计算机图形学中，三角函数的图像变换可以用来生成动画、模拟物理效果等。 总结起来，高中数学中的三角函数与图像变换是一个有趣且重要的话题。通过 研究三角函数的基本性质和图像变换的规律，我们可以更深入地理解数学的美妙之处，并将其应用于实际问题中。无论是在物理、工程还是计算机领域，三角函数与图像变换都发挥着重要的作用，为我们解决问题提供了有力的工具。让我们一起探索数学的奥秘，发现其中的乐趣和应用价值吧！
高中数学第10讲 函数图像及其变换(教案)新人教版必修1
函数图像与变换 教学目标：掌握常见函数图像及其性质〔高考要求B 〕，熟悉常见的函数图像〔平移、对称、翻折〕变换〔高考要求B 〕. 教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折〞等手段进行函数图像变换。 教学过程： 一.知识要点： 1.常见函数图像及其性质： 〔1〕平移变换： ①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向 平移a 个单位，〔左+右—〕. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向 平移b 个单位，(上+下—) ③假设将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④假设将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 〔2〕对称变换： ①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于y 轴对称; 假设f (－x )=f (x ),那么函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称. ③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 假设f (－x )=－f (x ),那么函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b )对称. 假设f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))那么函数自身的图象关于直线x =a 对称. 假设函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-= 〔3〕翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习： 1.假设把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 那么函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y ＝f (x －1)－1 B.y ＝f (x ＋1)－1 C.y ＝f (x －1)＋1 D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.函数y =f (x )的图象如图2—3，那么以下函数所对应的图象中，不正确的选项是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x )D.y =－f (x )
高中数学教案：函数图像的变换及性质
高中数学教案：函数图像的变换及性质 一、引言 在高中数学教学中，函数图像的变换及性质是学习函数的重要内容之一。理解函数图像的变换规律和性质，有助于学生更好地理解函数的概念、掌握函数的运算和图像的变化规律，进一步提高数学思维和解题能力。本教案将介绍函数图像的平移、伸缩和翻转等变换，并探究函数的奇偶性、周期性和单调性等性质。 二、函数图像的平移 1. 平移的概念与特点 平移是指保持图形形状不变，仅仅改变位置的变换方式。在函数图像中，平移可以通过改变函数的自变量（x）和因变量（y）的关系来实现。平移有平行于x轴的水平平移和平行于y轴的垂直平移两种形式。 2. 平移的公式与例题 水平平移的公式为f(x ± a)，其中a表示平移的距离和方向。垂直平移的公式为f(x) ± a，其中a表示平移的距离和方向。例如，对于函数y = x²-1，向右平移2个单位的函数表达式为y = (x-2)²-1。 三、函数图像的伸缩 1. 伸缩的概念与特点 伸缩是指通过改变图形的尺寸，保持图形形状与轴线关系不变的变换方式。在函数图像中，伸缩可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的比例系数来实现。伸缩有水平方向的横向伸缩和垂直方向的纵向伸缩两种形式。 2. 伸缩的公式与例题
