专题14 基本不等式(解析版)
专题14 基本不等式
1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42< 则=a b ． 【难度】★ 【答案】3 1- 2．若关于实数x 的不等式a x x <++-35无解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】(]8,∞- 【解析】因为35++-x x 表示数轴上的动点x 到数轴上的点3-、5的距离之和，而()8 35min =++-x x ，所 以当8≤a 时，a x x <++-35无解． 热身练习 3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★ 【答案】⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a 5．若关于x 的不等式16422 2 --≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立， 则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10- 1． 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． ·基本不等式的几何解释： 因为()02 ≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得 2 b a ab +≤ 知识梳理 模块一：利用基本不等式求最值 ·基本不等式的几何解释： 如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ， 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD . 由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b 2. 当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立． 【例1】（1）已知，如果，那么的 最小值为__________； （2）已知，如果，那么的最小 值为______； （3）若，则的最小值为 ； （4）已知，且，则的最大值为 . 【难度】★ 【答案】（1）2 （2）1 2 （3）22 （4）116 2．基本不等式及有关结论 (1)基本不等式：如果a >0，b >0，则a ＋b 2 a b + ∈R 、1ab =a b +a b + ∈R 、1a b +=2 2 a b +0x >2x x +,x y R + ∈41x y +=x y ⋅_____ 典例剖析 ≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数． (2)重要不等式：a ∈R ，b ∈R ，则a 2 ＋b 2 ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)几个常用的重要结论 ① b a ＋a b ≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)； ② a ＋1 a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1 a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)； ③ ab ≤2 )2 (b a (a ， b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； ④ 2 1a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 2 2 (a ，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 【例2】已知实数a 、b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的？ （1）ab b a ≥ +2 ； （2） ab b a 22 2 -≥+； （3） ab b a ≥+2 2 ； （4）2≥+b a a b （5）21≥+a a ； （6） 2≥+a b b a （7） 2 2 2 )(2b a b a +≥+）（ 【难度】★ 【答案】（2）（3）（6）（7） （1）错误。a、b为负实数时不正确 （2）正确 （3）正确 （4）错误。a、b为负实数时不正确 （5）错误。a、b为负实数时不正确 （6）正确 （7）正确 3.已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x ＝y时，x＋y有最小值2p(简记：积定和最 小)． (2)如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 2 4(简记：和定积最大)． 注意：①求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立． ②连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立． 【例3】（1）当0 2x (1－2x )的最大值为________． （2）已知x >0，y >0，且1x ＋9 y ＝1，求x ＋y 的最小值________； （3）已知x <54，求函数y ＝4x －2＋ 1 4x －5的最大值________； 【难度】★★ 【答案】（1）1 16 （2）16 （3）1 【解析】(1)∵0 2，∴1－2x >0，则y ＝14·2x (1－2x )≤142 )2212(x x -+＝116 ， 当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取到等号，∴y max ＝116. (2) ∵x >0，y >0，1x ＋9 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9x y ＋10≥6＋ 10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，上式等号成立，又1x ＋9 y ＝1， ∴x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. (3) ∵x <5 4，∴5－4x >0. y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋1 5－4x ) ＋3≤－25－4x ·f(1 5－4x )＋ 3＝1， 当且仅当5－4x ＝1 5－4x ，即x ＝1时， 上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1. 4.利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解． ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值． (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换 法等． 【例4】（1）已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________； （2）已知a >b >0，则a 2 ＋16 b a －b 的 最小值是________． 【难度】★ 【答案】（1）4 （2）16 【解析】(1) 方法一：依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋ 1) ＋ (2y ＋ 1)≥2 x ＋1 2y ＋1＝6，即x ＋2y ≥4. 