基本不等式题型大全
基本不等式题型大全
知识点：
1.几个重要不等式
①()2
2
2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22
.2
a b ab +≤ ②（基本不等式）
2
a b
+≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2
.2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
3
a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.
④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）.
⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a
ab a b
<+≤-若则（当仅当a=b 时
取等号）
⑦
b
a
n b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<
⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+
2.几个著名不等式
①平均不等式：
1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.
（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.
变形公式：2
22
;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
222
().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：
222212121
...(...).n n a a a a a a n
+++≥
+++
1122(,,,).x y x y R ∈
④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当
ad bc =时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++
⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是
12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....
n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
12121212()()
()()(
)(
).
22
22
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.
板块一 基本不等式及其变换
一、“配、凑、拆”的技巧 ①基本不等式及变形
1.函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1
x (x ∈R )值域为________；
2.函数f (x )＝x 2
＋1
x 2＋1
的值域为________．
2.若x >1，则x ＋
4
x －1
的最小值为________． 解：x ＋4x －1＝x －1＋4
x －1
＋1≥4＋1＝5.
当且仅当x －1＝4
x －1
，即x ＝3时等号成立．答案：5
3.已知x ＜0，则f (x )＝2＋4
x ＋x 的最大值为________． 解：∵x ＜0，∴－x ＞0，
∴f (x )＝2＋4
x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤4－x
＋
－x .
∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4
－x ，即x ＝－2时等号成立．
∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
4
－x
＋
－x ≤2－4＝－2，
∴f (x )的最大值为－2.
.5
4124,45.1的最大值求函数已知-+-=<
x x y x 答案：1
.,)0(312
)(.2的值并求取最值时的最值求x x x x
x f ≠+=
答案：略
223.,,()().a b y x a x b =-+-（三星）为实常数求的最小值
解：（1）方法一：
方法二：
(1)函数f (x )＝x (1－x )(0 ⎭ ⎪⎫0 解：(1)∵0 ⎡⎦⎥⎤x ＋1－x 22＝1 4 ， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，14. (2)∵0 2，∴1－2x >0. x (1－2x )＝12×2x (1－2x )≤12·⎣⎢ ⎡⎦⎥⎤2x ＋ 1－2x 22＝1 8 ， ∴f (x ) 值域为⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，18. 8.已知0 4， 当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝1 2时等号成立． 9.函数y ＝x 1－x 2的最大值为________． 解：x 1－x 2＝ x 2 1－x 2 ≤x 2＋ 1－x 22＝ 12. .)2)(12(,523.42222的最大值求已知++==+b a y b a 答案：147 16 2 2 23.,1,1. 2y x y R x x y + ∈+=+（三星）设且求的最大值 2 2 1y + ≤ 22 10.1,. x y x y xy x y + >= - （二星）若且求的最小值 答案： 23.设x，y∈R，且xy≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫ x2＋ 1 y2·⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 1 x2 ＋4y2的最小值为________． 解： ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ x2＋ 1 y2⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 1 x2 ＋4y2＝5＋1 x2y2 ＋4x2y2 ≥5＋21 x2y2 ·4x2y2＝9， 当且仅当x2y2＝1 2 时“＝”成立． 14．在各项都为正数的等比数列{}n a中， 若 2018 a=，则 20172019 12 a a +的最小值为________．4 14．已知正数x y ，满足2230 x xy ＋－＝，则2x y ＋的最小值是___________．3 ②二次分式有关 12.已知t>0，则函数y＝ t2－4t＋1 t 的最小值为________． 答案－2 解：∵t>0，∴y＝ t2－4t＋1 t ＝t＋1 t －4≥2－4＝－2，且在t＝1时取等号． 13.当x>0时，则f(x)＝ 2x x2＋ 1 的最大值为________． 解：∵x>0，∴f(x)＝2x x2＋1＝2 x＋ 1 x ≤2 2 ＝1， 当且仅当x＝1 x ，即x＝1时取等号． 14.