横向伸缩的公式为f(kx)，其中k表示伸缩的比例系数。纵向伸缩的公式为 kf(x)，其中k表示伸缩的比例系数。例如，对于函数y = x²-1，横向伸缩2倍的函 数表达式为y = (1/2)x²-1，纵向伸缩2倍的函数表达式为y = 2(x²-1)。 四、函数图像的翻转 1. 翻转的概念与特点 翻转是指通过改变图形的方向，保持图形形状不变的变换方式。在函数图像中，翻转可以通过改变函数的自变量（x）或因变量（y）的正负号来实现。翻转有水平方向的左右翻转和垂直方向的上下翻转两种形式。 2. 翻转的公式与例题 左右翻转的公式为f(-x)，即将函数关于y轴翻转。上下翻转的公式为-f(x)，即 将函数关于x轴翻转。例如，对于函数y = x²-1，关于y轴翻转的函数表达式为y = (-x)²-1，关于x轴翻转的函数表达式为y = -(x²-1)。 五、函数的奇偶性 1. 奇函数的特点与例题 奇函数是指对于任意的x，有f(-x) = -f(x)的函数。奇函数关于原点对称，图像 关于原点对称。例如，y = x³为奇函数。 2. 偶函数的特点与例题 偶函数是指对于任意的x，有f(-x) = f(x)的函数。偶函数关于y轴对称，图像 关于y轴对称。例如，y = x²为偶函数。 六、函数的周期性 1. 周期函数的特点与例题
高中数学探究函数的性质和图像的变化规律
高中数学探究函数的性质和图像的变化规律函数作为数学中重要的概念之一，是数学建模和问题求解中常见的 工具，具有很强的实际应用价值。本文将探究函数的性质以及图像的 变化规律，帮助高中数学学习者更好地理解和应用函数。 一、函数的性质 1. 定义域和值域 函数的定义域是指函数输入的取值范围，也即自变量的取值范围。 而函数的值域则是指函数输出的值所在的范围，也即因变量的取值范围。通过研究函数的定义域和值域，可以帮助我们确定函数的可行性 和实际应用的范围。 2. 奇偶性 函数的奇偶性是指函数的对称性。如果对于函数中的任意一个值x，有f(-x) = f(x)成立，则称该函数为偶函数；如果对于函数中的任意一个 值x，有f(-x) = -f(x)成立，则称该函数为奇函数。通过研究函数的奇偶性，可以帮助我们简化计算和图像的绘制。 3. 单调性 函数的单调性是指函数在定义域内的增减规律。如果对于函数中的 任意两个不同的值x1和x2，有x1 < x2蕴含着f(x1) < f(x2)成立，则称 该函数为严格递增函数；如果对于函数中的任意两个不同的值x1和x2，
有x1 < x2蕴含着f(x1) > f(x2)成立，则称该函数为严格递减函数。通过研究函数的单调性，可以帮助我们判断函数的趋势和求解不等式。 二、图像的变化规律 1. 平移变换 函数图像的平移是指将函数图像沿着坐标轴平行移动的操作。平移可以分为水平平移和垂直平移。通过水平平移可以改变函数图像的位置，通过垂直平移可以改变函数图像与坐标轴的相对位置。 2. 翻折变换 函数图像的翻折是指将函数图像围绕某个点或某条线进行对称的操作。常见的翻折变换包括对称于x轴、y轴、原点等。通过翻折变换可以改变函数图像的形态和特征。 3. 缩放变换 函数图像的缩放是指将函数图像按比例进行拉伸或压缩的操作。缩放操作可以分为水平缩放和垂直缩放。通过缩放变换可以改变函数图像的幅度和形状。 通过以上对函数性质和图像变化规律的探究，我们可以更进一步地理解和应用函数。在实际问题中，通过分析函数的性质可以帮助我们确定相关变量的范围和关系，通过研究函数图像的变化规律可以辅助我们解决函数相关的实际问题。
高中数学教案：函数与图像的关系
高中数学教案：函数与图像的关系函数与图像的关系 一、引言 函数是数学中非常重要的概念之一，在高中数学教学中占据着重要地位。理解 函数与图像之间的关系对于学生掌握数学知识和解决实际问题至关重要。本文将以“函数与图像的关系”为主题，探讨如何有效地教授和学习这一内容。 二、基础知识讲解 1. 函数的定义和表示方法 在教学过程中，首先需要引导学生了解函数的定义：对于每一个自变量，都存 在唯一确定的因变量与之对应。然后介绍不同形式表示函数的方法，包括表格、显式或隐式公式、文字描述以及图像等方式。 2. 函数与坐标轴 接下来，我们要让学生理解函数与坐标轴之间的关系。通过示意图和具体例子，帮助他们明白自变量和因变量在坐标轴上所处位置以及相互联系。 3. 常见函数及其特点 介绍完基础概念后，我们可以引入几种常见函数类型，并分析它们与图像之间 的关系。 - 线性函数：直线型函数在坐标平面上呈现直线特征。通过观察斜率和截距的 变化，学生可以明白图像在坐标系中如何表现。 - 二次函数：抛物线型函数对应的图像形状各异。通过调整系数值，学生可以 观察到图像的抬头和低头以及开口方向等特点。
- 反比例函数：倒数函数的图像在坐标轴上形成双曲线。让学生理解分母不为零的限制条件，并帮助他们理解曲线表现出来的渐进性。 三、函数与图像实例分析 1. 实例一：温度与时间的关系 假设我们要研究某地区一天内温度变化情况，这就涉及了时间作为自变量、温度作为因变量。通过记录每个时间点对应的温度值，并将数据绘制成折线图，学生可以观察到整个过程中温度如何随时间而改变。 2. 实例二：消费金额与销售数量之间的关系 考虑一个商店销售问题，我们希望了解顾客购买商品时消费金额与销售数量之间是否存在某种规律。通过收集多个购买记录并绘制散点图，可以帮助学生发现两者之间可能存在的线性或非线性关系。 3. 实例三：运动员的速度与时间的关系 以一个跑步运动员为例，我们可以测量不同时刻他们跑过的路程，并根据数据制作速度与时间的图像。通过观察图像变化，学生能够理解运动员在不同时段内速度的变化情况。 四、探究活动 为了进一步培养学生对函数与图像关系的理解能力，我们可以设计一些探究活动。 1. 图像变换： 1.1 垂直方向移动：让学生尝试将图像上下移动，观察函数表达式中常数项对于图像位置的影响。
高中数学函数的图像教案人教版必修一