当且仅当 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8， 即 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1 时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4. 方法二：由)80(11 9 182822<<-+=+-=⇒=++x x x x y xy y x 42) 1(9 )1(22)1(9)1(1192=-+⋅+≥-+++=-++ =+∴x x x x x x y x 当且仅当，即x=2时等会成立． (2) ∵a >b >0，∴b (a －b )≤2 )2(b a b -+＝a 2 4 ，当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2 ＋ 16b a －b ≥a 2 ＋16a 24 ＝a 2 ＋64a 2 ≥2a 2 ·64 a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成 立． )1(9)1(+=+x x ∴当a ＝22，b ＝2时，a 2 ＋ 16 b a －b 取得最小值16. 注：多次使用不等式一定要保证 1． （1）若0 x >，则 4y x x =+ 的最小值是 ___________． （2）若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为___________． （3）(2014·上海) 若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2 的最小值为___________． （4）若,,A B C 为ABC △的三个内角，则41A B C + +的最小值为___________． 对点精练 【难度】★ 【答案】(1)4 (2)1 2 (3)22 (4)π9 2． （1）若a R b ∈,，且2 2 1a b +=，则a b +的最大值 是 ，最小值是 ． （2）若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值 ． （3）若 01, x <<则 49 1y x x = +-的最小值 为 ． （4）若+ ∈R x ，则 x x 212+有最 值， 且值为 ． （5）若13,3a a a >+-有最 值，是 ，此时a = ． （6）若1x <，则 223 1 x x x -+-有最 值， 值为 ． 【难度】★ 【答案】 （1 ； （2）18 （3）25 （4）小；1 （5）小；5；4 （6 ）大；- 3． 已知如下命题 ①若1 22=+y x ，则y x +的最大值为2； ②若1 2=+b a ，则b a 21+的最小值为9； ③若2 1< a ，则1 224-+ a a 的最小值为2-； ④若0 >x ，则 x x x 828 2≥+ ，当2=x 时，等号成立， 所以 的最小值值为8. 其中真命题是 .(填写命题序号) 【难度】★★ x x x 828 2≥+ 【答案】①③ 4．（1）若a ,b R + ∈，且2 2 22a b += ，则的最大值 是 （2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ ） A 、a b +有最小值) 12(2+ B 、a b +有最 大值2 )12( + C 、ab 有最大值1 2+ D 、ab 有 最小值) 12( 2+ （3）若是正数，则的最小值 是（ ） A ．3 B ． C ．4 D ． 【难度】★★ ,x y 2 2 1122x y y x ⎛⎫⎛⎫ +++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭72 92 【答案】（1 ）4 （2）A （3）C 【解析】（1）略（2）略（3） 4≥= 当且仅当 得时. 5．设0a b c >>>，则2 2 11 21025() a ac c a b a a b ++-+-的最小值是（ ） A ．2 B ．4 C ． D ．5 【难度】★★ 【答案】B 6．⑴已知是正常数，，，求证： ，指出等号成立的条件； 2 2 111122222x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝ ⎭⎝⎭⎝⎭11221212x y y x x y y x ⎧ +=+⎪⎪ ⎪= ⎨⎪⎪= ⎪ ⎩ x y ==，a b a b ≠(0)，，x y ∈+∞222 ()≥a b a b x y x y +++ ⑵利用⑴的结论求函数（）的最小值，指出取最小值时的值． 【难度】★★ 【答案】（1）22 a b x y +≥ 2 ()a b x y ++.当且仅当ay bx =时，两 式相等. （2）当且仅当15x =时，函数取得最小值25. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 29()12f x x x =+-1(0)2，x ∈x 模块二：基本不等式在证明不等式中的应用 3.2 基本不等式 【知识点梳理】 知识点一：基本不等式 1．对公式222a b ab +≥及 2 a b ab +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”． 2．由公式222a b ab +≥和2 a b ab +≥ ①2b a a b +≥（,a b 同号） ； ② 2b a a b +≤-（,a b 异号） ； ③222 (0,0)1122a b a b ab a b a b ++≤≤>>+或22 2()(0,0)22a b a b ab a b ++≤≤>> 知识点诠释： 2 2 2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2 a b ab +可以变形为： 2 ( )2 a b ab +≤． 2 a b ab +的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +．这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为22a b +．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：222a b ab +≥．当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=． 得到结论：如果+,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”） 特别的，如果0a >，0b >a b a 、b ，可得： 如果0a >，0b >，则2a b ab +≥ （当且仅当a b =时取等号“=”）． 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 1 11 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若 0a b <<且 1 a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ． 22 a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设 x >0,则 133y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ． 3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,, 5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值1 16 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大 值 1 16 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 111 a b c ++≥．