(1)求函数f(x)＝ 1 x－3 ＋x(x＞3)的最小值； (2)求函数f(x)＝x2－3x＋1 x－3 (x＞3)的最小值； 解：(1)∵x＞3，∴x－3＞0. ∴f(x)＝ 1 x－3 ＋(x－3)＋3≥21 x－3 ·x－3＋3＝5. 当且仅当 1 x－3 ＝x－3，即x＝4时取等号， ∴f(x)的最小值是5. (2)令x－3＝t，则x＝t＋3，且t＞0. ∴f(x)＝t＋32－3t＋3＋1 t ＝t＋1 t ＋3≥2t·1 t ＋3＝5. 当且仅当t＝1 t ，即t＝1时取等号，此时x＝4， ∴当x＝4时，f(x)有最小值为5. 15.设x>－1，求函数y＝x＋ 4 x＋1 ＋6的最小值； 解：∵x>－1，∴x＋1>0. ∴y＝x＋ 4 x＋1 ＋6＝x＋1＋4 x＋1 ＋5≥2x＋1·4 x＋1 ＋5＝9， 当且仅当x＋1＝4 x＋1 ，即x＝1时，取等号． ∴当x＝1时，函数y的最小值是9. 4.当x＞0时，则f(x)＝ 2x x2＋1 的最大值为________． 解：(1)∵x ＞0，∴f(x)＝2x x2＋1＝2 x＋ 1 x ≤2 2 ＝1， 当且仅当x＝1 x ，即x＝1时取等号． 5.函数y＝x2＋2 x－1 (x>1)的最小值是________． 解：∵x>1，∴x－1>0. ∴y＝x2＋2 x－1 ＝ x2－2x＋2x＋2 x－1 ＝x2－2x＋1＋2x－1＋3 x－1 ＝x－12＋2x－1＋3 x－1 ＝x－1＋3 x－1 ＋2 ≥2 x－13 x－1 ＋2＝23＋2. 当且仅当x－1＝3 x－1 ，即x＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 ③平方平均数的应用 228.,1,.x y R x y x y +∈+=+（一星）已知且求的最大值 解：使用不等式变形 2a b +≤ . 11.()0,0,1,.a b a b >>+=二星设 答案： 7．（三星）设,0,5,a b a b >+= _________. 解：因为,0,5,a b a b >+=所以()()139a b +++= 由不等式2 x y +≤ 2 ≤=， 13.（四星）已知实数a b c ，，满足22201a b c a b c ++=++=，，则a 的最大值是 ____________． 解：∵2 2 2b c bc +≥，即()()2 2 2 2 2 22b c b c bc b c +++=+≥，∴()2 2 2 2 b c b c ++≥，由 0a b c ++=，得 b c a +=-，由2 2 2 1a b c ++=，得() 2 22 2 2 12 2b c a a b c +-=+=≥ ，∴22 3 a ≤，∴a ， 故a ． 9.（三星）已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（ ）B A ．15 B ．9 C ．1 D ．53- 1.（二星）若0,0x y >>的最小值为_________. 2 .)5 1 0)(51(.52的最值求函数≤≤-=x x x y 答案：4 675 .cos sin ,.62的最大值求为锐角设θθθ=y 答案：9 二、附条件求最值：“1”的代换 5：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1 b 的最小值是____． 解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋2 2. 36.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_________． 解 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝1 4时成立． 37.已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； 解 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y 时，取等号． 38.已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1 y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵9x ＋1 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋2 9y x ·x y ＝16. 当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1 y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16. 39.已知x ，y 为正实数，且1x ＋16 y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解：∵1x ＋16 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋2 16x y ·y x ＝25. 当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16 y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25. 1.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是________． 解： ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2＝1. ∴1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫ a ＋ b 2 ＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2a b ＋b 2a ≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫ 当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 40.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6 解 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭ ⎪⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12y x ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. 41.正数x ，y 满足1x ＋9 y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9 y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9 y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最 小值为36. (2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9x y ＝19＋62，当且仅 当2y x ＝9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 9.,,280,.x y R x y xy x y +∈+-=+（二星）已知且求的最小值 答案：18 22 7.