函数的图像 考纲要求 1.掌握基本函数的特征，能熟练运用基本函数的图像解决问题 2.掌握图像的作法，描点法和图像变换法 高考趋势 图像是函数刻画变量之间的函数关系的一个重要途径，是研究函数性质的一种常用方法，是数形结合的基础和依据预测在今后的高考中将会加大对函数图像考查的力度 知识回顾 一.图像变换的三种形式 1.平移变换 y=f(x±a)的图像，可由y=f(x)的图像向左或向右平移a个单位得到；y=f(x)±b的图像,可由y=f(x)的图像向上或向下平移b个单位得到； 2.对称变换 y=f(-x)与y=f(x),y=-f(x)与y=f(x),y=-f(-x)与y=f(x),分别关于y 轴,x轴,原点对称 函数y=f(x)，则函数y=f(a-x)与函数y=f(x- a)关于直线x= a对称y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点(a,b)成中心对称 3.伸缩变换 y=af(x)(a>0)的图像，可将y=f(x)图像上每点的纵坐标缩到原来的a 倍 y=f(ax)(a>0)的图像，可将y=f(x)图像上每点的横坐标缩到原来的
1/a 倍 二.函数图象的对称性： 1.若函数y=f(x)满足f(-x) =f(x)，则函数图象关于y 轴对称 2.若函数y=f(x)满足f(-x) =-f(x)，则函数图象关于原点对称 3.若函数y=f(x)对定义域内的一切x 均有f(m-x)=f(m+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=m 对称 基础练习A 1. 已知函数f(x)=log 21x 的图像上有一点P ，且点的横坐标为4，则点 P 的纵坐标为________ 2. 为了得到函数y=23+x -1的图像，只需把函数y=2x 的图像上所有的点向左平移_______个单位长度，再向下平移_______个单位长度 3. 如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图像关于________对称 4. 函数y=lg 11 -x 的单调________区间为________ 5. 已知函数y=f(x)的图像如甲所示，y=g(x)的图像乙所示，则函数y=f(x)·g(x)的图像可能是________ 例题讲解 例1（1）作函数y=︱x-x 2︱的图像；
高中数学《函数图象的变换》教案
函数图象的变换 [学习目标]： 1.能利用一次函数、二次函数、反比例函数图象按照图象变换法则作图. 2.会对已知函数)(x f y =图象进行平移、对称、翻折变换，画出)(c x f y +=、 c x f y +=)(、)(x f y -=、)(x f y -=、)(x f y --=、)(x f y =、)(x f y =的图 象 3.能借助函数图象解决与函数性质相关的问题. 4.在数学活动中感受数学思想方法之巧、体会数学思想方法之灵活；同时通过本节课的学习， 培养数形结合的学习习惯和能力,培养学生主动学习、合作交流的意识. [课前准备]： 已知函数2)(x x f =, (1)求)2(+x f ,)2(-x f ，并画出其图象，指出它与函数2)(x x f =有何区别？ (2)求2)(+x f ，2)(-x f 并画出其图象，指出它与函数2)(x x f =有何区别？ [课堂探究]：如何由函数)(x f y =的图象得到函数)(c x f y +=的图象？ 函数c x f y +=)(的图象呢？ 探究成果一：平移变换 )(x f y =−−−−−−→−)(c x f y += )(x f y =−−−−−−→−c x f y +=)( 2 -2 2 y o x -2 2 -2 2 y o x -2
[学以致用]： 1.函数2 1 1)(-+ =x x g 的图象的对称中心为( ). 2.函数1-=x y 的单调递减区间是 . [课堂探究]： 若函数1)(-=x x f ，请画出函数)(x f y -=图象，两函数图象有什么关系? 探究成果二： 对称变换 )()(x f y x f y -=−−−−→−= )()(x f y x f y -=−−−−→−= )()(x f y x f y --=−−−−→−= [学以致用]: 1.与曲线1 1y x =-关于原点对称的曲线为（ ） A ．11y x =+ B ．11y x =-+ C ．11y x =- D ．1 1y x =-- 2.函数11--=x y 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 1 -1 1 y o x -1
高中数学_正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图像变换教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计 引导学生结合作图过程理解振幅和相位变化的规律（启发诱导）.本节采用作图、观察、归纳、启发探究结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动.首先按照有特殊到一般的认知规律，由行及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察、分析、归纳，形成规律，是学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程汇总获得对正弦函数图像变换全面的体验和理解.