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 11 4x y ≤+ B ．11 1x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2 , 2 a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．2 2 a b ab a b +≤ ≤ + 22a b ab a b +≤ + Ｃ． 2 2 ab a b a b +≤≤ + Ｄ． 22 ab a b a b +≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2 p q x += Ｂ．2 p q x +< Ｃ．2 p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4 sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+ 11. 函数y =的最大值为 . 12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和 池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元. 13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 . 14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y y x y x +-++的值恒为正，对吗？答 . 15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值. 16. 已知)R ,10(log )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R 2x , 试比较 专题14 基本不等式 1．已知关于x 的不等式b a x <+的解集为{}42< 3．不等式212+<-x x 的解集为 ． 【难度】★ 【答案】⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-331， 4．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【难度】★★ 【答案】3≥a 或3-≤a 5．若关于x 的不等式16422 2 --≤++x x b ax x 对R x ∈恒成立， 则=+b a ． 【难度】★★★ 【答案】10- 1． 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． ·基本不等式的几何解释： 因为()02 ≥-y x ，令a x =，b y =，代入展开可得 2 b a ab +≤ 知识梳理 模块一：利用基本不等式求最值 ·基本不等式的几何解释： 如图，AB 是圆的直径，C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b ， 过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连结AD ，BD . 由射影定理或三角形相似可得CD ＝ab ，由CD 小于或等于圆的半径a ＋b 2， 可得不等式ab ≤a ＋b 2. 当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立． 第四节 基本不等式 [知识能否忆起] 一、基本不等式ab ≤a ＋b 2 1．基本不等式成立的条件：a >0，b >0. 2．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 二、几个重要的不等式 a 2＋ b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R )；????a ＋b 22≤a 2 ＋b 2 2(a ，b ∈R )． 三、算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 四、利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4 .(简记：和定积最大) [小题能否全取] 1．(教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( ) A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 解析：选C ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1 x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号． 2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0 数学 基本不等式 [基础题组练] 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 2．若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1 xy ≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3 2的最小值为( ) A ．0 B.12 C ．1 D.32 4．已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 5．已知x >0，y >0，2x ＋y ＝3，则xy 的最大值为________． 6．(2017·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________． 7．函数y ＝x 2x ＋1(x >－1)的最小值为________． 8．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． [综合题组练] 1．若a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1 b ，则3a ＋81b 的最小值为( ) A ．6 B ．9 C ．18 D ．24 2．不等式x 2 ＋x 0，y >0，且2x ＋4y ＋xy ＝1，则x ＋2y 的最小值是________． 4．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1 b ＋3的最小值为 ________． 【参考答案】 [基础题组练] 1．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab D.b a ＋a b ≥2 解析：选D.因为a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以A 错误．对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，因为ab >0， 所以b a ＋a b ≥2 b a ·a b ＝2. 2．(2019·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1 xy ≥M 恒成立，则M 的最大 值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2， 所以xy ≤（x ＋y ）24＝22 4 ＝1， 基本不等式求最值的6种常用方法 知识梳理： 一、基本不等式常用的结论 1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”） 推论：ab ≤a 2＋b 2 2（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）. 