()01,,,().1a b x a b f x x x <<=+-三星设为常数求的最小值 答案：2()a b + 2.（二星）若直线()10,0x y a b a b +=>>过点(1,1),则a b +的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解：因为直线过点(1,1),所以 111=+b a ，所以b a a b b a a b b a b a b a ++=+++=++=+211)11)((,因为0,0>>b a ，所以4222=⨯+≥++b a a b b a a b ,当且仅当“a=b=2”时等号成立. 14.（二星）若()42log 34log a b +=则a b +的最小值是（ ）D A ． 6+ B ．7+ C ．6+ D ．7+ 112511.0,0,1,:.4a b a b a b a b ⎛ ⎫⎛⎫>>+=++≥ ⎪⎪⎝ ⎭⎝⎭（三星）设求证 1.（四星）已知20x y >>，且满足18 1022x y x y ++ =-，求实数x 的最大值. 答案：[]2,18 1.已知,x y 都是正数，且1x y +=，则4121x y +++的最小值为__________.94 1.（三星）设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是___________.1 4 1.（三星）已知1,,(0,1)4ab a b =∈，则12 11a b + --的最小值是__________. 20．（四星）函数()22log 1 log 1 x f x x -=+，若()()1221f x f x +=（其中1x 、2x 均大于2），则()12f x x 的最小值为_______。 备注：不等式 11 4x y x y R x y +++≥∈（）（），，的应用。 三、双勾函数与基本不等式 2 12.(),1(1)()[0,)(2)()[2,). x f x x f x f x = ++∞+∞已知函数求：在上的最大值；在上的最大值 答案：（1）102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）205⎛⎤ ⎥⎝⎦ ， .4 5.132 2的最小值求函数++=x x y 答案：5 2 20,.a y >=2.已知求函数 9.（二星）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F （单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v （假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒）、平均车长l （单位：米）的值有关，其公式为2760001820v F v v l = ++． ⑴如果不限定车型， 6.05l =，则最大车流量为 辆/小时； ⑵如果限定车型，5l =， 则最大车流量比⑴中的最大车流量增加 辆/小时． 解：⑴1900；⑵100. 1.（二星）若正实数,a b 满足()2 216a b ab +=+，则21ab a b ++的最大值为_________.1 6 1.（三星）若不等式223()x y mx x y +≥+，对于,x y R ∀∈恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 板块二 基本不等式的应用 一、综合求最值 24.若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2 x ·3y ， ∴xy ≥12 25，当且仅当x ＝3y 时取等号． ∴xy 的最小值为12 25. 2.0,031,.a b ab a b ab >>=++已知且求的最小值 答案：[)1+∞， 5.若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 解：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得 xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18. 26.已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.92 D.11 2 解：依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6， 即x ＋2y ≥4. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4. 27.若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围． 解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝30－x 2＋x ＞0,0＜x ＜30. (1)xy ＝－x 2＋30x x ＋2 ＝ －x 2－2x ＋32x ＋64－64 x ＋2 ＝－x －64 x ＋2 ＋32 ＝－⎣ ⎢ ⎡⎦ ⎥⎤ x ＋2 ＋ 64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号， 因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32 x ＋2 －1 ＝x ＋2＋32 x ＋2－3≥82－3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝42－2，y ＝42－1时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋ 32 x ＋2 －3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)． 34.若正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值范围． 解：法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0. 即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 又∵ab ≤a ＋b 2，∴ab ＝a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 . 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 即(a ＋b )2－4() a ＋ b －12≥0， (a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0. ∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 法二：由ab ＝a ＋b ＋3，则b ＝ a ＋3a －1 . ab ＝a ＋ 4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4a －1＋5 ≥2 a －1 · 4 a －1 ＋5＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝ a ＋3a －1， a ＋ b ＝a ＋ a ＋3a －1 ＝a ＋1＋4a －1 ＝(a －1)＋ 4a －1 ＋2 ≥2 ( ) a －1·4 a －1 ＋2＝6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 3.,,2520,lg lg x y R x y x y +∈+=+设若求的最大值. 