把 函 数 )4 sin()3sin(π π-=+=x y x y 及在 一个周期上的图像分别向左、右连续。。。。.4,2ππ，就可得出它们在R 上的图像（图略）. 归纳小结 从知识、方法以及课程间的联系三个方面对本节课的内容进行归纳总结。 让学生谈本节课的收获，并 进行反思。教师归纳。 关注学生的自主体验，反思和发表本堂课的体验和收获。 布置作业 P49 A 1. (2) 2.（1） P50 2.(1) 选作：A2（2） 作业分选选作供学有余力的学生完成作与必做两部分， 通过两部分作业使学生巩固本节课所学内容。 学情分析 通过上节对于正弦函数的图像与性质的研究，学生已经掌握了三角函数的一些研究方法，具备了一定的分析、理解能力.学生对于函数图象的变换，学生在学习必修一函数时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，本节结合信息技术手段，应该能取得较好的效果.高一16班学生整体知识基础很扎实，并且这些同学逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。但对于本节内容学生要理解并掌握参数A ，φ对函数图象的影响，还要研究这两个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大，总体效果还不错。 效果分析 本节课结束感觉取得效果还不错，总的有以下几点： 1、 学生能积极参与课堂教学活动中去，积极思考并主动回答问题； 2、 教学过程中学生善于发现问题、解决问题，在各小组共同学习、解决问题的过程中， 培养了学生合作交流、学习的能力； 3、 通过图像变换，培养了学生的类比学习能力，提高了学生把握事物本质的能力； 4、 检测效果良好，达到了预期效果.
高中数学必修一《函数的图象与简单变换》教学设计
《函数的图象与简单变换》教学设计 一、教学目标： 1．掌握基本初等函数的图象特征，学会运用函数的图象理解和研究函数的性质； 2．掌握画函数图象的两种基本方法：描点法和图象变换法． 3.掌握图像的四种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换 二、教学重难点： 1、会画一些简单的函数图像 2、掌握函数图像的平移，对称变换的规律。 三、教学过程： （一）平移变换： ①y=f(x) →y ＝f(x ±a)(a>0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）. ②y=f(x) →y ＝f(x)±b(b>0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—) 问题思考： 1、如何由函数 的图像得到函数 的图像 2、如何由函数 的图像作出函数 的图像？ （二）对称变换 问题探究I 在同一坐标系下作出函数 与 2和2x x y y 的图像，观察 函数图像的特征，你能得出什么结论？ （演示幻灯片） ①y=f(x) →y=f(－x)图象关于 y 轴 对称; 若f(－x)=f(x),则函数自身的图象关于y 轴对称. ②y=f(x) →y=－f(x)图象关于x 轴 对称. ③y=f(x) →y=－f(－x)图象关于原点 对称; 若f(－x)=－f(x),则函数自身的图象关于原点对称. 13()3x y 3x y 243y x x 243y x x 2x y
④y=f(x) →y=f －1(x)图象关于直线y=x 对称. 适应练习 221.与y x y x 图像关于_____对称。 2.11()2与() 2x x f x g x 的图像关于____对称。 问题探究Ⅱ 画出函数222log 与log 和log y x y x y x 的图像。 （3）翻折变换主要有 ①y=f(x) →y ＝f(|x|)的图象在y 轴右侧(x>0)的部分与y ＝f(x)的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y=f(x) →y ＝|f(x)|的图象在x 轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y ＝f(x)图象下方部分关于x 轴的对称图形. 