推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 （a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭ ⎪⎫a ＋b 22 3、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥ 21a ＋1b （a ＞0，b ＞0） 二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值， 则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个 定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ， 设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1， 4λ＋3μ＝2. 解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25. 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 常考题型 基本不等式 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 利用基本不等式求最值 【例1】►(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2 ＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 利用基本不等式证明不等式 【例2】►已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . 【训练2】 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 利用基本不等式解决恒成立问题 【例3】►(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ________． 【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ (2010·四川)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋ 1 a (a － b ) 的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第13讲 基本不等式 【知识点总结】 1. 几个重要的不等式 （1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R + ∈，则2 a b ab +≥ (当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2(,a b a a a b a b a >+ ≥+≥同号）. （3）其他变形： ①()2 22 2 a b a b ++≥ (沟通两和a b +与两平方和22 a b +的不等关系式) ②222 a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22 a b +的不等关系式) ③2 2a b ab +⎛⎫≤ ⎪ ⎝⎭ (沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式) ④重要不等式串： () 22 2 ,1122a b a b ab a b R a b +++≤≤≤∈+即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知,x y R + ∈. （1）如果x y S +=(定值)，则2 224x y S xy +⎛⎫ ≤= ⎪⎝⎭ (当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果xy P =(定值)，则22x y xy P +≥=(当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 【典型例题】 例1．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ） 【高中新知识预习篇】 第14讲 基本不等式 解析版 一、基本知识及其典型例题 知识点一 基本不等式 1.基本不等式的概念：当a ，b > 0，ab ≤ a ＋b 2 ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2.基本不等式的意义：一般地，对于正数a ，b ，a ＋b 2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数. 两 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即ab ≤ a ＋b 2 . 3.基本不等式的常见推论 : (1) (重要不等式) ∀a ，b ∀R ，有a 2＋b 2 ≥ 2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2) ab ≤ 2)2 (b a +≤ a 2＋b 2 2 (R b a ∈、)； (3) b a ＋a b ≥ 2 (a ，b 同号)； (4)a 2＋b 2＋c 2 ≥ ab ＋bc ＋ca (R c b a ∈、、). 4.利用基本不等式证明不等式 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2) 注意事项： ∀多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ∀累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ∀对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 【例1】证明不等式: a ，b ∀R , ab ≤2)2 (b a +≤a 2＋b 2 2,当且仅当a=b 时取等号. 【证明】∀化简得： 2)2(b a ab +≤ . 0)(,0224,42222222 2≥-≥+-++≤++≤b a b ab a b ab a ab b ab a ab 即，即即 .时取等号当且仅)2 ( 0)(2 b a b a ab b a =+≤∴≥-当恒成立，恒成立， ∀)(22,2 422)2(22222222222b a b ab a b a b ab a b a b a +≤+++≤+++≤+即化简得： 2022版新高考数学总复习--§7.3 基本不等式 — 专题检测 — 一、单项选择题 1.(2021北京东城二模,4)已知a 2 +b 2 =2,那么a +b 的最大值为 ( ) A.1 B.√2 C.2 D.2√2 答案 C 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性. ∵2=a 2 +b 2 ≥2ab ,∴(a +b )2 =a 2 +b 2 +2ab ≤2+2=4,从而a +b ≤2,当且仅当a =b =1时取等号,因此a +b 的最大值为2,故选C . 2.(2021北京朝阳二模,6)设x >0,y >0,则“x +y =1”是“xy ≤14 ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 本题考查基本不等式,考查逻辑推理的核心素养,试题体现基础性. 充分性:当x +y =1时,xy ≤( x+y 2)2=1 4 ,当且仅当x =y =1 2时取等号,充分性成立; 必要性:当x =1,y =1 4 时,xy ≤14 ,x +y =5 4 ≠1,因而必要性不成立. 