答案：1 lg 425.1,2,log ().b a a ab >（三星）已知且求的最小值 2log 10 20.已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5 y 的最小值为________． 解：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2， y ＝5时等号成立． 21.已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 解：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1， 即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3 a ＋2 b 2 (当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)． 又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18. 即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 22.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1 y 的最大值为 ( ) A ．2 B.3 2 C ．1 D.12 解：由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1 y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22 ＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立， 则1x ＋1 y 的最大值为1. 22.（三星）已知0,0,8a b ab >>=,则当a 的值为 时, ()22log log 2a b ⋅取得最大值. 解：()()()()2 22 222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪ ⎝⎭ 当a=2b 时取等号,结合a>0,b>0,ab=8,可得a=4,b=2.答案:4 不等式练习题（精选5篇） 第一篇：不等式练习题 不等式练习题 （二）1.已知两个正数a、b的等差中项是5，则a、b的等比中项的最大值为 A.10 B.25 C.50 2.若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A.D.100 222aba+ba+b2ab< 一、均值不等式求最值 例题： 1、凑系数：当0 基本不等式题型大全 知识点： 1.几个重要不等式 ①()2 2 2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2 a b ab +≤ ②（基本不等式） 2 a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +⎛⎫ ≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3 a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时 取等号） ⑦ b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，其中(000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+ 2.几个著名不等式 ①平均不等式： 1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）. 变形公式：2 22 ;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222 ().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式： 222212121 ...(...).n n a a a a a a n +++≥ +++ 1122(,,,).x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当 ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立. ⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是 12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122.... n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数） 若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 12121212()() ()()( )( ). 22 22 x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数. 题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋ 1 x 2 ＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋ 1x 2 ＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋ 1 x 2 ＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋ 4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－???? ??4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4 －x ，即x ＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－???? ? ?4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝ x 2－2x ＋1＋x － ＋3x －1 ＝ x －2 ＋x －＋3 x －1 ＝x － 1＋ 3 x －1 ＋2≥2 x － 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1 a －2x －x 的最小值． 解：y ＝ 1a －2x ＋a －2x 2－a 2 ≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a 2 . 