适应练习Ⅱ 分别作出下列函数的图像：1. 四、实例讲解 例1、作出下列函数的图像，并指出函数的定义域、值域、奇偶性、单调性 例2：求关于x 的方程 的不同实根的个数 五、抽像概括 1、图像变换法： （1）对称变换法 （2）翻折变换法 2、用图像变换法画函数图像时，往往要找出该函数的基本初等函数，分析其通过怎样变换得到所求函数图像，有时要先对解析式进行适当变形。 3、利用函数的图像判定单调性、求方程根的个数、解不等式、求最值等，体现了数形结合的数学思想。 六、课外作业 243y x x 243y x x 1()2x y 2log 1 x y 223()x x a a R
高中一年级数学教案：学习二次函数的性质和图像变化规律
高中一年级数学教案：学习二次函数的性质 和图像变化规律 一、引言 二次函数是高中数学学科中重要的内容之一，它在实际问题中具有广泛的应用。学习二次函数的性质和图像变化规律对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题具有重要意义。本教案将通过引入实例和多种教学方法，帮助一年级高中生理解和掌握二次函数的性质以及图像变化规律。 二、二次函数的基本形式和性质 1. 二次函数的定义 - 引导学生了解二次函数并给出定义：二次函数是指一元二次方程所确定的函 关系。 - 讲解二次函数常见形式：f(x) = ax^2 + bx + c，并介绍其中a, b, c 分别代表什 么含义。 2. 二次函数图像与参数关系 - 针对不同参数 a 的情况，分析 a 的正负对图像开口方向的影响。 - 针对不同参数 b 和 c 的情况，讨论顶点坐标（h, k）与 b, c 的关系，并通过 实例展示。 三、探究顶点坐标与平移变换 1. 引入顶点坐标的概念 - 定义顶点坐标为二次函数图像的最低或最高点，引导学生理解其重要性。
2. 平移变换对二次函数图像的影响 - 分析平移变换对顶点坐标的影响，以及如何通过平移变换绘制具体的二次函数图像。 - 举例说明平移变换对图像位置和形状的影响，并引导学生总结规律。 四、探究轴对称与对称中心 1. 轴对称与对称中心的概念介绍 - 引导学生了解轴对称和对称中心，并提供具体实例加深理解。 2. 轴、顶点和焦点之间的关系 - 探索轴、顶点和焦点三者之间的关系，并通过几个典型例题进行讲解。 五、利用性质解决实际问题 1. 带参数的二次函数问题分析 - 利用已学知识，引入带参数的二次函数实际问题，并让学生分析问题背后隐藏着什么数学性质。 2. 解决实际问题的步骤与方法 - 教授解决实际问题时应注意观察问题、寻找关键信息、建立数学模型和求解方程等步骤与方法。 3. 实例演练与讲解 - 提供多个实际问题，并引导学生运用所学知识解决问题。同时，充分讨论解题思路和方法。 六、总结与拓展
高中数学教案：函数的图像与性质
高中数学教案：函数的图像与性质 一、函数的图像 函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了两个变量之间的关系。在高中数 学教学中，了解函数的图像与性质对于学生掌握和应用函数都具有重要意义。本文将从高中数学教案的角度，就函数的图像和性质进行详细阐述。 1.1 函数基本概念及表示方法 在引入函数之前，我们先来复习一下代数表达式、方程和不等式等内容。然后 引入函数这一概念，让学生明白它是如何通过输入-输出关系来描述变量间关系的。可以通过解释一个电子商务平台上购物金额与折扣的关系来引入。 接下来，在展示函数图像之前，我们需要让学生熟悉常见函数的表示方法，包 括显式定义、参数方程和隐式定义等。可以通过展示不同类型的函数公式并配以实际例子讲解来提高学生对这些表示方法的理解。同时，也可提供计算工具帮助学生绘制各种类型函数图像。 1.2 常见型态图像与特点分析 在初步了解了函数的基本概念和表示方法后，我们将重点介绍几类常见型态的 函数图像及其特点。 一次函数（线性函数）：y = kx + b 讲解线性函数时，可以通过描述小明每天自行车的行驶距离与所花时间的关系 来引出。重点介绍斜率 k 和 y 截距 b 对直线图像的影响，并且教学过程中可以结合实际例子进行说明。 二次函数：y = ax^2 + bx + c