综上,“x +y =1”是“xy ≤14 ”的充分而不必要条件,故选A . 3.(2021天津河东一模,7)已知a >0,b >0,且 ab =a +b +3,则a +b 的最小值为 ( ) A.4 B.8 C.7 D.6 答案 D a +b +3=ab ≤14 (a +b )2 ,令t =a +b ,t >0, 则14 t 2 ≥t +3⇒t 2 -4t -12≥0⇒t ≥6,即a +b ≥6, 当且仅当a =b =3时,“=”成立. 4.(2021河南顶级名校4月联考,10)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 6,3a 5,a 7成等差数列,若{a n }中存在两项a m ,a n ,使得4a 1为其等比中项,则1m +4n 的最小值为 ( ) A.4 B.9 C.23 D.32 答案 D 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ,q >0, 第03讲 基本不等式 一、 考情分析 1. 掌握均值不等式ab ≤a ＋b 2(a ，b ≥0)和基本不等式的性质； 2.结合具体实例，能用均值不等式解决简单的最大值或最小值问题. 3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系； 4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集； 5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 二、 知识梳理 1.不等式的性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； (5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方：a ＞b ＞0n ∈N ，n ≥2). 2.均值不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)a ＋b 2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数. 3.两个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ a ＋ b 22 (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 4.利用均值不等式求最值 应用基本不等式求最值 【母题来源】2015湖南文7 【母题原题】7、若实数,a b 满足 12 ab a b +=，则ab 的最小值为( ) A 、2 B 、2 C 、22 D 、4 【答案】C 【考点定位】应用基本不等式求最值 【试题解析】 121212200,2ab a b ab ab a b a b a b ab +=∴=+≥⨯=∴≥Q Q ，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为22 C. 【命题意图】本题考查基本不等式求最值的应用，属于中档题． 【方法、技巧、规律】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解． 【探源、变式、扩展】在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值. 【变式】若,,0a b c >且()423,a a b c bc +++=-则2a b c ++的最小值为 ． 【解析】232 1.【无锡市市北高中2014届高三期初考试】若正实数,x y 满足26xy x y =++，则xy 的最小值是 ___ ___． 【答案】18 2.【2014届江苏苏州市高三调研】已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x y 的最小值为 【答案】263- 高一数学基本不等式试题答案及解析 1.设且,则的最小值为________． 【答案】4 【解析】由，当且仅当时等号成立． 故答案为4． 【考点】均值不等式的应用． 2.长为4，宽为3的矩形，当长增加，且宽减少时的面积最大，则此时＝_______，最大面积＝________. 【答案】. 【解析】由题意，得所得矩形面积；则 ，即当时，矩形面积有最大值. 【考点】一元二次函数模型的应用. 3.已知x，y均为正数且x+2y=xy，则（）. A．xy+有最小值4B．xy+有最小值3 C．x+2y+有最小值11D．xy﹣7+有最小值11 【答案】C 【解析】由，得，由得， 则（当且仅当，即时取等号），；令，则在上为增函数，，排除A,B; 而选项D:; 选项C：（当且仅当，即或时取等号;故选C. 【考点】基本不等式. 4.若，则下列不等式正确的是（）. A．B． C．D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得，则；又， . 【考点】基本不等式. 5.已知正数满足，则的最小值为． 【答案】 【解析】. 【考点】基本不等式. 6.设a＞0，b＞0，若是和的等比中项，则的最小值为（） A．6B．C．8D．9 【答案】A 【解析】由题意a＞0，b＞0，且是和的等比中项，即，则，当且仅当时，即时取等号．【考点】重要不等式，等比中项 7.（1）阅读理解：①对于任意正实数，只有当 时，等号成立． ②结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时， 有最小值． （2）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答） ①若，只有当__________时，有最小值__________． ②若，只有当__________时，有最小值__________． （3）探索应用：学校要建一个面积为392的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和 4 m的小路（如图所示）。问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面 积的最小值。 【答案】（2）①1 ，2：②3，10（3）游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面 积的最小值是648 【解析】（2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，② ，当时，有最小值10． （3）设游泳池的长为m，则游泳池的宽为m,又设占地面积为，依题意，得 ，整理运用所给结论，可求面积的最值． （2）①利用阅读材料，可知当时，有最小值2，②，当时，有最小值10． 基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 14不等式的证明 不等式在数学中占有重要地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛和高考的热门题型. 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-⇔<>-⇔≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较 法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c b c a b a +>+⇔>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a <⇒<>>⇒>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈> >⇒>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >⇒>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+⇒>> （3）.,d b c a d c b a ->-⇒<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>⇒>>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-⇔≤⇔>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥⇔≥⇔>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）.