题型2 基本不等式反用ab ≤ a ＋b 2 例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当 b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域 基本不等式题型及常用方法总结 基本不等式题型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值 不等式和有理不等式等。 1. 一元一次不等式： - 解法1：通过移项和化简来求解，确保不等号方向的正确性。 - 解法2：将不等式转化为等价的集合表示，再通过集合的交、并 运算求解。 2. 一元二次不等式： - 解法1：将不等式化为一元二次函数的图像，通过观察图像求解 或者利用函数的性质来求解。 - 解法2：通过移项和配方法将不等式转化为二次函数的标准形式，再判断二次函数图像的位置与不等号关系来求解。 3. 绝对值不等式： - 解法1：将绝对值不等式分段求解，分别讨论绝对值内部是正数 还是负数的情况。 - 解法2：通过绝对值的定义和不等式的性质，将绝对值不等式转 化为两个简单的不等式来求解。 4. 有理不等式： - 解法1：将有理不等式化为分式的形式，然后通过分式的性质来 求解。 - 解法2：通过变量的替换来将有理不等式转化为一元二次不等式 或者一元一次不等式，再利用对应的方法来求解。 常用方法总结： 1. 对于一元一次不等式和一元二次不等式，常用的方法是移项和化简、画函数图像和利用函数的性质来求解。 2. 对于绝对值不等式，常用的方法是分段求解和利用绝对值的性质来 求解。 3. 对于有理不等式，常用的方法是化为分式形式和利用分式的性质来 求解。 4. 在求解不等式的过程中，经常需要进行合并同类项、开方、取倒数、乘除等基本运算，需要注意运算法则和符号的变化。 5. 在不等式的求解过程中，需要注意不等式两边的平方值是否相等， 以及是否存在不等式的等价变换等。同时，在进行运算过程中，需要 根据不等式的符号关系来选择合适的方式。 基本不等式题型20种 基本不等式是初等数学中的重要内容，涉及到多种类型的问题。以下是一些常见的基本不等式题型： 1. 一元一次不等式，例如 2x + 3 > 7。 2. 一元二次不等式，例如 x^2 4x + 3 > 0。 3. 绝对值不等式，例如 |2x 1| < 5。 4. 有理不等式，例如 (x-1)/(x+2) > 0。 5. 混合不等式，例如 2x + 3 < 5 或 3x 2 > 7。 6. 复合不等式，例如 2 < x < 5。 7. 线性不等式组，例如 {2x + y > 3, x y < 1}。 8. 二元二次不等式，例如 x^2 + y^2 < 25。 9. 分式不等式，例如 (x+1)/(x-2) > 0。 10. 绝对值分式不等式，例如 |(x-1)/(x+2)| < 1。 11. 参数不等式，例如若 a > 0, 则 ax < 5。 12. 根式不等式，例如√(x+1) > 2。 13. 指数不等式，例如 2^x > 16。 14. 对数不等式，例如 log(x) < 3。 15. 三角不等式，例如 sin(x) < 1。 16. 求最值问题，例如求函数 f(x) = x^2 4x + 3 的最小值。 17. 区间问题，例如求不等式 2 < x < 5 的解集。 18. 图形法解不等式，例如用图形法解不等式 2x + 3 < 7。 19. 实际问题，例如某商品的售价要高于成本价的 20%。 20. 复杂不等式的综合运用，例如将多种不等式类型结合运用解决问题。 这些是基本不等式的一些常见题型，涵盖了初等数学中常见的不等式问题。希望这些例子可以帮助您更好地理解基本不等式。 基本不等式典型常见题型 基本不等式典型常见题型 不等式是数学中的一种重要关系式，它可以描述数字之间的大小关系。考察不等式的题目在各 类数学考试中都是常见的。下面我们将介绍一些基本的不等式题型，并给出解题方法和技巧。 一、一次不等式 一次不等式是由一次多项式构成的不等关系。它的一般形式为ax + b > 0（或<0）或ax + b ≥ 0（或≤0）。其中，a和b是常数，x是未知数。 解一次不等式的关键是找到x的取值范围。我们可以通过变形和移项来求解。 例题1：解不等式3x + 7 > 4。 解法：首先，我们可以通过移项得到3x > 4 - 7，即3x > -3。然后，除以3得到x > -1。所以， 不等式的解集为x > -1。 例题2：解不等式2x + 5 ≤ 9。 解法：首先，我们可以通过移项得到2x ≤ 9 - 5，即2x ≤ 4。然后，除以2得到x ≤ 2。所以， 不等式的解集为x ≤ 2。 二、绝对值不等式 绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。它的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| ≥ c。其中，a、b和c是常数，x是未知数。 解绝对值不等式的关键是考虑x的取值范围，并分情况讨论。 例题3：解不等式|2x - 3| > 4。 解法：我们可以分两种情况讨论： 情况1：当2x - 3 > 0时，不等式化为2x - 3 > 4，即2x > 7。解得x > 7/2。 情况2：当2x - 3 < 0时，不等式化为-(2x - 3) > 4，即-2x + 3 > 4，解得x < -1/2。 综上所述，不等式的解集为x < -1/2或x > 7/2。 三、二次不等式 . . 题型1 根本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋1 x 2＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋1·1 x 2＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2021·期中)假设x >1，那么x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4 x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)x ＜0，那么f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－2 时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤ 4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，那么f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝ 2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2x －1＋3x －1 ＝ x －1 2 ＋2x －1＋3 x －1 ＝x －1 ＋ 3 x －1 ＋2≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1 a －2x －x 的最小值． 解：y ＝1a －2x ＋a －2x 2－a 2 ≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a 2 . 