讲解二次函数时，可以通过运动物体在重力作用下的抛体运动来引出。阐述a、b 和 c 的取值对图像形状、开口方向和位置等性质的影响。同时，也可以通过实例 展示抛物线在不同参数下的变化情况。 指数函数：y = a^x （a>0，且a≠1） 教学指数函数时，可以从复利计算中引出指数增长的概念。强调底数 a 的大小 与增长速度以及图像走势之间的关系。适当结合实际生活中的应用场景进行案例分析，如人口增长、细菌培养等。 对数函数：y = log_a(x) （a>0，且a≠1） 讲解对数函数时，可以从求幂运算反向推导出对数运算的概念。强调底数 a 的 大小对图像的平移和形状的影响。同时，可以通过电子设备中的音量调节、物体降解等例子来展示对数函数的实际应用。 1.3 函数图像绘制与观察 在让学生了解不同类型函数图像的特点之后，我们需要引导他们学会使用计算 工具进行函数图像的绘制和观察。 通过向学生介绍常见数学软件或在线资源，如GeoGebra、Desmos等，帮助他 们掌握使用这些工具来快速生成函数图像并进行进一步观察和分析。可以让学生自行选择一种工具，并结合课堂上所学内容完成一系列练习。 二、函数性质 了解了函数图像之后，我们将重点介绍函数的性质及其应用。 2.1 奇偶性 首先，向学生引入奇偶性的概念，需要明确定义何为奇函数和偶函数，并提供 常见例子加以说明。着重强调奇偶性对于曲线图象关于坐标轴的对称特点以及部分实例为什么只取正值或正负均取之间关系。
高中数学教案：正弦函数图像的性质与应用
高中数学教案：正弦函数图像的性质与应用一、正弦函数图像的性质 正弦函数是高中数学中一个重要的函数，学习正弦函数的图像的性质和应用，能够帮助学生更好地理解数学概念和解决实际问题。本文将讨论正弦函数图像的周期、幅值、对称轴和零点，以及正弦函数在实际应用中的一些例子和应用。 1.1 周期性 正弦函数的图像是一个周期函数，它的周期是2π。也就是说，正弦函数的图像在横轴上每2π个单位长度上重复一次。这一特性使得我们可以在一定的范围内研究正弦函数的性质，然后将其扩展到整个数轴上。 1.2 幅值和对称轴 正弦函数的图像在纵轴方向上波动，振幅表示纵轴方向的最大偏移量。对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，A表示幅值，是正弦函数图像在纵轴上的最大值或最小值与x轴的距离之差的一半。也就是说，正弦函数的中心线（即零线）位于最大值和最小值之间的中间位置。 对称轴是正弦函数图像的一条垂直线，它将图像分为两个对称的部分。对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，对称轴的方程为 x = C/B。也就是说，对称轴的位置跟B有关，B越大，对称轴的位置越靠近原点。 1.3 零点 正弦函数的图像在横轴上的零点是指函数值为零的点，也就是正弦函数的解。对于一般的正弦函数 y = A*sin(Bx-C)，零点的坐标为 (C/B, 0)、(2π/B+C/B, 0)、(4π/B+C/B, 0)、... 以此类推。正弦函数在横轴上的零点是平衡点，对于很多实际问题的建模和解决都有重要意义。
二、正弦函数图像的应用 正弦函数不仅在数学中具有重要性，而且在物理、工程学、音乐等领域也具有 广泛的应用。下面将介绍一些正弦函数在实际应用中的例子和应用。 2.1 摆动 正弦函数的周期性使得它非常适合描述摆动的现象。以钟摆为例，它的运动可 以用正弦函数进行建模。正弦函数的周期是固定的，很好地描述了钟摆的周期性运动。此外，正弦函数的振幅可以用来表示钟摆摆动的幅度大小。 2.2 电信号 正弦函数在电信号中起到非常重要的作用。实际的交流电信号可以近似地表示 为正弦函数。正弦函数的周期性和波动特性使得它成为电信号处理和电路设计的基础。 2.3 音乐 音乐中的乐音是由正弦函数的合成组合而成的。乐器演奏时，产生的声音可以 用正弦函数的合成来描述。正弦函数的振幅和频率可以决定音调的高低和音量的大小。 2.4 波动现象 正弦函数也可以用于描述波动现象，如水波、光波等。正弦函数的波动特性可 以提供对波动现象进行分析和预测的工具。 2.5 信号处理 正弦函数在信号处理中有广泛的应用。由于正弦函数可以进行频率变换和滤波，因此可以用来分析信号的频谱和对信号进行滤波处理。
高中数学复习教案：图像变换.