||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法. 例题讲解 知识梳理与应用 主要考察一：三角不等式的应用 对任意实数a 、b 有||||||a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时等号成立. 基础：应用三角不等式求最值 【例1】（2020·上海高三专题练习）★★☆☆☆ 对于实数x ，y ，若|1|1x -≤，|2|1y -≤，则|21|x y -+的最大值为( ). A ．5 B ．4 C ．8 D ．7 【答案】A 【解析】 由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)| ≤|x -1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y -2|+2≤5, 即|x-2y+1|的最大值为5. 进阶：应用三角不等式解决不等式恒成立（或有解）问题 【例2】（2020·上海市南洋模范中学高一月考）★★★☆☆ x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，则m 的取值范围是( ). A ．1m > B ．1m ≥ C ．2m > D ．2m ≥ 【答案】C 【详解】 53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，53x x m -+-<有解． 故选C ． 第4讲 基本不等式 【例3】（2020·上海市新场中学高一期中）★★★☆☆ 【答案】7a < 【详解】 因为43x x a -++>恒成立，所以()min |4||3|x x a -++>， 因为|4||3||(4)(3)|7x x x x -++≥--+=，所以7a <. 故答案为：7a < 【练习】1、（2021·上海杨浦区高一期末）★★☆☆☆ 【答案】4 【详解】 因为()37374f x x x x x =-+-≥-+-=, 当37x ≤≤时，取等号， 所以()f x 的最小值为4 故答案为：4 【练习】2、（2018·上海市七宝中学高一月考）★★★☆☆ 【答案】3t < 【详解】 因为|1||2||12|3x x x x +--≤+-+=， 又关于x 的不等式|1||2|x x t +-->有解，所以max |1||2|3x x t t +-->∴<（） 故答案为3t < 【练习】3、（2021·上海中学高一）★★★☆☆ 【答案】7a >或1a <- 【详解】 新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 考点知识总结4基本不等式 高考 概览 高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度 考纲研读1.了解基本不等式的证明过程 2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 一、基础小题 1．若0 解析 由于m >0，n >0，2m ＋n ＝1，则14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥5 2＋ 2 n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝1 6时取等号．故选C. 3．设x ＞0，则函数y ＝x ＋ 22x ＋1 －3 2的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．3 2 答案 A 解析 由于x >0，则y ＝x ＋ 22x ＋1 －32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1 x ＋12 －2≥2 ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋12· 1x ＋12 －2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12 ，即x ＝1 2时等号成立．所以函数y 的最小值为0.故选A. 4．已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥n 2a ＋b 恒成立，则n 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．20 答案 A 解析 因为a >0，b >0，所以2a ＋b >0，2a ＋1 b ≥n 2a ＋b ⇒(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2a ＋1b ≥n ，(2a ＋ b )⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2a ＋1b ＝5＋2a b ＋2b a ≥5＋22a b ·2b a ＝9(当且仅当a ＝b 时，取等号)，要想不等式2a ＋1 b ≥ n 2a ＋b 恒成立，只需n ≤9，即n 的最大值为9.故选A. 5．若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．42 C ．2 D ．2 2 专题14：不等式与不等式组（填空题专练） 一、填空题 1．若a ＜b ，则-5a______-5b(填“＞”“＜”或“=”)． 【答案】＞ 【解析】试题解析：∵a ＜b ， ∴-5a ＞-5b ； 2．不等式2x+4>0的解集是________． 【答案】x>-2 【解析】根据一元一次不等式的解法，移项得2x ＞-4，系数化为1，可得x ＞-2. 故答案为x ＞-2. 3．若不等式()33a x a -≤-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是__________． 【答案】3a < 【分析】不等式两边同时除以3a -即可求解不等式，根据不等式的性质可以得到3a -一定小于0，据此即可求解． 【解答】由题意得30a -<， 解得：3a <， 故答案为：3a <． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解答此题一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4．若不等式组 x m 1,x 2m 1>+⎧⎨ <-⎩ 无解，则 m 的取值范围是___________． 【答案】m≤2 【分析】先解不等式，再根据不等式无解判断求解即可； 【解答】由不等式组x m 1,x 2m 1>+⎧⎨ <-⎩ 无解可得121m m +≥-， 解得：2m ≤． 故答案是2m ≤． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组的，准确理解计算是解题的关键． 5．若a b <，则2ac ______________2bc . 【答案】≤ 【分析】根据不等式的性质得出大小. 【解答】∵c 2≥0, a基本不等式(解析版)
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