基本不等式12种题型 在数学中，基本不等式是重要的一种运算表示方法，它涉及不同类型的数据，可以构成一系列不等式和等式，有助于理解形状、性质和变化规律的数学问题。许多数学题的解决都离不开不等式的运用，不等式的题型也是考试题型中的重要类型，本文将简要介绍基本不等式12种常见题型。 1、比较不等式 比较不等式是一种两个不同数之间的大小比较，表示结果不等式，即大于、小于、大于等于或小于等于等。例如：2a + b > 3，表示 2a + b大于3。 2、区间不等式 区间不等式是一种不等式，用于表示一个数字处于两个不同数字之间，即大于等于或小于等于的情况，例如：1 < x < 2。即表示x 介于1和2之间，大于1小于2。 3、极值不等式 极值不等式用于表达某一数值在一系列数值中的位置，比如最大值、最小值和极值点，例如：f(x) 5、不等关系不等式 不等关系不等式是指在有两个变量的不等式中，一个变量的取值存在一定的不等关系，即两个变量均存在大于、小于、大于等于或小于等于等关系，例如：x>2和x+2>y，表示x大于2，且x+2大于y。 6、方程不等式 方程不等式也叫不等式方程，是指一个方程中关于未知数的不等式，即未知数的取值存在一定的不等关系，例如：3x-2<7，表示3x-2小于7。 7、多项式不等式 多项式不等式是指多项式的不等式，即系数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：3x^2+2x+1>0，表示3x^2+2x+1大于0。 8、指数不等式 指数不等式是指指数的不等式，即指数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：2x > 8，表示2x大于8。 9、函数不等式 函数不等式是指函数的不等式，即函数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：f(x)>2，表示函数f(x)大于2。 10、代数不等式 代数不等式是指利用代数计算求解的不等式，即求解者根据指定的关系式求出满足该式的不等式，例如：2x + 3 > 5，表示2x + 3大于5。 11、数值不等式 基本不等式题型总结 在数学学习中，不等式是一个重要而又常见的概念。而基本不等式，作为不等式的基础和基本类型，是我们解决更复杂的不等式问题的关键。本文将对一些常见的基本不等式题型进行总结和探讨，希望能帮助读者更好地掌握和应用这些不等式。 一、根式不等式 根式不等式是一种常见的基本不等式题型。在解决根式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是化简根式表达式，二是确定根式的范围。 以求解不等式$\sqrt{x+1} > 3$为例，可以通过平方两边来消除根式，得到$x+1 > 9$。然后解得$x > 8$。但我们需要注意的是，由于根式的非负性质，我们还需要考虑$x+1\geq 0$的条件。综合考虑，解集为$x > 8$。 二、分式不等式 分式不等式是另一类常见的基本不等式题型。在解决分式不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是去分母，二是确定分式的范围。 以求解不等式$\frac{1}{x-2} \geq 2$为例，我们可以通过去分母的方法得到$x-2 \geq \frac{1}{2}$。然后解得$x \geq \frac{5}{2}$。但我们需要注意的是，由于分式的定义域，我们需要考虑$x-2\neq 0$的条件。综合考虑，解集为$x > \frac{5}{2}$。 三、绝对值不等式 绝对值不等式是基本不等式中的一种特殊类型。在解决绝对值不 等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是分情况讨论，二是确定 绝对值的范围。 以求解不等式$|2x-1| \leq 3$为例，我们可以分别讨论$2x- 1$的正负情况。当$2x-1\geq 0$时，不等式可以化简为$2x-1 \leq 3$，解得$x \leq 2$。当$2x-1<0$时，不等式可以化简为$1-2x \leq 3$， 解得$x \geq -1$. 综合考虑，解集为$x \in [-1,2]$。 四、幂函数不等式 幂函数不等式是一种常见而又稍微复杂的不等式类型。在解决幂 函数不等式问题时，我们需要注重两个关键点：一是分情况讨论，二 是确定幂函数的范围。 以求解不等式$x^2 - 4x + 3 < 0$为例，我们可以对不等式进行 因式分解得到$(x-3)(x-1) < 0$，然后分别讨论$(x-3)$和$(x-1)$的 正负情况。当$x>3$时，不等式成立；当$1 题型1 根本不等式正用a ＋b ≥2ab 例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1 x (x ∈R )值域为________； (2)函数f (x )＝x 2 ＋ 1 x 2＋1 的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2 ＋ 1x 2＋1＝(x 2 ＋1)＋1x 2＋1 －1≥2x 2＋1· 1 x 2＋1 －1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞) 4．(2021·XX 期中)假设x >1，那么x ＋4 x －1 的最小值为________． 解析：x ＋ 4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1 ，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)x ＜0，那么f (x )＝2＋4 x ＋x 的最大值为________． (1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ 4 －x ＋ －x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4－x ，即x ＝－ 2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤ 4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2. 例：当x ＞0时，那么f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝ 2x x 2＋1＝2x ＋ 1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 3．函数y ＝x 2＋2 x －1 (x >1)的最小值是________． 解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2 －2x ＋1＋2x －1＋3 x －1 ＝ x －12 ＋2x －1＋3 x －1 ＝x －1 ＋ 3 x －1 ＋2≥2 x －1 3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1 ，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝ 1 a －2x －x 的最小值．不等式练习题（精选5篇）
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