基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

2

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

（2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论 （1）若0x >，则1

2x x

+

≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则

2

2111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当

b a =时取“=” 6、柯西不等式

（1）若,,,abc d R ∈，则22222

()

()()a b c d a c b d ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 2

2

2

(a a a ++⋅⋅⋅+)2

2

2

)b b b ++⋅⋅⋅+(2

()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥

b

a 112+

2、已知

c

b a ,,为两两不相等的实数，求证：

ca bc ab c b a ++>++222

3、已知1a b c ++=，求证：222

13

a b c ++≥

4、已知,,a b c R

+

∈，且1a b c ++=，求证：

a b c

c b a 8)1)(1)(1(≥---

5、已知,,a b c R

+

∈，且1a b c ++=，求证：

1111118a b

c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:

(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a

++≥.

7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2

2

3

3

22-≥-

题型二：利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域 （1）22

21

3x

x y +

= （2）)4(x x y -=

（3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1

<+=x x

x y

题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）

1、已知2>x ，求函数4

24

42-+-=x x y 的最小值；

变式1：已知2>x ，求函数4

24

2-+=x x y 的最小值；

变式2：已知2

24

2-+=x x y 的最大值；

练习：1、已知54x >，求函数14245

y x x =-+-的最小值；

2、已知5

4x <，求函数14245

y x x =-+-的最大值；

题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）

1、当时，求(82)y x x =-的最大值；

变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；

变式2：设2

3

0<

变式：若40<

3、求函数)2

5

21(2512<<-+-=x x x y 的最大值；

（提示：平方，利用基本不等式）

变式：求函数)4

11

43(41134<<-+-=x x x y 的最大值；

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1、已知12,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值；

法一：

法二：

变式1：已知22,0,=+>b a b a ，求t a b

=+11

的最小值；

变式2：已知28

,0,1x y x y

>+=，求xy 的最小值；

变式3：已知0,>y x ，且11

9x y

+=，

求x y +的最小值。 变式4：已知0,>y x ，且19

4x y

+=，求x y +的最小值；

变式5：

（1）若0,>y x 且12=+

y x ，求11x y

+的最小值；

（2）若+

∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +

的最小值；

变式6：已知正项等比数列{}n a 满足：5672a a a +=，若

存在两项n m a a ,，使得14a a a n m =，求n

m 4

1+的最小值；

题型六：分离换元法求最值（了解）

1、求函数)1(1

10

72-≠+++=

x x x x y 的值域；

变式：求函数)1(1

8

2>-+=

x x x y 的值域；

2、求函数5

22

++=x x y 的最大值；（提示：换元法）

变式：求函数9

41

++=x x y 的最大值；

题型七：基本不等式的综合应用

1、已知1log log 22≥+b a ，求b

a

93+的最小值

2、（2009天津）已知0,>b a ，求ab b a 211++的最小值；

变式1：（2010四川）如果0>>b a ，求关于b a ,的表达式)

(112

b a a ab a -++的最小值；

变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当1,0≠>a a 时，函数1)1(log +-=x y a 的图像恒过定点A ，若点A 在直线0=+-n y mx 上，求n

m

24+的最小值；

3、已知0,>y x ，822=++xy y x ，求y x 2+最小值；

变式1：已知0,>b a ，满足3++=b a ab ，求ab 范围；

变式2：（2010山东）已知0,>y x ，

3

12121=+++y x ，求xy 最大值；（提示：通分或三角换元）

变式3：（2011浙江）已知0,>y x ，12

2

=++xy y x ，求xy 最大值； 4、（2013年山东（理））设正实数z y x ,,满足

04322=-+-z y xy x ,则当

z

xy

取得最大值时,

z

y x 2

12-+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．

4

9

D ．3 （提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）

变式：设z y x ,,是正数，满足032=+-z y x ，求xz

y 2

的

最小值；

题型八：利用基本不等式求参数范围

1、（2012沈阳检测）已知0,>y x ，且9

)1)((≥++y

a

x y x 恒成立，求正实数a 的最小值；

2、已知0>>>z y x 且z

x n z y y x -≥-+-11恒成立，如果+

∈N n ，求n 的最大值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）

变式：已知0,>b a 满则24

1=+b

a ，若c

b a ≥+恒成立，求

c 的取值范围；

题型九：利用柯西不等式求最值

1、二维柯西不等式

),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d

b

c a R

d c b a ==∈若,,,a b c d R ∈，则2

2

2

2

2

()()()a b c d ac bd ++≥+

2、二维形式的柯西不等式的变式

bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1(

),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d

b

c a R

d c b a ==∈

bd

ac d c b a +≥+⋅+2222)2(

),,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d

b

c a R

d c b a ==∈

2)())()(3(bd ac d c b a +≥++

),0,,,(时等号成立；即当且仅当bc ad d

b

c a

d c b a ==≥

3、二维形式的柯西不等式的向量形式

βαβα≤⋅

),,,0(等号成立时使或存在实数当且仅当→

→

→

→

==ββk a k

4、三维柯西不等式

若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

),,(3

3

2211时等号成立当且仅当

b a b a b a R b a i i ==∈ 5、一般n 维柯西不等式

设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有: 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

),,(2211时等号成立当且仅当n

n i i b a b a

b a R b a ==∈

题型分析

题型一：利用柯西不等式一般形式求最值

1、设,,x y z R ∈，若2

2

2

4x y z ++=，则z y x 22+-的

最小值为 时，=),,(z y x 析：]2)2(1)[()22(2

2

2

2

2

2

2

+-+++≤+-z y x z y x

3694=⨯=

∴z y x 22+-最小值为6-

此时

3

2

2)2(16221222-=+-+-==-=z y x ∴ 32-=x ，34=y ，3

4

-=z

2、设,,x y z R ∈，226x y z --=，求2

2

2

x y z ++的最小值m ，并求此时,,x y z 之值。

Ans ：)3

4

,32,34(),,(;4--==z y x m

3、设,,x y z R ∈，332=+-z y x ，求2

2

2

)1(z y x +-+之最小值为 ，此时=y （析：0)1(32332=+--⇔=+-z y x z y x ）

4、（2013年湖南卷（理））已知,,,236,a b c a b c ∈++= 则2

2

2

49a b c ++的最小值是 (12:Ans )

5、（2013年湖北卷（理））设

,,x y z R ∈,且满

足:2

2

2

1x y z ++=,2314x y z ++=,求z y x ++的值；

6、求φθφθθc o s c o s s i n c o s 3s

i n 2-+ 的最大值与最小值。（Ans ：最大值为22，最小值为 -22）

析：令→a = (2sin θ，3cos θ，- cos θ)，→

b = (1，sin φ，cos φ)