§7 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象（2课时） 一、 教学目标： 1、 知识与技能 （1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y ＝Asin(ωx ＋φ)，掌握A 、φ、ωx ＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y ＝sinx 进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。 2、 过程与方法 通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、 情感态度与价值观 通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像 难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像 三、学法与教学用具 在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。 教学用具:投影机、三角板 第一课时 y ＝sinx 和y ＝Asinx 的图像， y ＝sinx 和 y ＝sin （x ＋φ）的图像 一、教学思路 【创设情境，揭示课题】 在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数。正因为此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。 【探究新知】 例一．画出函数y=2sinx x ∈R ；y= 2 1 sinx x ∈R 的图象（简图）。 解：由于周期T=2π ∴不妨在[0,2π]上作图，列表：
函数图像变换教案
北京市东方德学校教学设计 课题函数图象与图象变换授课时间2013．11．4 授课人熊月琴李慧授课地点高一 3班、高一5 班 内容分析 函数贯穿于整个高中数学,它是高中数学的重点知识和难点知识,也是热点知识.通过研究函数图像及其变换,可以深刻认识函数的各种性质,这样不仅可以简化解题过程,而且能够开阔解题思路. 学情分析 学生在初中已经学习了二次函数图像的平移变化，能正确利用＂左加右减，上加下减＂进行简单的平移变换.尽管我校学生基础较弱, 但经过近一个月的学习，高一学生已经基本掌握指数函数、对数函数的图像及性质，借助从特殊到一般的思想，学生能分析和解决一些简单的图像变换问题. 新课程标准中提出, 高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力,这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.这就要求学生要有一定的观察分析、解决问题的能力,要能理解前后知识之间的联系. 教学目标1. 能画出一些基本初等函数的图象；并能正确地从函数的图象特征去讨论函数的主要性质；能在观察图象变换中发现规律,并能用自己的语言来表达. 2. 积极参与数学实验，做出函数的图像、操作验证、抽象概括，体验由简单到复杂、由特殊到一般的认知规律，感悟数学知识的发生发展过程. 3. 通过自主探索，体会数形结合思想，感受函数图象变换的运动美. 重点函数图象平移变换、对称变换；难点图象变换及应用 教学用具多媒体 板书设计课题：函数图象与图象变换 知识总结 例题多媒体展示 教学过程 教师活动学生活动设计意图 （一）设疑导入、观图激趣 出示一组生活中的对称图片. 学生先独 立完成,再 分组交流， 梳理结论 通过图片引起学生的兴趣，培养学生的审美观，激发学习兴趣.
学案：高三函数的图象教案
平陆中学高三年级理科数学教案 课题：函数的图象 教学目标： 1.通过复习函数图象的画法，体会等价转化的思想和图象间的相互关系，提升逻辑推理的核心素养。 2.通过函数的性质来识别函数的图像，提升直观想象的核心素养。 3.通过函数图象的应用，体会数形结合和等价转化的数学思想。 教学重点：函数图象的画法 教学难点：函数图象的应用 学习过程： 一.知识梳理 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)． 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换 (2)对称变换 ①y ＝f (x )―――――――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )． ②y ＝f (x )―――――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )． ③y ＝f (x )――――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． ④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称 y ＝log a x (x ＞0)． (3)翻折变换 ①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→保留x 轴及上方图象 将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|． ②y ＝f (x )――――――――――――→保留y 轴及右边图象，并作其 关于y 轴对称的图象 y ＝f (|x |)．
(4)伸缩变换 ①y ＝f (x ) a ＞1，横坐标缩短为原来的1 a 倍，纵坐标不变 0＜a ＜1，横坐标伸长为原来的1 a 倍，纵坐标不变 → y ＝f (ax )． ②y ＝f (x ) a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变→ y ＝af (x )． 二.自我检测 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)将函数y ＝f (x )的图象先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数y ＝f (x ＋1)＋1的图象．( ) (2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称．( ) (4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 已知函数y ＝|x －1|，则其图象关于________对称( ) A ．(1，0) B ．(－1，0) C ．直线x ＝1 D ．直线x ＝－1 解析：选C.y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪ ⎧x －1，x ＞1，0，x ＝1，－x ＋1，x ＜1. 其图象如图所示．故选C . 函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋ 1 B ．e x － 1 C ．e －x ＋1 D ．e －x －1 解析：选D.曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，将y ＝e －x 向左平移1个单位长度得到y ＝e －(x ＋1)，即f (x )＝e －x －1.